【建模 精品资源】马尔科夫链
马尔科夫链例题整理通用课件
马尔科夫链的理论。
在其他领域的应用
要点一
总结词
除了大数据和人工智能领域，马尔科夫链在其他领域也有 广泛的应用前景。
要点二
详细描述
例如在物理学中的统计力学、生物学中的基因序列分析、 经济学中的市场预测和交通规划等领域，马尔科夫链都可 以发挥重要作用。随着科学技术的发展，马尔科夫链的应 用前景将更加广阔。
05
马尔科夫链的优化与改进
状态转移概率优化
状态转移概率矩阵调整
01
根据实际数据和业务需求，对状态转移概率矩阵进行优化，以
提高模型预测的准确性和稳定性。
状态转移概率学习
02
通过训练数据学习状态转移概率，利用监督学习或强化学习等
方法对状态转移概率进用平滑技术处理状态转移概率，以减少模型预测的误差和不
用户行为分析
总结词
利用马尔科夫链分析用户在互联网上 的行为模式和习惯。
详细描述
通过分析用户在互联网上的行为数据 ，利用马尔科夫链可以发现用户的行 为模式和习惯，从而更好地理解用户 需求，优化产品设计和服务。
自然语言处理
总结词
利用马尔科夫链进行文本生成、语言模型等自然语言处理任 务。
详细描述
马尔科夫链在自然语言处理领域有着广泛的应用，如文本生 成、语言模型等。通过建立状态转移概率矩阵，可以模拟文 本生成的过程，从而生成符合语法和语义规则的自然语言文 本。
详细描述
马尔科夫链可以用于对大量数据进行建模， 通过分析数据之间的转移概率，预测未来的 趋势和模式。在大数据领域，马尔科夫链可 以应用于推荐系统、股票市场预测、自然语 言处理等领域。
马尔可夫链
马尔可夫链马尔可夫链（Markov chains ）是一类重要的随机过程，它的状态空间是有限的或可数无限的。
经过一段时间系统从一个状态转到另一个状态这种进程只依赖于当前出发时的状态而与以前的历史无关。
马尔可夫链有着广泛的应用，也是研究排队系统的重要工具。
1) 离散时间参数的马尔可夫链 ①基本概念定义 5.7 设{()0,1,2,}X n n ∙∙∙=，是一个随机过程，状态空间{0,1,2,}E =，如果对于任意的一组整数时间120k n n n ∙∙∙≤<<<，以及任意状态12,,,k i i i E ∈，都有条件概率11{()|()}k k k k P X n i X n i --=== （5-17）即过程{()0,1,2,}X n n ∙∙∙=，未来所处的状态只与当前的状态有关，而与以前曾处于什么状态无关，则称{()0,1,2,}X n n ∙∙∙=，是一个离散时间参数的马尔可夫链。
当E 为可列无限集时称其为可列无限状态的马尔可夫链，否则称其为有限状态的马尔可夫链。
定义5.8 设{()0,1,2,}X n n ∙∙∙=，是状态空间{0,1,2,}E =上的马尔可夫链，条件概率(,){()|()}ij p m k P X m k j X m i i j E =+==∈，、 （5-18）称为马尔可夫链{()0,1,2,}X n n ∙∙∙=，在m 时刻的k 步转移概率。
k 步转移概率的直观意义是：质点在时刻m 处于状态i 的条件下，再经过k 步（k 个单位时间）转移到状态j 的条件概率。
特别地，当1k =时，(,1){(1)|()}ij p m P X m j X m i =+== （5-19）称为一步转移概率，简称转移概率。
如果k 步转移概率(,)ij p m k i j E ∈，、，只与k 有关，而与时间起点m 无关，则{()}X n 称为离散时间的齐次马尔可夫链。
定义5.9 设{()0,1,2,}X n n ∙∙∙=，是状态空间{0,1,2,}E ∙∙∙=上的马尔可夫链，矩阵000101011101(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n j j jn p m k p m k p m k p m k p m k p m k P m k p m k p m k p m k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（5-20） 称为{()}X n 在m 时刻的k 步转移概率矩阵。
马尔可夫链的基础知识
马尔可夫链的基础知识马尔可夫链是一种数学模型，用于描述一系列随机事件的演变过程。
它的基本思想是，当前事件的发生只与前一个事件的状态有关，与更早的事件无关。
马尔可夫链在许多领域都有广泛的应用，如自然语言处理、金融市场分析、生物信息学等。
一、马尔可夫链的定义马尔可夫链由状态空间、状态转移概率和初始状态分布组成。
状态空间是指所有可能的状态的集合，用S表示。
状态转移概率是指从一个状态转移到另一个状态的概率，用P表示。
初始状态分布是指在初始时刻各个状态出现的概率分布，用π表示。
二、马尔可夫链的性质1. 马尔可夫性质：当前状态的发生只与前一个状态有关，与更早的状态无关。
