2011年全国高考文科数学试题及答案-重庆

2011年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（文史类）满分150分 考试时间120分钟注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在等差数列{}n a 中，22a =，3104,a a =则＝A ．12B ．14C ．16D ．182．设2,{|20},U R M x x x ==->，则U M ð=A ．[0，2]B ．()0,2C ．()(),02,-∞⋃+∞D ．(][),02,-∞⋃+∞3．曲线223y x x =-+在点（1，2）处的切线方程为 A ．31y x =- B ．35y x =-+C ．35y x =+D ．2y x =4．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）125 120 122 105 130 114 116 95 120 134则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为 A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.55．已知向量(1,),(2,2),a k b a b a ==+且与共线，那么a b ⋅的值为A ．1B ．2C ．3D ．46．设11333124log ,log ,log ,,,233a b c a b c ===则的大小关系是A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<7．若函数1()2f x x n =+-(2)n >在x a =处取最小值，则a =A ．1B ．1C ．3D ．48．若△ABC 的内角，,,A B C 满足6sin 4sin 3sin A B C ==，则cos B =A B ．34C D ．11169．设双曲线的左准线与两条渐近线交于,A B 两点，左焦点在以AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为A ．B ．C ．D ．，)+∞10S ABCD -的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为A ．2B ．2C ．32D 二、填空题，本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上 11．6(12)x +的展开式中4x 的系数是 12．若3cos 5a =-,且3(,)2a ππ∈，则tan a = 13．过原点的直线与圆222440x y x y +--+=相交所得弦的长为2，则该直线的方程为14．从甲、乙等10位同学中任选3位去参加某项活动，则所选3位中有甲但没有乙的概率为 15．若实数,,222,2222,aba ba b c a b c a b c c ++++=++=满足则的最大值是三、解答题，本大题共6小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）设{}na 是公比为正数的等比数列，12a =，324a a =+。

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{}n n a b +的前n 项和n s 。

17．（本小题满分13分，（I ）小问6分，（II ）小问7分）某市公租房的房源位于A 、B 、C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中： （I ）没有人申请A 片区房源的概率；（II ）每个片区的房源都有人申请的概率。

18．（本小题满分13分，（I ）小问7分，（II ）小问6分）设函数()sin cos )cos ().f x x x x x x R π=+∈ （1）求()f x 的最小正周期；（II ）若函数()y f x =的图象按,42b π⎛=⎝⎭平移后得到函数()y g x =的图象，求()y g x =在(0,]4π上的最大值。

19．（本小题满分12分，（Ⅰ）小题5分，（Ⅱ）小题7分）设 3.2()21f x x ax bx =+++的导数为()f x '，若函数()y f x '=的图像关于直线12x =-对称，且(1)0f '=． （Ⅰ）求实数,a b 的值 （Ⅱ）求函数()f x 的极值20．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）如题（20）图，在四面体A B C D 中，平面ABC ⊥平面ACD ，,2,1AB BC AC AD BC CD ⊥==== （Ⅰ）求四面体ABCD 的体积；（Ⅱ）求二面角C-AB-D 的平面角的正切值。

21．（本小题满分12分。

（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）如题（21）图，椭圆的中心为原点0，离心率e=2，一条准线的方程是x = （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）设动点P 满足：2OP OM ON =+，其中M 、N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为12-，问：是否存在定点F ，使得PF 与点P 到直线l ：x =为定值；若存在，求F 的坐标，若不存在，说明理由。

题（21）图参考答案一、选择题1—5 DAACD 6—10 BCDBA 二、填空题： 11．240 12．4313．20x y -= 14．73015．22log 3- 三、解答题：满分75分 16．（本题13分）解：（I ）设q 为等比数列{}n a 的公比，则由21322,4224a a a q q ==+=+得， 即220q q --=，解得21q q ==-或（舍去），因此 2.q = 所以{}n a 的通项为1*222().n n n a n N -=⋅=∈（II ）2(12)(1)1 2.122n n n n S n --=+⨯+⨯- 1222.n n +=+-17．（本题13分）解：这是等可能性事件的概率计算问题。

