离散数学作业答案
《离散数学》作业参考答案
7 (P→Q) (P→R) ( P Q) ( P R) (合取范式) ( P Q (R R) ( P ( Q Q) R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R)(主合取范式)
（P ( Q Q)） （( P P) Q） (P Q) （P Q） （ P Q） （P Q） (P Q) （P Q） （ P Q）（主析取范式） 2．Q→( P R) Q P R（主合取范式） （Q→( P R)） （ P Q R） （ P Q R） （ P Q R） （ P Q R） （P Q R）
E
（6）
(8)
E
前提
(9) E E
（7），（8）
8 、A→(C B)，B→ A，D→ C A→ D.
证明：
（1） A
附加前提
(2) A→(C B) 前提
(3) C B
（1），（2）
(4) B→ A
前提
(5) B
（1），（4）
(6) C
（3），（5）
(7) D→ C
前提
(8) D
( P (Q Q)) (( P P) Q) ( P Q) ( P Q) ( P Q) (P Q) ( P Q) ( P Q) (P Q)（主析取范式） 4． (P→Q) (R P) ( P Q) (R P) (P Q) (R P)（析取范式） (P Q (R R)) (P ( Q Q) R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R)（主析取范式） ( (P→Q) (R P)) (P Q R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R)
离散数学大作业答案
一、简要回答下列问题：（每小题3分，共30分）1．请给出集合的结合率。
答：结合律(AUB)UC=AU(BUC)x∈(AUB)UC，即 x∈AUB 或 x∈C即 x∈A 或 x∈B 或 x∈C 即 x∈A 或 x∈B∪C即 x∈AU(BUC)说明 (AUB)UC包含于AU(BUC)同理可证AU(BUC)包含于(AUB)UC所以(AUB)UC=AU(BUC)2．请给出一个集合A，并给出A上既不具有自反性，又不具有反自反性的关系。
3．设A={1，2}，问A上共有多少个不同的对称关系？答：不同的对称关系有：8种R = ΦR = {<1,1>}R = {<2,2>}R = {<1,1>,<2,2>}R = {<1,2>,<2,1>}R = {<1,1>,<1,2>,<2,1>}R = {<1,2>,<2,1>,<2,2>}R = {<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}4．设A={1，2，3，4，5，6}，R是A上的整除关系，M={2,3}，求M的上界，下界。
5．关于P，Q，R请给出使极小项m0，m4为真的解释。
答：m0= ┐p∧┐q∧┐r m4= p∧┐q∧┐r6．什么是图中的简单路？请举一例。
答：图的通路中，所有边e1,e2,…,ek互不相同，称为简单通路。
7．什么是交换群，请举一例。
答：如果群〈G，*〉中的运算*是可以交换的，则称该群为可交换群，或称阿贝尔群。
如〈I，+〉是交换群。
8．什么是群中右模H合同关系？答：设G是群，H是G的子群，a,b∈G，若有h∈H，使得a =bh，则称a合同于b（右模H），记为a≡b（右mod H）。
9．什么是有壹环？请举一例。
答：幺元：如果A中的一个元素e，它既是左幺元又是右幺元，则称e为A中关于运算☆的幺元。
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精品文档离散数学习题答案习题一及答案：（ P14-15 ）14、将下列命题符号化：（ 5）李辛与李末是兄弟解：设 p：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p（ 6）王强与刘威都学过法语解：设 p：王强学过法语； q：刘威学过法语；则命题符号化的结果是p q （ 9）只有天下大雨，他才乘班车上班解：设 p：天下大雨； q：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p（ 11）下雪路滑，他迟到了解：设 p：下雪； q：路滑； r ：他迟到了；则命题符号化的结果是( p q)r15、设 p： 2+3=5.q：大熊猫产在中国 .r：太阳从西方升起 .求下列复合命题的真值：（ 4）(p q r )(( p q)r )解： p=1， q=1，r=0 ，(p q r )(110)1，((p q)r )((11)0)(00)1(p q r )(( p q)r ) 1 1119、用真值表判断下列公式的类型：（ 2）( p p)q解：列出公式的真值表，如下所示：p q p qp) ( p p)q( p001111011010100101110001由真值表可以看出公式有 3 个成真赋值，故公式是非重言式的可满足式。
