自动控制原理复习资料
自动控制原理总复习
其中
0 1
13
六 系统函数方块图及其简化
• 方块图变换法则： • （1）各前向通路传递函数的乘积不变； • （2）各回路传递函数的乘积不变。
14
15
方块图简化的一般方法:
向前或向后移动相加点或引出点，但是
相加点的移动不要越过引出点，引出点
的移动不要越过相加点，可重复移动，
目的是使各个回路没有交叉点。
由两张图组成: 对数幅频特性和相频特性
L( ) 20lg A( ) 与的关系称为对数幅频特性
()与的关系称为相频特性
作图方法： 先比例积分，然后按照转折频率由小到大的顺 序。（先化为典型环节串联形式——常数为1， 找到开环增益，转折频率为时间常数的倒数） 分型数画图。
33
详细总结一般 型系统伯德图的作图方法如下： m m K j i 1[ k 2 ( j )2 2 k k ( j ) 1] i 1 k 1 G j n n j jTl 1[Tr 2 ( j )2 2 rTr ( j ) 1]
几个中间点； (4)大致勾勒出曲线即可。
35
开环对数幅频特性曲线与动态性能、稳态性能的关系
低频段:L(ω) 曲线在第一个转折频率之前的区段. 低频段反映了系统的稳态性能
xo (t ) X 0 A(1 ) sin[ 1t 0 (1 )]
28
极坐标图
极坐标图:频率特性函数 G j 是输入频率
的复变函数，是一种变换，当 从 0 逐渐
增长至 时，G j 作为一个矢量， 其端点在复平面相应的轨迹。
也叫幅相曲线
又称 Nyquist 图，简称为乃氏图。
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3、典型环节的传递函数
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一、单选题（共20题，40分）1、在伯德图中反映系统抗高频干扰能力的是( )（2.0）A、低频段B、中频段C、高频段D、无法反应正确答案： C2、设单位负反馈控制系统的开环传递函数G(s)=，其中K>0,a>0，则闭环控制系统的稳定性与（）o（2.0）A、K值的大小有关B、a值的大小有关C、a和K值的大小有关D、a和K值的大小无关正确答案： D3、关于线性系统稳态误差，正确的说法是：( )（2.0）A、一型系统在跟踪斜坡输入信号时无误差B、C、增大系统开环增益K可以减小稳态误差D、增加积分环节可以消除稳态误差，而且不会影响系统稳定性正确答案： C4、传递函数定义线性定常系统在零初始状态下系统输出拉氏变换与输入拉氏变换之（）。
（2.0）A、积B、比C、和D、差正确答案： B5、下列系统中属于不稳定的系统是( )。
（2.0）A、闭环极点为的系统B、闭环特征方程为的系统C、阶跃响应为的系统D、脉冲响应为的系统正确答案： D6、系统开环对数幅频特性L(ω)中频段主要参数的大小对系统的（）性能无影响。
（2.0）A、动态B、稳态C、相对稳定性D、响应的快速性正确答案： D7、设控制系统的开环传递函数为，该系统为( )（2.0）A、 0型系统B、Ⅰ型系统C、Ⅱ型系统D、Ⅲ型系统正确答案： B8、确定系统根轨迹的充要条件是（）。
（2.0）A、根轨迹的模方程B、根轨迹的相方程C、根轨迹增益D、根轨迹方程的阶次正确答案： C9、高阶系统的主导闭环极点越靠近虚轴，则系统的 ( )（2.0）A、准确度越高B、准确度越低C、响应速度越快D、响应速度越慢正确答案： D10、闭环系统的动态性能主要取决于开环对数幅频特性的( )（2.0）A、低频段B、开环增益C、高频段D、中频段正确答案： D11、Z变换中复变量z的物理含义是什么？（2.0）A、滞后一个采样周期。
B、超前一个采样周期。
C、跟复变量s一样。
D、没有什么物理含义，就是为了计算方便。
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3.化简结构图求传递函数 ①结构图化简的方法有：
第二章
