2016内蒙古高考理科数学试卷及答案
高考_2016内蒙古高考理科数学真题及答案
2016内蒙古高考理科数学真题及答案注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-， （B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--， （2）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则AB =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m = （A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C ）3 （D ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π（7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为（A ）x =k π2–π6(k ∈Z ) （B ）x =k π2+π6 (k ∈Z ) （C ）x =k π2–π12 (k ∈Z ) （D ）x =k π2+π12(k ∈Z ) （8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x =2，n =2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)= 35，则sin 2α=（A ）725 （B ）15 （C ）–15 （D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，学科&网1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11）已知F 1，F 2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠= ,则E 的离心率为（A（B ）32（C（D ）2（12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅ 则1()miii x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则b = . (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n .（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. 学科.网（4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。
16届理数参考答案及评分标准
2016届呼和浩特市高三一模考试理科数学参考答案及评分标准一、选择题1-5 BDCBC 6-10 BBA C B 11-12 DB二、填空题 13.34 14. 43π 15. －108 16.940π 三、解答题17. （1）证明： ∵0≠+n a n ………………………………………………1分 2)1()1(2)1()2(2)1(.11111=-+-+=-++-+=-++∴-----n a n a n a n n a n a n a n n n n n n）或者（0)),1((21≠+-+=+-n a n a n a n n n --------------------------------3分∴{}n a n +是首项为4，公比为2的等比列…………………………………5分(首项和公比各给1分)∴ 11224+-=⋅=+n n n n an a n n -=∴+12- -------------------------------------------------------------------------7分2341(2)(222.......2)(123......)n n S n +=+++-++++……………………9分（会分组给2分） 22822n n n +++=-……………………………………………………………………12分（两个和，每一个和给2分）18.（I ）证明：过点Q 作QD ⊥BC 于点D ，∵平面QBC ⊥平面ABC ，∴QD ⊥平面ABC ，又∵PA ⊥平面ABC ，∴QD ∥PA ，………………………………………………..2分又∵QD ⊂平面QBC ，PA ⊄平面QBC ，∴PA ∥平面QBC………………………………….4分（Ⅱ）法一：∵PQ ⊥平面QBC ，∴∠PQB=∠PQC=90°，又∵PB=PC ，PQ=PQ ，∴△PQB ≌△PQC ，∴BQ=CQ ．………………………….5分∴点D 是BC 的中点，连接AD ，则AD ⊥BC ，∴AD ⊥平面QBC ，………………………………………………….6分∴PQ ∥AD ，AD ⊥QD ，∴四边形PADQ 是矩形．……………………………………………7分.设PA=2a ，∴，PB=2a ，∴．过Q 作QR ⊥PB 于点R ，……………………………………………8分∴QR==， a PB PQ PR 222== 取PB 中点M ，连接AM ，取PA 的中点N ，连接RN ，∵PR=，，∴MA ∥RN ．∵PA=AB ，∴AM ⊥PB ，∴RN ⊥PB ．∴∠QRN 为二面角Q ﹣PB ﹣A 的平面角．--------------------------------------10分连接QN ，则QN===．又，∴cos ∠QRN===．即二面角Q ﹣PB ﹣A 的余弦值为．- ------------------------------------------12分（Ⅱ）法二：∵PQ ⊥平面QBC ，∴∠PQB=∠PQC=90°，又∵PB=PC ，PQ=PQ ，∴△PQB ≌△PQC ，∴BQ=CQ ．∴点D 是BC 的中点，连接AD ，则AD ⊥BC ，∴AD ⊥平面QBC ，…………………………………………5分∴PQ ∥AD ，AD ⊥QD ，∴四边形PADQ 是矩形．…………………………………..6分.分别以AC 、AB 、AP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系O ﹣xyz ．不妨设PA=2，则Q （1，1，2），B （0，2，0），P （0，0，2），设平面QPB 的法向量为．……………………..7分 ∵=（1，1，0），=（0，2，﹣2） ∴ ……………………………………………………..8分)1,1,1(--=∴n ……………………………………………………..9分又∵平面PAB 的法向量为．…………………..10分33,,cos =⋅>=<→→→→→→n m nm n m 所以二面角Q ﹣PB ﹣A 的余弦值为33-------------------------------------12分19. 解：（1）由已知在[70,80]之间的初中学生的人数为15人…………………1分记至少有1名女同学为事件A 则741)(215210=-=C C A p ……………………………………………………………4分（写出算式2分，结果1分）分(列联表完全正确才给分) ∴， ............. ........... ........ .10分(公式1分结果2分) ∴有99%的把握认为两个学段的学生对“四大名著”常识了解有差异”． ..... ........ ........ .................... 12分20.（1）设两圆切点为N ，|CN|+|CP|=4，|CN|=|CM|,所以所以圆心C 的轨迹是椭圆.且2a=22,2c=2 所以方程为1222=+y x ........................................................................................4分 (2)联立椭圆和直线方程得：0224)12(222=-+++m kmx x k.. ......... ......... ........................... 5分12,08816)22)(12(41622222222<->+-=-+-=∆k m m k m k m k 即 设交点),(),,(2221y x B y x A12222221+-=k m x x ， 124221+-=+k km x x ，...........................................................................7分122))((2222121+-=++=k k m m kx m kx y y所以 21222.2222121-=--==m k m x x y y k k OB OA 即 2122=-k m ......................................................9分12124)(122212212++=-++=k k x x x x k AB ...................... ................................................... 10分 12+=k md ................... ...................... ..................... ................ ................ ............................................ 11分 所以 22.21==d AB s 所以为定值。
2016年高考理科数学试题全国卷1及解析word完美版
2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、设集合 A={X |X 2T X +3<0}, B={x|2x £>0},则 A A B=（）3D . （2,3） ）D . 2】】更换的易损專件對D 、E 两点.已知 |AB|=4 . 2, |DE|=2 5，则 C 的焦点到准线的距离为（） A . 2 B . 4 C. 6 D . 811、平面a 过正方体 ABCDS 1B 1C 1D 1的顶点 A , a//平面CB1D 1, a A 平面 ABCD=m, a A 平面 ABB 1A 1= n ,贝U m 、n 所 成角的正弦值为（） .3 ,2A . ~B . 2n n n n 5 n12、 已知函数f(x)=sin( 3X+$)(3>0, |创 勺,x= p 为f(x)的零点，x=4为y=f(x)图像的对称轴，且f(x)在聒品)单调， 则3的最大值为() A . 11 B. 9 C. 7D. 5二、 填空题：本大题共 4小题，每小题5分13、 _____________________________________________________________________ 设向量 a=(m,1), b=(1,2),且 |a+b|2=|a| 2+| b|2,贝V m= ______________________________________________________ .3A . （3~2） 2、 设（1+i ）x=1+yi ,33B . (£，2)C.(1,2)其中x , y 是实数，则|x+yi|=(B . ,'2C . ‘33、 已知等差数列{a n }前9项的和为27, a 10=8，贝U a 100=（） A .100 B . 994、 某公司的班车在 7:00, 8:00,是随机的，1A . 3 C . 98 D . 97 8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻10分钟的概率是（） 2 3 C. 3 D . 4 5、已知方程 则他等车时间不超过 1 B . 2 y 2—=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则n 的取值范围是（） B . （-1^3）C. （0,3） D . （0,迈）2m 2+n 3m 2-n A . (-1,3)6、 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径. 它的表面积是（） A . 17 nB . 18 nC. 20 n7、 函数y=2x 2-e |x|在［-,2］的图像大致为（28 n 口 r若该几何体的体积是"y ，则1.L■Z-n J7a)B . ab c <ba c C. alog b c<blog a cx=0, y=1, n=1,则输出 D . x , y 的值满足（）Iog a c<log b c D . 28 nA .8、 若 a>b>1, 0<c<1，则（ A . a c <b c9、 执行下左1图的程序图，如果输入的B. C.D .40 2014、(2x+&)5的展开式中，x3的系数是____________ (用数字填写答案).15、设等比数列满足｛a n｝满足a1+a3=10, a2+a4=5,贝U a1a2・・・an的最大值为_______ .16、某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元, 生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B 的利润之和的最大值为______________________________ 元.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(必考题)17、(本题满分为12分)△ ABC的内角A, B, C的对边分别别为a, b, c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c(1) 求c；⑵若c= 7, △ ABC的面积为求△ ABC的周长.18、(本题满分为12分)如上左2图，在已A, B, C, D, E, F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD, /AFD=90 ,°且二面角D-KF-E 与二面角C-BE-F 都是60 °(1) 证明；平面ABEF丄平面EFDC;(2) 求二面角E-BC-K的余弦值.19、(本小题满分12 分)某公司计划购买2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500 元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如上左3图柱状图．以这100 台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(1) 求X的分布列；(2) 若要求P(X < n) >,0确定n的最小值；(3) 以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？