(优选)离散数学一阶逻辑等值式
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离散数学第2章一阶逻辑
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2.1 一 阶 逻 辑 基 本 概 念
综上，有如下结论： (1)谓词中个体词的顺序不能随意变更。 (2)一元谓词用以描述一个个体的某种特性， 而n元谓词则用以描述n个个体之间的关系。 (3)0元谓词就是一般命题。 (4)具体命题的谓词表示形式和n元谓词是不同的， 前者是有真值的，而后者不是命题，它的 真值是不确定的。 (5)一个n元谓词不是一个命题，但将n元谓词中的 个体变项都用个体域中某个具体的个体取代后， 就成为一个命题。而且，个体变项在不同的个体域 中取不同的值对是否成为命题及命题的真值有很大 的影响。
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2.2.1 一阶逻辑公式的语言翻译 2.1 一 阶 逻 辑 基 本 概 念
例2.2.1 用一阶逻辑符号化下述语句. (1)天下乌鸦一般黑。 (2)没有人登上过木星。 (3)在美国留学的学生未必都是亚洲人。 (4)每个实数都存在比它大的另外的实数。 (5)尽管有人很聪明，但未必一切人都聪明 (6)对任意给定的ε >0，必存在着δ >0，使 得对任意的x，只要|x-a|<δ ，就有 |f(x)-f(a)|<ε 成立。
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2.1 一 阶 逻 辑 基 本 概 念
解： (1)设F(x):x是乌鸦；G(x,y):x与y一般黑 (x)(y)(F(x)F(y)G(x,y)) 或者 (x)(y)(F(x)F(y)G(x,y)) (2)设H(x):x是人；M(x):x登上过木星。 (x)(H(x)M(x)) 或 (x)(H(x) M(x)) (3)设H(x)：是亚洲人；A(x):是在美国留学的学生。 (x)(A(x) H(x)); 或者： (x)(A(x) H(x)) (4)设R(x):x是实数；L(x,y):x小于y (x)(R(x) (y)(R(y) L(x,y))); (5)设M(x):x是人；C(x):x很聪明 (x)(M(x)C(x)) (x)((M(x) C(x)); (6)对任意给定的ε >0，必存在着δ >0，使得对任意的x，只 要|x-a|<δ ，就有|f(x)-f(a)|<ε 成立。 (ε )((ε >0)(δ )((δ >0) (x)(( |x-a|<δ (|f(x)-f(a)|<ε )))) 28
2.1 一 阶 逻 辑 基 本 概 念
综上，有如下结论： (1)谓词中个体词的顺序不能随意变更。 (2)一元谓词用以描述一个个体的某种特性， 而n元谓词则用以描述n个个体之间的关系。 (3)0元谓词就是一般命题。 (4)具体命题的谓词表示形式和n元谓词是不同的， 前者是有真值的，而后者不是命题，它的 真值是不确定的。 (5)一个n元谓词不是一个命题，但将n元谓词中的 个体变项都用个体域中某个具体的个体取代后， 就成为一个命题。而且，个体变项在不同的个体域 中取不同的值对是否成为命题及命题的真值有很大 的影响。
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2.2.1 一阶逻辑公式的语言翻译 2.1 一 阶 逻 辑 基 本 概 念
例2.2.1 用一阶逻辑符号化下述语句. (1)天下乌鸦一般黑。 (2)没有人登上过木星。 (3)在美国留学的学生未必都是亚洲人。 (4)每个实数都存在比它大的另外的实数。 (5)尽管有人很聪明，但未必一切人都聪明 (6)对任意给定的ε >0，必存在着δ >0，使 得对任意的x，只要|x-a|<δ ，就有 |f(x)-f(a)|<ε 成立。
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2.1 一 阶 逻 辑 基 本 概 念
解： (1)设F(x):x是乌鸦；G(x,y):x与y一般黑 (x)(y)(F(x)F(y)G(x,y)) 或者 (x)(y)(F(x)F(y)G(x,y)) (2)设H(x):x是人；M(x):x登上过木星。 (x)(H(x)M(x)) 或 (x)(H(x) M(x)) (3)设H(x)：是亚洲人；A(x):是在美国留学的学生。 (x)(A(x) H(x)); 或者： (x)(A(x) H(x)) (4)设R(x):x是实数；L(x,y):x小于y (x)(R(x) (y)(R(y) L(x,y))); (5)设M(x):x是人；C(x):x很聪明 (x)(M(x)C(x)) (x)((M(x) C(x)); (6)对任意给定的ε >0，必存在着δ >0，使得对任意的x，只 要|x-a|<δ ，就有|f(x)-f(a)|<ε 成立。 (ε )((ε >0)(δ )((δ >0) (x)(( |x-a|<δ (|f(x)-f(a)|<ε )))) 28
第2章_一阶逻辑[离散数学离散数学(第四版)清华出版社]
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Table 2
Table2两个变量的量词
描述 xyP(x,y) yxP(x,y) xyP(x,y) xyP(x,y) 真 假 对于任意一组x和y， 存在一组x和y，使 P(x,y)为真 得P(x,y)为假 对于任意x，存在y， 存在x，对于任意y， 使得P(x,y)为真 P(x,y)为假 存在x，对于任意y， 对于任意x，存在y， P(x,y)为真 使得P(x,y)为假
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一阶逻辑基本概念
EXAMPLE 5
设P(x) 表示语句“x2<10.”，个体 域为不大于4的所有正整数。则x P(x)的真值是多少?
