数学建模——基于投资风险决策的分析

淮阴工学院专业实践周 (2)

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选题： A 组第30 题

教师：

基于投资风险决策的分析

摘要

本文是对开放式基金投资项目问题的研究，开放式基金投资项目问题在现实生活中有着广泛的应用前景。

本文主要采用运筹学的知识，同时采用了MATLAB的知识，采用整数线性规划建立模型，并进行优化，将实际问题数学化。对于本题，我们层层递进，考虑到了各项目之间的相互影响、风险等这些因素，综合考虑现实市场因素和股票的影响因素，对资金的投入和最终的利润进行比较，然后对各种方法得到的投资方案进行对比，优选出更合理的方案，最后采用数学软件（如：LinGo、MATLAB）进行模型求解。

关键词：整数线性规划LinGo MATLAB 风险率利润

一、问题重述

某开放式基金现有总额为15亿元的资金可用于投资，目前共有8个项目可供投资者选择，每个项目可重复投资。根据专家经验，对每个项目投资总额不能太高，应有上限。这些项目所需要的投资额已知，一般情况下投资一年后各项目所得利润也可估算出来，如表1所示。

表1 项目投资额及其利润单位：万元

请帮该公司解决以下问题：

（1）就表1提供的数据，应该投资哪些项目，使得第一年所得利润最高？

（2）在具体投资这些项目时，实际还会出现项目之间互相影响的情况。公司咨询有关专家后，得到以下可靠信息：同时投资项目A1，A3，它们的年利润分别是1005万元，1018.5万元；同时投资项目A4，A5，它们的年利润分别是1045万元，1276万元；同时投资项目A2，A6，A7，A8，它们的年利润分别是1353万元，840万元，1610万元，1350万元，该基金应如何投资？

（3）如果考虑投资风险，则应如何投资，使收益尽可能大，而风险尽可能小。投资项目总体风险可用投资项目中最大的一个风险来衡量。专家预测出各项目的风险率，如表2所示。

表2

二、问题的假设

1. 不考虑投资所需的投资费，交易费；

2. 假设投资项目利润，投资风险率不受外界因素影响；

3. 不考虑保留资金以存款的形式获得的利润；

4. 在投资过程中，不考虑政策，政府条件对投资的影响；

5. 在利润相同的情况下，投资人对于每个项目的投资偏好是一样；

三、符号说明

x：第i个项目的投资股数

i

a：第i个项目的年利润

i

b：第i个项目的投资额

i

c：第i个项目同时投资时所获得的利润

i

t：第i个项目的投资上限

i

y：0-1变量，表示是否同时投资

i

a：固定的风险度

q：第i个项目的投资风险率

i

四、问题一的建模与求解

对于问题一，在各个投资项目之间不相互影响，不考虑投资风险，每个项目可重复投资的情况下，本问题是一个简单的整数线性规划问题。总目标是使得第一年所得总利润最大，约束条件是每项投资都不能超过其投资上限，项目投资总额不能超过15亿，重复投资次数必须为大于0的整数。因此，我们可以建立简单的整数线性优化模型，如下：

目标函数：8

1

max i i i z a x ==∑

8

1150000..=i i i i i i

i b x s t b x t x =?≤???

≤????????

∑为整数,i 1,2，,8 通过编写lingo 程序（见附录一），解出该线性规划模型的结果，如表3所示：

表3

所以1A 购买5股，2A 购买1股，3A 购买1股，4A 购买4股，5A 股买5股，6A 购买2股，

7A 购买5股，8A 购买5股，利润最大为36841.50万元。

五、问题二的建模与求解

对于问题二，在不考虑投资风险的情况下，考虑了项目投资之间的相互影响。总目标是使得第一年所得总利润最大，约束条件是每项投资都不能超过其投资上限，项目投资总额不能超过15亿，若1A 与3A ，4A 与5A ,2A 、6A 、7A 与8A 同时投资时，它们的年利润将发生改变，重复投资次数必须为大于0的整数。因此，我们可以建立简单的整数线性优化模型，如下：

目标函数：()8

1max 1i i i i i i i z a x y y c x ==-+∑

8

1

1131314454542

26782678

213452

6

7827

1500010001000..1000=01,1,2,,8i i i i i i i i b x b x t y x x x x y y x x x x y y x x x x

s t x x x x y y y y y y y

y y y y x y i =?≤??≤??

≤??≥

??

≤??

?≥??≤??

?≥?

?=?

=??=?=??

=??????

=??????