即P(Xn+1|Xn,Xn-1,...,X1) = P(Xn+1|Xn)。
2. 遍历性质：从任意一个状态出发，经过有限步骤可以到达任意一个状态。
3. 唯一性质：对于给定的状态空间和状态转移概率，存在唯一的初始状态分布使得马尔可夫链收敛到平稳分布。
4. 平稳性质：当马尔可夫链收敛到平稳分布时，后续状态的分布不再改变。
三、马尔可夫链的应用1. 自然语言处理：马尔可夫链可以用于生成文本，如自动写诗、自动对话等。
通过学习语料库中的马尔可夫链模型，可以生成具有一定连贯性的文本。
2. 金融市场分析：马尔可夫链可以用于预测金融市场的走势。
通过分析历史数据，建立马尔可夫链模型，可以预测未来的市场状态。
3. 生物信息学：马尔可夫链可以用于基因序列分析。
通过建立马尔可夫链模型，可以预测基因序列中的隐含信息，如启动子、剪接位点等。
四、马尔可夫链的改进1. 高阶马尔可夫链：考虑当前状态与前几个状态的关系，可以建立高阶马尔可夫链模型。
高阶马尔可夫链可以更准确地描述事件的演变过程。
2. 隐马尔可夫链：考虑到状态不可观测的情况，可以建立隐马尔可夫链模型。
隐马尔可夫链可以用于序列标注、语音识别等领域。
五、总结马尔可夫链是一种描述随机事件演变过程的数学模型，具有马尔可夫性质、遍历性质、唯一性质和平稳性质。
马尔科夫链的基本原理和使用教程(Ⅱ)
马尔科夫链的基本原理和使用教程马尔科夫链是一种描述状态随机变化的数学模型，它在很多领域都有着广泛的应用，比如自然语言处理、生物信息学、金融工程等。
在本文中，我们将介绍马尔科夫链的基本原理以及如何使用它来建模和解决实际问题。
1. 马尔科夫链的基本原理马尔科夫链是一个随机过程，它具有“无记忆”的性质，即在给定当前状态的情况下，未来的状态只依赖于当前状态，而与过去的状态无关。
这种性质被称为马尔科夫性质，它在描述一些随机现象时非常有用。
一个马尔科夫链可以用一个状态空间和状态转移概率矩阵来描述。
状态空间是指所有可能的状态的集合，而状态转移概率矩阵则描述了在每个状态下转移到其他状态的概率。
通过状态转移概率矩阵，我们可以计算出在给定初始状态下，未来状态的概率分布。
2. 马尔科夫链的应用马尔科夫链在自然语言处理中有着广泛的应用，比如用来建模文本生成的过程。
通过分析大量的文本数据，我们可以构建一个马尔科夫链模型，用来预测下一个词语的概率分布。
这种方法可以被应用在语音识别、机器翻译等领域。
此外，马尔科夫链也可以用来建模股票价格的变化。
通过分析历史的股票价格数据，我们可以构建一个马尔科夫链模型，用来预测未来股票价格的变化。
这种方法可以被应用在金融工程领域，帮助投资者做出更准确的决策。
3. 使用教程要使用马尔科夫链来建模和解决实际问题，首先需要收集相关的数据。
比如如果我们想建模股票价格的变化，就需要收集历史的股票价格数据。
然后，我们可以利用这些数据来估计状态转移概率矩阵。
一种常见的方法是使用最大似然估计来估计状态转移概率矩阵。
通过最大似然估计，我们可以找到一个最符合观测数据的状态转移概率矩阵。
然后，我们可以使用这个估计的状态转移概率矩阵来计算未来状态的概率分布。
除了最大似然估计，还有其他一些方法可以用来估计状态转移概率矩阵，比如贝叶斯估计、马尔科夫链蒙特卡洛方法等。
在实际问题中，选择合适的估计方法是非常重要的。
最后，一旦我们估计出了状态转移概率矩阵，就可以使用这个马尔科夫链模型来进行预测和决策。
Markov Chain(马尔科夫链)
状态转换矩阵：
1 0 0 1 − ������ 0 ������ 0 1 − ������ 0 0 0 1 − ������ 0 0 0
0 0 ������ 0 0
0 0 0 ������ 1
0
赌徒问题（续）
• ������ =
0 ������ 1 − ������ 0 0 1 − ������ 0 0 0 0 0 ������ 0 0 0 0 1 − ������ 0 0 ������ 0 1 阵������的元素������������������ 等于从状态������������ 出发到达稳定时经过������������ 的次数的期望值。 推论：马尔可夫过程中，从非稳定状态������������ 出发，到达稳定状态时的步数期望值 等于矩阵������的������行元素的和。
赌徒问题
• 一个赌徒，假设拿两元钱，一次赌一美元，赢的概率是������，输的概率是1 − ������，当赢够4元，或者全部输光就不赌了。 • 状态转换图：
1 − ������ 1 1 − ������ 1 ������ 2 ������ 3 ������ 1 − ������ 1 4 ������ =
������
������������
.此矩阵
������������������ = 1, ������ = 1,2, … , ������.
