计算水力学第三章
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水力学第三章第二部分
下午3时36分33秒
3.9 圆管内液体的紊流运动
因为
e
32.8d
Re
（1）当雷诺数较小时，δe较大，以至于壁面凸起完全 被粘性底层所覆盖，紊流流核被粘性底层与壁面凸起完
全隔开，此时紊流阻力不受壁面粗糙凸起的影响，沿程
阻力系数只和雷诺数有关。
——光滑紊流，水力光滑壁，水力光滑管。
下午3时36分33秒
下午概3时念36分对33紊秒 流均适用。
3 圆管紊流断面分区结构
在紊流中，水流贴附在边界面上的质点，边壁对其横 向运动有限制作用，质点几乎平行于边壁的迹线慢慢运动
，故其脉动很小，而流速梯度du/dy较大，粘性切应力τ起
主导作用，其流态基本属于层流，因而在紊流中： ①紧靠固体边界有一极薄的层流运动流层称为粘性底层； ②在层流底层以外是紊流，称之为紊流区（是紊流主体） ； ③两液层还有一层极薄的过渡层。（因该层无研究价值可 不考虑）
水力学
xx交通学院
下午3时36分33秒
复习
1 沿程损失的产生原 因及其影响因素。
产生原因是流体的粘 性和惯性以及管道的粗 糙度等，因而这种损失 的大小与流体的流动状 态（层流或紊流）有密 切关系。
沿程损失的大小与流 过的管道长度成正比， 与流态相关
下午3时36分33秒
2 局部损失的产生原 因及其影响因素。
f f f
瞬时流速，时均流速，脉动流速
下午3时36分33秒
3.7 液体的紊流运动
2 紊流运动的特征
f 1
T
fdt
To
脉动值的时均值为零
f 1
T f dt 1
T
( f f )dt
To
To
1
T f dt 1
3.9 圆管内液体的紊流运动
因为
e
32.8d
Re
（1）当雷诺数较小时，δe较大，以至于壁面凸起完全 被粘性底层所覆盖，紊流流核被粘性底层与壁面凸起完
全隔开，此时紊流阻力不受壁面粗糙凸起的影响，沿程
阻力系数只和雷诺数有关。
——光滑紊流，水力光滑壁，水力光滑管。
下午3时36分33秒
下午概3时念36分对33紊秒 流均适用。
3 圆管紊流断面分区结构
在紊流中，水流贴附在边界面上的质点，边壁对其横 向运动有限制作用，质点几乎平行于边壁的迹线慢慢运动
，故其脉动很小，而流速梯度du/dy较大，粘性切应力τ起
主导作用，其流态基本属于层流，因而在紊流中： ①紧靠固体边界有一极薄的层流运动流层称为粘性底层； ②在层流底层以外是紊流，称之为紊流区（是紊流主体） ； ③两液层还有一层极薄的过渡层。（因该层无研究价值可 不考虑）
水力学
xx交通学院
下午3时36分33秒
复习
1 沿程损失的产生原 因及其影响因素。
产生原因是流体的粘 性和惯性以及管道的粗 糙度等，因而这种损失 的大小与流体的流动状 态（层流或紊流）有密 切关系。
沿程损失的大小与流 过的管道长度成正比， 与流态相关
下午3时36分33秒
2 局部损失的产生原 因及其影响因素。
f f f
瞬时流速，时均流速，脉动流速
下午3时36分33秒
3.7 液体的紊流运动
2 紊流运动的特征
f 1
T
fdt
To
脉动值的时均值为零
f 1
T f dt 1
T
( f f )dt
To
To
1
T f dt 1
(整理)第三章给水排水管道系统水力计算基础
