2017年上海市杨浦区中考三模数学试卷及答案
2017年上海杨浦区初三一模数学试卷
2017年上海杨浦区初三一模数学试卷一、选择题（共6小题；共30分）1. 如果延长线段AB到C，使得BC=12AB，那么AC:AB等于( )A. 2:1B. 2:3C. 3:1D. 3:22. 在高为100米的楼顶测得地面上某目标的俯角为α，那么楼底到该目标的水平距离是( )A. 100tanαB. 100tanαC. 100sinαD. 100cosα3. 将抛物线y=2(x−1)2+3向右平移2个单位后所得抛物线的表达式为( )A. y=2(x−1)2+5B. y=2(x−1)2+1C. y=2(x+1)2+3D. y=2(x−3)2+34. 在二次函数y=ax2+bx+c中，如果a>0，b<0，c>0，那么它的图象一定不经过( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 下列命题不一定成立的是( )A. 斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似B. 两个等腰直角三角形相似C. 两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似D. 各有一个角等于100∘的两个等腰三角形相似6. 在△ABC和△DEF中，∠A=40∘，∠D=60∘，∠E=80∘，ABAC =FDFE，那么∠B的度数是( )A. 40∘B. 60∘C. 80∘D. 100∘二、填空题（共12小题；共60分）7. 线段3cm和4cm的比例中项是cm．8. 抛物线y=2(x+4)2的顶点坐标是．9. 函数y=ax2(a>0)中，当x<0时，y随x的增大而．10. 如果抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(−1,2)和(4,2)，那么它的对称轴是直线．11. 如图，△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB，DE:BC=1:3，那么EF:AB的值为．12. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，如果BC=2AD，那么S△ADC:S△ABC的值为．13. 如果两个相似三角形的面积之比是 9:25，其中小三角形一边上的中线长是 12 cm ，那么大三角形对应边上的中线长是 cm ．14. 如果 a ⃗+b ⃗⃗=3c ⃗，2a ⃗−b ⃗⃗=c ⃗，那么 a ⃗= （用 b ⃗⃗ 表示）．15. 已知 α 是锐角，tanα=2cos30∘，那么 α = 度．16. 如图是一斜坡的横截面，某人沿着斜坡从 P 处出发，走了 13 米到达 M 处，此时在铅垂方向上上升了 5 米，那么该斜坡的坡度是 i =1: ．17. 用“描点法”画二次函数 y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的图象时，列出了如下表格：那么该二次函数在 x =0 时，y ． 18. 如图，△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，BD ⊥AC 于点 D ，将 △BCD 绕点 B 逆时针旋转，旋转角的大小与 ∠CBA 相等，如果点 C ，D 旋转后分别落在点 E ，F 的位置，那么 ∠EFD 的正切值是 ．三、解答题（共7小题；共91分）19. 如图，已知△ABC中，点 F 在边 AB 上，且 AF =25AB 、过 A 作 AG ∥BC 交 CF 的延长线于点G .（1）设 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗，AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗ ，试用向量 a ⃗ 和 b ⃗⃗ 表示向量 AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗； （2）在图中求作向量 AG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的和向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）20. 已知抛物线y=−x2+bx+c经过点B(−1,0)和点C(2,3)．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果此抛物线上下平移后过点(−2,−1)，试确定平移的方向和平移的距离．21. 已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABD=∠C，AD=4，BC=9，锐角∠DBC的正弦值为23．求：（1）对角线BD的长；（2）梯形ABCD的面积．22. 如图，某客轮以每小时10海里的速度向正东方向航行，到A处时向位于南偏西30∘方向且相距12海里的B处发出送货请求，货轮接到请求后即刻沿着北偏东某一方向以每小时14海里的速度出发，在C处恰好与客轮相逢，试求货轮从出发到客轮相逢所用的时间．23. 已知：如图，在△ABC中，点D，G分别在边AB，BC上，∠ACD=∠B，AG与CD相交于点F．（1）求证：AC2=AD⋅AB；（2）若ADAC =DFCG，求证：CG2=DF⋅BG．24. 在直角坐标系xOy中（如图），抛物线y=ax2−4ax+4a+3(a<0)的顶点为D，它的对称轴与x轴交点为M．（1）求点D、点M的坐标；（2）如果该抛物线与y轴的交点为A，点P在抛物线上且AM∥DP，AM=2DP，求a的值．25. 在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC=2，点P为边BC上的一动点（不与B，C重合），点P关于直线AC，AB的对称点分别为M，N，连接MN交边AB于点F，交边AC于点E．（1）如图，当点P为边BC的中点时，求∠M的正切值；（2）连接FP，设CP=x，S△MPF=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）连接AM，当点P在边BC上运动时，△AEF与△ABM是否一定相似?若是，请证明；若不是，请求出当△AEF与△ABM相似时CP的长．答案第一部分1. D2. B3. D4. C5. C6. B 第二部分7. 2√38. (−4,0)9. 减小10. x =32 11. 2312. 1:213. 2014. 45b⃗⃗ 15. 6016. 2.417. 318. 12第三部分19. （1） ∵ AG ∥BC ，AF =25AB ，∴ △AGF ∽△BCF ，AF BF =23 ， ∴ AG BC =AF BF =23，即 AG =23CB ， ∴ AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=23a ⃗−23b ⃗⃗； （2） 如图所示，AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AG⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗． 20. （1） 点 B (−1,0)，C (2,3) 代入 y =−x 2+bx +c ，得：{−1−b +c =0,−4+2b +c =3,解得：{b =2,c =3,∴ 此抛物线的表达式为 y =−x 2+2x +3；（2）在y=−x2+2x+3中，当x=−2时，y=−4−4+3=−5，若点(−2,−5)平移后的对应点为(−2,−1)，则需将抛物线向上平移4个单位．21. （1）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵∠ABD=∠C，∴△ABD∽△DCB，∴ADBD =BDBC，∵AD=4，BC=9，∴BD=6．（2）过D作DE⊥BC于E，则∠DEB=90∘，∵锐角∠DBC的正弦值为23，∴sin∠DBC=DEBD =23，∵BD=6，∴DE=4，∴梯形ABCD的面积为12×(AD+BC)×DE=12×(4+9)×4=26．22. 如图，由题意，∠ABF=30∘，∠CBF=60∘，∴∠FAB=60∘，∠ABC=∠C=30∘，∴AC=AB=12，货轮从出发到客轮相逢所用的时间=1210=1.2小时．答：货轮从出发到客轮相逢所用的时间1.2小时．23. （1）因为∠ACD=∠B，∠CAD=∠BAC，所以△ACD∽△ABC，所以AC：AB=AD：AC，所以AC2=AD⋅AB；（2）因为△ACD∽△ABC，所以∠ADF=∠ACG，因为ADAC =DFCG，所以△ADF∽△ACG，所以∠DAF=∠CAF，即∠BAG=∠CAG，AG是∠BAC的平分线，所以ACAB =CGBG，所以DFCG =CGBG，所以CG2=DF⋅BG．24. （1）∵y=ax2−4ax+4a+3=a(x−2)2+3，∴顶点D(2,3)，M(2,0)．（2）如图，作PN⊥DM于N．∵AM∥DP，∴∠PDN=∠AMG，∵DG∥OA，∴∠OAM=∠AMG=∠PDN，∵∠PND=∠AOM=90∘，∴△PDN∽△MAO，∴PNOM =DNOA=PDAN=12，∵OM=2，OA=−4a−3，∴PN=1，易证P点横坐标为1，代入抛物线解析式得∴P(1,a+3)，∴DN=−a，∵OA=2DN，∴−4a−3=−2a，∴a=−32．（当点A在y的正半轴上时，方法类似，求得a=−12）．25. （1）如图 1，连接BN，∵点P为边BC的中点，∴CP=BP=12BC=1，∵点P与点M关于AC对称，∴CM=CP=1，∵∠ACB=90∘，AC=BC=2，∴∠BAC=∠ABC=45∘，∵点P与点N关于AB对称，∴BP=BN=1，∠ABN=∠ABC=45∘，∴∠CBM=90∘，BM=CM+BC=3，在Rt△MBN中，tanM=BNBM =13．（2）如图 2，过点F作FG⊥BC，设PG=m，∴BG=BP−PG=2−x−m，MG=MP+PG=2x+m，在Rt△BFG中，∠FBG=45∘，∴FG=BG=2−x−m，在Rt△FMG中，tanM=FGMG =2−x−m2x+m，在Rt△MNB中，tanM=BNBM =2−x2+x，∴2−x−m2x+m =2−x2+x，∴m=(x−2)24，FG=2−x−m=2−x−(x−2)24=4−x24，∴y=S△MPF=12MP⋅FG=12×2x×4−x24=4x−x24(0<x<2)．（3）△AEF∽△BAM．理由：如图 3，连接AM，AP，AN，BN，∵点P关于直线AC，AB的对称点分别为M，N，∴AM=AP=AN，∠MAC=∠PAC，∠PAB=∠NAB，∵∠BAC=∠PAC+∠PAB=45∘，∴∠MAN=∠MAC+∠PAC+∠BAP+∠NAB=2(∠PAC+∠PAB)=90∘．∴∠AMN=45∘=∠ABC，∵∠AFE=∠ABC+∠BMF，∠AMB=∠AMN+∠BMF，∴∠AFE=∠AMB，∵∠EAF=∠ABM=45∘，∴△AEF∽△BAM．。