20、(本小题满分12分)设圆x2+y2+2x-5=0的圆心为A,直线I过点B(1,0)且与x轴不重合，I交圆A于C, D两点, 过B作AC的平行线交AD于点E.(1) 证明|EA|+|EB| 为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2) 设点E的轨迹为曲线C i,直线I交C i于M , N两点，过B且与I垂直的直线与圆A交于PQ两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.21、(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x -)e x+a(x-)2有两个零点.(1)求a 的取值范围；⑵设X1, x2是的两个零点，证明：X什x2<2.22、(本小题满分10分)［选修4-:几何证明选讲］如图，△ OAB 是等腰三角形，/ AOB=120°.以0为圆心，^OA 为半径作圆.(1)证明：直线AB 与O 0相切x=acost23、(本小题满分10分)［选修4 -:坐标系与参数方程］在直线坐标系xoy 中，曲线C i 的参数方程为y=1+as i nt (t 为参数，a>0).在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 Q ： p =4cos. 0 (1)说明C 1是哪种曲线，并将 G 的方程化为极坐标方程；⑵直线Q 的极坐标方程为 0 =a ，其中a o 满足tan=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在 C 3上，求a .24、(本小题满分10分)［选修4-5：不等式选讲］已知函数f(x)=|x+1| -2x 詡. (1) 在答题卡第(24)题图中画出y= f(x)的图像； (2) 求不等式|f(x)|>1的解集.B, GD 四点共圆，证明:AB// CD.⑵点C, D 在O 0上，且A ,理科数学参考答案一、选择题：1、D2、B3、C4、B5、A6、A7、D 8、C二、填空题：13、—14、1015、6416、2160009、C 10、B 11、A 12、B三、解答题:17、解：⑴由已知及正弦定理得，2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC 即2cosCsin(A+B)=sinC 故2sinCcosC=sinC可得cosC弓，所以C=3.2 3(2)由已知,*absinC=323•又C=n,所以ab=6.由已知及余弦定理得，a2+b2 ^2abcosC=7,故a2+b2=13，从而(a+b)2=25.所以△ ABC的周长为5+ ■'7.18、解：⑴由已知可得AF丄DF, AF丄FE所以AF丄平面EFDC 又F 平面ABEF故平面ABEF丄平面EFDC⑵过D作DG丄EF,垂足为G,由⑴知DG丄平面ABEF.以G为坐标原点，向量GF的方向为x轴正方向，|GF|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系G -cy z.由(1)知/DFE为二面角D-AF-E 的平面角，故/DFE=60 ,则|DF|=2 , |DG|=3 ,可得A(1,4,0), B(43,4,0), E(43,0,0),D(0,0，V3).由已知，AB// EF,所以AB// 平面EFDC 又平面ABCDH 平面EFDC=DA 故AB// CD, CD// EF. 由BE// AF,可得BE丄平面EFDC所以/ CEF为二面角CHBE-F的平面角，/ CEF=60 .从而可得C(H2,0^3).所以向量EC=(1,0,⑶,EB=(0,4,0), AC=(43,T, ：3), AB=(T,0,0).设n=(x,y,z)是平面BCE的法向量，则n三二，即x+ - 3z=0,所以可取n EB=04y=0设m是平面ABCD的法向量，则m AB=0，同理可取m=(0,Q3,4).则故二面角E-BC-K的余弦值为-[9.9、解：(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8, 9, 10, 11的概率分别为0.2, 0.4, 0.2, 0.2，从而：P(X=16)=0.2 X 0.2=0.04 P(X=17)=2 X 0.2 X 0.4=0.16 P(X=18)=2 X 0.2 X 0.2+0.4 X Q.4=0.24 P(X=19)=2 X 0.2 X 0.2+2 X 0.4 X；.2=X=40)=2 X 0.2 X 0.4+0.2 X；0.2=0E2X=21)=2 X 0.2 X 0.2=0.08X 16 17 18 19 20 21 22P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04⑵由(1)知P(X < 18)=0.44 P(X w 19)=0.68 故n 的最小值为19.(3) 记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元). 当n=19 时，EY=19< 200X 0.68+(19 X 200+500) X 0.2+(19 X 200+2X 500) X 0.08+(19 X 200+3X 500) X.0.04=4040当n=20 时，EY=2(X 200X 0.88+(20 X 200+500) X 0.08+(20 X 200+2X 500) X 0.04=4080 可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值，故应选n=19 .20、解：(1)：|AD|=|AC| , EB// AC,故/ EBD=/ ACD=Z ADC, /• |EB|=|ED|，故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD| 又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16，从而|AD|=4，所以|EA|+|EB|=4 .2 2由题设得A(-1,0), B(1,0), |AB|=2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：X4+y3=1(y工°)n=(3,0, —3).cos <n,m>=—⑵当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y=k(x - 1)(k £M(x i ,y i ), N(X 2,y 2). 出尸丁1)® c c c c 8k 2 4k 2-2 由x 2 y 2 d … —+—=i4 3四边形 MPNQ 的面积 S=2|MN||PQ|=121+4k 1+3.可得当I 与x 轴不垂直时，四边形 MPNQ 面积的取值范围为［12,8 .3).当I 与x 轴垂直时，其方程为 x=1, |MN|=3 , |PQ|=8，四边形 MPNQ 的面积为12 . 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为［12,8 3).21、解：(1)f(x)=(x -1)e x +2a(x-1)=(x -)(e x +2a).① 设a=0,则f(x)=(x 2)e x , f(x)只有一个零点.② 设a>0,则当x € (-a )时，f(x)<0 ;当x € (1,+s )时，f(x)>0 .所以f(x)在(-^ )上单调递减，在(1,+〜上单调递 增. a a 3又 f(1)= -e , f(2)=a ，取 b 满足 b<0 且 b<lng ,则 f(b)>q(b ~2)+a(b -)2=a(b 2—b)>0,故 f(x)存在两个零点. ③ 设 a<0,由 f(x)=O 得 x=1 或 x=ln( -2a).若a >-，则ln( - 2a)§1故当x € (1,+〜时，f(x)>0，因此f(x)在(1,+〜上单调递增.又当 xwi 时，f(x)<0，所以f(x)不存在两个零点.若 a<-|，贝U ln( -2a)>1，故当 x € (1,ln( -2a))时，f(x)<0;当 x € (ln( -2a),+ 〜时，f(x)>0 .因此 f(x)在(1,ln( -2a))单调递 减，在(ln(£a),+a )单调递增.又当x wi 时，f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点. 综上，a 的取值范围为(0,+^).(2)不妨设X 1<x 2，由(1)知x € ( - a )1 x 2 € (1,+a ), 2 -x ? € (-呵)，f(x)在(- a )上单调递减，所以 x 什X 2<2等价于f(x 1)>f(2 %)，即 f(2 伙2)<0.由于 f(2 -2)=-ee 2-2+a(x 2-)2，而 f(x 2)=(x 2 72)e x2+a(x 2 -1)2=0，所以 f(2 -2)=-2e 2-2-X 2 ^e^.设 g(x)= ^xe 2- -x-2)e x ,则 g'(x)=(x -)(e 2^.所以当 x>1 时，g'(x)<0,而 g(1)=0,故当 x>1 时，g(x)<0.从而 g(X 2)=f (2 -Q )<0,故 x 1+x 2<2.22、解：(1)设E 是AB 的中点，连结 OE , 因为 OA=OB, / AOB=120，所以 OE 丄 AB , / AOE=60 .1在Rt A AOE 中，OE^AO,即O 到直线AB 的距离等于圆 O 的半径，所以直线⑵因为OA=2OD,所以O 不是A , B , C , D 四点所在圆的圆心，设 O'是A , B , C, D 四点所在圆的圆心，作直线 OO'.由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上，又 O'在线段AB 的垂直平分线上，所以 OO'丄AB .同理可证，OO'丄CD.所以AB // CD.x=acosto o o00 o23、解：⑴ y =1+asint (t 为参数)，二 x 2+(y-1)2=a 2® • C 1 为以(0,1)为圆心，a 为半径的圆，方程为 x 2+y 2 42y+1 -a 2=0. ••• x 2+y 2 + p 2, y= p sin , • p 2- 2 p sin 9a 2=10-P 为 G 的极坐标方程.⑵C 2： p =4cos,(两边同乘 p 得 p =4 p cos, 0•- p =x 2+y 2, p cos 0 亍x • x 2+y 2=4x ，即(x~2)2+y 2=4②C 3：化为普通方程为 y=2x .由题意：G 和C 2的公共方程所在直线即为Q,8k 2 4k 2 -2 __ 12(k 2+1) 得(4k 2+3)x 2 -8k 2x+4k 2 -2=0. /• x 什血*2+3，X i x 2= 4R 2+3 • |MN|= 1+k 2|x1 -<2|= 4^^+^ • 过点B(1,0)且与I 垂直的直线 m : y= -k (x -1), A 到m 的距离为，所以|PQ|=2 % j AB 与O O 相切. 2-；+1.故EBx>5或 x<3, /• x < -. 1 13-1<x<2, |3x -2|>1，解得 x>1 或 x<3.••• -1<x<3或 1<x<2.3 3当 x 亏 |4 -x|>1，解得 x>5 或 x<3, •x<3或 x>5.1 综上，x<3或 1<x<3 或 x>5.1•|f(x)|>1，解集为(-«3)0(1,3)u (5,+m ).①-② 得：4x42y+1 -a 2=0,即为 C 3. /• 1 -a 2=0, /• a=1. 24、解：⑴如图： 3⑵f(x)= 3x -2( -1<x<2)又•- |f(x)|>134 —x 多 x < -,|x —|>13。
2016年高考理科数学(全国新课标卷1)(含解析)
绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）理科数学使用地区：山西、河南、河北、湖南、湖北、江西、安徽、福建、广东本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页，满分150分. 考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.3. 考试结束，监考员将本试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合2430={|}A x x x -+<，3{}0|2x B x ->=，则A B =（ ） A ．3(3,)2--B ．3(3,)2-C ．3(1,)2D ．3(,3)22．设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则|i |x y +=（ ）A ．1 BCD ．23．已知等差数列{}n a 前9项的和为27，108a =，则100a =（ ）A ．100B ．99C ．98D ．974．某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）A ．13 B ．12 C ．23D ．345．已知方程222213xym nm n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ ）A ．(1,3)-B．(1-C ．(0,3)D．6．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π，则它的表面积是 （ ）A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π7．函数2|x|2y x e =-在[2,2]-的图象大致为（ ）ABC D 8. 若0a b >>，01c <<，则（ ）A ．cca b <B ．ccab ba > C ．alog log b a c b c <D ．log log a b c c<9．执行右面的程序框图，如果输入的0x =，1y =，1n =，则输出x ，y 的值满足（ ）A ．2y x =B ．3y x =C ．4y x =D ．5y x =10．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点，已知||AB =||DE =C 的焦点到准线的距离为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．811．平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，//α平面11CB D ，α平面=ABCD m ，α平面11=ABB A n ，则m ，n 所成角的正弦值为（ ）A B CD ．1312．