离散数学1_1
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离散数学第一章数理逻辑
故命题可形式化为:(A∧B∧C) ↔ P
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中北大学离散数学课程组
例3.他既聪明又用功。 例4.他虽聪明但不用功。 例5.除非你努力，否则你将失败。 例6.张三或李四都可以做这件事。
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作业：
（1）判断下列公式哪些是合式公式，哪些不是合 式公式。
a.(Q→R∧S） b.(P ↔(R →S)) c.((┐P→Q)→(Q→P)) d.(RS→T) e.((P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R)) （2）用符号形式写出下列命题。 a.假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读
书或看报。
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b.我今天进城，除非下雨。 c.仅当你走我将留下。
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练习：将下列命题符号化。 1）说逻辑学枯燥无味（P）或毫无意义（Q）是不对的。 2）如果明天有雾（P），则我乘车（Q），不坐飞机（R）。 3）有雨（P）就刮风（Q）。 4）如果小王没来上课（P），一定是他生病了（Q）。 5）如果我上街（P），我就去图书馆看看（Q），除非我很累
2020/6/30
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中北大学离散数学课程组
结论： 命题一定是陈述句，但并非一切陈述句都是命题。 命题的真值有时可明确给出，有时还需要依靠环境、 条件、实际情况时间才能确定其真值。
2020/6/30
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中北大学离散数学课程组
二、命题的分类
1.原子命题(简单命题)：不能再分解为更为简单命 题的命题。
游； （5）两个三角形全等当且仅当三角形的三条边全部
相等。 (6) 张辉与王丽是同学。
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例 （解）
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例3.他既聪明又用功。 例4.他虽聪明但不用功。 例5.除非你努力，否则你将失败。 例6.张三或李四都可以做这件事。
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作业：
（1）判断下列公式哪些是合式公式，哪些不是合 式公式。
a.(Q→R∧S） b.(P ↔(R →S)) c.((┐P→Q)→(Q→P)) d.(RS→T) e.((P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R)) （2）用符号形式写出下列命题。 a.假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读
书或看报。
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b.我今天进城，除非下雨。 c.仅当你走我将留下。
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练习：将下列命题符号化。 1）说逻辑学枯燥无味（P）或毫无意义（Q）是不对的。 2）如果明天有雾（P），则我乘车（Q），不坐飞机（R）。 3）有雨（P）就刮风（Q）。 4）如果小王没来上课（P），一定是他生病了（Q）。 5）如果我上街（P），我就去图书馆看看（Q），除非我很累
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结论： 命题一定是陈述句，但并非一切陈述句都是命题。 命题的真值有时可明确给出，有时还需要依靠环境、 条件、实际情况时间才能确定其真值。
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二、命题的分类
1.原子命题(简单命题)：不能再分解为更为简单命 题的命题。
游； （5）两个三角形全等当且仅当三角形的三条边全部
相等。 (6) 张辉与王丽是同学。
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例 （解）
离散数学第一章命题逻辑PPT课件
P
Q
0
0
0
1
1
0
1
1
P→Q 1 1 0 1
如： P:雪是黑的。
Q:太阳从东方升起 。
P → Q:如果雪是黑的，则太阳从东方升起 。
命题P→Q是假, 当且仅当P是真而Q是假。
11/20/2020
chapter1
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1.2 联结词
条件与汉语中“如果…，就…”相类似，但有所区别: (1)自然语言中，“如果P则Q”，往往P和Q有一定的因果 关系，而条件复合命题P→Q中 P和Q 可以完全不相关。 (2)自然语言中，“如果P则Q”，当P为0、Q为1时，整个 句子真值难以确定；而条件复合命题P→Q中，当P为0时， 复合命题的真值为1。 P则Q的逻辑含义:P是Q的充分条件,的表示 命题变元——常用P、Q、R、S等大写字母或加下标的大 写字母P1, Q2, R10, ……表示来表示一个命题，称为命题 变元。 如： P:巴黎在法国。
Q:煤是白色的。
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1.1 命题及其表示法
