离散数学作业

第一章命题逻辑的基本概念一、判断下列语句是否是命题，若是命题是复合命题则请将其符号化（1）中国有四大发明。

（2）2是有理数。

（3）“请进！”（4）刘红和魏新是同学。

（5）a+b（6）你去图书馆吗？（7）如果买不到飞机票，我哪儿也不去。

（8）侈而惰者贫，而力而俭者富。

（韩非：《韩非子•显学》）（9）火星上有生命。

（10）这朵玫瑰花多美丽啊！二、将下列命题符号化，其中p:2<1,q:3<2（1）只要2<1，就有3<2。

（2）如果2<1，则3≥2。

（3）只有2<1，才有3≥2。

（4）除非2<1，才有3≥2。

（5）除非2<1，否则3≥2。

（6）2<1仅当3<2。

三、将下列命题符号化(1)小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨。

(2)王栋生于1992年或1993年。

四、设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。

（1）p∨(q∧r)（2）（p↔r）∧(﹁q∨s)（3）（⌝p∧⌝q∧r）↔(p∧q∧﹁r)(4)（⌝r∧s）→(p∧⌝q)五．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。

并且，如果3是无理数，则2也是无理数。

另外6能被2整除，6才能被4整除。

”六、用真值表判断下列公式的类型：(1) p∧(p→q)∧(p→⌝q)(2) (p∧r) ↔(⌝p∧⌝q)(2)((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)第二章命题逻辑等值演算一、用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1) ⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)二、用等值演算法证明下面等值式(1)(p→q)∧(p→r)⇔(p→(q∧r))(2)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨q) ∧⌝(p∧q)三、用等值演算求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)(⌝p→q)→(⌝q∨p)(2)⌝(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)四、用真值表法求下列公式的主析取范式,再用主析取范式求主合取范式(1) (p∨q)∧r (2)p→(p∨q∨r)第三章命题逻辑的推理理论一、填空1.数理逻辑的的主要任务是。

推理是指，前提是，结论是。

2.推理正确是指：3.命题公式A1，A,2， ，A,k推B的推理正确当且仅当二、先把下列命题符号化，再写出前提、结论、推理的形式结构，然后用3种方法证明（真值表法、等值演算法、主析取范式法）证明下列推理是正确的。

若a是奇数，则a不能被2整除。

若a是偶数，则a能被2整除。

因此，若a 是偶数，则a不是奇数。

设p: a是奇数,q: a能被2整除,r: a是偶数三、在自然推理系统下用直接法或用附加前提法或用归谬法构造下列推理的证明(1)前提：p→q,⌝(q∧r),r结论：⌝p (2)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q（3）前提：p→(q→r),s→p,q （4）前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s 结论：s→r 结论：⌝p四、在自然推理系统下构造下列推理的证明如果我学习，那么我数学不会不及格。

如果不热衷于玩游戏，那么我将学习。

但我数学不及格。

因此我热衷于玩游戏。

第四章 一阶逻辑的基本概念一、将下列命题用0元谓词符号化.(1) 小王学过英语和法语。

(2)除非李建是东北人，否则他一定怕冷。

(3)2大于3仅当2大于4。

(4)3不是偶数。

(5)2或3是素数。

二、在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意x,均有)2)(2(22-+=-x x x(2) 存在x,使得x+5=9.其中(a)个体域为自然数集合.(b)个体域为实数集合.三、在一阶逻辑中将下列命题符号化:(1) 没有不能表示成分数的有理数。

(2) 在北京卖菜的人不全是外地人。

(3)乌鸦都是黑的。

(4)有的人天天锻炼身体。

四、给定解释I如下:(a) 个体域D为实数集合R.(b) D中特定元素a=0.(c) 特定函数f(x,y)=x-y,x,y D∈(d) 特定谓词F(x,y):x=y, G(x,y):x<y,x,y D∈.说明下列公式在I下的含义,并指出各公式的真值: (1)))Gxyy∀∀x⌝→)(,,(x(yF(2)))fxyFa∀x→y∀,)(,),(x(y(G(3) ))yxyFx⌝→),∀∀fG)((,(y(a,x(4) ))fxyGya∀x→∀(),F,,)x(y((五、给定下列各公式一个成真的解释，一个成假的解释。

(1) ∀x(F(x)∨G(x))(2) ∃x(F(x) ∨G(x) ∧H(x))六、判断下列公式的类型(1) F(x,y)→(G(x,y)→F(x,y))(2) ∀x∃y F(x,y)→∃x∀y F(x,y)第五章 一阶逻辑的等值演算与推理一、设个体域D={a,b,c},消去下列各式的量词(1) ∀x ∃y(F(x) ∧G(y))(2) ∀x ∃y(F(x) ∨G(y))(3) ∀x F(x) →∃y G(y)二、求下列公式的前束范式（1）∀x F(x) →∀y G(x,y)（2）∀x(F(x,y) →∃y G(x,y,z))三、设个体域D={1,2,3,4}，F(x):x 是2的倍数，G(x):x 是奇数。