已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>≤，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在5(,)1836ππ单调，则ω的最大值为（ ）A ．11B ．9C ．7D ．5姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此-------------------卷-------------------上--------------------答-------------------题--------------------无------------------效----------第II 卷注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效.本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．设向量a (,1)m =，b (1,2)=，且|a +b ||2=a ||2+b 2|，则m = ． 14．5(2x 的展开式中，3x 的系数是 （用数字填写答案）．15．设等比数列{}n a 满足1310a a +=，245a a +=，则12n a a a …的最大值为 ． 16．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=． （Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若c =ABC △，求ABC △的周长．18．（本小题满分12分）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF =2FD ，90AFD ∠=，且二面角D AF E --与二面角C BE F --都是60． （Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角E BC A --的余弦值．19．（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 以这100台机器更换的易损零件数的 频率代替1台机器更换的易损零件数 发生的概率，记X 表示2台机器三年 内共需更换的易损零件数，n 表示购 买2台机器的同时购买的易损零件数． （Ⅰ）求X 的分布列；（Ⅱ）若要求()0.5P X n ≤≥，确定n 的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n =19与n =20之中选其一，应选用哪个？20．（本小题满分12分）设圆22215=0x y x ++-的圆心为A ，直线l 过点(10)B ，且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．（Ⅰ）证明||||EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数2()(2)(1)xf x x e a x =-+-有两个零点．（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设1x ，2x 是()f x 的两个零点，证明：122x x +<．请考生在第22～24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22．（本小题满分10分）选修41-：几何证明选讲如图，OAB △是等腰三角形，120AOB ∠=.以O 为圆心，12OA 为半径作圆. （Ⅰ）证明：直线AB 与⊙O 相切；（Ⅱ）点C ，D 在⊙O 上，且A ，B ，C ，D 四点共圆，证明：AB CD ∥.23．（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程在直线坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,1sin ,x a t y a t =⎧⎨=+⎩（t 为参数，0a >）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:4cos C ρθ=. （Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0θα=，其中0α满足0tan 2α=，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a .24．（本小题满分10分），选修45-：不等式选讲已知函数()|1||23|f x x x =+--. （Ⅰ）在图中画出()y f x =的图象； （Ⅱ）求不等式|()|1f x >的解集.ABCDEF2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】D【解析】{}{}2A x x 4x 30x 1x 3=-+<=<<，{}3B x 2x 30x x 2⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭，故3B x 2⎧=⎨⎩【提示】解不等式求出集合【考点】交集及其运算【解析】(1i)x 1yi +=+，x xi 1yi ∴+=+，即x 1x y =⎧⎨=，解得x 1y 1=⎧⎨=，即x y i 1i 2+=+=【解析】等差数列，又10a 8=，【提示】根据已知可得【考点】等差数列的性质】双，方【解析】f (x)y =时，y 8=-x4x e 0-=【解析】a b 1>>线的距离为4．【提示】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可．【考点】圆与圆锥曲线的综合，抛物线的简单性质11.【答案】A【解析】如图，α∥平面CB α平面ABCD α平面ABA，11CB D △60，则m 32．【提示】画出图形，判断出m 【考点】异面直线及其所成的角【解析】πx 4=-为1πT 2=，即12ππ(n N 2=∈ω为正奇数，f (x)在5π36⎛⎫⎪⎝⎭上单调，πππ361812-=时，11π4-+π2ϕ≤，9π4-+ϕ，π2ϕ≤，ω【答案】2-222a b a b +=+，可得a b 0=，向量a (m,1)=，b (1,2)=，n123n (q++++-…6264==．【提示】设A ，B 两种产品分别是标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可．【考点】简单线性规划的应用三、解答题17.【答案】（Ⅰ）在ABC △已知等式利用正弦定理化简得12ab2，(a ∴的周长为5+（Ⅰ）A BEF 为正方形，AFD 90∠=，A F DF ∴⊥，DF EF F =，AF ∴⊥平面EFDCAF ⊂平面∴平面A BEF （Ⅱ）由A BE EF ⊥BE ∴⊥平面可得DFE 60∠．A B EF ∥EFDC AB ∴∥平面平面EFDC 平面ABCD ，EB (0,2a,0)∴=，a BC ,⎛= ，AB (2a,0,0)=-设平面BEC 的法向量为m (x ,=，则m EB 0m BC 0⎧=⎪⎨=⎪⎩，则m (3,0,=设平面ABC 的法向量为n (x ,y ,z =n BC=0n AB 0⎧⎪⎨=⎪⎩，则，取n (0,3,4)=的大小为θ，m n |m ||n |31316==++【提示】（Ⅰ）证明AF ⊥平面EFDC 平面EFDC ；（Ⅱ）证明四边形EFDC 为等腰梯形，4040=1EX EX <解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购222222143m 41m1m||MN |12242423m 41m3m 4+++===+++时，S 取得最小值12，又10>，可得3S 24833<=【提示】（Ⅰ）求得圆A EB ED =，再由圆的定义和椭圆的定义，b ，c ，即可得到所求轨迹方程；（Ⅱ）设直线l ：x my =+0）1x ，2x 1x 121(x 2)e (x 1)-=-2[(x 2)g (x)-+'=∴当x 1<时，e 1，OA OB =120，OK ∴30，1OK OAsin30OA 2=直线AB 与O 相切；D 四点所在圆的圆心，设四点所在圆的圆心，OA OB =的中垂线，∴AB 中点，连结30，1OK OAsin30OA 2=曲线如图：（Ⅱ）由f (x)1>，可得，当3当x ≥时，4x 1->，解得x 5>或x 3<，即有x 3≤<或x 5>．(1,3)(5,)⎫+∞⎪⎭（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f (x)的解析式，由分段函数的画法，即可得到所。
2016年高考理科数学全国1卷,附答案
2016 年高考数学全国 1 卷（理科）一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，每小题只有一项是符合题目要求的.9．执行如图的程序框图，如果输入的x=0， y=1，n=1，则输出x ，y 的值满足（）2﹣4x+3＜0} ，B={x|2x ﹣3＞0} ，则 A ∩B=（）1．设集合 A={x| x A ．（﹣3，﹣）B ．（﹣3， ） C．（1， ）D ．（ ，3）2．设（ 1+i ）x=1+yi ，其中 x ，y 是实数，则 |x+yi|= （ ） A ．1B．C．D． 23．已知等差数列 {a n } 前 9 项的和为 27，a 10=8，则 a100=（ ）A ．100B．99C．98D． 97 4．某公司的班车在 7：00，8：00，8：30 发车，小明在 7：50 至 8：30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是（ ）A ．y=2xB ．y=3xC ． y=4xD．y=5x A ．B．C ．D ．10．以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A 、B 两点，交 C 的准线于 D 、 E 两点．已知 |AB|=4，|DE|=2 ，则 C 的焦 点到准线的距离为（ ） 5．已知方程﹣=1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是（ ）A ．2B．4C．6D．8A ．（﹣1， 3） B ．（﹣1， ）C ．（ 0，3）D．（ 0，）11．平面 α过正方体 ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1 的顶点 A ，α ∥平面 CB 1D 1，α ∩平面 ABCD=，m α ∩平面 ABB 1A 1=n ，则 m 、n所成角的 6．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是 ，正弦值为（ ） 则它的表面积是（）A ．B．C．D ．12．已知函数 f （x ）=sin （ ωx+φ）（ω＞0，| φ| ≤ ）， x=﹣为 f （ x ）的零点， x= 为 y=f （x ）图象的对称轴， 且 f （ x ）在（， ）上单调，则 ω 的最大值为（） A ．17πB ． 18πC ．20πD ．28πA ．11B．9C．7D． 57．函数y=2x2﹣e |x|在[﹣2，2] 的图象大致为（）二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分 .13．设向量=（m ， 1）， =（1，2），且 |+ | 2=| | 2+| | 2，则m= ．14．（2x+）5 的展开式中， x 3 的系数是．（用数字填写答案）15．设等比数列 {a n } 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则 a 1a 2⋯ a n 的最大值为．A ．B ．C ．D ．16．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料 1.5kg ，乙材料 1kg ，用 5 8．若 a ＞b ＞1，0＜c ＜1，则（）个工时；生产一件产品B 需要甲材料 0.5kg ，乙材料 0.3kg ，用 3 个工时，生产一件产品A 的利润为 2100 元，生产一件 A ．ac ＜b c B ．ab c ＜ba c C ．alogc ＜b c B ．ab c ＜ba c C ．alogb c ＜blog a c D ．log a c ＜log b c产品B 的利润为 900 元．该企业现有甲材料 150kg ，乙材料 90kg ，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为元．第 1页共 9 页深圳星火教育龙华数学组余凤老师整理三、解答题：本大题共 5 小题，满分60 分，解答须写出文字说明、证明过程或步骤.19．（12 分）某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器演算外时，可以额17．（12 分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．购买这种零件作为备件，每个200 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500 元．现需决策在购买机器时了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，整理集并（Ⅰ）求C；应同时购买几个易损零件，为此搜状图：得如图柱以这100 台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示 2 台机器三年内共需更为，求△ABC的周长．（Ⅱ）若c= ，△ABC的面积换的易损零件数，n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5 ，确定n 的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19 与n=20 之中选其一，应选用哪个？18．（12 分）如图，在以A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角 DE与二面角C﹣B E﹣F都是60°．A F﹣﹣（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；A的余弦值．B C﹣（Ⅱ）求二面角E﹣第2页共9 页理整深圳星火教育龙华数学组余凤老师20．（12 分）设圆x2+y2+2x﹣15=0 的圆心为A，直线l 过点B（1，0）且与x 轴不重合，l 交圆 A 于C，D两点，过 B 作2+y2+2x﹣15=0 的圆心为A，直线l 过点B（1，0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C，D两点，过 B 作21．