概率论第一章答案
概率论与数理统计练习册答案
概率论与数理统计练习册答案第一章概率论的基本概念一、选择题4. 答案：（C ）注:C 成立的条件:A 与B 互不相容.5. 答案：（C ）注:C 成立的条件:A 与B 互不相容,即AB φ=.6. 答案：（D ）注:由C 得出A+B=Ω. 8. 答案：（D ）注：选项B 由于11111()1()1()1()1(1())nn n n n i i i i i i i i i i P A P A P A P A P A ======-=-==-=--∑∑∏∏9.答案：（C ）注：古典概型中事件A 发生的概率为()()()N A P A N =Ω. 10.答案：（A ）解：用A 来表示事件“此r 个人中至少有某两个人生日相同”，考虑A的对立事件A “此r 个人的生日各不相同”利用上一题的结论可知365365!()365365r r r rC r P P A ?==，故365()1365rrP P A =-.12.答案：（B ）解：“事件A 与B 同时发生时,事件C 也随之发生”，说明AB C ?，故()()P AB P C ≤；而()()()()1,P A B P A P B P AB ?=+-≤ 故()()1()()P A P B P AB P C +-≤≤.13.答案：（D ）解：由(|)()1P A B P A B +=可知2()()()1()()()1()()()(1())()(1()()())1()(1())()(1())()(1()()())()(1())()()()()()()(())()()()P AB P AB P AB P A B P B P B P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P AB P B P B P A P B P B P B P AB P B -?+=+--+--+==-?-+--+=-?-+--+=2(())()()()P B P AB P A P B -?=故A 与B 独立. .16.答案：（B ）解：所求的概率为()1()1()()()()()()()11111100444161638P ABC P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =-??=---+++-=---+++-= 注：0()()0()0ABC AB P ABC P AB P ABC ??≤≤=?=. 17.答案：（A ）解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 箱”1.2.3i =，则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)11131553353638120P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.18.答案：（C ）解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 类箱子” 1.2.3i =，则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)213212765636515P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.19.答案：（C ）解：即求条件概率2(|)P B A .由Bayes 公式知3263222711223315()(|)5(|)()(|)()(|)()(|)7P B P A B P B A P B P A B P B P A B P B P A B ===++. 二、填空题2.;ABC ABC ABC ABC ABC 或AB BC AC3．0.3，0.5 解：若A 与B 互斥，则P （A+B ）=P （A ）+P （B ），于是 P （B ）=P （A+B ）-P （A ）=0.7-0.4=0.3；若A 与B 独立，则P （AB ）=P （A ）P （B ），于是由P （A+B ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=P （A ）+P （B ）-P （A ）P （B ），得()()0.70.4()0.51()10.4P A B P A P B P A +--===--.4.0.7 解：由题设P （AB ）=P （A ）P （B|A ）=0.4，于是P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=0.5+0.6-0.4=0.7.解：因为P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ），又()()()P AB P AB P A +=，所以()()()0.60.30.3P AB P A B P B =-=-= .6.0.6 解：由题设P （A ）=0.7，P （AB ）=0.3，利用公式AB AB A +=知()()()P AB P A P AB =-=0.7-0.3=0.4，故()1()10.40.6P AB P AB =-=-=. 7.7/12 解：因为P （AB ）=0，所以P （ABC ）=0，于是()()1()1[()()()()()()()]13/42/67/12P ABC P A B C P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ==-=-++---+=-+= . 10.11260解：这是一个古典概型问题，将七个字母任一种可能排列作为基本事件，则全部事件数为7！，而有利的基本事件数为12121114=，故所求的概率为417!1260=. 11.3/7 解：设事件A={抽取的产品为工厂A 生产的}，B={抽取的产品为工厂B 生产的}，C={抽取的是次品}，则P （A ）=0.6，P （B ）=0.4，P （C|A ）=0.01，P （C|B ）=0.02，故有贝叶斯公式知()()(|)0.60.013(|)()()(|)()(|)0.60.010.40.027P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ?====+?+?. 12.6/11解：设A={甲射击}，B={乙射击}，C={目标被击中}，则P （A ）=P （B ）=1/2，P （C|A ）=0.6，P （C|B ）=0.5，故()()(|)0.50.66 (|)()()(|)()(|)0.50.60.50.511P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ?====+?+?. 四、 )(,21)|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?===求。
概率论第一章历年试题答案
第一章历年试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设A 与B 互为对立事件，且P （A ）>0，P （B ）>0，则下列各式中错误．．的是（ ） A.P （A ）=1-P （B ） B.P （AB ）=P （A ）P （B ） C.P 1)( ABD.P （A ∪B ）=1 答案：B2.设A ，B 为两个随机事件，且P （A ）>0，则P （A ∪B ｜A ）=（ ） A.P （AB ） B.P （A ） C.P （B ） D.1答案：D3．从标号为1，2，…，101的101个灯泡中任取一个，则取得标号为偶数的灯泡的概率为（ ）A ．10150B ．10151C ．10050D ．10051答案：A4．设事件A 、B 满足P （A B ）=0.2，P （A ）=0.6，则P （AB ）=（ ） A ．0.12 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.8答案：B5．设A 与B 互为对立事件，且P（A ）>0，P （B ）>0，则下列各式中错误．．的是（ ） A ．0)|( B A P B ．P （B |A ）=0 C ．P （AB ）=0 D ．P （A ∪B ）=1 答案：A6．设A，B为两个随机事件，且P （AB）>0，则P（A|AB）=（）A．P（A）B．P（AB）C．P（A|B）D．1答案：D7.设事件A与B相互独立,且P(A)>0,P(B)>0,则下列等式成立的是（）φA.AB=B.P(A B)=P(A)P(B)C.P(B)=1-P(A)D.P(B |A)=0答案：B8.设A、B、C为三事件，则事件A （）BC=A.A C BB.A B CC.( A B )CD.( A B )C答案：A9．一批产品共10件，其中有2件次品，从这批产品中任取3件，则取出的3件中恰有一件次品的概率为（ ）A ．601B ．457C ．51D ．157答案：D10．设随机事件A与B互不相容，P（A）=0.2，P(B)=0.4，则P（B|A）=（）A．0 B．0.2C．0.4 D．1答案：A11．设事件A，B互不相容，已知P（A）=0.4，P(B)=0.5，则P(A B)=（）A．0.1 B．0.4C．0.9 D．1答案：A12．已知事件A，B相互独立，且P（A）>0，P(B)>0，则下列等式成立的是（）B)=P(A)+P(B)A．P(AB．P(A B)=1-P(A)P(B)B)=P(A)P(B)C．P(AB)=1D．P(A答案；B13．某人射击三次，其命中率为0.8，则三次中至多命中一次的概率为（ ） A ．0.002 B ．0.04 C ．0.08 D ．0.104答案：D14．设A 为随机事件，则下列命题中错误．．的是（ ） A ．A 与A 互为对立事件B ．A 与A 互不相容C ．Ω=⋃A AD ．A A = 答案：C15．设A 与B 相互独立，2.0)(=A P ，4.0)(=B P ，则=)(B A P （ ） A ．0.2 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.8答案：D16.同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好三枚均为正面朝上的概率为（ ） A.0.125 B.0.25 C.0.375 D.0.5答案：A17.设A、B为任意两个事件，则有（）A.（A∪B）-B=AB.(A-B)∪B=A⊂AC.(A∪B)-B⊂AD.(A-B)∪B答案：C18．设A，B为两个互不相容事件，则下列各式错误．．的是（）A．P（AB）=0B．P（A∪B）=P（A）+P（B）C．P（AB）=P（A）P（B）D．P（B-A）=P（B）答案；C19．设事件A ，B 相互独立，且P （A ）=31，P （B ）>0，则 P （A|B ）=（ ）A ．151B ．51C ．154D ．31 答案：D20．设事件A与B互不相容，且P(A)>0，P(B) >0，则有（）A．P(AB)=lB．P(A)=1-P(B)C．P(AB)=P(A)P(B)D．P(A∪B)=1答案；A21．设A、B相互独立，且P(A)>0，P(B)>0，则下列等式成立的是（）A．P(AB)=0B．P(A-B)=P(A)P(B)C．P(A)+P(B)=1D．P(A|B)=0答案：B22．同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有两枚正面朝上的概率为（）A．0.125 B．0.25C．0.375 D．0.50答案：C23．某射手向一目标射击两次，A i 表示事件“第i 次射击命中目标”，i =1，2，B 表示事件“仅第一次射击命中目标”，则B =（ ）A ．A 1A 2B ．21A AC ．21A D ．21A A 答案：B24．某人每次射击命中目标的概率为p (0<p <1)，他向目标连续射击，则第一次未中第二次命中的概率为（ ）A ．p 2B ．(1-p )2C ．1-2pD ．p (1-p )答案：D25．已知P(A)=0.4，P(B)=0.5，且 B，则P(A|B)=（）AA．0 B．0.4C．0.8 D．1答案：C26．一批产品中有5%不合格品，而合格品中一等品占60%，从这批产品中任取一件，则该件产品是一等品的概率为（）A．0.20 B．0.30C．0.38 D．0.57答案：D二、填空题（本大题共15小题，每空2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
概率论1至7章课后答案
一、习题详解：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数;解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω；(2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和;解：}{12,11,4,3,22 =Ω；(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{,2,1,03=Ω； (4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：()}{;51,4≤≤=Ωj i j i(5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离;解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度.解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ；1.2 设A ，B ，C 为三事件, 用A;B;C 的运算关系表示下列各事件：(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃；(3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃；(5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃；(6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃； (7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC ；(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
李贤平-《概率论与数理统计-第一章》答案
21、袋中装有 号的球各一只，采用（1）有放回；（1）不放回方式摸球，试求在第k次摸球时首次摸到1号球的概率。
24、从52张扑克牌中任意抽取13张来，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张草花的概率。
.
14、解：若取出的号码是按严格上升次序排列，则n个号码必然全不相同， 。N个不同号码可产生 种不同的排列，其中只有一个是按严格上升次序的排列，也就是说，一种组合对应一种严格上升排列，所以共有 种按严格上升次序的排列。总可能场合数为 ，故题中欲求的概率为 .
16、解：因为不放回，所以n个数不重复。从 中取出m-1个数，从 中取出 个数，数M一定取出，把这n个数按大小次序重新排列，则必有 。故 。当 或 时，概率 .