中考数学试题及答案 (13)
初三数学质量调研试卷答案—1—杨浦区初三数学质量调研答案及评分建议2017.4一、 选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1． C ； 2．B ； 3． B ； 4． A ； 5． D ；6． D二、 填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．略； 8．1x y-+； 9．(a a a -+； 10． 45x <<； 11． 2-2或； 12． 增大；13． 2(4)2y x =+-； 14． 54； 15． 15； 16． 30； 17． 1010cot tan αβ+； 18．3. 三、 解答题（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）解：原式331(7-÷+--…………………………………………………（6分）=117-+-+2分）=7…………………………………………………………………………（2分）20．（本题满分10分）解：去分母得3(1)(3)(1)(3)x x x x --+=-+. ………………………………………(3分) 整理得 2230x x --=. ………………………………………………………(3分) (1)(3)0x x +-=. ……………………………………………………(1分) 解得 11x =-，13x =. ……………………………………………………(2分) 经检验11x =-，13x =都是原方程的根.……………………………………………(1分)21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）解：（1）作CH ⊥AB ，垂足为点H ．∵tan A =34，∴设CH =3x ，那么AH =4x ． ……………………………………（1分） ∵∠ABC =45°，∴BH =CH =3x ． ………………………………………………（1分） ∵AB =14，∴3x +4x =14． ………………………………………………………（1分） ∴x =2，即CH =6． ………………………………………………………………（1分） ∴△ABC 的面积等于42． ………………………………………………………（1分）（2）设圆A 的半径为R A ，圆C 的半径为R C .∵以C 为圆心的的圆C 与直线AB 相切，∴R C =CH =6. ………………………………………………………………………（1分） ∵圆A 与圆C 相切，∴AC = R A + R C ，或AC = R A - R C . ………………………（2分） ∵CH =6，AH =8，∴AC =10.∴10= R A +6，或10= R A -6.∴R A =4或16. ………………………………………………………………………（2分） 即圆A 的半径为4或16.初三数学质量调研试卷答案—2—22．（本题满分10分，第（1）、（2）小题各2分，第（3）小题6分）解:（1） x =20……………………………………………………………………………（2分）（2） 0<x <20 ……………………………………………………………………………（2分）（3） 因为射线OC 过点（20，200），所以射线OC 的表达式是y 2=10x ，…………（1分） 过点（30，0）作y 轴的平行线交OC 于点E ，交AB 于点F ，所以E （30，300），……………………………………………………………………（1分） 所以 F （30，250）……………………………………………………………………（1分） 设射线AB 的表达式为y 1=kx +b (k ≠0)所以25030,20020k b k b=+⎧⎨=+⎩……………………………………………………………………（1分）解得5,100.k b =⎧⎨=⎩所以射线AB 的表达式为5100(10)y x x =+≥………………（1分，1分） 23．（本题满分12分，第（1）小题7分，第（2）小题5分）（1） 证明：∵BD ⊥BC ，∴∠DBE +∠EBC =90°.∵AB ⊥BE ，∴∠DBE +∠ABD =90°. ∴∠EBC =∠ABD. …………………（1分） ∵E 为边CD 的中点，∴12BE DC =，即BE =EC ，…………………（1分） ∴∠EBC =∠C. ∴∠C =∠ABD. …………………………………………（1分）∵BD 平分∠ADE ，∴∠ADB =∠BDC. ……………………………………（1分）∴△ABD ∽△BCD . ………………………………………………………（1分） ∴AD BD BD DC=.……………………………………………………………（1分） ∴2BD AD DC =⋅.………………………………………………………（1分）（2） 证明： ∵△ABD ∽△BCD ，∴∠A =∠DBC .∵BD ⊥BC ，∴∠DBC =90°. ∴∠A =90°.∵BD =BC ，E 为边CD 的中点，∴BE ⊥DC ，即∠BED =90°.∵AB ⊥BE ，即∠ABE =90°，∴ABED 为矩形.∵BD ⊥BC ，E 为边CD 的中点，∴1,2BE DC DE ==∴ABED 为正方形. …………………………………………………………（2分）∴AE ⊥BD ，且AE =BD .∵BD ⊥BC ，∴AE //BC .∵BD =BC ，∴AE =BC . ……………………………………………………（2分）∴ABCE 为平行四边形. ……………………………………………………（1分）初三数学质量调研试卷答案—3— 24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）解：（1）∵抛物线2y ax x c =-+的对称轴为直线x =1，∴12a =. ∵抛物线与x 轴的一个交点为A （-1，0），∴32c =-. ∴抛物线的表达式为21322y x x =--.………………………………………………（2分） ∴顶点B （1，-2）. …………………………………………………………………（1分） ∵点C （5，m ）在抛物线上，∴6m =. ∴C 点坐标为（5，6）.设直线BC 的表达式为y =kx +b （k ≠0），则652k b k b=+⎧⎨-=+⎩，∴2,4.k b =⎧⎨=-⎩即BC 的表达式为y =2x -4.∴E （2,0）. ……………………………………………………………………………（1分）（2）作CH ⊥x 轴，垂足为H ，作BP ⊥x 轴，垂足为P ，∵C （5，6），A （-1，0），∴CH =6=AH . ∴∠CAH=45°.∵B （1，-2），A （-1，0），∴BP =2=AP . ∴∠BAP=45°.∴∠CAB=90°. …………………………………………………………………………（1分） ∵CH =6=AH ，CH ⊥x轴，∴AC =∵BP =2=AP ，BP ⊥x轴，∴AB = ∴tan 3.AC B AB∠==…………………………………………………………………（2分） （3）∵∠CAB=90°，∴∠B +∠ACB =90°.∵GM ⊥BC ，∴∠CGM +∠ACB =90°. ∴∠CGM =∠B . ………………………………（1分） ∵△CGM 与△ABE 相似，∴∠BAE =∠CMG 或∠BAE =∠MCG .情况1：当∠BAE =∠CMG 时，∵∠BAE =45°，∴∠CMG =45°. ∵GM ⊥BC ，∴∠MCE =45°. ∴∠MCE =∠EAB .∵∠AEB =∠CEM ，∴△ABE ∽△CME . ……………………………………………（1分） ∴BE AE EM CE =.即EM =∴EM =5. ∴M （7，0）. ……………………………（1分） 情况2：当∠BAE =∠MCG 时，∵∠BAE =∠CAM ，∴∠MCG =∠CAM . ∴MC =MA . ………………………………（1分） 设M （x ，0），∵C （5，6），A （-1，0），∴222(1)(5)6.x x +=-+∴x=5.∴M （5，0）. …………………………………………………………………………（1分）初三数学质量调研试卷答案—4— 25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5 分）解：（1）∵AODE 为矩形，∴AD =OE ，且AD =2AC ，OE =2OC . ………………………（1分）∵点C 在AB 上，∴OA =OC . ……………………………………………………（1分） ∴OE =2OC =2OA . ∴AD =2OA . …………………………………………………（1分） ∵AODE 为矩形，∴AO ⊥OD .∴∠ADO =30°. …………………………………………………………………（1分）（2）作OH ⊥AC ，垂足为H .∵O 为圆心，∴AH =HC . ……………………………………………………………（1分）∵ AC =6，∴AH =3.∵∠AOB =90°，∴AO ⊥OD . ∵ED ⊥OD ，∴AO //ED .∴AC AO CD DE =. ∵AC =6，AO =5，CD =65DE . ………………………………………（1分） ∵AO ⊥OD ，OH ⊥AC ，∴cos AH AO A AO AD ==. 356565DE =+. ……………（1分） ∴DE =3518.………………………………………………………………………………（2分） （3）∠BCD 的大小不变. …………………………………………………………………（1分） 设∠A =α，∠OBC =β∵O 为圆心，点C 为AB 上，∴OA =OC =OB .∴∠ACO = ∠A =α，∠OCB =∠OBC =β. ……………………………………………（1分） ∴∠AOC =1802α︒-，∠BOC =1802β︒-.………………………………………（1分）∵∠AOB =90°，∴1802α︒-+1802β︒-=90°. ∴135αβ+=︒.………………（1分） ∴∠BCD=180()45αβ︒-+=︒.…………………………………………………（1分）。
2017年上海杨浦区初三一模数学试卷答案
D. 100cos α
∴ ． AB = BC ⋅ cotα = 100cotαm
3.