20、求下列公式的成真赋值：精品文档（ 4）( p q)q解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是：( p q)1p0q0q0所以公式的成真赋值有： 01，10， 11。
习题二及答案：（ P38）5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：（ 2）(p q) (q r )解：原式( p q) q r q r( p p) q r( p q r ) ( p q r )m3m7，此即公式的主析取范式，所以成真赋值为011， 111。
6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值：（ 2）( p q) ( p r )解：原式( pp r ) ( p q r )( p q r )M 4，此即公式的主合取范式，所以成假赋值为 100。
离散数学作业标准答案
离散数学作业一、选择题1、下列语句中哪个就是真命题(C )。
A.我正在说谎。
B.如果1+2=3,那么雪就是黑色的。
C.如果1+2=5,那么雪就是白色的。
D.严禁吸烟！2、设命题公式))((r q p p G →∧→=,则G 就是( C )。
A 、 恒假的B 、 恒真的C 、 可满足的D 、 析取范式 3、谓词公式),,(),,(z y x yG x z y x F ∃∀→中的变元x ( C )。
A.就是自由变元但不就是约束变元 B.既不就是自由变元又不就是约束变元 C.既就是自由变元又就是约束变元 D.就是约束变元但不就是自由变元4、设A={1,2,3},则下列关系R 不就是等价关系的就是(C ) A.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>}B.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<2,3>,<3,2>}C.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,4>}D.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<1,3>,<2,3>,<2,1>,<3,1>,<3,2>} 5、设R 为实数集,映射σ=R →R,σ(x)= -x 2+2x-1,则σ就是( D )。
A.单射而非满射B.满射而非单射C.双射D.既不就是单射,也不就是满射 6、下列二元运算在所给的集合上不封闭的就是( D ) A 、 S={2x-1|x ∈Z +},S 关于普通的乘法运算 B 、 S={0,1},S 关于普通的乘法运算 C 、 整数集合Z 与普通的减法运算D 、 S={x | x=2n ,n ∈Z +},S 关于普通的加法运算7、*运算如下表所示,哪个能使({a,b},*)成为含幺元半群( D )b b b a a a b a * a b b b a a b a *8( A )A B C D 9、下列各组数中,能构成无向图的度数列就是( D ) A.1,1,1,2,4 B.1,2,3,4,5 C.0,1,0,2,4 D.1,2,3,3,510、一棵树有2个4度顶点,3个3度顶点,其余都就是树叶,则该树中树叶的个数就是( B )A 、8B 、9C 、 10D 、 11 11、“所有的人都就是要死的。
(完整版)离散数学题目及答案
数理逻辑习题判断题1．任何命题公式存在惟一的特异析取范式 （ √ ） 2． 公式)(q p p →⌝→是永真式 （ √ ） 3．命题公式p q p →∧)(是永真式 （ √ ） 4．命题公式r q p ∧⌝∧的成真赋值为010 （ × ） 5．))(()(B x A x B x xA →∃=→∀ （ √ ）6．命题“如果1＋2＝3，则雪是黑的”是真命题 （ × ） 7．p q p p =∧∨)( （ √ ）8．))()((x G x F x →∀是永真式 （ × ） 9．“我正在撒谎”是命题 （ × ） 10． )()(x xG x xF ∃→∀是永真式（ √ ）11．命题“如果1＋2＝0，则雪是黑的”是假命题 （ × ） 12．p q p p =∨∧)( （ √ ）13．))()((x G x F x →∀是永假式 （ × ）14．每个命题公式都有唯一的特异（主）合取范式 （ √ ） 15．若雪是黑色的:p ，则q →p 公式是永真式 （ √ ） 16．每个逻辑公式都有唯一的前束范式 （ × ） 17．q →p 公式的特异（主）析取式为q p ∨⌝ （ × ） 18．命题公式 )(r q p →∨⌝的成假赋值是110 （ √ ） 19．一阶逻辑公式)),()((y x G x F x →∀是闭式（ × ）单项选择题1． 下述不是命题的是（ A ）A．花儿真美啊! B．明天是阴天。
