将军饮马专题
中考数学专题《将军饮马模型》
是OC上的一点,当△ADE的周长最小时,点E的坐标是( B )
A.(0，4 ) B.(0，5 ) C.(0,2) D.(0，10 )
3
3
3
河边
y
A
C
E E
Bห้องสมุดไป่ตู้
DO
D´ x
针对训练
将军饮马---两定一动
知识点二
如图:已知⊙O的直径CD为2,︵AC的度数为60º,点B是A︵C的中点,在直
径CD上作出点P,使BP＋AP的值最小,则BP＋AP的最小值为__2___
图形特征：两定一动；适用模型：将军饮马 ；
基本策略：同侧化异侧、折线化直线；
基本方法：N个动点N条河,N次对称跑不脱；
基本原理：两点之间线段最短；
P
A´ PA+PB=_P_A_´_+_P_B_=_A_´_B_.
典例精讲
将军饮马---两定一动
知识点二
【例2】如图,矩形ABOC的顶点A的坐标为(-4,5),D是OB的中点,E
O 河流 C
N
A2
将军沿A-B-C-A走路程最短
典例精讲
将军遛马---两定两动
知识点三
【例3-1】如图,点A(a,3)B(b,1)都在双曲线 y = 3 上,点C,D分别 x
是x轴,y轴上的动点,则四边形ABCD周长的最小值为( B )
A.5 2 B.6 2 C.2 10 +2 2 D.8 2
河边
A＇ y A
D
B
D
草地
O CC
x
B＇
典例精讲
将军遛马---两定两动
知识点二
【例3-2】如图,∠AOB=45º,点P是∠AOB内一点且OP= 2 ,若点M、N
专题14 将军饮马问题(解析版)
专题14将军饮马问题模型的概述：唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点宿营。
问如何行走才能使总的路程最短。
模型一（两点在河的异侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。
方法：如右图，连接AB，与线段L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。
模型二（两点在河的同侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，需先走到河边让战马饮水后再到B 点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。
方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’,与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB’的长。
模型三：如图，将军同部队行驶至P处，准备在此驻扎，但有哨兵发现前方为两河AB、BC的交汇处，为防止敌军在对岸埋伏需派侦察兵到河边观察，再返回P处向将军汇报情况，问侦察兵在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。
数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得∆PMN周长最小。
方法：如右图，分别作点P关于直线AB、BC的对称点P’、P’’，连接P’P’’，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段P’P’’的长。
模型四如图，深夜为防止敌军在对岸埋伏，将军又派一队侦察兵到河边观察，并叮嘱观察之后先去存粮位置点Q处查看再返回P处向将军汇报情况，问侦察在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。
数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得四边形PQNM周长最小。
方法：如右图，分别作点P、点Q关于直线AB、BC的对称点P’、Q’，连接P’Q’，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段(PQ+P’Q’)的长。
模型一-模型四的理论依据：两点之间线段最短。
模型五：已知点P在直线AB、BC的外侧，在直线AB和BC上分别取一点M、N，求PM+PN的最小值方法：如右图，过点P作PN⊥BC，垂足为点N，PN与AB相交于点M，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段PN的长。
专题09 最值模型-将军饮马(解析版)
专题09 最值模型---将军饮马最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，将军饮马问题是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马，主要考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。
本专题就最值模型中的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。
模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型）【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线同侧：【最值原理】两点之间线段最短。
上图中A’是A关于直线m的对称点。
例1．（2022·湖南娄底·中考真题）菱形ABCD的边长为2，45ABC∠=︒，点P、Q分别是BC、BD上的动点，CQ PQ+的最小值为______．2【分析】过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，在直角三角形BEC中，勾股定理即可求解．mABPmAB mABPmAB【详解】解：如图，过点C 作CE ⊥AB 于E ，交BD 于G ，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE 为FG +CG 的最小值，当P 与点F 重合，Q 与G 重合时，PQ +QC 最小，菱形ABCD 的边长为2，45ABC ∠=︒，Rt BEC ∴中，22EC =∴PQ +QC 22【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握轴对称的性质求线段和的最小值是解题的关键．例2．（2022·四川眉山·中考真题）如图，点P 为矩形ABCD 的对角线AC 上一动点，点E 为BC 的中点，连接PE ，PB ，若4AB =，3BC =PE PB +的最小值为________．【答案】6【分析】作点B 关于AC 的对称点B '，交AC 于点F ，连接B E '交AC 于点P ，则PE PB +的最小值为B E '的长度；然后求出B B '和BE 的长度，再利用勾股定理即可求出答案．