概率论知识点总结材料
概率论的知识点总结
概率论的知识点总结1.概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性的数学工具，其基本概念包括样本空间、事件和概率空间。
样本空间是随机试验的所有可能结果的集合，事件是样本空间的子集，概率空间包括样本空间和定义在样本空间上的概率测度。
2.概率分布概率分布描述了随机变量可能取值的概率情况。
概率分布分为离散分布和连续分布两种。
常见的离散分布包括伯努利分布、二项分布、泊松分布等；常见的连续分布包括均匀分布、正态分布、指数分布等。
概率密度函数和累积分布函数是描述连续分布的重要工具。
3.随机变量随机变量是一种具有随机性的变量，它可以取样本空间中的某些值。
随机变量分为离散随机变量和连续随机变量。
离散随机变量的概率分布由概率质量函数描述，连续随机变量的概率分布由概率密度函数描述。
4.数学期望和方差数学期望是随机变量的平均值，描述了随机变量的位置参数；方差是随机变量与其数学期望之间的离散程度，描述了随机变量的分散程度。
数学期望和方差是描述随机变量性质的重要指标，它们具有许多重要的性质，如线性性质、切比雪夫不等式等。
5.大数定律大数定律是描述随机变量序列平均值的收敛性质的定理。
大数定律包括弱大数定律和强大数定律两种。
弱大数定律描述了随机变量序列平均值收敛于数学期望的概率性质，强大数定律描述了随机变量序列平均值几乎必然收敛于数学期望的性质。
6.中心极限定理中心极限定理是概率论中一个重要的定理，描述了大量独立随机变量的和呈现出正态分布的性质。
中心极限定理包括林德伯格-莱维中心极限定理、李亥莱中心极限定理等。
中心极限定理在统计学和金融学中具有重要的应用价值，它解释了正态分布在自然界和人类活动中的普遍性。
以上是概率论的一些重要知识点，概率论作为一门基础数学学科，不仅具有重要的理论意义，而且在实际应用中有着广泛的应用价值。
随着数据科学和人工智能的快速发展，概率论的应用前景将更加广阔。
概率论知识点总结归纳
概率论知识点总结归纳概率论是数学中的一个分支，研究随机现象发生的规律性及其数学模型。
概率论广泛应用于统计学、金融、生物学等领域。
本文将对概率论的基本概念、概率计算方法、常见概率分布以及概率论在实际问题中的应用进行总结归纳。
一、基本概念1. 随机试验：在相同的条件下可以重复进行的实验，结果不确定。
2. 样本空间：随机试验所有可能结果的集合，用S表示。
3. 事件：由样本空间S的一个或多个元素构成的子集，表示试验结果的一个集合。
4. 概率：事件发生的可能性大小的度量，用P(A)表示。
二、概率计算方法1. 古典概型：指随机试验中每个基本事件发生的概率相等的情况。
计算概率时可以根据样本空间和事件个数进行计算。
2. 频率派概率：根据大量实验的频率来计算概率，概率等于事件发生的次数与试验次数之比的极限。
3. 主观概率：根据个人主观判断来计算概率，没有明确的计算方法。
三、常见概率分布1. 离散概率分布：表示随机变量在有限取值集合上的概率分布。
a. 伯努利分布：只有两个可能取值的离散概率分布。
b. 二项分布：多次伯努利试验的结果相加，每次试验相互独立。
c. 泊松分布：表示单位时间或空间内随机事件发生的次数的概率分布。
2. 连续概率分布：表示随机变量在一个区间上的概率分布。
a. 均匀分布：随机变量在一段区间上取值的概率相等。
b. 正态分布：最常见的连续概率分布，具有钟形曲线的特点。
四、概率论的应用1. 统计学：概率论是统计学的基础，通过概率论可以推导出统计学各种假设检验和置信区间的计算方法。
2. 金融学：概率论在金融学中被广泛应用，例如在风险管理、期权定价、投资组合构建等方面。
3. 生物学：概率论能够帮助解释生物学中的随机现象，如遗传、进化等过程中的概率计算。
4. 工程学：概率论可以用于工程问题的风险评估和可靠性分析，如工程结构的寿命预测等。
总结：概率论是研究随机现象的规律性及其数学模型的学科，它包括了基本概念、概率计算方法、常见概率分布以及在各个领域的应用。
大学概率论知识点总结
大学概率论知识点总结概率论是研究随机现象数量规律的数学分支，在大学数学中占据着重要的地位。
以下是对大学概率论中一些重要知识点的总结。
一、随机事件与概率1、随机事件随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。
例如，抛一枚硬币，正面朝上就是一个随机事件。
2、样本空间样本空间是随机试验的所有可能结果组成的集合。
3、事件的关系与运算包括包含、相等、并、交、差、互斥（互不相容）和对立等关系。
4、概率的定义概率是对随机事件发生可能性大小的度量。
古典概型中，概率等于有利事件的个数除以总事件的个数；几何概型中，概率等于几何度量（如长度、面积、体积等）的比值。
5、概率的性质包括非负性、规范性和可加性等。
