离散数学第一章ppt

为假时， 为真，可称为空证明 （3）当p为假时，p→q为真，可称为空证明 常出现的错误： （4） 常出现的错误：不分充分与必要条件
例
设p：天冷，q：小王穿羽绒服，将下列命题符 ：天冷， ：小王穿羽绒服， 号化
（1）只要天冷，小王就穿羽绒服 ）只要天冷，小王就穿羽绒服. （2）因为天冷，所以小王穿羽绒服 ）因为天冷，所以小王穿羽绒服. （3）若小王不穿羽绒服，则天不冷 ）若小王不穿羽绒服，则天不冷. （4）只有天冷，小王才穿羽绒服 ）只有天冷，小王才穿羽绒服. （5）除非天冷，小王才穿羽绒服 ）除非天冷，小王才穿羽绒服. （6）除非小王穿羽绒服，否则天不冷 ）除非小王穿羽绒服，否则天不冷. （7）如果天不冷，则小王不穿羽绒服 ）如果天不冷，则小王不穿羽绒服. （8）小王穿羽绒服仅当天冷的时候 ）小王穿羽绒服仅当天冷的时候.
（1）—（3）说明描述合取式的灵活性与多样性 （ 要求分清联结词“ （4）—（5）要求分清联结词“与”联结的复合 （ 命题与简单命题 将各命题符号化
析取式与析取联结词“ 3. 析取式与析取联结词“∨” 定义1.3 为二命题，复合命题“ 定义1.3 设p, q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q 称作 的析取式， 称作析取联结词， 的析取式，记作p∨q，∨称作析取联结词，并规定
离散数学
高等教育出版社
Baidu Nhomakorabea
参考书： 参考书： 1、离散数学习题与解析 、 作者：胡新启、 作者：胡新启、胡元明 清华大学出版社
2、离散数学 理论、分析、题解 、 理论、分析、 作者：左孝凌、 作者：左孝凌、李为鑑 上海科学文献出版社
3、离散数学学习指导与习题解析 、
期未总成绩分为平时成绩和考试成绩： 期未总成绩分为平时成绩和考试成绩： 其中平时成绩占30%（考勤15分，作业 分） （考勤 分 作业15分 其中平时成绩占 考试成绩占70%。 。 考试成绩占
命题常项或常元：由于简单命题的真值确定， 命题常项或常元 由于简单命题的真值确定， 由于简单命题的真值确定 故称之为命题常元。 故称之为命题常元。
命题变项或变元：真值可以变化的简单陈述句， 命题变项或变元：真值可以变化的简单陈述句， 但它不是命题。 但它不是命题。 注意： 注意：常项与变项均用p, q, r, …, pi, qi, , ri, …, 等表示. , 等表示.
一、简单命题或原子命题：简单的陈述句, 不 简单命题或原子命题：简单的陈述句, 能再分解成更简单的句子. 能再分解成更简单的句子. 简单命题符号化 ， （1）用小写英文字母p，q，r，…，pi，qi，ri ≥1） （i≥1）表示简单命题 表示真， （2）用“1”表示真，用“0”表示假 表示真 表示假 例如， 例如，令 p： 2 是有理数，则p的真值为0， 的真值为0 2是有理数， q：2 + 5 = 7，则q的真值为1 7， 的真值为1 在本小节要弄清命题、命题的真值、真命题、假命题、 在本小节要弄清命题、命题的真值、真命题、假命题、 简单（原子）命题、 简单（原子）命题、复合命题等概念
例1
判断下列句子中哪些是命题 (1) 是素数。 2 是素数。 T
雪是黑色的。 (2) 雪是黑色的。 F 3＝ (3) 2 + 3＝5。 T
明年十月一日是晴天。 (4) 明年十月一日是晴天。 是 3能被 整除。 能被2 (5) 3能被2 整除。 F
(6) 这朵花多好看呀！ 这朵花多好看呀！ 明天下午有会吗？ (7) 明天下午有会吗？ (8) 请你关上门！ 请你关上门！ (9) x + y >5.
复合命题：由联结词、 复合命题：由联结词、标点符号和原子命题复 合构成的命题。 合构成的命题。 例2 指出下列复合命题的联结词 3不是偶数 (1) 3不是偶数 (非) 2是素数和偶数 (2) 2是素数和偶数 (且) (3) 林芳学过英语或日语 (或) 是对顶角， (4) 如果角A和角B是对顶角，则角A 等于角B (如果…，则…) 如果 ， )
2.
