曲线积分曲面积分总结
曲线积分与曲面积分常见题型攻略
曲线积分与曲面积分常见题型攻略以心同学整理一、计算第一类曲线积分步骤：（一）平面曲线积分t t g y t x L ,)()(:1.化简（1）代入化简【常用在k t g t f )](),([ （常数）的情形】Lds y x f ),(Lds t g t f )](),([ kskds L其中s 为积分曲线L 的长度。
（2）利用奇偶对称性化简①若积分曲线L 关于坐标轴y 轴对称，则有Lds y x f ),(1),(,),(2),(0L x y x f ds y x f x y x f 的偶函数是的奇函数是，其中1L 为y 轴右边部分。
②若积分曲线段L 关于坐标轴x 轴对称，则有Lds y x f ),(1),(,),(2),(0L y y x f ds y x f y y x f 的偶函数是的奇函数是，其中1L 为x 轴上边部分。
（3）利用轮换对称性化简若积分曲线L 中把x 与y 互换，积分曲线不变，则有Lds y x f ),( Ldsx y f ),(2.确定积分曲线L 的参数式方程t t g y t x L ,)()(:注：积分曲线一般以)(x f y 或)(y g x 的形式出现，此时参数式为：b x a x f y x x L,)(:，dy c y y y g x L,)(:3.套公式（一代二换三定限）化为定积分Lds y x f ),(dtt g t t g t f )()()](),([22注意：上限 大于下限 4.计算定积分例1【2017-2018期末】设L 是直线)40(1243 x y x 的一段，则Lds y x )43(60；解：Lds y x )43( Lds12代入化简6012 s 。
例2【2018-2019期末】计算Lds x y)(2，其中L 为圆周422 y x .解：法一：L 的参数方程为sin 2cos 2y x （ 20 ），d d ds 2)cos 2()sin 2(22 ，于是Lds x y )(22022)cos 2sin 4(d 0sin 8202d822148 .法二：由对称性有Lds y 2 Lds x 2（轮换对称），0 Lxds （奇偶对称）所以Lds x y )(2 Lds y 2L ds y x )(2122 Lds 421（代入化简）8422 Lds .例3【2019-2020期末】计算曲线积分Lds y xy x )(22，其中L 为平面区域}0,1|),{(22 y y x y x D 的边界曲线。
曲线、曲面积分方法小结
求曲线、曲面积分的方法与技巧一.曲线积分的计算方法与技巧计算曲线积分一般采用的方法有：利用变量参数化将曲线积分转化为求定积分、利用格林公式将曲线积分转化为二重积分、利用斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲面积分、利用积分与路径无关的条件通过改变积分路径进行计算、利用全微分公式通过求原函数进行计算等方法。
例一．计算曲线积分⎰+Lxdy ydx ,其中L 是圆)0(222>=+y x y x 上从原点)0,0(O 到)0,2(A 的一段弧。
本题以下采用多种方法进行计算。
解1：A O 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧-==,2,2x x y x x L 由,A O →x 由,20→.212dx xx x dy --=⎰+Lxdy ydx dx xx x x x x ⎰--+-=222]2)1(2[dx xx x x dx xx x x xx x ⎰⎰--+----=20220222)1(2)1(220.00442=--=分析：解1是利用变量参数化将所求曲线积分转化为求定积分进行计算的，选用的参变量为.x 因所求的积分为第二类曲线积分，曲线是有方向的，在这种解法中应注意参变量积分限的选定，应选用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。