二、条件概率与乘法公式1、条件概率在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率称为条件概率，记作 P(B|A)。
2、乘法公式P(AB) ＝ P(A)P(B|A)三、全概率公式与贝叶斯公式1、全概率公式如果事件组 B1，B2，，Bn 是样本空间的一个划分，且 P(Bi) ＞ 0（i ＝ 1, 2,， n），则对任意事件 A 有 P(A) ＝ΣP(Bi)P(A|Bi)2、贝叶斯公式在全概率公式的基础上，如果已知 P(A)，P(Bi) 和 P(A|Bi)，可以计算在事件 A 发生的条件下，事件 Bi 发生的概率 P(Bi|A)四、随机变量及其分布1、随机变量是定义在样本空间上的实值函数。
2、离散型随机变量其取值为有限个或可列个。
常见的离散型随机变量分布有：二项分布、泊松分布等。
3、连续型随机变量其取值可以是某个区间内的任意实数。
常见的连续型随机变量分布有：均匀分布、正态分布、指数分布等。
4、随机变量的分布函数F(x) ＝ P(X ＜＝ x)，具有单调不减、右连续等性质。
五、多维随机变量及其分布1、二维随机变量由两个随机变量组成。
2、联合分布函数F(x, y) ＝ P(X ＜＝ x, Y ＜＝ y)3、边缘分布包括边缘分布函数和边缘概率密度（离散型为边缘概率分布）。
概率知识点总结
概率知识点总结1、确定性现象：在一定条件下必然出现的现象。
2、随机现象：在一定条件下可能发生也可能不发生的现象。
3、概率论：是研究随机现象统计规律的科学。
4、随机试验：对随机现象进行的观察或实验统称为随机试验。
5、样本点：随机试验的每个可能出现的实验结果称为这个试验的一个样本点。
6、样本空间：所有样本点组成的集合称为这个试验的样本空间。
7、随机事件：如果在每次试验的结果中，某事件可能发生，也可能不发生，则这一事件称为随机事件。
8、必然事件：某事件一定发生，则为必然事件。
9、不可能事件：某事件一定不发生，则为不可能事件。
10、基本事件：有单个样本点构成的集合称为基本事件。
11、任一随机事件都是样本空间的一个子集，该子集中任一样本点发生，则该事件发生。
利用集合论之间的关系和运算研究事件之间的关系和运算。
〔1〕事件的包含A B⊂〔2〕事件的并〔和〕A B〔3〕事件的交〔积〕A B〔4〕事件的差A B A B-=-=AB A〔5〕互不相容事件〔互斥事件〕A Bφ=〔6〕对立事件〔互逆事件〕A B Ω=，A B φ=，记B A = 〔7〕完备事件组：事件12,,,n A A A 两两互不相容，且1n A A AΩ=〔8〕事件之间的运算规律：交换律、结合律、分配率、De Morgan 定理 12、概率()1P Ω=，()0P φ=如果12,,,n A A A 两两互不相容，则112()()()()n n P A AP A P P A A A =+++如果,A B 是任意两个随机事件，则()()()P A B P A P AB -=- 如果B A ⊂，则()()()P A B P A P B -=-()()()()P A B P A P B P AB =+-()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+ 1111121()()()()()()(1())()nn j i j i ni n j k n i i i j k nP A AP A P A P A P A P A P A P A A A A ≤<≤=-≤<<≤=-+--+∑∑∑12、古典概型每次试验中，所有可能发生的结果只有有限个，即样本空间是有限集 每次试验中，每一个结果发生的可能性相同()A P A =包含的基本事件数试验的基本事件总数13、条件概率：()(|)()P AB P A B P B =为事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率加法公式：()()()()P A B P A P B P AB =+-，若,A B 互斥，则()()()P A B P A P B =+乘法公式：()()(|)()(|)P AB P A P B A P B P A B ==，若,A B 独立，则()()()P AB P A P B = 全概率公式：1221()()(|)()(|)()(|)n n P A P B P A B P B P A B P B P A B =+++贝叶斯公式：11()()(|)(|)()()(|)()(|)k k k n n k P AB P B P A B P B A P A P B P A B P B P A B =+=+14、事件独立：如果(|)()P B A P B =，则称事件B 对于事件A 独立，此时，事件A 对于事件B 独立，称,A B 相互独立。
考研数学概率论重要考点总结
考研数学概率论重要考点总结概率论是考研数学中的重要考点之一。
