高中数学人教A版必修二：3.3.1 两直线的交点坐标 课件
高中数学人教A版必修二 课件：两条直线的交点坐标 两点间的距离公式
[答案] (1)C (2)C
[ 解析] 1 点为(3，1)． 12 (2)分别令 x＝0，求得两直线与 y 轴的交点分别为：－ m 和－ 12 m m 6. 3 ，由题意得－ m ＝－ 3 ，解得 m＝±
3x＋4y－5＝0 (1)联立方程组 3x＋5y－6＝0
1 x＝ ，解得 3 ，故交 y＝1
求平面上两点间距离
已知 A(a,3)和 B(3,3a＋3)的距离为 5，求 a 的值.
[ 思路分析]
[ 解析]
2
利用两点间距离公式列方程解得 a 的值．
∵|AB|＝ a－32＋3－3a－32＝5，
8 即 5a －3a－8＝0，∴a＝－1 或 a＝5.
[ 规律总结]
两点间的距离公式与两点的先后顺序无关， 也就
是说公式既可以写成 |P1P2| ＝ x2－x12＋y2－y12 ，也可以写成 |P1P2|＝ x1－x22＋y1－y22，利用此公式可以将有关的几何问题 转化为代数问题进行研究． 在直角坐标系中，我们求线段的长度时，常常使用两点间的 距离公式．
已知点 A(3,6)，在 x 轴上的点 P 与点 A 的距离等于 10，则点 P 的坐标为________．
A1x＋B1y＋C1＝0 l2 平行时，方程组 A2x＋B2y＋C2＝0
解的个数是 (
)
A．0 C．2
B．1 D．无数个
[答案] A [解析] 当l1∥l2时，直线l1与l2无公共点，故方程组无解．
3．已知 M(2,1)、N(－1,5)，则|MN|＝_______.
[ 答案]
[ 解析]
1.两条直线 l1：2x－y－1＝0 与 l2：x＋3y－11＝0 的交点坐标 为 ( ) A．(3,2) C．(－2，－3) B．(2,3) D．(－3，－2)
3.3.1《两条直线的交点坐标》课件(新人教A版必修2)
6
品质来自专业 ②利用二元一次方程组的解讨论平面上两条直线的位置关系 金太阳教育网
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已知方程组
A1x+B1y+C1=0
（1）
A2x+B2y+C2=0 当A1，A2，B1，B2全不为零时
（2）
（1）×B2－（2）×B1得（A1B2－A2B1）x=B1C2－B2C1
3x+2y－1=0
y
证明：联立方程 2x－3y－5=0
x=1
解得： y= - 1 代入：x+2y－1+λ（2x－3y－5）= 0 即 M（1，- 1）
x
o
(1, - 1) M
得 0+λ·0=0
∴M点在直线上
A1x+B1y+C1+λ（ A2x+B2y+C2）=0是过直A1x+B1y+C1=0 和A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程。
7
上述方程组的解的各种情况分别对应的两条直线的 什么位置关系？
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A1 B1 时，两条直线相交，交点坐标为 当——≠ —— A2 B2 B1C2－B2C1 C1A2－C2A1 （ , ） A1B2－A2B1 A1B2－A2B1 A1 B1 C1 当 —— = —— ≠ —— 时，两直线平行； A2 B2 C2 A1 B1 C1 当 —— = —— = —— 时，两条直线重合。 A2 B2 C2
11
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④直线A1x+B1y+C1=0与直线A2x+B2y+C2=0重合，则必 有 （A）A1=A2，B1=B2，C1=C2 （B ）
高中数学人教a版必修二课件：3.3.1 《直线的交点坐标与距离公式》
提问：
已知两条直线 l1 : A1x B1 y C1 0 l2 : A2 x B2 y C2 0
相 交, 如 何 求 这 两 条 直 线 交 点的 坐 标?