解2：在弧A O上取)1,1(B 点，B O 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧--==,11,2y x y y L 由,B O →y 由,10→.12dy y y dx -= A B 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧-+==,11,2y x y y L 由,A B →y 由,01→.12dy y y dx --= ⎰+Lxdy ydx dy y y y dy y y y ⎰⎰-++--+--+-=012221222)111()111(dy yy ⎰-=102212dy y ⎰--10212dy yy ⎰-=10221210212yy --dyyy ⎰--+102212.0)011(2=---=分析：解2是选用参变量为,y 利用变量参数化直接计算所求曲线积分的，在方法类型上与解1相同。
七大积分总结范文
七大积分总结范文积分是微积分的一个重要概念，它在数学、物理及工程学等领域中具有广泛的应用。
在微积分中，积分被认为是导数的逆运算，可以用来求函数的面积、弧长、体积等。
在数学中，有七大积分，包括定积分、不定积分、曲线积分、曲面积分、重积分、线积分和路径积分。
下面将对这七大积分进行详细总结。
定积分是微积分中最基本的积分形式，它可以用于计算曲线下面积。
定积分被表示为∫f(x)dx，在区间 [a,b] 上计算函数 f(x) 的定积分，可以得到曲线 f(x) 和 x 轴之间的面积。
定积分的计算有很多方法，如牛顿-莱布尼茨公式、Riemann 可积性等。
定积分广泛应用于计算几何、物理学、经济学等领域。
不定积分是定积分的逆运算，表示为∫f(x)dx = F(x) + C，其中F(x) 是函数 f(x) 的原函数，C 是常数。
不定积分求解的过程中，要确定函数 f(x) 的原函数 F(x)，然后加上一个常数 C。
不定积分在微积分中有着广泛应用，如求函数的原函数、求定积分中的不定系数等。
曲线积分是一种沿曲线或曲线段对给定函数进行积分的方法。
它可以用来计算沿曲线运动的物体的工作量、流量、质心等。
曲线积分有两种形式：第一类曲线积分和第二类曲线积分。
第一类曲线积分表示为∫Cf(x,y) ds，第二类曲线积分表示为∫C Pdx + Qdy。
曲线积分的计算可以通过参数方程、向量法、Green 公式等方法进行。
曲面积分是对给定曲面上的函数进行积分的方法。
它可以用来计算质量、重心、通量等。
曲面积分有两种形式：第一类曲面积分和第二类曲面积分。
第一类曲面积分表示为∫∫S f(x,y,z) dS，第二类曲面积分表示为∫∫S Pdydz + Qdzdx + Rdxdy。
曲面积分的计算可以通过参数方程、向量法、高斯公式等方法进行。
重积分是对多元函数在给定区域上进行积分的方法。
它可以用来计算体积、质量、质心、惯性矩等。
重积分可以分为二重积分和三重积分。
曲线积分与曲面积分复习
第8章 曲线积分与曲面积分8.1 向量值函数在有向曲线上的积分 第二型曲线积分概念与形式恒力沿直线方向做功 →→→→⋅=⋅=l F l F w θcos ||||变力沿曲线运动⇒取微元 Qdy Pdx ds F dw +=⋅=→||，则⎰++=LQdy Pdx W 。
平面曲线⎰++LQdy Pdx ，空间曲线⎰+++LRdz Qdy Pdx ，性质⎰⎰-+=LL一、计算方法1．设参数，化定积分⎰Ldx y x P ),(＋dy y x Q ),(＝dt t y t y t x Q t x t y t x P t t })()](),([)()](),([{1⎰'+'2．平面闭曲线上积分－用格林公式⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂L D Qdy Pdx dxdy y P x Q ，其中L 是D 的取正向的边界曲线，D 为单连通区域，P ，Q 与L D ⋃上有连续一阶偏导数。
3．对于积分与路径无关的可自选路径 4．积分与路径无关),(),,(y x Q y x P 及偏导数于L D ⋃上连续。