（I ）解法一：所有可能的申请方式有34种，而“没有人申请A 片区房源”的申请方式有24种。

记“没有人申请A 片区房源”为事件A ，则44216().813P A ==解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验. 记“申请A 片区房源”为事件A ，则1().3P A =由独立重复试验中事件A 恰发生k 次的概率计算公式知，没有人申请A 片区房源的概率为004441216(0)()().3381P C ==（II ）所有可能的申请方式有34种，而“每个片区的房源都有人申请”的申请方式有1212334243()C C C C C 或种.记“每个片区的房源都有人申请”为事件B ，从而有12123342434443644()(()).99333C C C C A P B P B =====或 18．（本题13分）解：（I ）21()sin 22f x x x =+1sin 2cos 2)21sin 22222sin(2)3x x x x x π=++=++=++ 故()f x 的最小正周期为2.2T ππ== （II）依题意()()4g x f x π=-+sin[2()]43sin(2)6x x πππ=-+++=-+ 当[0,],2[,],()4663x x g x ππππ∈-∈-时为增函数， 所以()[0,]4g x π在上的最大值为()4g π= 19．（本题12分）解：（I ）因322()21,()62.f x x ax bx f x x ax b '=+++=++故从而22()6(),66a a f x xb '=++-即()y f x '=关于直线6a x =-对称，从而由题设条件知1, 3.62a a -=-=解得 又由于(1)0,620,12.f ab b '=++==-即解得 （II ）由（I ）知32()23121,f x x x x =+-+2()6612f x x x '=+-6(1)(2).x x =-+令12()0,6(1)(2)0.2, 1.f x x x x x '=-+==-=即解得 当(,2),()0,()(,2)x f x f x '∈-∞->-∞-时故在上为增函数；当(2,1),()0,()(2,1)x f x f x '∈-<-时故在上为减函数； 当(1,),()0,()(1,)x f x f x '∈+∞>+∞时故在上为增函数；从而函数1()2f x x =-在处取得极大值2(2)21,1f x -==在处取得极小值(1) 6.f =- 20．（本题12分）解法一：（I ）如答（20）图1，过D 作DF ⊥AC 垂足为F ， 故由平面ABC ⊥平面ACD ，知DF ⊥平面ABC ，即DF 是四面体ABCD 的面ABC 上的高，设G 为边CD 的中点， 则由AC=AD ，知AG ⊥CD ，从而21122AG AG CD AC DF CD AG DF AC ===⋅⋅=⋅==由得由1,2ABC Rt ABC AB S AB BC ∆∆===⋅=中 故四面体ABCD的体积13ABC V S DF ∆=⋅⋅= （II ）如答（20）图1，过F 作FE ⊥AB ，垂足为E ，连接DE 。

由（I ）知DF ⊥平面ABC 。

由三垂线定理知DE ⊥AB ，故∠DEF 为二面角C —AB —D 的平面角。

在7,,4Rt AFD AF ∆===中 在Rt ABC ∆中，EF//BC ，从而EF ：BC=AF ：AC ，所以7.8AF BC EF AC ⋅== 在Rt △DEF中，tan DF DEF EF == 解法二：（I ）如答（20）图2，设O 是AC 的中点，过O 作OH ⊥AC ，交AB 于H ，过O 作OM ⊥AC ，交AD 于M ，由平面ABC ⊥平面ACD ，知OH ⊥OM 。

因此以O 为原点，以射线OH ，OC ，OM 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，可建立空间坐标系O —xyz.已知AC=2，故点A ，C 的坐标分别为A （0，—1，0），C （0，1，0）。

设点B 的坐标为11(,,0),,||1B x y AB BC BC ⊥=由，有2211221111111,(1)1,().11,22x y x y x x y y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩解得舍去 即点B的坐标为1(,0).22B 又设点D 的坐标为22(0,,),||1,||2,D y z CD AD ==由有222222222222(1)1,(1)4,33,,44).y z y z y y z z ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩解得舍去 即点D的坐标为3(0,4D 从而△ACD 边AC上的高为2||h z ==又||| 1.AB BC ===故四面体ABCD的体积11||||32V AB BC h =⨯⋅⋅=（II ）由（I）知37(,0),(0,,2244AB AD == 设非零向量(,,)n l m n =是平面ABD 的法向量，则由n AB ⊥有30.22m += （1） 由n AD ⊥，有70.44m n += （2）取1m =-，由（1），（2），可得1,1515l n n ===-即 显然向量(0,0,1)k =是平面ABC 的法向量，从而cos ,tan ,n k n k <>==<>==故即二面角C —AB —D21．（本题12分）解：（I）由2,2c a e a c===解得2222,2a c b a c ===-=，故椭圆的标准方程为221.42x y += （II ）设1122(,),(,),(,)P x y M x y N x y ，则由2OP OM ON =+ 得112212121212(,)(,)2(,)(2,2),2,2.x y x y x y x x y y x x x y y y =+=++=+=+即因为点M ，N 在椭圆2224x y +=上，所以2222112224,24x y x y +=+=，故222222121212122(44)2(44)x y x x x x y y y y +=+++++2222112212121212(2)4(2)4(2)204(2).x y x y x x y y x x y y =+++++=++设,OM ON k k 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题设条件知12121,2OM ON y y k k x x ⋅==-因此121220,x x y y += 所以22220.x y += 所以P点是椭圆221=上的点，该椭圆的右焦点为F，离心率:2e l x ==直线是该椭圆的右准线，故根据椭圆的第二定义，存在定点,0)F ，使得|PF|与P 点到直线l 的距离之比为定值。