几何元素及关系
点A
直线 l
代数表示
A(a, b)
l : Ax By C 0
点 A在直线 l上 Aa Bb C 0
直线 l1与直线 l2的交点 A
为待定系数
此直线系方程少一条直线l2
例3: 求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点，且满足下列条件 的直线l的方程。
(1)过点(2,1)；(2)和直线3x-4y+5=0垂直; (3)和直线2x-y+6=0平行
解: (1) 设经过二直线交点的直线方程为：
x 2y 4 (x y 2) 0 (1 )x ( 2) y (4 2) 0
(3) 设经过二直线交点的直线方程为：
x 2y 4 (x y 2) 0
(1 )x ( 2) y (4 2) 0
k 1 1 2
2
2
1
所以直线的方程为：2x y 2 0
说明：这两题也可以直接确定已知直线的斜率，再由平 行或垂直关系直接确定所求直线的斜率。
两点间距离公式
l1 : 3 x 4 y 5 0 , l2 : 6 x 8 y 1 0 0 .
平行
重合
例2. 求l1:3x+4y－2=0与l2:2x+y+2=0的交点.
解：由32xx4yy2200
得
x y
2 2
∴交点 (- 2,2)
变1.直线 y= - x+b 和 x - y=0 的交点在第一象限， 求b的取值范围.
高中数学必修二两条直线的交点坐标公开课教案课件教案课件
3.3.1 两条直线的交点坐标【教学目标】1.掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，2.当两条直线相交时，会求交点坐标.3.学生通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力.【重点难点】教学重点:根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点. 教学难点:对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解.【教学过程】导入新课问题1.作出直角坐标系中两条直线，移动其中一条直线，让学生观察这两条直线的位置关系.课堂设问：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？你能求出它们的交点坐标吗？说说你的看法.问题2.你认为该怎样由直线的方程求出它们的交点坐标?这节课我们就来研究这个问题.新知探究 提出问题①已知两直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,如何判断这两条直线的关系？ ②如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？ ③解下列方程组(由学生完成)：(ⅰ)⎩⎨⎧=++=-+022,0243y x y x ; (ⅱ)⎪⎩⎪⎨⎧+==+-2131,0362x y y x ; (ⅲ)⎪⎩⎪⎨⎧+==-2131,062x y y x .如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？④当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示什么图形，图形有什么特点？求出图形的交点坐标.几何元素及关系代数表示 点A A(a ，b) 直线l l ：Ax+By+C=0点A 在直线上 直线l 1与l 2的交点A关系.设两条直线的方程是l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,如果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解,那么以这个解为坐标的点必是直线l 1和l 2的交点,因此,两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0,0222111C y B x A C y B x A 是否有唯一解.(ⅰ)若二元一次方程组有唯一解，则l 1与l 2相交;(ⅱ)若二元一次方程组无解，则l 1与l 2平行;(ⅲ)若二元一次方程组有无数解，则l 1与l 2重合.即直线l 1、l 2联立得方程组⎪⎩⎪⎨⎧⇔⎪⎩⎪⎨⎧.,,212121平行重合相交无解无穷多解唯一解转化、l l 、l l 、l l(代数问题) (几何问题)③引导学生观察三组方程对应系数比的特点：(ⅰ)23≠14;(ⅱ)21316312=--=;(ⅲ)16312--=≠211.一般地，对于直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0，l 2:A 2x+B 2y+C 2=0(A 1B 1C 1≠0,A 2B 2C 2≠0),有方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⇔≠=⇔⇔==⇔⇔≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧=++=++.,,002121212121212121212121222111平行无解重合无穷多解相交唯一解l l C CB B A A l lC C B B A A l l B B A A C y B x A C y B x A . 注意：(a)此关系不要求学生作详细的推导,因为过程比较繁杂，重在应用.(b )如果A 1,A 2,B 1,B 2,C 1,C 2中有等于零的情况，方程比较简单，两条直线的位置关系很容易确定.④(a)可以用信息技术，当λ取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点.(b)找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论.(c)结论：方程表示经过这两条直线l 1与l 2的交点的直线的集合. 