x P(x)=P(1)∧P(2)∧P(3)∧P(4) = 0
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一阶逻辑基本概念
DEFINITION 3.
谓 词 P(x) 的 存 在 量 化 (existential quantification)是一个按如下规则确定真值的命题：如果
11
一阶逻辑基本概念
为了进一步讨论命题函数P(x)的真值情况， 首先需要指定个体变量x的取值范围，即个体 域(universe of discourse, or domain)。每 一个个体变量x都有自己的个体域。如果没有 特别指定的个体域，则缺省为一个全个体域 (total universe of discourse) 即任意个体 均可以作为常量对x代入。
DEFINITION 4.
一阶逻辑公式及解释
谓词公式定义为：
(1)n元谓词是一个谓词公式； (2)若A是谓词公式，则(﹁A)也是谓词公式； (3)若A,B是谓词公式，则(A∧B)、(A∨B)、(A→B)、 (A↔B)也是谓词公式；
(4)若A是谓词公式，则xA，xA也是谓词公式。
(5)有限次地使用(1)~(4)所得到的也是谓词公式。
Table2两个变量的量词
描述 xyP(x,y) yxP(x,y) xyP(x,y) xyP(x,y) 真 假 对于任意一组x和y， 存在一组x和y，使 P(x,y)为真 得P(x,y)为假 对于任意x，存在y， 存在x，对于任意y， 使得P(x,y)为真 P(x,y)为假 存在x，对于任意y， 对于任意x，存在y， P(x,y)为真 使得P(x,y)为假
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一阶逻辑基本概念
EXAMPLE 5
设P(x) 表示语句“x2<10.”，个体 域为不大于4的所有正整数。则x P(x)的真值是多少?
x P(x)=P(1)∧P(2)∧P(3)∧P(4) = 0
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一阶逻辑基本概念
DEFINITION 3.
谓 词 P(x) 的 存 在 量 化 (existential quantification)是一个按如下规则确定真值的命题：如果
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一阶逻辑基本概念
为了进一步讨论命题函数P(x)的真值情况， 首先需要指定个体变量x的取值范围，即个体 域(universe of discourse, or domain)。每 一个个体变量x都有自己的个体域。如果没有 特别指定的个体域，则缺省为一个全个体域 (total universe of discourse) 即任意个体 均可以作为常量对x代入。
DEFINITION 4.
一阶逻辑公式及解释
谓词公式定义为：
(1)n元谓词是一个谓词公式； (2)若A是谓词公式，则(﹁A)也是谓词公式； (3)若A,B是谓词公式，则(A∧B)、(A∨B)、(A→B)、 (A↔B)也是谓词公式；
(4)若A是谓词公式，则xA，xA也是谓词公式。
(5)有限次地使用(1)~(4)所得到的也是谓词公式。
《离散数学》一阶逻辑
关于存在量词的:
x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B
x(A(x)B)xA(x)B
x(BA(x))BxA(x)
注意量词的变化
注意量词的变化
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证明:设D={a1,a2,…,an}
（1）x(A(x)∨B) (A(a1)∨B) ∧(A(a2)∨B)∧… ∧(A(an)∨B) (A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an)) ∨B xA(x)∨B
设D={a1,a2,…,an} xA(x)A(a1)A(a2)…A(an) xA(x)A(a1)A(a2)…A(an)
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量词否定等值式
❖定理2.1 量词否定等值式
▪ xA(x) xA(x)
▪ xA(x) xA(x)
❖证明:设D={a1,a2,…,an}
▪
xA(x)
A(a(A1)(∨a1)∧AA(a(a2)2∨)∧……∨∧AA(a(na)n))
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明确个体域
例2.（1） 凡人都要死的。（ 2） 有人活百岁以上
❖ 考虑个体域D为人类集合
▪ F(x)： x是要死的。 x F(x)
个体域不同，符号化不同
▪ G(x)： x活百岁以上。 x G(x)
❖ 考虑个体域为全总个体域
▪ 对于所有个体而言，如果它是人，则它是要死的。引入新谓词 M(x): x是人。
(此点以后再讨论)； ❖ 当个体域为有限集时，如果D={a1,a2,…an},由量词的意义可以看出，对于
任意的谓词A(x), 都有：
▪ xA(x) A(a1)∧A (a2) ∧…∧A (an); ▪ xA(x) A (a1)∨A (a2) ∨…∨A (an).