下列四个命题等价 （1）⎰+CQdy Pdx ＝0，对D 内任意闭曲线C .（2）⎰+LQdy Pdx 积分与路径无关（3）存在),(y x u 使du ＝dy y x Q dx y x P ),(),(+BA LLu du Qdy Pdx |==+⇒⎰⎰（4）x Qy P∂∂=∂∂ 在D 内恒成立.常以（4）为条件，（2）作为结论，自选路径积分 二、例题1．基础题目，设参数，化定积分（1） 计算⎰-=Lydx xdyI ，:L 如图ABCDEA 解 （1）设参数法⎰∑⎰==Li L i51于1L 上 设t x cos =，t y sin =⎰⎰-=+=-02222)sin (cos 1ππdt t t ydx xdy L于2L 上 设t x cos =，t y sin 2=⎰⎰=⋅+⋅=-2)sin sin 2cos 2(cos 2ππdt t t t t ydx xdy L于3L 上 以x 为参数，xdxdy 2-=⎰⎰-=---=-22238)]2()2([3dx x x x ydx xdy L于4L 上 以y 诶参数 2-=x ，0=dx ⎰⎰-=-=-1224dy ydx xdy L 于5L 上 1-=y ，以x 为参数(0=dy ) ⎰⎰-=--=-022)1(5dx ydx xdy L综上231423+=-⎰πLydx xdy解（2）（用格林公式）)(224321S S S S dxdyydx xdy DL+++==-⎰⎰⎰231423222232212141412+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅+⋅⋅+=πππ（2） 计算 ⎰++=Cdz x dy z dx y I 222。
曲线积分曲面积分总结
第十三章 曲线积分与曲面积分定积分和重积分是讨论定义在直线段、平面图形或者空间区域上函数的积分问题．但在实际问题中，这些还不够用，例如当我们研究受力质点作曲线运动时所作的功以及通过某曲面流体的流量等问题时，还要用到积分区域是平面上或空间中的一条曲线，或者空间中的一张曲面的积分，这就是这一章要讲的曲线积分和曲面积分.第一节 对弧长的曲线积分一、 对弧长的曲线积分的概念与性质在设计曲线构件时，常常要计算他们的质量，如果构件的线密度为常量，那么这构件的质量就等于它的线密度与长度的乘积. 由于构件上各点处的粗细程度设计得不完全一样, 因此, 可以认为这构件的线密度(单位长度的质量)是变量, 这样构件的质量就不能直接按下面它的线密度与长度的乘积来计算. 下面考虑如何计算这构件的质量. 设想构件为一条曲线状的物体在平面上的曲线方程为()x f y =，[]b a x ,∈，其上每一点的密度为()y x ,ρ．如图13-1我们可以将物体分为n 段，分点为n M M M ,...,,21, 每一小弧段的长度分别是12,,...,n s s s ∆∆∆．取其中的一小段弧i i M M 1-来分析．在线密度连续变化的情况下, 只要这一小段足够小，就可以用这一小段上的任意一点(),i i ξη的密度(),i i ρξη来近似整个小段的密度．这样就可以得到这一小段的质量近似于(),i i i s ρξη∆．将所有这样的小段质量加起来，就得到了此物体的质量的近似值．即()∑=∆≈ni i i i s y x M 1,ρ．用λ表示n 个小弧段的最大长度. 为了计算M 的精确值, 取上式右端之和当0λ→时的极限，从而得到1lim (,).ni i i i M s λρξη→∞==∆∑即这个极限就是该物体的质量．这种和的极限在研究其它问题时也会遇到.上述结果是经过分割、求和、取极限等步骤而得到的一种和数得极限，这意味着我们已经得到了又一种类型的积分. 抛开问题的具体含义，一般的来研究这一类型的极限，便引入如下定义：定义 设L 是xoy 面内的一条光滑曲线，函数()y x f ,在L 上有界，用L 上任意插入一点图13-1列n M M M ,...,,21将曲线分为n 个小段. 设第i 段的长度为i s ∆(1,2,,i n =L )，又()i i ηξ,为第i 个小段上任意取定的一点，作乘积()i i i s f ∆ηξ,，并作和()iiini s f ∆∑=ηξ,1，若当各小段的长度λ的最大值趋于零时，此和式的极限存在，称此极限为函数()y x f ,在曲线L 上对弧长的曲线积分, 也称为第一类曲线积分, 记作()⎰L ds y x f ,, 即1(,)lim (,)n i i i Li f x y ds f s λξη→==∆∑⎰,其中()y x f ,叫做被积函数，L 称为积分弧段．