北师版九年级下数学第三章随堂练习34
3.9弧长及扇形的面积-2020-2021学年北师大版九年级数学下册同步测试
北师大版九年级数学下册第三章 3.9 弧长及扇形的面积同步测试(原卷版) 一．选择题1.在半径为6的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是（）A．π B．2π C．4π D．6π2．如图，四边形ABCD内接于半径为9的⊙O，∠ABC＝110°，则劣弧AC的长为（）A．7πB．8πC．9πD．10π3.若扇形面积为3π，圆心角为60°，则该扇形的半径为（）A．3 B．9 C．．4.如图1，水平地面上有一面积为30π平方厘米的灰色扇形OAB，其中OA的长度为6厘米，且与地面垂直．若在没有滑动的情况下，将图1的扇形向右滚动至OB垂直地面为止，如图2所示，则O点移动（）厘米．A．20 B．24 C．10π D．30π5．如图，已知P是半径为3的⊙A上一点，延长AP到点C，使AC＝4，以AC为对角线作▱ABCD，AB＝4，⊙A交边AD于点E，当▱ABCD面积为最大值时，的长为（）A．πB．πC．πD．3π6．如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°至矩形AEFG，点D的旋转路径为，若AB＝2，BC＝4，则阴影部分的面积为（）A．B．C．D．7.如图，△ABC是等边三角形，AC=6，以点A为圆心，AB长为半径画弧DE，若∠1=∠2，则弧DE的长为（）A．1π B．1.5π C．2π D．3π8．如图，5×3的网格图中，每个小正方形的边长均为1，设经过图中格点A，C，B三点的圆弧与AE交于H，则弧AH的弧长为（）A．πB．πC．πD．π9.如图，四边形OCBA是菱形，点A、B在以点O为圆心的圆弧DE上，若AO=3，∠COE=∠DOA，则扇形ODE的面积为（）A．23π B．2π C．2.5 π D．3π10．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O，以B为圆心、BC长为半径画弧，交AB于点F，若点O恰好在圆弧上，且AB＝6，则阴影部分的面积为（）A．18﹣6πB．54﹣18πC．36﹣6πD．27﹣9π11．如图一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则图中阴影部分的面积为（）A．﹣4B．4﹣C．﹣8D．9﹣3π12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AD是∠BAC的平分线，经过A，D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与AB、AC相交于点E、F．若圆半径为2．则阴影部分面积（）A．B．C．D．二．填空题13．一个扇形的半径为6，弧长为3π，则此扇形的圆心角为度．14．一个扇形的圆心角为60°，半径为3，则此扇形的弧长是．15.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则AB的长为16．如图，AB是半圆O的直径，AC＝，∠BAC＝30°，则的长为．17．如图，平行四边形ABCD中，∠A＝60°，CD＝4，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AD边于点E，以点B为圆心，BE的长为半径画弧交BC边于点F，则阴影部分的面积为．18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠BCD＝30°，CD＝2，＝．则阴影部分面积S阴影19．如图，已知⊙O的半径是3，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为．20．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥AO，若OA＝6，则阴影部分的面积为．三.解答题21.如图，一只狗用皮带系在10×10的正方形狗窝的一角上，皮带长为14，在狗窝外面狗能活动的范围面积是多少？22．如图，A、B、C三点在半径为1的⊙O上，四边形ABCO是菱形，求的长．23.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，∠BAD=120°，AB=AD．（1）求证：四边形ABCD是等腰梯形；（2）已知AC=6，求阴影部分的面积．24．如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连结AE交⊙O于点F，连结BF并延长交CD于点G．（1）求证：△ABE≌△BCG；（2）若∠AEB＝55°，OA＝3，求劣弧的长．（结果保留π）25．如图，已知Rt△ABC中，∠A＝90°，将斜边BC绕点B顺时针方向旋转至BD，使BD∥AC，过点D作DE⊥BC于点E．（1）求证：△ABC≌△EDB；（2）若CD＝BD，AC＝3，求在上述旋转过程中，线段BC扫过的面积．26．如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，AD＝DB，AC与BD 交于点E，且AE＝BC．（1）求证：AB＝CB；（2）如图2，△ABC绕点C逆时针旋转35°得到△FGC，点A经过的路径为弧AF，若AC＝4，求图中阴影部分的面积．北师大版九年级数学下册第三章 3.9 弧长及扇形的面积 同步测试(解析版)一．选择题1.在半径为6的⊙O 中，60°圆心角所对的弧长是（ ）A ．πB ．2πC ．4πD ．6π 606180180n rl ππ=2π． 2．如图，四边形ABCD 内接于半径为9的⊙O ，∠ABC ＝110°，则劣弧AC 的长为（ ）A ．7πB ．8πC ．9πD ．10π解：连接OA 、OC ，∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠D+∠ABC ＝180°，∵∠ABC＝110°，∴∠D＝70°，∴由圆周角定理得：∠AOC＝2∠D＝140°，∴劣弧AC的长为＝7π，故选：A．3.若扇形面积为3π，圆心角为60°，则该扇形的半径为（）A．3 B．9 C．．解：扇形的面积=260360r =3π．解得：．故选D．4.如图1，水平地面上有一面积为30π平方厘米的灰色扇形OAB，其中OA的长度为6厘米，且与地面垂直．若在没有滑动的情况下，将图1的扇形向右滚动至OB垂直地面为止，如图2所示，则O点移动（）厘米．A．20 B．24 C．10π D．30π解：点O移动的距离为扇形的弧长，根据面积公式求出弧长，即30π=12×l×6，解得l=10π．故选C．5．如图，已知P是半径为3的⊙A上一点，延长AP到点C，使AC＝4，以AC为对角线作▱ABCD，AB＝4，⊙A交边AD于点E，当▱ABCD面积为最大值时，的长为（）A．πB．πC．πD．3π解：如图，作CF⊥AB于F．∵四边形ABCD是平行四边形，∴S＝AB•CF，平行四边形ABCD∵AB是定值，∴CF定值最大时，平行四边形ABCD的面积最大，∵CF≤AC，∴当AC⊥AB时，平行四边形ABCD的面积最大，此时tan∠ACB＝＝，∴∠ACB＝60°，∵BC∥AD，∴∠DAC＝∠ACB＝60°，∴的长＝＝π，故选：B．6．如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°至矩形AEFG，点D的旋转路径为，若AB＝2，BC＝4，则阴影部分的面积为（）A．B．C．D．解：如图，设与EF交于H，连接AH，∵四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，∴AH＝AD＝BC＝4，∴∠AHE＝∠GAH＝30°，∵AE＝AB＝2，∴HE＝2，∴阴影部分的面积＝S扇形AHG +S△AHE＝+×2×2＝+2，故选：D．7.如图，△ABC是等边三角形，AC=6，以点A为圆心，AB长为半径画弧DE，若∠1=∠2，则弧DE的长为（）A．1π B．1.5π C．2π D．3π解：∵△ABC是等边三角形，AC=6，∴AB=AC=6，∠CAB=60°．∵∠1=∠2，62180ππ， 8．如图，5×3的网格图中，每个小正方形的边长均为1，设经过图中格点A ，C ，B 三点的圆弧与AE 交于H ，则弧AH 的弧长为（ ）A ．πB ．πC ．πD ．π 解：连接EB ，BH ，AB ，∵BE ＝AB ＝＝，AE ＝＝，∴BE 2+AB 2＝AE 2，∴∠ABE ＝90°，∴△ABE 是等腰直角三角形，∵∠ACB ＝90°，∴AB 是圆的直径， ∴∠AHB ＝90°， ∴BH ⊥AH ，∴∠ABH ＝∠BAH ＝45°，∴弧AH 所对的圆心角为90°，∴的长＝＝．故选：B ．9.如图，四边形OCBA 是菱形，点A 、B 在以点O 为圆心的圆弧DE 上，若AO=3，∠COE=∠DOA ，则扇形ODE 的面积为（ ）A ．23π B ．2π C ．2.5 π D ．3π9360=3π．10．如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O ，以B 为圆心、BC 长为半径画弧，交AB 于点F ，若点O 恰好在圆弧上，且AB ＝6，则阴影部分的面积为（ ）A．18﹣6πB．54﹣18πC．36﹣6πD．27﹣9π解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6，∠DCB＝90°，AC＝BD，OC＝AC，OB＝BD，∴OB＝OC，∵BC＝OB，∴△OBC是等边三角形，∴∠CBO＝60°，BC＝BO，即AC＝2BC，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2，（6）2+BC2＝（2BC）2，解得：BC＝6，∴阴影部分的面积＝S△BCD ﹣S扇形BOC＝﹣＝18﹣6π，故选：A．11．如图一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则图中阴影部分的面积为（）A．﹣4B．4﹣C．﹣8D．9﹣3π解：由折叠可知，S弓形AD ＝S弓形OD，DA＝DO，∵OA＝OD，∴AD＝OD＝OA，∴△AOD为等边三角形，∴∠AOD＝60°，∠DOB＝30°，∵AD＝OD＝OA＝4，∴CD＝2，∴S弓形AD ＝S扇形ADO﹣S△ADO＝﹣＝，∴S弓形OD＝，阴影部分的面积＝S扇形BDO ﹣S弓形OD＝﹣（）＝4﹣，故选：B．