（12 分）已知函数 f （x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）x+a（x﹣1）2 有两个零点．AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）求 a 的取值范围；（Ⅰ）证明|EA|+|EB| 为定值，并写出点 E 的轨迹方程；（Ⅱ）设x1，x2 是f （x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l 交C1 于M，N两点，过 B 且与l 垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．第 3 页共9 页深圳星火教育龙华数学组余凤老师整理请考生在22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. [ 选修4-5 ：不等式选讲]24．已知函数 f （x）=|x+1| ﹣|2x ﹣3| ．[ 选修4-1 ：几何证明选讲] （Ⅰ）在图中画出y=f （x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f （x）| ＞1 的解集．22．（10 分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．[ 选修4-4 ：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1 的参数方程为（t 为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cos θ．（Ⅰ）说明C1 是哪种曲线，并将C1 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3 的极坐标方程为θ=α0，其中α0 满足tan α0=2，若曲线C1 与C2 的公共点都在C3 上，求a．第 4 页共9 页深圳星火教育龙华数学组余凤老师整理2016 年高考数学全国 1 卷（理科）参考答案与试题解析7．【解答】 解：∵ f （x ）=y=2x 2﹣e |x| ，∴ f （﹣x ）=2（﹣x ）2﹣e |x| ，∴ f （﹣x ）=2（﹣x ）2﹣e |﹣x | =2x 2﹣e |x| ，故函数为偶函数， 一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2 2 x当 x=±2 时， y=8﹣e ∈（ 0，1），故排除 A ，B ； 当 x ∈[0 ， 2] 时， f （x ） =y=2x ﹣e ，1．【解答】 解：∵集合A={x|x2﹣4x+3＜0}= （1，3），B={x|2x ﹣3＞0}= （ ，+∞），∴ f ′（ x ）=4x ﹣e x =0 有解，故函数 y=2x 2﹣e |x| 在[0 ，2] 不是单调的，故排除 C ，x =0 有解，故函数 y=2x 2﹣e |x| 在[0 ，2] 不是单调的，故排除 C ，故选： D∴A ∩B=（ ，3），故选： D8．【解答】 解：∵ a ＞b ＞1，0＜ c ＜1，2．【解答】 解：∵（ 1+i ） x=1+yi ，∴ x+xi=1+yi ，即，解得，即 |x+yi|=|1+i|=，∴函数 f （x） =x c 在（ 0，+∞）上为增函数，故 a c ＞b c ，故 A 错误；c 在（ 0，+∞）上为增函数，故 a c ＞b c ，故 A 错误； 故选： B ．函数 f （x ）=x c ﹣1 在（ 0，+∞）上为减函数，故 a c ﹣1＜b c ﹣1，故 ba c ＜ab c，即 ab c ＞ba c ；故 B 错误； c ﹣1 在（ 0，+∞）上为减函数，故 a c ﹣1＜b c ﹣1，故 ba c ＜ab c ，即 ab c ＞ba c ；故 B 错误；log a c ＜0，且 log b c ＜0，log a b ＜ 1，即= ＜1，即 log a c ＞log b c ．故 D 错误；3．【解答】 解：∵等差数列 {a n }前 9 项的和为 27，S 9===9a 5 ．0＜﹣l og a c ＜﹣l og b c ，故﹣b log a c ＜﹣a log b c ，即 blog a c ＞alog b c ，即 alog b c ＜blog a c ，故 C 正确；∴9a 5=27，a 5 =3，又∵ a 10=8，∴ d=1，∴ a 100=a 5+95d=98，故选： C故选： C4． 【解答】 解：设小明到达时间为y ，当 y 在 7： 50 至 8：00，或 8：20 至 8：30 时，9．【解答】 解：输入x =0，y=1，n=1，则x =0，y=1，不满足x2+y 2≥ 36，故 n=2，2+y 2≥ 36，故 n=2，小明等车时间不超过10 分钟，故 P= = ，故选： B则x= ，y=2，不满足x 2+y 2≥ 36，故 n=3，则x = ，y=6，满足x 2+y 2≥ 36，故 y=4x ，2+y 2≥ 36，故 n=3，则x = ，y=6，满足x 2+y 2≥ 36，故 y=4x ， 故选： C5．【解答】 解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴ c=2，当焦点在 x 轴上时，可得： 4=（m2+n ）+（3m 2﹣n ），解得： m2=1， 22∵方程﹣=1 表示双曲线，∴（ m +n ）（3m ﹣n ）＞ 0，可得：（n+1）（3﹣n ）＞ 0，210．【解答】 解：设抛物线为 y =2px ，如图： |AB|=4，|AM|=2 ，|DE|=2 ，|DN|= ，|ON|= ，解得：﹣1＜n ＜3，即 n 的取值范围是： （﹣1，3）．当焦点在 y 轴上时，可得：﹣4=（m 2+n ）+（3m 2﹣n ），解得： m 2=﹣1， 2+n ）+（3m 2﹣n ），解得： m 2=﹣1， x A = = ， |OD|=|OA| ，=+5，解得： p=4．C 的焦点到准线的距离为：4．无解．故选： A ．故选： B ．6．【解答】 解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图： 可得：=，R=2．它的表面积是：×4π?2 2+=17π．故选：A．共9 页第5页理整深圳星火教育龙华数学组余凤老师11．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=，mα∩平面ABA1B1=n，15．【解答】解：等比数列{a n} 满足a1+a3=10，a2+a4=5，可得q（a1+a3）=5，解得q= ．a1+q1=10，解得a1=8．2a2a可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1 是正三角形．m、n 所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n 所成角的正弦值为：．故选：A．则a1a2⋯a n=a1n?q1+2+3+⋯+（n﹣1）=8n? = = ，当n=3 或4时，表达式取得最大值：=26=64．n?q1+2+3+⋯+（n﹣1）=8n? = = ，当n=3 或4 时，表达式取得最大值：=26=64．故答案为：64．16．【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x 件和y 件，获利为z 元．由题意，得，z=2100x+900y ．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z=2100x+900y ．经过 A 时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元．12．【解答】解：∵x=﹣为f （x）的零点，x= 为y=f （x）图象的对称轴，故答案为：216000．∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f （x）在（，）上单调，则﹣= ≤，即T= ≥，解得：ω≤12，当ω=11 时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵| φ| ≤，∴φ=﹣，此时 f （x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9 时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵| φ| ≤，∴φ= ，此时 f （x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选： B二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共25 分.13．【解答】解：| + | 2=||2+||2，可得? =0．向量=（m，1），=（1，2），三、解答题：本大题共 5 小题，满分60 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.可得m+2=0，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．17．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC ≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA ）=sinC ，整理得：2cosCsin （A+B）=sinC ，14．【解答】解：（2x+ ）r+1= =25 的展开式中，通项公式为：T5﹣r ，5 的展开式中，通项公式为：T5﹣r ，即2cosCsin （π﹣（A+B））=sinC2cosCsinC=sinC ∴cosC= ，∴C= ；令5﹣=3，解得r=4 ∴x 3 的系数 2 =10．故答案为：10．3 的系数 2 =10．故答案为：10．（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab? ，∴（a+b）2+b2﹣2ab? ，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S= absinC= ab= ，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+ ．第6页共9 页深圳星火教育龙华数学组余凤老师整理18．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABEF为正方形，∴AF⊥EF．∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，19．【解答】解：（Ⅰ）由已知得X 的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，∵DF∩EF=F，∴AF⊥平面EFDC，∵AF? 平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面EFDC；P（X=16）=（）2= ，（Ⅱ）解：由AF⊥DF，AF⊥EF，可得∠DFE为二面角D﹣A F﹣E的平面角；由ABEF为正方形，AF⊥平面EFDC，P（X=17）= ，∵BE⊥EF，∴BE⊥平面EFDC即有CE⊥BE，可得∠CEF为二面角C﹣B E﹣F的平面角．可得∠DFE=∠CEF=60°．∵AB∥EF，AB?平面EFDC，EF? 平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∵平面EFDC∩平面ABCD=C，D AB? 平面ABCD，P（X=18）=（）2+2（）2= ，∴AB∥CD，∴CD∥EF，∴四边形EFDC为等腰梯形．以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a，P（X=19）= = ，则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，a），A（2a，2a，0），P（X=20）= = = ，∴=（0，2a，0），=（，﹣2a，a），=（﹣2a，0，0）P（X=21）= = ，P（X=22）= ，设平面BEC的法向量为=（x1，y1，z1），则，则，取=（，0，﹣1）．∴X的分布列为：X 16 17 18 19 20 21 22设平面ABC的法向量为=（x2，y2，z2），则，则，取=（0，，4）．P（Ⅱ）由（Ⅰ）知：设二面角E﹣B C﹣A的大小为θ，则cosθ= = =﹣，P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）= = ．则二面角E﹣B C﹣A的余弦值为﹣．P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）= + = ．∴P（X≤n）≥0.5 中，n 的最小值为19．（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）= + = ．买19 个所需费用期望：EX1=200×+（200×19+500）×+（200×19+500×2）×+（200×19+500×3）×=4040，买20 个所需费用期望：EX2= +（200×20+500）×+（200×20+2×500）×=4080，∵EX1＜EX2，∴买19 个更合适．第7页共9 页理整深圳星火教育龙华数学组余凤老师解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，21．【解答】解：（Ⅰ）∵函数 f （x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2，∴f ′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），x+a（x﹣1）2，∴f ′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），另一部分为备件不足时额外购买的费用，x①若a=0，那么 f （x）=0? （x﹣2）e =0? x=2，函数 f （x）只有唯一的零点2，不合题意；当n=19 时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000 ×0.08+1500 ×0.04=4040 ，②若a＞0，那么e x+2a＞0 恒成立，当x＜1 时，f ′（x）＜0，此时函数为减函数；x+2a＞0 恒成立，当x＜1 时，f ′（x）＜0，此时函数为减函数；当n=20 时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000 ×0.4=4080 ，∴买19 个更合适．