������=1
重新标记这些状态的序号，把对角线是1的元素调整到右下角，也就是变成 ������������×������ ������������× ������−������ ������������×������ → ������ ������−������ × ������ ������(������−������)×(������−������) 矩阵������ = ������ − ������������×������
机器学习技术中的马尔科夫链算法
机器学习技术中的马尔科夫链算法马尔科夫链（Markov chain）是一种重要的机器学习技术，用于建模和预测随机过程的状态转移。
在机器学习领域，马尔科夫链算法被广泛应用于各种领域，包括自然语言处理、时间序列分析、图像处理和推荐系统等。
本文将介绍马尔科夫链的基本概念和原理，并探讨在机器学习中的具体应用。
马尔科夫链是一种具有马尔科夫性质的随机过程。
马尔科夫性质指的是，在给定当前状态下，未来状态的转移概率仅依赖于当前状态，而与过去状态无关。
这一性质使得马尔科夫链能够对状态之间的转移进行建模和预测。
马尔科夫链由状态空间和转移矩阵组成。
状态空间是指系统可能处于的所有状态的集合，转移矩阵描述了从一个状态到另一个状态的转移概率。
通过对转移矩阵的建模和优化，我们可以对未来的状态进行预测和推断。
在机器学习中，马尔科夫链算法常常用于自然语言处理领域。
通过构建一个马尔科夫链模型，我们可以对文本进行建模，并进行文本生成、文本分类、文本推荐等任务。
例如，在文本生成任务中，我们可以使用马尔科夫链模型来学习单词之间的转移概率，然后根据当前状态生成下一个单词，从而实现文本的自动生成。
此外，马尔科夫链算法还可以应用于时间序列分析。
时间序列是一系列按时间顺序排列的数据点，马尔科夫链可以帮助我们对时间序列进行建模，并进行预测和分析。
通过学习时间序列中的状态转移，我们可以预测未来的状态和数值，从而对趋势和模式进行分析和预测。
在图像处理领域，马尔科夫链算法也扮演着重要角色。
通过将图像看作一个状态空间，并利用马尔科夫链模型对图像中的状态进行建模，我们可以实现图像的分割、图像的分类和图像的去噪等任务。
例如，在图像分割任务中，我们可以使用马尔科夫链模型学习像素之间的转移概率，并通过优化算法对图像进行分割。
此外，在推荐系统中，马尔科夫链算法也具有广泛的应用。
通过将用户和物品看作系统的状态，可以利用马尔科夫链模型对用户的行为进行建模和预测。
通过学习用户之间的转移概率，我们可以根据当前用户的状态预测下一个可能感兴趣的物品，从而实现个性化的推荐。
数学建模——马尔科夫链模型
即
1 an 1 an1 bn1 0 cn1 2 1 a n a n1 bn1 (4.2) 2
类似可推出
1 bn bn 1 c n 1 2
(4.3)
cn=0
(4.4)
将（4.2）、（4.3）、（4.4）式相加，得
an bn cn an1 bn1 cn1
x ( n) b n cn
当n=0时
表示植物基因型的 初始分布（即培育 开始时的分布）
x (0) b 0 c0
显然有 a0 b0 c0 1 （ii）第n代的分布与 第n－1代的分布之间的关系是通过表 5.2确定的。 （b）建模 根据假设(ii)，先考虑第n代中的AA型。由于第n－1代的AA 型与AA型结合。后代全部是AA型；第n－1代的Aa型与AA 型结合，后代是AA型的可能性为 1/2，而 第n－1代的aa型与 AA型结合，后代不可能 是AA型。因此当n=1,2…时
（a）假设 父母的基因型 （i）常染色体遗传的正常基因记 为A，不 正常基因记 为a，并以 AA，Aa，aa 分别表示正常人，隐性患者，显性患 AA－AA AA－Aa 者的基因型 现在，我们考虑在控 （ii）设an,bn分别表示第n代中基因型为 制结合的情况下，如 AA 1 1/2 AA， Aa的人占总人数的百分比， 后 何确定后代中隐性患 记 x ( n ) an ，n=1,2,…（这里 者的概率。 代 b 不考 虑aa型是因 n 基 为这些人不可能成年并结婚） Aa 0 1/2 因 （iii）为使每个儿童至少有一个正常的父 型 亲或母亲，因此隐性患者必须与正常 人结合，其后代的基因型概率由 下表 给出：
由（4.5）式递推，得
《马尔可夫链讲》课件
在平稳分布下，系统的各个状态之间转移的次数趋于平衡，每个状态的平均逗留时 的 马尔可夫链，都存在至少一个平
稳分布。