当L 是光滑封闭曲线时，记为()⎰Lds y x f ,．类似地，对于三元函数()z y x f ,,在空间的曲线L 上光滑，也可以定义()z y x f ,,在曲线L 上对弧长的曲线积分()⎰Lds z y x f ,,．这样，本节一开始所要求的构件质量就可表示为(,).LM x y ds ρ=⎰由对弧长的曲线积分的定义可以知道，第一类曲线积分具有下面的性质： 性质1（线性性）若,f g 在曲线L 上第一类曲线积分存在，,αβ是常数, 则(,)(,)f x y g x y αβ+在曲线L 上第一类曲线积分也存在，且()()()()(),,,,LLLf x yg x y ds f x y ds g x y ds αβαβ±=±⎰⎰⎰；性质２（对路径的可加性）设曲线L 分成两段12,L L . 如果函数f 在L 上的第一类曲线积分存在，则函数分别在1L 和2L 上的第一类曲线积分也存在. 反之，如果函数f 在1L 和2L 上的第一类曲线积分存在，则函数f 在L 上的第一类曲线积分也存在. 并且下面等式成立1212L L L L fds fds fds +=+⎰⎰⎰．(12L L +表示L )对于三元函数也有类似的性质，这里不再一一列出． 二、 第一类曲线积分的计算定理 设有光滑曲线():,[,].()x t L t y t ϕαβψ=⎧∈⎨=⎩ 即'()t ϕ,'()t ψ连续. 若函数(,)f x y 在L 上连续，则它在L 上的第一类曲线积分存在，且()()()(,,Lf x y ds f t t βαϕψ=⎰⎰证明 如前面定义一样，对L 依次插入121,,...,n M M M -，并设0((),())M ϕαψα=，((),())n M ϕβψβ=. 注意到01.n t t t αβ=<<<=L 记小弧段1i i M M -的长度为i s ∆，那么,1,2,.ii t i t s i n -∆==⎰L1,(').i i t i i i i t s t t τ--∆=<<⎰所以, 当('')i i x ϕτ=,('')i i y ψτ=时,ii i 11(,)((''),(t ,n niiii i f x y s f ϕτψτ==∆=∑∑这里i 1i i i t ',''t .ττ-≤≤ 设ni i i 1f ((''),(i t σϕτψτ==∆∑则有n niiiii i i 1i 1f (x ,y )s f ((''),(t .ϕτψτσ==∆=+∑∑令12n t max{t ,t ,,t },∆=∆∆∆L 要证明的是t 0lim 0.σ∆→=因为复合函数f ((t),(t))ϕψ关于t 连续，所以在闭区间[,]αβ上有界，即存在M ，对一切t [,]αβ∈有|f ((t),(t))|M.ϕψ≤再由[,]αβ上连续，所以它在[,]αβ上一致连续. 即当任给0ε>，必存在0δ>，当t δ∆<时有|.ε≤从而1||().ni i M t M σεεβα=≤∆=-∑所以lim 0.t σ∆→=再从定积分定义得n22i i i i i 0i 1lim f ((''),(''))'('')'('')t t ϕτψτϕτψτ∆→=+∆∑22((),())'()'().f t t t t dt βαϕψϕψ=+⎰所以当n n22iiiii i i i i 1i 1f (x ,y )s f ((''),(''))'('')'('')t ϕτψτϕτψτσ==∆=+∆+∑∑两边取极限后，即得所要证的结果.特别地，如果平面上的光滑曲线的方程为(),,y y x a x b =≤≤则()()()()()2,,1'b Laf x y ds f x y x y x dx =+⎰⎰．例 计算曲线积分⎰Lds y ，其中L 是抛物线2x y =上的点()0,0A 与点()1,1B 之间的一段弧．（如图）图13-2解：积分曲线由方程[]1,0,2∈=x x y给出，所以()()⎰⎰+=1222'1dx x x ds y L12014x dx =+⎰()1241121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=x =()155121-.