合取式与合取联结词“ 合取式与合取联结词“∧”
定义1 为二命题，复合命题“ 定义1.2 设p，q为二命题，复合命题“p并且q”（或 （ 的合取式， “p与q”）称为p与q的合取式，记作p∧q，∧称作合 ） 取联结词，并规定p∧q为真当且仅当p与q同时为真. 同时为真. 取联结词， 使用合取联结词时要注意两点： 使用合取联结词时要注意两点： (1) 描述合取式的灵活性与多样性 (2) 分清简单命题与复合命题
第一节 小 结
本小节中 p, q, r, … 均表示命题. 联结词集为{¬, ∧, ∨, →, ↔}，每个联结词联结的¬p, p∧q, p∨q, p→q, p↔q 为基本复合命题. 其中 p→q 最 难理解，要特别注意. 反复使用{¬, ∧, ∨, →, ↔}中的
2 联结词组成更为复杂的复合命题.
否 否 否 否
地球外的星球上也有人。 (10) 地球外的星球上也有人。 是
解题思想：判断一个句子是否为命题, 解题思想：判断一个句子是否为命题, 一看它是 二看它的真值是否唯一. 二看它的真值是否唯一. 否为陈述句； 否为陈述句； 注意： 注意： 感叹句、祈使句、 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题 陈述句中的悖论， 陈述句中的悖论，判断结果不惟一确定的不是命题
一 命题逻辑
命题逻辑以研究命题的演算为其主 要内容，所以命题逻辑又称为命题演算 命题逻辑又称为命题演算。 要内容，所以命题逻辑又称为命题演算。
二
一阶逻辑： 一阶逻辑：
一阶逻辑
为了在命题演算中， 反映命题的内 为了在命题演算中 ， 在联系， 常常要将简单命题分解成个体 在联系 ， 常常要将简单命题分解成 个体 词 、 谓词、 量词等 ， 并对它们的形式结 谓词 、 量词 等 构及逻辑关系加以研究， 构及逻辑关系加以研究 ， 总结出正确的 推理形式和规则。 推理形式和规则。
一、主要内容 命题逻辑基本概念 命题逻辑等值演算 命题逻辑推理理论 一阶逻辑基本概念 一阶逻辑等值演算与推理理论 二、学习要求 深刻理解命题、联结词、复合命题、 深刻理解命题、 联结词、 复合命题 、 命题公式 等值式、等值演算、 、等值式、等值演算、推理及证明等概念 熟练进行等值演算与构造证明
将下列命题符号化. 例 将下列命题符号化. （1 ） （2 ） （3 ） （4 ） （5 ） 吴颖既用功又聪明. 吴颖既用功又聪明. 吴颖不仅用功而且聪明. 吴颖不仅用功而且聪明. 吴颖虽然聪明，但不用功. 吴颖虽然聪明，但不用功. 张辉与王丽都是三好生. 张辉与王丽都是三好生. 张辉与王丽是同学. 张辉与王丽是同学.
0 0 1 1
0 1 0 1
0 0 0 1
0 1 1 1
1 1 0 1
1 0 0 1
命题演算的优先顺序： 命题演算的优先顺序： (1) (2) (3) ¬ ∧ ∨ → ↔
从左至右 先括号
§1.2
命题公式及其赋值
一、合式公式、命题公式 合式公式、
1、合式公式： 合式公式： (1) 单个命题常项或变项p，q，r，…，0，1 ， 是合式公式； 是合式公式； (2) 如果A是合式公式，则(¬ A)也是合式公式； 是合式公式， 也是合式公式； 是合式公式， (3) 如果A，B是合式公式，则(A∧B)，(A∨B)， (A→B)，(A↔B)是合式公式 只有有限次地应用(1) (3)组成的符号串 (1)－ (4) 只有有限次地应用(1)－(3)组成的符号串 才是合式公式。 才是合式公式。
例 求下列复合命题的真值 当且仅当3 （1）2 + 2 ＝ 4当且仅当 + 3 ＝ 6. ） 当且仅当 当且仅当3 （2）2 + 2 ＝ 4当且仅当 是偶数 ） 当且仅当 是偶数. （3）2 + 2 ＝ 4当且仅当太阳从东方升起 ） 当且仅当太阳从东方升起. 当且仅当太阳从东方升起 当且仅当美国位于非洲. （4）2 + 2 ＝ 4当且仅当美国位于非洲 ） 当且仅当美国位于非洲 它们的真值是显而易见的. 它们的真值是显而易见的
设 p: 2 是无理数，q: 3 是奇数， r: 苹果是方的， s: 太阳绕地球转 则复合命题(p→q) ↔((r∧¬s) ∨¬p)是假命题.