将抛物线y
=
2(x
−
2 1) +
3向右平移2个单位后所得的抛物线的表达式是（
）．
A. 2 y = 2(x − 1) + 5
B. 2 y = 2(x − 1) + 1
C. 2 y = 2(x + 1) + 3
D. 2 y = 2(x − 3) + 3
答案 D
解 析 根据平移的规律，左加右减，向右平移两个单位，应在原来自变量x的基础上减2个单位，故答案为 ． y = 2(x − 3)2 + 3
4.
在二次函数y
=
2 ax
+
bx
+
c中，如果a
>
， 0 b
<
， 0 c
>
0，那么它的图象一定不经过（
）．
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
如果点C 、D旋转后分别落在点E、F 的位置，那么∠EF D的正切值是
．
答案 1
2
解 析 作AH ⊥BC 于H ，延长C D交EF 于G，
∵ ， AB = AC
∴ ， 1 BH = C H = BC = 3 2
由勾股定理得， ， −−−−−−−−−− AH = √AB2 − BH 2 = 4
，即 ， 1
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选择题 填空题 解析题
学生版
∴当x = 0时，y = 3，
教师版
答案版
故答案为3．
2018/12/04
2017-2018年上海市杨浦区中考三模数学试卷及答案
2017-2018年上海市杨浦区中考三模数学试卷及答案上海市杨浦区2017-2018年中考三模数学试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.点A是数轴上的任意一点，下列说法正确的是（C）点A表示的数一定是有理数。
2.下列关于x的方程一定有实数解的是（B）x-2=1-x。
3.某学校为了了解九年级学生体能情况，随机选取30名学生测试一分钟仰卧起坐次数，并绘制了直方图（如图），学生仰卧起坐次数在25～30之间的频率为（B）0.4.4.将抛物线y=x^2-2平移到抛物线y=x^2+2x-2的位置，以下描述正确的是（A）向左平移1个单位，向上平移1个单位。
5.下列图形既是中心对称又是轴对称的是（C）正三角形。
6.下列条件一定能推得△ABC与△DEF全等的是（D）在△ABC和△DEF中，AB/BC=DE/EF，∠B=∠E。
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.计算：12+27=39.8.方程x+2=x的解是2.9.如果反比例函数y=k/x，当x=3时，y=4，那么k=12.10.函数y=kx+b的大致图像如图所示，则当x<0时，y的取值范围是y<0.11.XXX在数学课上给出了6道题，要求每位同学独立完成。
现将答对的题目数与相应的人数列表如下。
答对题目数相应的人数1 22 33 44 55 66 7这些同学平均答对了几道题目。
12.从分别标有1、2、3、4的四张卡片中，一次同时抽2张，其中和为奇数的概率是多少。
13.在直角三角形ABC中，∠C=90°，点D为AB边上中点，如果AB=a，CD=b，那么CA的长度为多少（用a,b表示）。
14.如果人在一斜坡坡面上前行100米时，恰好在铅垂方向上上升了10米，那么该斜坡的坡度是多少。
15.如图，△ABC中，∠A=80°，∠B=40°，BC的垂直平分线交AB于点D，联结DC。
如果AD=2，BD=6，那么△ADC的周长为多少。
上海市杨浦区2017届高三数学三模试卷 含解析 精品
2017年上海市杨浦区高考数学三模试卷一、填空题（共12小题，满分54分）1．计算：= ．2．设集合S={x|≤0，x∈R}，T={2，3，4，5，6}，则S∩T= ．3．已知复数z满足：z（2﹣i）=3+i（其中i为虚数单位），则z的模等于．4．若抛物线x2=2py（p＞0）的焦点与椭圆+=1的一个顶点重合，则该抛物线的焦点到准线的距离为．5．二项式（x2+）5的展开式中含x4的项的系数是（用数字作答）．6．已知函数f（x）=（x﹣a）|x|存在反函数，则实数a= ．7．方程log2（4x﹣3）=x+1的解集为．8．已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0），若存在x0∈R，使得f（x0+2）﹣f（x0）=4，则ω的最小值为．9．若正四棱锥P﹣ABCD的高为2，侧棱PA与底面ABCD所成角的大小为，则该正四棱锥的体积为．10．从1，2，3，4中选择数字，组成首位数字为1，有且只有两个数位上的数字相同的四位数，这样的四位数有个．11．已知等边△ABC的边长为2，点E、F分别在边CA、BA上且满足•=2•=3，则•= ．12．已知函数f（x）=的最小值为a+1，则实数a的取值范围为．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“a＞1“是“＜1“的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件14．如果f（x）是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（）A．y=x+f（x）B．y=xf（x）C．y=x2+f（x）D．y=x2f（x）15．已知数列{a n}为等比数列，其前n项和为S n，则下列结论正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a1+a3＞0 B．若a1+a3＞0，则a1+a2＞0C．若a1＞0，则S2017＞0 D．若a1＞0，则S2016＞016．已知集合M={（x，y）||x|+|y|≤1}，若实数对（λ，μ）满足：对任意的（x，y）∈M，都有（λx，μy）∈M，则称（λ，μ）是集合M的“嵌入实数对”．则以下集合中，不存在集合M的“嵌入实数对”的是（）A．{（λ，μ）|λ﹣μ=2} B．{（λ，μ）|λ+μ=2} C．{（λ，μ）|λ2﹣μ2=2} D．{（λ，μ）|λ2+μ2=2}三、解答题（共5小题，满分76分）17．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥AD，AD=AB=1．AA1=CD=2．E为棱DD1的中点．（1）证明：B1C1⊥平面BDE；（2）求二面角D﹣BE﹣C1的大小．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，），其部分图象如图所示．（I）求f（x）的解析式；（II）求函数在区间上的最大值及相应的x值．19．经市场调查，某商品每吨的价格为x（1＜x＜14）万元时，该商品的月供给量为y1吨，y1=ax+a2﹣a（a＞0）：月需求量为y2吨，y2=﹣x2﹣x+1，当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量：当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量，该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积．（1）已知a=，若某月该商品的价格为x=7，求商品在该月的销售额（精确到1元）；（2）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6万元，求实数a的取值范围．20．如图，由半圆x2+y2=r2（y≤0，r＞0）和部分抛物线y=a（x2﹣1）（y≥0，a＞0）合成的曲线C称为“羽毛球形线”，曲线C与x轴有A、B两个焦点，且经过点（2.3）．（1）求a、r的值；（2）设N（0，2），M为曲线C上的动点，求|MN|的最小值；（3）过A且斜率为k的直线l与“羽毛球形线”相交于P，A，Q三点，问是否存在实数k，使得∠QBA=∠PBA？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．21．已知数列{a n}满足：a1=1，a n=，n=2，3，4，…．（1）求a2，a3，a4，a5的值；（2）设b n=+1，n∈N*，求证：数列{b n}是等比数列，并求出其通项公式；（3）对任意的m≥2，m∈N*，在数列{a n}中是否存在连续的2m项构成等差数列？若存在，写出这2m项，并证明这2m项构成等差数列；若不存在，请说明理由．2017年上海市杨浦区高考数学三模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，满分54分）1．计算：= ．【考点】8J：数列的极限．【分析】直接利用数列的极限的运算法则化简求解即可．【解答】解：===．故答案为：．2．设集合S={x|≤0，x∈R}，T={2，3，4，5，6}，则S∩T= {3，4，5} ．【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出集合S，T的等价条件，结合集合交集的定义进行计算即可．【解答】解：S={x|≤0，x∈R}={x|3≤x＜6}，则S∩T={3，4，5}，故答案为：{3，4，5}3．已知复数z满足：z（2﹣i）=3+i（其中i为虚数单位），则z的模等于．【考点】A8：复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：z（2﹣i）=3+i（其中i为虚数单位），∴z（2﹣i）（2+i）=（3+i）（2+i），∴5z=5+5i，可得z=1+i|z|=．故答案为：．4．若抛物线x2=2py（p＞0）的焦点与椭圆+=1的一个顶点重合，则该抛物线的焦点到准线的距离为 4 ．【考点】KI：圆锥曲线的综合．【分析】求出椭圆的顶点坐标，得到抛物线的焦点坐标，求出P即可得到结果．【解答】解：抛物线x2=2py（p＞0）的焦点与椭圆+=1的一个顶点（0，2）重合，抛物线的开口向上，焦点坐标（0，2），可得p=4，则该抛物线的焦点到准线的距离为：p=4．故答案为：4．5．二项式（x2+）5的展开式中含x4的项的系数是10 （用数字作答）．【考点】DA：二项式定理．【分析】先求出二项式（x2+）5的展开式中通项公式，令x的系数等于4，求出r的值，即可求得展开式中含x4的项的系数．【解答】解：二项式（x2+）5的展开式中通项公式为 T r+1= x10﹣2r x﹣r=x10﹣3r．