结构力学(一)第三版龙驭球第5章-虚功原理及结构的位移计算培训资料
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龙驭球《结构力学Ⅰ》(第3版)章节题库-虚功原理与结构位移计算(中册)(圣才出品)
8（b）所示，结点 K 处的竖向位移为
．
4 / 25
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图 5-8
【答案】
【解析】此结构为二次超静定，要求结点 K 的位移，可以取其一静定基本结构（图 5-
9（a）），在此基本结构上 K 处虚设一竖向单位力，画出其弯矩图（图 5-9（b）），再与已知
的原结构的弯矩图图乘即可求得 K 点竖向位移．
图 5-9
此题选取的基本结构可以有多种形式，相应的 图也不一样，与 M 图图乘时的计算量 就不同．所以在选择基本结构时应尽量使图乘时的计算量小（弯矩图分布范围小且简单）．
4．已知图 5-10（a）所示弯矩图，图 5-10（b）中由 （已知）产生的 C 截面竖向位
MA＝0 有
（拉）．
要求铰 C 处的竖向位移，需要画出此结构的弯矩图（图 5-13（c））；然后在结构上 C 处
虚设一竖向单位力（图 5-13（d）），求出此时 AC 杆弯矩和 EG 杆轴力，然后图乘得 C 点竖
向位移为
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挠度大
．
【答案】
图 5-18
10 / 25
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【解析】（1）结构为静定，图 5-18（a）、（b）两图的唯一区别是在图 5-18（a）中竖 向支座链杆处会有变形，而图 5-18（b）中没有，静定结构的支座移动不会引起内力，所以 两结构的弯矩图完全一样．
移等于
．
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图 5-10 【答案】 【解析】（1）选一基本结构，在 C 处虚设一竖向单位力，作 图（图 5-11）．
最新课件-结构力学教学第5章虚功原理与结构位移计算
FR K c K
若△为正值，表示位移的实际方向与所设单位荷载方向一致。
§5-2 结构位移计算的一般公式
1. 局部变形时静定结构的位移计算举例 例5-1 图(a)所示悬臂梁在B处两个相邻截面有相对转角θ。 试求点的竖向位移△。 解：实际位移状态可改用图(b) 表示 虚设力系如图(c) 虚功方程为 解得
M
A B A
M PM EI F NP F N EA kF QP F Q GA
ds
qR
4
2 EI qR EA kqR GA
2
(
2 3 2 3
cos cos 1 3
1 3 1 3
3
cos ) cos )
3
3
M
qR
4
3 EI 2 qR体系的位移
位移产生的主要原因 （1）荷载作用 （2）温度变化和材料胀缩 （3）支座沉降和制造误差
刚体体系位移，无应变 变形体体系位移，有应变
虚力原理—虚设力系求位移 图 (a) 中的静定梁，支 座A向上移动已知距离 c1， 拟求B点的竖向位移△。 虚设力系如图(b)
FR 1 b a
2 2
N
ds
(
2
90
N
B
Q
A B
ds
(1 cos )
Q
设h/R=1/3，E/G=8/3，I/A=h2/12
N
M
1 600
Q
M
1 375
例5-6 试求图(a)所示简支梁两端截面A、B的相对转角△。
解：虚设力系如图(b)
M 1 (0 x l )
《结构力学》_龙驭球_第5章_虚功原理与结构的位移计算(4)
令状态 I 的平衡力系在状态 II 的位移上做虚功，得到：
M ds FQ 0 ds FN ds W12 FP FQ kFQ FN FN M M ds ds ds EI GA EA
1 2 FPb M FQ FN 状态II FPa
kFQ kFQ FN FN M M ds ds ds ds 0 ds ds ds ds ds ds 0 ds ds EA GA EI EA EI GA
§5-6 温度作用时的位移计算
静定结构在温度变化作用下各杆能自由变形，所以结构不产生内力。变 形和位移是材料自由膨胀、收缩的结果。 1、t1、t2 是温度改变值，而非某时刻的温度。 10 C 25 C
10 C
t1 25 10 15 C
t2 35 10 25 C
同样，令状态II的平衡力系在状态I的位移上做虚功，得到： M ds FQ 0 ds FN ds W21 FP
a
b
1
2
所以