C．2是偶数。
D．铅球是方的。
2．谓词公式（∀y）（∀x）（P（x）→R（x,y））∧∃yQ（x,y）中变元y （B）A．是自由变元但不是约束变元B．是约束变元但不是自由变元C．既是自由变元又是约束变元D．既不是自由变元又不是约束变元3．下列命题公式为重言式的是（ A ）A．p→ （p∨q）B．（p∨┐p）→qC．q∧┐q D．p→┐q4．下列语句中不是．．命题的只有（A ）A．花儿为什么这样红？B．2+2=0C．飞碟来自地球外的星球。
离散数学课后答案详细
第一章命题逻辑基本概念课后练习题答案4.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1；（2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e是无理数,真值为1；（3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1；（4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0；（5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0.5.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1；（2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1；（3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；（4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1；（5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；6.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨；（2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语；.7.因为p与q不能同时为真.13.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三：（1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）；（2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）；（3）p q，真值为1；（4）p→r，若p为真，则p→r真值为0，否则，p→r真值为1.16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1) ⇔0（2）（p↔r）∧(﹁q∨s) ⇔（0↔1）∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0.（3）（⌝p∧⌝q∧r）↔(p∧q∧﹁r) ⇔（1∧1∧1）↔ (0∧0∧0)⇔0(4)（⌝r∧s）→(p∧⌝q) ⇔（0∧1）→(1∧0) ⇔0→0⇔117．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。
并且，如果3是无理数，则2也是无理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
离散数学练习题(含答案)
离散数学练习题(含答案)题目1. 对于集合 $A={1,2,3,...,10}$ 和 $B={n|n是偶数，2<n<8}$，求 $A \cap B$ 的元素。
2. 存在三个可识别的状态A,B,C。
置换群 $S_3$ 作用在状态集上。
定义四个动作：$α: A → C, β: A → B, γ: C→ A, δ: B→ C$。
确定式子，描述 $\{α,β,γ,δ\}$ 的乘法表。
3. 证明 $\forall n \in \mathbb{N}$，合数的个数不小于$n$。
4. 给定一个无向带权图，图中每个节点编号分别是$1,2,...,n$，证明下列结论：a. 如果从节点$i$到$j$只有一条权值最小的路径，则这条路径的任意子路径都是最短路径。
b. 如果从节点$i$到$j$有两条或两条以上权值相等的路径，则从$i$到$j$的最短路径可能不唯一。
答案1. $A \cap B = \{2,4,6\}$。
2. 乘法表：3. 对于任意$n$，我们可以选择$n+1$个连续的自然数$k+1,k+2,...,k+n,k+n+1$中的$n$个数，其中$k \in \mathbb{Z}$。