3、命题相关概念 简单命题（原子命题）——不能再分解的命题。 复合命题——由若干个简单命题复合而成的命题。 真值表——把组成复合命题的各命题变元的真值的所有 组合及其相对应的复合命题的真值列成表，称为真值表。
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1.1 命题及其表示法
【例3 】求公式 (P→R)∨(Q→R)的真值表。 解：∵公式含有３个命题变元P、Q、R,
∴真值表有２3=8行。其真值表如下表 所示：
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1.2 联结词
命题和原子命题常可通过一些联结词构成新命题, 这
大学数学离散数学
大学数学离散数学离散数学是一门研究离散对象及其结构、性质和关系的数学学科。
离散数学在计算机科学、信息科学、工程学以及许多其他领域中具有重要的应用价值。
本文将介绍离散数学的基本概念、主要内容和应用领域。
一、概述离散数学是数学中的一个分支，研究的对象是离散的、离散化的数学结构。
它关注的是非连续、离散的数学概念和算法，与连续数学不同，离散数学是离散化的、离散性质的研究。
离散数学的主要内容包括集合论、逻辑、关系、图论、代数结构和组合数学等。
二、集合论集合论是离散数学中的基石，它研究的是集合这一基本概念及其性质。
集合是指具有确定特征的对象的整体，集合论主要研究集合的运算、集合的关系、集合的划分等基本问题。
集合论的基本公理包括空集公理、对偶公理、包含公理等。
三、逻辑逻辑是研究正确推理和证明的数学学科，也是离散数学的重要组成部分。
逻辑分为命题逻辑、谓词逻辑和模态逻辑等不同的分支。
离散数学中的逻辑包括命题逻辑和谓词逻辑，它们用于描述命题的真值和命题之间的关系。
四、关系关系是数学中的一种基本概念，描述了事物之间的联系和相互作用。
离散数学中的关系论主要研究二元关系和等价关系。
二元关系是指一个集合上的二元对组成的集合，它描述了两个元素之间的某种联系。
等价关系是一种满足自反性、对称性和传递性的二元关系，它将集合划分为不同的等价类。
五、图论图论是离散数学中的一门重要学科，研究图及其性质和应用。
图是由顶点和边组成的数学对象，它是描述许多实际问题的有效工具。
图论主要研究图的连通性、图的着色、最短路径、最小生成树等基本问题，并在网络、电路设计、运筹学等领域有广泛的应用。
六、代数结构代数结构是离散数学中的一个重要分支，研究的是集合上的运算和结构。
常见的代数结构包括群、环、域等，它们用于描述抽象代数系统的性质。
代数结构在计算机科学中有广泛的应用，例如密码学中的置换群、编码理论中的线性空间等。
七、组合数学组合数学是离散数学中的一门重要学科，研究离散对象的组合与排列问题。
离散数学.第1章
P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P∧Q 0 0 0 1
例4
设P：我们去看电影。Q：房间里有十张桌子。则
P ∧ Q表示“我们去看电影并且房间里有十张桌子。”
10
3. 析取“∨”（相容或）[讲解教材P3-5关于或]
4. 定义1.3
由命题P和Q利用“∨”组成的复合命题，称 为析取式复合命题，记作“P∨Q”（读作“P或Q”）。 当且仅当P和Q至少有一个取值为真时，P∨Q取值为真。
练习1-1
1. 判断下列语句哪些是命题，若是命题，则指出其真值。
（1） （2） 只有小孩才爱哭。 X+6=Y ( 是 假 ) ( 不是 ) (是 真) ( 不是 )
（3）
银是白的。
（4） 起来吧，我的朋友。 2． 将下列命题符号化
（1） 我看见的既不是小张也不是老李。 解 令P：我看见的是小张；Q：我看见的是老李。 则该命题可表示为¬ P∧¬ Q （2） 如果晚上做完了作业并且没有其它的事，他就会 看电视或听音乐。 解 令 P：他晚上做完了作业；Q：他晚上有其它的事； R：他看电视； S：他听音乐。 则该命题可表示为（P∧¬ Q）→（R∨S）
28
1.3 等值演算
• 定义1.10 设A和B是两个命题公式, 若等价式A↔B 是重言式，则称公式A 和B等值，记为A B,称 AB为等 值式。
• 注意： （1）符号“”与“↔”的区别与联系 “”不是联结词，AB不表示一个公式， 它表示两个公式间的一种关系，即等值关系。 “↔”是联结词，A↔B是一个公式。 AB 当且仅当 A↔B 是永真公式。
1 0 1 0 1 0 1 0
0 0 1 1 1 1 1 1
0 0 0 1 0 0 0 1
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例4
设P：我们去看电影。Q：房间里有十张桌子。则
P ∧ Q表示“我们去看电影并且房间里有十张桌子。”
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3. 析取“∨”（相容或）[讲解教材P3-5关于或]
4. 定义1.3
由命题P和Q利用“∨”组成的复合命题，称 为析取式复合命题，记作“P∨Q”（读作“P或Q”）。 当且仅当P和Q至少有一个取值为真时，P∨Q取值为真。
练习1-1
1. 判断下列语句哪些是命题，若是命题，则指出其真值。
（1） （2） 只有小孩才爱哭。 X+6=Y ( 是 假 ) ( 不是 ) (是 真) ( 不是 )
（3）
银是白的。
（4） 起来吧，我的朋友。 2． 将下列命题符号化
（1） 我看见的既不是小张也不是老李。 解 令P：我看见的是小张；Q：我看见的是老李。 则该命题可表示为¬ P∧¬ Q （2） 如果晚上做完了作业并且没有其它的事，他就会 看电视或听音乐。 解 令 P：他晚上做完了作业；Q：他晚上有其它的事； R：他看电视； S：他听音乐。 则该命题可表示为（P∧¬ Q）→（R∨S）
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1.3 等值演算
• 定义1.10 设A和B是两个命题公式, 若等价式A↔B 是重言式，则称公式A 和B等值，记为A B,称 AB为等 值式。
• 注意： （1）符号“”与“↔”的区别与联系 “”不是联结词，AB不表示一个公式， 它表示两个公式间的一种关系，即等值关系。 “↔”是联结词，A↔B是一个公式。 AB 当且仅当 A↔B 是永真公式。