FQ kFQ FN FN M M ds ds ds EI GA EA FP 2 FP FP 即 FP11 2 F Pa a F Pb b
a2 21 21 / F 16EI
a2 12 12 / M 16EI
所以
12 21
3、反力互等定理
反力互等定理只适用于超静定结构，因为静定结构在支座移动时只产生 刚体位移，其内力和支座反力均等于零。 根据功的互等定理：
FR11 0 FR 21 C2 FR12 C1 FR 22 0
M ds FQ 0 ds FN ds W12 FP FQ kFQ FN FN M M ds ds ds EI GA EA
1 2 FPb M FQ FN 状态II FPa
kFQ kFQ FN FN M M ds ds ds ds 0 ds ds ds ds ds ds 0 ds ds EA GA EI EA EI GA
§5-6 温度作用时的位移计算
静定结构在温度变化作用下各杆能自由变形，所以结构不产生内力。变 形和位移是材料自由膨胀、收缩的结果。 1、t1、t2 是温度改变值，而非某时刻的温度。 10 C 25 C
10 C
t1 25 10 15 C
t2 35 10 25 C
同样，令状态II的平衡力系在状态I的位移上做虚功，得到： M ds FQ 0 ds FN ds W21 FP
a
b
1
2
所以
FQ kFQ FN FN M M ds ds ds EI GA EA FP 2 FP FP 即 FP11 2 F Pa a F Pb b
a2 21 21 / F 16EI
a2 12 12 / M 16EI
所以
12 21
3、反力互等定理
反力互等定理只适用于超静定结构，因为静定结构在支座移动时只产生 刚体位移，其内力和支座反力均等于零。 根据功的互等定理：
FR11 0 FR 21 C2 FR12 C1 FR 22 0
龙驭球《结构力学Ⅰ》笔记和课后习题(含考研真题)详解(虚功原理与结构位移计算)
第5章虚功原理与结构位移计算5.1 复习笔记一、应用虚力原理求刚体体系的位移1．推导位移计算一般公式的基本思路推导过程的基本思路是“化整为零和积零为整”：把结构的整体变形分解为局部变形，应先用刚体体系的虚力原理导出局部变形时的位移公式，然后应用叠加原理，导出整体变形时的位移公式。
2．结构位移计算概述（1）计算结构位移的目的①验算结构的刚度；②为超静定结构的内力分析打下基础。
（2）产生位移的原因①荷载作用；②温度变化和材料胀缩；③支座沉降制造误差。
3．应用虚力原理求刚体体系的位移——单位荷载法例如，图5-1-1（a）中的静定梁，支座A向上移动一个已知距离c，现在拟求B点1的竖向位移 。
图5-1-1位移状态已给定，力系则可根据我们的意图来虚设。
在拟求位移∆的方向设置单位荷载，根据平衡条件，可得支座A 的反力R1F ＝ba-，图5-1-1（b ）中的虚设平衡力系在实际刚体位移上作虚功，虚功方程为可以求解出 1=b c a∆在拟求的位移∆方向虚设单位荷载，并利用平衡条件求出与1c 相应的支座反力R1F 。
这个解法称为单位荷载法。
4．支座移动时静定结构的位移计算 归纳求解步骤如下：（1）沿拟求位移Δ方向虚设相应的单位荷载，并求出单位荷载作用下的支座反力；（2）令虚设力系在实际位移上作虚功，建立虚功方程R 10K K F c ∆⋅+∑⋅=（3）由虚力方程，解出拟求位移二、结构位移计算的一般公式——单位荷载法1．局部变形时静定结构的位移计算举例图5-1-2（a）所示悬臂梁在B处两个相邻截面有相对转角θ。
试求A点的竖向位移Δ。
图5-1-2解：图5-1-2（a）中的实际位移状态可改用图5-1-2（b）来表示。
这里，在B处加铰，把实际位移状态明确地表示为刚体体系的位移状态。
为了求未知位移Δ，可虚设力系如图5-1-2（c）所示。
这里，在A点沿拟求位移Δ的方向虚设单位荷载。
此外．在铰B处还必须虚设一对弯矩根据平衡条件可求出均数值如下令图5-1-2（c）中的平衡力系在图5-1-2（b）中的实际位移上作功，可写出虚功方程如下解得由此看出，位移Δ与截面相对转角θ成正比，它们之间的比例系数正好就是虚设单位荷载在该截面引起的弯矩。
《结构力学》_龙驭球_第5章_虚功原理与结构的位移计算(3)解析
B
A MiM k dx
y
1 EI
B A
M i dA
1 EI
B
x tg dA
A
1 tg EI
B
x dA
1
A
EI
Ax0 tg
1 EI A y0
位移计算公式
（图乘法）
1 EI
A
y0
o
dA = Mk dx
Mk
CA
Mk 图
x
dx
x0
Mi
y0
Mi = x tgα y0 = x0 tgα
Mi图 x
应用图乘法计算的注意点：
⑴ y0 与A 的取值： y0 一定取自直线图形，对应取A 图形的形心处。 A 则取 自另一个图形，且取A 的图形的形心位置是已知的。