例 计算积分()22nLxyds +⎰Ñ，其中L 为圆周:sin ,x a t =cos ,y a t =02t π≤≤.解：由于L 为圆周：π20,cos ,sin ≤≤==t t a y t a x ，所以()()()()222220sin cos nnLxyds a t a t π+=+⎰⎰Ñ⎰==ππ20222nn a dt a ． 对于三元函数的对弧长的曲线积分，可以类似地计算．例如：若曲线L 由参数方程()()()t z z t y y t x x ===,,，βα≤≤t 确定，则有()()()dt t z t y t x ds 222'''++=，从而()()()()()()()()dt t z t y t x t z t y t x f ds z y x f L⎰⎰++=βα222''',,,,．例13.３ 计算曲线积分()⎰Γ++ds z y x222，其中Γ是螺旋线cos ,x a t = sin ,y a t =z kt =上相应于t 从0到π2的一段弧．解：由上面的结论有()()()()()()()dt k t a t a kt t a t a ds z y x⎰⎰++-++=++Γπ20222222222cos sin sin cos()()2222220222224332k a k a dtk a t k aπππ++=++=⎰例 计算2Lx ds ⎰, 其中L 为球面2222x y z a ++=被平面0x y z ++=所截得的圆周.解：由对称性可知222,LLLx ds y ds z ds ==⎰⎰⎰所以22222312().333L L L a x ds x y z ds ds a π=++==⎰⎰⎰习题1. 计算半径为R 、中心角为2α的圆弧L 对于它的对称轴的转动惯量I （设线密度1μ=）.2. 计算曲线积分222()x y z ds Γ++⎰，其中Γ为螺旋线cos x a t =，sin y a t =，z kt=上相应于t 从0到2π的一段弧.3. 计算,x Cye dS -⎰其中C 为曲线2ln(1),23x t y arctgt t =+=-+由0t =到1t =间的一段弧.4. 求L xydS ⎰，其中L 是椭圆周22221x y a b+=位于第一象限中的那部分。
曲线积分与曲面积分复习
偏导数 , 则有
P Q R
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
(
x
y
z
)dv
的方向取外侧.
或
(
P x
Q y
R z
)dx
dydz
(P cos Q cos R cos )dS.
例19 计算I x3dydz y3dzdx z3dxdy,其中 是
L
P
d
x
Qd
y
D
Q x
P y
d
xd
y
(2) L是D的正向边界曲线——沿着边界走，区域在左手.
Q P
加负号：L 沿Pd着x 边 Q界d走y ，区D 域在x 右手y ，d记xd得y 添负号。
(3) L必须是封闭的平面曲线.
添边：构成闭区域，具有连续一阶偏导数.
第一类曲面积分的计算
f ( x, y, z)dS f [x, y, z( x, y)] 1 zx2 zy2dxdy
“一投，二代，Dxy 三换，投影，换元看方程”
例12 计算I (x2 y2 z2)dS ,其中为球面
x2 y2 z2 R2
例13 计算I (x2 y2 z2 )dS ，其中为
x y
Q P
L
Pd
x
Qd
y
D
x
y
d
xd
y
3.路径无关：选择简单路径，积分.
高等数学第十章曲线积分与曲面积分(考研辅导班内部资料)
ds L ( L 表示曲线 L 的弧长 ) ．
L
积函数可用积分曲线方程作变换．
（ 6） 奇偶性与对称性 如果积分弧段 L (AB ) 关于 y 轴对称，
f (x, y)ds 存在，则
L( AB )
f ( x, y)ds
L ( AB )
0,
f ( x, y) 关于 x是奇函数 ,
2
f ( x, y)ds，f ( x, y) 关于 x是偶函数 .