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嵌套量词
❖多个量词同时出现时，不能随意颠倒他们的顺序。 ❖对任意的x，存在着y，使得 x+y=5.
离散数学课件第二章 一阶逻辑
§2.1
一阶逻辑的基本概念
原因：命题逻辑不考虑命题之间的内在联系
和数量关系。
要反映这种内在联系，就要对命题逻 辑进行分析 , 分析出其中的个体词、谓词和 量词，再研究它们之间的逻辑关系，总结出 正确的推理形式和规则，这就是一阶(谓词) 逻辑的研究内容。 办法：将命题再次细分。
解决这个问题的方法： 在表示命题时，既表示出主语，也表示 出谓语，就可以解决上述问题。这就提出了 谓词的概念(谓词是用来刻划个体词的性质 或事物之间的关系的词,谓词S(x)相当于一 个函数).
§2.1 一阶逻辑的基本概念
2.1.1 个体、谓词和命题函数 在谓词逻辑中，将原子命题分解为谓词和个体两部分。
主语 谓语 宾语
讨论对象 对象的性质或关系
讨论对象
个体词（组）
谓词
个体词（组）
1、定义：在原子命题中，所描述的对象称为个体；用 以描述个体的性质或个体间关系的部分，称为谓词。
例2.1：分析下列个命题中的个体和谓词
如何表示？
2.1.3 命题函数 谓词本身并不是命题，只有谓词的括号内填入足够 的个体，才变成命题。 设 H(x) 是谓词 表示 x “能够到达山顶” ， l 表示个体李四， t 表示老虎， c 表示汽车， 那么H（l）， H（t）， H（c），等分别表示各 个不同的命题：但它们有一个共同的形式， 即 H（x） 当 x 分别取 l、 t、 c 时 就表示“李四能够到达山顶”，“老虎能够到达山 顶”，“汽车能够到达山顶”。
Discrete Mathematics
刘师少
Tel： 86613747（h） E-mail： lss@
授课:
51学时
教学目标:
知识、能力、素质
第二章 一阶逻辑
离散数学一阶逻辑等值演算
推理系统通常由一组公理和推理规则组成，公理是 不需要证明的基本命题，而推理规则则指导如何从 已知命题推导出新命题。
在一阶逻辑中，推理系统还包括量词和谓词，量词 用于描述个体的数量，谓词则用于描述个体的性质 。
推理系统的构造
构造推理系统需要确定系统的 公理和推理规则。
公理的选择应确保系统的一致 性和完备性，即从公理推导出 的结论不与已知事实相矛盾， 并且所有需要的结论都能从公 理推导出来。
离散数学一阶逻辑等值演算的展望
形式化方法的普及和应用
随着计算机科学的不断发展，离散数学一阶逻辑等值演算的形式化方法将更加普及和应 用，成为解决复杂问题的关键工具之一。
人工智能与离散数学的深度融合
未来的人工智能系统将更加依赖于离散数学一阶逻辑等值演算的形式化方法，以实现更 加智能化的推理和决策。
新兴领域的应用拓展
离散数学一阶逻辑等值演算
目
CONTENCT
录
• 离散数学概述 • 一阶逻辑基础 • 等值演算 • 推理系统 • 应用实例 • 离散数学一阶逻辑等值演算的发展
趋势与展望
01
离散数学概述
定义与特点
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、图、树、逻辑等）的数学分 支的总称。
特点
离散数学主要关注离散对象的结构、性质和关系，通常不涉及连 续的量或函数。
离散概率论是研究离散随机事件的数学分支，例如扔骰子、抽签等。一阶逻辑等值演算在离散概率论 中也有着重要的应用。
利用一阶逻辑等值演算，可以描述随机事件之间的关系和性质，例如计算事件的概率、推导事件的独 立性等。这些描述方法有助于深入理解随机事件和概率分布，为解决实际问题提供有力支持。
06