当x＞1 时，f ′（x）＞0，此时函数为增函数；此时当x=1 时，函数 f （x）取极小值﹣e，x由f （2）=a＞0，可得：函数 f （x）在x＞1 存在一个零点；当x＜1 时，e ＜e，x﹣2＜﹣1＜0，20．【解答】解：（Ⅰ）证明：圆x2+y2+2x﹣15=0 即为（x+1）2+y2+2x﹣15=0 即为（x+1）2+y2 =16，可得圆心A（﹣1，0），半径r=4，∴f （x）=（x﹣2）e ＞（x﹣2）e+a（x﹣1）x+a（x﹣1） 2x+a（x﹣1） 22=a（x﹣1）2 +e（x﹣1）﹣e，由BE∥AC，可得∠C=∠EBD，由AC=AD，可得∠D=∠C，即为∠D=∠EBD，即有EB=ED，令a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e=0 的两根为t2+e（x﹣1）﹣e=0 的两根为t 1，t 2，且t 1 ＜t 2，则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4 ，故 E 的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，则当x＜t 1，或x＞t 2 时，f （x）＞a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e＞0，故函数 f （x）在x＜1 存在一个零点；即函数 f （x）在R是存在两个零点，满足题意；且有2a=4，即a=2，c=1，b= = ，则点 E 的轨迹方程为+ =1（y≠0）；③若﹣＜a＜0，则ln （﹣2a）＜lne=1 ，当x＜ln （﹣2a）时，x﹣1＜ln （﹣2a）﹣1＜lne ﹣1=0，（Ⅱ）椭圆C1：+ =1，设直线l ：x=my+1，由PQ⊥l ，设PQ：y=﹣m（x﹣1），e x+2a＜e ln （﹣2a）+2a=0，即 f ′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0 恒成立，故 f （x）单调递增，x+2a＜e ln （﹣2a）+2a=0，即 f ′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0 恒成立，故 f （x）单调递增，当ln （﹣2a）＜x＜1 时，x﹣1＜0，ex +2a＞e ln （﹣2a）+2a=0，由可得（3m 1，y1），N（x2，y2 ），可得y1+y2=﹣，y1y2=﹣，2+4）y2+6my﹣9=0，设M（x2+4）y2+6my﹣9=0，设M（x 即f ′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0 恒成立，故 f （x）单调递减，当x＞1 时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln （﹣2a）+2a=0，x+2a）＜0 恒成立，故 f （x）单调递减，当x＞1 时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln （﹣2a）+2a=0，即f ′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0 恒成立，故 f （x）单调递增，故当x=ln （﹣2a）时，函数取极大值，则|MN|= ?|y 1﹣y2|= ? = ? =12? ，由f （ln （﹣2a））=[ln （﹣2a）﹣2] （﹣2a）+a[ln （﹣2a）﹣1] 2=a{[ln （﹣2a）﹣2] 2+1} ＜0 得：函数 f （x）在R上至多存在一个零点，不合题意；A到PQ的距离为d= = ，|PQ|=2 =2 = ，④若a=﹣，则ln （﹣2a）=1，当x＜1=ln （﹣2a）时，x﹣1＜0，ex+2a＜e ln （﹣2a）+2a=0，x+2a＜e ln （﹣2a）+2a=0，即f ′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0 恒成立，故 f （x）单调递增，当x＞1 时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln （﹣2a）+2a=0，则四边形MPNQ面积为S= |PQ| ?|MN|= ? ?12 ?即f ′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0 恒成立，故 f （x）单调递增，故函数 f （x）在R上单调递增，x+2a）＞0 恒成立，故 f （x）单调递增，故函数 f （x）在R上单调递增，函数 f （x）在R上至多存在一个零点，不合题意；=24? =24 ，当m=0时，S取得最小值12，又＞0，可得S＜24? =8 ，⑤若a＜﹣，则ln （﹣2a）＞lne=1 ，当x＜1 时，x﹣1＜0，ex+2a＜e ln （﹣2a）+2a=0，x+2a＜e ln （﹣2a）+2a=0，即f ′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0 恒成立，故 f （x）单调递增，即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12 ，8 ）．当1＜x＜ln （﹣2a）时，x﹣1＞0，ex+2a＜e ln （﹣2a）+2a=0，x+2a＜e ln （﹣2a）+2a=0，即f ′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＜0 恒成立，故 f （x）单调递减，当x＞ln （﹣2a）时，x﹣1＞0，ex+2a＞e ln （﹣2a）+2a=0，即f ′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0 恒成立，故 f （x）单调递增，故当x=1 时，函数取极大值，由f （1）=﹣e＜0 得：函数 f （x）在R上至多存在一个零点，不合题意；综上所述， a 的取值范围为（0，+∞）第8 页共9 页深圳星火教育龙华数学组余凤老师整理证明：（Ⅱ）∵x1，x2 是f （x）的两个零点，∴y=2x 为圆C1 与C2 的公共弦所在直线方程，①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a3 ，2=0，即为 C2=0，即为 C∴f （x1）=f （x2）=0，且x1≠1，且x2≠1， 2∴1﹣a =0，∴a=1（a＞0）．∴﹣a= = ，令g（x）= ，则g（x1）=g（x2）=﹣a，[ 选修4-5 ：不等式选讲]24．∵g′（x）= ，∴当x＜1 时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；【解答】解：（Ⅰ）f （x）= ，当x＞1 时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；设m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）= ﹣= ，由分段函数的图象画法，可得 f （x）的图象，如右：设h（m）= ，m＞0，（Ⅱ）由|f （x）| ＞1，可得当x≤﹣1 时，|x ﹣4| ＞1，解得x＞5 或x＜3，即有x≤﹣1；则h′（m）= ＞0 恒成立，即h（m）在（0，+∞）上为增函数，当﹣1＜x＜时，|3x ﹣2| ＞1，解得x＞1 或x＜，即有﹣1＜x＜或1＜x＜；h（m）＞h（0）=0 恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，当x≥时，|4 ﹣x| ＞1，解得x＞5 或x＜3，即有x＞5 或≤x＜3．令m=1﹣x1＞0，则g（1+1﹣x1）＞g（1﹣1+x1）? g（2﹣x1）＞g（x1）=g（x2）? 2﹣x1＞x2，综上可得，x＜或1＜x＜3 或x＞5．则|f （x）| ＞1 的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．即x1+x2＜2．请考生在22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[ 选修4-1 ：几何证明选讲]【解答】证明：（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK，∵OA=O，B∠AOB=120°，∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°= OA，∴直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）因为OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设T是A，B，C，D四点所在圆的圆心．∵OA=O，B TA=TB，∴OT为AB的中垂线，同理，OC=OD，TC=TD，∴OT为CD的中垂线，∴AB∥CD．[ 选修4-4 ：坐标系与参数方程]【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x2+（y﹣1）2+（y﹣1）2=a2．∴C1 为以（0，1）为圆心，以 a 为半径的圆．化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①由x2+y2=ρ2+y2=ρ2，y=ρsin θ，得ρ2﹣2ρsin θ+1﹣a2=0；（Ⅱ）C2：ρ=4cos θ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，②即（x﹣2）2+y2=4．由C3：θ=α0，其中α0 满足t an α0=2，得y=2x，∵曲线C1 与C2 的公共点都在C3 上，第9页共9 页深圳星火教育龙华数学组余凤老师整理。
2016年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)
2016 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5 分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）2．（5 分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y 是实数，则|x+yi|=（）A．1 B．C．D．23．（5 分）已知等差数列{a n}前9 项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100 B．99 C．98 D．974．（5 分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30 发车，小明在7：50 至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10 分钟的概率是（）A．B．C．D．5．（5 分）已知方程﹣=1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）6．（5 分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π7．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5 分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y 的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x10．（5 分）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A、B 两点，交C 的准线于D、E 两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C 的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．811．（5 分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n 所成角的正弦值为（）A．B．C．D．12．（5 分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω 的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.13．（5 分）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=．14．（5 分）（2x+）5的展开式中，x3的系数是．（用数字填写答案）15．（5分）设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n 的最大值为．16．（5 分）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5 个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3 个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600 个工时的条件下，生产产品A、产品B 的利润之和的最大值为元．三、解答题：本大题共5 小题，满分60 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC 的面积为，求△ABC 的周长．18．（12 分）如图，在以A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E 与二面角C﹣BE﹣F 都是60°．（I）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（II）求二面角E﹣BC﹣A 的余弦值．19．（12 分）某公司计划购买2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500 元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2 台机器的同时购买的易损零件数．（I）求X 的分布列；（II）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n 的最小值；（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19 与n=20 之中选其一，应选用哪个？20．（12 分）设圆x2+y2+2x﹣15=0 的圆心为A，直线l 过点B（1，0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E．