下面是概率论中的一些重要考点总结。
一、概率基本概念1. 随机试验与样本空间2. 事件与事件的关系3. 概率的定义、性质和运算法则4. 条件概率及其性质二、随机变量与概率分布1. 随机变量的概念及其分类2. 离散型随机变量与连续型随机变量3. 随机变量的分布函数和密度函数4. 两个随机变量的独立性5. 随机变量的函数及其分布三、数学期望与方差1. 数学期望的概念及其性质2. 数学期望的计算3. 方差的概念及其性质4. 方差的计算5. 协方差和相关系数四、大数定律与中心极限定理1. 大数定律的概念及其性质2. 切比雪夫不等式3. 中心极限定理的概念及其性质4. 泊松定理5. 极限定理的应用五、随机变量的常见分布1. 二项分布、泊松分布2. 均匀分布、指数分布3. 正态分布4. 伽马分布、贝塔分布5. t分布、F分布、卡方分布六、矩母函数与特征函数1. 矩母函数的概念及性质2. 矩母函数的计算3. 特征函数的概念及性质4. 特征函数的计算5. 中心极限定理的特征函数证明七、样本与抽样分布1. 随机样本的概念及其性质2. 样本统计量的概念及其性质3. 样本均值和样本方差4. 正态总体抽样分布5. t分布，x^2分布，F分布的定义及其应用八、参数估计与假设检验1. 点估计的概念及性质2. 极大似然估计3. 置信区间的概念及计算4. 参数假设检验的概念及流程5. 正态总体均值的假设检验九、回归与方差分析1. 回归分析的概念及方法2. 多元回归模型、回归模型的检验3. 方差分析的概念及方法4. 单因素方差分析、双因素方差分析以上是概率论中的一些重要考点总结。
在备考过程中，需要对这些知识点有一定的掌握，并进行大量的练习和习题训练，只有充分理解和掌握这些知识，并能运用到实际问题中，才能在考试中取得好成绩。
(完整版)概率论知识点总结
概率论知识点总结第一章 随机事件及其概率第一节 基本概念随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E 表示。
随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。
不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。
必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。
样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω.样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间. 样本空间用Ω表示.一个随机事件就是样本空间的一个子集。
基本事件—单点集，复合事件—多点集 一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。
事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）包含关系：若事件 A 发生必然导致事件B 发生，则称B 包含A ，记为A B ⊇或B A ⊆。
相等关系：若A B ⊇且B A ⊆，则称事件A 与事件B 相等，记为A ＝B 。
事件的和：“事件A 与事件B 至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A 与事件B 的和事件。
记为 A ∪B 。
事件的积：称事件“事件A 与事件B 都发生”为A 与B 的积事件，记为A∩ B 或AB 。
事件的差：称事件“事件A 发生而事件B 不发生”为事件A 与事件B 的差事件,记为 A －B 。
用交并补可以表示为B A B A =-。
互斥事件：如果A ，B 两事件不能同时发生，即AB ＝Φ，则称事件A 与事件B 是互不相容事件或互斥事件。
互斥时B A ⋃可记为A ＋B 。
对立事件：称事件“A 不发生”为事件A 的对立事件（逆事件），记为A 。
对立事件的性质：Ω=⋃Φ=⋂B A B A ,。
事件运算律：设A ，B ，C 为事件，则有 （1）交换律：A ∪B=B ∪A ，AB=BA（2）结合律：A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C=A ∪B ∪C A(BC)=(AB)C=ABC（3）分配律：A ∪(B∩C)＝(A ∪B)∩(A ∪C) A(B ∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB ∪AC （4）对偶律（摩根律）：B A B A ⋂=⋃ B A B A ⋃=⋂第二节 事件的概率 概率的公理化体系： （1）非负性：P(A)≥0； （2）规范性：P(Ω)＝1（3）可数可加性： ⋃⋃⋃⋃n A A A 21两两不相容时++++=⋃⋃⋃⋃)()()()(2121n n A P A P A P A A A P概率的性质： （1）P(Φ)＝0（2）有限可加性：n A A A ⋃⋃⋃ 21两两不相容时)()()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=⋃⋃⋃当AB=Φ时P(A ∪B)＝P(A)＋P(B) （3）)(1)(A P A P -=（4）P(A －B)＝P(A)－P(AB)（5）P （A ∪B ）＝P(A)＋P(B)－P(AB)第三节 古典概率模型1、设试验E 是古典概型, 其样本空间Ω由n 个样本点组成,事件A 由k 个样本点组成.