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AD是∠BAC的平分线，经过A，D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与AB、AC相交于点E、F．若圆半径为2．则阴影部分面积（）A．B．C．D．解：连接OD，OF．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠DAC，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠ODA＝∠DAC，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，∴S△AFD ＝S△OFA，∴S阴＝S扇形OFA，∵OD＝OA＝2，AB＝6，∴OB＝4，∴OB＝2OD，∴∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵OF＝OA，∴△AOF是等边三角形，∴∠AOF＝60°，∴S阴＝S扇形OFA＝＝．故选：C．二．填空题13．一个扇形的半径为6，弧长为3π，则此扇形的圆心角为90 度．解：设这个扇形的圆心角为n°，则＝3π，解得，n＝90，故答案为：90．14．一个扇形的圆心角为60°，半径为3，则此扇形的弧长是π．解：∵一个扇形的圆心角为60°，半径为3，∴此扇形的弧长是＝π，故答案为：π．15.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则AB的长为解：∵ABCDEF 为正六边形，∴∠AOB=360°÷ 6 =60°，AB 的长为601803ππ．故答案为：3π．16．如图，AB 是半圆O 的直径，AC ＝，∠BAC ＝30°，则的长为 ．解：如图，连接BC ．∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠A ＝30°，∴∠B ＝60°，∵OC ＝OB ，∴△OBC 是等边三角形，∵BC ＝AC •tan ∠BAC ＝1，∴OC ＝OB ＝1，∠BOC ＝60°，∴的长＝＝，故答案为．17．如图，平行四边形ABCD中，∠A＝60°，CD＝4，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AD边于点E，以点B为圆心，BE的长为半径画弧交BC边于点F，则阴影部分的面积为4．解：如图连接BE，EF．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A+∠ABC＝180°，∵∠A＝60°，∴∠ABC＝120°，∵AE＝AB，∴△ABE是等边三角形，∴∠ABE＝∠EBF＝60°，∵BE＝BF，∴△EBF是等边三角形，∵S阴＝S△BEF＝×42＝4，故答案为4．18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠BCD＝30°，CD＝2，则阴影部分面积S阴影＝．解：连接OC．∵AB⊥CD，∴＝，CE＝DE＝，∴∠COB＝∠BOD，∵∠BOD＝2∠BCD＝60°，∴∠COB＝60°，∵OC＝OB＝OD，∴△OBC，△OBD都是等边三角形，∴OC＝BC＝BD＝OD，∴四边形OCBD是菱形，∴OC∥BD，∴S△BDC ＝S△BOD，∴S阴＝S扇形OBD，∵OD＝＝2，∴S阴＝＝，故答案为．19．如图，已知⊙O的半径是3，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为3π﹣．解：连接OB和AC交于点D，∵圆的半径为3，∴OB＝OA＝OC＝3，又四边形OABC是菱形，∴OB⊥AC，OD＝OB＝，在Rt△COD中利用勾股定理可知：CD＝＝，∴AC＝2CD＝3，∵sin∠COD＝，∴∠COD＝60°，∠AOC＝2∠COD＝120°，∴S菱形ABCO＝×3×3＝，S扇形AOC＝＝3π，则图中阴影部分面积为S扇形AOC ﹣S菱形ABCO＝3π﹣，故答案为：3π﹣．20．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥AO，若OA＝6，则阴影部分的面积为．解：∵∠AOB＝120°，OA＝OB，∴∠A＝∠OBA＝30°，∵OC⊥AO，∴∠AOD＝90°，∴∠BOD＝30°，∴DO＝DB，在Rt△AOD中，OD＝OA＝，OD＝AD，∴BD＝AD，∵S△AOD＝×6×＝6，∴S△BOD ＝S△AOD＝3，∴阴影部分的面积＝S△AOD +S扇形BOC﹣S△BOD＝6+﹣3＝3+3π．故答案为3+3π．三.解答题21.如图，一只狗用皮带系在10×10的正方形狗窝的一角上，皮带长为14，在狗窝外面狗能活动的范围面积是多少？解：狗能活动的范围面积=34π×142+12π×42=147π+8π=155π．答：在狗窝外面狗能活动的范围面积是155π．22．如图，A、B、C三点在半径为1的⊙O上，四边形ABCO是菱形，求的长．解：连接OB．∵四边形OABC是菱形，∴OA＝AB＝OB＝OC＝BC，∴△AOB，△BOC都是等边三角形，∴∠AOB＝∠BOC＝60°，∴∠AOC＝120°，∴的长＝＝23.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，∠BAD=120°，AB=AD．（1）求证：四边形ABCD是等腰梯形；（2）已知AC=6，求阴影部分的面积．解：（1）证明：∵∠BAD=120°，AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=30°，∴弧AB和弧AD的度数都等于60°，又∵BC是直径，∴弧CD的度数也是60°，∴AB=CD且∠CAD=∠ACB=30°，∴BC∥AD，∴四边形ABCD 是等腰梯形；（2）解：∵BC 是直径，∴∠BAC=90°∵∠ACB=30°，AC=6，∴BC=30°cos AC =4√3 ，故R=2√3 ， ∵弧AB 和弧AD 的度数都等于60°，∴∠BOD=120°，连接OA 交BD 于点E ，则OA ⊥BD ，在Rt △BOE 中：OE=OBsin30°= √3 ，BE=OB •cos30°=3，BD=2BE=6，故S 阴影=S 扇形BOD -S △BOD =21202313602()×6=4π 24．如图，四边形ABCD 是正方形，以边AB 为直径作⊙O ，点E 在BC 边上，连结AE 交⊙O 于点F ，连结BF 并延长交CD 于点G ．（1）求证：△ABE ≌△BCG ；（2）若∠AEB ＝55°，OA ＝3，求劣弧的长．（结果保留π）（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，AB 为⊙O 的直径，∴∠ABE ＝∠BCG ＝∠AFB ＝90°，∴∠BAF+∠ABF ＝90°，∠ABF+∠EBF ＝90°， ∴∠EBF ＝∠BAF ，在△ABE与△BCG中，，∴△ABE≌△BCG（ASA）；（2）解：连接OF，∵∠ABE＝∠AFB＝90°，∠AEB＝55°，∴∠BAE＝90°﹣55°＝35°，∴∠BOF＝2∠BAE＝70°，∵OA＝3，∴的长＝＝．25．如图，已知Rt△ABC中，∠A＝90°，将斜边BC绕点B顺时针方向旋转至BD，使BD∥AC，过点D作DE⊥BC于点E．（1）求证：△ABC≌△EDB；（2）若CD＝BD，AC＝3，求在上述旋转过程中，线段BC扫过的面积．解：（1）∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∵AC∥BD，∴∠A＝∠ABD＝∠DEB＝90°，∵∠ABC+∠CBD＝90°，∴∠CBD+∠BDE＝90°，∴∠ABC＝∠BDE，∵BC＝BD，∴△ABC≌△EDB（AAS）．（2）∵CD＝BD＝BC，∴△BCD为等边三角形，∴∠CBD＝60°，∠ABC＝90°﹣∠CBD＝30°，∵AC＝3，∴BC＝2AC＝6，∴线段BC扫过的面积＝6π．26．如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，AD＝DB，AC与BD 交于点E，且AE＝BC．（1）求证：AB＝CB；（2）如图2，△ABC绕点C逆时针旋转35°得到△FGC，点A经过的路径为弧AF，若AC＝4，求图中阴影部分的面积．（1）证明：∵AD＝BD，∠DAE＝∠DBC，AE＝BC，∴△ADE≌△BDC（SAS），∴∠ADE＝∠BDC，∴＝．∴AB＝BC．（2）解：S阴＝S扇形CAF+S△CFG﹣S△ABC＝S扇形CAF＝＝．。
9年级 数学北师大版下 册教案第 3章《垂径定理》
教学设计垂径定理难点：垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线．教学策略：类比引入，猜想探索，知识应用，归纳小结。
本节课的另一个难点是如何添加辅助线，这在最后的归纳反思中应该要有足够的时间让学生交流讨论，但是限于本节课的时间，这是一个客观限制，不应该勉强在课堂上完成，效果并不理想，应该留作课后作业，让学生能通过更充分的讨论才得出结论，这样才能起到更好地交流和反思的作用。
教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图一、类比引入二、猜想探索活动内容：1.等腰三角形是轴对称图形吗？2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？3.如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？1．如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M。
（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能找出图中有哪些等量关系？说一说你的理由．条件：①CD是直径；②CD⊥AB结论（等量关系）：③AM=BM；④⌒AC=⌒BC；⑤⌒AD=⌒BD。
学生思考并回答通过等腰三角形的轴对称性向圆的轴对称性过渡，引导学生思考，培养学生类比分析的能力。
证明：连接OA ,OB ,则OA =OB在Rt △OAM 和Rt △OBM 中,∵OA =OB ，OM =OM ，∴Rt △OAM ≌Rt △OBM . ∴AM =BM .∴点A 和点B 关于CD 对称. ∵⊙O 关于直径CD 对称,∴当圆沿着直径CD 对折时, 点A 与点B 重合,⌒AC 和⌒BC 重合, ⌒AD 和⌒BD 重合. ∴ ⌒AC =⌒BC ，⌒AD =⌒BD .2．辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？注意：定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦。