令 10﹣3r=4，可得 r=2，∴展开式中含x4的项的系数是=10，故答案为10．6．已知函数f（x）=（x﹣a）|x|存在反函数，则实数a= 0 ．【考点】4R：反函数．【分析】a＞0时，f（x）=，利用单调性即可判断出不存在反函数．a=0时，f（x）=，可得函数f（x）在R上单调递增，因此存在反函数．a＜0时，f（x）=，利用单调性即可判断出不存在反函数．【解答】解：a＞0时，f（x）=，可得函数f（x）在内单调递减，在（﹣∞，0），上单调递增，因此不存在反函数．a=0时，f（x）=，可得函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，因此存在反函数．a＜0时，f（x）=，可得函数f（x）在内单调递减，在（﹣∞，），（0，+∞）上单调递增，因此不存在反函数．综上可得：a=0．故答案为：0．7．方程log2（4x﹣3）=x+1的解集为{log23} ．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【分析】解：由已知条件得（2x）2﹣2•2x﹣3=0，解得2x=3，或2x=﹣1（舍），进一步求出x的答案．【解答】解：∵log2（4x﹣3）=x+1，∴2x+1=4x﹣3，∴（2x）2﹣2•2x﹣3=0，解得2x=3，或2x=﹣1（舍），∴x=log23．∴方程log2（4x﹣3）=x+1的解集为{log23}．故答案为：{log23}．8．已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0），若存在x0∈R，使得f（x0+2）﹣f（x0）=4，则ω的最小值为．【考点】HL：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】化简等式可得sin（ωx0+2ω+φ）﹣sin（ωx0+φ）=2，由正弦函数的性质可求ω=（k1﹣k2）π﹣，k1、k2∈Z，结合ω＞0求得ω的最小值．【解答】解：存在x0∈R，使得f（x0+2）﹣f（x0）=4，即2sin﹣2sin（ωx0+φ）=4成立，∴sin（ωx0+2ω+φ）﹣sin（ωx0+φ）=2，∴ωx0+2ω+φ=2k1π+①，ωx0+φ=2k2π+②，k1、k2∈Z；由①②解得：ω=k1π﹣k2π﹣，k1、k2∈Z；又ω＞0，∴ω的最小值是．故答案为：．9．若正四棱锥P﹣ABCD的高为2，侧棱PA与底面ABCD所成角的大小为，则该正四棱锥的体积为．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】连结AC、BD，交于点O，连结PO，则PO⊥平面ABCD，且PO=2，从而侧棱PA与底面ABCD所成角为∠PAO，且，进而AO=2，AB=，由此能求出该正四棱锥的体积．【解答】解：连结AC、BD，交于点O，连结PO，∵正四棱锥P﹣ABCD的高为2，侧棱PA与底面ABCD所成角的大小为，∴PO⊥平面ABCD，且PO=2，∴侧棱PA与底面ABCD所成角为∠PAO，且，∴AO=2，∴AB=，∴该正四棱锥的体积：V===．故答案为：．10．从1，2，3，4中选择数字，组成首位数字为1，有且只有两个数位上的数字相同的四位数，这样的四位数有36 个．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】根据题意，分2种情况讨论，①后三位数字中包含1，即1是重复数字；②后三位数字中不包含1；分别求出其情况数目，再由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论，①后三位数字中包含1，则只需在2、3、4中任取两个，与1进行排列即可，有C32×A33=18种情况；②后三位数字中不包含1，则需要在2、3、4中取出2个，一个作为重复数字，另一个不重复，有A32×A33=18种不同情况；故这样的四位数有18+18=36种；故答案为：36．11．已知等边△ABC的边长为2，点E、F分别在边CA、BA上且满足•=2•=3，则•= ﹣．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】用三角形各边向量表示出，，再计算•．【解答】解：设，，则==， =+=，∴=+λ=4﹣2λ，=μ•=2μ，∵，，∴λ=，μ=，∴=（+）•（+）=﹣+++=﹣4++1+=﹣．故答案为：﹣．12．已知函数f（x）=的最小值为a+1，则实数a的取值范围为{﹣2﹣2}∪．【考点】5B：分段函数的应用．【分析】讨论﹣a与0，1的大小关系，判断f（x）在两区间（﹣∞，0]和（0，+∞）上的单调性与最小值，列不等式解出a的范围．【解答】解：（1）若﹣a≤0，即a≥0时，f（x）=，∴f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，最小值为f（0）=2，在（0，+∞）上最小值为a+1，故只需2≥a+1即可，解得0≤a≤1；（2）若0＜﹣a≤1，即﹣1≤a＜0时，则f（x）=，∴f（x）在（﹣∞，0]上先减后增，最小值为f（）=2﹣，在（0，+∞）上最小值为a+1，故只需2﹣≥a+1即可，解得﹣2﹣2≤a≤﹣2+2，又﹣1≤a＜0，∴﹣1≤a＜0，（3）若﹣a＞1，即a＜﹣1时，f（x）=，∴f（x）在（﹣∞，0]上先减后增，最小值为f（）=2﹣，f（x）在（0，+∞）上的最小值为﹣a﹣1＞0，而f（x）的最小值为a+1＜0，故只需令2﹣=a+1即可，解得a=﹣2﹣2或a=﹣2+2（舍），综上，a的取值范围是{﹣2﹣2}∪．故答案为：{﹣2﹣2}∪．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“a＞1“是“＜1“的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当a＞1时，＜1成立，即充分性成立，当a=﹣1时，满足＜1，但a＞1不成立，即必要性不成立，则“a＞1“是“＜1“的充分不必要条件，故选：A14．如果f（x）是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（）A．y=x+f（x）B．y=xf（x）C．y=x2+f（x）D．y=x2f（x）【考点】3K：函数奇偶性的判断．【分析】逐个计算g（﹣x），观察与g（x）的关系得出答案．【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．对于A，g（﹣x）=﹣x+f（﹣x）=﹣x﹣f（x）=﹣g（x），∴y=x+f（x）是奇函数．对于B，g（﹣x）=﹣xf（﹣x）=xf（x）=g（x），∴y=xf（x）是偶函数．对于C，g（﹣x）=（﹣x）2+f（﹣x）=x2﹣f（x），∴y=x2+f（x）为非奇非偶函数，对于D，g（﹣x）=（﹣x）2f（﹣x）=﹣x2f（x）=﹣g（x），∴y=x2f（x）是奇函数．故选B．15．已知数列{a n}为等比数列，其前n项和为S n，则下列结论正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a1+a3＞0 B．若a1+a3＞0，则a1+a2＞0C．若a1＞0，则S2017＞0 D．若a1＞0，则S2016＞0【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】对等比数列中的公比q讨论，可得答案．【解答】解：对于A：a1+a2＞0，即a1（1+q）＞0，那么a1+a3=a1（1+q2），当a1＞0，可得a1+a3＞0，当a1＜0时，a1+a3＞0不成立．对于B：a1+a3＞0，即a1+a3=a1（1+q2）＞0，可得a1＞0，a1+a2＞0，即a1（1+q）＞0，当1+q ＜0时，不成立．对于C：a1＞0，则S2017=，当q＞1时，S2017＞0．当0＜q＜1时，1﹣q＞0，1﹣q2017＞0，∴S2017＞0．当﹣1＜q＜0时，1﹣q＞0，1﹣q2017＞0，∴S2017＞0．当q＜﹣1时，1﹣q＜0，1﹣q2017＜0，∴S2017＞0．对于D：a1＞0，则S2016=，当q＞1时，1﹣q＜0，1﹣q2016＜0，∴S2016＞0．当0＜q＜1时，1﹣q＞0，1﹣q2016＞0，∴S2016＞0．当﹣1＜q＜0时，1﹣q＞0，1﹣q2016＞0，∴S2016＞0．当q＜﹣1时，1﹣q＞0，1﹣q2016＜0，∴S2016＜0．故选C．16．已知集合M={（x，y）||x|+|y|≤1}，若实数对（λ，μ）满足：对任意的（x，y）∈M，都有（λx，μy）∈M，则称（λ，μ）是集合M的“嵌入实数对”．则以下集合中，不存在集合M的“嵌入实数对”的是（）A．{（λ，μ）|λ﹣μ=2} B．{（λ，μ）|λ+μ=2} C．{（λ，μ）|λ2﹣μ2=2} D．{（λ，μ）|λ2+μ2=2}【考点】KE：曲线与方程．【分析】由定义可知|λ|≤1，|μ|≤1，利用不等式的性质即可得出λ+μ，λ﹣μ，λ2﹣μ2，λ2+μ2的范围，从而得出答案．【解答】解：若集合M存在“嵌入实数对”（λ，μ），则|λx|+|μy|≤1对任意（x，y）∈M恒成立，又|x|+|y|≤1，∴|λ|≤1，|μ|≤1，∴﹣2≤λ﹣μ≤2，故A正确；﹣2≤λ+μ≤2，故B正确；﹣1≤λ2﹣μ2≤1，故C不正确；0≤λ2+μ2≤2，故D正确；故选C．三、解答题（共5小题，满分76分）17．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥AD，AD=AB=1．AA1=CD=2．E为棱DD1的中点．（1）证明：B1C1⊥平面BDE；（2）求二面角D﹣BE﹣C1的大小．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由题意证明BC⊥BD，再由已知ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱柱，得BC⊥DE，由线面垂直的判定可得BC⊥平面BDE，进一步得到B1C1⊥平面BDE；（2）如图建立空间直角坐标系，由已知求出B，C，C1，E的坐标，进一步求出平面BEC1与平面BDE的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角D﹣BE﹣C1的大小．