【详解】解：如图，作点B 关于AC 的对称点B '，交AC 于点F ，连接B E '交AC 于点P ，则PE PB +的最小值为B E '的长度；⊥AC 是矩形的对角线，⊥AB =CD =4，⊥ABC =90°，在直角⊥ABC 中，4AB =，43BC =⊥3tan 43AB ACB BC ∠==，⊥30ACB ∠=︒， 由对称的性质，得2B B BF '=，B B AC '⊥，⊥1232BF BC ==⊥243B B BF '== ⊥23BE EF ==60CBF ∠=︒，⊥⊥BEF 是等边三角形，⊥BE BF B F '==，⊥BEB '∆是直角三角形， ⊥2222(43)(23)6B E BB BE ''=-=-，⊥PE PB +的最小值为6；故答案为：6．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找到点P 使得PE PB +有最小值．例3．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 为AD 的中点，将△CDE 沿CE 翻折得△CME ，点M 落在四边形ABCE 内．点N 为线段CE 上的动点，过点N 作NP //EM 交MC 于点P ，则MN +NP 的最小值为________．【答案】8 5【分析】过点M作MF⊥CD于F，推出MN+NP的最小值为MF的长，证明四边形DEMG为菱形，利用相似三角形的判定和性质求解即可．【详解】解：作点P关于CE的对称点P′，由折叠的性质知CE是⊥DCM的平分线，⊥点P′在CD上，过点M作MF⊥CD于F，交CE于点G，⊥MN+NP=MN+NP′≤MF，⊥MN+NP的最小值为MF的长，连接DG，DM，由折叠的性质知CE为线段DM的垂直平分线，⊥AD=CD=2，DE=1，⊥CE22125⊥12CE×DO=12CD×DE，⊥DO25⊥EO5⊥MF⊥CD，⊥EDC=90°，⊥DE⊥MF，⊥⊥EDO=⊥GMO，⊥CE为线段DM的垂直平分线，⊥DO=OM，⊥DOE=⊥MOG=90°，⊥⊥DOE⊥⊥MOG，⊥DE=GM，⊥四边形DEMG为平行四边形，⊥⊥MOG=90°，⊥四边形DEMG为菱形，⊥EG=2OE25GM= DE=1，⊥CG35，⊥DE⊥MF，即DE⊥GF，⊥⊥CFG⊥⊥CDE，⊥FG CG DE CE =，即35515FG = ⊥FG =35，⊥MF =1+35=85， ⊥MN +NP 的最小值为85．故答案为：85． 【点睛】此题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题，熟悉对称点的运用和画法，知道何时线段和最小，会运用勾股定理和相似三角形的判定和性质求线段长度是解题的关键．例4．（2022·江苏南京·模拟预测）【模型介绍】古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营,A B ．他总是先去A 营，再到河边饮马，之后，再巡查B 营．如图①，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图②，作点B 关于直线l 的对称点B '，连结AB '与直线l 交于点P ，连接PB ，则AP BP +的和最小．请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答．理由：如图③，在直线l 上另取任一点P '，连结'AP ，BP '，B P ''，⊥直线l 是点B ，B '的对称轴，点P ，P '在l 上，（1）⊥PB =__________，P B '=_________，⊥AP PB AP PB '+=+=____________．在AP B ''∆中，⊥AB AP P B ''''<+，⊥AP PB AP P B '''+<+，即AP BP +最小．【归纳总结】在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点,A B 在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点P 为AB '与l 的交点，即A ，P ，B '三点共线）．由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．【模型应用】（2）如图④，正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 的中点，F 是AC 上一动点．求EF FB +的最小值．解析：解决这个问题，可借助上面的模型，由正方形对称性可知，点B 与D 关于直线AC 对称，连结DE 交AC 于点F ，则EF FB +的最小值就是线段ED 的长度，则EF FB +的最小值是__________．（3）如图⑤，圆柱形玻璃杯，高为14cm ，底面周长为16cm ，在杯内离杯底3cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂的最短路程为_____cm ． （4）如图⑥，在边长为2的菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，将ABD ∆沿射线BD 的方向平移，得到A B D '''∆，分别连接A C '，A D '，B C '，则A C B C ''+的最小值为____________． 【答案】（1）PB '，P B ''，AB '；（2）25；（3）17；（4）23【分析】（1）根据对称性即可求解；（2）根据正方形的对称性知B 关于AC 的对称点是D ，连接ED ，则ED 是EF FB +的最小值；（3）先将玻璃杯展开，再根据勾股定理求解即可；（4）分析知：当''A B 与'B C 垂直时，A C B C ''+值最小，再根据特殊角计算长度即可；【详解】解：（1）根据对称性知：'''''',,PB PB P B P B AP PB AP PB AB ==+=+=，故答案为：PB '，P B ''，AB '；（2）根据正方形的对称性知B 关于AC 的对称点是D ，连接ED ⊥ED 是EF FB +的最小值又⊥正方形的边长为4，E 是AB 中点⊥222425ED =+= ⊥EF FB +的最小值是25；（3）由图可知：蚂蚁到达蜂的最短路程为'AC的长度： ⊥'43,8,11AE A E cm BF cm BC cm EB cm =====， ⊥'15A B cm =⊥''222215817AC AB BC cm =+=+=（4）⊥在边长为2的菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，将ABD ∆沿射线BD 的方向平移，得到A B D '''∆ ⊥'''2,30A B AB A BD ==∠=︒ 当''A B 与'B C 垂直时，A C B C ''+值最小⊥''''////,AB A B CD AB A B CD == ⊥四边形''A B CD 是矩形，''30B AC ∠=︒⊥''2343,33B C AC == ⊥''23AC B C += 【点睛】本题考查“将军饮马”知识迁移，掌握“将军饮马”所遵循的数学原理，判断出最小是解题关键．模型2.平移型将军饮马（将军过桥模型）【模型解读】已知，如图1将军在图中点A 处，现要过河去往B 点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？考虑MN 长度恒定，只要求AM +NB 最小值即可．问题在于AM 、NB 彼此分离，所以首先通过平移，使AM 与NB 连在一起，将AM 向下平移使得M 、N 重合，此时A 点落在A ’位置（图2 ）．问题化为求A ’N +NB 最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3）．图1 图2 图3【最值原理】两点之间线段最短。