将命题∀x (F(x) →⌝ G(y))中的量词消去，并讨论命题的真值。

四、在自然推理系统下用直接法或用附加前提法或用归谬法构造下列推理的证明❑1.全称量词消去规则(UI) ❑2.全称量词引入规则(UG) ❑3. 存在量词引入规则(EG) ❑4.存在量词消去规则(EI) )()()()(c A x xA y A x xA ∴∀∴∀或)()(x xA y A ∀∴)()(x xA c A ∃∴)()(c A x xA ∴∃（1）前提：∀x (F(x) →G(x)), ∀x F(x)结论：∀x G(x)(2)前提：∀x(F(x)→G(x))结论：∀xF(x)→∀x G(x)(3)前提：∀x(F(x)∨G(x))，┐∃x G(x)结论：∃x F(x)五、在自然推理系统下构造下列推理的证明没有白色的乌鸦，北京鸭都是白色的。

因此，北京鸭都不是乌鸦。

第六章集合论一、单项选择题1．若集合A={a，b}，B={ a，b，{ a，b }}，则（）．A．A⊂B，且A∈B B．A∈B，但A⊄BC．A⊂B，但A∉B D．A⊄B，且A∉B2．若集合A＝{2，a，{ a }，4}，则下列表述正确的是( )．A．{a，{ a }}∈A B．{ a }⊆AC．{2}∈A D．∅∈A3．若集合A＝{ a，{a}，{1，2}}，则下列表述正确的是( )．A．{a，{a}}∈A B．{2}⊆AC．{a}⊆A D．∅∈A4．若集合A={a，b，{1，2 }}，B={1，2}，则（）．A．B⊂ A，且B∈A B．B∈ A，但B⊄AC．B ⊂ A，但B∉A D．B⊄ A，且B∉A5．设集合A = {1, a }，则P(A) = ( )．A．{{1}, {a}} B．{∅,{1}, {a}}C．{∅,{1}, {a}, {1, a }} D．{{1}, {a}, {1, a }}6．若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（）．A．1024 B．10 C．100 D．1二、1．设集合A有n个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为．2．设集合A＝{a，b}，那么集合A的幂集是．三、（1）B、C为任意的三个集合，如果A∪B=A∪C，判断结论B=C是否成立？并说明理由．（2）B、C为任意的三个集合，如果A⊕B=A⊕C，判断结论B=C是否成立？并说明理由．- 11 -四、1．设集合A＝{a, b, c}，B={b, d, e}，求（1）B⋂A；（2）A⋃B；（3）A－B；（4）B⊕A．2．设A={{a, b}, 1, 2}，B={ a, b, {1}, 1}，试计算（1）（A-B）（2）（A∪B）（3）（A∪B）-（A∩B）五．证明集合等式：A⋃ (B⋂C)=(A⋃B) ⋂ (A⋃C)六、某班有25个学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。

已知6个会打网球的人都会打篮球或排球。

求不会打球的人数。

- 12 -第七章二元关系（1）一、单项选择题1．集合A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}上的关系R={<x，y>|x+y=10且x, y∈A}，则R 的性质为（）．A．自反的B．对称的C．传递且对称的D．反自反且传递的2．设集合A = {1，2，3，4，5，6 }上的二元关系R ={<a , b>⎢a , b∈A , 且a +b = 8}，则R具有的性质为（）．A．自反的B．对称的C．对称和传递的D．反自反和传递的3．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有（）个．A．0 B．2 C．1 D．34．设集合A={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系R = {<1 , 1>，<2 , 2>，<2 , 3>，<4 , 4>}，S = {<1 , 1>，<2 , 2>，<2 , 3>，<3 , 2>，<4 , 4>}，则S是R的（）闭包．A．自反B．传递C．对称D．以上都不对二、填空题1．设集合A={0, 1, 2, 3}，B={2, 3, 4, 5}，R是A到B的二元关系，∈R⋂xxy<且=且>∈∈{B,,}AyyBxA则R的有序对集合为．2．设集合A={0, 1, 2}，B={0, 2, 4},R是A到B的二元关系，∈R⋂yx∈∈且=且<>y{B,x}A,AyBx则R的关系矩阵M R＝．3．设集合A={a,b,c}，A上的二元关系R={<a, b>,<c. a>}，S={<a, a>,<a, b>,<c, c>}则(R•S)－1=．4．设集合A=｛a,b,c｝，A上的二元关系R={<a, b>, <b, a>, <b, c>, <c, d>}，则二元关系R具有的性质是．- 13 -- 14 -三、设A={a ，b}，构成集合ρ（A ）×A 。

四、(1)列出集合A={2,3,4}上的恒等关系I A ,全域关系E A ,小于或等于关系L A ,整除关系D A .(2)设A={a,b,c,d}，1R ，2R 为A 上的关系，其中1R ={},,,,,a a a b b d{}2,,,,,,,R a db c b d c b=求23122112,,,R R R R R R o o 。