∑为整数,i=1,2,,8、 通过编写lingo 程序（见附录三），解出该线性规划模型的结果，如表4所示：

表4

所以1A 购买1股，2A 购买0股，3A 购买6股，4A 购买4股，5A 股买5股，6A 购买4股，7A 购买5股，8A 购买5股，利润最大为37607.00万元。

六、问题三的建模与求解

对于问题三，考虑投资风险，各项目的风险率，如表5所示：

表5

投资要求风险最小，利润最大。处理该双目标函数，将风险度作为约束条件，约束条件是每项投资都不能超过其投资上限，项目投资总额不能超过15亿，重复投资次数必须为大于0的整数。不断改变风险度的数值，将双目标化为单目标函数，求出在不同风险度的情况下利润最大值，建立如下模型：

目标函数：8

1max i i i M a x ==∑

(){}min max i i i N b x q = 8

1150000..1,2,,8i i i i i i

i b x s t b x t x i =?≤???

≤??=??????

∑为整数， 对此模型进行简化，固定投资风险，优化收益，设a 为固定的最大风险，简化模型如下：

目标函数：8

1max i i i z a x ==∑

81150000150000

..1,2,,8

i i i

i i i i i i i q b x a b x s t b x t x i =?≤???

≤??

≤??

=????∑为整数， 通过编写matlab 程序（见附录五），得到该图，如图1所示：

4

a

Q

图1

由图1分析可得：

（1） 风险越大，收益也越大：

（2） 当投资越分散时，投资者承担的风险越小，这与题意一致，即冒险的投资者会出现集中的投

资情况，保守的投资者则尽量分散投资；

（3） 图中曲线上的任一点都表示该风险水平的最大可能收益和该收益要求的最小风险。对于不同

风险的承受能力，选择该风险水平下的最优投资组合

（4） 在0.04a 附近有一个转折点，在这一点的左边，风险增加很少时，利润增加很快；在这一

点的右边时，风险增加很大时，利润增长很缓慢。所以对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择拐点作为最优投资组合。

所以，a=0.04时候收益最大。

通过编写lingo 程序（见附录七），解出该线性规划模型的结果，如表6所示：

表6

所以1A 购买2股，2A 购买4股，3A 购买5股，4A 购买3股，5A 股买2股，6A 购买2股，7A 购买3股，8A 购买3股，风险度为0.04，利润最大为27927.50万元。

七．模型优缺点分析

模型的优点：

本次数学建模的题目，整体上看，问题的提出和模型的建立与求解由简单到复杂，逐渐提高，后一模型是前一模型的改进, 模型经多次修正，使得模型逐步科学合理,逐步具备实际价值。建模过程的思路清晰，简单易懂，综合考虑到了风险几个项目之间的相互影响等方面，具有较强的实用价值及推广意义。最后，引用线性思想，利用数学软件LinGo ，辅助matlab 进行模型求解，可行性高，使用性强。

模型的缺点：

模型中忽略了其他影响投资的因素，有一定的局限性。如：银行利率的影响、投资交易费用等因素；模型虽然综合考虑了很多因素，但为了建立模型，理想化了许多影响因素，具有一定的局限性，得到的最优方案可能与实际有一定的出入；同时，这个模型建立得比较简单，而且存在一定的误差. 在公式的推导过程中可能有错误，并且对客户想要提前还清贷款或想要延迟还贷款的情形没有进行讨论，这使得模型有缺陷，不够完善。

参考文献

[1]姜启源．数学模型(第三版)[M]．北京：高等教育出版社，2003 [2]刁在筠.运筹学（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2007

[3]赵静，但琦.数学建模与数学实验第三版.北京：高等教育出版社 ,2008 [4]刘琼荪，龚劬，何中市，傅鹂，任善强.数学实验.北京：高等教育出版社,2004 [5]钱颂迪.运筹学.北京：清华大学出版社，2008

附录

附录一：不考虑投资风险时，使投资利润最大的程序代码：

sets:

h/1..8/:a,b,t,x;

endsets

data:

a=1139,1056,727.5,1265,1160,714,1840,1575;

b=6700,6600,4850,5500,5800,4200,4600,4500;

t=34000,27000,30000,22000,30000,23000,25000,23000; enddata

max=@sum(h(i):a(i)*x(i));

@sum(h(i):x(i)*b(i))<=150000;

@for(h(i):b(i)*x(i)<=t(i));

@for(h(i):@gin(x(i)));

End

附录二：不考虑投资风险时，投资利润最大的运行结果：

Global optimal solution found.

Objective value: 36841.50

Extended solver steps: 0

Total solver iterations: 0

Variable Value Reduced Cost

X( 1) 5.000000 -1139.000

X( 2) 1.000000

-1056.000

X( 3) 1.000000

-727.5000

X( 4) 4.000000

-1265.000

X( 5) 5.000000

-1160.000

X( 6) 2.000000

-714.0000

X( 7) 5.000000

-1840.000

X( 8) 5.000000

-1575.000

附录三：不考虑投资风险的情况下，考虑项目投资之间的相互影响，使投资利润最大的程序代码：

sets:

h/1..8/:a,c,b,t,x,y;

endsets

data:

a=1139,1056,727.5,1265,1160,714,1840,1575;

c=1005,1353,1018.5,1045,1276,840,1610,1350;

b=6700,6600,4850,5500,5800,4200,4600,4500;

t=34000,27000,30000,22000,30000,23000,25000,23000;

enddata

max=@sum(h(i):(1-y(i))*a(i)*x(i)+y(i)*c(i)*x(i));