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0 0 0 1 0 0 0 1
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离散数学第一章
离散数学第一章1.1命题及其表示法1.1.1 命题的概念数理逻辑将能够判断真假的陈述句称作命题。
1.1.2 命题的表示命题通常使用大写字母A，B，…，Z或带下标的大写字母或数字表示，如A i，[10]，R等，例如A1：我是一名大学生。
A1:我是一名大学生.[10]：我是一名大学生。
R：我是一名大学生。
1.2命题联结词1.2.1 否定联结词﹁PP P0 11 01.2.2 合取联结词∧P∧P Q Q0 0 00 1 01 0 01 1 11.2.3 析取联结词∨P∨P Q Q0 0 00 1 11 0 11 1 11.2.4 条件联结词→P Q Q0 0 10 1 11 0 01 1 11.2.5 双条件联结词?P?P Q Q0 0 10 1 01 0 01 1 11.2.6 与非联结词↑P↑P Q Q0 0 10 1 11 0 11 1 0性质：（1）P↑P?﹁（P∧P）?﹁P；（2）（P↑Q）↑（P↑Q）?﹁（P↑Q）? P∧Q；（3）（P↑P）↑（Q↑Q）?﹁P↑﹁Q? P∨Q。
1.2.7 或非联结词↓P↓P Q Q0 0 10 1 01 0 0性质：（1）P↓P?﹁（P∨Q）?﹁P；（2）（P↓Q）↓（P↓Q）?﹁（P↓Q）?P∨Q；（3）（P↓P）↓（Q↓Q）?﹁P↓﹁Q?﹁（﹁P∨﹁Q）?P∧Q。
1.3 命题公式、翻译与解释1.3.1 命题公式定义命题公式，简称公式，定义为：（1）单个命题变元是公式；（2）如果P是公式，则﹁P是公式；（3）如果P、Q是公式，则P∧Q、P∨Q、P→Q、P?Q 都是公式；（4）当且仅当能够有限次的应用(1) 、(2)、(3) 所得到的包括命题变元、联结词和括号的符号串是公式。
例如，下面的符号串都是公式：（（（（﹁P）∧Q）→R）∨S）（（P→﹁Q）?（﹁R∧S））（﹁P∨Q）∧R以下符号串都不是公式：（（P∨Q）?（∧Q））（∧Q）1.3.2 命题的翻译可以把自然语言中的有些语句，转变成数理逻辑中的符号形式，称为命题的翻译。
离散数学讲解第一章
B7=B000111={a4,a5,a6} B12=B001100={a3,a4}
2018/12/20 21
集合族: 由集合构成的集合.
{{6}, {1,5} , {2,4}, {1,2,3}} 幂集都是集族.
2018/12/20
22
指标集(index set): 设A是集合族, 若 A = { Ai | iK }, 则K称为A的指标集.
全集是相对的, 视情况而定, 因此不唯一.
2018/12/20
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1.4集合之间的运算
1. 并集: 设有集合A、B，属于A或属于B的所有元素 组成的集合，称为A与B的并集，记作AB AB = { u | uA 或 uB}
AB
2018/12/20
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2. 交集：设有集合A、B，属于A同时又属于B的所有 元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A B AB = { u | u A 且 u B }
2018/12/20 15
对任意集合A, A 证明: 反证法（设结论不成立，推出矛盾）
假设空集不是集合A的子集，即 A 根据定义1-2，存在x ， x A， 这与空集的定义矛盾 假设不成立，应有A，原结论成立。
2018/12/20
16
定理: 空集是唯一的.
证明: 设1与2都是空集, 则 12 且 21 1=2 .
2018/12/20
5
2. 集合的表示
列举法:
列出集合中的全体元素，元素之间用逗号分 开，然后用花括号括起来，例如: A={a,b,c,d,…,x,y,z} B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} C={2,4,6,…}
2018/12/20
6
描述法
给定一个条件P(x) ，当且仅当a使条件P(a)成立 时，a∈A。
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集合族: 由集合构成的集合.
{{6}, {1,5} , {2,4}, {1,2,3}} 幂集都是集族.
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指标集(index set): 设A是集合族, 若 A = { Ai | iK }, 则K称为A的指标集.
全集是相对的, 视情况而定, 因此不唯一.
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1.4集合之间的运算
1. 并集: 设有集合A、B，属于A或属于B的所有元素 组成的集合，称为A与B的并集，记作AB AB = { u | uA 或 uB}
AB
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2. 交集：设有集合A、B，属于A同时又属于B的所有 元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A B AB = { u | u A 且 u B }
2018/12/20 15
对任意集合A, A 证明: 反证法（设结论不成立，推出矛盾）
假设空集不是集合A的子集，即 A 根据定义1-2，存在x ， x A， 这与空集的定义矛盾 假设不成立，应有A，原结论成立。
2018/12/20
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定理: 空集是唯一的.
证明: 设1与2都是空集, 则 12 且 21 1=2 .