存在性定理的证明基于遍历理论 ，即如果马尔可夫链是遍历的，
那么它必然存在平稳分布。
根据接受概率判断是否接受样本的技 术，可以提高样本的质量和效率。
接受-拒绝抽样技术
接受概率
根据目标分布和当前状态计算出的概率，用于判断是否接受当前状态 转移为下一个状态。
拒绝概率
根据当前状态和接受概率计算出的概率，用于判断是否拒绝当前状态 转移为下一个状态。
接受-拒绝抽样过程
根据当前状态和接受概率计算出接受该状态的概率，如果该概率大于 随机数，则接受该状态作为下一个状态，否则拒绝并重新抽样。
详细描述
马尔可夫链定义为一个随机过程，其 中每个状态只与前一个状态有关，当 前状态只依赖于前一时刻的状态，不 受到过去状态的影响。
马尔可夫链的应用场景
总结词
马尔可夫链在多个领域有广泛应用。
详细描述
在自然语言处理中，马尔可夫链可以用于生成文本、语言模型等；在金融领域 ，马尔可夫链可以用于股票价格预测、风险评估等；在物理学中，马尔可夫链 可以用于描述粒子运动、化学反应等。
模型训练与预测
模型选择
根据数据特点和业务需求选择合适的马尔可 夫链模型。
模型训练
使用历史数据训练马尔可夫链模型。
参数设置
根据经验和业务理解设置模型参数。
预测与推断
基于训练好的模型对未来或未知数据进行预 测和推断。
结果评估与优化
评估指标
选择合适的评估指标（如准确率、召回率、F1值等）对预测结果进行评估。
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时疾病 a2(n) 1
0.3
0.23 0.223 … 2/9
n 时状态概率趋于稳定值, 稳定值与初始状态无关.
健康与疾病
例2. 健康和疾病状态同上，Xn=1~ 健康, Xn=2~ 疾
病死亡为第3种状态，记Xn=3 0.8
0.18
0.25
p11=0.8, p12=0.18, pp1231==00..0625, p22=0.25, p23=0.1 p31=0, p32=0, p33=1
若 X (n) 表示质点在时刻n所处的位置，求 一步转移概率。
状态空间I={1，2，3，4，5}，
参数集T={1，2，3，………}，
其一步转 移矩阵为
1 0 0
P1
1
本2 节
0
内0容结12束
10
2
0 0 1 2
0
0
1 2
0
0 0 0 0
有两个吸收壁的随机游动
0
0
0
1
2 1
首页
赌徒输光问题
首页
赌徒甲有资本a元，赌徒乙有资本b元，两人进 行赌博，每赌一局输者给赢者1元，没有和局，
直甲赌获至胜两的人概中 率本有为节一p，人乙内输获光容胜为的结止概。束率设为在q 每1一局p 中，，
求甲输光的概率。
分 这个问题实质上是带有两个吸收壁的随机游动。从 析 甲的角度看，他初始时刻处于a，每次移动一格，向
右移（即赢1元）的概率为p，向左移（即输1元）的 概率为q。如果一旦到达0（即甲输光）或a + b（即 乙输光）这个游动就停止。这时的状态空间为{0，1， 2，…，c}，c = a + b，。现在的问题是求质点从a出 发到达0状态先于到达c状态的概率。
解 设0 j c
设u j 为质点从 j 出发到达 0 状态先于到达 c 状态的概率。
1
2
0.7
Xn+1只取决于Xn和pij, 与Xn-1, …
无关
状态转移具
有无后效性
a1(n 1) a1(n) p11 a2 (n) p21
a2 (n 1) a1(n) p12 a2 (n) p22
状态与状态转移
0.8
0.2
0.3
1
2
0.7
aa12
(n (n
1) 1)
a1 (n) a1 (n)
r j rc 1 r
d0
两式相比
uj
r j rc 1 rc
首页
故
ua
ra rc 1 rc
(
q )a p
(
q )c p
1
(
q p
)c
本节内容结束
当 r 1
u0 uc 1 cd0
而
u j (c j)d0
c j
因此 故
u j c c a b
ua
c
c
首页
由以上计算结果可知
当 r 1 即 p q 时，甲先输光的概率为
考虑质点从j出发移动一步后的情况
在以概率 p 移本到节j 内1 的容假设 结下束，
到达 0 状态先于到达 c 状态的概率为u j1
同理 以概率 q 移到 j 1 的前提下，
到达 0 状态先于到达 c 状态的概率为u j1 根据全概率公式有 u j u j1 p u j1q
这一方程实质上是一差分方程，它的边界条件是
保险公司要对投保人未来的健康状态作出估计, 以制 订保险金和理赔金的数额 .