专题02 将军饮马(解析版)
专题02 将军饮马和最小【例1】如图，抛物线215222y x x =-++与x 轴相交于A ，B 两点，点B 在点A 的右侧，与y 轴相交于点C ．（1）求点A ，B ，C 的坐标；（2）在抛物线的对称轴上有一点P ，使PA PC +的值最小，求点P 的坐标；【解答】解：（1）当0x =时，则52y =， 5(0,)2C ∴， 当0y =时，2152022x x -++=， 化简，得2450x x --=，解得，1x =-或5x =，(1,0)A ∴-，(5,0)B ；（2）如图，连接BC ，交对称轴于点P ，连接AP ．点A 和点B 关于抛物线的对称轴对称，AP PB ∴=，要使PA PC +的值最小，则应使PB PC +的值最小，BC ∴与对称轴的交点，使得PA PC +的值最小．设BC 的解析式为y kx b =+．将(5,0)B ，5(0,)2C 代入y kx b =+， 得5250b k b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，∴1252k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线BC 的解析式为1522y x =-+ 抛物线的对称轴为直线22122x ==-⨯ 当2x =时，1532222y =-⨯+=， 3(2,)2P ∴；【变式训练1】已知抛物线26(0)y ax bx a =++≠交x 轴于点(6,0)A 和点(1,0)B -，交y 轴于点C ．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）如图（1），点P 是抛物线上位于直线AC 上方的动点，过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线AC 于点D ，E ，当PD PE +取最大值时，求点P 的坐标；【解答】解：（1）抛物线26y ax bx =++经过点(6,0)A ，(1,0)B -，∴6036660a b a b -+=⎧⎨++=⎩， ∴15a b =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为2254956()24y x x x =-++=--+， ∴抛物线的解析式为256y x x =-++，顶点坐标为5(2，49)4；（2）由（1）知，抛物线的解析式为256y x x =-++，(0,6)C ∴，6OC ∴=， (6,0)A ，6OA ∴=，OA OC ∴=，45OAC ∴∠=︒， PD 平行于x 轴，PE 平行于y 轴，90DPE ∴∠=︒，45PDE DAO ∠=∠=︒，45PED ∴∠=︒，PDE PED ∴∠=∠，PD PE ∴=，2PD PE PE ∴+=，∴当PE 的长度最大时，PE PD +取最大值，(6,0)A ，(0,6)C ，∴直线AC 的解析式为6y x =-+，设(E t ，6)(06)t t -+<<，则2(,56)P t t t -++，22256(6)6(3)9PE t t t t t t ∴=-++--+=-+=--+，当3t =时，PE 最大，此时，25612t t -++=，(3,12)P ∴；【变式训练2】如图，抛物线23y ax bx =+-经过点(2,3)A -，与x 轴负半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，且3OC OB =．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一点P ，使PB PC +的值最小，求点P 的坐标；【解答】解：（1）令0x =，则3y =-，3OC ∴=，3OC OB =，1OB ∴=，(1,0)B ∴-，(2,3)A -，(1,0)B -在抛物线23y ax bx =+-上，∴423330a b a b +-=-⎧⎨--=⎩， ∴12a b =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为223y x x =--；（2）由（1）知，抛物线的解析式为223y x x =--，∴抛物线的对称轴直线为1x =，由（1）知，(0,3)C -，(2,3)A -，∴点A ，C 关于抛物线对称轴直线1x =对称，∴直线AB 与对称轴直线1x =的交点为点P ，设直线AB 的解析式为y kx c =+，点(2,3)A -，(1,0)B -在直线AB 上，∴023k c k c -+=⎧⎨+=-⎩， ∴11k c =-⎧⎨=-⎩， ∴直线AB 的解析式为1y x =--，令1x =，则2y =-，(1,2)P ∴-；【变式训练3】如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点A 、(1,0)B ，与y 轴交于点C ，直线122y x =-经过点A 、C ．抛物线的顶点为D ，对称轴为直线l ． （1）求抛物线的解析式；（2）设点E 为x 轴上一点，且AE CE =，求点E 的坐标；（3）设点G 是y 轴上一点，是否存在点G ，使得GD GB +的值最小，若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图1，对于直线122y x =-，令0y =，得4x =，令0x =，得2y =-，∴点(4,0)A ，点(0,2)C -，将(4,0)A ，(1,0)B ，(0,2)C -代入抛物线解析式得：164002a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩， 解得：12522a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩， ∴抛物线解析式为215222y x x =-+-；（2）如图2，由点E 在x 轴上，可设点E 的坐标为(,0)e ，则4AE e =-，在Rt COE ∆中，根据勾股定理得：222222CE OC OE e =+=+，AE CE =，222(4)2e e ∴-=+， 解得：32e =， 则点E 的坐标为3(2，0)； （3）存在．如图3，取点B 关于y 轴的对称点B '，则点B '的坐标为(1,0)-，连接B D '，直线B D '与y 轴的交点G 即为所求的点．22151592()22228y x x x =-+-=--+， ∴顶点5(2D ，9)8，设直线B D '的解析式为(0)y kx d k =+≠，则05928k d k d -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：928928k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线B D '的解析式为992828y x =+， 当0x =时，928y =， ∴点G 的坐标为9(0,)28． 