⑵ 若 y0 与A 在杆轴或基线的同一侧，则乘积A y0取正号；若 y0 与A 不在杆轴
或基线的同一侧，则乘积A y0 取负号。
2、几种常见图形的面积和形心的位置
3l 4
B
1
1
B
B
1 ql 2 2
B l
B
3、应用图乘法时的几个具体问题
⑴ 如果两个图形都是直线图形，则 y0 可取自其中任一图形。
⑵ 如果EI 分段为常数或取 y0 的图形为折线时，应分段图乘再叠加。 ⑶ 如果图形比较复杂，则可将其分解为几个简单图形，分项图乘计算后
再进行叠加。
MP
AB
A1
A2
C
5 kN
4 kN
EI 4m
2 kN/m 4m
4 kN m B
211 5
12
y1 3 3 2 6
A2
84 2
16
结构力学教学 虚功原理与结构位移计算
解：虚设力系如图(b)
M 1 (0 x l)
实际荷载作用下的弯矩图虚设力系如图(c)
MP
FPb l
x
(0 x a)
MP
FP a(1
x) l
(a x l)
MM P ds FPab(
EI
2EI
)
§5-5 图乘法
图乘法应用条件：杆件为直杆，有一个弯矩图是直线图， 截面抗弯刚度EI为一常数。
§5-5 图乘法
例5-7 试用图乘法计算图(a)所示简支梁B端转角△B。
解：荷载作用下的MP图如图(a) 虚设单位力偶作用下的 M 如图(b)
虚功方程为 1 M 0
解得
M
§5-2 结构位移计算的一般公式
例5-2 在图中，截面B有相对剪切位移η，试求A点与杆轴成α
角的斜向位移分量△。
解：图(a)的实际位移状态可改用 图(b)来表示。
虚设力系如图(c) FQ sin
虚功方程为 1 FQ 0
解得 FQ
§5-2 结构位移计算的一般公式
AB的圆心角为α，半径为R。试求B点的竖向位移△。
解：虚设荷载如图(b)
图(a)中
MP
1 2
qx2
FNP qx sin
FQP qx cos
图(b)中
M x
FN sin FQ cos
M
AMPM B EI
ds qR4 ( 2 cos 1 cos3 )
2EI 3
3
N
A FNPFN ds qR2 ( 2 cos 1 cos3 )
M
MM P ds ql4
EI
8EI
Q k
FQ FQP ds 0.6 ql 2
结构力学(虚功原理和结构位移计算)
几何法
单位荷载法
A
10
§4-2 刚体体系虚功原理及其应用
一、基本概念 1、功 (Work)：
T dT P COS(P,ds)ds
S
S
或：T P • ds
2、实功：力由于自身所引起的位移而作功。
当静力加载时，即：
P
P由0增加至P
由0增加至
实功的计算式为：
T 1P 2
A
11
3、虚功：当位移与作功的力无关时，这样的功称为虚功。
MP EI
κ
F NP EA
ε k
F QP GA
γ 0
g F N d sF Q 0 d sM ds
M M Pd s F N F Nd P s k F Q F Qd P s
EI
EA GA
A
35
M M Pd s F N F Nd P s k F Q F Qd P s
EI
EA
2)、小变形假设。变形前后荷载作用位置不变。
3)、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。
4)、当杆件同时承受轴力与横向力作用时， 不考虑由于杆弯曲 所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。
P
A
B
P
满足以上要求的体系为“线变形体系”。因位移与荷载 为线形关系，故求位移时可用叠加原理。
6、计算结构位移的方法
• 其中 M、FN、FQ、FRK----虚拟单位力下的弯距、轴力、 剪力和反力
、 、 g0、 ck•----实际变形状态轴线曲率、轴线伸长应
变、平均剪切应变和支座位移
A
22
分析，见图 (a)
求结构上任一点C沿指定方向K-K’上
的分位移 K P
(1)可按常规计算方法， 但计算工作麻烦。
单位荷载法
A
10
§4-2 刚体体系虚功原理及其应用
一、基本概念 1、功 (Work)：
T dT P COS(P,ds)ds
S
S
或：T P • ds
2、实功：力由于自身所引起的位移而作功。
当静力加载时，即：
P
P由0增加至P
由0增加至
实功的计算式为：
T 1P 2
A
11
3、虚功：当位移与作功的力无关时，这样的功称为虚功。
MP EI
κ
F NP EA
ε k
F QP GA
γ 0
g F N d sF Q 0 d sM ds
M M Pd s F N F Nd P s k F Q F Qd P s
EI
EA GA
A
35