28、解：设x，y分别为此二人到达时间，则yF N E
。显然，此二人到达时间8
与由上述条件决定的正方形CDEF内和M H
点是一一对应的(如图)。7D
设A表事件“其中一人必须等另外一人的C G
时间1/2小时以上“，则A发生意味着满足如下0 7 8 x
不等式 。由几何概率得，
事件A的概率等于ΔGDH及ΔFMN的面积之和与正方形CDEF的面积之比，所以
18、解：有利场合是，先从6双中取出一双，其两只全取出；再从剩下的5双中取出两双，从其每双中取出一只。所以欲求的概率为
19、解：（1）有利场合是，先从n双中取出2r双，再从每双中取出一只。
（2）有利场合是，先从n双中取出一双，其两只全取出，再从剩下的 双中取出 双，从鞭每双中取出一只。
.
（3） .
李贤平-概率论基础答案
<M
的数，哪
k2
次取到>M
的数，这共有
C k1 n
×k2 n−k1
种不同的固定方式，因此
k1
次取到<M
的
数，
k2 次取到>M
的数的可能取法有
C k1 n
×k2 n−k1
(M
− 1) k1
(N
−
M
)k2
种。
设 B 表示事件“把取出的 n 个数从小到大重新排列后第 m 个数等于 M“，则 B 出现就
是 k1 次取到<M 的数， k2 次取到>M 的数的数，0 ≤ k1 ≤ m −1,0 ≤ k2 ≤ n − m ，因此 B 包含
（6） E1 中还有这样的点 ω ：12345，它仅属于 E1 ，而不再属于其它 Ei (i ≠ 1,0) 。诸 Ei 之间的
关系用文图表示（如图）。
8、解：（1）因为 (1+ x)n = 1 + Cn1 x + Cn2 x 2 +
+
nC
n n
x
n
，两边对
x
求导得
n(1 + x)n−1 = Cn1 + 2Cn2 x + + nCnn x n−1 ，在其中令 x=1 即得所欲证。
就不是运动员的学生全体时成立。也可表述为：当男学生不爱唱歌且不爱唱歌的一定是男学 生，并且男学生不是运动员且不是运动员的是男学生时成立。
5、解：设袋中有三个球，编号为 1，2，3，每次摸一个球。样本空间共有 3 个样本点（1），
（2），（3）。设 A = {1,2}, B = {1,3}, C = {3}，则 A = {3}, A ∪ B = {1,2,3}, A ∩ B = {1}, A − B = {2},
大学概率论第一章答案
习题1-21. 选择题(1) 设随机事件A ，B 满足关系A B ⊃,则下列表述正确的是( ).(A) 若A 发生, 则B 必发生. (B) A , B 同时发生.(C) 若A 发生, 则B 必不发生. (D) 若A 不发生，则B 一定不发生.解 根据事件的包含关系, 考虑对立事件, 本题应选(D).(2) 设A 表示“甲种商品畅销, 乙种商品滞销”, 其对立事件A 表示( ).(A) 甲种商品滞销, 乙种商品畅销. (B) 甲种商品畅销, 乙种商品畅销.(C) 甲种商品滞销, 乙种商品滞销.(D) 甲种商品滞销, 或者乙种商品畅销.解 设B 表示“甲种商品畅销”，C 表示“乙种商品滞销”，根据公式B C B C =I U ,本题应选(D).2. 写出下列各题中随机事件的样本空间:(1) 一袋中有5只球, 其中有3只白球和2只黑球, 从袋中任意取一球, 观察其颜色;(2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出一个, 观察其颜色；(3) 从(1)的袋中不放回任意取3只球, 记录取到的黑球个数；(4) 生产产品直到有10件正品为止, 记录生产产品的总件数.解 (1) {黑球,白球}； (2) {黑黑,黑白,白黑,白白}； (3) {0,1,2}；(4) 设在生产第10件正品前共生产了n 件不合格品，则样本空间为{10}.|0,1,2,n n +=L 3. 设A, B, C 是三个随机事件, 试以A, B, C 的运算关系来表示下列各事件：(1) 仅有A 发生；(2) A , B , C 中至少有一个发生;(3) A , B , C 中恰有一个发生;(4) A , B , C 中最多有一个发生;(5) A , B , C 都不发生;(6) A 不发生, B , C 中至少有一个发生.解 (1) ABC ; (2) ; (3) A B C U U ABC ABC ABC U U ; (4) ABC ABC ABC ABC U U U ; (5) ABC ; (6) ()A B C U .4. 事件A i 表示某射手第i 次(i =1, 2, 3)击中目标, 试用文字叙述下列事件：(1) A 1∪A 2; (2)A 1∪A 2∪A 3; (3)3A ; (4) A 2－A 3; (5)2A A U 3； (6)12A A . 解 (1) 射手第一次或第二次击中目标;(2) 射手三次射击中至少击中目标;(3) 射手第三次没有击中目标;(4) 射手第二次击中目标,但是第三次没有击中目标;(5) 射手第二次和第三次都没有击中目标;(6) 射手第一次或第二次没有击中目标.习题1-31. 选择题(1) 设A, B 为任二事件, 则下列关系正确的是( ).(A)()()()P A B P A P B −=−. (B)()()()P A B P A P B =+U .(C)()()()P AB P A P B =. (D)()()()P A P AB P AB =+.解 由文氏图易知本题应选(D).(2) 若两个事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0, 则下列结论正确的是( ).(A) A 和B 互不相容. (B) AB 是不可能事件.(C) AB 未必是不可能事件. (D) P (A )=0或P (B )=0.解 本题答案应选(C).2. 设P (AB )=P (AB ), 且P (A )＝p ，求P (B ).解 因 ()1()1()()()()P AB P A B P A P B P AB P AB =−=−−+=U ,故. 于是()()1P A P B +=()1.P B p =−3. 已知()0.4P A =,,()0.3P B =()0P A B .4=U , 求()P AB .解 由公式()()()()P A B P A P B P AB =+−U 知()0.P AB 3=. 于是()()()0.1P AB P A P AB =−=..34. 设A , B 为随机事件,,()0.7P A =()0P A B −=, 求()P AB .解 由公式()()(P A B P A P AB )−=−可知,()0.4P AB =. 于是()0.6P AB =.5. 已知1()()()4P A P B P C ===,()0P AB =, 1()()12P AC P BC ==, 求A , B , C 全不发生的概率.解 因为,所以=0, 即有=0.ABC AB ⊂0()P ABC P AB ≤≤（）()P ABC 由概率一般加法公式得()()()()()()()()7.12P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++−−−+=U U 由对立事件的概率性质知A ,B , C 全不发生的概率是5()()1()12P ABC P A B C P A B C ==−U U U U =.习题1-41. 选择题 在5件产品中, 有3件一等品和2件二等品. 若从中任取2件, 那么以0.7为概率的事件是( )．(A) 都不是一等品. (B) 恰有1件一等品.(C) 至少有1件一等品. (D) 至多有1件一等品.解 至多有一件一等品包括恰有一件一等品和没有一等品, 其中只含有一件一等品的概率为113225C C C ×, 没有一等品的概率为023225C C C ×, 将两者加起即为0.7.答案为（D ）.2. 从由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件. 求: (1) 恰有1件次品的概率; (2) 恰有2件次品的概率; (3) 至少有1件次品的概率; (4) 至多有1件次品的概率; (5) 至少有2件次品的概率.解 (1) 恰有1件次品的概率是12545350C C C ;(2) 恰有2件次品的概率是21545350C C C ; (3 )至少有1件次品的概率是1-03545350C C C ; (4) 至多有1件次品的概率是03545350C C C +12545350C C C ; (5) 至少有2件次品的概率是21545350C C C +30545350C C C . 3. 袋中有9个球, 其中有4个白球和5个黑球. 现从中任取两个球. 求：(1) 两个球均为白球的概率；(2) 两个球中一个是白的, 另一个是黑的概率；(3）至少有一个黑球的概率.解 从9个球中取出2个球的取法有种，两个球都是白球的取法有种，一黑一白的取法有种，由古典概率的公式知道29C 24C 1154C C (1) 两球都是白球的概率是2924C C ; (2) 两球中一黑一白的概率是115429C C C ; (3) 至少有一个黑球的概率是12924C C −. 习题1-51. 选择题(1) 设随机事件A , B 满足P (A |B )=1, 则下列结论正确的是( )(A) A 是必然事件. (B) B 是必然事件.(C) AB B =. (D)()(P AB P B )=.解 由条件概率定义可知选(D).(2) 设A , B 为两个随机事件, 且0()P A 1<<, 则下列命题正确的是( ).(A) 若((P AB P A =), 则A , B 互斥.(B) 若()P B A 1=, 则()0P AB =.(C) 若()()P AB P AB +1=, 则A , B 为对立事件.(D) 若(|)1P B A =, 则B 为必然事件.解 由条件概率的定义知选（B ）．2. 从1,2,3,4中任取一个数, 记为X , 再从1,2,…,X 中任取一个数, 记为Y ,求P {Y =2}.解 解 P {Y =2}=P {X =1}P {Y =2|X =1}+P {X =2}P {Y =2|X =2}+P {X =3}P {Y =2|X =3}+P {X =4}P {Y =2|X =4}=41×(0+21+31+41)=4813. 3. 甲、乙、丙三人同时对某飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4, 0.5, 0.7. 飞机被一人击中而被击落的概率为0.2, 被两人击中而被击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落. 求该飞机被击落的概率.解 目标被击落是由于三人射击的结果, 但它显然不能看作三人射击的和事件. 因此这属于全概率类型. 设A 表示“飞机在一次三人射击中被击落”, 则表示“恰有i 发击中目标”. (0,1,2,3i B i =)i B 为互斥的完备事件组. 于是没有击中目标概率为,0()0.60.50.30.09P B =××=恰有一发击中目标概率为1()0.40.50.30.60.50.30.60.50.70.36P B =××+××+××=,恰有两发击中目标概率为2()0.40.50.30.60.50.70.40.50.70.41P B =××+××+××=,恰有三发击中目标概率为3()0.40.50.70.14P B =××=.又已知 012(|)0,(|)0.2,(|)0.6,(|)1P A B P A B P A B P A B 3====,所以由全概率公式得到30()()(|)0.360.20.410.60.1410.458.i i i P A P B P A B ===×+×+×=∑4. 在三个箱子中, 第一箱装有4个黑球, 1个白球; 第二箱装有3个黑球, 3个白球; 第三箱装有3个黑球, 5个白球. 现任取一箱, 再从该箱中任取一球.(1) 求取出的球是白球的概率；(2) 若取出的为白球, 求该球属于第二箱的概率.解 (1)以A 表示“取得球是白球”，表示“取得球来至第i 个箱子”,i =1,2,3. i H 则P ()=i H 13, i =1,2,3, 1211(|),(|),(|)52P A H P A H P A H ==358=. 由全概率公式知P (A )=112233()(|)()(|)()(|)P H P A H P H P A H P H P A H ++=12053. (2) 由贝叶斯公式知 P ()=2|H A 222()()(|)20()()53P AH P H P A H P A P A == 5. 某厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品, 其产量分别占全厂总产量的40%, 38%, 22%, 经检验知各车间的次品率分别为0.04, 0.03, 0.05. 