@sum(h(i):x(i)*b(i))<=150000;

@for(h(i):b(i)*x(i)<=t(i));

y(1)<=x(1)*x(3);

y(1)>=x(1)*x(3)/1000;

y(4)<=x(4)*x(5);

y(4)>=x(4)*x(5)/1000;

y(2)<=x(2)*x(6)*x(7)*x(8);

y(2)>=x(2)*x(6)*x(7)*x(8)/1000;

y(1)=y(3);

y(4)=y(5);

y(2)=y(6);

y(7)=y(8);

y(2)=y(7);

@for(h(i):@gin(x(i)));

@for(h(i):@bin(y(i)));

End

附录四：不考虑投资风险的情况下，考虑项目投资之间的相互影响，投资利润最大的运行结果：

Local optimal solution found.

Objective value: 37607.00

Extended solver steps: 13

Total solver iterations: 958

Variable Value Reduced

Cost

X( 1) 1.000000 -1005.000

X( 2) 0.000000

-1056.000

X( 3) 6.000000

-1018.500

X( 4) 4.000000

0.000000

X( 5) 5.000000

-1276.000

X( 6) 4.000000

-714.0000

X( 7) 5.000000

-1840.000

X( 8) 5.000000

-1575.000

Y( 1) 1.000000

0.000000

Y( 2) 0.000000

0.000000

Y( 3) 1.000000 -1612.000

Y( 4) 1.000000

299.9999

Y( 5) 1.000000

0.000000

Y( 6) 0.000000

0.000000

Y( 7) 0.000000

645.9998

Y( 8) 0.000000

1125.000

附录五：求出固定的风险度a的程序代码：

a=0

while(1.1-a)>1

q=[0.32 0.155 0.23 0.31 0.35 0.65 0.42 0.35]

c=[6700 6600 4850 5500 5800 4200 4600 4500]

m=q.*c/150000

c=[-1139 -1056 -727.5 -1265 -1160 -714 -1840 -1575]

A=[6700 6600 4850 5500 5800 4200 4600 4500;6700 0 0 0 0 0 0 0 ;

0 6600 0 0 0 0 0 0;0 0 4850 0 0 0 0 0;0 0 0 5500 0 0 0 0;

0 0 0 0 5800 0 0 0;0 0 0 0 0 4200 0 0;0 0 0 0 0 0 4600 0;

0 0 0 0 0 0 0 4500;m(1) 0 0 0 0 0 0 0 ;

0 m(2) 0 0 0 0 0 0;0 0 m(3) 0 0 0 0 0;0 0 0 m(4) 0 0 0 0;

0 0 0 0 m(5) 0 0 0;0 0 0 0 0 m(6) 0 0;0 0 0 0 0 0 m(7) 0;

0 0 0 0 0 0 0 m(8);]

Aeq=[];

beq=[];

vlb=[];

vub=[];

b=[150000;34000;27000;30000;22000;30000;23000;25000;23000;a;a;a;a ;a;a;a;a;]

[x,val]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)

a

x=x'

Q=-val

plot(a,Q,'.')

axis([0 0.1 0 50000])

hold on

a=a+0.001;

end

xlabel('a'),ylabel('Q')

附录六：求固定的风险度a时的运行结果：

m =

0.0143 0.0068 0.0074 0.0114 0.0135 0.0182 0.0129 0.0105

4

a

附录七：考虑投资风险时，使投资利润最大的程序代码：

sets:

h/1..8/:a,b,t,m,x;

endsets data:

a=1139,1056,727.5,1265,1160,714,1840,1575;

b=6700,6600,4850,5500,5800,4200,4600,4500;

t=34000,27000,30000,22000,30000,23000,25000,23000;

m=0.0143,0.0068,0.0074,0.0114,0.0135,0.0182,0.0129,0.0105;

enddata

max=@sum(h(i):a(i)*x(i));

@sum(h(i):x(i)*b(i))<=150000;

@for(h(i):b(i)*x(i)<=t(i));

@for(h(i):m(i)*x(i)<=0.04);

@for(h(i):@gin(x(i)));

End

附录八：考虑投资风险时，投资利润最大的运行结果：

Global optimal solution found.

Objective value: 27927.50

Extended solver steps: 0

Total solver iterations: 0

Variable Value Reduced Cost

X( 1) 2.000000 -1139.000

X( 2) 4.000000

-1056.000

X( 3) 5.000000

-727.5000

X( 4) 3.000000

-1265.000

X( 5) 2.000000

-1160.000

X( 6) 2.000000

-714.0000

X( 7) 3.000000

-1840.000

X( 8) 3.000000 -1575.000