第三章给水排水管道系统水力计算基础本章内容：1、水头损失计算2、无压圆管的水力计算3、水力等效简化本章难点：无压圆管的水力计算第一节基本概念一、管道内水流特征进行水力计算前首先要进行流态的判别。
判别流态的标准采用临界雷诺数Re k，临界雷诺数大都稳定在2000左右，当计算出的雷诺数Re小于2000时，一般为层流，当Re大于4000时，一般为紊流，当Re介于2000到4000之间时，水流状态不稳定，属于过渡流态。
对给水排水管道进行水力计算时，管道内流体流态均按紊流考虑紊流流态又分为三个阻力特征区：紊流光滑区、紊流过渡区及紊流粗糙管区。
二、有压流与无压流水体沿流程整个周界与固体壁面接触，而无自由液面，这种流动称为有压流或压力流。
水体沿流程一部分周界与固体壁面接触，另一部分与空气接触，具有自由液面，这种流动称为无压流或重力流给水管道基本上采用有压流输水方式，而排水管道大都采用无压流输水方式。
从水流断面形式看，在给水排水管道中采用圆管最多三、恒定流与非恒定流给水排水管道中水流的运动，由于用水量和排水量的经常性变化，均处于非恒定流状态，但是，非恒定流的水力计算特别复杂，在设计时，一般也只能按恒定流(又称稳定流)计算。
四、均匀流与非均匀流液体质点流速的大小和方向沿流程不变的流动，称为均匀流；反之，液体质点流速的大小和方向沿流程变化的流动，称为非均匀流。
从总体上看，给水排水管道中的水流不但多为非恒定流，且常为非均匀流，即水流参数往往随时间和空间变化。
对于满管流动，如果管道截面在一段距离内不变且不发生转弯，则管内流动为均匀流；而当管道在局部有交汇、转弯与变截面时，管内流动为非均匀流。
均匀流的管道对水流的阻力沿程不变，水流的水头损失可以采用沿程水头损失公式进行计算；满管流的非均匀流动距离一般较短，采用局部水头损失公式进行计算。
对于非满管流或明渠流，只要长距离截面不变，也没有转弯或交汇时，也可以近似为均匀流，按沿程水头损失公式进行水力计算，对于短距离或特殊情况下的非均匀流动则运用水力学理论按缓流或急流计算。
水力学课件 第三章_水动力学基础
(1) 渐变流过水断面近似为平面；
(2) 恒定渐变流 过水断面上，动水压强近似 地按静水压强分布。
z p C
取过水断面上任意两相邻流线 间的微小液柱。轴向受力分析：
1） 表面力
液柱上、下底面 的动水压力 pdω与(p+dp)dω
液柱侧面
的动水压力及摩擦力趋于零；
液柱底面的 摩擦力，与液柱垂直。
2） 质量力 自重分力：γdωdn cosα 惯性力：恒定渐变流条件下略去不计。
用欧拉法描述液体运动时，液体运动质点的加速度是当地加速 度与迁移加速度之和。
当地加速度: 固定点速度随时间的变化，
第一项：
ux
/ t,u y
/ t,uz
/ t
迁移加速度:等号右边括号内项反映了在同一时刻因地 点变更而形成的加速度。
§3—2 欧拉法的若干基本概念
1． 迹线和流线 迹线则是同一质点在一个时段内运动的轨迹线。
活学活用
பைடு நூலகம்
恒定渐变流中，同一过水断面上的动水压强近似按地静水压强分布 恒定均匀流中，同一过水断面上的动水压强精确地按静水压强分布
对恒定均匀流， z p C
同一过水断面上:
对于断面AB
pA
zA
pB
zB
C1
pA ? pB ?
对于断面CD
pC
zC
pD
zD
C2
pC ? pD ?
pA
zA
pB
zB
pC
zC
C
pA ? pB ? pC ?