现从该种产品中任意取一件进行检查.(1) 求这件产品是次品的概率;(2) 已知抽得的一件是次品, 问此产品来自甲、乙、丙各车间的概率分别是多少？解 设A 表示“取到的是一件次品”, i B (i =1, 2, 3)分别表示“所取到的产品来自甲、乙、丙工厂”. 易知, 123,,B B B 是样本空间S 的一个划分, 且122()0.4,()0.38,()0.22P B P B P B ===，,.12(|)0.04,(|)0.03P A B P A B ==3(|)0.05P A B =(1) 由全概率公式可得112233()(|)()(|)()(|)()P A P A B P B P A B P B P A B P B =++0.40.040.380.030.220.050.0384.=×+×+×=. (2) 由贝叶斯公式可得111(|)()0.40.045(|)()0.038412P A B P B P B A P A ×===, 222(|)()0.380.0319(|)()0.038464P A B P B P B A P A ×===, 333(|)()0.220.0555(|)()0.0384192P A B P B P B A P A ×===. 习题1-61. 选择题(1) 设随机事件A 与B 互不相容, 且有P (A )>0, P (B )>0, 则下列关系成立的是( ).(A) A , B 相互独立. (B) A , B 不相互独立.(C) A , B 互为对立事件. (D) A , B 不互为对立事件.解 用反证法, 本题应选(B).(2) 设事件A 与B 独立, 则下面的说法中错误的是( ).(A) A 与B 独立. (B) A 与B 独立. (C) ()((P AB P A P B =). (D) A 与B 一定互斥.解 因事件A 与B 独立, 故A B 与,A 与B 及A 与B 也相互独立. 因此本题应选(D).(3) 设事件A 与 B 相互独立, 且0<P (B )<1, 则下列说法错误的是( ).(A) . (B) (|)()P A B P A =()()()P AB P A P B =.(C) A 与B 一定互斥. (D).()()()()()P A B P A P B P A P B =+−U 解 因事件A 与B 独立, 故A B 与也相互独立, 于是(B)是正确的. 再由条件概率及一般加法概率公式可知(A)和(D)也是正确的. 从而本题应选(C).2. 设三事件A , B 和C 两两独立, 满足条件：,ABC =∅1()()()2P A P B P C ==<, 且9()16P A B C =U U ,求.()P A 解 根据一般加法公式有()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AC P AB P BC P ABC =++−−−+U U . 由题设可知 A , B 和C 两两相互独立, ,ABC =∅ 1()()()2P A P B P C ==<,因此有 2()()()[()],()()0,P AB P AC P BC P A P ABC P ====∅= 从而 29()3()3[()]16P A B C P A P A =−=U U , 于是3()4P A =或1()4P A =, 再根据题设1()2P A <, 故1()4P A =. 3. 甲、乙两人各自向同一目标射击, 已知甲命中目标的概率为 0.7, 乙命中目标的概率为0.8. 求：(1) 甲、乙两人同时命中目标的概率；(2) 恰有一人命中目标的概率；(3) 目标被命中的概率.解 甲、乙两人各自向同一目标射击应看作相互独立事件. 于是(1) ()()()0.70.80.56;P AB P A P B ==×= (2) ()()0.70.20.30.80.38;P AB P AB +=×+×=(3) ()()()()()0.70.80.560.94.P A B P A P B P A P B =+−=+−=U总 习 题 一1. 选择题：设是三个相互独立的随机事件, 且0(,,A B C )P C 1<<, 则在下列给定的四对事件中不相互独立的是( ).(A)A B U 与C . (B)AC 与C . (C) A B −与C . (D) AB 与C .解 由于A , B , C 是三个相互独立的随机事件, 故其中任意两个事件的和、差、交、并与另一个事件或其逆是相互独立的, 根据这一性质知(A), (C), (D)三项中的两事件是相互独立的, 因而均为干扰项, 只有选项(B)正确..2. 一批产品由95件正品和5件次品组成, 先后从中抽取两件, 第一次取出后不再放回.求: (1) 第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率; (2) 抽得一件为正品, 一件为次品的概率.解 (1) 第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率为9551910099396×=×. (1) 抽得一件为正品，一件为次品的概率为95559519.10099198×+×=× 3. 设有一箱同类型的产品是由三家工厂生产的. 已知其中有21的产品是第一家工厂生产的, 其它二厂各生产41. 又知第一、第二家工厂生产的产品中有2%是次品, 第三家工厂生产的产品中有4%是次品. 现从此箱中任取一件 产品, 求取到的是次品的概率.解 从此箱中任取一件产品, 必然是这三个厂中某一家工厂的产品. 设 A ={取到的产品是次品}, B i ={取到的产品属于第i 家工厂生产}, i =1, 2, 3. 由于B i B j =(i ≠j, i , j =1, 2, 3)且B ∅1∪B 2∪B 3=S , 所以B 1, B 2, B 3是S 的一个划分. 又 P (B 1)=21, P (B 2) =41, P (B 3)=41, P (A | B 1)=1002, P (A | B 2)=1002, P (A | B 3)=1004, 由全概率公式得P (A )=P (B 1)P (A |B 1)+P (B 2)P (A |B 2)+P (B 3)P (A | B 3)=100441100241100221×+×+×=0.025. 4. 某厂自动生产设备在生产前须进行调整. 假定调整良好时, 合格品为90%; 如果调整不成功, 则合格品有30%. 若调整成功的概率为75%, 某日调整后试生产, 发现第一个产品合格. 问设备被调整好的概率是多少？解 设A ={设备调整成功}, B ={产品合格}. 则全概率公式得到()()(|)()(|0.750.90.250.30.75P B P A P B A P A P B A =+=×+×=.由贝叶斯公式可得()0.750.9(|)0.9()0.75()(|)()P AB P A B P B P A P B A P B ×====. 5. 将两份信息分别编码为A 和B 传递出去. 接收站收到时, A 被误收作B 的概率为0.02, 而B 被误收作A 的概率为0.01, 信息A 与信息B 传送的频繁程度为2:1. 若接收站收到的信息是A , 问原发信息是A 的概率是多少？解 以D 表示事件“将信息A 传递出去”，以D 表示事件“将信息B 传递出去”，以R 表示事件“接收到信息A ”,以R 表示事件“接收到信息B ”.已知21()0.02,()0.01,(),()33P R D P R D P D P D ====. 由贝叶斯公式知()()()196()()197()()()()P R D P D P DR P D R P R P R D P D P R D P D ===+.。
概率论第一章随机事件及其概率答案
概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第一章 随机事件及其概率（一）一．选择题1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ]（A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ]（A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品}（B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品}（C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个}（D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品}3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ]（A ）A AB - （B ）()A B B ⋃- （C ）A B （D ）A B4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ⋃表示 [ C ]（A ）二人都没射中 （B ）二人都射中（C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D ]（A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”；（C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则AB 表示 [ A ]（A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x <<（C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<<⋃≤<+∞7．在事件A ，B ，C 中，A 和B 至少有一个发生而C 不发生的事件可表示为 [ A ]（A ）C A Y C B ； （B ）C AB ；（C ）C AB Y C B A Y BC A ； （D ）A Y B Y C .8、设随机事件,A B 满足()0P AB =，则 [ D ]（A ）,A B 互为对立事件 (B) ,A B 互不相容(C) AB 一定为不可能事件 (D) AB 不一定为不可能事件二、填空题1．若事件A ，B 满足AB φ=，则称A 与B 互斥或互不相容 。
概率论第一章课后习题答案
《概率论与数理统计》课后习题解答习题一3．设A ,B ,C 表示三个事件,用A ,B ,C 的运算关系表示下列各事件：（1）A 发生,B 与C 不发生;（2）A 与B 都发生,而C 不发生;（3）A ,B ,C 都发生;（4）A ,B ,C 都不发生;（5）A ,B ,C 中至少有一个发生;（6）A ,B ,C 中恰有一个发生;（7）A ,B ,C 中至少有两个发生;（8）A ,B ,C 中最多有一个发生.解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）ABC ； （4）C B A ；（5）C B A ； （6）C B A C B A C B A ++； （7）BC AC AB ；（8）BC AC AB 或C B C A B A ．5．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码．（1）求最小的号码为5的概率;（2）求最大的号码为5的概率.解：设事件A 表示“最小的号码为5”，事件B 表示“最大的号码为5”，由概率的古典定义得（1）121)(31025==C C A P ； （2）201)(31024==C C B P ． 6．一批产品共有200件，其中有6件废品，求：（1）任取3件产品恰有1件是废品的概率;（2）任取3件产品没有废品的概率;（3）任取3件产品中废品不少于2件的概率.解：设事件i A 表示“取出的3件产品中恰有i 件废品”)3,2,1,0(=i ，由概率的古典定义得（1）0855.0)(32002194161≈=C C C A P ； （2）9122.0)(320031940≈=C C A P ； （3）0023.0)(32003611942632≈+=+C C C C A A P ． 8．从0,1,2,…,9这十个数字中任意取出三个不同的数字，求下列事件的概率：A 表示“这三个数字中不含0和5”； B 表示“这三个数字中包含0或5”； C 表示“这三个数字中含0但不含5”． 解：由概率的古典定义得157)(31038==C C A P ；158)(1)(=-=A P B P ；307)(31028==C C C P 9．