这$n$个数构成的$n$个正整数均为合数，因为它们都至少有一个小于它自身的因子，所以不是质数。
所以合数的个数不小于任意$n$。
4.a. 根据题意，从$i$到$j$只有一条权值最小的路径，即这条最短路径已被确定。
如果从这条路径中任意取出一段子路径，假设这段子路径不是这个节点到$j$的最短路径，那么存在其他从$i$到$j$的路径比这段子路径更优，又因为这条路径是最短路径，所以这段子路径也一定不优于最短路径，矛盾。
所以从这条路径中任意取出的子路径都是最短路径。
b. 如果从节点$i$到$j$有多条权值相等的路径，则这些路径权值都是最短路径的权值。
因为所有最短路径的权值相等，所以这些路径的权值就是最短路径的权值。
所以从$i$到$j$的最短路径可能不唯一。
(完整版)离散数学习题答案
离散数学习题答案习题一及答案：（P14-15）14、将下列命题符号化：（5）李辛与李末是兄弟解：设p ：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p （6）王强与刘威都学过法语解：设p ：王强学过法语；q ：刘威学过法语；则命题符号化的结果是p q∧（9）只有天下大雨，他才乘班车上班解：设p ：天下大雨；q ：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p →（11）下雪路滑，他迟到了解：设p ：下雪；q ：路滑；r ：他迟到了；则命题符号化的结果是()p q r∧→15、设p ：2+3=5. q ：大熊猫产在中国. r ：太阳从西方升起.求下列复合命题的真值：（4）()(())p q r p q r ∧∧⌝↔⌝∨⌝→解：p=1，q=1，r=0，，()(110)1p q r ∧∧⌝⇔∧∧⌝⇔(())((11)0)(00)1p q r ⌝∨⌝→⇔⌝∨⌝→⇔→⇔()(())111p q r p q r ∴∧∧⌝↔⌝∨⌝→⇔↔⇔19、用真值表判断下列公式的类型：（2）()p p q→⌝→⌝解：列出公式的真值表，如下所示：p qp⌝q⌝()p p →⌝()p p q→⌝→⌝001111011010100101110001由真值表可以看出公式有3个成真赋值，故公式是非重言式的可满足式。
20、求下列公式的成真赋值：（4）()p q q⌝∨→解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是：()10p q q ⌝∨⇔⎧⎨⇔⎩⇒0p q ⇔⎧⎨⇔⎩所以公式的成真赋值有：01，10，11。
习题二及答案：（P38）5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：（2）()()p q q r ⌝→∧∧解：原式()p q q r ⇔∨∧∧q r ⇔∧()p p q r ⇔⌝∨∧∧，此即公式的主析取范式，()()p q r p q r ⇔⌝∧∧∨∧∧37m m ⇔∨所以成真赋值为011，111。
*6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值：（2）()()p q p r ∧∨⌝∨解：原式，此即公式的主合取范式，()()p p r p q r ⇔∨⌝∨∧⌝∨∨()p q r ⇔⌝∨∨4M ⇔所以成假赋值为100。
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第一章
1.假定A是ECNU二年级的学生集合，B是ECNU必须学离散数学的学生的集合。
请用A
和B表示ECNU不必学习离散数学的二年级的学生的集合。
2.试求：
(1)P(φ)
(2)P(P(φ))
(3)P(P(P(φ)))
3.在1~200的正整数中，能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有多少个？
能被5整除的有40个，
能被15整除的有13个，
∴能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有
66-13+40-13=80个。
第三章
1.下列语句是命题吗？
(1)2是正数吗？
(2)x2+x+1=0。
(3)我要上学。
(4)明年2月1日下雨。
(5)如果股票涨了，那么我就赚钱。
2.请用自然语言表达命题(p⌝→r)∨(q⌝→r)，其中p、q、r为如下命题：
p：你得流感了
q：你错过了最后的考试
r：这门课你通过了
3.通过真值表求p→(p∧(q→p))的主析取范式和主合取范式。
4.给出p→(q→s),q,p∨⌝r⇒r→s的形式证明。
第四章
1.将∀x(C(x)∨∃y(C(y)∧F(x,y)))翻译成汉语，其中C(x)表示x有电脑，F(x,y) 表示x和y是同
班同学，个体域是学校全体学生的集合。
解：
学校的全体学生要么自己有电脑，要么其同班同学有电脑。
2.构造∀x(P(x)∨Q(x)),∀x(Q(x)→⌝R(x)),∀xR(x)⇒∀xP(x)的形式证明。