通过以上辨析，让学生对垂径定理的两证明完毕后，让学生自行用文字语言表述这一结论，最后提炼出垂径定理的内容——垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《3-4圆周角与圆心角的关系》同步练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《3.4圆周角与圆心角的关系》同步练习题（附答案）一．选择题1．如图，在⊙O中，AB为直径，∠AOC＝80°．点D为弦AC的中点，点E为上任意一点．则∠CED的大小可能是（）A．10°B．20°C．30°D．40°2．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝30°，则∠BOC的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°3．如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB ＝60°，则点C的纵坐标为（）A．+B．2+C．4D．2+24．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC＝50°，则∠DBC的度数为（）A．50°B．60°C．80°D．90°5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．60°6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（）A．OC∥BD B．AD⊥OC C．△CEF≌△BED D．AF＝FD7．如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE．如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为（）A．35°B．38°C．40°D．42°8．已知⊙O的半径为3，AB、AC是⊙O的两条弦，AB＝3，AC＝3，则∠BAC的度数是（）A．75°或105°B．15°或105°C．15°或75°D．30°或90°二．填空题9．如图，点A、B、C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在劣弧上，且OA＝AB，则∠ABC＝．10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若AP：PB＝1：4，CD＝8，则AB ＝．11．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝100°，则∠DCE的度数为．12．如图，A、B、C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形．若点D是圆上异于A、B、C的另一点，则∠ADC的度数是．13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在BC的延长线上，若∠BOD＝120°，则∠DCE ＝．14．如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A＝55°，∠E＝30°，则∠F＝．15．如图，在⊙O中，四边形OABC为菱形，点D在上，则∠ADC的度数是．16．已知：如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC＝4，若以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，DE∥AB，DE与AC相交于点E，则DE＝．三．解答题17．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且＝．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．（2）已知半圆的半径为5，BC＝12，求sin∠ABD的值．18．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．（1）若∠B＝70°，求∠CAD的度数；（2）若AB＝4，AC＝3，求DE的长．19．如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E．（1）求证：△ADE∽△BCE；（2）如果AD2＝AE•AC，求证：CD＝CB．20．已知：如图．△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O 于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD．（1）求证：∠DAC＝∠DBA；（2）求证：P是线段AF的中点；（3）若⊙O的半径为5，AF＝，求tan∠ABF的值．21．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF＝AD，连接BC、BF．（1）求证：△CBE∽△AFB；（2）当时，求的值．22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O交△ABC的边于G，F，E点．求证：（1）F是BC的中点；（2）∠A＝∠GEF．参考答案一．选择题1．解：连接BC，延长ED交⊙O于N，连接OD，并延长交⊙O于M，∵∠AOC＝80°，∴的度数是80°，∵点D为弦AC的中点，OA＝OC，∴∠AOD＝∠COD，∴＝，即M为的中点，∴和的度数都是80°＝40°，∵＞，∴40°＜的度数＜80°，∴20°＜∠CED＜40°，∴选项C符合题意；选项A、选项B、选项D都不符合题意；故选：C．2．解：如图，∵∠ADC＝30°，∴∠AOC＝2∠ADC＝60°．∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，∴＝．∴∠AOC＝∠BOC＝60°．故选：D．3．解：连接P A，PB，PC，过P作PD⊥AB于D，PE⊥OC于E，∵∠ACB＝60°，∴∠APB＝120°，∵P A＝PB，∴∠P AB＝∠PBA＝30°，∵A（﹣5，0），B（1，0），∴AB＝6，∴AD＝BD＝3，∴PD＝，P A＝PB＝PC＝2，∵PD⊥AB，PE⊥OC，∠AOC＝90°，∴四边形PEOD是矩形，∴OE＝PD＝，PE＝OD＝2，∴CE＝＝＝2，∴OC＝CE+OE＝2+，∴点C的纵坐标为2+，故选：B．4．解：如图，∵A、B、D、C四点共圆，∴∠GBC＝∠ADC＝50°，∵AE⊥CD，∴∠AED＝90°，∴∠EAD＝90°﹣50°＝40°，延长AE交⊙O于点M，∵AO⊥CD，∴，∴∠DBC＝2∠EAD＝80°．故选：C．5．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝105°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°．∵＝，∠BAC＝25°，∴∠DCE＝∠BAC＝25°，∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝75°﹣25°＝50°．故选：B．6．解：∵AB是⊙O的直径，BC平分∠ABD，∴∠ADB＝90°，∠OBC＝∠DBC，∴AD⊥BD，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠DBC＝∠OCB，∴OC∥BD，选项A成立；∴AD⊥OC，选项B成立；∴AF＝FD，选项D成立；∵△CEF和△BED中，没有相等的边，∴△CEF与△BED不全等，选项C不成立；故选：C．7．解：连接CD，如图所示：∵BC是半圆O的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝20°，∴∠DOE＝2∠ACD＝40°，故选：C．8．解：分为两种情况：①当圆心O在∠BAC的内部时，如图所示，过O作OE⊥AB于E，OD⊥AC于D，连接OA，∵OE⊥AB，OE过圆心O，AB＝3，∴AE＝BE＝，由勾股定理得：OE＝＝＝，即OE＝AE，∴∠BAO＝45°，∵OD⊥AB，OD过圆心O，AC＝3，∴AD＝CD＝，∵OA＝3，∴AD＝OA，∴∠AOD＝30°，∴∠CAO＝60°，∴∠BAC＝∠BAO+∠CAO＝45°+60°＝105°；②当O在∠BAC的外部时，由①得：∠CAO＝60°，∠BAO＝45°，所以∠BAC＝∠CAO﹣∠BAO＝60°﹣45°＝15°；故选：B．二．填空题9．解：∵OA＝OB，OA＝AB，∴OA＝OB＝AB，即△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∵OC⊥OB，∴∠COB＝90°，∴∠COA＝90°﹣60°＝30°，∴∠ABC＝15°，故答案为：15°10．解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD＝8，∴CP＝4，根据相交弦定理得，16＝AP×4AP，解得AP＝2，∴AB＝10．11．解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠DCE＝∠A＝100°，故答案为：100°12．解：连接OB，∵四边形OABC是菱形，∴AB＝OA＝OB＝BC，∴△AOB是等边三角形，∴∠ADC＝60°，∠AD′C＝120°．故答案为：60°或120°．13．解：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝∠BOD＝60°．∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠DCE＝∠A＝60°．故答案为：60°．14．解：∵∠A＝55°，∠E＝30°，∴∠EBF＝∠A+∠E＝85°，∵∠A+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣55°＝125°，∵∠BCD＝∠F+∠CBF，∴∠F＝125°﹣85°＝40°．