1、串联方框的简化 2、并联方框的简化 3、反馈连接方框的简化 4、比较点的移动 5、引出点移动
结构图化简原则
❖多个方框串联原则：总传递函数等于各方框传递函数之积。 ❖多个方框并联原则：总传递函数等于各方框传递函数之代数和。
有源校 正装置
无相移校正装置 相位超前校正装置 相位滞后校正装置 相位滞后—超前校正装置
4. 常用校正装置的特性
无源校正网络：电阻电容元件电路 有源校正网络：电阻电容元件电路+线性集成运算放大器
5. 串联校正的分类
1.串联超前校正：
利用超前网络的相角超前特性进行校正
2.串联滞后校正：
利用滞后网络的高频衰减特性进行校正
3.串联超前—滞后校正
第七章
1.为了从采样信号中不失真地复现原连续信号,采样周期T与频率
分量ωm的关系是：
2
T
2m
2.闭环系统脉冲传递函数形式的证明
闭环脉冲传递函数是闭环离散系统输出信号的Z变换与输入信
号的Z变换之比，即
(z) C(z) R(z)
P.276表7-3列出了典型的闭环离散系统及其输出的Z变换函数
G(s) 2(s 2) (s 1)(s 4)
G(s) (0.5s 1) (s 1)(0.25s 1)
第二章
2.传递函数的相关内容
③ 模态与闭环特征根的关系：e pit
④ 根据给定的零初条件下的系统阶跃响应形式，求得系统的 单位脉冲响应 第一步：根据给定的零初条件下的系统阶跃响应形式，写出闭 环传递函数的表达式； 第二步：得到系统输出s域的表达式； 第三步：对系统输出进行拉式反变换。
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R(s)
G1
H1/G1G4 + H3- H4 G2 H2/G1G2 G3 G4 C(s)
R(s)
-
H1/G1G4 + H3- H4+H2/G1G2 G1G2G3G4 C(s)
G1G 2G3G 4 C(s) = R(s) 1+G 2G3 H1 +G3G 4 H2 +G1G 2G3G 4(H3 -H4 )
解: p （1） a、 1 = 0; p2 = 1.5 + 1.5 j; p3 = 1.5 1.5 j ） 、 b、实轴上根轨迹为 －∞，0]段 、实轴上根轨迹为[－ ， 段 pi zi (2k ± 1)π π = ± ,π σ= =1 +j c、渐近线 φk = 、 nm 3 nm p2× j2.12 3 2 d、与虚轴交点 D( s) = s + 3s + 1.5s + K 、
解:根据原网络，建立它的S域模型 （R R Cs + R） C (s) = R R(s) 根据原网络，建立它的S ， 1 2 1 2
R2 1 R1R2C C (s)s + R1 C (s) = R2 R(s) Cs R2 + 1 R2 Cs = 两边取拉氏逆变换得： C(s) = R(s) 两边取拉氏逆变换得： R RRCs + R dc(t ) 1 1 2 1
3、在系统设计、校正时，通常希望系统的开环对数幅频特性曲 在系统设计、校正时， 线的低频段、中高频和高频段应达到的要求是什么？为什么？ 线的低频段、中高频和高频段应达到的要求是什么？为什么？ (1).要求低频段有一定的高度 要求低频段有一定的高度（ 较大） 解: (1).要求低频段有一定的高度（即K较大）和斜率绝对值要大 即系统型别较高），可以减小系统的稳态误差； ），可以减小系统的稳态误差 （即系统型别较高），可以减小系统的稳态误差； (2).要求中频段有一定的宽度和斜率绝对值要小 要求中频段有一定的宽度和斜率绝对值要小（ (2).要求中频段有一定的宽度和斜率绝对值要小（一般为 20dB/dec），可以提高系统的动态性能指标； ），可以提高系统的动态性能指标 -20dB/dec），可以提高系统的动态性能指标； (3).要求高频段的斜率绝对值要大 可以更好地抑制高频干扰。 要求高频段的斜率绝对值要大， (3).要求高频段的斜率绝对值要大，可以更好地抑制高频干扰。 二、改错题 传递函数描述系统的固有特性。其系数和阶次可以是虚数， １.