应用示例例1 求下列两直线的交点坐标,l 1：3x+4y-2=0,l 2：2x+y+2=0.解:解方程组⎩⎨⎧=++=-+,022,023y x y x 得x=-2，y=2，所以l 1与l 2的交点坐标为M(-2，2).变式训练求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程.l 1:x-2y+2=0,l 2:2x-y-2=0.解:解方程组x-2y+2=0,2x-y-2=0, 得x=2,y=2,所以l 1与l 2的交点是(2,2).设经过原点的直线方程为y=kx,把点(2,2)的坐标代入以上方程,得k=1,所以所求直线方程为y=x.点评:此题为求直线交点与求直线方程的综合运用,求解直线方程也可应用两点式. 例2 判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标. (1)l 1：x-y=0，l 2：3x+3y-10=0. (2)l 1：3x-y+4=0，l 2：6x-2y-1=0. (3)l 1：3x+4y-5=0，l 2：6x+8y-10=0. 活动：教师让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后再进行讲评.解:(1)解方程组⎩⎨⎧=-+=-,01033,0y x y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.35,35y x所以l 1与l 2相交,交点是(35,35). (2)解方程组⎩⎨⎧=--=+-)2(,0126)1(,043y x y x①×2-②得9=0,矛盾,方程组无解,所以两直线无公共点,l 1∥l 2. (3)解方程组⎩⎨⎧=-+=-+)2(,01086)1(,0543y x y x①×2得6x+8y-10=0.因此,①和②可以化成同一个方程,即①和②表示同一条直线,l 1与l 2重合.变式训练判定下列各对直线的位置关系，若相交，则求交点.(1)l 1:7x+2y-1=0,l 2:14x+4y-2=0.(2)l 1:(3-2)x+y=7,l 2:x+(3+2)y-6=0.(3)l 1:3x+5y-1=0,l 2:4x+3y=5.答案：(1)重合，(2)平行，(3)相交，交点坐标为(2，－1).例3 求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程. 思路解析：根据本题的条件，一种思路是先求出交点坐标，再设所求直线的点斜式方程求出所要求的直线方程；另一种思路是利用直线系(平行系或过定点系)直接设出方程，根据条件求未知量，得出所求直线的方程.解：(方法一)由方程组⎩⎨⎧=++=0,2y x 0,3-3y -2x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.57,53y x∵直线l 和直线3x+y-1=0平行， ∴直线l 的斜率k=-3. ∴根据点斜式有y-(57-)=-3［x-(53-)］，即所求直线方程为15x+5y+16=0.(方法二)∵直线l 过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点， ∴设直线l 的方程为2x-3y-3+λ(x+y+2)=0， 即(λ+2)x+(λ-3)y+2λ-3=0. ∵直线l 与直线3x+y-1=0平行， ∴1321332--≠-=+λλλ.解得λ=211. 从而所求直线方程为15x+5y+16=0.点评：考查熟练求解直线方程，注意应用直线系快速简洁解决问题。
新教材高中数学直线的交点坐标与距离公式：两条直线的交点坐标pptx课件新人教A版选择性必修第一册
＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系是________．
l1∥l2
[方程组无解，则l1与l2无公共点，从而l1∥l2．]
3．直线l1 ：4x－y＋3＝0与直线l2 ：3x＋12y－11＝0的位置关系是
l1⊥l2
________．
l1⊥l2
[由4×3＋(－1)×12＝0得l1⊥l2．]
15x＋5y＋16＝0
的直线方程为_________________．
2
因此l1与l2的斜率相等，但截距不相等，所以它们平行．
(2)l1：x－2y＋1＝0，l2：x＋2y＋5＝0．
[解]
− 2 + 1 = 0，
解方程组ቊ
可得x＝－3，y＝－1，
+ 2 + 5 = 0，
因此，l1与l2相交，而且交点坐标为(－3，－1)．
类型3 直线系过定点问题
【例3】 (1)直线mx－3y＋2m＋3＝0，当m变动时，所有直线都经
l1
l2
设这两条直线的交点为P，则点P既在直线__上，也在直线__上．所
以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的
1 + 1 + 1 = 0，
方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组 ቊ + + = 0
2
2
2
的解．
知识点2 两直线的位置关系和方程组解的个数的关系
第二章
直线和圆的方程
2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.1 两条直线的交点坐标
1．会用解方程的方法求两条相交直线的交点坐标．(数学
学习 运算)
任务 2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．(数学
人教版数学A版必修二教学课件3.两条直线的交点坐标
画图
无论 为何值时,方程
3 x 4 y 2 ( 2 x y 2 ) 0
所表示的直线都经过点( -2,2 )
即两条直线
l1 :3x4y20, l2 :2xy20. 的交点坐标.
人教版数学A版必修二教学课件3.两条 直线的 交点坐 标
例2 判断下列各对直线的位置关系.如果相交,求出交 点坐标.