已知5.0)(=A P ,6.0)(=B P ,8.0)(=A B P ，求)(AB P 和)(B A P ．解：4.08.05.0)|()()(=⨯==A B P A P AB P)]()()([1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P B A P -+-=-==3.0)4.06.05.0(1=-+-=10．已知4.0)(=B P ,6.0)(=B A P ,求)(B A P ． 解：314.014.06.0)(1)()()()()(=--=--==B P B P B A P B P B A P B A P 11．某种品牌电冰箱能正常使用10年的概率为9.0,能正常使用15年的概率为3.0,现某人购买的该品牌电冰箱已经正常使用了10年,问还能正常用到15年的概率是多少?解：设事件B A ,分别表示“该品牌电冰箱能正常使用10,15年”，依题可知 3.0)()(,9.0)(===B P AB P A P ，则所求的概率为319.03.0)()()|(===A P AB P A B P 12．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨最后一个号码．（1）求他拨号不超过三次而接通的概率;（2）若已知最后一个数字是奇数，那么他拨号不超过三次而接通的概率又是多少?解：设事件A 分别表示“他拨号不超过三次而接通”，事件B 分别表示“最后一个数字是奇数”，则所求的概率为（1）103819810991109101)(=⨯⨯+⨯+=A P （2）53314354415451)|(=⨯⨯+⨯+=B A P 13．一盒里有10个电子元件,其中有7个正品,3个次品.从中每次抽取一个,不放回地连续抽取四次,求第一、第二次取得次品且第三、第四次取得正品的概率． 解：设事件i A 表示“第i 次取得次品”（4,3,2,1=i ），则所求的概率为 )|()|()|()()(32142131214321A A A A P A A A P A A P A P A A A A P =201768792103=⨯⨯⨯= 14．一仓库中有10箱同种规格的产品,其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱、3箱、2箱,三厂产品的次品率依次为1.0,2.0,3.0,从这10箱中任取 一箱,再从这箱中任取一件产品,求取得正品的概率．解：设事件321,,A A A 分别表示“产品是甲，乙，丙厂生产的”，事件B 表示“产品是正品”，显然，事件321,,A A A 构成一个完备事件组，且2.0102)(,3.0103)(,5.0105)(321======A P A P A P 7.03.01)|(,8.02.01)|(,9.01.01)|(321=-==-==-=A B P A B P A B P 由全概率公式得83.07.02.08.03.09.05.0)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P15．甲、乙、丙三门高炮同时独立地各向敌机发射一枚炮弹,它们命中敌机的概率都是2.0.飞机被击中1弹而坠毁的概率为1.0,被击中2弹而坠毁的概率为5.0,被击中3弹必定坠毁.（1）求飞机坠毁的概率;（2）已知飞机已经坠毁,试求它在坠毁前只被命中1弹的概率.解：设事件i A 表示“飞机被击中i 弹而坠毁”)3,2,1(=i ，事件B 表示“飞机坠毁”，显然，事件321,,A A A 构成一个完备事件组，由二项概率公式计算得008.0)2.0()(,096.0)8.0()2.0()(,384.0)8.0()2.0()(33331223221131======C A P C A P C A P 1)|(,5.0)|(,1.0)|(321===A B P A B P A B P（1）由全概率公式得0944.01008.05.0096.01.0384.0)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P（2）由贝叶斯公式得407.00944.01.0384.0)|()()|()()|(31111≈⨯==∑=i ii A B P A P A B P A P B A P 16．设甲袋中装有5个红球,4个白球;乙袋中装有4个红球,5个白球.先从甲袋中任取2个球放入乙袋中,然后从乙袋中任取一个球,求取到是白球的概率. 解：设事件i A 表示“从甲袋取出的2个球中有i 个白球”)2,1,0(=i ，事件B 表示“从乙袋中取出的一个球是白球”，显然，事件321,,A A A 构成一个完备事件组，且29254)(C C C A P i i i -=，115)|(i A B P i +=，)2,1,0(=i ，由全概率公式得 5354.09953115)|()()(202925420==+⋅==∑∑=-=i i i i i i i C C C A B P A P B P 17．已知男子有%5是色盲患者,女子有%25.0是色盲患者.现在从男女人数相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者,问此人是男性的概率是多少? 解：设事件A 表示“此人是男性”，事件B 表示“此人是色盲患者”，显然，事件A A ,构成一个完备事件组，且5.0)()(==A P A P ，%25.0)|(%,5)|(==A B P A B P由贝叶斯公式得9524.02120%25.05.0%55.0%55.0)|()()|()()|()()|(≈=⨯+⨯⨯=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P 18．设机器正常时生产合格品的概率为%98,当机器发生故障时生产合格品的概率为%30,而机器正常（即不发生故障）的概率为%95.某天,工人使用该机器生产的第一件产品是合格品,求机器是正常的概率.解：设事件A 表示“该机器正常”，事件B 表示“产品是合格品”，显然，事件A A ,构成一个完备事件组，且%30)|(%,98)|(%,5)(1)(%,95)(===-==A B P A B P A P A P A P由贝叶斯公式得984.0%30%5%98%95%98%95)|()()|()()|()()|(≈⨯+⨯⨯=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P 19．三人独立地去破译一个密码,他们能够译出的概率分别是51,31,41,问能将密码译出的概率是多少?解：设事件C B A ,,分别表示“第一人，第二人，第三人破译出密码”，显然事件C B A ,,相互独立，且41)(,31)(,51)(===C P B P A P ，则所求的概率为 53)411)(311)(511(1)()()(1)(=----=-=C P B P A P C B A P 20．加工某一零件共需经过四道工序,设第一、二、三、四道工序的次品率分别是02.0,03.0,05.0和03.0.假设各道工序是互不影响的,求加工出来的零件的次品率.解：设事件i A 表示“第i 道工序加工出次品”)4,3,2,1(=i ，显然事件4321,,,A A A A 相互独立，且03.0)(,05.0)(,03.0)(,02.0)(4321====A P A P A P A P ，则所求的概率为)()()()(1)(43214321A P A P A P A P A A A A P -=124.0)03.01)(05.01)(03.01)(02.01(1=-----=21．设第一个盒子里装有3个蓝球,2个绿球,2个白球;第二个盒子里装有2个蓝球,3个绿球,4个白球.现在独立地分别从两个盒子里各取一个球.（1）求至少有一个蓝球的概率;（2）求有一个蓝球一个白球的概率;（3）已知至少有一个蓝球,求有一个蓝球一个白球的概率.解：设事件21,A A 表示“从第一个盒子里取出的球是篮球，白球”，事件21,B B 表示“从第二个盒子里取出的球是篮球，白球”，显然事件i A 与j B 相互独立)2,1;2,1(==j i ，且94)(,92)(,72)(,73)(2121====B P B P A P A P ，则所求的概率为 （1）95)921)(731(1)()(1)(1111=---=-=+B P A P B A P ； （2）631692729473)()()()()(12211221=⨯+⨯=+=+B P A P B P A P B A B A P ； （3）)()])([()](|)[(11111221111221B A P B A B A B A P B A B A B A P +++=++ 3516956316)()(111221==++=B A P B A B A P 22．设一系统由三个元件联结而成（如图51-）,各个元件独立地工作,且每个元件能正常工作的概率均为p (10<<p ).求系统能正常工作的概率.图51- 解：设事件i A 表示“第i 个元件正常工作”)3,2,1(=i ，事件B 表示“该系统正常工作”，显然，事件321,,A A A 相互独立，且p A P i =)(，则所求的概率为 )()()()(])[()(32132313231321A A A P A A P A A P A A A A P A A A P B P -+=== 3232132312)()()()()()()(p p A P A P A P A P A P A P A P -=-+=24．一批产品中有%20的次品,进行放回抽样检查,共取5件样品.计算：（1）这5件样品中恰有2件次品的概率;（2）这5件样品中最多有2件次品的概率.解：设事件A 表示“该样品是次品”，显然，这是一个伯努利概型，其中%80)(%,20)(,5===A P A P n ，由二项概率公式有（1）2048.0%)80(%)20()2(32255==C P（2）942.0%)80(%)20()(2055205==∑∑=-=k k k k k C k P。
概率论第一章习题答案
概率论11、甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头停泊.它们在一昼夜内到达码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊的时间是一小时,乙船停泊的时间是两小时,求这两艘船都不等候码头的概率. 解：分别用x、y表示甲、乙船到达时刻，在直角坐标系下作直线x=24、y=24，它们与x轴及y轴围成一个正方形，点(x,y)总是落入这个正方形的；作直线y=x+1与y=x-2，如果点(x,y)落入两直线所夹以外区域就不需要等待，所以不需要等待的概率为：p=(22*22/2+23*23/2)/(24*24)=1013/1152≈0.87934027777777825、已知男人中5%是色盲患者，女人中有0.25%；今从男女人数相等的人群中随机挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男人的概率是多少？解：可以算出色盲的人占总人数的比率是5%x50%+0.25%x50%=2.625%，而在2.625%的人中，男的占5%x50%，所以是男的几率为5%x50%除以2.625%=20/21第一章随机事件与概率1．设A，B，C为三个事件，试用A、B、C表示下列事件，并指出其中哪俩个事件是互逆事件：1）仅有一个事件发生；2）至少有一个事件发生；3）三个事件都发生；４）至多有两个事件发生；５）三个事件都不发生；６）恰好两个事件发生。
用a,b,c分别表示A,B,C的补事件,那么有1)abC∪aBc∪Abc2)1-abc3)ABC4)1-ABC5)abc6)ABc∪AbC∪aBC其中(2)和(5) (3)和(4) 是互逆事件2．设对于事件A，B，C，有P（A）=P（B）=P（C）=1/4，P（AC）=1/8，P（AB）=P（BC）=0，求A、B、C至少出现一个的概率。
因为P（AB）=0，所以P（ABC）=0，所以P（A+B+C）=PA+PB+PC-PAB-PAC-PBC+PABC=5/83．设A，B为随机事件，P（A）=0.7，P（A-B）=0.3，求P（AB(—)）。
概率论第一章习题答案
