离散数学作业答案

离散数学作业7
离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业
本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。

本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。

要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求2010年12月19日前完成并上交任课教师（不收电子稿）。

并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。

一、填空题
1．命题公式()P Q P →∨的真值是 1 ．
2．设P ：他生病了，Q ：他出差了．R ：我同意他不参加学习. 则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为 (PQ)R
．
3．含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式PQ 的主析取范式是
(PQR) (PQR) ．
4．设P(x)：x 是人，Q(x)：x 去上课，则命题“有人去上课．” 可符号化为
(x)(P(x) →Q(x)) ．
5．设个体域D ＝{a, b},那么谓词公式)()(y yB x xA ∀∨∃消去量词后的等值式为 (A(a) A(b)) (B(a) B(b)) ．
6．设个体域D ＝{1, 2, 3}，A(x)为“x 大于3”，则谓词公式(x)A(x) 的真值为 ．
7．谓词命题公式(x)((A(x)B(x)) C(y))中的自由变元为 ．
8．谓词命题公式(x)(P(x) Q(x) R(x ，y))中的约束变元为 X ．
三、公式翻译题
1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式．
1．解：设P ：今天是天晴；
则 P ．
2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式．
解：设P ：小王去旅游，Q ：小李去旅游，
则 PQ ．
3．请将语句“如果明天天下雪，那么我就去滑雪”翻译成命题公式．
解：设P:明天天下雪 。

Q:我去滑雪
则 P Q ．
4．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式．
7．解：设 P ：他去旅游，Q ：他有时间，
则 P Q ．
5．请将语句 “有人不去工作”翻译成谓词公式．
11．解：设P(x)：x 是人，Q(x)：x 去工作，
则谓词公式 (x)(P(x) ┐Q(x))．
6．请将语句“所有人都努力工作．”翻译成谓词公式．
13．解：设P(x)：x 是人，Q(x)：x 努力工作．
则 谓词公式为 (x)(P(x) Q(x))．
四、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）
1．命题公式PP 的真值是1．
错误。

命题公式PP 是典型的恒假公式，其真值是0
2．命题公式P(PQ)P 为永真式．
2．解：正确．
┐P ∧（P →┐Q ）∨P 是由┐P ∧（P →┐Q ）与P 组成的析取式，
如果P 的值为真，则┐P ∧（P →┐Q ）∨P 为真，
如果P 的值为假，则┐P 与P →┐Q 为真，即┐P ∧（P →┐Q ）为真，
也即┐P ∧（P →┐Q ）∨P 为真，
所以┐P ∧（P →┐Q ）∨P 是永真式．
另种说明：
┐P ∧（P →┐Q ）∨P 是由┐P ∧（P →┐Q ）与P 组成的析取式，
只要其中一项为真，则整个公式为真．
可以看到，不论P 的值为真或为假，┐P ∧（P →┐Q ）与P 总有一个为真，
所以┐P ∧（P →┐Q ）∨P 是永真式．
或用等价演算┐P ∧（P →┐Q ）∨PT
3．谓词公式))(),(()(x xP y x yG x xP ∀→∃→∀是永真式．
解：正确
x P(x) （yG （x ，y ）x P(x)）
┐x P(x )∨（┐yG （x ，y ）∨x P(x)）
（┐x P(x )∨x P(x)）∨（┐yG （x ，y ）
1 ∨┐yG （x ，y ）1
4．下面的推理是否正确，请给予说明．
(1) (x)A(x) B(x) 前提引入
(2) A(y) B(y) US (1)
解：错误． 因为B(x)不受全称量词 x 的约束，不能使用全称指定规则
（2）应为A （y ）→B （x ），换名时，约束变元与自由变元不能混淆．
四．计算题
1． 求PQR 的析取范式，合取范式、主析取范式，主合取范式．
3．解：P →（R ∨Q ）
┐P ∨(R ∨Q)
┐P ∨Q ∨R （析取、合取、主合取范式）
(┐P ∧┐Q ∧┐R)∨(┐P ∧┐Q ∧R) ∨(┐P ∧Q ∧R) ∨
(┐P ∧Q ∧┐R)∨(P ∧┐Q ∧R) ∨(P ∧Q ∧┐R)
∨(P ∧Q ∧R) （主析取范式）
2．求命题公式(PQ)(RQ) 的主析取范式、主合取范式．
3．设谓词公式()((,)()(,,))()(,)x P x y z Q y x z y R y z ∃→∀∧∀．
（1）试写出量词的辖域；
（2）指出该公式的自由变元和约束变元．
解：（1）x 量词的辖域为)),,(),((z x y zQ y x P ∀→，
z 量词的辖域为),,(z x y Q ,
y 量词的辖域为),(z y R ．
（2）自由变元为)),,(),((z x y zQ y x P ∀→与)(y F 中的y ，以及),(z y R 中的z
约束变元为)),,(),((z x y zQ y x P ∀→中的x 与),,(z x y Q 中的z ，以及),(z y R 中的y ．
4．设个体域为D={a 1, a 2}，求谓词公式yxP(x,y)消去量词后的等值式；
yxp(x ，y) y （ xp(x ，y) y （P （a1，y ）∨P （a2，y ））p(a1,a1) ∨p(a2,a1)) ∧P(a1,a2) ∨P(a2,a2)
五、证明题
1．试证明 (P(QR))PQ 与 (PQ)等价．
证明：(P(QR))PQ(P(QR))PQ
(PQR)PQ
(PPQ)(QPQ)(RPQ)
(PQ)(PQ)(PQR)
PQ
（吸收律） (PQ)
（摩根律） 2．试证明(x)(P(x) R(x))(x)P(x) (x)R(x)．
证明：（1）（x ）（P （x ）∧R （x ））
P （2）P （a ）∧R （a ）
ES(1) （3）P （a ）
T(2)I （4）（x ）P （x ）
EG(3) （5）R （a ）
T(2)I。