故答案为40°．15．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠D＝180°，∵四边形OABC为菱形，∴∠B＝∠AOC，∴∠D+∠AOC＝180°，∵∠AOC＝2∠D，∴3∠D＝180°，∴∠ADC＝60°，故答案为60°．16．解：连接AD，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，又∵AB＝AC，∴D为BC的中点，又∵DE∥AB，∴DE为△ABC的中位线，∴DE＝AB＝×4＝2．三．解答题17．解：（1）△ABC为等腰三角形．理由如下：连接AE，如图，∵＝，∴∠DAE＝∠BAE，即AE平分∠BAC，∵AB为直径，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BC，∴△ABC为等腰三角形；（2）∵△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，∴BE＝CE＝BC＝×12＝6，在Rt△ABE中，∵AB＝10，BE＝6，∴AE＝＝8，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴AE•BC＝BD•AC，∴BD＝＝，在Rt△ABD中，∵AB＝10，BD＝，∴AD＝＝，∴sin∠ABD＝＝＝．18．解：（1）∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵OD∥BC，∴∠AEO＝90°，即OE⊥AC，∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°，∠AOD＝∠B＝70°．∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO＝＝＝55°∴∠CAD＝∠DAO﹣∠CAB＝55°﹣20°＝35°；（2）在直角△ABC中，BC＝＝＝．∵OE⊥AC，∴AE＝EC，又∵OA＝OB，∴OE＝BC＝．又∵OD＝AB＝2，∴DE＝OD﹣OE＝2﹣．19．证明：（1）如图，∵∠A与∠B是对的圆周角，∴∠A＝∠B，又∵∠1＝∠2，∴△ADE∽△BCE；（2）如图，∵AD2＝AE•AC，∴，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACD，∴∠AED＝∠ADC，又∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，即∠AED＝90°，∴直径AC⊥BD，∴＝，∴CD＝CB．20．（1）证明：∵BD平分∠CBA，∴∠CBD＝∠DBA，∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，∴∠DAC＝∠CBD，∴∠DAC＝∠DBA；（2）证明：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵DE⊥AB于E，∴∠DEB＝90°，∴∠ADE+∠EDB＝∠ABD+∠EDB＝90°，∴∠ADE＝∠ABD＝∠DAP，∴PD＝P A，∵∠DF A+∠DAC＝∠ADE+∠PDF＝90°，且∠ADB＝90°，∴∠PDF＝∠PFD，∴PD＝PF，∴P A＝PF，即：P是AF的中点；（3）解：∵∠DAF＝∠DBA，∠ADB＝∠FDA＝90°，∴△FDA∽△ADB，∴＝，由题意可知圆的半径为5，∴AB＝10，∴＝＝＝，∴在Rt△ABD中，tan∠ABD＝＝，即：tan∠ABF＝．21．（1）证明：∵AE＝EB，AD＝DF，∴ED是△ABF的中位线，∴ED∥BF，∴∠CEB＝∠ABF，又∵∠C＝∠A，∴△CBE∽△AFB．（2）解：由（1）知，△CBE∽△AFB，∴，又AF＝2AD，∴．22．证明一：（1）连接DF，∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴BD＝DC＝AB，∵DC是⊙O的直径，∴DF⊥BC，∴BF＝FC，即F是BC的中点；（2）∵D，F分别是AB，BC的中点，∴DF∥AC，∴∠A＝∠BDF，∵∠BDF＝∠GEF（圆周角定理），∴∠A＝∠GEF．证明二：（1）连接DF，DE，∵DC是⊙O直径，∴∠DEC＝∠DFC＝90°．∵∠ECF＝90°，∴四边形DECF是矩形．∴EF＝CD，DF＝EC．∵D是AB的中点，∠ACB＝90°，∴EF＝CD＝BD＝AB．∴△DBF≌△EFC．∴BF＝FC，即F是BC的中点．（2）∵△DBF≌△EFC，∴∠BDF＝∠FEC，∠B＝∠EFC．∵∠ACB＝90°（也可证AB∥EF，得∠A＝∠FEC），∴∠A＝∠FEC．∵∠FEG＝∠BDF（同弧所对的圆周角相等），∴∠A＝∠GEF．（此题证法较多，大纲卷参考答案中，又给出了两种不同的证法，可供参考．）。
北师大版九年级数学下册 第三章3 垂径定理(含答案)
北师大版九年级数学下第三章3 垂径定理（含答案）一、选择题1．如图1，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，则下列结论不一定成立的是( )图1A ．CM ＝DMB.CB ︵＝DB ︵ C ．∠ACD ＝∠ADCD ．OM ＝MB2．如图2所示，⊙O 的半径为5，AB 为弦，半径OC ⊥AB ，垂足为E ，若OE ＝3，则AB 的长是( )图2A ．4B ．6C ．8D ．103．一块圆形宣传标志牌如图3所示，点A ，B ，C 在⊙O 上，CD 垂直平分AB 于点D.现测得AB ＝8 dm ，DC ＝2 dm ，则圆形标志牌的半径为( )图3A ．6 dmB ．5 dmC ．4 dmD ．3 dm4．如图4，⊙O 的半径OA ＝6，以点A 为圆心，OA 长为半径的弧交⊙O 于点B ，C ，则BC 的长为( )图4A ．6 3B ．6 2C ．3 3D ．3 25．如图5，⊙O 的半径为10，M 是弦AB 的中点，且OM ＝6，则⊙O 中弦AB 的长为( )图5A ．8B ．10C ．12D ．166．如图6，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，CA 长为半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为( )图6A.95B.215C.185D.527．已知⊙O 的半径为15，弦AB 的长为18，点P 在弦AB 上且OP ＝13，则AP 的长为( ) A ．4 B ．14C ．4或14D ．6或14二、填空题8．过⊙O 内一点M 的最长的弦长为10 cm ，最短的弦长为8 cm ，那么OM 的长为________．9．如图7所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，∠A ＝30°，CD ＝2 3，则⊙O 的半径是________．图710.如图8，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m ，其中水面的宽AB 为0.8 m ，则排水管内水的深度为________m.图811．如图9所示，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为________.链接听P31例1归纳总结图912．如图10，半径为5的⊙P与y轴交于点M(0，4)，N(0，－2)，则点P的坐标为________．图10三、解答题13．如图11，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE＝2，EB＝6，∠DEB＝30°，求弦CD的长.图1114．如图12，已知O是∠EPF的平分线上的一点，以点O为圆心的圆和∠EPF的两边分别交于点A，B和C，D.求证：(1)∠OBA＝∠OCD；(2)AB＝CD.图1215．如图13，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为7.2 m，拱高CD为2.4 m.(1)求拱桥的半径；(2)现有一艘宽3 m，船舱顶部为矩形并高出水面2 m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？图13附加题探索存在题如图14，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是弧AB上的一个动点(不与点A，B重合)，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E.(1)当BC＝6时，求线段OD的长．(2)在△DOE中，是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．图14参考答案1．[答案] D2．[解析] C 连接OA ，如图． ∵OC ⊥AB ，OA ＝5，OE ＝3，∴AE ＝OA 2－OE 2＝52－32＝4，∴AB ＝2AE ＝8.故选C.3．[解析] B 如图，连接OD ，OB ，则O ，C ，D 三点在一条直线上．因为CD 垂直平分AB ，AB ＝8 dm ，所以BD ＝4 dm.设⊙O 的半径为r dm ，则OD ＝(r －2)dm ，由勾股定理得42＋(r －2)2＝r 2，解得r ＝5.故选B.4．[解析] A 设OA 与BC 相交于点D ，连接AB ，OB .∵AB ＝OA ＝OB ＝6，∴△OAB 是等边三角形．又根据垂径定理可得，OA 垂直平分BC ，BC ＝2BD ，BC ⊥OA ，∴OD ＝AD ＝3.在Rt △BOD 中，由勾股定理得BD ＝62－32＝3 3，∴BC ＝6 3.故选A. 5．[答案] D6．[解析] C ∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝32＋42＝5. 过点C 作CM ⊥AB 于点M ， 则M 为AD 的中点．∵S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CM ，且AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴CM ＝125.在Rt △ACM 中，根据勾股定理，得AC 2＝AM 2＋CM 2，即9＝AM 2＋(125)2，解得AM ＝95，∴AD ＝2AM ＝185.故选C.7．[解析] C 如图，过点O 作OC ⊥AB 于点C ，∴AC ＝12AB ＝9，则OC ＝OA 2－AC 2＝12.