离散数学一阶逻辑等值演算的发展趋势与展望
在一阶逻辑中，推理系统还包括量词和谓词，量词 用于描述个体的数量，谓词则用于描述个体的性质 。
推理系统的构造
构造推理系统需要确定系统的 公理和推理规则。
公理的选择应确保系统的一致 性和完备性，即从公理推导出 的结论不与已知事实相矛盾， 并且所有需要的结论都能从公 理推导出来。
离散数学一阶逻辑等值演算的展望
形式化方法的普及和应用
随着计算机科学的不断发展，离散数学一阶逻辑等值演算的形式化方法将更加普及和应 用，成为解决复杂问题的关键工具之一。
人工智能与离散数学的深度融合
未来的人工智能系统将更加依赖于离散数学一阶逻辑等值演算的形式化方法，以实现更 加智能化的推理和决策。
新兴领域的应用拓展
离散数学一阶逻辑等值演算
目
CONTENCT
录
• 离散数学概述 • 一阶逻辑基础 • 等值演算 • 推理系统 • 应用实例 • 离散数学一阶逻辑等值演算的发展
趋势与展望
01
离散数学概述
定义与特点
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、图、树、逻辑等）的数学分 支的总称。
特点
离散数学主要关注离散对象的结构、性质和关系，通常不涉及连 续的量或函数。
离散概率论是研究离散随机事件的数学分支，例如扔骰子、抽签等。一阶逻辑等值演算在离散概率论 中也有着重要的应用。
利用一阶逻辑等值演算，可以描述随机事件之间的关系和性质，例如计算事件的概率、推导事件的独 立性等。这些描述方法有助于深入理解随机事件和概率分布，为解决实际问题提供有力支持。
06
离散数学一阶逻辑等值演算的发展趋势与展望
《离散数学》第二章一阶逻辑
解：定义特性谓词M(x)：x是在美国留学的学生。
定义谓词F(x)：x是亚洲人。 x(M ( x) F ( x))
x(M ( x) F ( x))
真值： T
2013-7-29
离散数学
27
例：将下列命题符号化。 (1) 兔子比乌龟跑得快.
解：定义特性谓词F(x)：x是兔子。
G(y): y是乌龟。
x(M ( x) F ( x))
x(M ( x) F ( x))
考虑所有狮子都喝咖啡的情况。
左式为假，符合原句的意思。 对右式而言，设x是老虎，则右式为真。这和原 句是矛盾的。
2013-7-29
离散数学
19
个体域对命题符号化的影响
例：将下列命题符号化。要求个体域为： （1）有理数集合；（2）实数集合；（3）全总个体域。 1. 凡是有理数均可表示成分数。 解：设P (x)：x是有理数。 Q (x)：x可以表示成分数。 （1）有理数集合：x Q(x) （2）实数集合： x (P(x) Q(x)) （3）全总个体域：x (P(x) Q(x)) 2. 有的有理数是整数。 解：设P (x)：x是有理数。 I (x)：x是整数。 （1）有理数集合： x I (x) （2）实数集合： x (P(x) I(x)) （3）全总个体域： x (P(x) I(x))
第二章 一阶逻辑
浙江工业大学计算机学院 浙江工业大学软件学院
2013-7-29
离散数学
1
所有的人都是要死的。 苏格拉底是人， 所以苏格拉底是要死的。
2013-7-29
离散数学
2
命题逻辑的局限
符号化： P:所有的人都是要死的。 Q:苏格拉底是人， R:所以苏格拉底是要死的。 P∧Q→R 推理正确吗? 命题逻辑不能表现出简单命题中各部分的内在联系。
定义谓词F(x)：x是亚洲人。 x(M ( x) F ( x))
x(M ( x) F ( x))
真值： T
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例：将下列命题符号化。 (1) 兔子比乌龟跑得快.
