高考数学一轮复习 14.4 不等式选讲精品教学案(学生版)新人教版

2013年高考数学一轮复习精品教学案14.4 不等式选讲（新课标人教
版，学生版）
【考纲解读】
1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：
① a b a b +≤+. ② a b a c c b -≤-+-.
2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：
;;.ax b c ax b c x a x b c +≤+≥-+-≥
3．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．
【考点预测】
高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:
1.不等式选讲是历年来高考重点内容之一,在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，难度不大，又经常与其它知识结合，在考查基础知识的同时，考查转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力.
2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持在选择题、填空题中考查,命题形式会更加灵活. 【要点梳理】
1. 含有绝对值的不等式的解法
(1)|f (x )|＞a (a ＞0)⇔f (x )＞a 或f (x )＜－a ； (2)|f (x )|＜a (a ＞0)⇔－a ＜f (x )＜a ；
(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．
2．含有绝对值的不等式的性质 |a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 3．基本不等式
定理1：设a ，b ∈R ，则a 2
＋b 2
≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a 、b 为正数，则
a ＋b
2
≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．
定理3：如果a 、b 、c 为正数，则
a ＋
b ＋c
3
≥3
abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．
定理4：(一般形式的算术－几何平均值不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，则
a 1＋a 2＋…＋a n n
≥n
a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．
4．柯西不等式
(1)柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立． (2)若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则(∑i ＝1
n
a 2i )(∑i ＝1
n
b 2i )≥(∑i ＝1
n
a i
b i )2，当且仅当
b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝k b i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．
(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．
5．不等式的证明方法
证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等． 【例题精析】
考点一 含绝对值不等式的解法
例1. (2012年高考江西卷理科15)在实数范围内，不等式|2x -1|+|2x +1|≤6的解集为___________. 【变式训练】
1. (2012年高考湖南卷理科10)不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为_______.
考点二 不等式的证明与柯西不等式
例2.（2012年高考江苏卷21）已知实数x ，y 满足：11|||2|36x y x y +<-<，，求证：5
||18
y <．
【变式训练】 2.
(2012
年高考湖北卷理科
6)设a,b,c,x,y,z 是正数，且
a 2
+b 2
+c 2
=10,x 2
+y 2
+z 2
=40,ax+by+cz=20,则
a b c
x y z
++=++( )
A.
14 B. 13 C. 12 D,34
【易错专区】 问题：综合应用
例. (2012年高考辽宁卷理科24)已知()|1|()f x ax a R =+∈，不等式()3f x 的解集为
{|2x -1x ｝.
(Ⅰ)求a 的值；
(Ⅱ)若|()2()|2
x f x f k -恒成立，求k 的取值范围.
【课时作业】
1.(2011年高考山东卷理科4)不等式|5||3|10x x -++≥的解集为（ ） （A ）[-5.7] （B ）[-4,6] （C ）(,5][7,)-∞-⋃+∞ （D ）(,4][6,)-∞-⋃+∞
2．（2010年高考陕西卷理科15）不等式323≥--+x x 的解集为____________. 3．(2011年高考辽宁卷24)（本小题满分10分）已知函数f （x ）=|x-2|-|x-5|. （I ）证明：-3≤f （x ）≤3；
（II ）求不等式f （x ）≥x 2
-8x+15的解集.
4. (2011年高考全国新课标卷理科24)（本小题满分10分） 选修4-5不等选讲 设函数0,3)(>+-=a x a x x f （1）当1=a 时，求不等式23)(+≥x x f 的解集；(2)如果不等式0)(≤x f 的解集为{}
1-≤x x ，求a 的值。

5.(2011年高考江苏卷21)（本小题满分10分）解不等式：|21|3x x +-<
6．(2011年高考福建卷理科21)（本小题满分7分）设不等式11-x 2＜的解集为M ． （I ）求集合M ；
（II ）若a ，b ∈M ，试比较ab+1与a+b 的大小．
7．（2010年高考福建卷理科21）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()||f x x a =-。

（Ⅰ）若不等式()3f x ≤的解集为{}|15x x -≤≤，求实数a 的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若()(5)f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。

8．（2010年高考江苏卷试题21）（本小题满分10分）
设a 、b 是非负实数，求证：3322()a b ab a b +≥
+。

【考题回放】
1. (2012年高考陕西卷文科15)若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围是
2．(2011年高考天津卷理科13)已知集合{}1|349,|46,(0,)A x R x x B x R x t t t ⎧⎫
=∈++-≤=∈=+-∈+∞⎨⎬
⎩⎭
，
则集
合
A B ⋂=________
3． (2011年高考江西卷理科15)对于实数x y ，,若11,21,21x y x y -≤-≤-+则的最大值为
4. (2011年高考广东卷理科9)不等式130x x +--≥的解集是______.
5．(2011年高考陕西卷理科15)若关于x 的不等式12a x x ≥++-存在实数解，则实数
a 的取值范围是
6.(2012年高考新课标全国卷24)（本小题满分10分）
已
知
函
数
()2f x x a x =++-
（1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；
（2）若()4f x x ≤-的解集包含[1,2]，求a 的取值范围。

7. (2012年高考福建卷理科21)（本小题满分7分）已知函数R m x m x f ∈--=|,2|)(，且0)2(≥+x f 的解集为]1,1[-。

（Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）若R c b a ∈,,，且
m c
b a =++31
211，求证：932≥++c b a 。