习 题 一（A ） 1. 写出下列事件的样本空间：)1(把一枚硬币连续抛掷两次； )2(掷两颗骰子；)3(连续抛一枚硬币，直至出现正面为止； )4(在某十字路口，一小时内通过的机动车辆数； )5(某城市一天内的用电量．解 )1(1{(,),(,),(,)}H H H T T T Ω=，其中H 表示正面，T 表示反面． )2()}6,6(),5,6(),4,6(),3,6(),2,6(),1,6(),6,5(),5,5(),4,5(),3,5(),2,5(),1,5(),6,4(),5,4(),4,4(),3,4(),2,4(),1,4(),6,3(),5,3(),4,3(),3,3(),2,3(),1,3(),6,2(),5,2(),4,2(),3,2(),2,2(),1,2(),6,1(),5,1(),4,1(),3,1(),2,1(),1,1{(2=Ω)3(}),,,,(),,,(),,(),{(3 H T T T H T T H T H =Ω)4(},2,1,0{4 =Ω )5(}0,{5≥=Ωt t2.C B A ,,为三个事件，试将下列事件用C B A ,,表示出来： )1(仅A 发生；)2(均发生；)3(均不发生； )4(A 发生而C B ,至少有一个不发生； )5(A 不发生而C B ,至少有一个发生；)6(不全发生；)7(最多有2个发生；)8(至少有2个发生； )9(最多有一个发生；)10(恰有2个发生．解 )1(C B A ； )2(ABC ； )3(C B A 或C B A ++； )4(BC A ； )5(A C B -+)(； )6(ABC 或C B A ++；)7(ABC 或C B A ++；)8(AC BC AB ++； )9(C B A C B A C B A C B A +++； )10(BC A C B A C AB ++；3．掷一颗骰子的试验，观察其出现的点数，事件=A ＂偶数点＂，=B ＂奇数点＂，=C ＂点数小于5＂，=D ＂小于5的偶数点＂，讨论上述各事件间的关系．解 }6,5,4,3,2,1{=Ω，}6,4,2{=A ，}5,3,1{=B ，}4,3,2,1{=C ，}4,2{=D ．A 与B 为对立事件，即A B =；B 与D 互不相容；DCD A ⊃⊃,．４．事件i A 表示某个生产单位第i 车间完成生产任务，3,2,1=i ，B 表示至少有两个车间完成生产任务，C 表示最多只有两个车间完成生产任务，说明事件B 及C B -的含义，并且用i A )3,2,1(=i 表示出来．解 B 表示最多有一个车间完成生产任务，即至少有两个车间没有完成生产任务．323121A A A A A A B ++=321A A A C B =-表示三个车间均完成生产任务．５．抛两枚硬币，求至少出现一个正面的概率．解 设事件A 表示＂两枚硬币中至少出现一个正面＂．若用＂H ＂表示正面，＂T ＂表示反面，其出现是等可能的．则样本空间含有四个等可能样本点：},,,{HH HT TH TT =Ω，由于事件A 含有其中3个样本点．故43)(=A P ．６．抛掷一枚硬币，连续3次，求既有正面又有反面出现的概率． 解 设事件A 表示＂三次中既有正面又有反面出现＂， 则A 表示＂三次均为正面或三次均为反面出现＂，其所包含的样本点数为2．而抛掷三次硬币共有8种不同的等可能结果，故样本空间的样本点总数为8，因此43821)(1)(=-=-=A P A P ．７．掷两颗骰子，求下列事件的概率： )1(点数之和为7； )2(点数之和不超过5；)3(两个点数中一个恰是另一个的两倍． 解)}6,6(),5,6(),4,6(),3,6(),2,6(),1,6(),6,5(),5,5(),4,5(),3,5(),2,5(),1,5(),6,4(),5,4(),4,4(),3,4(),2,4(),1,4(),6,3(),5,3(),4,3(),3,3(),2,3(),1,3(),6,2(),5,2(),4,2(),3,2(),2,2(),1,2(),6,1(),5,1(),4,1(),3,1(),2,1(),1,1{(=Ω=A ＂点数之和为7＂)}1,6(),2,5(),3,4(),4,3(),5,2(),6,1{(=， =B ＂点数之和不超过5＂)}1,4(),2,3(),1,3(),3,2(),2,2(),1,2(),4,1(),3,1(),2,1(),1,1{(=，=C ＂两个点数中一个恰是另一个的两倍＂)}3,6(),6,3(),2,4(),4,2(),1,2(),2,1{(=．所以)1(61)(=A P ； )2(185)(=B P ； )3(61)(=C P ．８．10把钥匙中有3把能打开一个门锁，今任取两把，求能打开门锁的概率．解 设事件A 表示＂门锁能被打开＂．则事件A 发生就是取的两把钥匙都不能打开门锁．1581)(1)(21027=-=-=C C A P A P ．９．袋内装有5个白球，3个黑球，从中一次任取两个，求取到的两个球颜色不同的概率及两个球中有黑球的概率．解 记事件A 表示＂取到的两个球颜色不同＂．则有利于事件A 的样本点数为1315C C ．而组成试验的样本点总数为235+C ，由古典概型概率公式有2815)(281315==C C C A P ．设事件B 表示＂取到的两个球中有黑球＂，则有利于事件B 的样本点数为25C ．1491)(1)(2825=-=-=C C B P B P ．10. 从一副52张的扑克牌中任取4张，求下列事件的概率：)1(全是黑桃； )2(同花； )3(没有两张同一花色； )4(同色．解 52张牌中任取4张，共有452C 种等可能的取法．)1(用事件A 表示＂任取4张全是黑桃＂，由于4张黑桃只能从13张黑桃中取出共有413C 种取法，所以 002641.0)(452413==C C A P ． )2(用事件B 表示＂取出的4张牌同花＂，由于共有4种花色，而＂4张同花＂只能从同一花色的13张牌中取出，所以共有4134C 种取法，于是010564.04)(452413==CC B P ． )3(用事件C 表示＂取出的4张牌没有两张同一花色＂，4张牌只能从各种花色(13张牌)中各取1张，共有413种取法，于是 105498.013)(4524==CC P ． )4(用事件D 表示＂取出的4张牌同色＂，共有2种颜色，而每种颜色只能从同一颜色的26张牌中任取4张，共有4262C 种取法，于是 110444.02)(452426==CC D P ．11. 口袋内装有2个伍分、3个贰分、5个壹分的硬币共10枚，从中任取5枚，求总值超过壹角的概率．解 设事件A 表示＂取出的5枚硬币总值超过壹角＂．则样本点总数为252510=C ，事件A 所包含的样本点数为126)(25231533123822=++C C C C C C C ．21252126)(==A P ． 12. 袋中有红、白、黑色球各一个，每次任取一球，有放回地抽取三次，求下列事件的概率：=A ＂三次都是红球＂即＂全红＂，=B ＂全白＂，=C ＂全黑＂，=D ＂无红＂，=E ＂无白＂，=F ＂无黑＂，=G ＂三次颜色全相同＂，=H ＂颜色全不相同＂，=I ＂颜色不全相同＂．解 样本点总数为2733=；事件A 、事件B 、事件C 所包含的样本点数为1；事件D 、事件E 、事件F 所包含的样本点数为823=；事件G 所包含的样本点数为事件A 、事件B 、事件C 样本点数之和3；事件H 所包含的样本点数为6!3=；事件I 所包含的样本点数为总样本点数减去事件G 所包含的样本点数24327=-． 所以有 271)()()(===C P B P A P ； 278)()()(===F P E P D P ；91273)(==G P ；92276)(==H P ；982724)(==I P ．13.一间宿舍内住有6位同学，求他们中有4个人的生日在同一个月份的概率．解 设事件A 表示＂有4个人的生日在同一个月份＂．样本点总数为612，C事件A 所包含的样本点数2178011211246=C C ，0073.01221780)(6==A P ．14. 从6,5,4,3,2,1,0，七个数字中任取4个排成一列，求下列事件的概率：（按不重复和可重复取分别计算） )1(可构成四位数； )2(可构成四位偶数； )3(可被5整除的四位数；)4(2不在千位、4在十位的四位数； )5(数字各不相同的四位数．解 设)1(,)2(,)3(,)4(,)5(分别为事件A ，B ，C ，D ，E ． 不重复选取时总的样本点数为840456747=⨯⨯⨯=A ．)1(A 包含的样本点数为72045663616=⨯⨯⨯=A A (先在六个非零数字中任取1个排在千位，再在六个数字中任取三个排在百位、十位和个位)．所以 857.0840720)(473616≈==A A A A P ．)2(B 包含的样本点数为420300120345545613251536=+=⨯⨯⨯+⨯⨯=+A A A A (将偶数分为两类：一类0作个位的有36A 个，另一类是2、4或6作个位的有132515A A A 个)．所以 5.0840420)(4713251536==+=AA A A AB P ．)3(C 包含的样本点数为220100120455456251536=+=⨯⨯+⨯⨯=+A A A (将能被5整除的数分为两类：一类是以0作个位的有36A 个，另一类是5作个位的有2515A A 个)．所以 262.0840220)(47251536≈=+=AA A A C P ．)4(D 包含的样本点数为804542514=⨯⨯=A A (4在十位，千位不能取2和0，共14A 个取法，剩下的百位和个位共有25A 个取法)．所以 095.084080)(472514≈==AA A D P ．)5(同)1(．857.0840720)(473616≈==A A A E P ．重复选取时总的样本点数为240174=．)1(A 包含的样本点数为20587673316=⨯=A (先在六个非零数字中任取1个排在千位，其余三位可在7个数字中重复选取)．所以 857.02401205877)(4316≈==A A P ．)2(B 包含的样本点数为117688229437767767713216216=+=⨯⨯⨯+⨯⨯=+A A A (将偶数分成两类：一类是以0作个位的，在六个非零数字中选取一个排在千位，百位和十位的数字在七个数字中重复选取)．所以 49.024011176777)(413216216≈=+=A A AB P ．)3(C 包含的样本点数为588776272216=⨯⨯⨯=A (将能被5整除的数分为两类，一类是以0作个位，一类是以5作个位，都是共有2167A 个)．所以 245.02401588772)(4216≈==A C P ．)4(D 包含的样本点数为2457757215=⨯⨯=A (4在十位，千位不能取2和0，共15A 个取法，剩下的百位和个位共有27个取法).所以 102.0240124577)(4215≈==A D P ．)5(E 包含的样本点数为72045663616=⨯⨯⨯=A A ．所以 2999.024017207)(43616≈==A A E P ．15. 有两本外语书，3本数学书，4本政治书，放到书架上排成一排，求下列事件的概率：)1(两本外语书恰排在两侧（一侧一本）； )2(3本数学书排在一起； )3(某指定一本书恰好排在中间； )4(4本政治书一侧两本．解 设)1(,)2(,)3(,)4(分别为事件A ，B ，C ，D ． 总样本点数为99A ．)1(A 包含的样本点数为7722A A (两本外语书在两侧有22A 种排法，其余7本书在中间有77A 种排法)．所以 0278.0722)(997722≈==AA A A P ．)2(B 包含的样本点数为7733A A (把3本数学书看成一本，与其余6本书共有77A 种排法．3本数学书共有33A 种排法)．所以 083.0726)(997733≈==A A AB P ．)3(C 包含的样本点数为88A (指定书排在中间，其余8本书在8个位置上共有88A 种排法)．所以 111.091)(9988≈==A A C P ．)4(D 包含的样本点数为225524A A A (4本政治书中先取2本排在一侧有24A种排法，剩余人两本排在另一侧有22A 种排法，其余5本书在中间共有55A 种排法)．所以 008.0302424)(99225524≈==A A A A D P ．16. 5封信随机地投到3个信筒中，求下列事件的概率： )1(第一个信筒恰有两封信； )2(第一个信筒至少有两封信； )3(第一个信筒最多有两封信．解 设)1(,)2(,)3(分别为事件A ，B ，C . 总样本点数为24335=.)1(A 包含的样本点数为802325=C (5封信中取两封信投入第一个信筒，共有25C 种投法，剩下3封信投入两个信筒中有32种投法)．所以 329.02438032)(5325≈==C A P ．)2(B 包含的样本点数为3122341555=--C (总样本点数减去第一个信筒中没有信有52种投法，再减去第一个信筒中有一封信有4152C 种投法)．所以 539.0243313223)(541555≈=--=C B P ．)3(C 包含的样本点数为1922223254155=++C C (第一个信筒中没有信有52种投法，第一个信筒中有一封信有4152C 种投法，第一个信筒中有两封信有3252C 种投法)．