数值代数试题(期中)09.4.20
数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（）次。
2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在(）。
3、已知是三次样条函数，则=（)，=（),=（）。
4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则（)，（），当时（)。
5、设和节点则和.6、5个节点的牛顿—柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为.7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族,其中，则。
8、给定方程组，为实数，当满足,且时，SOR迭代法收敛。
9、解初值问题的改进欧拉法是阶方法.10、设，当（）时,必有分解式，其中为下三角阵，当其对角线元素满足（）条件时，这种分解是唯一的。
二、二、选择题（每题2分)1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（）。
（1），（2) ，（3) , (4)2、在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时,公式的稳定性不能保证,所以实际应用中,当（)时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。
(1），（2），（3), （4）,（1)二次; （2)三次；（3）四次；（4）五次4、若用二阶中点公式求解初值问题，试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为( ）。
（1），(2）, (3)，（4)三、1、(8分）用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据：2、（15(1)（1) 试用余项估计其误差。
（2）用的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算出该积分的近似值.四、1、（15分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式(1)对应迭代格式；（2）对应迭代格式；（3）对应迭代格式。
判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根,精确到小数点后第三位.选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果.2、（8分）已知方程组,其中，（1）（1）列出Jacobi迭代法和Gauss—Seidel迭代法的分量形式。
数值代数习题参考解答
（2）计算上三角矩阵
。运算量大约为 .
（3）用回代法求解方程组： （4）用回代法求解方程组：
.运算量为 ； 运算量为 。
算法总运算量大约为：
３．证明：如果 变换。
是一个 Gauss 变换，则
也是一个 Gauss
[解] 按 Gauss 变换矩阵的定义，易知矩阵
是 Gauss 变换。下面我们只需
证明它是 Gauss 变换
其中 那么
，将 A 分块为
即
由 A 的对称性， 对称性则是显而易见的。
８．设
是严格对角占优阵，即 A 满足
又设经过一步 Gauss 消去后，A 具有如下形式
试证：矩阵 仍是严格对角占优阵。由此推断：对于对称的严格对角占优矩阵 来说，用 Gauss 消去法和列主元 Gauss 消去法可得得同样的结果。 [证明] 依上题的分析过程易知，题中的
是严格对角占优阵，经过
其中
仍是严格对角占优阵。A 的三角分解 A=LU 中
这样，我们在对 A 进行列主元三角分解时，不需要选择主元，因为每次消元时，
主元位置上的元素恰好是列主元。因此，
16．形如 （1）假定
的矩阵称作 Gauss-Jordan 变换，其中
.
非奇异，试给出计算其逆矩阵的公式。
（2）向量
变换，将其化为上三角矩阵 U。而这一组的初等行变换对应的变换矩阵就是 ， 即
如果把这一组初等行变换施加于方程右端向量 b 上，即有
这就是说，方程组
和
是同解方程。而后者是上三角形方程组，
可运用本章算法 1·1·2 求解。这样我们就不必存储 L，通求解方程组
，
来求解原方程组
。算法如下：
（1）用初等变换化
(整理)代数经典试题及答案二
代数经典试题及答案二（满分150分，考试时间100分钟）一．选择题：（本大题共6题，每小题4分，满分24分）1. 下面语句正确有……………………………………………………………………………（ ） （A ）所有的偶数都是合数； （B ）所有的奇数都是素数；（C ）最小的素数是2； （D ）最小的合数是2． 2. 如果b a >，那么下列各式中一定正确的是………………………………………………（ ）（A ）22b a >； （B ）c b c a ->+； （C ）b c a c -<-； （D ）bc ac >． 3. 某校由7名同学组成代表队参加区数学竞赛，小林知道了自己的参赛成绩及代表队的平均分、标准差、中位数和众数，且代表队中每一位同学的成绩不相同，小林若要知道是否进入校代表队的前三名，只要选用…………………………………………………………………… ( ) （A ）平均分； （B ）中位数； （C ）众数； （D ）标准差．4. 把抛物线2)2(3+-=x y 平移后得到抛物线23x y -=,平移的方法可以是………………（ ）（A ）沿x 轴向右平移2个单位； （B ）沿x 轴向左平移2个单位； （C ）沿y 轴向上平移2个单位； （D ）沿y 轴向下平移2个单位．5. 