传递函数描述系统的固有特性。其系数和阶次可以是虚数，即 实数 与系统内部结构参数有关,也与输入量初始条件等外部因素有关。 与系统内部结构参数有关,也与输入量初始条件等外部因素有关。 无关 2.劳斯稳定判据只能判断线性定常系统的稳定性 劳斯稳定判据只能判断线性定常系统的稳定性， 可以 2.劳斯稳定判据只能判断线性定常系统的稳定性，不可以判断相 对稳定性； 对稳定性； 3.命题 命题a 阻尼比决定了超调量的大小。 3.命题a： 阻尼比决定了超调量的大小。 命题b 相位裕量决定了超调量的大小。 命题b：相位裕量决定了超调量的大小。 命题a和命题b 不矛盾 命题a和命题b是矛盾的 4.闭环传递函数中积分环节的个数决定了系统的类型 闭环传递函数中积分环节的个数决定了系统的类型。 4.闭环传递函数中积分环节的个数决定了系统的类型。 开环 5.梅森增益公式适用于线性和非线性定常系统 梅森增益公式适用于线性和非线性定常系统。 5.梅森增益公式适用于线性和非线性定常系统。 线性定常系统
自动控制原理复习(精辟)
第二章 控制系统的数学模型复习指南与要点解析要求： 根据系统结构图应用结构图的等效变换和简化或者应用信号流图与梅森公式求传递函数（方法不同，但同一系统两者结果必须相同）一、控制系统3种模型，即时域模型----微分方程；※复域模型——传递函数；频域模型——频率特性。
其中重点为传递函数。
在传递函数中，需要理解传递函数定义（线性定常系统的传递函数是在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比）和性质。
零初始条件下：如要求传递函数需拉氏变换，这句话必须的。
二、※※※结构图的等效变换和简化--- 实际上，也就是消去中间变量求取系统总传递函数的过程。
1．等效原则：变换前后变量关系保持等效，简化的前后要保持一致（P45）2．结构图基本连接方式只有串联、并联和反馈连接三种。
如果结构图彼此交叉，看不出3种基本连接方式，就应用移出引出点或比较点先解套，再画简。
其中：※引出点前移在移动支路中乘以()G s 。
（注意：只须记住此，其他根据倒数关系导出即可）引出点后移在移动支路中乘以1/()G s 。
相加点前移在移动支路中乘以1/()G s 。
相加点后移在移动支路中乘以()G s 。
[注]：乘以或者除以()G s ，()G s 到底在系统中指什么，关键看引出点或者相加点在谁的前后移动。
在谁的前后移动，()G s 就是谁。
例1:)解法 1:1) 3()G s 前面的引出点后移到3()G s的后面（注：这句话可不写，但是必须绘制出下面的结构图，)2) 消除反馈连接)3) 消除反馈连接4) 得出传递函数123121232123()()()()()1()()()()()()()()()G s G s G s C s R s G s G s H s G s G s H s G s G s G s =+++ [注]：可以不写你是怎么做的，但是相应的解套的那步结构图必须绘制出来。
一般，考虑到考试时间限制，化简结构图只须在纸上绘制出2-3个简化的结构图步骤即可，最后给出传递函数()()C s R s =。
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《自动控制原理》复习提纲（电气工程和自动化11级）第1章基本概念1.什么是自动控制？控制器？被控对象?自动控制系统？答：自动控制：在没有人的直接参与的情况下，利用控制装置使某种设备、工作机械或生产过程的某些物理量或工作状态能自动地按照预定的规律或数值运行或变化。
控制器：通常把控制的装置称为控制器。
被控对象：被控制的设备或工作机械。
自动控制系统：控制器和被控对象的总体。
2.什么是开环、闭环、复合控制？答：开环控制：指系统输出端与输入端之间不存在反馈回路，或者说系统的输出量不对系统的控制产生任何作用的控制过程。
闭环控制：指系统输出端与输入端之间存在反馈回路，或者说系统输出量直接或间接地参与了系统的控制。