§3—3 恒定总流的连续性方程
考虑到： (1)在恒定流条件下，元流的形状与位置不随时间改变； (2)不可能有液体经元流侧面流进或流出； (3)液流为连续介质，元流内部不存在空隙。
(2) 恒定渐变流 过水断面上，动水压强近似 地按静水压强分布。
z p C
取过水断面上任意两相邻流线 间的微小液柱。轴向受力分析：
1） 表面力
液柱上、下底面 的动水压力 pdω与(p+dp)dω
液柱侧面
的动水压力及摩擦力趋于零；
液柱底面的 摩擦力，与液柱垂直。
2） 质量力 自重分力：γdωdn cosα 惯性力：恒定渐变流条件下略去不计。
用欧拉法描述液体运动时，液体运动质点的加速度是当地加速 度与迁移加速度之和。
当地加速度: 固定点速度随时间的变化，
第一项：
ux
/ t,u y
/ t,uz
/ t
迁移加速度:等号右边括号内项反映了在同一时刻因地 点变更而形成的加速度。
§3—2 欧拉法的若干基本概念
1． 迹线和流线 迹线则是同一质点在一个时段内运动的轨迹线。
活学活用
பைடு நூலகம்
恒定渐变流中，同一过水断面上的动水压强近似按地静水压强分布 恒定均匀流中，同一过水断面上的动水压强精确地按静水压强分布
对恒定均匀流， z p C
同一过水断面上:
对于断面AB
pA
zA
pB
zB
C1
pA ? pB ?
对于断面CD
pC
zC
pD
zD
C2
pC ? pD ?
pA
zA
pB
zB
pC
zC
C
pA ? pB ? pC ?
§3—3 恒定总流的连续性方程
考虑到： (1)在恒定流条件下，元流的形状与位置不随时间改变； (2)不可能有液体经元流侧面流进或流出； (3)液流为连续介质，元流内部不存在空隙。
第3章管网水力学
水力计算图表 等比例简化 已知公式中的三项求解其余两项 这部分自学
第3章 管网水力学
3.3 管道的水力等效简化
水力等效简化原则：等效后管网与原系统具有相 同的水力特性。
第3章 管网水力学
3.3 管道的水力等效简化
3.3.1 串联和并联管道的简化
串联管道的简化
L
l1
l2
lN
d1
d2
dN
串联管道
l d [ N
hp he spqpn
当不计管路水头损失时，则有如下流量与扬程对应关 系，见下表
第3章 管网水力学
3.4 水泵和泵站
3.4.2 水泵和泵站特性曲线
单台q 单台he 单台sp 单台hp N台q N台he N台sp N台hp
q
he
sp
hp
Nq
he
？？ hp？
得同型号水泵并联水力特性公式
hp he sp/ (Nqp )n he spqpn
2. hf 1051.852* 0.74.87 *800 2.25m 3.ξ=0.9*2+0.1*6+0.19*2=2.78
1.2482 4. hm 2.78* 2*9.8 0.22m
5.0.22/2.25=0.10=10%.
第3章 管网水力学
3.2 管渠水头损失计算
3.2.3 非满管流水力计算
]1/ m
li
dm
i1
i
当串联管段管径相同时呢？
第3章 管网水力学
3.3 管道的水力等效简化
3.3.1 串联和并联管道的简化
并联管道的简化
d1
q1
d2
q2
dN
qN
d
q
并联管道
第3章 管网水力学
3.3 管道的水力等效简化
水力等效简化原则：等效后管网与原系统具有相 同的水力特性。
第3章 管网水力学
3.3 管道的水力等效简化
3.3.1 串联和并联管道的简化
串联管道的简化
L
l1
l2
lN
d1
d2
dN
串联管道
l d [ N
hp he spqpn
当不计管路水头损失时，则有如下流量与扬程对应关 系，见下表
第3章 管网水力学
3.4 水泵和泵站
3.4.2 水泵和泵站特性曲线
单台q 单台he 单台sp 单台hp N台q N台he N台sp N台hp
q
he
sp
hp
Nq
he
？？ hp？
得同型号水泵并联水力特性公式
hp he sp/ (Nqp )n he spqpn
2. hf 1051.852* 0.74.87 *800 2.25m 3.ξ=0.9*2+0.1*6+0.19*2=2.78
1.2482 4. hm 2.78* 2*9.8 0.22m
5.0.22/2.25=0.10=10%.