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2. 集合的表示
列举法:
列出集合中的全体元素，元素之间用逗号分 开，然后用花括号括起来，例如: A={a,b,c,d,…,x,y,z} B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} C={2,4,6,…}
2018/12/20
6
描述法
给定一个条件P(x) ，当且仅当a使条件P(a)成立 时，a∈A。
离散数学文档1
（1）关系的表示
（2）关系的性质和运算
（3）等价关系和集合的划分
（4）偏序关系
第1章关系
1.1序偶与笛卡儿积
1.2二元关系及其表示
1.3关系的运算
1.4关系的性质
1.5关系的闭包
1.6等价关系与集合的划分
1.7相容关系
1.8偏序关系
1.1序偶与笛卡儿积
1.1.1有序n元组
定义1.1由两个固定次序的个体x，y组成的序列称为序偶，
R◦S={<2，2>，<4，3>}。
如图所示：
1.3关系的运算
1.3.2关系的复合运算
（2）设R，S都是A上的关系，A={1，2，3，4}。
R={<1，2>，<1，3>，<3，4>}，S={<1，1>，<2，2>，<3，3>，
<4，4>}，即S为A上的恒等关系，则R◦S=S◦R=R。
如图所示：
定理1.3设A，B，C，D为四个非空集合，则A×BC×D的充
1.2.1二元关系的概念
定义1.6设IA为集合A上的二元关系，且满足IA={<x，x>xA}
，则称IA为集合A上的恒等关系。
1.2二元关系及其表示
1.2.2二元关系的表示
1．关系矩阵表示法
设给定集合A={a1，a2，…，an}，集合B={b1，b2，…，bm}，R为
从A到B的一个二元关系，构造一个n×m矩阵。用集合A的元素标
A∪~B。
1.3集合的运算
1.3.4集合的对称差文氏图
定义1.10设A、B是两个集合，集合A和B的对称差记作A♁B，
它是一个集合，其元素或属于A，或属于B，但不能既属于A又
（2）关系的性质和运算
（3）等价关系和集合的划分
（4）偏序关系
第1章关系
1.1序偶与笛卡儿积
1.2二元关系及其表示
1.3关系的运算
1.4关系的性质
1.5关系的闭包
1.6等价关系与集合的划分
1.7相容关系
1.8偏序关系
1.1序偶与笛卡儿积
1.1.1有序n元组
定义1.1由两个固定次序的个体x，y组成的序列称为序偶，
R◦S={<2，2>，<4，3>}。
如图所示：
1.3关系的运算
1.3.2关系的复合运算
（2）设R，S都是A上的关系，A={1，2，3，4}。
R={<1，2>，<1，3>，<3，4>}，S={<1，1>，<2，2>，<3，3>，
<4，4>}，即S为A上的恒等关系，则R◦S=S◦R=R。
如图所示：
定理1.3设A，B，C，D为四个非空集合，则A×BC×D的充
1.2.1二元关系的概念
定义1.6设IA为集合A上的二元关系，且满足IA={<x，x>xA}
，则称IA为集合A上的恒等关系。
1.2二元关系及其表示
1.2.2二元关系的表示
1．关系矩阵表示法
设给定集合A={a1，a2，…，an}，集合B={b1，b2，…，bm}，R为
从A到B的一个二元关系，构造一个n×m矩阵。用集合A的元素标
A∪~B。
1.3集合的运算
1.3.4集合的对称差文氏图
定义1.10设A、B是两个集合，集合A和B的对称差记作A♁B，
它是一个集合，其元素或属于A，或属于B，但不能既属于A又
离散数学第一章
例2： “派小王或小李中的一人去开会” 不能符号化为形式P∨Q ，因为这里的“或”表示 的是排斥或。它表示非此即彼，不可兼得。 运算符 ∨表示可兼或，排斥或以后用另一符号表达。也可
以借助于联结词
或。
┒、∧ 、∨共同来表达这种排斥
课堂练习： 将下列命题符号化: (1) 王东梅学过日语或俄语。 (2) 张小燕生于1977年或1978年。 (3) 小元元只能拿一个苹果或一个梨。
常称为“非”运算，所有可能的运算结果可用下表
（真值表）表示。
P
┒P
T F
F T
例: (a) P: 3是偶数。
则┑P： 3不是偶数。
(b)
的”。 (c) (d)
Q: 4 是质数。
则┑Q： 4 不是质数。或 “说4 是质数是不对 R: 我们都是汉族人。 则┒R: 我们不都是汉族人。 S: 今天下雨并且今天下雪。 则 ┒S:今天不下雨或者今天不下雪。
Q：明天下雨
是两个命题，利用联结词“不”、“并且”、 “或” 等可分别构成新命题： “明天不下雪”； “明天下雪并且明天下雨”； “明天下雪或者明天下雨”等。
即 ： “非P”；
“P并且Q”；
“P或Q”等。 在代数式x+3 中， x 、 3 叫运算对象， +叫运 算符，x+3 表示运算结果。在命题演算中， 也用同样术语。 联结词就是命题演算中的运算符，叫逻辑运算符或叫命题联 结词。常用的命题联结主要有 5 个。
2.常用命题联结词 1）. 否定词┑ 定义：设P为任一命题。复合命题“非P”(或“P的 否定”)称为P的否定，记作 ┑P，读作“非P”。┒ 为否定联结词。┑P为真当且仅当P为假。 由定义可知， ┑P 的逻辑关系为P不成立，因而P
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做命题P→Q的逆命题 , 反命题和逆反命题.