又∵OP ＝13，∴PC ＝OP 2－OC 2＝5. 当点P 在线段AC 上时，AP ＝9－5＝4； 当点P 在线段BC 上时，AP ＝9＋5＝14. 故选C. 8．[答案] 3 cm[解析] 由题意作图，如图所示，AB 为过点M 的最长的弦，CD 为过点M 的最短的弦，CD ⊥AB ，连接OD ， 则OM ＝OD 2－DM 2＝52－42＝3(cm)．9．[答案] 2[解析] 如图，连接OC ，则OA ＝OC ，∴∠A ＝∠ACO ＝30°，∴∠COH ＝60°. ∵OB ⊥CD ，CD ＝2 3，∴CH ＝3， ∴OH ＝1，∴OC ＝2. 10．[答案] 0.8[解析] 如图，过点O 作OC ⊥AB ，垂足为C ，交⊙O 于点D ，E ，连接OA .由题意知，OA ＝0.5 m ，AB ＝0.8 m. ∵OC ⊥AB ，∴AC ＝BC ＝0.4 m.在Rt △AOC 中，OA 2＝AC 2＋OC 2， ∴OC ＝0.3 m ，∴CE ＝0.3＋0.5＝0.8(m)． 故答案为0.8. 11．[答案] 2 3[解析] 过点O 作OD ⊥AB 于点D ，连接OA . ∵OD ⊥AB ， ∴AD ＝BD .由折叠的性质可知OD ＝12OA ＝1.在Rt △OAD 中，AD ＝OA 2－OD 2＝22－12＝3， ∴AB ＝2AD ＝2 3. 故答案为2 3. 12．[答案] (－4，1)13．解：如图，过点O 作OF ⊥CD ，垂足为F ，连接OD ，∴F 为CD 的中点，即CF ＝DF . ∵AE ＝2，EB ＝6， ∴AB ＝AE ＋EB ＝2＋6＝8， ∴OA ＝4，∴OE ＝OA －AE ＝4－2＝2. 在Rt △OEF 中，∵∠DEB ＝30°， ∴OF ＝12OE ＝1.在Rt △ODF 中，OF ＝1，OD ＝4，根据勾股定理，得DF ＝OD 2－OF 2＝15， 则CD ＝2DF ＝2 15.14．证明：(1)过点O 作OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，垂足分别为M ，N . ∵PO 平分∠EPF ，OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，∴∠OMB ＝∠ONC ＝90°，OM ＝ON . 在Rt △OMB 和Rt △ONC 中， ∵OB ＝OC ，OM ＝ON ， ∴Rt △OMB ≌Rt △ONC (HL)， ∴∠OBA ＝∠OCD .(2)由(1)得Rt △OMB ≌Rt △ONC ， ∴BM ＝CN .∵OM ⊥AB ，ON ⊥CD ， ∴AB ＝2BM ，CD ＝2CN ， ∴AB ＝CD .15．解：(1)如图，连接OB . ∵OC ⊥AB ，∴D 为AB 的中点． ∵AB ＝7.2 m ，∴BD ＝12AB ＝3.6 m.设OB ＝OC ＝r m ，则OD ＝(r －2.4)m. 在Rt △BOD 中，根据勾股定理，得 r 2＝(r －2.4)2＋3.62，解得r ＝3.9. ∴拱桥的半径为3.9 m.(2)令货船船舱顶部所在直线分别与圆弧交于点M ，N (N 在M 的右边)，连接ON ，设MN 交CO 于点E . ∵CD ＝2.4 m ，船舱顶部为矩形并高出水面2 m ， ∴CE ＝2.4－2＝0.4(m)，∴OE ＝OC －CE ＝3.9－0.4＝3.5(m)．在Rt △OEN 中，根据勾股定理，得EN ＝ON 2－OE 2＝ 3.92－3.52＝ 2.96≈1.72(m)， ∴MN ＝2EN ≈3.44 m ＞3 m ， ∴此货船能顺利通过这座拱桥． 附加题解：(1)∵OD ⊥BC ，∴BD ＝12BC ＝12×6＝3.在Rt △ODB 中，∵OB ＝5，BD ＝3， ∴OD ＝OB 2－BD 2＝4，即线段OD 的长为4.(2)存在，DE 的长度保持不变． 连接AB ，如图．∵∠AOB ＝90°，OA ＝OB ＝5， ∴AB ＝OB 2＋OA 2＝5 2. ∵OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，∴D ，E 分别是线段BC ，AC 的中点， ∴DE 是△CBA 的中位线， ∴DE ＝12AB ＝5 22.。
北师大版九年级下册数学 3.4圆周角和圆心角之间的关系 同步练习(含解析)
3.4圆周角和圆心角之间的关系同步练习一．选择题1．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠ACO＝30°，则sin∠COB的等于（）A．B．C．D．2．⊙O中，∠AOB＝100°，若C是上一点，则∠ACB等于（）A．80°B．100°C．120°D．130°3．如图，＝＝，AD为⊙O的弦，∠BAD＝50°，则∠AED等于（）A．50°B．60°C．70°D．75°4．如图，圆心为C、直径为MN的半圆上有不同的两点A、B，在CN上有一点P，∠CBP ＝∠CAP＝10°，若的度数是40°，则的度数是（）A．10°B．15°C．20°D．25°5．AB为半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，若CD＝3，AB＝4，则tan∠BPD等于（）A．B．C．D．6．如图所示，AB是直径，点E是弧AB中点，弦CD∥AB且平分OE，连AD，∠BAD度数为（）A．45°B．30°C．15°D．107．如图，AB是圆O的直径，点C是半圆O上不同于A，B的一点，点D为弧AC的中点，连结OD，BD，AC，设∠CAB＝β，∠BDO＝α，则（）A．α＝βB．α+2β＝90°C．2α+β＝90°D．α+β＝45°8．如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上的五个点，圆心O在AD上，∠BCD＝110°，则∠AEB的度数为（）A．70°B．35°C．40°D．20°9．如图，⊙O中，若OA⊥BC、∠AOB＝66°，则∠ADC的度数为（）A．33°B．56°C．57°D．66°10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为弧AC的中点，过点D作DE ∥AC，交BC的延长线于点E．若⊙O的半径为5，AB＝8，则CE的长为（）A．4B．C．D．二．填空题11．如图所示，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠GEO＝46°，则∠DCF＝．12．如图，AD是⊙O的直径，若∠B＝40°，则∠DAC的度数为．13．如图，⊙O的半径为2．弦AB＝2，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是．14．如图，四边形ABCD是平行四边形，⊙O经过点A，C，D，与BC交于点E，连接AE，若∠D＝70°，则∠BAE＝°．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝8，点D是BC上一点，BC＝3CD，点P是线段AC上一个动点，以PD为直径作⊙O，点M为的中点，连接AM，则AM 的最小值为．三．解答题16．如图，以△ABC的一边为直径的半圆与其它两边AC、BC分别交于点D、E，＝．（1）求证；AC＝AB；（2）若BC＝8，BA＝6，求CD的长．17．如图，在⊙O中．（1）若＝，∠ACB＝80°，求∠BOC的度数；（2）若⊙O的半径为13，且BC＝10，求点O到BC的距离．18．如图，⊙O的直径AB＝12，半径OC⊥AB，D为弧BC上一动点（不包括B、C两点），DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E．F．（1）求EF的长．（2）若点E为OC的中点，①求弧CD的度数．②若点P为直径AB上一动点，直接写出PC+PD的最小值．参考答案一．选择题1．解：∵OA＝OC，∠ACO＝30°，∴∠OAC＝∠ACO＝30°，∵∠COB是△AOC的外角，∴∠COB＝∠ACO+∠OAC＝60°，∴sin∠COB＝sin60°＝．故选：C．2．解：如图：在优弧上取点D，连接AD，BD，∵⊙O中，∠AOB＝100°，∴∠ADB＝∠AOB＝50°，∵四边形ACBD是⊙O的内接四边形，∴∠ACB＝180°﹣∠ADB＝130°．故选：D．3．解：连接OA，OB，OC，OD，∵∠BAD＝50°，＝＝，∴∠BOD＝2∠BAD＝100°，∵＝＝，∴AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠BOD＝50°，∴∠AOD＝∠AOB+∠BOC+∠COD＝150°，∴∠AED＝∠AOD＝75°．故选：D．4．解：∵的度数是40°，∴∠ACM＝40°∵∠CBP＝∠CAP＝10°，∴A、C、P、B四点共圆，∴∠ACM＝∠ABP＝40°，∵∠CPB＝10°，∴∠ABC＝40°﹣10°＝30°，∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠ABC＝30°，∴∠ACB＝120°，∴∠BCN＝180°﹣∠ACM﹣∠ACB＝20°，∴的度数是20°．故选：C．5．解：连接BD．则∠CDA＝∠ABC．（同圆中同弧AC所对的圆周角相等）同理∠DCB＝∠DAB，所以△PCD∽△P AB，＝＝．∵AB直径，∴∠ADB＝90°．∴∠PDB＝∠ADB＝90°，在Rt△PDB中，cos∠DPB＝＝，∴sin∠DPB＝．（sin2∠DPB+cos2∠DPB＝1）tan∠BPD＝＝．故选：A．6．解：设CD与OE交于P，则连接OC，∵CD∥AB且平分OE，∴OP＝•OC，∴sin∠PCO＝，∴∠PCO＝30°，又∵CD∥AB，∴∠COA＝∠PCO＝30°，∴∠BAD＝∠BOD＝15°．故选：C．7．解：如图，设AC与DO交点为E，如图，∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠BDO＝α，∴∠DOA＝2∠OBD＝2α，又∵D为中点，AB为⊙O直径，∴OD⊥AC，∴∠EAO+∠EOA＝90°，即2α+β＝90°．故选：C．8．解：如图，连接DE，数学∵四边形BCDE是⊙O的内接四边形，∴∠BCD+∠BED＝180°，∵∠BCD＝110°，∴∠BED＝70°，∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＝∠AED﹣∠BED＝90°﹣70°＝20°，故选：D．9．解：如图，连接OC，OB．