第3章 管网水力学
3.2 管渠水头损失计算
3.2.3 非满管流水力计算
]1/ m
li
dm
i1
i
当串联管段管径相同时呢？
第3章 管网水力学
3.3 管道的水力等效简化
3.3.1 串联和并联管道的简化
并联管道的简化
d1
q1
d2
q2
dN
qN
d
q
并联管道
第3章-给水排水管网水力学基础
当并联管道直径相同时，等效直径：
n
d (N)m di
kqNn l
d
m N
干管配水情况
3.4.2 沿线均匀出流的简化
给水管网中的配水管沿线向用户供水，如图3.6所示。假设沿线出流是 均匀的，则管道内任意断面x上的流量可以表示为：
qx
qt
l
l
x
ql
沿程水头损失：
h f
l
k (qt
l
l
x
2y) D
或
y / D (1 cos ) / 2
2
式中，θ的单位为弧度。
过水断面面积、湿周 和水力半径依次为，
A D2 ( sin ) ，
8
D 和
2
R A D ( sin ) 4
设该管道的坡度为I，满管流时的过水断面面积、水力半径、流量和流速分别 为A0、R0、q0和v0，可得
A0 D2 / 4 ， R0 D / 4 ，
3.1.2 恒定流与非恒定流 由于用水量和排水量的经常性变化，给水排水管道中的流量和流速随时间变化，
水流经常处于非恒定流（又称非稳定流）状态。但是，非恒定流的水力计算 比较复杂，在管网工程设计和水力计算时，一般按恒定流（又称稳定流）计 算。 随着计算机技术快速发展与普及，国内外已经开始研究和采用非恒定流计算给水 排水管网，而且得到了更接近实际的结果。
hf
l v2
D 2g
式中 D──管段直径（m）；g──重力加速度（m/s2）； λ──沿程阻力系数， 8g。 C2
常用管材内壁当量粗糙度e（mm）
表3.1
3.2.3 局部水头损失计算
计算公式 ：
局部阻力系数ζ
式中，hm ──局部水头损失，m； ζ──局部阻力系数，见表3.5。
n
d (N)m di
kqNn l
d
m N
干管配水情况
3.4.2 沿线均匀出流的简化
给水管网中的配水管沿线向用户供水，如图3.6所示。假设沿线出流是 均匀的，则管道内任意断面x上的流量可以表示为：
qx
qt
l
l
x
ql
沿程水头损失：
h f
l
k (qt
l
l
x
2y) D
或
y / D (1 cos ) / 2
2
式中，θ的单位为弧度。
过水断面面积、湿周 和水力半径依次为，
A D2 ( sin ) ，
8
D 和
2
R A D ( sin ) 4
设该管道的坡度为I，满管流时的过水断面面积、水力半径、流量和流速分别 为A0、R0、q0和v0，可得
A0 D2 / 4 ， R0 D / 4 ，
3.1.2 恒定流与非恒定流 由于用水量和排水量的经常性变化，给水排水管道中的流量和流速随时间变化，
水流经常处于非恒定流（又称非稳定流）状态。但是，非恒定流的水力计算 比较复杂，在管网工程设计和水力计算时，一般按恒定流（又称稳定流）计 算。 随着计算机技术快速发展与普及，国内外已经开始研究和采用非恒定流计算给水 排水管网，而且得到了更接近实际的结果。
hf
l v2
D 2g
式中 D──管段直径（m）；g──重力加速度（m/s2）； λ──沿程阻力系数， 8g。 C2
常用管材内壁当量粗糙度e（mm）
表3.1
3.2.3 局部水头损失计算
计算公式 ：
局部阻力系数ζ
式中，hm ──局部水头损失，m； ζ──局部阻力系数，见表3.5。
第三章水库洪水调节及计算培训讲学
水库调洪计算的实用公式（瞬态法）： 水量平衡方程：
蓄泄方程：
方程或曲线，可按泄洪建筑物的水力特性换算
得到。
（1）堰流
3
q溢M1BH2
H即为库水位Z与堰顶高程之差
（2）闸孔出流 q洞M2H12 H即为库水位Z与闸孔中心高程之差