蕴涵联结词的实例
例4 设 P：天冷，Q：小王穿羽绒服，将下列命题符号化 • PQ (1) 只要天冷，小王就穿羽绒服. • PQ (2) 因为天冷，所以小王穿羽绒服. • PQ (3) 若小王不穿羽绒服，则天不冷. • QP (4) 只有天冷，小王才穿羽绒服. • QP (5) 除非天冷，小王才穿羽绒服. • PQ (6) 除非小王穿羽绒服，否则天不冷. • QP (7) 如果天不冷，则小王不穿羽绒服. • QP (8) 小王穿羽绒服仅当天冷的时候.
• 注意： PQ 与 QP 等值（真值相同）
等值联结词
定义1.5: 设 P, Q为两个命题，复合命题“P当且仅当Q”称 作P与Q的等值式，记作PQ，称作等值联结词.
规定PQ为真当且仅当 P与Q同时为真或同时为假. • PQ 的逻辑关系：P与Q互为充分必要条件 例5 求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6. (2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数. (3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲. (5) 函数 f (x) 在 x0 可导的充要条件是 它在 x0 连续.
析取联结词的实例
例： 将下列命题符号化 (1) 2 或 4 是素数. (2) 小元元只能拿一个苹果或一个梨. (3) 王小红生于 1975 年或 1976 年. 解： (1) 令P:2是素数, Q:4是素数, PQ (2) 令P:小元元拿一个苹果, Q:小元元拿一个梨 (PQ)(PQ) (3) P:王小红生于 1975 年, Q:王小红生于1976 年, (PQ)(PQ) 或 PQ
离散数学
代数结构
数理逻辑
集合论
图论
教材及主要参考书
主要教材： 《离散数学》
西安电子科技大学出版社，方世昌主编，第三版。 主要参考书： 1．《离散数学》，高等教育出版社，李盘林、李丽双、李洋、王春立 等编著； 2．《离散数学》，清华大学出版社，耿素云、屈婉玲、张立昂等编著； 3．《离散数学》，西安交通大学出版社，祝颂和、陆诗娣、陈建明、 曾 明等编著； 4．《数理逻辑》，北京大学出版社，王捍贫编著； 5．《集合论与图论》，北京大学出版社，耿素云编著； 6．《代数结构与组合数学》，北京大学出版社，屈婉玲编著。
否定、合取、析取联结词
定义1.1: 设 P为命题，复合命题“非P”(或“P的否定”) 称为P的否定式，记作P，符号称作否定联结词. 规定 P 为真当且仅当P为假. 定义1.2: 设P,Q为两个命题，复合命题“P并且Q”(或“P 与 Q”)称为P与Q的合取式，记作P∧Q，∧称作合取联结 词. 规定P∧Q为真当且仅当P与Q同时为真. 定义1.3: 设P, Q为两个命题，复合命题“P或Q”称作P与 Q的析取式，记作P∨Q，∨称作析取联结词. 规定P∨Q 为假当且仅当P与Q同时为假.
1 0 1 0 0
联结词的运算顺序
• 在没有括号的情况下： – 联结词的运算顺序：, , , , • 同级按先出现者先运算.
凡符合联结词运算顺序的, 括号均可省去。 相同的运算符, 按从左至右次序计算时, 括号可省去。 最外层的圆括号可以省去。
例: (((P∧Q)∨R)→((R∨P)∨Q))
可写成 ：
(P∧Q∨R)→R∨P∨Q 但有时为了醒目, 也可以保留某些原可省去的括号。
小
结
• 本小节中P, Q, R, … 均表示命题.
• 联结词集为{, , , , }，P, PQ, PQ, PQ, PQ为 基本复合命题. 其中要特别注意理解PQ的涵义.
• 反复使用{, , , , }中的联结词组成更为复杂的复合命 题.
离散数学
主讲：路永刚
Email: ylu@
兰州大学信息科学与工程学院
发展历史
• 18世纪以前, 数学基本上是研究离散对象的数量和空间关系的科学。 • 后来因天文学,物理学的发展,如行星轨道,牛顿三大力学定律等研究,极 大地推动了连续数学(以微积分,数学物理方程, 复变函数论为代表)的 发展。离散对象的研究则处于停滞状态。 • • • • 20世纪30年代, 图灵(Alan Turing) 提出计算机的 理论模型——图灵机（Turing machine）。 这种模型早于实际制造计算机十多年，而现实的 计算机的计算能力, 本质上和图灵机的计算能力一样。
例 1 中(a) , (b) , (d) , (e)都是原子命题,
但“(c) 2 是偶数而 3 是奇数”不是, 因为它可写成“2 是偶 数”和“3 是奇数”两个命题。 命题和原子命题常用大写字母 P , Q , R :表示。 如用P表示“4 是质数”, 则记为 ：“ P: 4 是质数。”
命题分类
命题分类：原子命题与复合命题 原子命题 表示符号： 常用大写字母 P , Q , R 等表示 复合命题：是指由原子命题组成的命题 表示：常由联结词和大写字母（原子命题）组成 下面我们介绍联结词
命题公式及其赋值
命题变项与合式公式 命题变项 命题公式 命题公式的层次
公式的赋值 公式赋值 公式类型 真值表
命题公式的层次
定义：
(1) 若公式A是单个命题变项，则称A为0层公式. (2) 称 A 是 n+1(n≥0) 层公式是指下面情况之一： (a) A=B, B 是 n 层公式； (b) A=BC, 其中B,C 分别为 i 层和 j 层公式， 且 n=max(i,j)； (c) A=BC, 其中 B,C 的层次及 n 同(b)； (d) A=BC, 其中B,C 的层次及 n 同(b)； (e) A=BC, 其中B,C 的层次及 n 同(b). (3) 若公式A的层次为k, 则称A为k层公式.