复合控制：指开环和闭环控制相结合的一种控制方式，它是在闭环控制基础上再引入一条给定输入信号或扰动作用所构成的顺馈通路。
3.闭环控制是按什么原理，按什么进行控制的？答：闭环控制实际上是根据负反馈原理，按偏差量进行控制的。
4.对控制系统的基本要求是什么？答：（1）稳定性；（2）动态特性（快速）；（3）稳态特性（准确）5.控制系统的分类。
答：一，按使用的数学模型分：（1）线性系统和非线性系统；（2）连续系统和离散系统；二，按给定输入信号特征分：（1）恒值系统；（2）随动系统；（3）程序控制系统第2章数学模型1.列写简单电路的微分方程。
例2-1，例2-4。
2.什么是系统的传递函数？有什么特点？答：在初始条件为零时，系统（或环节）输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换（象函数）之比，称为系统（或环节）的传递函数。
特点：（1）传递函数是一种数学模型，与系统的微分方程相对应。
（2）是系统本身的一种属性，与输入量的大小和性质无关。
（3）只适用于线性定常系统。
（4）传递函数是单变量系统描述，外部描述。
（5）传递函数是在零初始条件下定义的，不能反映在非零初始条件下系统的运动情况。
（6）一般为复变量S 的有理分式，即n ≧m。
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第二章 控制系统的数学模型1、传递函数（线性系统在零初始状态，脉冲输入下的响应）2、计算系统的传递函数1）列写常微分方程，得到输入r(t)与c(t)的常微分方程，再使用拉普拉斯变换为频域形式（记得系统初始状态为零），求取)()(s R s C 。
2）一些最基本的拉普拉斯变换公式as A Ae s A At s A At sA A s R s dtt r d s Y s dtt y d atnnnn+⇔⇔⇔⇔⇔⇔-,21,,),()(),()(322 3）进行反拉普拉斯变换时，即将系统的频域表达式转换成为时域表达式，一般采用部分分式分解的方法，求其中的系数时用到了留数法，见p63例2-35。
4）系统的开环传递函数与闭环传递函数的异同，注意开环传递函数和单位负反馈系统闭环传递函数之间的数学关系。
对单位负反馈系统，即H(s)=1,开环和闭环传递函数关系)()(1)(,)(11)(s s s G s G s ΦΦ-=+=Φ。
3、结构图化简和梅逊增益公式 1）理解一些基本概念比较点，引出点，前向通路，回路2）结构图化简的基本原则：保持前向通路传递函数不变，保持回路传递函数不变3）化简规则包括：引出点的前（后）移动，比较点的前（后）移动，并联相加，串联相减，回路等效（见下图）。
4）根据信号流图使用梅逊增益公式计算传递函数步骤：（a ）找出所有回路，并列写回路传递函数i L ；(b)找出所有前向通路，并列写前向通路的传递函数k P ；（c ）判断是否存在互不接触的独立回路，并根据公式 (11)-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=∆∑∑=≠ni n j i j i i L L L 计算分母∆，其中第i 个和第j 个回路互不接触；（d ）利用相同的原理计算（a ）中与第k 条前向通路不接触的回路的k ∆；（e ）根据梅逊增益公式∆∆∑=mk kkP 1计算系统输入到输出的传递函数)()(s R s C 。
第二章 典型习题答案课本的以下典型例题，要认真看一下，最好能试做一下。
自动控制原理总复习
四、线性系统的根轨迹法
• 3、根轨迹方程
– 1G (s)H(s)0
m
(s zj)
– K * j1 n
1
(s pi)
i1
– 相角条件和幅值条件
m
n
• (s z j) (s p i) (2 k 1 ),(k 0 , 1 , 2 ,L )
j 1
i 1
n
s pi
K * i1
•
m
自动控制原理
总复习
一、自动控制的一般概念