则定义事件A 的概率为nk A P =)( 2、几何概率：设事件A 是Ω的某个区域，它的面积为 μ(A)，则向区域Ω上随机投掷一点，该点落在区域 A 的概率为)()()(Ω=μμA A P 假如样本空间Ω可用一线段，或空间中某个区域表示，则事件A 的概率仍可用上式确定，只不过把μ理解为长度或体积即可.第四节 条件概率条件概率：在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率称为条件概率，记作 P(A|B).)()()|(B P AB P B A P =乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B)＝P(A)P(B|A)全概率公式：设n A A A ,,,21 是一个完备事件组，则P(B)=∑P(i A )P(B|i A ) 贝叶斯公式：设n A A A ,,,21 是一个完备事件组,则∑==)|()()|()()()()|(jj i i i i A B P A P A B P A P B P B A P B A P第五节 事件的独立性两个事件的相互独立：若两事件A 、B 满足P(AB)= P(A) P(B)，则称A 、B 独立，或称A 、B 相互独立.三个事件的相互独立：对于三个事件A 、B 、C ，若P(AB)= P(A) P(B)，P(AC)= P(A)P(C)，P(BC)= P(B) P(C)，P(ABC)= P(A) P(B)P(C)，则称A 、B 、C 相互独立三个事件的两两独立：对于三个事件A 、B 、C ，若P(AB)= P(A) P(B)，P(AC)= P(A)P(C)，P(BC)= P(B) P(C)，则称A 、B 、C 两两独立独立的性质：若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 均相互独立总结：1.条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。
概率的全部知识点总结
概率的全部知识点总结一、定义概率是指某一随机现象发生的可能性大小的度量。
通常用P(A)表示事件A发生的概率。
概率的取值范围是0到1之间，即0 ≤ P(A) ≤ 1。
当概率为0时，表示事件不可能发生；当概率为1时，表示事件一定发生；当概率为0.5时，表示事件发生的可能性为50%。
二、事件在概率论中，事件是指随机试验的某一结果，用大写字母A、B、C等表示。
事件可以包含一个或多个基本事件，基本事件是随机试验的最小基本单位，用小写字母a、b、c等表示。
例如，掷一枚硬币的结果可以是正面（基本事件H）或反面（基本事件T），而事件可以是“出现正面”或“出现反面”。
三、概率的性质1. 非负性：对任意事件A，有P(A) ≥ 0。
2. 规范性：对样本空间Ω中的事件，有P(Ω) = 1。
3. 互斥事件的加法规则：对互斥事件A和B，有P(A ∪ B) = P(A) + P(B)。
4. 对立事件的性质：对对立事件A和A'，有P(A) + P(A') = 1。
四、古典概率古典概率是指在样本空间有限且等可能的情况下，根据事件发生的可能性来计算概率。
例如，掷一枚硬币得到正面的概率为1/2，掷一个骰子得到点数为3的概率为1/6。
古典概率的计算公式为P(A) = n(A) / n(Ω)，其中n(A)表示事件A包含的基本事件个数，n(Ω)表示样本空间Ω中基本事件的总数。
五、条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
条件概率的计算公式为P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A)，表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
条件概率的性质包括P(B|A) ≥ 0，P(B|A)P(A) = P(A ∩ B) = P(A|B)P(B)，以及全概率公式和贝叶斯公式等。
六、贝叶斯公式贝叶斯公式是根据条件概率和全概率公式推导出来的一种计算概率的方法。