【例2】如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过(1,0)A -，(3,0)B ，(0,3)C -三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得ACM ∆的周长最短？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把(1,0)A -，(3,0)B ，(0,3)C -代入2y ax bx c =++得，09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得，123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，∴抛物线的关系式为223y x x ==--；（2）抛物线223y x x =--的对称轴为212x -=-=， 点M 在对称轴1x =上，且ACM ∆的周长最短，MC MA ∴+最小，点A 、点B 关于直线1x =对称，∴连接BC 交直线1x =于点M ，此时MC MA +最小，设直BC 的关系式为y x b =+，(3,0)B ，(0,3)C -，∴303b b +=⎧⎨=-⎩，解得，13b =⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 的关系式为3y x =-，当1x =时，132y =-=-，∴点(1,2)M -，∴在抛物线的对称轴上存在一点M ，使得ACM ∆的周长最短，此时(1,2)M -．【变式训练1】如图，抛物线213y x mx n =-+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点(0,1)C -，且对称轴1x =．（1）求出抛物线的解析式及A ，B 两点的坐标；（2）在对称轴上方是否存在点D ，使三角形ADC 的周长最小？若存在，求出点D 的坐标；若不存在．说明理由（使用图1)；【解答】解：（1）抛物线与y 轴交于点(0,1)C -，且对称轴x l =， 则11231m n -⎧-=⎪⎪⨯⎨⎪=-⎪⎩，解得231m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴抛物线解析式为212133y x x =--，令2121033y x x =--=，得：11x =-，23x =， (1,0)A ∴-，(3,0)B ；（2）在对称轴上存在D 使三角形形DAC 的周长最小，连接CB 交对称轴于点D ，此时三角形DAC 周长最小．设BC 的解析式为y kx b =+，把(3,0)B 、(0,1)C -分别代入上式得：130b k b =-⎧⎨+=⎩，解得131k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 故直线BC 的解析式为113y x =-， 当1x =时，23y =-， 所以点D 的坐标为2(1,)3-； 【变式训练2】如图，已知二次函数24(0)y ax x c a =-+≠的图象与坐标轴交于点(1,0)A -和点(0,5)B -．（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P ，使得ABP ∆的周长最小，请求出点P 的坐标；【解答】解：（1）将点A 、点B 的坐标代入， 得405a c c ++=⎧⎨=-⎩，解得：15a c =⎧⎨=-⎩，∴二次函数解析式为245y x x =--；（2）二次函数解析式为245y x x =--，∴对称轴方程为：2x =，令0y =，则2450x x --=， 解得：11x =-，25x =，则抛物线与x 轴的另一个交点C 的坐标为(5,0)， 设直线BC 的解析式为：y kx b =+， 将点B 、C 的坐标代入得：505k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：15k b =⎧⎨=-⎩，即直线BC 的解析式为：5y x =-，点P 在抛物线对称轴上，∴点P 的坐标为(2,3)-；【例3】如图，抛物线2y =+x 轴交于A ，B 两点(A 点在B 点的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，连接AC ． （1）求顶点D 的坐标及直线AC 的解析式；（2）如图，P 为直线AC 上方抛物线上的一动点，连接PC 、PA ，当PAC ∆面积最大时，过P 作PQ x ⊥轴于点Q ，M 为抛物线对称轴上的一动点，过M 作y 轴的垂线，垂足为点N ．连接PM ，NQ ，求PM MN NQ ++的最小值．【解答】解：（1）2y=+20y=-=，解得：4x=-或1，故点A、B的坐标分别为：(4,1)-、(1,0)，点C，由抛物线的表达式知，顶点3(2D-；将点A、C的坐标代入一次函数：y kx b=+得：40k bb-+=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则直线AC的表达式为：y=+（2）设直线PQ交AC于点H，设点2(,P x x-+，则点(Hx+，则PAC∆面积2212[4)2PHC PHAS S PH OA x x∆∆=+=⨯⨯=⨯-+=+，36-<，故PAC∆面积存在最大值，此时2x=-，故点(2P-，，则点(2,0)Q-；将点P向右平移32个单位得到点1(2P'-，，作点P'关于y轴的对称点1(2P''，，连接P Q''交y轴于点N，过点N作NM垂直于函数的对称轴于点M，则点M、N为所求点，理由：连接PM、P N'，//PP MN '，32PP MN '==，故四边形PPNM 为平行四边形，故PM P C P C ='=''， 则PM MN NQ P C MN NQ MN P Q ++=''++=+''为最小，PM MN NQ ∴++最小值32MN P Q =+''=【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边BC 与x 轴、y 轴的交点分别为(8,0)C ，(0,6)B ，5CD =，抛物线215(0)4y ax x c a =-+≠过B ，C 两点，动点M 从点D 开始以每秒5个单位长度的速度沿D A B C →→→的方向运动到达C 点后停止运动．动点N 从点O 以每秒4个单位长度的速度沿OC 方向运动，到达C 点后，立即返回，向CO 方向运动，到达O 点后，又立即返回，依此在线段OC 上反复运动，当点M 停止运动时，点N 也停止运动，设运动时间为t ． （1）求抛物线的解析式； （2）求点D 的坐标；（3）当点M ，N 同时开始运动时，若以点M ，D ，C 为顶点的三角形与以点B ，O ，N 为顶点的三角形相似，求t 的值；（4）过点D 与x 轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q ，将线段BA 沿过点B 的直线翻折，点A 的对称点为A '，求A Q QN DN '++的最小值．