• 1、自动控制系统基本控制方式
– 反馈控制（按偏差控制）
• 负反馈 • 正反馈
– 开环控制（按定量控制或按扰动控制） – 复合控制（按偏差和扰动控制）
一、自动控制的一般概念
• 2、对自动控制系统的基本要求
– 稳定性 – 快速性 – 准确性
二、控制系统的数学模型
a0(s p1)(s p2) (s pn)
n
(s pj )
j1
K * b 0 根轨迹增益
a0
j
0 z2 z1
G (s)C (s)b m (1 s 1 )(2 2 s2 222 s 1 )L(is 1 ) R (s) a n(T 1 s 1 )(T 2 2 s2 22 T 2 s 1 )L(T js 1 )
• 非主导极点会增大峰值时间，使系统响应速度变慢 • 零极点作用“对消”
三、线性系统的时域分析法
• 4、系统稳定性
– 稳定性的充要条件：闭环极点位于虚轴左侧 – 劳斯判据
• 5、稳态误差 R(s) esslsi m 0sE(s)lsi m 0s1G (s)H(s)
– 系统类型
• 0型、I型、II型
szj
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第一章的概念1、典型的反馈控制系统基本组成框图：2、自动控制系统基本控制方式：(1)、反馈控制方式；(2)、开环控制方式；(3)、复合控制方式。
3、基本要求的提法：可以归结为稳定性（长期稳定性）、准确性（精度）和快速性（相对稳定性）。
第二章要求:1、掌握运用拉氏变换解微分方程的方法；2、牢固掌握传递函数的概念、定义和性质；3、明确传递函数与微分方程之间的关系；4、能熟练地进行结构图等效变换；5、明确结构图与信号流图之间的关系；6、熟练运用梅逊公式求系统的传递函数；例1 某一个控制系统动态结构图如下，试分别求系统的传递函数:)()(,)()(1211sRsCsRsC，)()(,)()(2122SRSCsRsC。
43213211243211111)()(,1)()()(GGGGGGGsRsCGGGGsGsRsC--=-=例2 某一个控制系统动态结构图如下，试分别求系统的传递函数：)()(,)()(,)()(,)()(sNSEsRsEsNsCsRsC。
例3：1()i t2()i t1()u t()c t()r t1R2R1C2C(s)H(s)(s)GG1(s)(s)GGR(s)C(s)2121+=(s)H(s)(s)GG1(s)G-N(s)C(s)212+=将上图汇总得到：例4、一个控制系统动态结构图如下，试求系统的传递函数。
X r5214323211)()(W W W W W W S X S X r c ++=例5 如图RLC 电路，试列写网络传递函数 U c (s)/U r (s).=∆k K K 1解: 零初始条件下取拉氏变换：例6某一个控制系统的单位阶跃响应为：t te et C --+-=221)(，试求系统的传递函数、微分方程和脉冲响应。
解：传递函数： )1)(2(23)(+++=s s s s G ，微分方程：)(2)(3)(2)(3)(22t r dt t dr t c dt t dc dtt c d +=++ 脉冲响应：t te et c 24)(--+-=例7一个控制系统的单位脉冲响应为t te et C ---=24)(，试求系统的传递函数、微分方程、单位阶跃响应。
解：传递函数： )1)(2(23)(+++=s s s s G ，微分方程：)(2)(3)(2)(3)(22t r dt t dr t c dt t dc dtt c d +=++ 单位阶跃响应为：t te et C --+-=221)(第三章 本章要求：1、稳定性判断1）正确理解系统稳定性概念及稳定的充要条件。
闭环系统特征方程的所有根均具有负实部；或者说，闭环传递函数的极点均分布在平面的左半部。
2）熟练运用代数稳定判据判定系统稳定性，并进行分析计算。
2、稳态误差计算1）正确理解系统稳态误差的概念及终值定理应用的限制条件。