切线的方向余弦是一个常量。 所以， 当积分曲线是直线时， 可能采用两类不同的曲线积分的
转换。
定理 4 （格林公式）
设 D 是由分段光滑的曲线 L 围成，函数 P( x, y), Q (x, y) 及其一阶偏导数在 D 上连续，
则有
P(x, y)dx Q (x, y)d y
Q P dxdy
L
Dx x
设 L (AB ) 的平面曲线： 其参数方程： x
分别是 和 ，则
(t), y
(t) ，起点和终点对应的参数取值
Pdx Qdy
L ( AB)
{ P( (t ), (t)] (t) Q[( (t), (t )] (t )}dt
设 L (AB ) 的空间曲线 ：其参数方程： x (t), y (t ), z w(t ) ，起点和终点对应的
表示曲线的线密度。 定义 2 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）
（ 1）平面曲线 L( AB) 的积分：
P(x, y)dx Q( x, y)dy
L ( AB )
（ 2）空间曲线 L( AB) 的积分：
n
lim
(T ) 0
[ f ( k , k ) xk
k1
f ( k , k ) yk ]
重积分、曲线积分、曲面积分
重积分、曲线积分、曲面积分一、曲线积分第一型曲线积分(对弧长)定义：设L 为平面上可求长度的曲线段，(,)f x y 为定义在L 上的函数。
对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段(1,2,,),i L i n = i L 的弧长记为,i s ∆ 分割T的细度为1max ,i i nT s ≤≤=∆ 在i L 上任取一点(,)(1,2,,).i i i n ξη= 若极限1lim(,)niiiT i f s ξη→=∆∑存在，则称此极限值为(,)f x y 在L 上的第一型曲线积分（对弧长的积分），记作(,)Lf x y ds ⎰。
若L 为空间可求长曲线段，(,,)f x y z 为定义在L 上的函数，则可类似定义(,,)f x y z 在空间曲线L 上的第一型曲线积分，并且记为(,,)Lf x y z ds ⎰。
性质： 1. 若(,)(1,2,,)i Lf x y ds i k =⎰存在，(1,2,,)i c i k =为常数，则1(,)ki i Li c f x y ds =∑⎰也存在，且11(,)(,).kki i i i LLi i c f x y ds c f x y ds ===∑∑⎰⎰2. 若曲线段L 由曲线12,,k L L L 首尾相接而成，且(,)(1,2,,)i Lf x y ds i k =⎰都存在，则(,)Lf x y ds ⎰也存在，且1(,)(,).ikLL i f x y ds f x y ds ==∑⎰⎰3. 若(,)Lf x y ds ⎰与(,)Lg x y ds ⎰都存在，且在L 上(,)(,),f x y g x y ≤ 则(,)(,).LL f x y ds g x y ds ≤⎰⎰4. 若(,)Lf x y ds ⎰存在，则|(,)|Lf x y ds ⎰也存在，且|(,)||(,)|LLf x y ds f x y ds ≤⎰⎰。
5. 若(,)Lf x y ds ⎰存在，L 的弧长为s ，则存在常数c ，使得(,)Lf x y ds ⎰=cs 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
定理13.1设有光滑曲线
即 , 连续.若函数 在 上连续，则它在 上的第一类曲线积分存在，且
证明如前面定义一样，对 依次插入 ，并设 ， .注意到 记小弧段 的长度为 ，那么
由 的连续性与微分中值定理，有
所以,当 , 时,
这里 设
则有
令 要证明的是
因为复合函数 关于 连续，所以在闭区间 上有界，即存在 ，对一切 有
注意，这个积分刚好是椭圆面积的两倍．
例13-4图例13-5图
例13.7计算曲线积分 ．其中 分别是下面的曲线段．
(1)抛物线 上从点 到点 的一段弧；
(2)直线 上从点 到点 的一段弧；
(3)从点 到沿 轴点 ，再由 竖直向上至 ．
解：(1)将积分化为对 的定积分，起点和终点对应的 的值分别是 ， 用 代替，得到
图13-6图13-7
定理13.2（Green公式）若有界闭区域 的边界由分段光滑的曲线L所围成，函数 在区域 中具有一阶连续偏导数，则有
，
其中 取正向．
证明：(1)．设区域 是有界单连通的闭区域，平行于坐标轴的直线与 的边界的交点不多于两个，即 既是 型，又是 型的区域．不妨设
或 ，则
同理可证
．
于是
,
其中 叫做被积函数， 称为积分弧段．当 是光滑封闭曲线时，记为 ．
类似地，对于三元函数 在空间的曲线 上光滑，也可以定义 在曲线 上对弧长的曲线积分 ．
这样，本节一开始所要求的构件质量就可表示为
由对弧长的曲线积分的定义可以知道，第一类曲线积分具有下面的性质：
性质1（线性性）若 在曲线 上第一类曲线积分存在， 是常数,则
(2)将积分化为对 的定积分，起点和终点对应的 的值分别是 ， 用 代替，得到
(3)曲线可以分为两段，其中一段的曲线方程为 ，另一段的曲线方程为 ，所以
从上面的例子可以看出，尽管积分的路径不同，但是积分的值仍然有可能相同．
例13.8计算 ,其中 为(1)半径为 、圆心为原点、按逆时针方向绕行的上半圆周；（2）从点 沿 轴到点 的直线段．
在这里的积分的上限下限分别对应的是终点和起点．
求曲线积分的一般步骤是：
1．将 用各自的参数方程代替；
2．将曲线的终点和起点所对应的参数的值作为定积分的上下限；
3．将曲线积分化为定积分，计算定积分，即得曲线积分的值．
特别地，当 是平面 上的光滑曲线时，设曲线方程为 ，起点和终点对应的 的值分别是 ，则有
3.求 .其中曲线 由折线 及曲线 两段组成,起点为 ,其中 ,
4.求 .其中 是由直线 , , 及 构成的正向矩形回路.