【解答】解：（1）将(8,0)C ，(0,6)B 代入2154y ax x c =-+，得15648046a c c ⎧-⨯+=⎪⎨⎪=⎩， 解得386a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为：2315684y x x =-+；（2）如答图1，作DE x ⊥轴于点E ，(8,0)C ，(0,6)B ，8OC ∴=，6OB =． 10BC ∴=．BOC BCD DEC ∠=∠=∠， ~BOC CED ∴∆∆．∴BC BO OCCD CE DE==． 3CE ∴=，4DE =． 11OE OC CE ∴=+=．(11,4)D ∴．（3）若点M 在DA 上运动时，5DM t =，4ON t =， 当~BON CDM ∆∆，则BO ONCD DM=，即6455t t =不成立，舍去； 当~BON MDC ∆∆，则BO ONMD DC=，即6455t t =，解得：t = 若点M 在BC 上运动时，255CM t =-．当~BON MCD ∆∆，则BO ON MC CD =，即62555ONt =-， ∴65ON t=-． 当34t <时，164ON t =-．∴61645t t=--，解得1t =，2t =．当45t <时，416ON t =-∴64165t t=--，无解； 当~BON DCM ∆∆，则BO ON DC CM =，即65255ONt=-， 306ON t ∴=-；当34t <时，164ON t =-，306164t t ∴-=-，解得7t =（舍去）；当45t <时，416ON t =-，306416t t ∴-=-，解得235t =．综上所示：当t =时，~BON MDC ∆∆；t =时，~BON MCD ∆∆；235t =时，~BON DCM ∆∆；（4）如答图2，作点D 关于x 轴的对称点F ，连接QF 交x 轴于点N ，点(11,4)D ，∴点(11,4)F -．由2315684y x x =-+得对称轴为5x =，∴点(5,4)Q ．∴10QF ，BQ ==∴5105A Q QN DN BQ BA QF ''++=-++．故A Q QN DN '++5．差最大【例1】如图，已知抛物线23(0)y ax bx a =++≠经过点(1,0)A 和点(3,0)B ，与y 轴交于点C ． （1）求此抛物线的解析式；（2）①若点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点，则PBC ∆的面积最大值为 ； ②若点T 为对称轴直线2x =上一点，则TC TB -的最大值为 ．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为2212()()(1)(3)(43)3y a x x x x a x x a x x ax bx =--=--=-+=++，解得1a =，故抛物线的表达式为243y x x =-+①；（2）①如图1，过点P 作//PH y 轴交BC 于点H ，由点B 、C 的坐标得，直线BC 的表达式为3y x =-+， 设点2(,43)P x x x -+，则点(,3)H x x -+，PBC ∆的面积2211393(343)2222PHC PHB S S PH OB x x x x x ∆∆=+=⨯⨯=⨯⨯-+-+-=-+， 302-<，故PBC ∆的面积有最大值，当32x =时，其最大值为278，故答案为278；②点B 关于函数对称轴的对称点为点A ，连接CA 交函数对称轴于点T ，则点T 为所求点，则TC TB TC TA AC -=-=为最大，故TC TB -的最大值为AC =【变式训练1】如图，抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+交于A 、B 两点，点A 在y 轴上，抛物线交x 轴于C 、D 两点，已知(3,0)C - （Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）在抛物线对称轴l 上找一点M ，使||MB MD -的值最大，请求出点M 的坐标及这个最大值．【解答】解：（Ⅰ）当0x =时，1332y x =+=，则(0,3)A ，把(0,3)A ，(3,0)C -代入212y x bx c =++得39302c b c =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得523b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为215322y x x =++；（Ⅱ）抛物线的对称轴为直线522b x a =-=-， C 点和D 点关于直线52x =-对称， MC MD ∴=，||MB MC BC -（当B 、C 、M 共线时，取等号）， ||MB MC ∴-的最大值为BC 的长，解方程组213215322y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩，解得0431x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或，则(4,1)B -，BC ∴设直线BC 的解析式为y kx t =+，把(4,1)B -，(3,0)C -代入得4130k t k t -+=⎧⎨-+=⎩，解得13k t =-⎧⎨=-⎩，∴直线BC 的解析式为3y x =--，当52x =-时，132y x =--=-，则此时M 点的坐标为5(2-，1)2-，∴点M 的坐标为5(2-，1)2-时，||MB MD -．【变式训练2】如图，已知抛物线上有三点(4,0)A -、(1,0)B 、(0,3)C -． （1）求出抛物线的解析式；（2）是否存在一点D ，能使A 、B 、C 、D 四点为顶点构成的四边形为菱形，若存在，请求出D 点坐标，若没有，请说明理由．（3）在（2）问的条件，P 为抛物线上一动点，请求出||PD PB -取最大值时，点P 的坐标．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为2y ax bx c =++， (4,0)A -、(1,0)B 、(0,3)C -，∴016403a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=-⎩， 解得：34a =，94b =，3c =-， ∴抛物线的解析式为239344y x x =+-；（2）存在一点(5,3)D -，使得以点A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为菱形，理由为：1OB =，3OC =，4OA =，5AC ∴，AB AC ∴=，当CD 平行且等于AB 时，四边形ACDB 为菱形，5CD AB ∴==，∴点D 的坐标为(5,3)-，当点D 在第二、三象限时，以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，∴存在一点(5,3)D -，使得以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为菱形．