下列命题一定正确的是………………………………………………………………………（ ） （A ）两个等腰三角形一定相似； （B ）两个等边三角形一定相似；（C ）两个直角三角形一定相似； （D ）两个含有30°角的等腰三角形一定相似．6. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中是随机事件的为………………………………………………………………………………………( )(A)点数小于7； (B) 点数大于7； (C) 点数小于1； (D)点数大于1．二．填空题：（本大题共12题，每小题4分，满分48分） 7. 计算：a 6÷a 2=______________．8. 当x=_______时，分式392--x x 的值为零．9. 计算：24-＝____________．10. 为了估计某山区野鹿的数量，科学家第一次捕捉了24只野鹿，并在它们身上作了标记后全部放回，一段时间后第二次捕捉到40只野鹿，发现有6只野鹿有标记，由此可估计这个山区约有________只野鹿．11. 一次函数12+-=x y 的图象与x 轴的交点坐标是______________．12. 如果一元二次方程022=+-k x x 有实数根，那么k 的取值范围是_________. 13. 直角三角形斜边长为6cm , 那么它的外心到直角顶点的距离为________cm ． 14. 中心角是40°的正多边形的边数是___________.15. 在四边形ABCD 中, ∠A=∠C , 要使四边形ABCD 是平行四边形, 只须添加一个条件,这个条件可以是______________(只要填写一种情况).16. 在△ABC 中, AB =AC ,∠A =80°,将△ABC 绕着点B 旋转, 使点A 落在BC 边上, 点C 落在点C ’, 那么∠BCC ’的度数是______________.17. 布袋里装有2个白球和1个黑球，从中任意取出2个球，那么取到的2个球都是白球的概率为________.18. 在△ABC 中，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，已知a BC =，那么_______=ED .三．（本大题共7题，满分78分）19. （本题满分10分）先化简，再求值：11)1112(+÷+--a a a ，其中12-=a ．20. (本题满分10分) 解方程：5146=++-x x ．21. （本题满分10分）如图1，在□ABCD 中，AB =10，∠B 、∠ACB 为锐角，cos B=,53sin ∠ACB=55,求AC 、AD 长．22. （本题满分10分） 在直角坐标系xOy 中，反比例函数xy 8=图像上的点A 、B 的坐标分别为（2，m ）、（n ，2），点C 在x 轴上，且△ABC 为等腰三角形，求点C 的坐标. 第21题图CA DBxy23. （本题满分12分）如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，点E 在BD的延长线上，BA ·BD=BC ·BE ． （1）求证：AE =AD ；（2）如果点F 在BD 上，CF =CD ，求证：BD 2=BE ·BF .24. （本题满分12分）2008年5月31日晚，四川地震灾区唐家山堰塞湖泄流槽应急疏通工程，ABCEFD第23题图经过武警抢险部队的连续昼夜奋战，比原计划提前4天完成泄流槽的开挖，由于平均每天比原计划多开挖1.3万立方米，开挖土石方总量达13.8万立方米，超出原计划开挖总量3.8万立方米．问原计划几天完成开挖任务？实际平均每天开挖多少万立方米？25.（本题满分14分）如图，已知⊙O的半径OA=5，弦AB=4，点C在弦AB上，以点C为圆心，CO为半径的圆与线段OA相交于点E．（１）求Acos的值；（２）设AC=x，OE=y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；（３）当点C在AB上运动时，⊙C是否可能与⊙O相切？如果可能，请求出当⊙C与⊙O相切时的AC的长；如果不可能，请说明理由．参考答案一、选择题1. C; 2. C; 3.B; 4. A; 5. B; 6. D.第25题图EOA BC二、填空题7. a 4 ; 8. -3 ; 9.161; 10. 160 ; 11. (21,0); 12. 1≤k ;13. 3 ; 14. 9; 15. ∠B =∠D ，AB//CD 等; 16. 65º; 17.31; 18.a 21-.三、19. 原式=11])1)(1()1()1)(1()1(2[+÷-+--+-+a a a a a a a =)1()1)(1()122(+⋅-++-+a a a a a =13-+a a .当12-=a 时，原式=22322462222--=-+=-+.20. 126, 2x x ==.21．过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ． BE=6，AE =8，AC =58.CE =16.AD=22.22. A (2，4)、B (4，2)．设点C 坐标为( x , 0)． ①当BC = AB 时，222)24()42(4)4(-+-=+-x ， 解得6,221==x x ，点C 坐标为(2, 0)或(6,0)．但当点C 为(6,0)时，不能构成三角形，舍去；② 当AC = BC 时，16)2(4)4(22+-=+-x x ，解得0=x ，点C 坐标为( 0, 0)；③ 当AC = AB 时，222)24()42(16)2(-+-=+-x ，方程无解．∴满足条件的C 点坐标为( 0, 0)或(2, 0)．23．(1)∵BA ·BD=BC ·BE,∴,BDBEBC BA =又∵∠ABE =∠CBD ,∴△ABE ∽△CBD .∴∠AEB =∠CDB .