∵OA⊥BC，∴＝，∴∠AOC＝∠AOB＝66°，∴∠ADC＝∠AOC＝33°，数学故选：A．10．解：∵⊙O的半径为5，∴AC＝10，∴AD＝CD＝5，∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵AB＝8，∴BC＝6，∵∠BAD＝∠DCE，∵∠ABD＝∠CDE＝45°，∴△ABD∽△CDE，∴，∴，∴CE＝，故选：B．二．填空题11．解：∵CD是直径，EG＝GF，∴CD⊥EF，∴＝，∴∠CDF＝∠EOD，∵∠OGE＝90°，∠GEO＝46°，∴∠EOD＝44°，∴∠DCF＝22°．故答案为：22°．12．解：连接CD．∵AD是直径，∴∠ACD＝90°，∵∠D＝∠B＝40°，∴∠DAC＝90°﹣40°＝50°．故答案为50°．13．解：连结OA、OB，作△ABC的外接圆D，如图1，∵OA＝OB＝2，AB＝2，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠APB＝∠AOB＝30°，∵AC⊥AP，∴∠C＝60°，∵AB＝2，要使△ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大，∵∠ACB＝60°，点C在⊙D上，∴∠ADB＝120°，如图2，当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为AB2＝，∴△ABC的最大面积为．故答案为：．14．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠D＝70°，∴∠DCB＝（180°﹣∠D）＝110°，∵四边形AECD是圆内接四边形，∴∠AEB＝∠D＝70°，∠B＝180°﹣∠BCD＝70°∴∠BAE＝180°﹣70°﹣70°＝40°，故答案为：4015．解：如图，连接OM，CM，过点A作AT⊥CM交CM的延长线于T．∵＝，∴OM⊥PD，∴∠MOD＝90°，∴∠MCD＝∠MOD＝45°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACT＝45°，∵AT⊥CT，∴∠ATC＝90°，∵AC＝10，∴AT＝AC•sin45°＝5，∵AM≥AT，∴AM≥5，∴AM的最小值为5，故答案为5．三．解答题16．（1）证明：∵＝，∴∠CAE＝∠BAE，∵AB为直径，∴∠AEB＝90°，∵∠ABE+∠BAE＝90°，∠C+∠CAE＝90°，∴∠ABC＝∠C，∴AC＝AB；（2）解：∵∠CAE＝∠CBD，∠ACE＝∠BCD，∴△CAE∽△CBD，∴＝，即＝，∴CD＝．17．解：（1）∵＝，∴∠ABC＝∠ACB＝80°，∴∠A＝180°﹣80°﹣80°＝20°，∴∠BOC＝2∠A＝40°；（2）作OH⊥BC于H，如图，则BH＝CH＝BC＝5，在Rt△OBH中，OH＝＝＝12，即点O到BC的距离为12．18．解：（1）连接OD，∵⊙O的直径AB＝12，∴圆的半径为12÷2＝6，∵OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥AB，∴四边形OFDE是矩形，∴EF＝OD＝6；（2）①∵点E为OC的中点，∴OE＝OC＝OD，∴∠EDO＝30°，∴∠DOE＝60°，∴弧CD的度数为60°；②延长CO交⊙O于G，l连接DG交AB于P，则PC+PD的最小值＝DG，∵∠G＝∠COD＝30°，∵EG＝9，数学∴DG＝＝＝6，∴PC+PD的最小值为6．。
北师大版九年级数学下册第三章圆3.6.3：切线的性质和判定压轴题 同步练习(Word版,无答案)
北师大版九年级数学下册第三章圆3.6.3：切线的性质与判定压轴题同步练习1、如图，已知O 是正方形ABCD 对角线AC 上一点，以O 为圆心、OA 的长为半径的⊙O 与BC 相切于M，与AB、AD 分别相交于E、F．（1）求证：CD 与⊙O 相切；（2）若正方形ABCD 的边长为1，求⊙O 的半径；（3）对于以点M、E、A、F 以及CD 与⊙O 的切点为顶点的五边形的五条边，从相等关系考虑，你可以得出什么结论？请给出证明．2、如图，点A 在⊙O 外，射线AO 与⊙O 交于F、G 两点，点H 在⊙O 上，弧FH=弧GH，点D 是弧FH 上一个动点（不运动至F），BD 是⊙O 的直径，连接AB，交⊙O 于点C，连接CD，交AO 于点E，且OA=，OF=1，设AC=x，AB=y．（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）若DE=2CE，求证：AD 是⊙O 的切线；（3）当DE，DC 的长是方程x2﹣ax+2=0 的两根时，求sin∠DAB 的值．3、如图，以Rt△BCF 的斜边BC 为直径作⊙O，A 为弧BF上一点，且=，AD⊥BC，垂足为D，过A 作AE∥BF 交CB 的延长线于E．求证：（1）AE 是⊙O 切线；（2）（3）若⊙O 直径为d，则．4、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，⊙O 的割线PDE 垂直于AB 于点F，交BC 于点G，∠A=∠BCP．（1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）若点C 在劣弧上运动，其他条件不变，问应再具备什么条件可使结论BG2=BF•BO 成立？（要求画出示意图并说明理由）（3）在满足问题（2）的条件下，你还能推出哪些形如BG2=BF•BO 的正确结论？（要求：不再标注其他字母，找结论的过程中所作的辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出不包括BG2=BF•BO 的7 个结论）5、如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 过CB 的中点D，直线FE 过点D，且FE⊥AC 于E，FB 切⊙O 于B，P 是线段DF 上一动点，过P 作PN⊥AB 于N，PN 与⊙O 交于点Q，与DB 交于点M．（1）求证：FE 是⊙O 的切线；（2）若∠C=30°，AB=2，设DP=x，MN=y，求y 与x 之间的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围；（3）在（2）中，当x 为何值时，PQ：PN=1：5．6、如图，B 为线段AD 上一点，△ABC 和△BDE 都是等边三角形，连接CE 并延长交AD 的延长线于点F，△ABC 的外接圆⊙O 交CF 于点M．（1）求证：BE 是⊙O 的切线；（2）求证：AC2=CM•CF；（3）若CM=，MF=，求BD；（4）若过点D 作DG∥BE 交EF 于点G，过G 作GH∥DE 交DF 于点H，则易知△DGH 是等边三角形．设等边△ABC、△BDE、△DGH 的面积分别为S1、S2、S3，试探究S1、S2、S3 之间的等量关系，请直接写出其结论．7、如图，AB 为圆O 的直径，C 为圆O 上一点，AD 和过C 点的直线互相垂直，垂足为D，且AC 平分∠DAB，延长AB 交DC 于点E．（1）判定直线DE 与圆O 的位置关系，并说明你的理由；（2）求证：AC2=AD•AB；（3）以下两个问题任选一题作答．（若两个问题都答，则以第一问的解答评分）①若CF⊥F，试讨论线段CF、CE 和DE 三者的数量关系；②若EB=5，求图中阴影部分的面积．8、如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，⊙O 的割线PDE 垂直AB 于点F，交BC 于点G，连接PC，∠BAC=∠BCP，求解下列问题：（1）求证：CP 是⊙O 的切线．（2）当∠ABC=30°，BG=2，CG=4时，求以PD、PE 的长为两根的一元二次方程．（3）若（1）的条件不变，当点C 在劣弧AD 上运动时，应再具备什么条件可使结论BG2=BF•BO 成立？试写出你的猜想，并说明理由．9、如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的面积为15，边OA 比OC 大2．E 为BC 的中点，以OE 为直径的⊙O′交x 轴于D 点，过点D 作DF⊥AE 于点F．（1）求OA、OC 的长；（2）求证：DF 为⊙O′的切线；（3）小明在解答本题时，发现△AOE 是等腰三角形．由此，他断定：“直线BC 上一定存在除点E 以外的点P，使△AOP 也是等腰三角形，且点P 一定在⊙O′外”．你同意他的看法吗？请充分说明理由．10、已知：AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 外的一点，点E 是AC 上一点，AB=2．（1）如图1，点D 是BC 的中点，当DE 也AC 满足什么关系时，DE 是⊙O 的切线？请说明理由．（2）如图2，AC 是⊙O 的切线，点E 是AC 的中点DE∥AB．①求的值；②求阴影部分的面积．11、如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠D=∠C=90°，AB=4，BC=6，AD=8，点P、Q 同时从A 点出发，分别做匀速运动，其中点P 沿AB、BC 向终点C 运动，速度为每秒2 个单位，点Q 沿AD 向终点D 运动，速度为每秒1 个单位，当这两点中有一个点到达自己的终点时，另一个点也停止运动，设这两个点从出发运动了t 秒．（1）动点P 与Q 哪一点先到达自己的终点？此时t 为何值；（2）当O＜t＜2 时，写出△PQA 的面积S 与时间t 的函数关系式；（3）以PQ 为直径的圆能否与CD 相切？若有可能，求出t 的值或t 的取值范围；若不可能，请说明理由．12、如图，形如三角板的△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，BC=12cm，形如矩形量角器的半圆O 的直径DE=12cm，矩形DEFG 的宽EF=6cm，矩形量角器以2cm/s 的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E 始终在BC 所在的直线上，设运动时间为x（s），矩形量角器和△ABC 的重叠部分的面积为S（cm2）．当x=0（s）时，点E 与点C 重合．（图（3）、图（4）、图（5）供操作用）．（1）当x=3 时，如图（2），S= cm2，当x=6 时，S= cm2，当x=9 时，S= cm2；（2）当3＜x＜6 时，求S 关于x 的函数关系式；（3）当6＜x＜9 时，求S 关于x 的函数关系式；（4）当x 为何值时，△ABC 的斜边所在的直线与半圆O 所在的圆相切？