5.求 .其中 为曲线 上对应于 从 到 的一段.
6.试将 表示成定积分.其中 是以 , 及 为顶点的三角形的正向.
7.求 .其中 为有向闭曲线 ,这里 依次为点 , , .
8.一力场由沿横轴正方向的常力 所构成.试求当一质量为 的质点沿圆周 按逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所作的功.
再由 在 上连续，所以它在 上一致连续.即当任给 ，必存在 ，当 时有
从而
所以
再从定积分定义得
所以当 两边取极限后，即得所要证的结果.
特别地，如果平面上的光滑曲线的方程为
则
．
例13.1计算曲线积分 ，其中 是抛物线 上的点 与点 之间的一段弧．（如图13.1-2）
图13-2
解：积分曲线由方程
给出，所以
＝ ．
类似地，有
＝ ；
＝ ．
分别称为函数在有向曲线 上对坐标 和对坐标 的曲线积分．这些积分统称为第二类曲线积分．
若 为封闭有向曲线,则记为 、 或 ．
由对坐标的曲线积分的定义可以知道，第二类曲线积分具有下面的性质：
１． ；
２（线性性）：若两个向量值函数 ( )存在,则
其中 为常数．
３（路径可加性）：设定向分段光滑曲线 分成了两段 和 ，它们与 的取向相同（记 ），则向量函数 在 上的第二类曲线积分的存在性等价于 在 和 上的第二类曲线积分的存在性．且有
= .
例13.2计算积分 ，其中 为圆周: .
解：由于 为圆周： ，所以
．
对于三元函数的对弧长的曲线积分，可以类似地计算．例如：若曲线 由参数方程 ， 确定，则有 ，从而
．
例13.３计算曲线积分 ，其中 是螺旋线 上相应于 从 到 的一段弧．
解：由上面的结论有
例14.4计算 ,其中 为球面 被平面 所截得的圆周.
注意 ，而 ，所以
．
再对上面的式子在所有小弧段的长度的最大值 趋于零时取极限，若此极限存在，则它就是变力 所作的功．即
．
从上面的分析可以看出，这个极限和前面讲的定积分、重积分、第一类曲线积分有很多的相似之处，它们都是一个乘积和式的极限．这种类型的和式极限就是下面所要讨论的第二类曲线积分.
定义13.2(对坐标的曲线积分或第二类曲线积分)设 是空间中的一条有向光滑的曲线，两个端点分别为 和 . 为定义在曲线 上的函数．在 内依次插入点 ，并令 , .并且这些点是从 到 排列的.这样就将曲线 分为 个小的弧段 ( )．设 ， ， ．记各弧段长为 , .在小弧段 上任意取一点 ，若 存在，则称之为函数 在有向曲线 上对坐标 的曲线积分(或称第二类曲线积分)．记为 ．即
在曲线 上第一类曲线积分也存在，且
；
性质２（对路径的可加性）设曲线 分成两段 .如果函数 在 上的第一类曲线积分存在，则函数分别在 和 上的第一类曲线积分也存在.反之，如果函数 在 和 上的第一类曲线积分存在，则函数 在 上的第一类曲线积分也存在.并且下面等式成立
．( 表示 )
对于三元函数也有类似的性质，这里不再一一列出．
6.求 ，其中 为双曲线 从点 到点 的一段弧。
7.计算 其中 为连接 及 两点的直线段.
8.计算 其中 为圆周 ,直线 及 轴在第一象限内所扇形的整个边界.