2）牢固掌握计算稳态误差的一般方法。
3）牢固掌握静态误差系数法及其应用的限制条件。
3、动态性能指标计算1）掌握一阶、二阶系统的数学模型和典型响应的特点。
2）牢固掌握一阶、二阶系统特征参数及欠阻尼系统动态性能计算。
3）掌握典型欠阻尼二阶系统特征参数、极点位置与动态性能的关系。
(t)()()()(22t u t u dtt du RC dt t u d LC r c c c =++11)()()(2++==RCs LCs s U s U s G r c )()()()(2s U s U s RCsU s U LCs r cc c =++:., )/(40.5, ,1.n 解性能指标试求系统的动态信号时当输入信号为单位阶跃秒弧度其中二阶系统如图所示例==ωξ)(60.0 t 46.35.0141 )(05.16022246.305.11r 22d 5.05.011====-=-=====-----ξωωβπξωβπξξarctgarctgn n 秒弧度ο例3 已知图中T m=，K=5，求系统单位阶跃响应指标。
解3：系统闭环传递函数为化为标准形式即有 2n=1/T m=5, n2=K/T m=25解得n=5, ζ=例4某控制系统动态结构图如下，要求系统阻尼比ξ=,确定K值；并计算单位阶跃函数输入时闭环系统响应的σ%、ts（5%）。
闭环传递函数：)1(+sTsKmR(s(-)C(s)KsTsKsGsGsm++=+=Φ)1()(1)()(22222///)(nnnmmmssTKTssTKsωζωω++=++=Φ%3.16%100%21=⨯=--ζπζσe秒4.15.3==nstςω秒73.012=-==ςωπωπndpt秒486.0=-=drtωβπ0.02)(14.245.05.45.4t0.05)(57.145.05.35.3tss=∆=⨯===∆=⨯==秒秒nnξωξω.K,1%3.16c(t),2p之值及内反馈系数益试确定前置放大器的增秒峰值时间和调量有超具阶跃响应要求该系统的单位如图所示已知某控制系统方框图例τσ==ptrad/s3.63n21pt0.5%3.16%10021/pp)1(:=-===⨯--=ωξωπξξξπσωξσ得又得由及参数计算出二阶系统和由已知解nenpt0.26332.1102101n2222s2R(s)C(s)(3)10)101(2s10KR(s)C(s),(2)===+=++=+++=τωτξωωξωωτKKnnsnnKs解得与标准形式比较并化成标准形式求闭环传递函数10)51(10)(2+++=Φs K s s ，由K n n 512,,,10+==ζωω 得K=；例5：设控制系统的开环传递函数系统为 )32(54)(22+++=s s s s s G ，试用劳斯判据判别系统的稳定性，并确定在复平面的右半平面上特征根的数目。
解：特征方程：0542234=++++s s s s劳斯表控制系统不稳定，右半平面有两个特征根。
例6：一个单位负反馈控制系统的开环传递函数为：G （S ）=)125.0)(11.0(++S S S K，要求系统闭环稳定。
试确定K 的范围(用劳斯判据)。
解：特征方程：0035025.023=+++K s s s劳斯表系统稳定的K 值范围（0，14）例6：系统的特征方程： 解：列出劳斯表：因为劳斯表中第一列元素无符号变化，说明该系统特征方程没有正实部根，所以：系统稳定。
1、根轨迹方程 ),2,1,0(1)()()12(11*Λ ± ± = =-=--+==∏∏k e p s z s K k j ni im j j π%5.9%100%21=⨯=--ζπζσe 秒4.25.3==ns t ςω2、根轨迹绘制的基本法则3、广义根轨迹（1）参数根轨迹 （2）零度根轨迹例1: 某单位反馈系统，（1）3条根轨迹的起点为;2,1,0321-=-==p p p(2) 实轴根轨迹 （0，-1）；（-2，-∞） （3）渐近线：3条。