（I）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II）设点E 的轨迹为曲线C1，直线l 交C1 于M，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．21．（12 分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（I）求a 的取值范围；（II）设x1，x2 是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．请考生在22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10 分）如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB=120°．以O 为圆心，OA 为半径作圆．（I）证明：直线AB 与⊙O 相切；（II）点C，D 在⊙O 上，且A，B，C，D 四点共圆，证明：AB∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy 中，曲线C1 的参数方程为（t 为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（I）说明C1 是哪种曲线，并将C1 的方程化为极坐标方程；（II）直线C3 的极坐标方程为θ=α0，其中α0 满足tanα0=2，若曲线C1 与C2 的公共点都在C3 上，求a．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（I）在图中画出y=f（x）的图象；（II）求不等式|f（x）|＞1 的解集．2016 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5 分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；4O：定义法；5J：集合．【分析】解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3＜0}=（1，3），B={x|2x﹣3＞0}=（，+∞），∴A∩B=（，3），故选：D．【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．2．（5 分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y 是实数，则|x+yi|=（）A．1 B．C．D．2【考点】A8：复数的模．【专题】34：方程思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数相等求出x，y 的值，结合复数的模长公式进行计算即可．【解答】解：∵（1+i）x=1+yi，∴x+xi=1+yi，即，解得，即|x+yi|=|1+i|= ，故选：B．【点评】本题主要考查复数模长的计算，根据复数相等求出x，y 的值是解决本题的关键．3．（5 分）已知等差数列{a n}前9 项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100 B．99 C．98 D．97【考点】83：等差数列的性质．【专题】11：计算题；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】根据已知可得a5=3，进而求出公差，可得答案．【解答】解：∵等差数列{a n}前9 项的和为27，S9===9a5．∴9a5=27，a5=3，又∵a10=8，∴d=1，∴a100=a5+95d=98，故选：C．【点评】本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键．4．（5 分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30 发车，小明在7：50 至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10 分钟的概率是（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【专题】5I：概率与统计．【分析】求出小明等车时间不超过10 分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：设小明到达时间为y，当y 在7：50 至8：00，或8：20 至8：30 时，小明等车时间不超过10 分钟，故P==，故选：B．【点评】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．5．（5 分）已知方程﹣=1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）【考点】KB：双曲线的标准方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知可得c=2，利用4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得m2=1，又（m2+n）（3m2﹣n）＞0，从而可求n 的取值范围．【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c=2，当焦点在x 轴上时，可得：4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=1，∵方程﹣=1 表示双曲线，∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0，解得：﹣1＜n＜3，即n 的取值范围是：（﹣1，3）．当焦点在y 轴上时，可得：﹣4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=﹣1，无解．故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用，考查了不等式的解法，属于基础题．6．（5 分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π•22+=17π．故选：A．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力．7．（5 分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】27：图表型；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2 时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0 有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答．8．（5 分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c【考点】R3：不等式的基本性质．【专题】33：函数思想；35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用；5T：不等式．【分析】根据已知中a＞b＞1，0＜c＜1，结合对数函数和幂函数的单调性，分析各个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，∴函数f（x）=x c在（0，+∞）上为增函数，故a c＞b c，故A 错误；函数f（x）=x c﹣1 在（0，+∞）上为减函数，故a c﹣1＜b c﹣1，故ba c＜ab c，即ab c ＞ba c；故B 错误；log a c＜0，且log b c＜0，log a b＜1，即=＜1，即log a c＞log b c．故D错误；0＜﹣log a c＜﹣log b c，故﹣blog a c＜﹣alog b c，即blog a c＞alog b c，即alog b c＜blog a c，故C 正确；故选：C．【点评】本题考查的知识点是不等式的比较大小，熟练掌握对数函数和幂函数的单调性，是解答的关键．9．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y 的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：输入x=0，y=1，n=1，则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=2，则x=，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3，则x=，y=6，满足x2+y2≥36，故y=4x，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．10．（5 分）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A、B 两点，交C 的准线于D、E 两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C 的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】K8：抛物线的性质；KJ：圆与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可．【解答】解：设抛物线为y2=2px，如图：|AB|=4，|AM|=2，|DE|=2，|DN|=，|ON|=，x A==，|OD|=|OA|，=+5，解得：p=4．C 的焦点到准线的距离为：4．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查计算能力．转化思想的应用．11．（5 分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n 所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5G：空间角．【分析】画出图形，判断出m、n 所成角，求解即可．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1 是正三角形．m、n 所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n 所成角的正弦值为：．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．12．（5 分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω 的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性．【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω 的最大值．【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9 时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω 的最大值为9，故选：B．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大．二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.13．（5 分）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=﹣2 ．r +1【考点】9O ：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5A ：平面向量及应用． 【分析】利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可．【解答】解：|+|2=||2+||2，可得•=0．向量=（m ，1），=（1，2），可得 m +2=0，解得 m=﹣2． 故答案为：﹣2．【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能力．14．（5 分）（2x +）5 的展开式中，x 3 的系数是 10 ．（用数字填写答案）【考点】DA ：二项式定理．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5P ：二项式定理． 【分析】利用二项展开式的通项公式求出第 r +1 项，令 x 的指数为 3，求出 r ，即可求出展开式中 x 3 的系数． 【解答】解：（2x +）5 的展开式中，通项公式为：T = =25﹣r，令 5﹣=3，解得 r=4 ∴x 3 的系数 2=10．故答案为：10．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．（5 分）设等比数列{a n }满足 a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则 a 1a 2…a n 的最大值为 64 ．1 2 n 1 【考点】87：等比数列的性质；8I ：数列与函数的综合．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；54：等差数列与等比数列． 【分析】求出数列的等比与首项，化简 a 1a 2…a n ，然后求解最值． 【解答】解：等比数列{a n }满足 a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，可得 q （a 1+a 3）=5，解得 q=． a 1+q 2a 1=10，解得 a 1=8．则 a a …a =a n •q1+2+3+…+（n ﹣1）=8n • = = ，当 n=3 或 4 时，表达式取得最大值： =26=64．故答案为：64．【点评】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考查计算能力．16．（5 分）某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg ，乙材料 1kg ，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg ，乙材料 0.3kg ，用 3 个工时，生产一件产品 A 的利润为 2100元，生产一件产品 B 的利润为 900 元．