9.计算 其中 为折线 这里 、 、 、 依次为点 、 、 、 。
10.计算 ，其中 为曲线 , .
11.设 为双纽线 ,计算积分 .
12.设 为椭圆 ,其周长为 ,求 .
(2)．若平行于坐标轴的直线与 的边界的交点多于两个，可以引入辅助曲线将区域划分为有限个区域使得每个部分符合(1)中所讨论的形式．如图13-9所示.
将 分成三个既是 -型区域又是 -型区域 ， ， ．于是图13-9
( 对 来说是正方向)
(3)．若区域 不止有一条闭曲线所围成,如图13-10.
这时可适当添加直线段 ,则 的边界曲线由 , , , , , , 及 构成.这样就把区域转化为(2)的情形来处理.由(2)可知图13-10
如图13-1我们可以将物体分为 段，分点为 ,每一小弧段的长度分别是 ．取其中的一小段弧 来分析．在线密度连续变化的情况下,只要这一小段足够小，就可以用这一小段上的任意一点 的密度 来近似整个小段的密度．这样就可以得到这一小段的质量近似于 ．将所有这样的小段质量加起来，就得到了此物体的质量的近似值．即
我们知道闭区域有两种，一种是单连通的，一种是多连通的．若区域D中的任意一条封闭曲线的内部的所有的点都属于D，则D是单连通的，否则是多连通的．如图13-6是单连通的，图13-7是多连通的．例如区域 是单连通的，而区域 是多连通的．通俗的说，多连通区域就是有“洞”的区域．
对于区域的边界曲线，我们规定它的正方向如下：当观察者沿着曲线移动时，区域D总是在他的左边．由此定义可以知道，当区域D是单连通区域时，其边界曲线的正方向时逆时针方向．当D是多连通时，如其边界曲线为L,则其外面的曲线的方向是逆时针的，内部的曲线的方向是顺时针的．如图．
9.一力场中的力的大小与作用点到 轴的距离成正比,方向垂直向着该轴.试求当质量为 的质点沿圆周 由点 依正向移动到点 时,力场所作的功.
10.求 是从点 到点 的一段直线.
参考答案
1.
2.
3.4.5.Fra bibliotek6.7.
8.
9.
10.
第三节Green公式及曲线积分与路径的无关性
一Green公式
本节将建立对坐标的曲线积分与二重积分之间的联系．即要建立起平面区域 上的二重积分与 的边界曲线 上的第二类曲线积分之间的联系.
定义13.1设 是 面内的一条光滑曲线，函数 在 上有界，用 上任意插入一点列 将曲线分为 个小段.设第 段的长度为 ( )，又 为第 个小段上任意取定的一点，作乘积 ，并作和 ，若当各小段的长度 的最大值趋于零时，此和式的极限存在，称此极限为函数 在曲线 上对弧长的曲线积分,也称为第一类曲线积分,记作 ,即
第
定积分和重积分是讨论定义在直线段、平面图形或者空间区域上函数的积分问题．但在实际问题中，这些还不够用，例如当我们研究受力质点作曲线运动时所作的功以及通过某曲面流体的流量等问题时，还要用到积分区域是平面上或空间中的一条曲线，或者空间中的一张曲面的积分，这就是这一章要讲的曲线积分和曲面积分.
第一
一、对弧长的曲线积分的概念与性质
．
用 表示 个小弧段的最大长度.为了计算 的精确值,取上式右端之和当 时的极限，从而得到
即这个极限就是该物体的质量．这种和的极限在研究其它问题时也会遇到.
上述结果是经过分割、求和、取极限等步骤而得到的一种和数得极限，这意味着我们已经得到了又一种类型的积分.抛开问题的具体含义，一般的来研究这一类型的极限，便引入如下定义：
， ，
注意到 ，所以由对弧长的曲线积分公式，得到
由此得到两类曲线积分之间的联系：
．
类似地，可以得到两类空间曲线积分之间的联系：
这种联系还可以用向量表示：
．
其中 ， 为在曲线上点 处的单位切向量， 称为有向曲线元．
习题13.2
1.求 .其中曲线 为圆周 ,积分方向为顺时针方向, .