M M Pd s F N F Nd P s k F Q F Qd P s
EI
EA
2)、小变形假设。变形前后荷载作用位置不变。
3)、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。
4)、当杆件同时承受轴力与横向力作用时， 不考虑由于杆弯曲 所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。
P
A
B
P
满足以上要求的体系为“线变形体系”。因位移与荷载 为线形关系，故求位移时可用叠加原理。
6、计算结构位移的方法
• 其中 M、FN、FQ、FRK----虚拟单位力下的弯距、轴力、 剪力和反力
、 、 g0、 ck•----实际变形状态轴线曲率、轴线伸长应
变、平均剪切应变和支座位移
A
22
分析，见图 (a)
求结构上任一点C沿指定方向K-K’上
的分位移 K P
(1)可按常规计算方法， 但计算工作麻烦。
结构力学I-第五章 虚功原理与结构位移计算(温度位移、虚功、互等)
温度改变时的位移计算
结构位移计算的一般公式
普遍性
Δ = ∑ ∫ ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds- ∑FRK·cK
⑵ 变形因素：荷载、温度改变或支座移动引起的位移；
温度改变的位移计算公式
应用背景
Page 10
14:26
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温度改变时的位移计算
温度改变的位移计算公式
基本假设
FQ FN
dFN
pdx
0
dFQ qdx 0
dM FQdx 0
• 集M M 0 0
M
FQ FN
M
Page 22
q
FQ+ dFQ
p
FN+ dFN
O
x
M+ dM dx
y
dx
M0 O
Fx
Fy y
FQ+ ΔFQ FN+ ΔFN x
M+ ΔM
14:26
D 1
α=1×10-5，求D点的竖向位移ΔDV。
2m 2m
解：⑴ 在D点作用一向上的单位力F=1，
4m
作弯矩图 M 和轴力图 F N；
⑵ 由于各杆 α，t0，Δt，h 相同，
故可先计算
+1
1
M ds
1 2
4
4
4
4
24(m2
)
M
FN
F Nds 1 2 1 4 2(m)
Page 15
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LOGO
结构力学I
第五章 虚功原理与 结构位移计算
2021年4月15日
LOGO
3-12(g)
指出弯矩图错误并改正；
作业点评
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几点说明：
(1)把上式变形即为平衡方程式，实质上是实际受力状 态的平衡方程，即
Fx
FP
b a
F xaF P b0 M B MB 0
特点: 用几何法来解静力平衡问题。
(2)所求力与虚设位移的大小无关,故可设单位位移
1 单位位移法
X
x
(3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。
例 求图示多跨梁B的支座反力、E截面的弯矩
第5章 虚功原理及结构的位移计算
知识点:
▪ 结构位移的概念及类型 ▪ 虚功原理及应用 ▪ 结构位移计算的一般公式 ▪ 静定结构在荷载作用下的位移计算 ▪ 图乘法 ▪ 静定结构由于支座移动、温度改变引
起的位移计算 ▪ 线弹性结构的互等定理
教学基本要求:
掌握刚体系虚功原理与变形体虚功原理内容及其 应用条件，掌握刚体虚功原理的应用，掌握广义位移 与广义荷载的概念。
(1)所建立的虚功方程,实质上是几何方程，是把几何问题转化 为平衡问题。
特点: 是用静力平衡法来解几何问题。
(2)因求出的位移与所设力的大小无关，为了计算的方便，故 可设单位广义力 P=1，称为：
单位荷载法
(3)求解时关键一步是找出虚力状态的静力平衡关系。
例题
已知位移 c A 求 （: 1）C点的竖向位移 c （2）杆CD的转角
第二种应用：
如右图，已知支座A向上移
动一个已知位移 ,现求c点
竖向位移
.利用已知的位移状态 ..建立虚设的力状态
位移状态
FP
…建立虚功方程求解
力状态
单位力状态
(2)虚功原理用于实际的协调位移状态与虚设的平衡力状态 之间—虚设力状态求已知位移状态下的位移—虚力原理
刚体的虚力原理
已知刚体的位移状态，虚设力状态求未知位移 几点说明：
(1) 线弹性 (2) 小变形 (3) 理想联结
线性变形体系
叠加原理适用
§5.2 虚功原理（理论难点） 1.刚
体体系的虚功原理