解：定义特性谓词F(x)：x是兔子。
G(y): y是乌龟。
x(M ( x) F ( x))
x(M ( x) F ( x))
考虑所有狮子都喝咖啡的情况。
左式为假，符合原句的意思。 对右式而言，设x是老虎，则右式为真。这和原 句是矛盾的。
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离散数学
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个体域对命题符号化的影响
例：将下列命题符号化。要求个体域为： （1）有理数集合；（2）实数集合；（3）全总个体域。 1. 凡是有理数均可表示成分数。 解：设P (x)：x是有理数。 Q (x)：x可以表示成分数。 （1）有理数集合：x Q(x) （2）实数集合： x (P(x) Q(x)) （3）全总个体域：x (P(x) Q(x)) 2. 有的有理数是整数。 解：设P (x)：x是有理数。 I (x)：x是整数。 （1）有理数集合： x I (x) （2）实数集合： x (P(x) I(x)) （3）全总个体域： x (P(x) I(x))
第二章 一阶逻辑
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1
所有的人都是要死的。 苏格拉底是人， 所以苏格拉底是要死的。
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命题逻辑的局限
符号化： P:所有的人都是要死的。 Q:苏格拉底是人， R:所以苏格拉底是要死的。 P∧Q→R 推理正确吗? 命题逻辑不能表现出简单命题中各部分的内在联系。
离散数学第五章一阶逻辑等值演算与推理
5.1 一阶逻辑等值式与置换规则定义5.1设A，B是一阶逻辑中任意两个公式，若A B是永真式，则称A与B 是等值的。
记做A B，称A B是等值式。
谓词逻辑中关于联结词的等值式与命题逻辑中相关等值式类似。
下面主要讨论关于量词的等值式。
一、基本等值式第一组代换实例由于命题逻辑中的重言式的代换实例都是一阶逻辑中的永真式，因而第二章的16组等值式给出的代换实例都是一阶逻辑的等值式的模式。
例如：xF(x)┐┐xF(x)x y(F(x,y)→G(x,y))┐┐x y(F(x,y)→G(x,y))等都是(2.1)式的代换实例。
又如：F(x)→G(y)┐F(x)∨G(y)x(F(x)→G(y))→zH(z)┐x(F(x)→G(y))∨zH(z))等都是(2.1)式的代换实例。
第二组消去量词等值式设个体域为有限域D={a1,a2,…,a n}，则有(1)xA(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(a n)(2)xA(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(a n) (5.1)第三组量词否定等值式设A(x)是任意的含有自由出现个体变项x的公式，则(1)┐xA(x)x┐A(x)(2)┐xA(x)x┐A(x)(5.2)(5.2)式的直观解释是容易的。
对于(1)式，“并不是所有的x都有性质A”与“存在x没有性质A”是一回事。
对于(2)式，“不存在有性质A的x”与“所有x都没有性质A”是一回事。
第四组量词辖域收缩与扩张等值式设A(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，B中不含x的出现，则(1)x(A(x)∨B)xA(x)∨Bx(A(x)∧B)xA(x)∧Bx(A(x)→B)xA(x)→Bx(B→A(x))B→xA(x) (5.3)(2)x(A(x)∨B)xA(x)∨Bx(A(x)∧B)xA(x)∧Bx(A(x)→B)xA(x)→Bx(B→A(x))B→xA(x) (5.4)注意：这些等值式的条件。
第五组量词分配等值式设A(x)，B(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，则(1)x(A(x)∧B(x)）xA(x)∧xB(x)(2)x(A(x)∨B(x)）xA(x)∨xB(x) (5.5)二、基本规则1．置换规则设Φ(A)是含公式A的公式，Φ(B)是用公式B取代Φ(A)中所有的A之后的公式，若A B，则Φ(A)Φ(B).一阶逻辑中的置换规则与命题逻辑中的置换规则形式上完全相同，只是在这里A，B 是一阶逻辑公式。
离散数学 第二章：一阶逻辑
(1) xF(x) yH(x, y);
(2) xF(x) G(x, y);
(3) xyR(x, y) L(y, z) xH(x, y).
2.闭式
定义6. 设A为任一公式,若A中无自由出现的个体变项,则称A是 封闭的合式公式,简记闭式.
例: xF(x) G(x),xyF(x) G(x, y) 闭式, 但 xF(x) G(x, y),zyL(x, y, z) 不是闭式.
(1)所有的人都要死的. (2)有的人活百岁以上.
全称量词:一切,所有,任意. 用 表示.
1.量词
x：表示对个体域中的所有个
xF(x)体：表. 示个体域中的所有个体都具有性质F.
存在量词:存在着,有一个,至少有一个. 用 表示.
x：表示存在个体域里的个体.
xF ( x)：表示存在着个体域中的个体具有性质F.
（2）xR(x) G(x), 其中 G(x): x是整数.
3) 同2).
例3. 将下面命题符号化. (1)对所有的x ,均有 x2-1=(x+1)(x-1). (2)存在x,使得 x+5=2.
要求: 1)个体域为自然数集合. 2)个体域为实数集合.
解：1) 不用引入特性谓词.