∵∠ADE =∠CDB ,∴∠ADE =∠AED ,∴AE =AD .(2) ∵CD =CF ,∴∠CDF =∠CFD , ∴180°–∠CDF =180°–∠CFD ,即∠BDA =∠BFC ,又∵∠ABE =∠CBD ,∴△BDA ∽△BFC , ∴.BFBDBC BA = 又∵,BD BE BC BA =∴,BDBEBF BD =∴BD 2=BE ·BF .24．设原计划x 天完成开挖任务.3.18.38.1348.13=---xx ，040090132=--x x ，10,134021=-=x x ．经检验它们都是原方程的根，但1340-=x 不符合题意．实际平均每天开挖土石方总量为3.24108.13=-（万立方米）. 答：原计划10天完成开挖任务,实际平均每天开挖土石方总量为2.3万立方米.25．（1）过点O 作OD ⊥AB ，垂足为D ，∵AB 是⊙O 的弦，∴AD =21AB =2，∴55252cos ===OA AD A ．（2）过点C 作CF ⊥OE ，垂足为F ，∵OE 是⊙C 的弦，221y OE OF ==，在Rt △ACF 中，AF =AC ·A cos =x 552，∵AF+OF=OA ，∴52552=+y x .∴函数解析式为x y 55452-=．函数定义域为.2545<≤x （3）⊙C 可能与⊙O 相切． 在Rt △AOD 中，OD =14522=-=-AD AO ． 当⊙C 与⊙O 相切时，OC =2521=OA ，∵CD=AC AD -=x -2，222OC CD OD =+，∴45)2(122=-+x ．∴.25,2321==x x ,25时当=x ⊙C 与OA 相于点O ，不符合题意． ∴当⊙C 与⊙O 相切时的AC 的长为.23。
（完整版）数值线性代数答案
（完整版）数值线性代数答案习题1１．求下三⾓阵的逆矩阵的详细算法。
[解] 设下三⾓矩阵L的逆矩阵为T我们可以使⽤待定法，求出矩阵T的各列向量。
为此我们将T按列分块如下：注意到我们只需运⽤算法1·1·1，逐⼀求解⽅程便可求得[注意]考虑到内存空间的节省，我们可以置结果矩阵T的初始状态为单位矩阵。
这样，我们便得到如下具体的算法：算法（求解下三⾓矩阵L的逆矩阵T，前代法）３．证明：如果是⼀个Gauss变换，则也是⼀个Gauss变换。
[解]按Gauss变换矩阵的定义，易知矩阵是Gauss变换。
下⾯我们只需证明它是Gauss 变换的逆矩阵。
事实上注意到，则显然有从⽽有４．确定⼀个Gauss变换L，使[解] ⽐较⽐较向量和可以发现Gauss变换L应具有功能：使向量的第⼆⾏加上第⼀⾏的2倍；使向量的第三⾏加上第⼀⾏的2倍。
于是Gauss变换如下５．证明：如果有三⾓分解，并且是⾮奇异的，那么定理1·1·2中的L和U都是唯⼀的。
[证明]设，其中都是单位下三⾓阵，都是上三⾓阵。
因为A⾮奇异的，于是注意到，单位下三⾓阵的逆仍是单位下三⾓阵，两个单位下三⾓阵的乘积仍是单位下三⾓阵；上三⾓阵的逆仍是上三⾓阵，两个上三⾓阵的乘积仍是上三⾓阵。
因此，上述等将是⼀个单位下三⾓阵与⼀个上三⾓阵相等，故此，它们都必是单位矩阵。
即，从⽽即A的LU分解是唯⼀的。
17．证明定理1·3·1中的下三⾓阵L是唯⼀的。
[证明] 因A是正定对称矩阵，故其各阶主⼦式均⾮零，因此A⾮奇异。
为证明L的唯⼀性，不妨设有和使那么注意到：和是下三⾓阵，和为上三⾓阵，故它们的逆矩阵也分别是下三⾓阵和上三⾓阵。
因此，只能是对⾓阵，即从⽽于是得知19．若是A的Cholesky分解，试证L的i阶顺序主⼦阵正好是A的i阶顺序主⼦阵的Cholesky因⼦。
[证明] 将A和L作如下分块其中：为矩阵A和L的i阶顺序主⼦阵。
数值计算方法试题和答案解析
数值计算方法试题一一、 填空题(每空1分,共17分) 1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数,需对分( )次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件就是α取值在( )。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 就是三次样条函数,则a =( ),b =( ),c =( )。
4、)(,),(),(10x l x l x l n Λ就是以整数点n x x x ,,,10Λ为节点的Lagrange 插值基函数,则∑==nk kx l0)(( ),∑==nk k jk x lx 0)(( ),当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k n k k( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 与节点,,2,1,0,2/Λ==k k x k 则=],,,[10n x x x f Λ 与=∆07f。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ,5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ就是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族,其中1)(0=x ϕ,则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ,a 为实数,当a 满足 ,且20<<ω时,SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 就是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ,当∈a ( )时,必有分解式T LL A =,其中L为下三角阵,当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足( )条件时,这种分解就是唯一的。