渐近线的夹角：渐近线与实轴的交点：（4）分离点： 得： ， （5）与虚轴的交点 系统的特征方程：实部方程: 虚部方程： 解得：(舍去)临界稳定时的K =6例2已知负反馈系统闭环特征方程025.025.0)(23=+++=K s s s s D ，试绘制以K 为可变参数的根轨迹图； 由根轨迹图确定系统临界稳定时的K 值；解 特征方程025.025.0)(23=+++=K s s s s D 得根轨迹方程为1)5.0(25.02-=+s s K；（1）根轨迹的起点为∞-===终点为;5.0,0321p p p （无开环有限零点）；（2） 根轨迹共有3支，连续且对称于实轴；)2)(1()(*++=s s s K s G 10321011-=--+-+=--=∑∑==)()(m n z p σm i in i i aπ ,3π,3πm n 1)π(2k a- =-+=ϕ021111=++++d d d )(58.1,42.021舍去 -= -=d d 03*2=+-K ω023=+-ωω⎩⎨⎧==00*K ω⎩⎨⎧=±=62*K ω0230)23(0)()(1*23*23=++--→=+++=+=K j j K s s s s H s G j s ωωωω即,1||||11* =--∏∏==ni i mj j p s z s K π)12()()(11+=-∠--∠∑∑==k p s z s n i im j j（3） 根轨迹的渐近线有条3=-m n ，33.031;180,60)12(11-≈-=--=±=-+=∑∑==mn zp mn k n i mj ji a a σπϕοο；（4） 实轴上的根轨迹为]5.0,(]5.0,0[-∞⋃-；（5）分离点，其中分离角为2/π±，分离点满足下列方程∑==++=-ni id d p d 105.0211； 解方程得 17.061-≈-=d ； （7） 根轨迹与虚轴的交点：将ωj s =代入特征方程，可得实部方程为025.02=K ＋－ω；虚部方程为 025.03=+-ωω；1,5.02,1=±=∴K ω 由根轨迹图可得系统临界稳定时1=K ；由上述分析可得系统概略根轨迹如右图所示：例3已知负反馈系统闭环特征方程02410)(23=+++=K s s s s D , 试绘制以K 为可变参数的根轨迹图; 由根轨迹图确定系统临界稳定时的K 值.解 特征方程02410)(23=+++=K s s s s D 得根轨迹方程为1)6)(4(-=++s s s K；（1）3条根轨迹的起点为;6,4,0321-=-==p p p(2) 渐近线：3条。
渐近线的夹角： 渐近线与实轴的交点： （3）分离点：即 得 （舍去） （4）与虚轴的交点系统的特征方程：s(s+4)(s+6)+K *=0令代入，求得 实部方程: 虚部方程： 解得： (舍去)οοο180,6013)12(180±=-+±=k a ϕ33.330)640(-=-++-=a σ061411=++++d d d 0242032=++d d 1.52-=d 57.11-=d ωj s =010*2=-K ω0243=-ωω⎩⎨⎧==00*K ω⎩⎨⎧=±=2409.4*K ω临界稳定时的K =240第五章 本章要求：1、正确理解频率特性基本概念；2、掌握开环频率特性曲线的绘制； （1）开环幅相曲线的绘制方法1）确定开环幅相曲线的起点 和终点 ; 2）确定开环幅相曲线与实轴的交点或 为穿越频率，开环幅相曲线曲线与实轴交点为3）开环幅相曲线的变化范围（象限和单调性）。
（2）开环对数频率特性曲线1）开环传递函数典型环节分解；2）确定一阶环节、二阶环节的交接频率，将各交接频率标注在半对数坐标图的 轴上；3）绘制低频段渐近特性线：低频特性的斜率取决于，还需确定该直线上的一点，可以采用以下三种方法：方法一：在 范围内，任选一点 ，计算:方法二：取频率为特定值 ，则 方法三：取 为特殊值0，则有 ，即 4）每两个相邻交接频率之间为直线，在每个交接频率点处，斜率发生变化，变化规律取决于该交接频率对应的典型环节的种类，如下表所示。