根据H与q的关系曲线求出Z与q的关系曲线q=f(z)。由水 库水位z在水库容积特性曲线上，求出相应的水库蓄水容积V。 于是，最终求出下泄流量q与库容V的关系曲线q=f(V)
调洪计算的目的（研究课题）：
一定的水库 拟定的泄洪建筑物
防洪标准 类型、尺寸 防洪限制水位 入库洪水过程 下游安全泄量
出库 洪水 过程
最大 下泄 流量
防洪 特征 库容
特征 水位
水库调洪计算的任务
在规划设计阶段，调洪计算的任务是根据水文分析计算提供的 各种标准的设计洪水，对已经拟定的泄流建筑物型式与尺寸方 案，遵循水库汛期控制运用规则，进行水库的蓄泄调洪计算， 推求泄流过程和最大下泄流量，并确定有关防洪的特征水位与 特征库容。
计算步骤
（1）由已知的水库水位容积关系曲线V=f (Z)和泄流建筑物方 案，用水力学公式求出下泄流量与库容的关系曲线q=f(V)；
（2）选取合适的计算时段△t，以秒为计算单位；
（3）决定开始计算的时刻和此时刻的V1、q1值，然后列表计 算。计算过程中，对每一计算时段的V2、q2值都要进行试 算；先假定一个q2值，根据水量平衡方程求出V2,然后按此 V2值在q~V曲线上查出q2值，若与假定的q2不相等，则要 重新假定一个q2值，重复上述试算过程，直至两者相等或 很接近为止。这样多次演算求得的q2、V2值就是下一时段 的q1、V1值，可依据此值进行下一时段的试算。
水力学第三讲
dx(t ) dy(t ) dz(t ) 迹线方程： dt ux uy uz
§3-1 流动描述 • 2 迹线与流线 • 流线：某一时刻各点的切线方向与通过这些点的 流体质点的流速方向重合的空间曲线称为流线。
dx(t 0 ) ds dy(t 0 ) 用欧拉法描述， t 确定，由定义 u y u y ( x, y, z, t 0 ) u ，u 是合成流速 ds dz(t 0 ) u z u z ( x, y, z, t 0 ) u ds u x u x ( x, y , z , t 0 ) u
dz
u y dy ( u y )dxdydt y 2
u x dx ( u x )dydzdt x 2
( u z
u z dz )dxdydt z 2
dxdydzdt t
( u x
u x dx )dydzdt x 2
( u z
u z dz )dxdydt z 2
z (
§3-4流体微团运动分析（简介） • 2无旋流与有旋流：基本概念、无旋流满足的条件
有旋流：流体微团绕自身轴旋转，
x 2 y 2 z 2 0
无旋流：流体微团不绕自身轴旋转，
x y z 0
u z u y y z u x u z 无旋流满足的条件 z x u y u x x y
严格讲流体运动都属于三元流动，质点运动都具有一元流性质。
§3-2 描述流体运动的一些基本概念
• 4 均匀流与非均匀流、渐变流与急变流
• 均匀流：运动要素(沿流线)不随空间位置变化的流动； • 非均匀流：运动要素(沿流线)随空间位置变化的流动； • 渐变流：运动要素(沿流线)随空 • 间位置缓慢变化的流动；
§3-1 流动描述 • 2 迹线与流线 • 流线：某一时刻各点的切线方向与通过这些点的 流体质点的流速方向重合的空间曲线称为流线。
dx(t 0 ) ds dy(t 0 ) 用欧拉法描述， t 确定，由定义 u y u y ( x, y, z, t 0 ) u ，u 是合成流速 ds dz(t 0 ) u z u z ( x, y, z, t 0 ) u ds u x u x ( x, y , z , t 0 ) u
dz
u y dy ( u y )dxdydt y 2
u x dx ( u x )dydzdt x 2
( u z
u z dz )dxdydt z 2