数值计算方法测试题
数值计算方法测试题一一、填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在（ ）。
3、已知是三次样条函数，则=( )，=（ ），=（ ）。
4、是以整数点为节点的Lagrange 插值基函数，则( )，( )，当时( )。
5、设和节点则 和 。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族，其中，则。
8、给定方程组，为实数，当满足 ，且时，SOR迭代法收敛。
9、解初值问题的改进欧拉法是阶方法。
10、设，当（ ）时，必有分解式，其中为下三角阵，当其对角线元素满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
二、选择题（每题2分）1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（ ）。
（1）, (2) , (3) , (4)2、在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ ）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。
（1）， （2）， （3）， （4），043=-+x x ]2,1[)2(21-+=+k k k x x x αα⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S a b c )(,),(),(10x l x l x l n Λnx x x ,,,10Λ∑==n k kx l)(∑==nk k jk x lx 0)(2≥n =++∑=)()3(204x l x xk k nk k 1326)(247+++=x x x x f ,,2,1,0,2/Λ==k k x k =],,,[10n x x x f Λ=∆07f {}∞=0)(k kx ϕ]1,0[x x =)(ρ1)(0=x ϕ⎰=14)(dx x x ϕ⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x a a 20<<ω00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ∈a T LL A =L )3,2,1(=i l ii b Ax =g Bx x k k +=+)()1(1)(<A ρ1)(<B ρ1)(>A ρ1)(>B ρ⎰∑=-≈bani i n i x f C a b dx x f 0)()()()()(n i C 8≥n 7≥n 10≥n 6≥n3（1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次4、若用二阶中点公式求解初值问题，试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为（）。
数值计算方法试题及答案
计算机数值计算方法试题 计算机数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(()，∑==nk k j kx l x)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(24x l x xk k nk k( )。
5、设1326)(247+++=x x xx f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f和=∆07f 。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k k x ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=104)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001aaa a A ，当∈a （）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ )次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ )。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数,则a =（ ),b =（ )，c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l)(（ ），∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k nk k （ ）。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f 。
6、5个节点的牛顿—柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 .7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ .8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ,且20<<ω时,SOR 迭代法收敛.9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵,当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时,这种分解是唯一的。