所以 79.02431923222)(53254155≈=++=C C C P ．17. 将5个人等可能地分配到十个房间去住，求下列事件的概率： )1(某指定5个房间各住1人； )2(5人被分配到5个不同的房间； )3(5人被分配到同一个房间； )4(某个指定房间恰住2人．解 设)1(,)2(,)3(,)4(分别为事件A ，B ，C ，D ． 总样本点数为510．)1(A 包含的样本点数为55A ．所以 0012.01012010)(5555===A A P ．)2(B 包含的样本点数为55510A C (先选出5个房间共510C 种选法，这5个房间各住一人有55A 种住法)．所以 3024.010302410)(4555510===A C B P ．)3(C 包含的样本点数为1．所以 5510101)(-==C P ．)4(D 包含的样本点数为3259C (先选出两人住指定房间有25C 种住法，其余3人分配到剩下的9个房间，有39种分配方法)．所以 0729.010729109)(45325===C D P ．18. 在区间)1,0(中随机地取两个数，求事件“两数之和小于5/6”的概率. 解 这个概率可用几何方法确定．在区间)1,0(中随机地取两个数分别记为x 和y ，则),(y x 的可能取值形成如下单位正方形Ω，其面积为1=ΩS ．而事件A ＂两数之和小于5/6＂可表示为}5/6{<+=y x A ，其区域为图1.1中的阴影部分．图1.1 所以由几何方法得 68.02517)54(211)(2==-==ΩS S A P A ． 19. 甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的．如果甲船停泊时间是1小时，乙船停泊时间是2小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头的概率．解 这个概率可用几何方法确定．记x 和y 分别为甲乙两艘轮船到达码头的时间，则),(y x 的可能取值形成边长为24的正方形Ω，其面积为224=ΩS ．而事件A ＂不需要等候码头空出＂有两种可能情况：一种情况是甲船先到，则乙船在一小时之后到达，即满足1≥-x y ；另一种情况是乙船先到，则甲船在两小时之后到达，即满足2≥-y x ．所以事件A 可表示为}21:),{(≥--≤-=y x y x y x A 或．所以事件A 的区域形成了图1.2中的阴影部分，其面积为)2223(2122+=A S ，所以由几何方法得879.024)2223(21)(222=+==ΩS S A P A ．图1.220. 事件A 与B 互不相容，计算)(B A P +． 解 由于A 与B 互不相容，有Φ=AB ，0)(=AB P1)(1)()(=-==+AB P AB P B A P ．21. 已知a A P =)(，b B P =)(，)3.0(0a b ab >≠，a B A P 7.0)(=-，求)(A B P +，)(A B P -，)(A B P +．解 由于B A -与AB 互不相容，且AB B A A +-=)(，因此有 a B A P A P AB P 3.0)()()(=--=b a AB P B P A P B A P +=-+=+7.0)()()()( a b AB P B P A B P 3.0)()()(-=-=- a AB P A B P 3.01)(1)(-=-=+22. 50个产品中有46个合格品与4个废品，从中一次抽取三个，计算取到废品的概率．解 记事件A 为＂取到废品＂．总样本点数为350C ，事件A 包含的样本点数为346C ．所以2255.07745.011176009108011)(1)(350346=-≈-=-=-=C C A P A P ．23. 一个教室中有100名学生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率（设一年以365天计算）．解 设事件A 表示＂100名学生的生日都不在元旦＂，则有利于A 的样本点数目为100364，而样本空间中样本点数总数为100365，所求概率为2399.03653641)(1)(100100≈-=-=A P A P ．24. 有5副规格不同的手套，现从中任取4只，求至少能配成一副的概率． 解 设事件A 表示＂取出的四只手套至少有两只配成一副＂，则A 表示＂四只手套中任何两只均不能配成一副＂．21080)(4101212121245==C C C C C C A P ，62.0)(1)(=-=A P A P ．25. 设事件B A ,至少有一个发生的概率为31，A 发生而B 不发生的概率为91，求)(B P ．解 由已知条件知31)(=+B A P ，91)()(])[()(=-+=+=B P B A P B B A P B A P ，则 929131)()()(=-=-+=B A P B A P B P ．26. 某单位有%92的职工订阅报纸，%93的人订阅杂志，在不订阅报纸的人中仍有%85的职工订阅杂志，从单位中任找一名职工求下列事件的概率：)1(该职工至少订阅一种报纸或期刊； )2(该职工不订阅杂志，但是订阅报纸．解 设事件A 表示＂任找一名职工订阅报纸＂，B 表示＂订阅杂志＂，依题意92.0)(=A P ， 93.0)(=B P ， 85.0)|(=A B P ．则 )1()|()()()()()(A B P A P A P B A P A P B A P +=+=+988.085.008.092.0=⨯+=．)2(058.093.0988.0)()()(=-=-+=B P B A P B A P ．27. 分析学生们的数学与外语两科考试成绩，抽查一名学生，记事件A 表示数学成绩优秀，B 表示外语成绩优秀，若4.0)()(==B P A P ，28.0)(=AB P ，求)|(B A P ，)|(A B P ，)(B A P +．解 7.04.028.0)()()|(===B P AB P B A P ，7.0)()()|(==A P AB P A B P ，52.0)()()()(=-+=+AB P B P A P B A P ．28. 为了防止意外，在矿内同时设有两种报警系统A 与B ，各系统单独使用时，其有效的概率系统A 为92.0，系统B 为93.0，在A 失灵条件下，B 有效的概率为85.0，求)1(发生意外时，至少有一个系统有效的概率； )2(在B 失灵的条件下，A 有效的概率．解 用事件A 表示＂报警系统A 有效＂，用事件B 表示＂报警系统B 有效＂，依题意 92.0)(=A P ，93.0)(=B P ，85.0)|(=A B P ．)1(068.085.008.0)|()()(=⨯==A B P A P B A P ，988.092.0068.0)()()(=+=+=+A P B A P B A P ．)2(058.093.0988.0)()()(=-=-+=B P B A P B A P ．829.093.01058.0)()()|(≈-==B P B A P B A P ．29. 袋中装有8个球，其中3个红球，5个白球，3个人依次摸球（不返样）．证明3人摸到红球的概率相等．证明 用事件A 表示＂第一个人摸到红球＂，事件B 表示＂第二个人摸到红球＂，事件C 表示＂第三个人摸到红球＂． 83)(1813==CC A P ，)|()()|()()()()(A B P A P A B P A P B A P AB P B P +=+=8373857283=⨯+⨯=，)|()()|()()(B A C P B A P AB C P AB P C P +=)|()()|()(B A C P B A P B A C P B A P ++而5667283)|()()(=⨯==A B P A P AB P ， 56157385)|()()(=⨯==A B P A P B A P ， 56157583)|()()(=⨯==A B P A P B A P ， 56207485)|()()(=⨯==A B P A P B A P ，61)|(=AB C P ， 62)|(=B A C P ， 62)|(=B A C P ，63)|(=B AC P ，所以 8363562062561562561561566)(=⨯+⨯+⨯+⨯=C P ．30. 设B A ,为二事件，4.0)(=A P ，7.0)(=+B A P ，当B A ,互不相容时，求)(B P ．当B A ,独立时，求)(B P ． 解 当B A ,互不相容时)()()(B P A P B A P +=+，所以 3.0)()()(=-+=A P B A P B P ． 当B A ,独立时，)()()()()()()()(B P A P B P A P AB P B P A P B A P -+=-+=+， )(4.0)(4.07.0B P B P -+=，5.0)(=B P ．31. 某种电子元件的寿命在1000小时以上的概率为8.0，求3个这种元件使用1000小时后，最多只坏了一个的概率．解 设事件i A 表示＂使用1000小时后第i 个元件没有坏＂，3,2,1=i ，显然321,,A A A 相互独立，事件A 表示＂三个元件中最多只坏了一个＂，则321321321321A A A A A A A A A A A A A +++=．上式右边是四个两两互不相容的事件的和，且8.0)()()(321===A P A P A P)()]([3)]([)(12131A P A P A P A P +=896.02.08.038.023=⨯⨯+=．32. 加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的废品率分别为3.0，2.0，2.0，并且任何一道工序是否出废品与其他各道工序无关，求零件的合格率．解 设事件A 表示＂任取一个零件为合格品＂，依题意A 表示三道工序都合格．448.0)2.01)(2.01)(3.01()(=---=A P ．33. 某单位电话总机的占线率为4.0，其中某车间分机的占线率为3.0，假定二者独立，现在从外部打电话给该车间，求一次能打通的概率；第二次才能打通的概率以及第m 次才能打通的概率（m 为任何正整数）． 解 设事件i A 表示＂第i 次能打通＂，m i ,,2,1 =，则42.0)3.01)(4.01()(1=--=A P ， 2436.042.058.0)(2=⨯=A P ，42.058.0)(1⨯=-m m A P ．34. 在一定条件下，每发射一发炮弹击中飞机的概率是6.0，现有若干门这样的炮独立地同时发射一发炮弹，问欲以%99的把握击中飞机，至少需要配置多少门这样的炮？解 设需配置n 门这样的炮，用i A 表示＂第i 门炮击中飞机＂，n i ,,2,1 =．则击中飞机的概率为nn n A P A P A P A A A P 4.01)()()(1)(12121-=-=- 由 99.04.01≥-n可得 026.5≥n所有至少需要配置6门这样的炮．35. 一间宿舍中有4位同学的眼镜都放在书架上，去上课时，每人任取一副眼镜，求每个人都没有拿到自己眼镜的概率．解 设i A 表示＂第i 人拿到自己眼镜＂，4,3,2,1=i ．41)(=i A P ，设事件B 表示＂每个人都没有拿到自己的眼镜＂．显然B 则表示＂至少有一个拿到自己眼镜＂．且4321A A A A B +++=． )()(4321A A A A P B P +++=)()()()(4321414141A A A A P A A AP A AP A P k j i k j ij i j ii i-+-=∑∑∑≤<<≤≤<≤=)41(1213141)|()()(≤<≤=⨯==j i A A P A P A A P i j i j i ，)|()|()()(j i k i j i k j i A A A P A A P A P A A A P = )41(241213141≤<<≤=⨯⨯=k j i ，)|()|()|()()(32142131214321A A A A P A A A P A A P A P A A A A P =2411213141=⨯⨯⨯=，85241241121414)(3424=-⨯+⨯-⨯=C C B P ，83)(1)(=-=B P B P ．36. 甲、乙、丙三人在同一时间内独立地破一份密码，如果这三人能译出的概率依次为2.0，35.0，25.0，求该密码能译出的概率．解 用事件C B A ,,分别表示甲、乙、丙三人能译出密码，事件E 表示＂该密码能被译出＂，则)()()(1)(1)(C P B P A P C B A P E P -=-=61.039.0175.065.08.01=-=⨯⨯-=．37. 