•
8．能够由具体的阅读材料进行拓展和 迁移， 联系相 关的文 学名著 展开分 析，提 出自己 的认识 和看法 ，说出 自己阅 读文学 名著的 感受和 体验。
•
9巧妙结合故事情节，在尖锐的矛盾冲 突中， 充分深 刻显示 人物复 杂内心 世界， 突出了 对人物 性格的 刻画， 使其有 血有肉 ，栩栩 如生。
②表示同一条直线, l1 与 l2 重合.
人教版数学A版必修二教学课件3.两条 直线的 交点坐 标
人教版数学A版必修二教学课件3.两条 直线的 交点坐 标
巩固练习：（练习1、2）
人教版数学A版必修二教学课件3.两条 直线的 交点坐 标
人教版数学A版必修二教学课件3.两条 直线的 交点坐 标
课后练习
人教版数学A版必修二教学课件3.两条 直线的 交点坐 标
1、直线5x+4y=2m+1与2x+3y=m交于第四象 限，则m的取值范围是__________。
−
3 2
< m <2
2、已知A(0，0)，B(3，0)，C(1，2)，则 ∆ABC的垂心坐标是___________，外心坐标 是________。
(1，1) ( 1 ， 3 ) 22
人教版数学A版必修二教学课件3.两条 直线的 交点坐 标
(1) l1 : x y 0, (2) l1 : 3x y 4 0, (3) l1 : 3x 4 y 5 0,
2.3.1两条直线的交点坐标(教学课件)- 高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册
两条直线相交
二元一次方程 组有唯一解
直线l,J2还 有 哪些位置关系
平行
重合
问题4.已知直线l₁:A₁x+B₁y+C₁=0,l:A₂x+B₂y+C₂=0
平行，能否判断对应的二元一次方程组的解的情况呢
从形的角度看
直线l₁//l₂
直线lj,J₂没有公共点
从代数的角度看
不 存在点P(xo,y₀)的坐标满足
解 直线l₁,l₂方程化为斜截式，
则k₁=1,k₂=-1,k₁≠k₂,
所以，直线l₁与l₂相交.
例2.判断下列各对直线的位置关系.
(2)l:3x-y+4=0,l ₂:6x-2y-1=0
解 直线l₁,l₂ 方程化为斜截式，
则k₁=k₂=3,b₁≠b₂, l₁/l₂.
所以，
例2.判断下列各对直线的位置关系. (3)l:3x+4y-5=0,l₂:6x+8y-10=0
Q(2,-6)在直线l 上
追问：为什么可以作这样的判断呢?
直线l上的点
对应 关系
直线l 的方程的解
直线l:Ax+By+C=0
点P
在直线l上
C=0
问题2.已知直线 l₁:A₁x+B₁y+C₁=0,l₂:A₂x+B₂y+C₂=0 相交，它们的交点坐标与直线l₁,l₂的方程有他么途系?
从形的角度看
直线l₁,l₂ 相交
的交点且过坐标原点的直线l的方程 .
解 解方程组
,得
所以，两条直线的交点为
所以，直线l的的斜率 故直线l的方程
即4x-3y=0
和l₂ :6x-4y+1=0
《直线的交点坐标与距离公式》人教A版高中数学实用课件1
2
所以直线方程为y=-x，即x+y=0.
人 教 版 高 中 数学必 修二课 件：3. 3直线的 交点坐 标与距 离公式
一组
两条直线l1，l2的公共点
一个
直线l1，l2的位置关系
_相__交__
无数组 无数个 _重__合__
_无__解__ 零个 _平__行__
人 教 版 高 中 数学必 修二课 件：3. 3直线的 交点坐 标与距 离公式
人 教 版 高 中 数学必 修二课 件：3. 3直线的 交点坐 标与距 离公式
【对点训练】 1.已知直线l1:3x+4y-5=0与l2:3x+5y-6=0相交，则它 们的交点是 ( )
人 教 版 高 中 数学必 修二课 件：3. 3直线的 交点坐 标与距 离公式
2.A(a，2a)，B(1，2)两点间的距离为 5 ，则 a=________.
【解析】由 a122a225， 得a=0或a=2.