（3）设直线DB 的解析式为(0)y kx b k =+≠， (1,0)B ，(5,3)D -，∴53k b k b +=-⎧⎨+=⎩，解得：34k =-，34b =，∴直线DB 的解析式为3344y x =-+，当点P 与点D 、B 不在同一直线上时，根据三角形的三边关系||PD PB DB -<， 当点P 与点D 、B 在同一直线上时，||PD PB DB -=，∴当点P 与点D 、B 在同一直线上时，||PD PB -的值最大，即点P 为直线DB 与抛物线的交点，解方程组2334439344y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，得1110x y =⎧⎨=⎩（舍去）或22592x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，∴点P 的坐标为9(5,)2-时，||PD PB -的值最大．【变式训练3】如图，二次函数21212y x x =-++的图象与一次函数1y x =-+的图象交于A ，B 两点，点C 是二次函数图象的顶点，P 是x 轴下方线段AB 上一点，过点P 分别作x 轴的垂线和平行线，垂足为E ，平行线交直线BC 于F ．（1）当PEF ∆面积最大时，在x 轴上找一点H ，使||BH PH -的值最大，求点H 的坐标和||BH PH -的最大值；【答案】（1）点(1,0)H ，||BH PH -； 【解答】解：（1）设点(,1)P m m -+，则点(,0)E m ， 联立两个函数表达式得212121y x x y x ⎧=-++⎪⎨⎪=-+⎩，解得0615x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或， 即点A 、B 的坐标分别为(0,1)、(6,5)-，由抛物线的表达式知，点(2,3)C ，由B 、C 的坐标得，直线BC 的表达式为27y x =-+， 当271y x m =-+=-+时，62m x +=，故点6(2m F +，1)m -+， PEF ∆面积1161(1)()(1)(6)2224m PE PF m m m m +=⨯=⨯--=---， 104-<，故PEF ∆面积有最大值，此时17(16)22m =+=， 故点7(2P ，5)2-， 当P 、B 、H 三点共线时，||BH PH -的值最大，即点H为直线AB 与x 轴的交点，故点(1,0)H ，则||BH PH -的最大值BH PH BP =-===；。
专题07 最值模型之将军饮马精讲练(11大模型)(解析版)
专题07最值模型之将军饮马精讲练（11大模型）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________模型背景【模型来历】早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．【考点】两点之间线段最短，垂线段最短；三角形两边三边关系；轴对称；平行四边形--平移；【解题思路】学会化归，移花接木，化折为直【核心思想】共线与垂线段最短。
模型精讲一、两动一定型（2种模型）：两定点到直线上一动点的距离和最小。
例1-1：如图1-1在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小.【证明】图1-2。
PA+PB的最小值即为线段AB的长度理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.图1-2lPABP'lAB图1-1反思：解决本题很简单，但却点明了将军饮马的解题思路。
【变式】例1-2 如图1-3，如图，定点A 和定点B 在定直线l 的同侧 要求：在直线l 上找一点P ，使得PA+PB 值最小 。
作法：图1-41.作A 关于直线CD 对称点A’。
2.连A’B 。
3.交点P 就是要求点。
连线长A’B 就是PA+PB 最小值。
【证明】：图1-5在l 上任取异于点P 的一点P´，连接AP´、BP´， 在△ABP’中，AP´+BP´>AB ，即AP´+BP´>AP+BP ∴P 为直线AB 与直线l 的交点时，PA+PB 最小.二、造桥选址，移花接木。
专题64 将军饮马模型与最值问题(解析版)
专题64 将军饮马模型与最值问题【模型引入】 什么是将军饮马？“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。
而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
【模型描述】如图，将军在图中点A 处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？【模型抽象】如图，在直线上找一点P 使得P A +PB 最小？这个问题的难点在于P A +PB 是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段． 【模型解析】作点A 关于直线的对称点A ’，连接P A ’，则P A ’=P A ，所以P A +PB =P A ’+PB当A ’、P 、B 三点共线的时候，P A ’+PB =A ’B ，此时为最小值（两点之间线段最短）AB 将军军营河【模型展示】【模型】一、两定一动之点点在OA 、OB 上分别取点M 、N ，使得△PMN 周长最小．此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OA （折点M 所在直线）、OB （折点N 所在直线）的对称点，化折线段PM +MN +NP 为P ’M +MN +NP ’’，当P ’、M 、N 、P ’’共线时，△PMN 周长最小．【精典例题】如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．【分析】△PMN 周长即PM +PN +MN 的最小值，此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OB 、OA 对称点P ’、P ’’，化PM +PN +MN 为P ’N +MN +P ’’M ．当P ’、N 、M 、P ’’共线时，得△PMN 周长的最小值，即线段P ’P ’’长，连接OP ’、OP ’’，可得△OP ’P ’’为等边三角形，所以P ’P ’’=OP ’=OP =8．BBP OBAMNP''A【模型】二、两定两动之点点在OA 、OB 上分别取点M 、N 使得四边形PMNQ 的周长最小。
将军饮马专题的教学设计
将军饮马专题的教学设计引言：将军饮马，为中国古代名将赤兔所骑马名。
将军饮马是中国古代文化中的经典形象之一，具有浓厚的历史文化底蕴。
将军饮马专题教学设计，旨在通过多种教学方式和方法，让学生了解将军饮马的意义、历史背景和文化内涵，培养学生的历史文化素养和思辨能力。
一、教学目标：1. 了解将军饮马的背景和文化内涵，理解其在古代文化中的地位和意义。
2. 培养学生的历史文化素养和对古代文化的兴趣。
3. 提高学生的综合素质，培养学生的思辨能力和创新意识。
4. 发展学生的表达能力和团队合作精神。
二、教学内容：1. 将军饮马的历史背景和文化内涵- 将军饮马的由来和起源- 将军饮马在古代文化中的地位和意义- 将军饮马的相关诗词和艺术形象2. 将军饮马的艺术表现形式- 将军饮马的绘画艺术- 将军饮马的雕塑艺术- 将军饮马的文学作品3. 将军饮马的相关活动和传统节日- 将军饮马相关的庆典活动- 将军饮马相关的传统节日三、教学过程：1. 导入：通过展示将军饮马的图片或相关视频，引发学生的兴趣和思考，激发学生对将军饮马的好奇心。