甲乙两射手，每次射击命中目标的概率分别为8.0和7.0，射击是独立进行的，求)1(各射击1次，恰有1人命中目标的概率； )2(各射击1次，至少有1人命中目标的概率； )3(各射击2次，恰有2次命中目标的概率．解 用事件B A ,分别表示一次射击中甲、乙击中目标，则8.0)(=A P ，7.0)(=B P ．用事件F E D ,,分别表示)1(,)2(,)3()1(38.07.02.03.08.0)()()(=⨯+⨯=+=B A P B A P D P ． )2(94.038.07.08.0)()()(=+⨯=+=D P AB P E P ． )3(用事件i A 表示＂甲第i 次击中目标＂，2,1=i ．用事件i B 表示＂乙第i 次击中目标＂，2,1=i ． 则8.0)()()(21===A P A P A P ， 7.0)()()(21===B P B P B P ，所以)()()()(212121212121B B A A P B B A A P B B A A P F P ++=)()()(212121212121B B A A P B B A A P B B A A P +++ 7.07.02.02.03.03.08.08.0⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= 7.03.02.08.04⨯⨯⨯⨯+2116.01344.00196.00576.0=++=．38. 设C B A ,,三事件独立，试证B A -与C 独立． 证明 )()(])[(ABC AC P BC AC P C B A P -=-=-)()()()()()()(C P B P A P C P A P ABC P AC P -=-= )()]()([)()]()()([C P AB P A P C P B P A P A P -=-= )()()()(C P B A P C P AB A P -=-=所以B A -与C 独立．39. 四重伯努利试验中，事件A 至少发生一次的概率为8704.0，求下列事件的概率：)1(一次试验中A 发生的概率；)2(4次试验A 恰好发生2次的概率．解 )1(设一次试验中A 发生的概率为p ，则依题意可得 8704.0)1(14=--p ， 1296.0)1(4=-p ，6.01=-p ， 4.0=p ．)2(用事件B 表示＂4次试验中事件A 恰好发生2次＂， 3456.0)6.0()4.0()(2224==C B P ．40. 有8门炮，每门炮命中目标的概率均为2.0，各射一炮，求下列事件的概率)1(目标被命中3弹； )2(目标至少被命中2弹； )3(目标至多被命中2弹；解 设)1(,)2(,)3(分别为事件A ，B ，C ．)1(1468.032768.0008.056)8.0()2.0()(5338≈⨯⨯==C A P ；)2(4967.0)8.0)(2.0()8.0(1)(7188≈--=C B P ；)3(7969.0)8.0()2.0()8.0)(2.0()8.0()(62287188≈++=C C C P ．41. 甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，假定他们的命中率分别为4.0及5.0，问谁先投中的概率较大，为什么？解 设事件n n B A 212,-分别表示＂甲在第12-n 次投中＂与＂乙在第n 2次投中＂，显然 ,,,,4321B A B A 相互独立．设事件A 表示＂甲先投中＂． +++=)()()()(543213211A B A B A P A B A P A P A P 743.014.04.0)5.06.0(4.05.06.04.02=-=+⨯⨯+⨯⨯+= ．计算得知5.0)(>A P ，5.0)(<A P ，因此甲先投中的概率较大． 42. 某高校新生中，北京考生占%30，京外其他各地考生占%70，已知在北京学生中，以英语为第一外语的占%80，而京外学生以英语为第一外语的占%95，今从全校新生中任选一名学生，求该生以英语为第一外语的概率．解 设事件A 表示＂任选一名学生为北京考生＂，B 表示＂任选一名学生以英语为第一外语＂．依题意3.0)(=A P ，7.0)(=A P ，8.0)|(=A B P ，95.0)|(=A B P ．由全概率公式有)|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=905.095.07.08.03.0=⨯+⨯=．43. A 地为甲种疾病多发区，该地共有南、北、中三个行政小区，其人口比为4:7:9，据统计资料，甲种疾病在该地三个小区内发病率依次为004.0，002.0，005.0，求A 地的甲种疾病的发病率．解 设事件321,,A A A 分别表示从A 地任选一名居民其为南、北、中行政小区，易见321,,A A A 两两互不下容，其和为Ω．设事件B 表示＂任选一名居民其患有甲种疾病＂，依题意：,45.0)(1=A P 35.0)(2=A P ，2.0)(3=A P ，004.0)|(1=A B P ， 002.0)|(2=A B P ， 005.0)|(3=A B P005.02.0002.035.0004.045.0)|()()(31⨯+⨯+⨯==∑=ii iA B P A P B P0035.0=．44. 一个机床有三分之一的时间加工零件A ，其余时间加工零件B ，加工零件A 时，停机的概率为3.0，加工零件B 时的停机的概率为4.0，求这个机床停机的概率．解 设事件A 表示＂机床加工零件A ＂，则A 表示＂机床加工零件B ＂，设事件B 表示＂机床停工＂．37.0324.0313.0)|()()|()()(=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P ．45. 市场供应的灯泡中有%40是甲厂生产的，%60是乙厂生产的，若甲、乙两厂生产的灯泡次品率分别为02.0和03.0，求 )1(顾客不加选择的买一个灯泡为正品的概率；)2(已知顾客买的一个灯泡为正品，它是甲厂生产的概率．解 设事件A 表示＂顾客买一个灯泡是甲厂生产的＂，则A 表示＂顾客买一个灯泡是乙厂生产的＂，设事件B 表示＂顾客买一个灯泡是正品＂． )1()|()()|()()(A B P A P A B P A P B P += 974.097.06.098.04.0=⨯+⨯=． )2()|()()|()()|()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=4025.0974.0392.097.06.098.04.098.04.0≈=⨯+⨯⨯=．46. 甲袋中装有4个红球，2个白球；乙袋中装有2个红球，4个白球，求下列事件的概率：)1(从甲袋任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取1球，该球为红球； )2(从甲袋任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取1球，该球为红球； )3(从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取1球放回甲袋，最后从甲袋中任取一球，该球为红球．解 )1(设事件A 表示＂第一次取出红球＂，事件A 表示＂第一次取出白球＂，事件B 表示＂第二次取出红球＂．381.021872627364)|()()|()()(≈=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P ．)2(设事件1A 表示＂第一次取出的两球都是红球＂，2A 表示＂第二次取出的两球都是白球＂，3A 表示＂第一次取出的两球一红一白＂，事件B 表示＂第二次取出红球＂．)|()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P ++= 18132614121812262218142624C C C C C C C C C C C C C ⋅+⋅+⋅=4167.0831588215184156≈⨯+⨯+⨯=．)3(设事件A 表示＂第一次取出的是红球＂，A 表示＂第一次取出的是白球＂，事件B 表示＂第二次取出的是红球＂，B 表示＂第二次取出的是白球＂，事件C 表示＂第三次取出的是红球＂．)|()()|()()(B A C P B A P AB C P AB P C P +=)|()()|()(B A C P B A P B A C P B A P ++)|()()|()|()()|(A B P A P B A C P A B P A P AB C P += )|()()|()|()()|(A B P A P B A C P A B P A P B A C P ++ 756264646463726265736464⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=619.02113≈=． 47. 有编号为)1(、)2(、)3(的3个口袋，其中)1(号袋内装有两个1号球，1个2号球和1个3号球，)2(号袋内装有两个1号球和1个3号球，)3(号袋内装有3个1号球和两个2号球，现在先从)1(号袋内随机地抽取一个球，放入与球上号数相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，计算第二次取到几号球的概率最大？为什么？解 设事件i A 表示＂第一次取到i 号球＂，i B 表示＂第二次取到i 号球＂，3,2,1=i ．依题意，321,,A A A 构成一个完全事件组．21)(1=A P ， 41)()(32==A P A P ，21)|(11=A B P ，41)|()|(1312==A B P A B P ， 21)|(21=A B P ，41)|()|(2322==A B P A B P ，21)|(31=A B P ，31)|(32=A B P ，61)|(33=A B P ，应用全概率公式)|()()(31i j i i j A B P A P B P ∑==可依次计算出21)(1=B P ，4813)(2=B P ，4811)(3=B P ，因此第二次取到1号球的概率最大．48. 甲、乙、丙三个机床加工一批同一种零件，其各机床加工的零件数量之比为2:3:5，各机床所加工的零件合格率，依次为%94，%90，%95，现在从加工好的整批零件中检查出一个废品，判断它不是甲机床加工的概率．解 设事件321,,A A A 分别表示＂受检零件为甲机床加工＂，＂乙机床加工＂，＂丙机床加工＂．B 表示＂废品＂，应用贝叶斯公式有 ∑==31111)|()()|()()|(i iiA B P A P A B P A P B A P7305.02.01.03.006.05.006.05.0=⨯+⨯+⨯⨯=，74)|(1)|(11=-=B A P B A P ．49. 某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车4种交通工具，其概率分别为%5，%15，%30，%50，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为%100，%70，%60与%90，已知该旅行者误期到达，求他是乘坐火车的概率．解 设事件4321,,,A A A A 分别表示外出人＂乘坐飞机＂，＂乘坐火车＂，＂乘坐轮船＂，乘坐汽车＂，B 表示＂外出人如期到达＂．∑==41222)|()()|()()|(i iiA B P A P A B P A P B A P21.01.05.04.03.03.015.0005.03.015.0≈⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．50. 设发报台分别以6.0和4.0的概率发出＂－＂和＂∙＂信号．由于干扰作用，发＂－＂信号时，收报台以9.0的概率收到＂－＂，以1.0的概率收到＂∙＂；发＂∙＂信号时，收报台收到＂∙＂＂－＂＂不清＂的概率分别为8.0，1.0和1.0，求下列事件的概率． )1(收报台收到＂－＂信号； )2(收报台收到＂∙＂信号；)3(收报台收到＂－＂信号，确系发的＂－＂； )4(收报台收到＂∙＂信号，确系发的＂∙＂．解 设事件21,A A 分别表示＂发出＂－＂＂和＂发出＂∙＂＂，事件321,,B B B 分别表示＂收到＂－＂＂，＂收到＂∙＂＂，＂收到＂不清＂＂．依题意 6.0)(1=A P ，4.0)(2=A P ； 9.0)|(11=A B P ，1.0)|(12=A B P ；1.0)|(21=A B P ，8.0)|(22=A B P ，1.0)|(23=A B P ． )1()|()()|()()(2121111A B P A P A B P A P B P += 58.01.04.09.06.0=⨯+⨯=．)