贝叶斯公式的计算公式为P(A|B) = P(B|A)P(A) / P(B)，表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
概率知识点归纳整理总结
概率知识点归纳整理总结概率基础知识1. 样本空间和事件概率论的基本概念是样本空间和事件。
样本空间是一个随机试验所有可能结果的集合，通常用Ω表示。
事件是样本空间的一个子集，表示随机试验的一些结果。
事件的概率描述了该事件发生的可能性有多大。
2. 概率的定义在样本空间Ω中，事件A包含n(A)个基本事件，概率P(A)定义为P(A)=n(A)/n(Ω)，即事件A的发生可能性是A包含的基本事件数目与样本空间的基本事件数目之比。
3. 概率的性质概率具有以下几个性质：（1）非负性：对于任意事件A，有0≤P(A)≤1；（2）规范性：样本空间的概率为1，即P(Ω)=1；（3）可列可加性：若事件A1，A2，A3，...两两互斥，则P(A1∪A2∪A3∪...)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+...。
4. 条件概率条件概率是指在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，表示为P(A|B)，其定义为P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。
5. 独立事件两个事件A和B称为独立事件，当且仅当P(A∩B)=P(A)P(B)。
6. 贝叶斯定理贝叶斯定理是用来计算逆概率的定理，它表示为P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B)。
概率的应用1. 排列与组合排列和组合是概率论的一个重要应用。
排列是指从n个不同元素中取出m个元素进行排列的种数，用P(n,m)表示，其公式为P(n,m)=n!/(n-m)!。
组合是指从n个不同元素中取出m个元素进行组合的种数，用C(n,m)表示，其公式为C(n,m)=n!/(m!(n-m)!）。
2. 事件的独立性在概率论中，独立性是一个重要的概念。
事件A和事件B称为独立事件，如果P(A∩B)=P(A)P(B)，即事件A的发生与事件B的发生互不影响。
在实际应用中，很多情况下要求两个事件的独立性，以便于计算事情发生的可能性。
3. 随机变量随机变量是概率论中的一个重要概念，它是一个从样本空间到实数的映射。
随机变量可分为离散型和连续型两种。
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概率论总结目录一、前五章总结第一章随机事件和概率 (1)第二章随机变量及其分布 (5)第三章多维随机变量及其分布 (10)第四章随机变量的数字特征 (13)第五章极限定理 (18)二、学习概率论这门课的心得体会 (20)一、前五章总结第一章随机事件和概率第一节：1.、将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用E表示。
在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。
不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。
必然事件：在试验中必然出现的事情，记为S或Ω。
2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e 或ω. 全体样本点的集合称为样本空间. 样本空间用S或Ω表示. 一个随机事件就是样本空间的一个子集。
基本事件—单点集，复合事件—多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。
事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。
3、定义：事件的包含与相等若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为B⊃A或A⊂B。
若A⊂B且A⊃B则称事件A与事件B相等，记为A＝B。
定义：和事件“事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A与事件B的和事件。
记为A∪B。
用集合表示为: A∪B={e|e∈A，或e∈B}。
定义：积事件称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩B或AB，用集合表示为AB={e|e∈A且e∈B}。
定义：差事件称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B的差事件,记为A－B,用集合表示为 A-B={e|e∈A，e∉B} 。