【解答】（1）证明：由题意，BD=BC=，∵CD=2，∴BD2+BC2=CD2，则BC⊥BD．又∵ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱柱，∴BC⊥DE，∵BD∩DE=D，∴BC⊥平面BDE，又∵B1C1∥BC，∴B1C1⊥平面BDE；（2）解：如图建立空间直角坐标系，则有B（1，1，0），C（0，2，0），C1（0，2，2），E（0，0，1）．，．设平面BEC1的法向量为，由，得，取x=3，得．由（1）知，平面BDE的一个法向量．∴cos＜＞==．由图可知，二面角D﹣BE﹣C1为钝角，∴二面角D﹣BE﹣C1的大小为arccos（﹣）．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，），其部分图象如图所示．（I）求f（x）的解析式；（II）求函数在区间上的最大值及相应的x值．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；HW：三角函数的最值．【分析】（I）先求周期，推出ω，利用（），推出，得到f（x）的解析式；（II）求函数在区间上的最大值及相应的x值．【解答】解：（I）由图可知，A=1，所以T=2π所以ω=1又，且所以所以．（II）由（I），所以===cosx•sinx=因为，所以2x∈，sin2x∈故：，当时，g（x）取得最大值．19．经市场调查，某商品每吨的价格为x（1＜x＜14）万元时，该商品的月供给量为y1吨，y1=ax+a2﹣a（a＞0）：月需求量为y2吨，y2=﹣x2﹣x+1，当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量：当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量，该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积．（1）已知a=，若某月该商品的价格为x=7，求商品在该月的销售额（精确到1元）；（2）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6万元，求实数a的取值范围．【考点】5D：函数模型的选择与应用．【分析】（1）计算y1，y2，比较大小确定销售量，再计算销售额；（2）令f（x）=y1﹣y2，则f（x）在[6，14）上有零点，根据零点的存在性定理列不等式组解出a的范围．【解答】解：（1）当a=，x=7时，y1=×7+×（）2﹣=1+﹣=，y2=﹣×（）2﹣×+1=，∴y1＞y2，∴该月销售额为7××104≈50313（元）．（2）令f（x）=y1﹣y2=x2+（+a）x﹣a﹣1，则f（x）在[6，14）上有零点，∵a＞0，∴f（0）=﹣a﹣1＜0，又f（x）的图象开口向上，∴f（x）在[6，14）上只有1个零点，∴，即，解得：0＜a≤．20．如图，由半圆x2+y2=r2（y≤0，r＞0）和部分抛物线y=a（x2﹣1）（y≥0，a＞0）合成的曲线C称为“羽毛球形线”，曲线C与x轴有A、B两个焦点，且经过点（2.3）．（1）求a、r的值；（2）设N（0，2），M为曲线C上的动点，求|MN|的最小值；（3）过A且斜率为k的直线l与“羽毛球形线”相交于P，A，Q三点，问是否存在实数k，使得∠QBA=∠PBA？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【考点】KJ：圆与圆锥曲线的综合．【分析】（1）由将点代入抛物线方程，即可求得a的值，求得A，B点坐标，代入圆方程，即可r的值；（2）根据两点之间的距离公式，采用分类讨论，根据二次函数的性质，即可求得|MN|的最小值；（3）将直线方程，代入抛物线及圆的方程求得Q及P点坐标，由k BP=﹣k BQ，即可求得k的值，因此存在实根k=1+，使得∠QBA=∠PBA．【解答】解：（1）将（2，3）代入y=a（x2﹣1），解得：a=1，由y=x2﹣1与x轴交于（±1，0），则A（1，0），B（﹣1，0），代入圆x2+y2=r2，解得：r=±1，由r＞0，则r=1，∴a的值为1，r的值为1；（2）设M（x0，y0），则丨MN丨2=x02+（y0﹣2）2，当y0≤0，x02=1﹣y02，丨MN丨2=5﹣4y0，∴当y0=0时，丨MN丨min=，当y≥0时，x02=1+y0，丨MN丨2=x02+（y0﹣2）2=1+y0+（y0﹣2）2=y02﹣3y0+5=（y0﹣）2+，当y0=时，丨MN丨min=；（3）由题意可知：PQ的方程y=k（x﹣1），，整理得：x2﹣kx+k﹣1=0，则x=1，y=k﹣1，则Q（k﹣1，k2﹣2k），则，整理得：（1+k2）x2﹣2k2x+k2﹣1=0，解得：x=1或x=，则P点坐标为（，﹣），由∠QBA=∠PBA，则k BP=﹣k BQ，即=﹣，即k2﹣2k﹣1=0，解得：k=1±（负值舍去），因此存在实根k=1+，使得∠QBA=∠PBA．21．已知数列{a n}满足：a1=1，a n=，n=2，3，4，…．（1）求a2，a3，a4，a5的值；（2）设b n=+1，n∈N*，求证：数列{b n}是等比数列，并求出其通项公式；（3）对任意的m≥2，m∈N*，在数列{a n}中是否存在连续的2m项构成等差数列？若存在，写出这2m项，并证明这2m项构成等差数列；若不存在，请说明理由．【考点】8H：数列递推式．【分析】（1）由a1=1，利用递推公式能求出a2，a3，a4，a5的值．（2）由题意，对于任意的正整数n，b n=+1，从而b n+1=+1，进而b n+1=2b n，由此能证明数列{b n}是首项、公比均为2的等比数列，并求出其通项公式．（3）对任意的m≥2，m∈N*，在数列{a n}中存在连续的2m项构成等差数列．对任意的m≥2，k ∈N*，在数列{a n}中，，，，…，这连续的2m就构成一个等差数列．利用构造法和分类讨论法能推导出，，，…，这连续的2m项，是首项为，公差为﹣的等差数列．【解答】解：（1）∵a1=1，∴a2=1+2a1=3，a3=+2a2=，a4=1+2a3=7，a5=+2a4=；证明：（2）由题意，对于任意的正整数n，b n=+1，∴b n+1=+1，又∵+1=（2+1）+1=2（+1）=2b n，∴b n+1=2b n，又∵b1=+1=a1+1=2，∴数列{b n}是首项、公比均为2的等比数列，其通项公式b n=2n；（3）对任意的m≥2，m∈N*，在数列{a n}中存在连续的2m项构成等差数列．对任意的m≥2，k∈N*，在数列{a n}中，，，，…，这连续的2m就构成一个等差数列．我们先来证明：“对任意的n≥2，n∈N*，k∈（0，2n﹣1），k∈N*，有”，由（2）得，∴，当k为奇数时，=，当k为偶数时， =1+2a，记，∴要证=，只需证明，其中，k1∈N*，（这是因为若，则当时，则k一定是奇数）有===，当时，则k一定是偶数，有=1+=1+2（）=1+2（）=，以此递推，要证=，只要证明，其中，k2∈N*，如此递推下去，我们只需证明，，即，即，由（Ⅱ）可得，所以对n≥2，n∈N*，k∈（0，2n﹣1），k∈N*，有，对任意的m≥2，m∈N*，=，，其中i∈（0，2m﹣1），i∈N*，∴﹣=﹣，又，，∴，∴，，，…，这连续的2m项，是首项为，公差为﹣的等差数列．2017年6月15日。
届杨浦区中考数学一模及答案
杨浦区2017学年度第一学期期末质量调研初 三 数 学 试 卷 2018.1（测试时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．如果5x =6y ，那么下列结论正确的是（ ） （A ）:6:5x y =；（B ）:5:6x y =；（C ）5,6x y ==；（D ）6,5x y ==．2．下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是 （ ）（A ）都含有一个40°的内角； （B ）都含有一个50°的内角； （C ）都含有一个60°的内角； （D ）都含有一个70°的内角．3．如果△ABC ∽△DEF ，A 、B 分别对应D 、E ，且AB ∶DE =1∶2，那么下列等式一定成立的是（ ） （A ）BC ∶DE =1∶2；（B ） △ABC 的面积∶△DEF 的面积=1∶2；（C ）∠A 的度数∶∠D 的度数=1∶2；（D ）△ABC 的周长∶△DEF 的周长=1∶2.4．如果2a b =r r （,a b r r均为非零向量）,那么下列结论错误的是（ ）（A ）//a b r r；（B ）20a b -=r r ； （C ）12b a =r r； （D ）2a b =r r ．5．如果二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图像如图所示，那么下列不等式成立的是（ ） （A ）0a >； （B ）0b <；（C ）0ac <；（D ）0bc <．6．如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，且∠AED =∠B ，再将下列四个选项中的一个作为条件，不一定能使得△ADE ∽△BDF 的是（ ） （A ）EA EDBD BF =； （B ）EA EDBF BD =；（C ）AD AEBD BF=； （D ）BD BABF BC=. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．抛物线23y x =-的顶点坐标是 .8．化简：112()3()22a b a b --+r r r r= .9．点A （-1，m ）和点B （-2，n ）都在抛物线2(3)2y x =-+上，则m 与n 的大小关系为m n （填“<”或“>”）．（第6题图）10．请写出一个开口向下，且与y 轴的交点坐标为（0，4）的抛物线的表达式 . 11．如图，DE //FG //BC ，AD ∶DF ∶FB =2∶3∶4，如果EG =4，那么AC = .12．如图，在□ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，点E 是OA 的中点，联结BE 并延长交AD 于点F ，如果△AEF的面积是4，那么△BCE 的面积是 . 13．