关于经联结词运算后，复合命题其值的规定： 关于经联结词运算后，复合命题其值的规定： 表1.1 P 0 1 ¬P 1 0
P Q
表1.2
P∧Q ∧ P∨Q ∨ P→Q → P↔Q ↔
注意： → 与 →¬ 等值（真值相同） →¬p等值 注意： p→q与¬q→¬ 等值（真值相同） （ 1），（ 2），（ 3），（ 6）符号化为 ） ） ） ） p→q → 其余的符号化为q→ 其余的符号化为 →p
等价式与等价联结词“↔” 5. 等价式与等价联结词 定义1.5 设p，q为二命题，复合命题“p当且仅当q” 为二命题，复合命题“ 的等价式， 称作 p 与 q 的等价式 ， 记作 p↔q ， ↔ 称作等价联 结词. 规定↔ 结词 . 并 规定 ↔ 为真当且仅当 p 与 q 同时为真或 同时为假. 同时为假. （1） p↔q的逻辑关系：p与q互为充分必要条件 （2） p↔q为真当且仅当p与q同真或同假
说明： 说明： 的逻辑关系： 为 的必要条件 （1）p→q的逻辑关系：q为p的必要条件 ） → 的逻辑关系 的不同表述法很多： （2）“如果 则q的不同表述法很多： ） 如果p, 的不同表述法很多 若p，就q ， p仅当 仅当q 仅当 除非q, 才p 除非 只要p， 只要 ，就q 只有q 只有 才p 除非q，否则非p，…． 除非 ，否则非 ， ．
第一章 命题逻辑基本概念
本章的主要内容： 命题、联结词、复合命题 命题公式、赋值、命题公式的分类 本章与后续各章的关系 本章是后续各章的准备或前提
§1.1 命题与联结词
能判断真假的陈述句. 这种判断只有两种可能, 命 题: 能判断真假的陈述句. 这种判断只有两种可能, 一种是正确的判断, 一种是错误的判断. 一种是正确的判断, 一种是错误的判断 命题真值——判断结果 判断结果 命题真值 真值的取值: 判断为正确的命题就说其命题真值为真(1)； 命题真值为真(1) 真值的取值 判断为正确的命题就说其命题真值为真(1)； 判断为错误的命题就说其命题真值为假(0)； 判断为错误的命题就说其命题真值为假(0)； 命题真值为假(0) 命题是具有唯一真值的陈述句。 命题是具有唯一真值的陈述句。
定义1.4 设p, q为二命题，复合命题“如果 则q” 为二命题， 定义 为二命题 复合命题“如果p, 称作p与 的蕴涵式 记作p→ ，并称p是蕴涵式 的蕴涵式， 称作 与q的蕴涵式，记作 →q，并称 是蕴涵式 的前件，q为蕴涵式的后件，→称作蕴涵联结词， 为蕴涵式的后件， 称作蕴涵联结词， 的前件， 为蕴涵式的后件 并规定， → 为假当且仅当 为真q为假 为假当且仅当p为真 为假. 并规定，p→q为假当且仅当 为真 为假
p∨q为假当且仅当p与q同时为假. 同时为假.
例 将下列命题符号化 （1）2或4是素数. 是素数. （2）2或3是素数. 是素数. （3）4或6是素数. 是素数. （4）小元元只能拿一个苹果或一个梨. 小元元只能拿一个苹果或一个梨.
（1）—（3）为相容或 ） （ ） （4）为排斥或 ）
4. 蕴涵式与蕴涵联结词“→” 蕴涵式与蕴涵联结词“
二 、联结词 1．否定式与否定联结词“¬” 否定式与否定联结词“ 定义1.1 设p为命题，符合命题“非p” 为命题，符合命题“ 定义1.1 的否定” 的否定式，记作¬ （或“p的否定”）称为p的否定式，记作¬p， 符号¬称作否定联结词，并规定¬ 符号¬称作否定联结词，并规定¬p 为真当 为假. 且仅当p为假.
第一部分 数理逻辑
数理逻辑： 数理逻辑：用数学方法来研究推理的形 式结构和推理规律的数学学科。 式结构和推理规律的数学学科。数理逻辑研 究的中心问题是推理，而推理的前提和结论 究的中心问题是推理， 都是表达判断的陈述句。因而， 都是表达判断的陈述句。因而，表达判断的 陈述句构成了推理的基本单位。 陈述句构成了推理的基本单位。包括逻辑演 算、证明论、公理集合论、递归论、模型论。 证明论、公理集合论、递归论、模型论。