（1）xF(x), 其中 F(x): x2-1=(x+1)(x-1). 真命题
（3） xF(x) yF(y) L(x, y),
其中 F(x): x是自然数, L(x,y): y是 x的先驱数.
§2.2 一阶逻辑合式公式及解释
一、合式公式
1.字母表 定义1.字母表如下: (1)个体常项: a,b,c,… (2)个体变项: x,y,z,… (3)函数符号: f,g,h,… (4)谓词符号: F,G,H,…
(2) xF(x) G(x, y);
(3) xyR(x, y) L(y, z) xH(x, y).
2.闭式
定义6. 设A为任一公式,若A中无自由出现的个体变项,则称A是 封闭的合式公式,简记闭式.
例: xF(x) G(x),xyF(x) G(x, y) 闭式, 但 xF(x) G(x, y),zyL(x, y, z) 不是闭式.
(1)所有的人都要死的. (2)有的人活百岁以上.
全称量词:一切,所有,任意. 用 表示.
1.量词
x：表示对个体域中的所有个
xF(x)体：表. 示个体域中的所有个体都具有性质F.
存在量词:存在着,有一个,至少有一个. 用 表示.
x：表示存在个体域里的个体.
xF ( x)：表示存在着个体域中的个体具有性质F.
（2）xR(x) G(x), 其中 G(x): x是整数.
3) 同2).
例3. 将下面命题符号化. (1)对所有的x ,均有 x2-1=(x+1)(x-1). (2)存在x,使得 x+5=2.
要求: 1)个体域为自然数集合. 2)个体域为实数集合.
解：1) 不用引入特性谓词.
（1）xF(x), 其中 F(x): x2-1=(x+1)(x-1). 真命题
（3） xF(x) yF(y) L(x, y),
其中 F(x): x是自然数, L(x,y): y是 x的先驱数.
§2.2 一阶逻辑合式公式及解释
一、合式公式
1.字母表 定义1.字母表如下: (1)个体常项: a,b,c,… (2)个体变项: x,y,z,… (3)函数符号: f,g,h,… (4)谓词符号: F,G,H,…
离散数学第二章
(5) 只有有限次地应用(1)－(4)构成的符号串
才是合式公式(也称谓词公式)，简称公式。
(1) x( P( x) Q( y)) (2) x(G( x) xH ( x, y)) (3) x(y(R( x, y)) F ( x)) (4), x2 , xn )是任意 n 元谓词，
t1 , t2 ,, tn 是项，则称 R(t1 , t2 ,, tn ) 为原子公式。
4、合式公式的递归定义。
(1) 原子公式是合式公式；
(2) 若 A 是合式公式，则(A)也是合式公式；
(3)若 A, B 是合式公式，则( A B),( A B),
个体常项
用 a, b, c 表示
个体词 个体变项
用 x, y , z 表示
个体域(或称论域)——个体变项取值的范围。 2、 谓词——刻画个体词的性质或 个体词之间关系的词。
谓词常项
谓词 谓词变项
都用 F , G, H 表示
n元谓词(用 F ( x1 , x2 ,, xn ) 表示) 如 F ( x, y)：x 比 y 高。
构成了公式的一个解释。
1、解释 I 由以下4部分组成： (3) D 上一些特定的函数； (4) D 上一些特定的谓词；
例1 A x( P( x) Q( x))
I : D {2,3}, P( x) : x 2, Q( x) : x 3
A x( P( x) Q( x))
性质F 1 D中至少有一个元素满足 xF ( x) : D中所有元素不满足性质 F 0
D {a1, a1,, an }
xF( x) F (a1 ) F (a2 ) F (an ) xF( x) F (a1 ) F (a2 ) F (an )
(优选)离散数学一阶逻辑等值式
（优选）离散数学一 阶逻辑等值式
1
基本等值式:
消去量词等值式 设D={a1,a2,…,an} (1) xA(x)A(a1)A(a2)…A(an) (2) xA(x)A(a1)A(a2)…A(an)
量词否定等值式 (1) xA(x) x A(x) (2) xA(x) x A(x)
基本等值式(续)
推理规则(续)
(13) 全称量词引入规则（简记为UG规则或UG）
A( y) xA( x)
该式成立的条件是： y是A(y)中自由出现的个体变项； 无论y取何值，A(y)应该均为真； 取代自由出现的y的x，也不能在A(y)中约束出 现.
推理规则(续)
(14) 存在量词引入规则（简记为EG规则或EG）
A( c ) xA( x)
该式成立的条件是： c是使A为真的特定个体常项. 取代c的x不能在A(c)中出现过.