Rt △ABC 中，∠C =90°，如果AC =9，cos A =13，那么AB = . 14．如果某人滑雪时沿着一斜坡下滑了130米的同时，在铅垂方向上下降了50米，那么该斜坡的坡度是1∶ .15．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，M 是AB 中点，MH ⊥BC ，垂足为点H ，CM 与AH 交于点O ，如果AB =12，那么CO = .16．已知抛物线22y ax ax c =++，那么点P （-3，4）关于该抛物线的对称轴对称的点的坐标是 . 17．在平面直角坐标系中，将点（-b ，-a ）称为点（a ，b ）的“关联点”（例如点（-2，-1）是点（1，2）的“关联点”）.如果一个点和它的“关联点”在同一象限内，那么这一点在第 象限． 18．如图，在△ABC 中，AB =AC ，将△ABC 绕点A 旋转，当点B 与点C 重合时，点C 落在点D 处，如果sin B =23，BC =6，那么BC 的中点M 和CD 的中点N 的距离是 . 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：cos 45tan 45sin 60cot 60cot 452sin 30︒⋅︒-︒⋅︒︒+︒20．（本题满分10分，第（1）、（2）小题各5分） 已知：如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，sin B =35，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，且AD ∶DB =2∶3，DE ⊥BC . （1）求∠DCE 的正切值； （2）如果设AB a =u u u r r ，CD b =u u u r r ，试用a r 、b r 表示AC uuu r.21．（本题满分10分）甲、乙两人分别站在相距6米的A 、B 两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C 处发出一球，乙在离地面1.5米的D 处成功击球，球飞行过程中的最高点H 与甲的水平距离AE 为4米，现以A 为原点，直线AB 为x 轴，建立平面直角坐标系（如图所示）.求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度. 22．（本题满分10分）如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱BC 的高为10米，灯柱BC 与灯杆AB 的夹角为120°．路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE 的长为13.3米，从D 、E 两处测得路灯A 的仰角分别为α和45°，且tan α=6. 求灯杆AB 的长度．23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：梯形ABCD 中，AD //BC ，AD =AB ，对角线AC 、BD 交于点E ，点F 在边BC 上，且∠BEF =∠BAC . （1）求证：△AED ∽△CFE ；ACD（第20题图） AB C（第18题图）D A B C O EF （第11题图） （第12题图） （第15题图） AB M O AB C D EF G（第21题图）．HA （O ）BCDxyE（第22题图） ABC D（第23题图）AB CDE（2）当EF //DC 时，求证：AE =DE .24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2221y x mx m m =-+--+交 y 轴于点为A ，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H .（1）求顶点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）当抛物线过点（1，-2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线22y x x =-+的位置，求平移的方向和距离；（3）当抛物线顶点D 在第二象限时，如果∠ADH =∠AHO ，求m 的值. 25．（本题满分14分，第（1）、（2）小题各6分，第（3）小题2分）已知：矩形ABCD 中，AB =4，BC =3，点M 、N 分别在边AB 、CD 上，直线MN 交矩形对角线AC 于点E ，将△AME 沿直线MN 翻折，点A 落在点P 处，且点P 在射线CB 上.（1）如图1，当EP ⊥BC 时，求CN 的长； （2）如图2，当EP ⊥AC 时，求AM 的长；（3）请写出线段CP 的长的取值范围，及当CP 的长最大时MN 的长.杨浦区初三数学期末试卷参考答案及评分建议2018.1一、 选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1、A ； 2、C ； 3、D ； 4、B ； 5、C ； 6、C 二、 填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7、()0,3-； 8、142a b -r r ； 9、<； 10、24y x =-+等； 11、12； 12、36； 13、27； 14、2.4； 15、4； 16、()1,4； 17、二、四； 18、4三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）解：原式=12231122+⨯--------------------------------------------------（6分） =1222-----------------------------------------------------------------（2分） =14. --------------------------------------------------------------（2分） 20．（本题满分10分，第（1）、（2）小题各5分） 解：（1）∵∠ACB =90°，sin B =35，∴35AC AB =. -------------------------（1分）∴设AC =3a ，AB =5a . 则BC =4a . ∵AD :DB =2:3，∴AD =2a ，DB =3a . ∵∠ACB =90°即AC ⊥BC ，又DE ⊥BC ，（第24题图）（备用图）（图1）AB C D NP ME（图2） AB C DN P M E （第25题图） ABCD∴AC//DE. ∴DE BD AC AB =, CE ADCB AB=. ∴335DE a a a =, 245CE a a a =. ∴95DE a =，85CE a =.----------（2分） ∵DE ⊥BC ，∴9tan 8DE DCE CE ∠==.-----------------------------（2分）（2）∵AD :DB =2:3，∴AD :AB =2:5. ------------------------------------------------（1分）∵AB a =u u u r r ，CD b =u u u r r ，∴25AD a =u u u r r . DC b =-u u ur r .--------------------（2分）∵AC AD DC =+u u u r u u u r u u u r ，∴25AC a b =-u u u r r r .-----------------------------------（2分）21．（本题满分10分）解：由题意得：C （0，1），D （6，1.5），抛物线的对称轴为直线x =4.----（3分）设抛物线的表达式为()210y ax bx a =++≠-------------------------------------（1分）则据题意得：421.53661ba ab ⎧-=⎪⎨⎪=++⎩. ----------------------------------------------（2分）解得：12413a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. -------------------------------------------------------------------（2分）∴羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式为2111243y x x =-++. ------（1分）∵()2154243y x =--+，∴飞行的最高高度为53米. ------------------------（1分） 22．（本题满分10分）解：由题意得∠ADE =α，∠E =45°.----------------------------------------------（2分） 过点A 作AF ⊥CE ，交CE 于点F ，过点B 作BG ⊥AF ，交AF 于点G ，则FG =BC =10. 设AF =x ．∵∠E =45°，∴EF =AF =x ． 在Rt △ADF 中，∵tan ∠ADF =AFDF，-----------------（1分） ∴DF =tan tan 6AF x xADF α==∠. --------------------------（1分）∵DE =13.3，∴6x x +=13.3. ---------------------------（1分） ∴x =11.4. ---------------------------------------------（1分）∴AG =AF ﹣GF =11.4﹣10=1.4. ------------------------------------------------------------（1分） ∵∠ABC =120°，∴∠ABG =∠ABC ﹣∠CBG =120°﹣90°=30°．-------------------（1分） ∴AB =2AG =2.8 ----------------------------------------------------------------------- （1分） 答：灯杆AB 的长度为2.8米．