2()|()()|()()(2221212A B P A P A B P A P B P += 38.08.04.01.06.0=⨯+⨯=．)3(58.054.0)|()()|()()|()()|(11211111111=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P931.0≈． )4()|()()|()()|()()|(22212122222A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=842.038.032.08.04.01.06.08.04.0==⨯+⨯⨯=．51. 某企业采取三项深化改革措施，预计各项改革措施成功的可能性分别为6.0，7.0和8.0，设三项措施中有一项、两项、三项成功可取得明显经济效益的概率分别为4.0，7.0和9.0，若各项措施成功与否相互独立，求 )1(企业可取得明显经济效益的概率；)2(企业已取得经济效益，是由于有两项措施成功而引起的概率．（假定三项均不成功不会取得明显经济效益）解 设企业采取甲、乙、丙三项改革措施，用事件C B A ,,分别表示甲、乙、丙三项改革措施成功，则6.0)(=A P ，7.0)(=B P ，8.0)(=C P ，用事件D 表示“企业可取得明显经济效益”，用事件G F E ,,分别表示有一项、二项、三项措施成功，则 )()(C AB C B A BC A P E P ++=)()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ++= 188.08.03.04.02.07.04.02.03.06.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， )()(C AB BC A C AB P F P ++=)()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ++= 452.08.03.06.08.07.04.02.07.06.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 336.08.07.06.0)()()()()(=⨯⨯===C P B P A P ABC P G P ，4.0)|(=E D P ，7.0)|(=F D P ，9.0)|(=G D P ． )1()|()()|()()|()()(G D P G P F D P F P E D P E P D P ++=694.09.0336.07.0452.04.0188.0=⨯+⨯+⨯=． )2()|()()|()()|()()|()()|(G D P G P F D P F P E D P E P F D P F P D F P ++=456.0694.03164.0≈=．52. 一条生产线正常生产的时间为%95，不正常生产的时间为%5．正常运转时，产品%90为合格品，%10为不合格品；不正常运转时，产品合格品只占%40，从产品中任取1件检查，求下列事件的概率： )1(取出的产品为合格品；)2(取出的是合格品，它是正常运转时生产的； )3(取出的是合格品，它是不正常运转时生产的．解 用事件21,A A 分别表示生产线正常生产与不正常生产，用事件21,B B 分别表示取出一件产品为合格品与不合格品．依题意 95.0)(1=A P ，05.0)(2=A P ； 9.0)|(11=A B P ，1.0)|(12=A B P ； 4.0)|(21=A B P ，6.0)|(22=A B P .)1()|()()|()()(2121111A B P A P A B P A P B P +=875.04.005.09.095.0=⨯+⨯=；)2(977.0875.0855.0)()()|()()|()()|(21211111111≈=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P ．53. 某种零件可以用两种工艺方法加工制造，第一种方法需三道工序，其中各道工序出现废品的概率分别是1.0，2.0和3.0；第二种方法需两道工序，每道工序出现废品的概率均为3.0．设在合格品中得到优等品的概率分别为9.0和8.0．比较哪种方法得到优等品的概率较大？解 用事件A 表示＂用第一种方法生产出合格品＂，用事件B 表示＂用第二种方法生产出合格品＂．用事件21,C C 分别表示用第一、第二种方法生产出优等品．依题意504.07.08.09.0)(=⨯⨯=A P ， 49.07.07.0)(=⨯=B P ， 9.0)|(1=A C P ， 8.0)|(2=B C P ．4536.09.0504.0)|()()(11=⨯==A C P A P C P ， 392.08.049.0)|()()(22=⨯==B C P B P C P ． 所以第一种方法得到优等品的概率较大． 54. 设一条昆虫生产n 个卵的概率为 λλ-=en p nn !， ,2,1,0=n ，其中0>λ．又设一个虫卵能孵化成昆虫的概率等于)10(<<p p ．如果卵的孵化是互相独立的．问此虫的下一代有k 条的概率是多少？ 解 设事件=n A ＂一个虫产下几个卵＂， ,2,1,0=n ．=R B ＂该虫下一代有k 条虫＂， ,2,1,0=k ．依题意λλ-==en p A P nn n !)(，⎩⎨⎧≤≤>=-nk qp C n k A B P kn k k n n k 00)|(其中p q -=1．应用全概率公式有)|()()|()()(0n k kn nn k n nk A B P AP A B P AP B P ∑∑∞=∞===∑∑∞=----∞=-=-=kn kn k kn k kn nk n q ek p qp k n k n en )!()(!)()!(!!!λλλλλ由于qk n kn kn kn ek n q k n q λλλ=-=-∑∑∞=--∞=-0)!()()!()(，所以有ppqkk ekp eek p B P λλλλλ--==)(!)()(， ,2,1,0=k ．（B ）1. 对于任意二事件A 和B ，与B B A =⋃不等价的是：)(a B A ⊂ )(b A B ⊂ )(c Φ=B A )(d Φ=B A解 )(dΦ=⇔⊂⇔⊂⇔=⋃B A A B B A B B A ，而B A B A ⊃⇔Φ=．2. 设B A ,为两个随机事件，且1)|(,0)(=>B A P B P ，则必有： )(a )()(A P B A P >⋃ )(b )()(B P B A P >⋃ )(c )()(A P B A P =⋃ )(d )()(B P B A P =⋃ 解 )(c由题设条件可得1)()()|(==B P AB P B A P ，所以)()(B P AB P =，即B A ⊃，于是 A B A =⋃，故有)()(A P B A P =⋃．3. 当事件A 与B 同时发生时，事件C 必发生，则必有： )(a )()(AB P C P = )(b )()(B A P C P ⋃=)(c 1)()()(-+≤B P A P C P )(d 1)()()(-+≥B P A P C P 解 )(d当事件A 与B 同时发生时，事件C 发生AB C ⊃⇔，所有，)(a 非正确答案．虽然AB C ⊃，但可能有C B A ⊃⋃，所以，)(b 非正确答案． 显然，01)()(<-+B P A P 可能成立，所有，)(c 非正确答案． 4. 设a A P =)(，b B P =)(，c B A P =+)(，则_______)(=B A P ． )(a b a - )(b b c - )(c )1(b a - )(d )1(c a - 解 )(b)()()()]([)(AB P A P AB A P B A P B A P -=-=-Ω=，c AB P B P A P B A P =-+=+)()()()(，即c AB P b a =-+)(，所以c b a AB P -+=)(，于是得 b c c b a a AB P A P B A P -=-+-=-=)()()()(．5. 设C B A ,,三个事件两两独立，则C B A ,,相互独立的充分必要条件是： )(a A 与BC 独立 )(b AB 与C A ⋃独立 )(c AB 与AC 独立 )(d B A ⋃与C A ⋃独立 解 )(aC B A ,,相互独立C B A ,,⇔两两独立且)()()()(C P B P A P ABC P =．由题设条件已经知道了C B A ,,两两独立，因此C B A ,,相互独立)()()()(C P B P A P ABC P =⇔．对于)(a ，因为B 与C 已经相互独立，所以A 与BC 独立 )()()()()()()(C P B P A P ABC P BC P A P ABC P =⇔=⇔， 故应选)(a ．6. 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：=1A ｛掷第一次出现正面｝， =2A ｛掷第二次出现正面｝， =3A ｛正、反面各出现一次｝， =4A ｛正面出现两次｝ 则事件（ ）)(a 321,,A A A 相互独立 )(b 432,,A A A 相互独立 )(c 321,,A A A 两两独立 )(d 432,,A A A 两两独立 解 )(c21)(1=A P ， 21)(2=A P ， 21)(3=A P ， 41)(4=A P ．Φ=321A A A ， Φ=432A A A ， Φ=43A A ，所以)(a ，)(b ，)(d 非正确答案．)()(41)()(21421A P A P A P A A P ===，)()(31二次出现反面掷第一次出现正面，第P A A P =)()(4131A P A P ==，)()(32二次出现正面掷第一次出现反面，第P A A P =)()(4132A P A P ==，所以)(c 正确．7. 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为)10(<<p p ，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（ ）． )(a 2)1(3p p - )(b 2)1(6p p - )(c 22)1(3p p - )(d 22)1(6p p -解 )(c前3次射击恰好1次命中目标的概率为2213)1(3)1(p p p p C -=-，第4次命中目标的概率为p ，再由独立性可得第4次射击恰好第2次命中目标的概率为22)1(3p p -．8. 把n 个＂0＂与n 个＂1＂随机地排列，求没有两个＂1＂连在一起的概率．解 考虑n 个＂1＂的放法：n 2个位置上＂1＂占有n 个位置，所有共有nn C 2种放法．而＂没有两个1连在一起＂，相当于在n 个＂0＂之间及两头（共1+n 个位置）去放＂1＂，这共有nn C 1+种放法． 所以没有两个＂1＂连在一起的概率为n nn nnn Cn CC 2211+=+．9. 从数字9,,2,1 中可重复地任取n 次，求n 次所取数字的乘积能被10整除的概率．解 记事件A 为＂至少取到一次5＂，事件B 为＂至少取到一次偶数＂，则所求概率为)(AB P ．因为nn A P 98)(=， nn B P 95)(=， nn B A P 94)(=⋂，所以)()()(1)(1)(B A P B P A P B A P AB P ⋂+--=⋃-=nnn n 94581-+-=．10. 考虑一元二次方程02=++C Bx x ，其中C B ,分别是将一枚骰子接连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率p 和有重根的概率q ． 解 C B ,均可取值6,5,4,3,2,1，而且取每一个值的概率均为61．一枚骰子接连掷两次，其基本事件总数为36=n ，且这36个基本事件是等可能的，所以，这是一个古典概型问题．当C B 42≥时方程有实根；C B 42=时方程有重根．关键的问题是求出满足C B 42≥和C B 42=的基本事件数．用表格列出分析结果：由此可得，使方程有实根的基本事件数为1966421=++++， 所以3619=p ．使方程有重根的基本事件数为2个，所有181362==q ．11. 已知事件B A ,满足)()(B A P AB P ⋂=，记p A P =)(，试求)(B P ． 解 因为)(1)()()(B A P B A P B A P AB P ⋃-=⋃=⋂=)()()(1AB P B P A P ---=， 由此得 0)()(1=--B P A P ， 所以 p A P B P -=-=1)(1)(．。