推理规则(续)
(15) 存在量词消去规则（简记为EI规则或EI）
xA( x) A(c)
该式成立的条件是： c是使A为真的特定的个体常项. c不在A(x)中出现. 若A(x)中除自由出现的x外，还有其他自由出现 的个体变项，此规则不能使用.
前束范式
定义 设A为一个一阶逻辑公式, 若A具有如下形式 Q1x1Q2x2…QkxkB, 则称A为前束范式, 其中Qi (1ik) 为或，B为不含量词的公式.
例如，xy(F(x)(G(y)H(x,y))) x(F(x)G(x))
是前束范式, 而 x(F(x)y(G(y)H(x,y))) x(F(x)G(x))
(5) x(F(x,y)y(G(x,y)H(x,z))) 解 用换名规则, 也可用代替规则, 这里用代替规则
x(F(x,y)y(G(x,y)H(x,z))) x(F(x,u)y(G(x,y)H(x,z))) xy(F(x,u)G(x,y)H(x,z))) 注意：x与y不能颠倒
1
基本等值式:
消去量词等值式 设D={a1,a2,…,an} (1) xA(x)A(a1)A(a2)…A(an) (2) xA(x)A(a1)A(a2)…A(an)
量词否定等值式 (1) xA(x) x A(x) (2) xA(x) x A(x)
基本等值式(续)
推理规则(续)
(13) 全称量词引入规则（简记为UG规则或UG）
A( y) xA( x)
该式成立的条件是： y是A(y)中自由出现的个体变项； 无论y取何值，A(y)应该均为真； 取代自由出现的y的x，也不能在A(y)中约束出 现.
推理规则(续)
(14) 存在量词引入规则（简记为EG规则或EG）
A( c ) xA( x)
该式成立的条件是： c是使A为真的特定个体常项. 取代c的x不能在A(c)中出现过.
推理规则(续)
(15) 存在量词消去规则（简记为EI规则或EI）
xA( x) A(c)
该式成立的条件是： c是使A为真的特定的个体常项. c不在A(x)中出现. 若A(x)中除自由出现的x外，还有其他自由出现 的个体变项，此规则不能使用.
前束范式
定义 设A为一个一阶逻辑公式, 若A具有如下形式 Q1x1Q2x2…QkxkB, 则称A为前束范式, 其中Qi (1ik) 为或，B为不含量词的公式.
例如，xy(F(x)(G(y)H(x,y))) x(F(x)G(x))
是前束范式, 而 x(F(x)y(G(y)H(x,y))) x(F(x)G(x))
(5) x(F(x,y)y(G(x,y)H(x,z))) 解 用换名规则, 也可用代替规则, 这里用代替规则
x(F(x,y)y(G(x,y)H(x,z))) x(F(x,u)y(G(x,y)H(x,z))) xy(F(x,u)G(x,y)H(x,z))) 注意：x与y不能颠倒
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量词辖域收缩与扩张等值式
设A(x)是含x自由出现的公式，B中不含x的出现
关于全称量词的：
关于存在量词的:
x(A(x)B)xA(x)B
x(A(x)B)xA(x)B
x(A(x)B)xA(x)B
x(A(x)B)xA(x)B
x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B
x(BA(x))BxA(x) x(BA(x))BxA(x)
(5) x(F(x,y)y(G(x,y)H(x,z))) 解 用换名规则, 也可用代替规则, 这里用代替规则
x(F(x,y)y(G(x,y)H(x,z))) x(F(x,u)y(G(x,y)H(x,z))) xy(F(x,u)G(x,y)H(x,z))) 注意：x与y不能颠倒
2.4 一阶逻辑推理理论
不是前束范式，
公式的前束范式
定理（前束范式存在定理）一阶逻辑中的任何公 式都存在与之等值的前束范式
注意: 公式的前束范式不惟一 求公式的前束范式的方法: 利用重要等值式、 置换规则、换名规则、代替规则进行等值演算.
换名规则与代替规则
换名规则: 将量词辖域中出现的某个约束出现的 个体变项及对应的指导变项，改成另一个辖域中未 曾出现过的个体变项符号，公式中其余部分不变， 则所得公式与原来的公式等值. 代替规则: 对某自由出现的个体变项用与原公式 中所有个体变项符号不同的符号去代替，则所得公 式与原来的公式等值.
例 将下面命题用两种形式符号化 (1) 没有不犯错误的人 (2) 不是所有的人都爱看电影
解 (1) 令F(x)：x是人，G(x)：x犯错误. x(F(x)G(x))
x(F(x)G(x)) 请给出演算过程，并说明理由. (2) 令F(x)：x是人，G(x)：爱看电影. x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x)) 给出演算过程，并说明理由.