------------------------------------------------------------（1分）ABC D EF G23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分） 证明：（1）∵∠BEC =∠BAC+∠ABD ，∠BEC =∠BEF+∠FEC ，又∵∠BEF =∠BAC ，∴∠ABD=∠FEC.------------------------------------ （1分） ∵AD =AB ，∴∠ABD=∠ADB.------------------------------------------------- （1分） ∴∠FEC=∠ADB. -------------------------------------------------------- （1分） ∵AD //BC ，∴∠DAE=∠ECF.--------------------------------------------------- （1分） ∴△AED ∽△CFE. --------------------------------------------------------- （1分）（2）∵EF //D C ，∴∠FEC=∠ECD. --------------------------------------------------- （1分） ∵∠ABD=∠FEC ，∴∠ABD=∠ECD.--------------------------------------------- （1分） ∵∠AEB=∠DEC. ∴△AEB ∽△DEC. ----------------------------------------------- （1分） ∴AE BEDE CE=.------------------------------------------------------------------------------（1分） ∵AD //BC ，∴AE DECE BE=.----------------------------------------------------------------（1分） ∴AE AE BE DE DE CE CE BE⋅=⋅.即22AE DE =.-------------------------------------------（1分） ∴ AE =DE . ----------------------------------------------------------------------------- （1分）24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分） 解：（1）∵22221()1y x mx m m x m m =-+--+=---+.------------------------（1分） ∴顶点D （m , 1-m ）.------------------------------------------------------------------（2分） （2）∵抛物线2221y x mx m m =-+--+过点（1，-2），∴22121m m m -=-+--+.即220m m --=. ---------------------------（1分） ∴2m =或1m =-（舍去）. ------------------------------------------------------（2分）∴抛物线的顶点是（2，-1）.∵抛物线22y x x =-+的顶点是（1，1），∴向左平移了1个单位，向上平移了2个单位. -------------------------（2分）（3）∵顶点D 在第二象限，∴0m <.情况1，点A 在y 轴的正半轴上，如图（1）.作AG ⊥DH 于点G ， ∵A （0,21mm --+），D （m ,-m +1），∴H （,0m ），G （2,1m m m --+）∵∠ADH =∠AHO ，∴tan ∠ADH = tan ∠AHO ， ∴AG AODG HO=. ∴2211(1)m m m m m m m ---+=----+-.整理得：20m m +=. ∴1m =-或0m =（舍）. --------------（2情况2，点A 在y 轴的负半轴上，如图（2）.作AG ⊥DH 于点G ， ∵A （0,21mm --+），D （m ,-m +1），∴H （,0m ），G （2,1m m m --+）∵∠ADH =∠AHO ，∴tan ∠ADH = tan ∠AHO ，∴AG AODG HO=. ∴2211(1)m m m m m m m -+-=----+-. 整理得：220mm +-=. ∴2m =-或1m =（舍）. ---------（2∴1m =-或2m =-.xx25．（本题满分14分，第（1）、（2）小题各6分，第（3）小题2分） 解：（1）∵△AME 沿直线MN 翻折，点A 落在点P 处， ∴△AME ≌△PME . ∴∠AEM =∠PEM ，AE=PE . ∵ABCD 是矩形，∴AB ⊥BC . ∵EP ⊥BC ，∴AB // EP .∴∠AME =∠PEM . ∴∠AEM =∠AME . ∴AM =AE . ---------------------（2分） ∵ABCD 是矩形，∴AB // DC . ∴AM AECN CE=. ∴CN =CE . ------------------（1分） 设CN = CE =x .∵ABCD 是矩形，AB =4，BC =3，∴AC =5. ∴PE= AE=5- x . ∵EP ⊥BC ，∴4sin 5EP ACB CE =∠=. ∴545x x -=. ---------------------（1分） ∴259x =，即259CN =. ------------------------------------------------------（2分） （2）∵△AME 沿直线MN 翻折，点A 落在点P 处， ∴△AME ≌△PME . ∴AE=PE ，AM=PM . ∵EP ⊥AC ，∴4tan 3EP ACB CE =∠=. ∴43AE CE =. ∵AC =5，∴207AE=，157CE =.∴207PE =. ---------------------（2分）∵EP ⊥AC ，∴257PC===. ∴254377PB PC BC =-=-=. --------------------------------------（2分） 在Rt △PMB 中，∵222PM PB MB =+，AM=PM . ∴2224()(4)7AMAM =+-. ∴10049AM =. --------------------------------------（2分）（3）05CP ≤≤,当CP 最大时MN =.--------------------------------------------------（2分）。
上海市杨浦区2017届初三第二学期质量调研数学试卷及答案
1．与平面直角坐标系中的点具有一一对应关系的是
（A）实数；
（B）有理数；
2．化简 a3 所得的结果是
（C）有序实数对； （Da ； （C） a a ；
（D） a a ．
3．通常在频率分布直方图中，用每小组对应的小矩形的面积表示该小组的组频率. 因此，
6．下列四个命题中真命题是
（A）矩形的对角线平分对角；
（B）平行四边形的对角线相等；
（C）梯形的对角线互相垂直；
（D）菱形的对角线互相垂直平分．
—1—
二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7． 请写出两．个．不．相．等．的无理数，使它们的乘积为有理数，这两个数可以是 ▲ . 8．化简： y x ▲ .
A
EA
C CE
O
B
D
O
B
D
（图 1）
（第 25 题图）
（备用图）
—4—
杨浦区初三数学质量调研答案及评分建议 2017.4
四、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
1． C； 2．B； 3． B； 4． A； 5． D；6． D 五、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
∴△ABD∽△BCD. ………………………………………………………（1 分）
∴ AD BD .……………………………………………………………（1 分） BD DC
∴ BD2 AD DC .………………………………………………………（1 分）
（2） 证明： ∵△ABD∽△BCD，∴∠A=∠DBC.
C
4
（1）求：△ABC 的面积；
2017年上海市杨浦区高三三模参考答案
2.
设集合 S x
3.
已知复数 z 满足： z (2 i) 3 i （其中 i 为虚数单位） ，则 z 的模等于____________. 若抛物线 x 2 py( p 0) 的焦点与椭圆
2
4.
x2 y 2 则该抛物线的焦点到准线的距 1 的一个顶点重合， 3 4
2016 学年杨浦区高三三模数学试卷
2017.5 一、填空题 1. 计算： lim
n2 n 1 ____________. n 2n 2 3n 2
x 3 0, x R , T 2,3, 5, 6 ，则 S T ____________. x6
5
____________. 9. 侧棱 PA 与底面 ABCD 所成角的大小为 若正四棱锥 P ABCD 的高为 2，
， 则该正四棱锥的体积为 4
____________. 10. 从 1, 2,3, 4 中选择数字，组成首位数字为 1，有且只有两个位数上数字相同的四位数，这样的四位数有 ____________个. 11. 已知等边 ABC 的边长为 2，点 E 、 F 分别在边 CA 、 BA 上且满足 BE BC 2BF BC 3 ，则
2
18.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 6 分. 已知函数 f x A sin x ， x R （其中 A 0 ， 0 ， 示. （1）求函数 f x 的解析式； （2）求函数 g x f x 值.