定义：互不相容事件或互斥事件如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A与事件B是互不相容事件或互斥事件。
定义6：逆事件/对立事件称事件“A不发生”为事件A的逆事件，记为Ā。
A与Ā满足：A∪Ā= S,且AĀ=Φ。
运算律：设A，B，C为事件，则有（1）交换律：A∪B=B∪A，AB=BA（2）结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪CA(BC)=(AB)C=ABC（3）分配律：A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)A(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB∪AC（4）德摩根律：BA=AB=ABAB小结：事件的关系、运算和运算法则可概括为 四种关系：包含、相等、对立、互不相容； 四种运算：和、积、差、逆；四个运算法则：交换律、结合律、分配律、对偶律。
第二节：1、 设试验E 是古典概型, 其样本空间S 由n 个样本点组成 , 事件A由k 个样本点组成 . 则定义事件A 的概率为：P(A)＝k/n ＝A 包含的样本点数/S 中的样本点数。
2、 几何概率：设事件A 是S 的某个区域，它的面积为 μ(A )，则向区域S 上随机投掷一点，该点落在区域A 的概率为：P （A ）=μ（A ）/μ（S ） 假如样本空间S 可用一线段，或空间中某个区域表示，并且向S 上随机投掷一点的含义如前述，则事件A 的概率仍可用（*）式确定，只不过把 理解为长度或体积即可. 概率的性质： （1）P(φ)=0, （2）（3）（4） 若A ⊂B ，则P(B-A)=P(B)-P(A), P(B) ≥ P(A).第四节：条件概率：在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率称为A 对B 的条件概率，记作P (A |B ).而条件概率P (A |B )是在原条件下又添加“B 发生”这个条件时A 发生的可能性大小，即P (A |B )仍是概率.()∑∞=∞==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11m m P P ΦΦ ();,,,,2,1,,,11∑===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≠=nk k n k k j i A P A P j i n j i A A 则两两互不相容，),(1)(A P A P -=()()B P AB P B A P =)|(乘法公式： 若P (B )>0,则P (AB )=P (B )P (A |B ) P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A)全概率公式：设A 1,A 2,…,A n 是试验E 的样本空间Ω的一个划分，且P (A i )>0，i =1,2,…,n , B 是任一事件, 则贝叶斯公式：设A 1,A 2,…,A n 是试验E 的样本空间Ω的一个划分，且P (A i )>0，i =1,2,…,n , B 是任一事件且P (B )>0, 则第五节 ：若两事件A 、B 满足P (AB )= P (A ) P (B ) 则称A 、B 独立，或称A 、B 相互独立. 将两事件独立的定义推广到三个事件： 对于三个事件A 、B 、C ，若 P (AC )= P (A )P (C ) P (AB )= P (A )P (B )P (ABC )= P (A )P (B )P (C ) P (BC )= P (B )P (C ) 四个等式同时 成立,则称事件 A 、B 、C 相互独立.第六节：定理 对于n 重贝努利试验，事件A 在n 次试验中出现k 次的概率为 总结：1. 条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。
2. 乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用，请牢固掌握。
3. 独立性是概率论中的最重要概念之一，亦是概率论特有的概念，应正确理解并应用于概率的计算。
4. 贝努利概型是概率论中的最重要的概型之一，在应用上相当广泛。
第二章：随机变量及其分布1 、随机变量：分为离散型随机变量和连续型随机变量。
分布函数：设 X 是一个 r.v ，x 为一个任意实数，称函数∑==n i i i A B P A P B P 1)()()(｜∑==nj jji i i A B P A P A B P A P B A P 1)()()()()|(｜｜pq n k qp C k P kn k k n n -===-1,,,1,0)(F(X)=P （X ≤x ）为 X 的分布函数。