• 由于在计算机内，机器字长总是有限的, 它代表离散的数或其它离散 对象，因此随着计算机科学和技术的迅猛发展，离散数学就显得更加 重要。
离散数学
• 离散数学，是现代数学的一个重要分支，是整个 计算机学科的专业基础课。
• 离散数学是以研究离散量的结构和相互间的关系 为主要目标。其研究对象一般地是有限个或可数 个元素，因此它充分描述了计算机科学离散性的 特点。
成绩考核办法
本课程的考核分为平时成绩和期末考试成绩两大部 分，其中平时成绩由日常考查成绩和作业成绩 组成，期末考试以闭卷笔试为主。
总成绩评定按百分制计算，平时成绩占30％，期末 成绩占70％。 总成绩计算公式： 总成绩＝平时成绩×30％＋期末成绩×70％
怎样学好本课程
• 该课程概念比较抽象、理论性比较强，所以需要 上课前预习，课堂注意听讲，积极提问，课后要 常复习，并认真完成作业。
蕴涵联结词
定义1.4: 设P, Q为两个命题，复合命题“如果P, 则Q”称作P与 Q的蕴涵式，记作PQ，并称P是蕴涵式的前件，Q为蕴涵式 的后件，称作蕴涵联结词. 规定：PQ为假当且仅当P为真Q为假.
(1) PQ 的逻辑关系：Q为 P 的必要条件 (2) 当 P 为假时，PQ恒为真，称为空证明 (3) 常出现的错误：不分充分与必要条件
• 本课程的教学应将以各种基本概念、定理、定理 证明、正反例、计算方法列为教学的重点，附带 讲各种具体应用。
第一章 数理逻辑
逻辑是研究推理的科学。 数理逻辑就是用数学方法（符号体系）研究推理的 科学。
主要内容：
• • • • • 命题逻辑基本概念 命题逻辑等值演算 命题逻辑推理理论 谓词逻辑基本概念 谓词逻辑等值演算与推理
蕴含式P→Q可以用多种方式陈述: ; “若P, 则” “Q每当P” “P仅当Q” “除非Q, 才P” 或 “除非Q，否则非P”，„．等。
如上例(b)中的R→S可陈述为“G是正方形的必要条件是 它的四边相等”。
给定命题P→Q, 我们把Q→P,P→Q, Q→P分别叫
例 1： 下述都是命题: (a) 今天下雪; (b) 3+3=6; (c) 2 是偶数而 3 是奇数; (d) 陈涉起义那天, 杭州下雨;
(e) 较大的偶数都可表为两个质数之和。
例 2： 下述都不是命题:
(a) x+y＞4。
(b) x=3。 (c) 真好啊!
(d) 你去哪里?
讨论 ： 一个人说:“我正在说谎”。这是不是命题？
合取联结词的实例
例： 将下列命题符号化. (1) 吴颖既用功又聪明. (2) 吴颖虽然聪明，但不用功. (3) 张辉与王丽都是三好生. (4) 张辉与王丽是同学. 解： 令P:吴颖用功, Q:吴颖聪明 (1) PQ (2) PQ (3) 设 P:张辉是三好生, Q:王丽是三好生， PQ (4) P: 张辉与王丽是同学
例7：
(a) P: 天不下雨, Q: 草木枯黄。
P→Q: 如果天不下雨, 那么草木枯黄。 (b) R: G是正方形, S: G的四边相等。 R→S: 如果G是正方形, 那么G的四边相等。 (c) W: 桔子是紫色的, V: 大地是不平的。 W→V: 如果桔子是紫色的, 那么大地是不平的。
形式蕴含和实质蕴含
(1) 单个命题变项和命题常项是命题公式, 称作原子命题公式 (2) 若A是命题公式，则 (A)也是 (3) 若A, B是命题公式，则(AB), (AB), (AB), (AB)也是 (4) 只有有限次地应用(1)—(3) 形成的符号串才是命题公式。
这样定义的命题公式也叫合式公式（简称公式）。
1.1 命 题
什么是命题？ 一个陈述语句叫做断言。 定义：一个命题是一个或真或假而不能两者都是的断言。
如果命题是真, 我们说它的真值为真
如果命题是假, 我们说它的真值是假。
命题
例：下列句子中那些是命题？ (1) 2是有理数. (2) 2 + 5 = 7. (3) x + 5 > 3. (4) 你去教室吗？ (5) 这个苹果真大呀！ (6) 请不要讲话！ (7) 2050年元旦下大雪. 假命题 真命题 不是命题 不是命题 不是命题 不是命题 命题，但真值现在不知道
蕴涵联结词的实例
例4 设 P：天冷，Q：小王穿羽绒服，将下列命题符号化 • PQ (1) 只要天冷，小王就穿羽绒服. • PQ (2) 因为天冷，所以小王穿羽绒服. • PQ (3) 若小王不穿羽绒服，则天不冷. • QP (4) 只有天冷，小王才穿羽绒服. • QP (5) 除非天冷，小王才穿羽绒服. • PQ (6) 除非小王穿羽绒服，否则天不冷. • QP (7) 如果天不冷，则小王不穿羽绒服. • QP (8) 小王穿羽绒服仅当天冷的时候.