2. 学习内容的讲解：- 介绍将军饮马的历史背景和文化内涵，让学生了解将军饮马的起源和意义。
- 分析将军饮马在古代文化中的地位和影响，引导学生思考其在古代文化中的意义。
- 分享相关的诗词和艺术作品，让学生感受将军饮马的艺术表现形式。
3. 活动设计：- 组织学生进行绘画创作，要求学生以将军饮马为主题进行创作，展示他们对将军饮马的理解和想象力。
- 将学生分为小组，让他们自行选择一个将军饮马相关的传统节日，并组织他们进行调研和策划。
最后，组织一场将军饮马节庆活动。
- 让学生进行诗词创作，要求学生以将军饮马为灵感，表达他们对将军饮马的理解和感悟。
4. 总结和展示：- 组织学生分享他们的绘画作品、调研成果和诗词创作，让学生互相学习和交流。
- 总结将军饮马专题的学习，让学生回顾所学内容，并对这一专题的意义和价值进行思考。
专题64 将军饮马模型与最值问题(解析版)
∴ OD AD 3，即 A(3,3)
把点 A(3,3) 代入的 y k 得， k 9 x
∴反比例函数的解析式为： y 9 ． x
答：反比例函数的解析式为： y 9 ． x
（2）过点 B 作 BE AD 垂足为 E ，
∵∠B 90 ， AB BD ， BE AD
∴ AE ED 1 AD 3 ，
【专题说明】
这类问题的解法主要是通过轴对称，将动点所在直线同侧的两定点中的一个映射到直线的另一侧，转 化为两点之间线段最短问题。
1、如图，在
中，
，
是
的两条中线， 是 上一个动点，则下列线段的
长度等于
最小值的是（ ）
3
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
在
中，
，AD 是
的中线，可得点 B 和点 D 关于直线 AD 对称，连结 CE，交 AD 于
点 P，此时
最小，为 EC 的长，故选 B.
2、如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，BE＝2，AB＝8，P 是 AC 上一动点，则 PB+PE 的最小值_____．
【答案】10 【详解】 解：如图：
连接 DE 交 AC 于点 P，此时 PD＝PB， PB+PE＝PD+PE＝DE 为其最小值， ∵四边形 ABCD 为正方形，且 BE＝2，AB＝8， ∴∠DAB＝90°，AD＝AB＝8，AE＝AB-BE＝6， 在 Rt△ADE 中，根据勾股定理，得
【分析】△PMN 周长即 PM+PN+MN 的最小值，此处 M、N 均为折点，分别作点 P 关于 OB、OA 对称点 P’、 P’’，化 PM+PN+MN 为 P’N+MN+P’’M．
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1 例7
原 理 ： 两 点 之 间 ， 线 段 最 短
在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B， 在ON上找一点C，使得△BAC周长最短．
针对训练6 针对训练7
1 例8
原 理 ： 垂 线 段 最 短
在∠MON的外部有一点A，在OM上找一点B， 在ON上找一点C，使得AB＋BC最短．
1 例9
原 理 ： 垂 线 段 最 短
从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至 今．
知识导航
【问题原型】将军饮马 造桥选址
1 2 【涉及知识】两点之间线
【解题思路】找对称点，
段最短，垂线段最短；
3 实现折转直
三角形两边三边关系；
轴对称；平移；
将军饮马问题ຫໍສະໝຸດ 1常见模型1 两定一动型：
例1
在定直线l上找一 个动点P，使动 点P到两个定点A 与B的距离之和最 小，即PA+PB最小.
5. 如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为CD上的
动点，则|PA－PB|的最大值为( B )
A. 3
B. 4
C.5
D. 5
第5题图
返回
2 针对训练6
6. 如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，
且OP＝6，则△PMN的周长最小值为( C )
之
间
，
线
段
最
短
2
用模型战试题
每一个试题都是模型，每一种模型都有方法
综合训练
针对训练1
2
1. 如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AB 边上一点，且AE＝2，则线段EF＋CF的最小值为( B ) A. 3 B. 2 3 C. 2 D. 2
第1题图
返回
2 针对训练2
两动一定型 2
例7
在∠MON的内部 有一点A，在OM上找 一点B，在ON上找一 点C，使得△BAC周长
最短．
例8
在∠MON的内部 有点A和点B，在 OM上找一点C，在 ON上找一点D，使 得四边形ABCD周 长最短．
例9
在∠MON的内部 有一点A，在OM上 找一点B，在ON上 找一点C，使得AB ＋BC最短．
THANK YOU
透过现象→看本质
2020
中考数学专题：将军饮马模型
(制作人：郑娥梅)
【传说】
早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学 和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程 去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．
将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去 河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短 ？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决 了它．
A. 4
B. 5
C.6
D.7
第6题图
2 针对训练7
7. 如图，已知点C(1，0)，直线y＝－x＋7与两坐标轴分别交于A、B两点，D、E分 别是AB，OA上的动点，当△CDE周长最小时，点D坐标为__2_75__, 2_74__．
第7题图
返回
2 针对训练8
8. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，AE＝4，AF＝2，点G，H分别是边BC、 CD上的动点，则四边形EFGH周长的最小值为_2__5___1_0_．
在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B， 在ON上找一点C，使得AB＋BC最短．
两定两动型最值 3
例10
在∠MON的 内部有点A和 点B，在OM 上找一点C， 在ON上找一 点D，使得四 边形ABCD周 长最短．
例11
已知A、B是两个定 点，在定直线l上找 两个动点M与N，且 MN长度等于定长d（ 动点M位于动点N左 侧），使 AM+MN+NB的值最 小.