X 的分布函数是F(x)记作 X ～ F(x) 或 F X (x).如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x) 的值就表示 X 落在区间 （x ≤X ）。
3、 离散型随机变量及其分布定义1 ：设x k (k =1,2, …)是离散型随机变量X 所取的一切可能值，称等式P(X=x k )=P K ,为离散型随机变量X 的概率函数或分布律，也称概率分布. 其中P K,≥0；ΣP k =1分布律与分布函数的关系：（1）已知随机变量X 的分布律，可求出X 的分布函数： ①设一离散型随机变量X 的分布律为 P{X=x k }=p k (k=1，2，…)由概率的可列可加性可得X 的分布函数为②已知随机变量X 的分布律, 亦可求任意随机事件的概率。
（2）已知随机变量X 的分布函数，可求出X 的分布律：一、 三种常用离散型随机变量的分布 . 1（0－1）分布：∑∑≤≤===≤=xx kxx k k k px F x XP x X P x F )(}{}{)(即,3,2,1)0()(}{=--==k x F x F x X P k k k设随机变量X 只可能取0与1两个值，它的分布律为 P{X=k}=p k (1-p)1-k , k=0，1. (0<p<1)则称X 服从（0－1）分布,记为X ~（0－1）分布。
（0－1）分布的分布律用表格表示为：X 0 1P 1-p p 易求得其分布函数为2.二项分布（binomial distribution)： 定义：若离散型随机变量X 的分布律为其中0<p<1,q=1-p,则称X 服从参数为n,p 的二项分布，记为X ~B(n,p).4、 泊松分布的定义及图形特点 设随机变量X 所有可能取的值为0 , 1 , 2 , … , 且概率分布为： 其中 入 >0 是常数,则称 X 服从参数为 入 的泊松分布,记作X ~P (入).、 连续型随机变量 1概率密度f(x)的性质 （1）f(x)≥0 （2） (3).X 落在区间(x 1，x 2)的概率 几何意义：X 落在区间(x 1，x 2)的概率P{x 1<X ≤x 2}等于区间(x 1，x 2)上曲线y=f(x)之下的曲边梯形的面积． (4).若f(x)在点x 处连续，则有F ′(x)=f(x)。
．概率密度f(x )与分布函数F(x )的关系：(1)若连续型随机变量X 具有概率密度f(x )，则它的分布函数为 (2)若连续型随机变量X 的分布函数为F(x )，那么它的概率密度为f(x )=F ′(x ).注意：对于F(x )不可导的点x 处，f(x )在该点x 处的函数值可任意给出。
⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-<=110100)(x p x p x x F {}nk qp C k X P kk k n ,,1,01 ===-,,,,,!)( 210===-k k ek X P kλλ1)(=⎰∞+∞-dt t f {}⎰=-=≤<21)()()(1221x xdxx f x F x F x X x P dtt f x F x ⎰∞-=)()(三种重要的连续型分布：1．均匀分布(Uniform Distribution) 设连续随机变量X 具有概率密度 则称X 在区间(a ，b)上服从均匀分布，记为X ~U(a ，b).若X ~U(a ，b)，则容易计算出X 的分布函数为2. 指数分布入>0则称 X 服从参数为 入的指数分布.常简记为 X~E( 入)指数分布的分布函数为 指数分布的一个重要特性是”无记忆性”.设随机变量X 满足：对于任意的s>o ，t>0,有 则称随机变量X 具有无记忆性。
3. 正态分布若r.v X 的概率密度为其中μ和 都是常数， 任意，μ >0，则称X 服从参数为 μ 和 的正态分布. 记作f (x )所确定的曲线叫作正态曲线.的正态分布称为标准正态分布.标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.随机变量函数的分布⎩⎨⎧<≥=-000)(x x e x f xλλ2σ2σ),(~2σμN X 1,0==σμ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他1)(bx a ab x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤--<=bx b x a a b a x a x x F 1)(⎩⎨⎧≤>-=-001)(x x e x F xλ{}{}t X P s X t s X P ≥=≥+≥|∞<<∞-=--x e x f x ,)()(22221σμπσ设X 为连续型随机变量，具有概率密度f x (x)，求Y=g(X) （g 连续）的概率密度。