dxdydzdt t
( u x
u x dx )dydzdt x 2
( u z
u z dz )dxdydt z 2
z (
§3-4流体微团运动分析（简介） • 2无旋流与有旋流：基本概念、无旋流满足的条件
有旋流：流体微团绕自身轴旋转，
x 2 y 2 z 2 0
无旋流：流体微团不绕自身轴旋转，
x y z 0
u z u y y z u x u z 无旋流满足的条件 z x u y u x x y
严格讲流体运动都属于三元流动，质点运动都具有一元流性质。
§3-2 描述流体运动的一些基本概念
• 4 均匀流与非均匀流、渐变流与急变流
• 均匀流：运动要素(沿流线)不随空间位置变化的流动； • 非均匀流：运动要素(沿流线)随空间位置变化的流动； • 渐变流：运动要素(沿流线)随空 • 间位置缓慢变化的流动；
第三章_给水排水管道系统水力计算基础
C e C＝－ .71lg 17 + 14.8R 3.53Re 2.51 e 或 = −2lg + λ 3.7D Re λ 1
11
4vR vD 式中 Re－雷诺数， ＝ = ，其中ν是与水温有关的 Re
ν
ν
水动力粘度 系数 m2 / s; ， e－管壁当量粗糙度，m，由实验确定。 但此式需迭 代计算，不便于应用，可以简化为 直接计算的形式 ： 4.462 e C＝－ .71lg 17 + 0.875 14.8R Re 1 4.462 e 或 ＝－ lg 2 + 0.875 λ 3.7D Re
0.013～0.014 ～
0.025～0.030 ～
21
2 2 1 1 1 1 v= R 3I 2 = R 3 (D h/D 2 , )I nM nM 2 1 2 1 1 1 AR 3 I 2 = A(D h/D R 3 (D h/D 2 q= , ) , )I nM nM
――非满流管渠水力计算基本公式 ――非满流管渠水力计算基本公式 v、q、D、h/D、I五个变量，已知三个，求另两 h/D、 五个变量，已知三个， 个。
15
3．2．3 局部水头损失计算
v hm = ξ 2g
式中 hm——局部水头损失，m； hm——局部水头损失 局部水头损失， ξ——局部阻力系数。 ——局部阻力系数 局部阻力系数。
2
给水排水管网中局部水头损失一般不超过沿 程水头损失的5% 常忽略局部水头损失的影响， 程水头损失的5%，常忽略局部水头损失的影响， 5%， 不会造成大的计算误差。 不会造成大的计算误差。
1 v = •R •I n
2 3
1 2
D h
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第四节 截断误差和相容性
以ＦＴＢＳ格式为例
等价方程
截断误差
ＦＴＣＳ格式的截断误差 ＦＴＦＳ格式的截断误差 蛙跳格式的截断误差
对流方程的差分方程等价形式
差分方程和相应的微分方程相容
定解条件 差分算子
截断误差 定解问题相容
第五节 收敛性
相容性：是指当自变量的步长趋于零时, 差分格式与微分问题的截误差的范数是 否趋于零,从而可看出是否能用此差分格 式来逼近微分问题。 收敛性：是指当自变量步长趋于零时,要 求差分格式的解趋于微分方程定解问题 的解。要求差分格式的解(数值解)与微 分方程定解问题的解(精确解)是一致的。
二、偏导数的差商近似
１．Ｔａｙｌｏｒ展开法 通过对差商近似点（ｉ，ｊ）的Ｔａｙ ｌｏｒ展开，可以分析差商对偏导近似 的精度
一阶向前差商
一阶向后差商
二阶中心差商
边界处偏导数的差商近似
对点（０，ｊ）进行Ｔａｙｌｏｒ展开
构造一阶偏导数的二阶精度的差商近似 必须有
解得
构造二阶偏导数的差商近似必须有
差分格式的解 微分问题的解 离散误差 差分格式收敛 相容性是收敛性的必要条件, 相容性 是形式上的逼近，收敛性是解的逼近， 相容性不一定能保证收敛性