• 注意： PQ 与 QP 等值（真值相同）
等值联结词
定义1.5: 设 P, Q为两个命题，复合命题“P当且仅当Q”称 作P与Q的等值式，记作PQ，称作等值联结词.
规定PQ为真当且仅当 P与Q同时为真或同时为假. • PQ 的逻辑关系：P与Q互为充分必要条件 例5 求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6. (2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数. (3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲. (5) 函数 f (x) 在 x0 可导的充要条件是 它在 x0 连续.
析取联结词的实例
例： 将下列命题符号化 (1) 2 或 4 是素数. (2) 小元元只能拿一个苹果或一个梨. (3) 王小红生于 1975 年或 1976 年. 解： (1) 令P:2是素数, Q:4是素数, PQ (2) 令P:小元元拿一个苹果, Q:小元元拿一个梨 (PQ)(PQ) (3) P:王小红生于 1975 年, Q:王小红生于1976 年, (PQ)(PQ) 或 PQ
离散数学
代数结构
数理逻辑
集合论
图论
教材及主要参考书
主要教材： 《离散数学》
西安电子科技大学出版社，方世昌主编，第三版。 主要参考书： 1．《离散数学》，高等教育出版社，李盘林、李丽双、李洋、王春立 等编著； 2．《离散数学》，清华大学出版社，耿素云、屈婉玲、张立昂等编著； 3．《离散数学》，西安交通大学出版社，祝颂和、陆诗娣、陈建明、 曾 明等编著； 4．《数理逻辑》，北京大学出版社，王捍贫编著； 5．《集合论与图论》，北京大学出版社，耿素云编著； 6．《代数结构与组合数学》，北京大学出版社，屈婉玲编著。
否定、合取、析取联结词
定义1.1: 设 P为命题，复合命题“非P”(或“P的否定”) 称为P的否定式，记作P，符号称作否定联结词. 规定 P 为真当且仅当P为假. 定义1.2: 设P,Q为两个命题，复合命题“P并且Q”(或“P 与 Q”)称为P与Q的合取式，记作P∧Q，∧称作合取联结 词. 规定P∧Q为真当且仅当P与Q同时为真. 定义1.3: 设P, Q为两个命题，复合命题“P或Q”称作P与 Q的析取式，记作P∨Q，∨称作析取联结词. 规定P∨Q 为假当且仅当P与Q同时为假.
1 0 1 0 0
联结词的运算顺序
• 在没有括号的情况下： – 联结词的运算顺序：, , , , • 同级按先出现者先运算.
凡符合联结词运算顺序的, 括号均可省去。 相同的运算符, 按从左至右次序计算时, 括号可省去。 最外层的圆括号可以省去。
例: (((P∧Q)∨R)→((R∨P)∨Q))
可写成 ：
(P∧Q∨R)→R∨P∨Q 但有时为了醒目, 也可以保留某些原可省去的括号。
小
结
• 本小节中P, Q, R, … 均表示命题.
• 联结词集为{, , , , }，P, PQ, PQ, PQ, PQ为 基本复合命题. 其中要特别注意理解PQ的涵义.
• 反复使用{, , , , }中的联结词组成更为复杂的复合命 题.
离散数学
主讲：路永刚
Email: ylu@
兰州大学信息科学与工程学院
发展历史
• 18世纪以前, 数学基本上是研究离散对象的数量和空间关系的科学。 • 后来因天文学,物理学的发展,如行星轨道,牛顿三大力学定律等研究,极 大地推动了连续数学(以微积分,数学物理方程, 复变函数论为代表)的 发展。离散对象的研究则处于停滞状态。 • • • • 20世纪30年代, 图灵(Alan Turing) 提出计算机的 理论模型——图灵机（Turing machine）。 这种模型早于实际制造计算机十多年，而现实的 计算机的计算能力, 本质上和图灵机的计算能力一样。
例 1 中(a) , (b) , (d) , (e)都是原子命题,
但“(c) 2 是偶数而 3 是奇数”不是, 因为它可写成“2 是偶 数”和“3 是奇数”两个命题。 命题和原子命题常用大写字母 P , Q , R :表示。 如用P表示“4 是质数”, 则记为 ：“ P: 4 是质数。”
命题分类
命题分类：原子命题与复合命题 原子命题 表示符号： 常用大写字母 P , Q , R 等表示 复合命题：是指由原子命题组成的命题 表示：常由联结词和大写字母（原子命题）组成 下面我们介绍联结词
命题公式及其赋值
命题变项与合式公式 命题变项 命题公式 命题公式的层次
公式的赋值 公式赋值 公式类型 真值表
命题公式的层次
定义：
(1) 若公式A是单个命题变项，则称A为0层公式. (2) 称 A 是 n+1(n≥0) 层公式是指下面情况之一： (a) A=B, B 是 n 层公式； (b) A=BC, 其中B,C 分别为 i 层和 j 层公式， 且 n=max(i,j)； (c) A=BC, 其中 B,C 的层次及 n 同(b)； (d) A=BC, 其中B,C 的层次及 n 同(b)； (e) A=BC, 其中B,C 的层次及 n 同(b). (3) 若公式A的层次为k, 则称A为k层公式.