解：
①∀xR(x) 前提引入
②R(e) ①US规则
③∀x(Q(x)→⌝R(x)) 前提引入
④Q(e) →⌝R(e) ③US规则
⑤⌝Q (e) ②④析取三段论
⑥∀x(P(x)∨Q(x)) 前提引入
⑦P(e) ∨Q(e) ⑥US规则
⑧P(e) ⑤⑦析取三段论
⑨∀x (P(x)) ⑧EG规则
第五章
1.设R、S、T都是X上的关系。
证明：R︒(S∩T)⊆(R︒S)∩(R︒T)，(R∩S)︒T⊆(R︒T)∩(S︒T)。
2.设X是所有人组成的集合，定义X上的关系R1和R2：aR1b当且仅当a比b高，aR2b
当且仅当a和b有共同的祖父母。
问关系R1和R2是否是自反、反自反、对称、反对称、传递的？
3.设R1和R2是X上的关系。
证明t(R1⋃R2)⊇t(R1)⋃t(R2)。
4.下列集合关于整除关系⎪构成偏序集。
请分别画出它们的哈斯图，判断它们是否是全
序集，给出它们的极大元、极小元、最大元、最小元。
（2）{2,4,8,16}；
（4）{2,3,4,5,9,10,80}。
第六章
1.f：X→Y，下列命题是否成立？
（1）f是一对一的当且仅当对任意a,b∈X，当f(a)=f(b)时，必有a=b；
（2）f是一对一的当且仅当对任意a,b∈X，当f(a)≠f(b)时，必有a≠b。
2.下图展示了五个关系的关系图。
问：这些关系中，哪些是函数？哪些是一对一的函数？
哪些是到上的函数？哪些是一一对应？
第七章
1.6个学生：Alice、Bob、Carol、Dean、Santos和tom，其中，Alice和Carol不和，Dean
和Carol不和，Santos、Tom和Alice两两不和。
请给出表示这种情形的图模型。
2.设简单无向图G=(V,E)，若δ(G)≥k(k≥1)，则G有长度为k的基本通路。
解：证明：
我们假设存在k-1的基本通路，则存在k个顶点，通路最后一个顶点与通路上顶点相连的度数至多为k-1。
因为δ(G)≥k(k≥1)，所以该顶点必定与其他顶点相连，那么存在长度为K的基本通路。
得证。
3.一大学有5个专业委员会：物理、化学、数学、生物、计算机，6位院士：B、C、D、
G、S、W。
专业委员会由院士组成，物理委员会有院士：C、S和W，化学委员会有院
士：C、D和W；数学委员会有院士：B、C、G和S；生物委员会有院士：B和G；计算机委员会有院士：D和G。
每个专业委员会每周开一小时例会，所有成员都不能缺席。
如果某院士同时是两个专业委员会的成员，那么这两个专业委员会的例会就不能安排在同一个时间。
现要为这些例会安排时间，希望它们的时间尽可能集中。
问最少需要几个开会时间？请给出一种安排。
第八章
1.说明下图不是哈密顿图。
解：从图中删除所标记的6个顶点，所得到的图由7个孤立点组成，有7个连通分量。
所以，该图不满足哈密顿图的必要条件，因而不是哈密顿图
2.证明连通图的割边一定是每棵生成树的边。
证明：删除割边后的图一定不连通，其中不存在生成树。
所以，每课生成树都包含割边
第九章
1.股评家推荐了12个股票，一股民欲购买其中的3个。
问在下列各种条件下，分别有多
少种不同的投资方式？
（1）每个股票各投资3000元；
（2）3个股票分别投资5000元、3000元和1000元。
2.16支互不同颜色的蜡笔平分给4个孩子，有多少种不同的分法？
解： C(16,4) C(12,4) C(8,4) C(4,4)
3. 某学校有2504个计算机科学专业的学生，其中1876人选修了C 语言，999人选修了
Fortran 语言，345人选修了JA V A ，876人选修了C 语言和Fortran 语言，231人选修了Fortran 和JA V A ，290人选修了C 和JA V A ，189个学生同时选了C 、Fortran 和JAV A 。
问没有选这3门程序设计语言课中的任何一门的学生有多少个？
第十章
1. 求初值问题的通项公式：a n =10a n-1-25a n-2；a 0=-7，a 1=15。
解：
特征方程：r 2-10r+25=0，特征根：r 2=r 1=5
通解：a n =(α+βn)5n
由a 0=α50=α=-7和a 1= (-7+β)51 =15解得：α=-7，β=10
初值问题的解：a n =(-7+10n)2n
2. 计算广义二项式系数35-⎛⎫
⎪⎝⎭和 1.23⎛⎫ ⎪⎝⎭
的值。
解： ()()3331351215!5----⋯--+⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 1.2 1.2(1.21)...(1.231)0.0323!3--+⎛⎫== ⎪⎝⎭
3. 某人有大量1角、2角和3角的邮票（面值相同的邮票看成是相同的），现要在信封上
贴邮票，邮票排成一行且邮票的总值为r 角。
若不考虑贴邮票的次序，ar 表示贴邮票的方法数，求{ar}的生成函数。