前束范式
定义 设A为一个一阶逻辑公式, 若A具有如下形式 Q1x1Q2x2…QkxkB, 则称A为前束范式, 其中Qi (1ik) 为或，B为不含量词的公式.
例如，xy(F(x)(G(y)H(x,y))) x(F(x)G(x))
是前束范式, 而 x(F(x)y(G(y)H(x,y))) x(F(x)G(x))
xF(x)xG(x) xF(x)xG(x) xF(x)yG(y) xy(F(x)G(y)) 两种形式是等值的
（量词否定等值式） （量词分配等值式）
( 代替规则 ) ( 量词辖域扩张 )
例(续)
(3) xF(x)xG(x)
解 xF(x)xG(x)
xF(x)xG(x)
x(F(x)G(x))
（为什么？）
真值表法, 等值演算法, 主析取范式法及构造证 明法. 前3种方法采用第一种形式结构, 构造证明 法采用第二种形式结构.
重要的推理定律
第一组 命题逻辑推理定律代换实例 如 xF(x)yG(y)xF(x)为化简律代换实例.
第二组 由基本等值式生成 如 由 xA(x)xA(x) 生成 xA(x)xA(x), xA(x)xA(x), …
或 xy(F(x)G(y)) （为什么？）
(4) xF(x)y(G(x,y)H(y))
解 xF(x)y(G(x,y)H(y))
zF(z)y(G(x,y)H(y)) （换名规则）
zy(F(z)(G(x,y)H(y))) （为什么？）
例(续)
或 xF(x)y(G(z,y)H(y)) （代替规则） xy(F(x)(G(z,y)H(y)))
(2)结论引入规则 (4)假言推理规则 (6)化简规则 (8)假言三段论规则 (10)构造性二难推理规则
推理规则(续)
(12) 全称量词消去规则（简记为UI规则或UI）
xA( x) 或 xA( x)
A( y)
A(c)
两式成立的条件是：
x是A(x)中的自由出现的个体变项 在第一式中，取代x的y应为任意的不在A(x)中 约束出现的个体变项. 在第二式中，c为任意个体常项. 用y或c去取代A(x)中的自由出现的x时，一定要 在x自由出现的一切地方进行取代.
（优选）离散数学一 阶逻辑等值式
1
基本等值式:
消去量词等值式 设D={a1,a2,…,an} (1) xA(x)A(a1)A(a2)…A(an) (2) xA(x)A(a1)A(a2)…A(an)
量词否定等值式 (1) xA(x) x A(x) (2) xA(x) x A(x)
基本等值式(续)
▪ 推理的形式结构 ▪ 判断推理是否正确的方法 ▪ 重要的推理定律 ▪ 推理规则 ▪ 构造证明 ▪ 附加前提证明法
推理
推理的形式结构有两种：
第一种 A1A2…AkB (*) 第二种 前提：A1，A2，…，Ak
结论： B 其中 A1,A2,…,Ak,B为一阶逻辑公式. 若(*)为永真式, 则称推理正确, 否则称推理不正确. 判断方法:
第三组
xA(x)xB(x)x(A(x)B(x)) x(A(x)B(x))xA(x)xB(x) x（A(x) B(x)） xA(x) x B(x)） x（A(x) B(x)） xA(x) x B(x)）
推理规则
(1)前提引入规则 (3)置换规则 (5)附加规则 (7)拒取式规则 (9)析取三段论规则 (11)合取引入规则
基本的等值式(续)
量词分配等值式 x(A(x)B(x))xA(x)xB(x) x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
注意：对无分配律，对无分配律
量词等值式 x y A(x,y) y x A(x,y) x y y x A(等值式(续)
公式的前束范式(续)
例 求下列公式的前束范式
(1) x(M(x)F(x)) 解 x(M(x)F(x))
x(M(x)F(x))
（量词否定等值式）
x(M(x)F(x)) 两步结果都是前束范式，说明前束范式不惟一.
例(续)
(2) xF(x)xG(x) 解 xF(x)xG(x)
xF(x)xG(x) x(F(x)G(x)) 另有一种形式
推理规则(续)
(13) 全称量词引入规则（简记为UG规则或UG）
A( y) xA( x)
该式成立的条件是： y是A(y)中自由出现的个体变项； 无论y取何值，A(y)应该均为真； 取代自由出现的y的x，也不能在A(y)中约束出 现.