答案:0或2
人 教 版 高 中 数学必 修二课 件：3. 3直线的 交点坐 标与距 离公式
3
9
(2)因为l1∥l2且l1过点(3，-1)，
所以 3 m m 88 m n2 , 0,解 得 m n44,或 n m204.,
人 教 版 高 中 数学必 修二课 件：3. 3直线的 交点坐 标与距 离公式
人 教 版 高 中 数学必 修二课 件：3. 3直线的 交点坐 标与距 离公式
【解析】因为直线x+ky=0，2x+3y+8=0和x-y-1=0三条
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l2:6x+8y-10=0.
解:(1)解方程组 x y 0, 3x 3y 10 0,
得
x
5, 3
y
5. 3
55
所以 l1与 l2相交,交点是M（3 ，3 ）
(2)解方程组
3x y 4 0, 6x 2y 1 0,
(1) (2)
①×2-②得9=0,矛盾,
方程组无解,所以两直线无公共点, l1 // l2
(3)解方程组 3x 4y 5 0,
(1)
6x 8y 10 0,
(2)
①×2得6x+8y-10=0.因此, ①和②可以化成同一个方程, 即①和②表示同一条直线, l1与 l2 重合.
问题3：方程组解的情况与两条直线的位 置有何对应关系？
结论1
A1x B1 y C1 0, A2 x B2 y C2 0
得
x=3 y= －1
∴这两条直线的交点坐标为（3，-1）
又∵直线x+2y－5=0的斜率是－1/3
∴所求直线的斜率是3
所求直线方程为y+1=3（x－3）即 3x－y－10=0
小结：
1.直线与直线的位置关系， 2.求两直线的交点坐标， 3.能将几何问题转化为代数问题来解决，并 能进行应用.
作业 必做： P109 1、5 选做2
(3) l1:3x+5y-1=0, l2:4x+3y-5=0.
答案：(1)重合，(2)平行，
(3)相交，交点坐标为(2，－1).
如何根据两直线的方程对应系数之间的 关系来判定两直线的位置关系？
结论2：
一般的对于直线l1 : A1x B1 y C1 0, l2 : A2 x B2 y C2 0( A1B1C1 0, A2 B2C2 0)
代数表示
点A 直线l 点A在直线上
A(a，b) l：Ax+By+C=0
Aa+Bb+C=0
直线l1与l2的交点A
A1 x B1 y C1 0 A2x B2y C2 0
例1 求下列两条直线的交点： y
l1：3x+4y－2=0； l2：2x+y+2=0.
解：解方程组
2
M
1
2 1 1 2
l2
(2)
l1
:2x-6y+4=0,
l2
:y
x 3
2 3
(3) l1 ：（ 2 -1）x y 3 l2 : x ( 2 1) y 2
变式训练3 求经过两条直线 x+2y－1=0 和 2x－y－7=0 的交点，且垂直于直线x+3y－5=0的直线方程.
解：解方程组
x+2y－1=0， 2x－y－7=0
3.3.1 两条直线的交点坐标
情景引入
问题1：在同一平面内的两条直线 有几种位置关系？
p
平行 无交点
重合
相交
无数个交点 只有一个交点
问题2 已知两条直线
l1 : A1 x B1 y C1 0,
l2 : A2 x B2 y C2 0 相交，
如何求两条直线的交点坐标？
看下表，并填空
几何元素及关系
x l1
3x+4y－2 =0 得 2x+y+2 = 0
x= －2 y=2
∴l1与l2的交点是M（- 2，2）
例2 判断下列各对直线的位置关系，如果相交， 求出交点的坐标：
（1）l1:x-y=0,
l2:3x+3y-10=0;
（2）l1:3x-y+4=0,
l2:6x-2y-1=0;
（3）l1:3x+4y-5=0,
唯一解
l1 、l2 相交,
பைடு நூலகம்
无穷多解
l1 、l2 重合,
无解
l1 、l2 平行.
(代数问题)
(几何问题)
变式训练1
判定下列各对直线的位置关系，若相交， 则求交点.
(1) l1 :7x+2y-1=0, l2 : 14x+4y-2=0.
(2) l1:2x+y-7=0, l2 :4x+2y-6=0.
有方程组
唯一解
A1 A2
B1 B2
l1 l2相交
A1x B1 y C1 0, A2 x B2 y C2 0
无穷多解
A1 A2
B1 B2
C1 C2
l1 l2重合
无解
A1 A2
B1 B2
C1 C2
l1 l2平行
变式训练2
判定下列各对直线的位置关系.
(1) l1 :2x-3y=7, l2 : 4x+2y=1.