该企业现有甲材料 150kg ，乙材料 90kg ，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A 、产品 B 的利润之和的最大值为 216000元．【考点】7C ：简单线性规划．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；33：函数思想；35：转化思想．【分析】设 A 、B 两种产品分别是 x 件和 y 件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；【解答】解：（1）设 A 、B 两种产品分别是 x 件和 y 件，获利为 z 元．由题意，得，z=2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z=2100x+900y．经过A 时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000 元．故答案为：216000．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键．三、解答题：本大题共5 小题，满分60 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC 的面积为，求△ABC 的周长．【考点】HU：解三角形．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC 不为0 求出cosC 的值，即可确定出出C 的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b 的值，即可求△ABC 的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC 中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC 的周长为5+．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（12 分）如图，在以A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E 与二面角C﹣BE﹣F 都是60°．（I）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（II）求二面角E﹣BC﹣A 的余弦值．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5H：空间向量及应用；5Q：立体几何．【分析】（Ⅰ）证明AF⊥平面EFDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）证明四边形EFDC 为等腰梯形，以E 为原点，建立如图所示的坐标系，求出平面BEC、平面ABC 的法向量，代入向量夹角公式可得二面角E﹣BC﹣A 的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABEF 为正方形，∴AF⊥EF．∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，∵DF∩EF=F，∴AF⊥平面EFDC，∵AF⊂平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）解：由AF⊥DF，AF⊥EF，可得∠DFE 为二面角D﹣AF﹣E 的平面角；由ABEF 为正方形，AF⊥平面EFDC，∵BE⊥EF，∴BE⊥平面EFDC即有CE⊥BE，可得∠CEF 为二面角C﹣BE﹣F 的平面角．可得∠DFE=∠CEF=60°．∵AB∥EF，AB✪平面EFDC，EF⊂平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB⊂平面ABCD，∴AB∥CD，∴CD∥EF，∴四边形EFDC 为等腰梯形．以E 为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a，则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，a），A（2a，2a，0），∴=（0，2a，0），=（，﹣2a，a），=（﹣2a，0，0）设平面BEC 的法向量为=（x1，y1，z1），则，则，取=（，0，﹣1）．设平面ABC 的法向量为=（x2，y2，z2），则，则，取=（0，，4）．设二面角E﹣BC﹣A 的大小为θ，则cosθ===﹣，则二面角E﹣BC﹣A 的余弦值为﹣．【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查用空间向量求平面间的夹角，建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．19．（12 分）某公司计划购买2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500 元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2 台机器的同时购买的易损零件数．（I）求X 的分布列；（II）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n 的最小值；（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19 与n=20 之中选其一，应选用哪个？【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）由已知得X 的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列．（II）由X 的分布列求出P（X≤18）=，P（X≤19）=．由此能确定满足P （X≤n）≥0.5 中n 的最小值．（III）法一：由X 的分布列得P（X≤19）=．求出买19 个所需费用期望EX1和买20 个所需费用期望EX2，由此能求出买19 个更合适．法二：解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出n=19 时，费用的期望和当n=20时，费用的期望，从而得到买19 个更合适．【解答】解：（Ⅰ）由已知得X 的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，P （X=16）=（）2=，P（X=17）=，P（X=18）=（）2+2（）2=，P（X=19）= =，P（X=20）= ==，P（X=21）= =，P（X=22）= ，∴X 的分布列为：（Ⅱ）由（Ⅰ）知：P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）==．P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．∴P（X≤n）≥0.5 中，n 的最小值为19．（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．买19 个所需费用期望：EX1=200×+（200×19+500）×+（200×19+500×2）×+（200×19+500×3）×=4040，买20 个所需费用期望：EX2= +（200×20+500）×+（200×20+2×500）×=4080，∵EX1＜EX2，∴买19 个更合适．解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当n=19 时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040，当n=20 时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.04=4080，∴买19 个更合适．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．20．（12 分）设圆x2+y2+2x﹣15=0 的圆心为A，直线l 过点B（1，0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E．（I）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II）设点E 的轨迹为曲线C1，直线l 交C1 于M，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．【考点】J2：圆的一般方程；KL：直线与椭圆的综合．【专题】34：方程思想；48：分析法；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求得圆A 的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E 的轨迹为以A，B 为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程；（Ⅱ）设直线l：x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|MN|，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），求得A 到PQ 的距离，再由圆的弦长公式可得|PQ|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：圆x2+y2+2x﹣15=0 即为（x+1）2+y2=16，可得圆心A（﹣1，0），半径r=4，由BE∥AC，可得∠C=∠EBD，由AC=AD，可得∠D=∠C，即为∠D=∠EBD，即有EB=ED，则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4，故E 的轨迹为以A，B 为焦点的椭圆，且有2a=4，即a=2，c=1，b==，则点E 的轨迹方程为+=1（y≠0）；（Ⅱ）椭圆C1：+=1，设直线l：x=my+1，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），由可得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得y1+y2=﹣，y1y2=﹣，则|MN|=•|y1﹣y2|=•= •=12•，A 到PQ 的距离为d==，|PQ|=2 =2=，则四边形MPNQ 面积为S= |PQ|•|MN|= ••12•=24•=24，当m=0 时，S 取得最小值12，又＞0，可得S＜24•=8 ，即有四边形MPNQ 面积的取值范围是[12，8）．【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相交的弦长公式，考查不等式的性质，属于中档题．21．（12 分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（I）求a 的取值范围；（II）设x1，x2 是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．【考点】51：函数的零点；6D：利用导数研究函数的极值．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4C：分类法；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）由函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2可得：f′（x）=（x﹣1）e x+2a （x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），对a 进行分类讨论，综合讨论结果，可得答案．（Ⅱ）设x1，x2 是f（x）的两个零点，则﹣a==，令g（x）=，则g（x1）=g（x2）=﹣a，分析g（x）的单调性，令m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=，设h（m）=，m＞0，利用导数法可得h（m）＞h（0）=0 恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，∴f′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），①若a=0，那么f（x）=0⇔（x﹣2）e x=0⇔x=2，函数f（x）只有唯一的零点2，不合题意；②若a＞0，那么e x+2a＞0 恒成立，当x＜1 时，f′（x）＜0，此时函数为减函数；当x＞1 时，f′（x）＞0，此时函数为增函数；此时当x=1 时，函数f（x）取极小值﹣e，由f（2）=a＞0，可得：函数f（x）在x＞1 存在一个零点；当x＜1 时，e x＜e，x﹣2＜﹣1＜0，∴f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2＞（x﹣2）e+a（x﹣1）2=a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e，令a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e=0 的两根为t1，t2，且t1＜t2，则当x＜t1，或x＞t2 时，f（x）＞a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e＞0，故函数f（x）在x＜1 存在一个零点；即函数f（x）在R 是存在两个零点，满足题意；③若﹣＜a＜0，则ln（﹣2a）＜lne=1，当x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＜ln（﹣2a）﹣1＜lne﹣1=0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0 恒成立，故f（x）单调递增，当ln（﹣2a）＜x＜1 时，x﹣1＜0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0 恒成立，故f（x）单调递减，当x＞1 时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0 恒成立，故f（x）单调递增，故当x=ln（﹣2a）时，函数取极大值，由f（ln（﹣2a））=[ln（﹣2a）﹣2]（﹣2a）+a[ln（﹣2a）﹣1]2=a{[ln（﹣2a）﹣2]2+1}＜0 得：函数f（x）在R 上至多存在一个零点，不合题意；④若a=﹣，则ln（﹣2a）=1，当x＜1=ln（﹣2a）时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0 恒成立，故f（x）单调递增，当x＞1 时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0 恒成立，故f（x）单调递增，故函数f（x）在R 上单调递增，函数f（x）在R 上至多存在一个零点，不合题意；⑤若a＜﹣，则ln（﹣2a）＞lne=1，当x＜1 时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0 恒成立，故f（x）单调递增，当1＜x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0 恒成立，故f（x）单调递减，当x＞ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0 恒成立，故f（x）单调递增，故当x=1 时，函数取极大值，由f（1）=﹣e＜0 得：函数f（x）在R 上至多存在一个零点，不合题意；综上所述，a 的取值范围为（0，+∞）证明：（Ⅱ）∵x1，x2 是f（x）的两个零点，∴f（x1）=f（x2）=0，且x1≠1，且x2≠1，∴﹣a==，令g（x）=，则g（x1）=g（x2）=﹣a，∵g′（x）=，∴当x＜1 时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞1 时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；设m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=﹣=，设h（m）= ，m＞0，则h′（m）= ＞0 恒成立，即h（m）在（0，+∞）上为增函数，h（m）＞h（0）=0 恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，则g（1+1﹣x1）＞g（1﹣1+x1）⇔g（2﹣x1）＞g（x1）=g（x2）⇔2﹣x1＞x2，即x1+x2＜2．