A. 3 B. 2 3 C. 3 1 D. 3 2
第3题图
返回
2 针对训练4
4. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，O是AC的中点，M是AD上一 点，且MD＝1，P是BC上一动点，则PM－PO的最大值为( A ) A. 13 B. 13 C. 7 D.3
2
第4题图
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2 针对训练5
A. AB
B. DE
C. BD
D. AF
1 综合训练
3. 如图，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内的定点且OP＝ 3，若点M，N分别是射线
OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是____。
1 综合训练
︵
︵
︵
4.如图，AB是⊙O的直径，AB＝8 cm，AC＝CD＝BD，M是AB上一动点，CM＋
针对训练5
1 例5
的原 点理 到： 线线 段段 两垂 端直 的平 距分 离线 相上 等
在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点 A与B的距离之差最小，即∣PA-PB∣最小.
1 例6
的原 点理 到： 线线 段段 两垂 端直 的平 距分 离线 相上 等
在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点 A与B的距离之差最小，即∣PA-PB∣最小.
例12 （造桥选址）
1 例10 在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C
原
，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短
理 ：
．
两
点
针对训练8
之
间
，
线
段
最
短
1
例11
提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移 已知A、B是两个定点，在定直线l上找两个动点
最原 小理 值：
M与N，且MN长度等于定长d（动点M位于动点 N左侧），使AM+MN+NB的值最小.
第8题图
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1 综合训练
1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E为AB的中点，M、N是CD上的两 动点，且MN＝1，则EM＋EN的最小值为____。
1 综合训练
2. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个 动点，则下列线段的长等于AP＋EP最小值的是 ____。
例6
在定直线l上找一个 动点P，使动点P到 两个定点A与B的距 离之差最小，即PAPB最小.
1 例1
原 理 ： 两 点 之 间 线 段 最 短 。
在定直线l上找一个动点P，使动点P到两定点A 与B的距离之和最小，即PA+PB最小
针对训练1
1 例2
原 理 ： 两 点 之 间 线 段 最 短 。
在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点 A与B的距离之和最小，即PA+PB的和最小.
2. 如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝4，点D，E分别是AB，AC的中点，在CD上找一 点P，使PA＋PE值最小，则这个最小值为( D ) A. 5 B. 2 3 C. 3 D. 2 5
第2题图
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2 针对训练3
3. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，E是AB边上的一点，且 AE＝1，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为C( )
DM的最小值是________．
1 综合训练
5. 如图，在直角坐标系中，A(－3，－1)，B(－1，－3)，若D是x轴上一动点，C是y 轴上的一个动点，则四边形ABCD的周长的最小值是________．
6
1 综合训练
3 方法总结：
此类试题往往以角、三角形、菱形、矩形、正方 形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等为背景，但都有 一个“轴对称性”的图形共同点，解题时只有从变化 的背景中提取出“将军饮马问题”的数学模型，再通 过找定直线的对称点把同侧线段和转换为异侧线段 和，利用“两点之间线段最短”，实现“折”转“直”即 可解决。有时问题是求三角形周长或四边形周长的 最小值，一般此时会含有定长的线段，依然可以转 化为“将军饮马问题”。
针对训练2
针对训练3
1 例3
边原 之理 差： 小三 于角 第形 三任 边意
两
在定直线l上找一个动点p，使动点p到两个定点 A与B的距离之差最大，即|PA-PB |最大
针对训练4
1 例4
边原 之理 差： 小三 于角 第形 三任 边意
两
在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点 A与B的距离之差最大，即|PA-PB|最大
为两
A B+MN
’ ’
点 之 间
，
线
段
最
短
，
1 例12
将军每日需骑马从军营出发，去河岸对侧的瞭望台
原
观察敌情，已知河流的宽度为30米，请问，在何地
理 ： 两
修浮桥，可使得将军每日的行程最短？ 直线l1∥l2，在直线l1上找一个点C，直线l2上找一个
点
点D，使得CD⊥l2, 且AC＋BD＋CD最短．
例4
在定直线l上找一个 动点C，使动点C到 两个定点A与B的距 离之差最大，即|PAPB |最大
例2
在定. 直线l上找 一个动点P，使动 点P到两个定点A与 B的距离之和最小 ， 即PA+PB的和最小.
例5
在定直线l上找一个 动点P，使动点P到 两个定点A与B的距 离之差最小，即PAPB最小.
例3
在定直线l上找一个 动点C，使动点C到 两个定点A与B的距 离之差最大，即|PAPB |最大