数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分)1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数,需对分（ ）次.2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =（ )，b =（ ),c =( ）.4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk k x l)(( ），∑==nk k j kx lx 0)(（ ）,当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k nk k ( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f和=∆07f 。
6、5个节点的牛顿—柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=104)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数,当a 满足 ，且20<<ω时，SOR迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ,当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =,其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时,这种分解是唯一的。
数值线性代数 北大版 答案全
数值线性代数习题解答习题1１．求下三角阵的逆矩阵的详细算法。
[解] 设下三角矩阵L的逆矩阵为T我们可以使用待定法，求出矩阵T的各列向量。
为此我们将T按列分块如下：注意到我们只需运用算法1·1·1，逐一求解方程便可求得[注意]考虑到内存空间的节省，我们可以置结果矩阵T的初始状态为单位矩阵。
这样，我们便得到如下具体的算法：算法（求解下三角矩阵L的逆矩阵T，前代法）２．设为两个上三角矩阵，而且线性方程组是非奇异的，试给出一种运算量为的算法，求解该方程组。
[解]因，故为求解线性方程组，可先求得上三角矩阵T的逆矩阵，依照上题的思想我们很容易得到计算的算法。
于是对该问题我们有如下解题的步骤：（1）计算上三角矩阵T的逆矩阵，算法如下：算法1（求解上三角矩阵的逆矩阵，回代法。
该算法的的运算量为）（2）计算上三角矩阵。
运算量大约为.（3）用回代法求解方程组：.运算量为；（4）用回代法求解方程组：运算量为。
算法总运算量大约为：３．证明：如果是一个Gauss变换，则也是一个Gauss变换。
[解]按Gauss变换矩阵的定义，易知矩阵是Gauss变换。
下面我们只需证明它是Gauss变换的逆矩阵。
事实上注意到，则显然有从而有４．确定一个Gauss变换L，使[解] 比较比较向量和可以发现Gauss变换L应具有功能：使向量的第二行加上第一行的2倍；使向量的第三行加上第一行的2倍。
于是Gauss变换如下５．证明：如果有三角分解，并且是非奇异的，那么定理1·1·2中的L和U都是唯一的。
[证明]设，其中都是单位下三角阵，都是上三角阵。
因为A非奇异的，于是注意到，单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵，两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵；上三角阵的逆仍是上三角阵，两个上三角阵的乘积仍是上三角阵。
因此，上述等将是一个单位下三角阵与一个上三角阵相等，故此，它们都必是单位矩阵。
即，从而即A的LU分解是唯一的。
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一（20分）、（1）用Gauss 列主元消去法求解线性方程组 12
123.9 1.6 5.5,6.8 2.99.7.
x x x x +=⎧⎨
+=⎩
（2）计算该线性方程组系数矩阵的条件数（范数可任选）。
二（15分）、请选用任何一种方法求方程组 1212
1
247,
258,369
x x x x x x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩的最小二乘解。
三（15分）、设2
2⨯浮点数上三角形矩阵S 是非奇异的，则用回代法解三角形方程组Sx
b =所得到
的计算解x
满足 ()S H x
b += ，其中 2.02H u S ≤（u 为机器精度）。
四（10分）、计算下面算法的计算量（请写出运算过程，
3
2
22
(12)3
26
n
n
n n +++=
+
+ ）
for k=1:n-1
A(k+1:n,k)=A(k+1:n,k)/A(k,k)
A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k+1:n)-A(k+1:n,k)*A(k,k+1:n) end
厦门大学《数值代数》课程试卷
数学科学学院 年级 专业
学号 姓名 分数
五（20分）设⋅
是n n
R ⨯
上的一个满足条件
1I =的矩阵范数，并假设n n
A R
⨯∈是非奇异的，而
且n n
A R
δ
⨯∈
满足
1
1A
A δ-<，则A A δ+也是奇异的，并且
()
()
1
1
1
()
,1A A A
A A A
A
A
A A
δκδδκ---+-≤
-
简述该定理的含义。
六（20分）、设
n n
A R⨯
∈非奇异，证明
2
1
222
1
m in:
A
A A
A A A
δ
δ
-⎧⎫
⎪⎪
+=
⎨⎬
⎪⎪
⎩⎭
奇异，
并解释该结论的意义。