1）一些基本概念： 功：力×力方向位移之总和
广义力：功的表达式中，与广义位移对应的力 广义功：广义力×广义位移之总和
实功：广义力在自身所产生的位移上所作的功 虚功：广义力在对应广义位移但无关时所作的功
ql
l
力状态
l
ql/2 力状态
ql/2
位移状态
外力虚功
We0lqxdx12q2l 0
内力虚功 Wi =0
△
位移状态 外力虚功
W e0lqxd l x1 2ql0
内力虚功 Wi =0
按由特殊到一般的推理方法，我们可以总结出刚体体系的 虚功原理：
在具有理想约束的刚体体系上，如果力状态下的力系能满足 平衡条件，位移状态的刚体位移能与约束几何相容（位移与 约束相对应，位移是连续的杆件变形后不断开、不重叠）， 则外力虚功为零。
或：设体系上作用任意的平衡力系，又设体系发生符合约 束条件的无限小刚体位移，平衡力系在位移上所作的虚功为零。
特别说明：对于刚体，力状态下有内力，但因位移状态下没 有对应位移，故内力虚功为零，因此对于刚体的虚功原理也可 以这样理解：外力虚功等于内力虚功都等于零。
3)刚体虚功原理的两种应用
既然虚功原理中的平衡力系与可能的位移无关，因此 不仅可以把位移看作是虚设的，而且也可以把力看作是虚 设的，根据虚设对象的不同，刚体虚功原理主要有两种应 用形式。
FP
2FP
A
E
B
C
D
2a 2a 2a a a
A
FP E FBY B
2FP 力状态
C
D
A
1/2 1
E
B
3/4
虚设的位移状态
C
D
F BY 1F P1 22F P4 30 FBYF2P6F 4P 2FP
FP ME
A E
B
1
a
A
E
B
2FP
力状态
C
D
a/2
C
D 虚设位移状态
M E1FPa2FPa 20
ME 0
力W WFWWW==P功=FF==oPPFFF12rPo××PP×12rΔΔ×Δ×12ΔΔ211212
一个力系作的总虚功 W=∑P×
P---广义力; ---广义位移
例: 1)作虚功的力系为一个集中力
FP
WFP
2)作虚功的力系为一个集中力偶
M
WM
3)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶
M
M
掌握结构位移计算的一般公式，并能正确应用 于各类静定结构受荷载作用、支座位移、温度变化 等引起的位移计算。
熟练掌握图乘法的推导、应用条件、图乘技巧、 梁和刚架位移计算的图乘法。
了解曲杆和拱的位移计算。
掌握线弹性结构的互等定理
重点：
虚功原理及应用 图乘法及应用
难点：
虚功原理的理论解释 图乘法的图乘技巧
§5.1 结构位移计算概述
1.结构的位移
角位移
荷载作用下
A
因还会有使什y结么构原产 C C
FP
A 生位移?
x
线位移
相对线位移
C D D D
FP
相对角位移
位移：包括线位移，角位移，相对线位移、角位移等称广义位移。
t 引起结构位移的原因： 荷载、温度改变 T、支座移动 c、制造误差 等
为什么要计算 位移?
第一种应用：
（1）虚功原理用于实际已知的平衡 力状态与虚设的协调位移状态之 间—虚设位移状态求已知力状态的 未知力—虚位移原理
.建立力状态
..建立虚设的位移状态 …利用虚功原理求解
FxxFPP0
Fx
FP
P x
FP
b a
力状态 位移状态 单位位移状态
刚体虚位移原理：
已知刚体的力状态，虚设位移状态求未知力。
FP /2
FP /2
力状态
位移状态
注意：两种状态
（1）属同一体系；
（2）均为可能状态。即位移应满足变形协调条件（变 形与位移协调:位移连续、杆件变形后不断开、 不重叠。）；力状态应满足平衡条件。
（3）位移状态与力状态相互独立、完全无关；但相 互对应
2）刚体体系的虚功原理
ql2/2
q
x dx
x dx
2. 计算位移的目的
1）刚度要求。如： 在工程上，吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度；高层建筑
最大位移< 1/1000 高度。最大层间位移< 1/800 层高。铁 路
工程技术规范规定:桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最 大挠度 < 1/700 和1/900跨度
2) 超静定要求 3）施工要求
3. 本章位移计算的假定
A
B
W M A M B M (A B ) M
FP
FP
2
1
4)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力
FP
A
B FP
W FP A FP B FP ( A B ) FP
虚功: WFP
虚功: WMAA
虚功 P: 广义力
状态 FP
力状态
位移状态 q