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，分类讨论思想，难度较大．请考生在22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10 分）如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB=120°．以O 为圆心，OA 为半径作圆．（I）证明：直线AB 与⊙O 相切；（II）点C，D 在⊙O 上，且A，B，C，D 四点共圆，证明：AB∥CD．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．【分析】（Ⅰ）设K 为AB 中点，连结OK．根据等腰三角形AOB 的性质知OK⊥ AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，则AB 是圆O 的切线．（Ⅱ）设圆心为T，证明OT 为AB 的中垂线，OT 为CD 的中垂线，即可证明结论．【解答】证明：（Ⅰ）设K 为AB 中点，连结OK，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，∴直线AB 与⊙O 相切；（Ⅱ）因为OA=2OD，所以O 不是A，B，C，D 四点所在圆的圆心．设T 是A，B，C，D 四点所在圆的圆心．∵OA=OB，TA=TB，∴OT 为AB 的中垂线，同理，OC=OD，TC=TD，∴OT 为CD 的中垂线，∴AB∥CD．【点评】本题考查了切线的判定，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力．解答此题时，充分利用了等腰三角形“三合一”的性质．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy 中，曲线C1 的参数方程为（t 为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（I）说明C1 是哪种曲线，并将C1 的方程化为极坐标方程；（II）直线C3 的极坐标方程为θ=α0，其中α0 满足tanα0=2，若曲线C1 与C2 的公共点都在C3 上，求a．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QE：参数方程的概念．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）把曲线C1 的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C1 是圆，化为一般式，结合x2+y2=ρ2，y=ρsinθ 化为极坐标方程；（Ⅱ）化曲线C2、C3 的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x 为圆C1 与C2 的公共弦所在直线方程，把C1 与C2 的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=2x 可得1﹣a2=0，则a 值可求．【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x2+（y﹣1）2=a2．∴C1 为以（0，1）为圆心，以a 为半径的圆．化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0；（Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，②即（x﹣2）2+y2=4．由C3：θ=α0，其中α0 满足tanα0=2，得y=2x，∵曲线C1 与C2 的公共点都在C3 上，∴y=2x 为圆C1 与C2 的公共弦所在直线方程，①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即为C3 ，∴1﹣a2=0，∴a=1（a＞0）．【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（I）在图中画出y=f（x）的图象；（II）求不等式|f（x）|＞1 的解集．【考点】&2：带绝对值的函数；3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f（x）的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象；（Ⅱ）分别讨论当x≤﹣1 时，当﹣1＜x＜时，当x≥时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求解集．【解答】解：（Ⅰ）f（x）= ，由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得当x≤﹣1 时，|x﹣4|＞1，解得x＞5 或x＜3，即有x≤﹣1；当﹣1＜x＜时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1 或x＜，即有﹣1＜x＜或1＜x＜；当x≥时，|4﹣x|＞1，解得x＞5 或x＜3，即有x＞5 或≤x＜3．综上可得，x＜或1＜x＜3 或x＞5．则|f（x）|＞1 的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法，注意运用分段函数的图象的画法和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于基础题．。
2016年高考全国2卷理科数学及答案
绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 全国II 卷（全卷共12页）(适用地区：贵州,甘肃,青海,西藏,黑龙江,吉林,辽宁,宁夏,新疆,内蒙古,云南,重庆,陕西,海南)注意事项：1． 本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
2． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。
第I 卷一、 选择题：本题共12小题，每小题5分。
在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。
（1） 已知i m m z )1()3(−++=在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）（3−,1） （B ）（1−,3） （C ）（1,∞+） （D ）（∞−,3−） （2） 已知集合{}3,2,1=A ，{}Z x x x x B∈<−+=，0)2)(1(，则=B A（A ）{}1 （B ）{}2,1 （C ）{}3,2,1,0 （D ）{}3,2,1,0,1− （3） 已知向量),1(m a =，)2,3(−=b 且b b a ⊥+)(，则=m（A ）8− （B ）6− （C ）6 （D ）8 （4） 圆0138222=+−−+y x y x的圆心到直线01=−+y ax 的距离为1，则=a（A ）34−（B ）43− （C ）3 （D ）2（5） 如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 （A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6） 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π（7） 若将函数x y 2sin 2=的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图像的对称轴为 （A ）)(62Z k k x ∈−=ππ （B ）)(62Z k k x ∈+=ππ（C ）)(122Z k k x ∈−=ππ （D ）)(122Z k k x ∈+=ππ（8） 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2=x ，2=n ,依次输入的a 为2，2，5，则输出的=s（A ）7 （B ）12（C ）17 （D ）34（9） 若53)4cos(=−απ，则=α2sin（A ）257（B ）51（C ）51− （D ）257−（10） 以从区间[]1,0随机抽取n 2个数n n y y y x x x ，⋯⋯,,,,,,2121，构成n 个数对),(),,(),,(2211n n y x y x y x ，⋯，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 （A ）n 4 （B ）n 2 （C ）m 4 （D ）m 2否是 0,0==s kn k >输入n x ,输出s开始 结束输入a1+=+⋅=k k ax s s（11） 已知21,F F 是双曲线E ：12222=−by a x 的左,右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，31sin 12=∠F MF ，则E 的离心率为 （A ）2 （B ）23（C ）3 （D ）2（12） 已知函数))((R x x f ∈满足)(2)(x f x f −=−，若函数xx y 1+=与)(x f y =图像的交点为),(,),,(),,(2211m m y x y x y x ⋯，则=+∑=mi i i y x 1)(（A ）0 （B ）m （C ）m 2 （D ）m 4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
16年高考真题——理科数学(新课标Ⅲ卷)
2016年普通高等学校招生全国统一考试（III ）卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合()(){}032|≥--=x x x S ，{}0|>=x x T ，则=T S （ ）（A ）[]3,2 （B ）(][)+∞∞-,32, （C ）[)+∞,3 （D ）(][)+∞,32,02．若i z 21+=，则=-14z z i（ ） （A ）1 （B ）1- （C ）i （D ）i - 3．已知向量13,22BA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，31,22BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则=∠ABC （ ）（A ）030 （B ）045 （C ）060 （D ）0120 4．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。
图中A 点表示十月的平均最高气温约为15C 0，B 点表示四月的平均最低气温约为5C 0。
下面叙述不正确的是（ ）（A ）各月的平均最低气温都在0C 0以上 （B ）七月的平均温差比一月的平均温差大 （C ）三月和十一月的平均最高气温基本相同 （D ）平均气温高于20C 0的月份有5个5．若43tan =α，则=+αα2sin 2cos 2（ ） （A ）2564 （B ）2548 （C ）1 （D ）2516 6．已知342=a ，524=b ，3125=c ，则（ ）（A ）c a b << （B ）c b a << （C ）a c b << （D ）b a c <<7．执行右图的程序框图，如果输入的4=a ，6=b ，那么输出 的=n （ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）68．在ABC ∆中，4π=B ，BC 边上的高等于BC 31，则=A cos （ ） （A ）10103 （B ）1010 （C ）1010- （D ）10103- 9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ） （A ）53618+（B ）51854+ （C ）90 （D ）8110．在封闭的直三棱柱111C B A ABC -内有一个体积为V 的球，若BC AB ⊥，6=AB ，8=BC ，31=AA ，则V 的最大值是（ ） （A ）π4 （B ）29π （C ）π6 （D ）332π11．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：()012222>>=+b a by a x 的左焦点，B A ,分别是C 的左、右顶点，P 是C 上一点，且x PF ⊥轴。
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2016内蒙古高考理科数学试卷及答案
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