• 由于在计算机内，机器字长总是有限的, 它代表离散的数或其它离散 对象，因此随着计算机科学和技术的迅猛发展，离散数学就显得更加 重要。
离散数学
• 离散数学，是现代数学的一个重要分支，是整个 计算机学科的专业基础课。
• 离散数学是以研究离散量的结构和相互间的关系 为主要目标。其研究对象一般地是有限个或可数 个元素，因此它充分描述了计算机科学离散性的 特点。
成绩考核办法
本课程的考核分为平时成绩和期末考试成绩两大部 分，其中平时成绩由日常考查成绩和作业成绩 组成，期末考试以闭卷笔试为主。
总成绩评定按百分制计算，平时成绩占30％，期末 成绩占70％。 总成绩计算公式： 总成绩＝平时成绩×30％＋期末成绩×70％
怎样学好本课程
• 该课程概念比较抽象、理论性比较强，所以需要 上课前预习，课堂注意听讲，积极提问，课后要 常复习，并认真完成作业。
蕴涵联结词
定义1.4: 设P, Q为两个命题，复合命题“如果P, 则Q”称作P与 Q的蕴涵式，记作PQ，并称P是蕴涵式的前件，Q为蕴涵式 的后件，称作蕴涵联结词. 规定：PQ为假当且仅当P为真Q为假.
(1) PQ 的逻辑关系：Q为 P 的必要条件 (2) 当 P 为假时，PQ恒为真，称为空证明 (3) 常出现的错误：不分充分与必要条件
• 本课程的教学应将以各种基本概念、定理、定理 证明、正反例、计算方法列为教学的重点，附带 讲各种具体应用。
第一章 数理逻辑
逻辑是研究推理的科学。 数理逻辑就是用数学方法（符号体系）研究推理的 科学。
主要内容：
• • • • • 命题逻辑基本概念 命题逻辑等值演算 命题逻辑推理理论 谓词逻辑基本概念 谓词逻辑等值演算与推理
蕴含式P→Q可以用多种方式陈述: ; “若P, 则” “Q每当P” “P仅当Q” “除非Q, 才P” 或 “除非Q，否则非P”，„．等。
如上例(b)中的R→S可陈述为“G是正方形的必要条件是 它的四边相等”。
给定命题P→Q, 我们把Q→P,P→Q, Q→P分别叫
例 1： 下述都是命题: (a) 今天下雪; (b) 3+3=6; (c) 2 是偶数而 3 是奇数; (d) 陈涉起义那天, 杭州下雨;
(e) 较大的偶数都可表为两个质数之和。
例 2： 下述都不是命题:
(a) x+y＞4。
(b) x=3。 (c) 真好啊!
(d) 你去哪里?
讨论 ： 一个人说:“我正在说谎”。这是不是命题？
合取联结词的实例
例： 将下列命题符号化. (1) 吴颖既用功又聪明. (2) 吴颖虽然聪明，但不用功. (3) 张辉与王丽都是三好生. (4) 张辉与王丽是同学. 解： 令P:吴颖用功, Q:吴颖聪明 (1) PQ (2) PQ (3) 设 P:张辉是三好生, Q:王丽是三好生， PQ (4) P: 张辉与王丽是同学
例7：
(a) P: 天不下雨, Q: 草木枯黄。
P→Q: 如果天不下雨, 那么草木枯黄。 (b) R: G是正方形, S: G的四边相等。 R→S: 如果G是正方形, 那么G的四边相等。 (c) W: 桔子是紫色的, V: 大地是不平的。 W→V: 如果桔子是紫色的, 那么大地是不平的。
形式蕴含和实质蕴含
(1) 单个命题变项和命题常项是命题公式, 称作原子命题公式 (2) 若A是命题公式，则 (A)也是 (3) 若A, B是命题公式，则(AB), (AB), (AB), (AB)也是 (4) 只有有限次地应用(1)—(3) 形成的符号串才是命题公式。
这样定义的命题公式也叫合式公式（简称公式）。
1.1 命 题
什么是命题？ 一个陈述语句叫做断言。 定义：一个命题是一个或真或假而不能两者都是的断言。
如果命题是真, 我们说它的真值为真
如果命题是假, 我们说它的真值是假。
命题
例：下列句子中那些是命题？ (1) 2是有理数. (2) 2 + 5 = 7. (3) x + 5 > 3. (4) 你去教室吗？ (5) 这个苹果真大呀！ (6) 请不要讲话！ (7) 2050年元旦下大雪. 假命题 真命题 不是命题 不是命题 不是命题 不是命题 命题，但真值现在不知道