例1. 人的健康状况分为健康和疾病两种状态，设对特 定年龄段的人，今年健康、明年保持健康状态的概率 为0.8, 而今年患病、明年转为健康状态的概率为0.7.
若某人投保时健康, 问10年后他仍处于健康状态的概率.
‹# ›
状态与状态转移
p11 p12
a2 (n) p21 a2 (n) p22
给定a(0), 预测 a(n), n=1,2,…
设投保 时健康
n a1(n) a2(n)
本0 节内1 容结2束
1 0.8 0.78 0 0.2 0.22
3 …∞ 0.778 … 7/9
0.222 … 2/9
设投保 a1(n) 0
0.7
0.77 0.777 … 7/9
r jd0
首页
当 r 1
c 1
1 u0 uc
(u j u j1)
c 1
j 0 c1
j
本0
节d 内j c1
容j0结r束j d
0
1 rc 1 r
d0
而 u j u j uc (ui ui1)
i j
c 1
c 1
di
rid0
i j
i j
r j (1 r rc j1)d0
当 r 1 即( qpp)a本q(节qp时)内c ， 容甲先1结输(束光qp)的c 概率为b c
用同样的方法可以求得乙先输光的概率
当
p
q
时，乙输光的概率为1
(
q) p
a
当 p q 时，乙先输光的概率为a
c
1
(
q p
)
c
首页
马氏链模型
描述一类重要的随机动态系统(过程)的模型.
• 系统在每个时期所处的状态是随机的.
• 从一时期到下本时期节的内状态容按结一束定概率转移.
• 下时期状态只取决于本时期状态和转移概率. 已知现在，将来与过去无关（无后效性）
马氏链 (Markov Chain) ——时间、状态均为离散的随机转移过程
健康与疾病
通过有实际背景的例子介绍马氏链的基本概念和性质. 人的健康状态随着时间的推移会随机地发生转变.
u0 1, uc 0
首页
欲求 ua 先求 u j
于是 （p + q）u j pu j1 qu j1
uj
u j1
(
q )(u p
j 1
uj
)
设
r q p
本节d j 内 u容j 结u j束1
则可得到两个相邻差分间的递推关系
d j rd j1
于是
d j rd j1 r2d j2
需讨论 r
0.65
1
2
0.02 3 0.1
1
a1(n 1) a1(n) p11 a2 (n) p21 a3 (n) p31 a2 (n 1) a1(n) p12 a2 (n) p22 a3 (n) p32 a3 (n 1) a1(n) p13 a2 (n) p23 a3 (n) p33
状态X n
1, 2,
第n年健康 第n年疾病
状态概率ai (n) P(X n i), i 1,2, n 0,1,
转移概率pij P(X本n1节 内j X容n 结i),束i, j 1,2, n 0,1,
p11 0.8 p12 1 p11 0.2
0.8
0.2
0.3
p21 0.7 p22 1 p21 0.3
马氏链模型
本节内容结束
直线上带吸收壁的随机游动（醉汉游动）
设一质点在线段[1，5 ]上随机游动，每秒钟发生
一次随机游动，本移动节的内规容则是结：束
（1）若移动前在2，3，4处，则均以概率 或向右 移动一单位；
1 2
向左
（2）若移动前在1，5处，则以概率1停留在原处。
12
3
4
5ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
质点在1，5两点被“吸收”