例微分方程定解问题
解析解为
将［０，ａ］等分为ｎ段 则步长Δｘ＝ａ／ｎ
差分解为
微分问题
ＦＴＢＳ格式
离散误差
由截断误差分析有
深水波相速度
为弥散波或称色散波 浅水波相速度
为非弥散波
１、无耗散和色散的模型
放大因子的模｜ｒ｜＝１，说明波在传 播过程中，经过Δｔ时刻后振幅没有衰减。 放大因子的幅角Δφ＝－ＣｋΔｔ,表明传 播Δｔ时刻后，同一位置ｘ处波的相位迟 后为Δφ，它是相函数的差；而相速度Ｃ 为与波数无关，没有色散现象。方程描 述了无衰减、无弥散的物理现象。
２、有耗散的模型
分别为二阶、四阶耗散
系数。 方程描述了有物理耗散而无色散的波运 动。耗散系数引起波幅的衰减，但相速 度不发生改变。
３、有弥散的模型
ε３、ε５称为三阶、五阶弥散系数 方程描述了有弥散的波动，波分量的振幅 值不随时间变化，而相速度是波数ｋ的 函数。
三、数值耗散和弥散
用差分方程逼近微分方程时引入了误差， 有时这些误差项使计算结果的幅值衰减 和相速度发生变化，其作用相当于流动 中的物理耗散和弥散，这种虚假的物理 效应称作数值耗散和数值弥散。
“逆风”格式
二、物理耗散与弥散
一维行波的波高
在一固定时刻，空间上相差一个波长λ其 波高相等
所以ｋλ＝２π ｋ称为波数 在一固定位置，时间相差一个周期Ｔ， 其波高相等
ｆ为频率。 Ｃ表示单位时间传播的距离，称为相速 度。 物理耗散是指波幅Ａ因阻尼作用而衰减 的现象 弥散是指波的相速度Ｃ随波数发生变化 的现象。
根据此定理,在线性适定和格式相容的条件下， 只要证明了格式是稳定的，则一定收敛；若不 稳定，则不收敛。由于收敛性的证明往往比稳 定性更难，故人们就可以把注意力集中在稳定 性的研究上。
第八节 差分方程数值效应
微分方程是描述物理量在时间和空间上 的连续变化的规律 差分方程来描述离散化后物理量的变化 规律 离散误差使原系统的物理性质和规律遭 到歪曲和破坏的作用称为数值效应或离 散近似的伪物理效应。 必须对这些效应有明确的概念，从物理 上来考虑数值格式的合理性，减少数值 效应的影响。
差分 差商
向前差分
向后差分 中心差分
一阶导数，对应的差分称为一阶差分。 对一阶差分再作一阶差分，所得到的称 之为二阶差分。二阶向前差分：
任何阶差分都可以由其低一阶的差分得到：
函数的差分与自变量的差分之比，即为函 数对自变量的差商 一阶向前差商
一阶向后差商
一阶中心差商 二阶中心差商
第七节 Lax等价定理
相容性是收敛性的必要条件，稳定性与收敛性 有一定的联系。Lax等价定理就是阐述相容性、 收敛性和稳定性三者之间的关系的。
Lax等价定理:对一个适定的线性微分问题及一 个与其相容的差分格式，如果该格式稳定则必 收敛，不稳定必不收敛。换言之，若线性微分 问题适定，差分格式相容，则稳定性是收敛性 的必要和充分的条件。
单增长型的不稳定称为静力不稳定性
过冲型振荡的不稳定称为动力不稳定
von Neumann稳定性分析方法
定解问题
FTBS格式
初值误差 误差传播方程
误差展开成傅氏级数
代入误差传播方程
对任意的ｋ有
Ｇ为放大因子
FTBS格式稳定条件
FTBS格式稳定条件 ＦＴＣＳ格式为一不稳定格式
一、“逆风”效应
物质的对流输运出现了与波速相反方向 传播的不合理现象，称为“逆风”效应， 是一伪物理现象的数值效应。 对流方程
FTCS格式
假定在某瞬时ｊ在某一断面ｋ处引入某 一物理量ｕ＝１，η＝１