D. y x 2 f ( x)
15. 已知数列 {an } 是等比数列，其前 n 项和为 S n ，则下列结论正确的是（ A. 若 a1 a2 0 ，则 a1 a3 0 C. 若 a1 0 ，则 S2017 0
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上海市杨浦区中考三模数学试卷（满分 150 分，考试时间 100 分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共 25 题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一 律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或 计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸 的相应位置上】1．点A 是数轴上的任意一点，则下列说法正确的是（ ）（A ）点A 表示的数一定是整数； （B ）点A 表示的数一定是分数； （C ）点A 表示的数一定是有理数； （D ）点A 表示的数可能是无理数． 2．下列关于x 的方程一定有实数解的是（ ） （A ）2111xx x++=--； （B 1x -； （C ）210x x --=； （D ）210x x -+=．3．某学校为了了解九年级学生体能情况，随机选取 30 名学生测试一分钟仰卧起坐次数，并绘制了直方图（如图），学生仰卧起坐次数在 25～30 之间的频率为（ ） （A ）0.1；（B ）0.4；（C ）0.33； （D ）0.17．4．将抛物线22y x =-平移到抛物线222y x x =+-的位置，以下描述正确的是（ ）（A ）向左平移 1 个单位，向上平移 1 个单位； （B ）向右平移 1 个单位，向上平移 1 个单位； （C ）向左平移 1 个单位，向下平移 1 个单位； （D ）向右平移 1 个单位，向下平移 1 个单位． 5．下列图形既是中心对称又是轴对称的是（ ） （A ）菱形；（B ）梯形；（C ）正三角形；（D ）正五边形． 6．下列条件一定能推得△ABC 与△DEF 全等的是（ ） （A ）在△ABC 和△DEF 中，∠A =∠B ，∠D =∠E ，AB =DE ； （B ）在△ABC 和△DEF 中，AB =AC ，∠A =∠F ， FD =FE ；（C ）在△ABC 和△DEF 中，1AB DEBC EF ==，∠B =∠E ； （D ）在△ABC 和△DEF 中，1AB BCDE EF==，∠B =∠E ． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7= ． 8．方程x =的解是 ．9．如果反比例函数1ky x-=的图像在第二、四象限，那么k 的取值范围是 ．10．函数y kx b =+的大致图像如图所示，则当 x < 0 时，y 的取值范围是 ．11．黄老师在数学课上给出了6道习题，要求每位同学独立完成．则这些同学平均答对 道题．12．从分别标有 1、2、3、4的四张卡片中，一次同时抽2张，其中和为奇数的概率是 ．13．在Rt △ABC 中，∠C =90°，点D 为AB 边上中，如果AB a = ，CD b =，那么CA =（用,a b表示）．14．如果人在一斜坡坡面上前行100米时，恰好在铅垂方向上上升了10米，那么该斜坡的坡度是 ．15．如图，△ABC 中，∠A =80，∠B =40°，BC 的垂直平分线交AB 于点D ，联结DC ．如果AD =2，BD =6，那么△ADC 的周长为 ．16．如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，∠B =30°，BC =10，以A 为圆心画圆，如果⊙A 与直线 BC 相切，那么⊙A 的半径长为 ．17．如果将点（-b ，-a ）称为点（a ，b ）的“反称点”，那么点（a ，b ）也是点（-b ，-a ）的“反称点”，此时，称点（a ，b ）和点（-b ，-a ）是互为“反称点”．容易发现，互为“反称点”的两点有时是重合的，例如（0，0）的“反称点”还是（0，0）．请再写出一个这样的点： ． 18．如图，在菱形 ABCD 中，AB =a ，∠ABC =α．将菱形 ABCD 绕点B 顺时针旋转（旋转角小于90°），点 A 、C 、D 分别落在 A ’、C ’、D ’处，当 A ’C ’⊥BC 时 A ’D = （用含a 和α的代数式表示）．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）先化简，再求值：2223231,11211x x x x x x x x ---÷+=-+++．20．（本题满分10分）解不等式组：2(3)3,52,32x xx x-+≤⎧⎪+⎨<+⎪⎩且写出使不等式组成立的所有整数．21．（本题满分10分）甲、乙两名运动员进行长跑训练，两人距终点的路程y（米）与跑步时间x（分）之间的函数关系如图所示，根据图像所提供的信息解答问题：（1）他们在进行米的长跑训练，在0＜x＜15的时段内，速度较快的人是；（2）求甲距终点的路程y（米）和跑步时间x（分）之间的函数关系式；（3）当x=15时，两人相距多少米？（4）在15＜x＜20的时段内，求两人速度之差．22．（本题满分10分）如图，已知：⊙O是△ABC的外接圆，半径长为5，点D、E分别是边AB和边AC的中点，AB=AC，BC=6．求∠OED的正切值．23．（本题满分12分，其中第（1）小题7分，第（2）小题小题5分）梯形ABCD中，AD//BC，DC⊥BC，CE⊥AB于点E，点F在边CD上，且⋅=⋅．BE CE BC CF（1）求证：AE CF BE DF⋅=⋅；（2）若点E为AB中点，求证：22⋅=-．AD BC EC BC224．（本题满分12分，其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）直线6=-过点A（1，－4），与x轴交于点B，与y轴交于点D，以点y kxA为顶点的抛物线经过点B，且交y轴于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如果点P在x轴上，且△ACD与△PBC相似，求点P的坐标；（3）如果直线l与直线6y kx=-关于直线BC对称，求直线l的表达式．25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）．过点在∠BCD的内已知梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=2，sin B=35部作射线交射线BA于点E，使得∠DCE＝∠B．（1）如图1，当ABCD为等腰梯形时，求AB的长；（2）当点E与点A重合时（如图 2），求AB的长；（3）当△BCE为直角三角形时，求AB的长．2017 年杨浦区初三模拟测试数学试卷答案与评分标准 5.8 一、选择题1、D ；2、C ；3、B ；4、C ；5、A ；6、D ； 二、填空题7、 ；8、x =2；9、k >1 ；10、y <1；11、4.5；12、23；13、12b a - ；14、15、14；1617、（3，-3）；18、2cos 2a a α-；19、解:原式=23(1)1(1)(1)(3)(1)1x x x x x x x -+⋅++--++-------------------------------------（6 分） =112=111x x x +-+------------------------------------------------------------（2 分）当1x =时，原式（2 分） 20、解：263,210312,x x x x -+≤⎧⎨+<+⎩---------------------------------------------------------------------（2 分）39,2,x x ≤⎧⎨-<⎩-----------------------------------------------------------------------------------（2 分）得3,2,x x ≤⎧⎨>⎩---------------------------------------------------------------------------------（2 分） ∴不等式组的解集是－2＜x ≤3．-----------------------------------------------------（2 分） 使不等式组成立的所有整数是-1、0、1、2、3．----------------------------------（2 分） 21、解：（1）5000-------------------------------------------------------------------------------------（1 分）甲-------------------------------------------------------------------------------------（1 分） （2）设所求直线的解析式为：y =kx +5000，-----------------------------------------（1 分）由图象可知：当 x =20 时，y =0， ∴0=20k +5000，解得 k = -250.--------------------------------------------------（1 分）即 y = -250x +5000------------------------------------------------------------------（1 分）（3）当 x =15 时，y = -250x +5000= -250×15+5000=5000-3750=1250. ------------（2 分）两人相距： 2000-1250=750（米）.----------------------------------------------（1 分） （4）两人速度之差:750÷(20-15)=150（米/分） ---------------------------------（2 分）22、解：联结 AO 并延长交 BC 于点 H ，联结 OC ，∵AB=AC ，∴ AB AC =，∵O 为圆心，∴AH ⊥BC ，BH=HC ，---------------------------------------------------------------(2 分)∴HC=3，∵半径 OC=5，∴OH=4，AH=9，------------------------------------------（2 分） ∴在 Rt △AHC 中，tan ∠HAC=3193HC AH ==，即 tan ∠OAE=13---------------（2 分）∵D 、E 分别是边AB 和边AC 的中点，∴DE//BC ，∴AH ⊥DE ，∴∠OAE+∠AED=90°，∵E 是边AC 的中点，O 为圆心，∴OE ⊥AC ，∴∠AED+∠OED=90°， ∴∠OAE=∠OED ，--------------------------------------------------------------------------（2 分） ∴tan ∠OED= tan ∠OAE=13----------------------------------------------------------------（2 分）23、证明：（1）∵CE ⊥AB ，∴∠B+∠BCE=90°，∵DC ⊥BC ，∴∠DCE+∠BCE=90°，∴∠B=∠DCE ，-----------（2 分）∵ BE CE BC CF ⋅=⋅ ，∴BF CFBC CE=，∴△BCE ∽△CEF ，------(2 分)∴∠BCE=∠CEF ，------------------------------------------------------------(1 分)∴EF//BC ，----------------------------------------------------------------------(1 分)∴AE DFBE CF=，即AE CF BE DF ⋅=⋅ 。