13、如图，A 是以BC 为直径的⊙O 上一点，于点D，AD⊥BC 过点B 作⊙O 的切线，与CA 的延长线相交于点E，G 是AD 的中点，连接CG 并延长与BE 相交于点F，延长AF 与CB 的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF；（2）求证：PA 是⊙O 的切线；（3）若FG=BF，且⊙O 的半径长为，求BD 和FG 的长度．14、如图，已知BC 是⊙O 的弦，A 是⊙O 外一点，△ABC 为正三角形，D 为BC 的中点，M 为⊙O 上一点，并且∠BMC=60°．（1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若E，F 分别是边AB，AC 上的两个动点，且∠EDF=120°，⊙O 的半径为2，试问BE+CF 的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．15、如图，以BC 为直径的⊙O 交△CFB 的边CF 于点A，BM 平分∠ABC 交AC 于点M，AD⊥BC 于点D，AD 交BM 于点N，ME⊥BC 于点E，AB2=AF•AC，cos∠ABD=35，AD=12．（1）求证：△ANM≌△ENM；（2）求证：FB 是⊙O 的切线；（3）证明四边形AMEN 是菱形，并求该菱形的面积S．16、如图1 所示，在△ABC 中，AB=AC=2，∠A=90°，O 为BC 的中点，动点E 在BA 边上自由移动，动点F 在AC 边上自由移动．（1）点E，F 的移动过程中，△OEF 是否能成为∠EOF=45°的等腰三角形？若能，请指出△OEF 为等腰三角形时动点E，F 的位置；若不能，请说明理由；（2）当∠EOF=45°时，设BE=x，CF=y，求y 与x 之间的函数解析式，写出x 的取值范围；（3）在满足（2）中的条件时，若以O 为圆心的圆与AB 相切（如图2），试探究直线EF 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论．17、如图，⊙O 的半径为1，正方形ABCD 顶点B 坐标为（5，0），顶点D 在⊙O 上运动．（1）当点D 运动到与点A、O 在同一条直线上时，试证明直线CD 与⊙O 相切；（2）当直线CD 与⊙O 相切时，求CD 所在直线对应的函数关系式；（3）设点D 的横坐标为x，正方形ABCD 的面积为S，求S 与x 之间的函数关系式，并求出S 的最大值与最小值．18、如图，在平面直角坐标系中，直线y=与x 轴、y 轴分别交于A、B 两点，将△ABO 绕原点O 顺时针旋转得到△A′B′O，并使OA′⊥AB，垂足为D，直线AB 与线段A´B´相交于点G．动点E 从原点O 出发，以1 个单位/秒的速度沿x 轴正方向运动，设动点E 运动的时间为t 秒．（1）求点D 的坐标；（2）连接DE，当DE 与线段OB′相交，交点为F，且四边形DFB′G 是平行四边形时，（如图2）求此时线段DE 所在的直线的解析式；（3）若以动点为E 圆心，以E，连接A′E，t 为何值时，Tan∠EA′B′=？并判断此时直线A′O 与⊙E 的位置关系，请说明理由．。
2020-2021学年北师大版九年级数学下册第三章 3.5确定圆的条件 同步练习题(含答案)
2020-2021学年北师大版九年级数学下册第三章 3.5确定圆的条件同步练习题A组(基础题)1．如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( )A．点P B．点Q C．点R D．点M2．在同一平面上有A，B，C三点，若经过A，B，C这三点画圆，则可画( )A．0个 B．1个C．0个或1个D．无数个3．如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE相交于点F，则下列三角形中，外心不是点O的是( )A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE4．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是( )A．第①块 B．第②块C．第③块D．第④块5．有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A的度数．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆⊙O，连接OB，OC，如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A ＝65°.而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是( )A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°B．淇淇说的不对，∠A就得65°C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°D．两人都不对，∠A应有3个不同值6．若一个直角三角形的两条直角边长分别为7 cm 和24 cm ，则这个三角形的外接圆的直径长为_____cm.7．已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是_____．8．已知直线l ：y ＝x －4，点A(1，0)，点B(0，2)，设点P 为直线l 上一动点，则当点P 的坐标为_____时，过P ，A ，B 不能作出一个圆．9．小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A ，B ，C ，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；(2)若在△ABC 中，AB ＝8米，AC ＝6米，∠BAC ＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．B 组(中档题)10．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BC ＝5 cm.能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形纸片的直径是_____11．(2020·成都树德中学二诊)如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，CO 的延长线交AB 于点D.若BC ＝6，sin ∠BAC ＝35，则AC ＝_____，CD ＝_____12．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是△ABC 两边的中点，如果DE ︵(可以是劣弧、优弧或半圆)上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称DE ︵为△ABC 的中内弧，例如，图中DE ︵是△ABC 其中的某一条中内弧．若在平面直角坐标系中，已知点F(0，4)，O(0，0)，H(4，0)，在△FOH 中，M ，N 分别是FO ，FH 的中点，则△FOH 的中内弧MN ︵所在圆的圆心P 的纵坐标m 的取值范围是_____13．如图，已知锐角△ABC的外接圆圆心为O，半径为R.(1)求证：ACsinB＝2R；(2)若在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，AC＝3，求BC的长及sinC的值．14．已知：如图1，在△ABC中，BA＝BC，D是平面内不与A，B，C重合的任意一点，∠ABC＝∠DBE，BD＝BE.(1)求证：△ABD≌△CBE；(2)如图2，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BECD的形状，并证明你的结论．C组(综合题)15．如图，在正方形ABCD中，AB＝42，E，F分别为BC，AD上的点，过点E，F的直线将正方形ABCD的面积分为相等的两部分，过点A作AG⊥EF于点G，连接DG，则线段DG 的最小值为_____．参考答案2020-2021学年北师大版九年级数学下册第三章 3.5确定圆的条件同步练习题A组(基础题)1．如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是(B)A．点P B．点Q C．点R D．点M2．在同一平面上有A，B，C三点，若经过A，B，C这三点画圆，则可画(C)A．0个 B．1个C．0个或1个D．无数个3．如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE相交于点F，则下列三角形中，外心不是点O的是(B)A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE4．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是(B)A．第①块 B．第②块C．第③块D．第④块5．有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A的度数．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆⊙O，连接OB，OC，如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A ＝65°.而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是(A)A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°B．淇淇说的不对，∠A就得65°C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°D．两人都不对，∠A应有3个不同值6．若一个直角三角形的两条直角边长分别为7 cm和24 cm，则这个三角形的外接圆的直径长为25cm.7．已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是8．已知直线l：y＝x－4，点A(1，0)，点B(0，2)，设点P为直线l上一动点，则当点P的坐标为(2，－2)时，过P，A，B不能作出一个圆．