由表可见，物理量向上、向下游两个方向传播，出现 了与波速相反方向传播的不合理现象，称之为“逆风” 效应。 FTCS格式所描述的物理量的运动规律与它所近似的原 问题固有的规律相差甚大，不仅计算结果误差很大， 而且也往往是引起差分格式不稳定的一个因素，前面 已证明了该差分格式是无条件不稳定的。 对流方程采用一阶精度FTBS格式或FTFS格式能近似 原问题的物理现象。采用何种格式还与波速的方向有 关，当Ｃ为正时采用ＦＴＢＳ格式，当Ｃ为负时采用 ＦＴＦＳ格式。若Ｃ的符号在计算过程中会改变，例 如潮水河道，则可以采用“逆风”格式：
网格剖分使得每一空间步长、时间步长 均相等，则称该网格为一均匀网格，否 则称之为非均匀网格 数值解主要是求解节点上的末知变量的 数值，利用有限的节点上的值来代替整 个求解域内的连续函数值。 概念：离散、插值、误差 构造差分方程、分析数值误差
第二节 偏导数的差商近似
一、差分、差商的基本概念 解析函数 导数定义
ＦＴＣＳ格式
ＦＴＦＳ格式
蛙跳格式
显式格式：由第ｊ时间层上的值，可直接算出 第ｊ＋１时间层上的值的格式。 隐式格式：不能直接从ｊ时间层上值直接解出， 需联立求解ｊ＋１层上的值的格式。 对同一个定解问题，可以有多种差分格式， 多种步长参数来近似，从而也得到若干个差分 近似解。那么这些解是否可以都作为原定解问 题的近似解？那些解精度高？为什么？ 相容性、稳定性及收敛性分析
计算水力学
第三章 有限差分的基本理论
第一节 基本概念
一维对流方程
计算平面为ｘ－ｔ的上半平面。在平面上画出 两族平行于坐标轴的直线,把求解域分成矩形 的计算网格。网格线的交点称为节点,ｘ方向 上网格线之间的距离Δｘ称为空间步长,ｔ轴方 向上网格线之间的距离Δt称为时间步长
ｘ－ｔ平面、计算网格
网格节点 节点函数值
ＦＴＦＳ格式稳定条件
蛙跳格式稳定条件
Von Neumann稳定性分析法主要用于 线性初值问题的稳定性分析。对于非线 性问题用局部线性化的方法加以推广。 局部线性化方法假定非线性系数变化得 很缓慢，因而可用局部网格结点上的函 数值代入后作为常数处理，并认为每一 网格结点上的计算稳定性与相邻结点无 关，以网格结点上最小的局部稳定极限 值作为整个差分问题的稳定极限值。
用高阶多项式插值可得到高阶差商表达式。 高阶多项式插值具有龙格不稳定性，使得插值 对计算误差十分敏感。 多项式插值法在计算流体力学中多用于处理边 界处的差商近似。 偏导数的差商近似还有其它多种方法，但最终 均需用Ｔａｙｌｏｒ展开来计算其近似的误差， 因此在实际计算中通常均用Ｔａｙｌｏｒ展开 法来构造，因为此法在构造差商近似的同时还 得出了其近似的误差精度。
解得
构造二阶偏导数具有二阶精度的差商近 似必须有
解得：
２．多项式插值法
用多项式插值法把待求函数表示成含待 定系数的解析函数，由节点函数值确定 该系数，然后对此函数求偏导数，得到 逼近偏导数的差商表达式。 设函数ｕ可用抛物插值公式来近似：
设原点ｘ＝０在点ｉ的位置上，则有
解出待定系数
ａ．取Δｘ＝１，Δｔ＝0.5 ， C=1.0 则
b．取Δｘ＝１，Δｔ＝2，C=1.0则
对同一定解问题的同一差分格式（ＦＴＢＳ） 其不同的空间与时间步长，将得到不同的结果， 如果作为原始定解问题的近似解，那一个解精 度高呢？。 不稳定的解是不能作为原定解问题的近似解的。 偏导数的差商近似并非一种，同一偏微分方程 的差分方程也并非一个，可以有若干个，对原 始定解问题也相应有若干种差分格式。
函数
导数 差商
差商与导数的比值为衰减比：
长波有λ>>Δｘ，衰减系数：
因为ｋΔｘ<<１，所以长波幅值很小，差商是 微商好的近似，且当Δｘ→０时ｒ→１
考虑可辨认的短波。如λ＝４Δｘ，则ｋ Δｘ＝２πΔｘ／λ＝π／２，衰减比为 ｒ ＝２／π，这时差商带来了很大的误差。 对于和空间步长Δｘ接近的短波，差商无 法近似导数。
第三节 差分方程
偏导数用其差商近似来代替 偏微分方程转变为相应的代数方程称之 为差分方程。 对流方程
ห้องสมุดไป่ตู้
在点（ｉ，ｊ）成立