chap3章

第3章随机变量
3.1 随机变量
1. 是随机事件概念的数量化----根据试验结果取值
例1 口袋中有六个球，依次标有数字：－1,2,2,2,3,3,从口袋中任取一球，问取到球的数字是多少？
用x表示被取到球的数字，那么x是一个变量，依赖于基本事件，称为随机变量。

随机变量是基本事件的函数，自变量是基本事件，事件带有随机性。

2. 定义（随机变量）
并不是定义在基本空间上的任何函数都可以作为随机变量，而是要满足一定的要求，这就是书本上的定义（P39）
对于例1，取x=2，则{w: ξ(w)<x}={取到“－1”号球}
随机变量的表示：
随机变量取值的表示：
3.2分布函数
对于随机变量，不仅关心它取哪些数值，更关心，以多大的概率取那些值。

定义（分布函数）P39
分布函数的性质 (1)单调不减性。

若21x x <, 则 )()(21x F x F ≤．
(2) ;0)()(lim =-∞=∞-→F x F x ;1)()(l i m =+∞=∞
+→F x F x (3)左连续性。

对任意实数0x ，有
)()0()(lim 000
0x F x F x F x x =-=-→
3.3 离散型随机变量
分布列 ⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛ n n p p p x x x 2121 满足分布列的两个条件：(1) ),3,2,1(,0 =≥i p i
(2) 11
=∑∞
=i i
P
与分布函数的关系
∑∑<<===<=x
x i
x
x i i i p x P x P x F )()()(ξξ
堂上作业：
用X 表示例1中取到球的数字，求X 的分布和分布函数 两点分布： 退化分布： 3.4二项分布 1. 分布律
如果随机变量ξ有上述的分布律，记为~(,)
B n p ξ（ξ服从二项概率分布）
2. 定理
事件A 至少发生1次的概率是
(1)1(0;,)1
n P b n p q ξ≥=-=- 例3-3
已知发射一枚地对空导弹可“击中”来犯敌机的概率是0.96，问在同样条件下需发射多少枚导弹才能保证至少有一枚导弹击中敌机的概率大于0.999?
3. 最有可能的取值
（1）当(n+1)p 恰为正整数，记为k0, 则00(;,)(1;,)b k n p b k n p =-同为二项分布概率的最大值；
（2）当(n+1)p 不是整数时，记0((1))k ent n p =+，则0(;,)b k n p 为二项分布概率的最大值。

例3-4 （渔佬问题）
4．泊松分布
可作为二项分布的近似，
解：（1）用X表示同一时刻发生故障的设备数，。

（2）用Y表示同一时刻发生故障的设备数，。

5．几何分布
某人在一次考试中得5分的概率是p，X是第1次考取5分所需考试次数，求X的分布。

作业：P53 3-4, 3-7, 3-10, 3-12
3.4 一维连续型随机变量
2．几何意义
分布函数的导函数（在连续点上）就是其密度， 即 ()()d
f x F x dx
=
()()()()b
a P a
b f x dx F b F a ξξ<≤==-⎰ 4． 几个结论
（1） 连续型随机变量的分布函数是连续函数
（2） 若定义在（－∞，＋∞）上的可积函数f (x )满足f (x )≥0，
f (x )在（－∞，＋∞）上的的积分等于1，
则可证明()()x
F x f t dt -∞=⎰是一个分布函数，f (
x )是一个分布密度。

例 3-8 P47
设已知连续型随机变量X 的密度函数是
)(1)(2
∞<<-∞+=
x x a
x f
（1）确定a 的值(根据分布函数性质确定常数)。

（2）求 X 的分布函数F(x ) (根据分布密度求分布函数)。

（3）求概率)1(2>X P . (计算概率) 5. 例 验证（均匀分布）P48
3.5 正态分布1．定义
22
()/2
()x
f x x
μσ
--
=-∞<<∞说明2
~(,)
X Nμσ
2．正态分布曲线的特点
（图形特点）
3．标准正态分布
2
2
()
x
x
ϕ-
=
()()
x x
ϕϕ
-=
2/2
()()
z
x
z P Z z dx
-
Φ=≤==
⎰
Figure 4.3.1 The normal probability density
()1()z z Φ-=-Φ
4．计算服从正态分布的随机落在指定区间的概率 标准正态的计算 ~(0,1)Z N
一般正态的计算
应用例子： P48例3-9
（1）先求“误差绝对值超过19.6”的概率
（2）再求在100次独立测量中，（1）发生的次数不少于3的概率 5．3σ规则
2~(, )X N μσ, find ()P X μσμσ-<<+,
(2
2)P X μσμσ-<<+, (33)P X μσμσ-<<+ P=0.6826, P=0.9544, P=0.9974
堂上练习 P54, 21,
作业P54
16，18，19，20，22
指数分布
例3-7 （P46）到某服务窗口办事需要排队等候，若等待时间X服从指数分布，其密度为
求（1）有2次愤然离去的概率；
（2）最多有2次愤然离去的概率；
（3）至少有2次愤然离去的概率。

3.6 一维随机变量函数的分布
我们知道，在)(x
y=中, y是x的函数。

f
如果ξ是一随机变量，那么 )(ξηf =是随机变量的函数，如果f (x )连续、分段连续或单调，则η也是随机变量。

如何通过ξ的分布，求η的分布。

1．离散型情形 若ξ的概率分布为
则()g ηξ=的分布为
如果g(xi)有相等，需要把它们并项。

例3-5
已知ξ的分布律，
求2ξη=、12+=ξζ、1+=ξϕ的分布。

解 由ξ的分布可列出
（分析：η的可能取值，取指定值的概率）
于是2ξη=的分布为
2．连续型情形
例3-6 P55
解 （先求分布函数，通过求导得到密度函数
复习 分布函数与分布密度函数的关系）
设η的分布函数为)(y F η.
当a > 0时， ()()()F y P y P a b y ηηξ=<=+<
()()y b a y b P t dt a
ξξϕ--∞-=<=⎰ (
)y u b du a ξϕ-∞-=⎰ （u =at +b ） 于是
1()()d y b y F y d y a a ηηξϕϕ-⎛⎫== ⎪⎝⎭
当a < 0时,
()()()F y P y P a b y ηηξ=<=+<=….
例
应用上述公式 … ...
例 解 因为η只取非负值，所以当0y ≤时， 2()()()0
F y
P y P y η
ηξ=<=<= 当0y >时 2()()())F y P
y P y y y
ηηξξ=<
=<=
2222012()t t t dt e dt dt ξ
--===
2200u u y
y e
--
==⎰ 所以
20,0()0,0u y y F
y y η-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩
⎰ 122,0()0,0y y y y y ηϕ--⎧>=≤⎩
作业P55
23，25，26，27, 28。