9．小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；(2)若在△ABC中，AB＝8米，AC＝6米，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．解：(1)用尺规作出AB，AC的垂直平分线，交于O点，以O为圆心，OA长为半径作出⊙O，⊙O即为花坛的位置，如图．(2)∵∠BAC＝90°，AB＝8米，AC＝6米，∴BC＝10米．∴△ABC外接圆的半径为5米．∴小明家圆形花坛的面积为25π平方米．B组(中档题)10．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BC＝5 cm.能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片311．(2020·成都树德中学二诊)如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，CO 的延长线交AB于点D.若BC ＝6，sin ∠BAC ＝35，则AC CD ＝9013．12．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是△ABC 两边的中点，如果DE ︵(可以是劣弧、优弧或半圆)上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称DE ︵为△ABC 的中内弧，例如，图中DE ︵是△ABC 其中的某一条中内弧．若在平面直角坐标系中，已知点F(0，4)，O(0，0)，H(4，0)，在△FOH 中，M ，N 分别是FO ，FH 的中点，则△FOH 的中内弧MN ︵所在圆的圆心P 的纵坐标m 的取值范围是m ≤1或m ≥2．13．如图，已知锐角△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为R. (1)求证：ACsinB＝2R ；(2)若在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，AC ＝3，求BC 的长及sinC 的值．解：(1)证明：连接AO 并延长交⊙O 于点D ，连接CD ， ∵AD 为直径， ∴∠ACD ＝90°.在Rt △ACD 中，sin ∠ADC ＝AC AD ＝AC2R ，∵∠B ＝∠ADC ，∴sinB ＝AC2R .∴ACsinB＝2R. (2)由(1)知AC sinB ＝2R ，同理可得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC＝2R. ∴2R ＝3sin60°＝2.∴BC ＝2R ·sin ∠BAC ＝2sin45°＝ 2. 作CE ⊥AB ，垂足为E ， ∴BE ＝BC ·cosB ＝2cos60°＝22， AE ＝AC ·cos ∠BAC ＝3cos45°＝62. ∴AB ＝AE ＋BE ＝62＋22. ∴sin ∠ACB ＝AB 2R ＝6＋24.14．已知：如图1，在△ABC 中，BA ＝BC ，D 是平面内不与A ，B ，C 重合的任意一点，∠ABC ＝∠DBE ，BD ＝BE.(1)求证：△ABD ≌△CBE ；(2)如图2，当点D 是△ABC 的外接圆圆心时，请判断四边形BECD 的形状，并证明你的结论．解：(1)证明：∵∠ABC ＝∠DBE ， ∴∠ABD ＝∠CBE.又∵BA ＝BC ，BD ＝BE ， ∴△ABD ≌△CBE(SAS)． (2)四边形BECD 是菱形．证明：∵△ABD ≌△CBE ，∴AD ＝CE. ∵点D 是△ABC 的外接圆圆心， ∴AD ＝BD ＝CD.又∵BD ＝BE ，∴BD ＝BE ＝EC ＝CD. ∴四边形BECD 是菱形．C 组(综合题)15．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝42，E ，F 分别为BC ，AD 上的点，过点E ，F 的直线将正方形ABCD 的面积分为相等的两部分，过点A 作AG ⊥EF 于点G ，连接DG ，则线段DG的最小值为。
北师大版 九年级数学下册 第三章 圆 专题课讲义 正多边形与圆的相关计算(解析版)
正多边形与圆的相关计算课前测试【题目】课前测试如图正方形ABCD内接于⊙O，E为CD任意一点，连接DE、AE．（1）求∠AED的度数．（2）如图2，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF，AF=1，AE=4，求DE的长度．【答案】∠AED=45°；DE =。
【解析】（1）如图1中，连接OA、OD．∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOD=90°，∴∠AED=∠AOD=45°．（2）如图2中，连接CF、CE、CA，作DH⊥AE于H．∵BF∥DE，AB∥CD，∴∠ABF=∠CDE，∵∠CFA=∠AEC=90°，∴∠DEC=∠AFB=135°，∵CD=AB，∴△CDE≌△ABF，∴AF=CE=1，∴AC==，∴AD=AC=，∵∠DHE=90°，∴∠HDE=∠HED=45°，∴DH=HE，设DH=EH=x，在Rt△ADH中，∵AD2=AH2+DH2，∴=（4﹣x）2+x2，解得x=或（舍弃），∴DE=DH=总结：本题考查正多边形与圆、全等三角形的判定和性质、勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型。
【难度】4【题目】课前测试如图，已知AB是⊙O的弦，半径OA=2cm，∠AOB=120°．（1）求tan∠OAB的值；（2）计算S△AOB；（3）⊙O上一动点P从A点出发，沿逆时针方向运动，当S△POA=S△AOB时，求P点所经过的弧长．（不考虑点P与点B重合的情形）【答案】tan∠OAB=；S△AOB=（cm2）；的长度==（cm）．【解析】（1）作OC⊥AB．∵∠AOB=120°，∴∠AOC=60°．∴OC=1，AC=．∴tan∠OAB=．（2）AC=，∴AB=2．∴S△AOB=2×1÷2=（cm2）．（3）如图，延长BO交⊙O于点P1，∵点O是直径BP1的中点，S△AP1O=AD×P1O，S△AOB=AD×BO，∵P1O=BO，∴S△P1OA=S△AOB，∠AOP1=60°．∴的长度为（cm）．作点A关于直径BP1的对称点P2，连接AP2，OP2，AP3，易得S△P2OA=S△AOB，∠AOP2=120°．∴的长度为（cm）．过点B作BP3∥OA交⊙O于点P3，则P2P3直径，易得S△P3OA=S△AOB，∴的长度==（cm）．总结：本题综合考查了解直角三角形，及三角形的面积公式及弧长公式．【难度】4知识定位适用范围：北师大版，初三年级，成绩中等以及中等以下知识点概述：正多边形与圆的相关计算是九年级下册第三章的内容，主要讲解了正多边形的相关概念、圆内接正多边形与外切正多边形定义与相关计算、弧长和扇形面积的计算公式。
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北师版九年级下数学第三章随堂练习34
一、选择题（共5小题；共25分）
1. 下列说法错误的是
A. 长度相等的两条弧是等弧
B. 直径是圆中最长的弦
C. 面积相等的两个圆是等圆
D. 半径相等的两个半圆是等弧
2. 点为的边上的点，且到，的距离相等，则一定是
A. 的角平分线
B. 的中线
C. 的高
D. 所在的直线是的垂直平分线
3. 小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜
子，小明带到商店去的一块碎片应该是
A. ①
B. ②
C. ③
D. ④
4. 如图，已知扇形的圆心角为，半径为，则图中弓形的面积为
5. 如图，是的直径，，是上两点，，则等于
A. B. C. D.
二、填空题（共4小题；共20分）
6. 一个扇形花坛，若圆心角为，半径为米，则这个扇形花坛的面积是．
7. 如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，连接，，
，若，则的度数为．
8. 阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学思考如下问题：
已知：在中，．
求作：，使得点在边上，且与，都相切．
小轩的主要作法如下：
如图，
（1）作的平分线，与交于点；
（2）以点为圆心，长为半径作．
所以即为所求．
老师说：“小轩的作法正确．”
请回答：与相切的依据是．
9. 如图，与两边都相切，切点分别为，，且，那么四边形
是．
三、解答题（共4小题；共52分）
10. 已知圆的半径长等于，根据下列圆心到直线的距离的大小，指出直线和圆有几个公
共点，并说明理由：
（1）．
（2）．
（3）．
11. 已知：如图，中，，，分别是，边上的中线，，相
交于点．
求证：．
12. 如图，在中，，，．若以点为圆心，为半径，且
与斜边只有一个公共点，求半径的取值范围．
13. 如图，，，分别与切于点，，，且．连接，，延长
交于点，过点作交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）当，时，求的半径及的长．
答案
第一部分
1. A 【解析】A、长度相等的弧的度数不一定相等，故错误；
B、直径是圆中最长的弦，正确；
C、面积相等的两个圆是等圆，正确；
D、半径相等的两个半圆是等弧，正确，故选：A．
2. A
3. A 【解析】第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任作两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
4. C
5. C
【解析】，，
，
，
故选：C．
第二部分
6. 平方米
7.
【解析】是的内心，
平分，
同理平分，平分，
，
，
，
，
，
.
8. 角平分线上的点到角两边的距离相等；若圆心到直线的距离等于半径，则这条直线为圆的切线
9. 正方形
第三部分
10. （1）直线和圆有两个公共点．理由略．
（2）直线和圆有一个公共点．理由略．
（3）直线和圆没有公共点．理由略．
11. 提示：设法证明，从而得到，推出．
12. 或．
13. （1），，分别与切于点，，，
，，
，
，
，
，
，
．
是的切线．
（2）连接，
则，由（1）知，是，
，
，
．
，即的半径为，
由（1）知，，，
，
．
即，
．。