线性代数知识点的总结

线性代数知识点总结

第一章行列式

第一节：二阶与三阶行列式

把表达式11221221a a a a -称为

1112

2122

a a a a 所确定的二阶行列式，并记作11122112a a a a ，

即1112

112212212122

.a a D a a a a a a =

=-结果为一个数。（课本P1）

同理，把表达式112233122331132132112332122133132231,a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++---称为由数

表11

121321

222331

a a a a a a a a a 所确定的三阶行列式，记作1112132122

23313233

a a a a a a a a a 。即11

1213

222331

a a a a a a a a a =112233122331132132112332122133132231,a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++---

二三阶行列式的计算：对角线法则（课本P2，P3）注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。利用行列式计算二元方程组和三元方程组：对二元方程组11112212112222

a x a x

b a x a x b +=??

+=?

设1112

2122

0a a D a a =

≠11212

b a D b a =

2212

.a b D a b =

则1

221

111122122

b a b a D x a a D

a a =

=，

2122

211122122

.a b a b D x a a D

a a =

=（课本P2）对三元方程组111122133121122223323113223333

a x a x a x

b a x a x a x b a x a x a x b ++=??

++=??++=?，

设11

1213

22233132330a a a D a a a a a a =≠， 1

1213

22233

33b a a D b a a b a a =，11

221223313

33a b a D a b a a b a =，11

121321

22231

a a

b D a a b a a b =，则11D x D =

，22D

x D =，33D x D

=。（课本上没有）注意：以上规律还能推广到n 元线性方程组的求解上。

第二节：全排列及其逆序数

全排列：把n 个不同的元素排成一列，叫做这n 个元素的全排列（或排列）。

n 个不同的元素的所有排列的总数，通常用P n (或A n )表示。（课本P5）

逆序及逆序数：在一个排列中，如果两个数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么称它们构成一个逆序，一个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。排列的奇偶性：逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列。（课本P5）

计算排列逆序数的方法：

方法一：分别计算出排在1,2,,1,n n -L 前面比它大的数码之和即分别算出1,2,,1,n n -L 这n 个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数。

方法二：分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数。（课本上没有）

第三节：n 阶行列式的定义

定义：n 阶行列式111212122212=

L L M M O M L

n n n n nn

a a a a a a D a a a 等于所有取自不同行、不同列的n 个元素的乘

积

1212n p p np a a a L 的代数和，其中p 1 p 2 … p n 是1， 2， … ，n 的一个排列，每一项的符号

由其逆序数决定。()

()

111211222211221122010

0n t n n nn nn nn

a a a a a D a a a a a a a =

=-=L L

L L L M M O M L

也可简记

为()

det ij a ，其中ij a 为行列式D 的（i ，j 元）。（课本P6）

根据定义，有()()

12121211

1212122212121=

-∑

L L L L L M M O M L

n n n

n t p p p n p p np p p p n n nn

a a a a a a D a a a a a a

说明：

1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;

2、n 阶行列式是!n 项的代数和;

3、n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列n 个元素的乘积;

4、1212n p p np a a a L 的符号为()1t

-，t 的符号等于排列12,,...n p p p 的逆序数 5、一阶行列式a a =不要与绝对值记号相混淆。

推论1：上，下三角行列式的值均等于其主对角线上各元素的乘积。

即()

()

111211222211221122010

0n t n n nn nn nn

a a a a a D a a a a a a a =

=-=L L

L L L M M O M L

推论2：主对角行列式的值等于其对角线上各元的乘积，副对角行列式的值等于()

()12

1n n --乘

以其副对角线上各元的乘积。

即

12n n

λλλλλλ=L O

，

()

()1

121n n n n

λλλλλλ-=-L N

（上述二推论证

明课本P7例6）

第四节：对换

定义：在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。将相邻两个元素对调，叫做相邻对换。（课本P8）

定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。推论

奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数。

（上述二定理证明课本P8）

定理2 n 阶行列式det()ij D a =的项可以写为12121122()()

(1)

n n n n t q q q t p p p q p q p q p a a a +-L L L ，

其中q 1q 2…q n 是行标排列，p 1p 2 …p n 是列标排列。（证明课本P9）

推论

设有n 阶行列式det()ij D a =，则1212()

12(1)

n n t q q q q q q n D a a a =

-∑L L 或

12121122()()(1)+=-∑L L L n n n n t q q q t p p p q p q p q p D a a a 或12

()12(1)n

t q q q p p np D a a a =-∑L L （行列

式三种不同表示方法）推论

在全部n 阶排列中()2n ≥，奇偶排列各占一半。

证明设在全部n 阶排列中有s 个奇排列，t 个偶排列，现来证=s t 。

将s 个奇排列的前两个数对换，则这s 个奇排列全变成偶排列，并且它们彼此不同，

所以s t ≤。

若将t 个偶排列的前两个数对换，则这t 个偶排列，全变成奇排列，并且它们彼此不

同，于是有t s ≤。综上有s=t 。

第五节：行列式的性质

定义记111212122212

n n n n nn

a a a a a a D a a a =

L L M M O M ，112111222212n n T

n n nn

a a a a a a D a a a =

L L M M O M L

，行列式T D 称为行列式

D 的转置行列式。

性质1 行列式与它的转置行列式相等。（证明课本P9）

说明行列式中行与列具有同等地位，因此凡是对行成立的行列式的性质的对列也成立。性质2 互换行列式的两行()

?i j r r 或列()

?i j c c ，行列式变号。（证明课本P10）推论

如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。

性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数()?j k r k ，等于用数k 乘此行列式；推论1 D 的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D 的外面; 推论2

D 中某一行（列）所有元素为零，则=0D 。

性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．（证明课本P10）性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则

1211

1212222212()()()i i n

i i n n n ni ni

a a a a a a a a a a D a a a a a '+'+=

'+L L L L M M M

M L

11121111121

121222221222

21212i n i n i n i n n n ni nn

n n ni

nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''=

'L L L L L L L L L L L L L L L L L L L

L L

性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式的值不变。（课本P11）

计算行列式常用方法：①利用定义；②利用运算

+i j r kr 把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值。说明行列式中行与列具有同等的地位，行列式的6个性质凡是对行成立的对列也同样

成立。

第六节行列式按行（列）展开

余子式在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的1n -阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij M 。代数余子式 ()

1i j

ij ij A M +=-记，叫做元素ij a 的代数余子式。

（课本P16）引理

一个n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除（i ，j ）(,)i j 元外ij a 都为零，那么这

行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积，即ij ij D a A =。（证明课本P16）

定理

n 阶行列式 11

1212122212=

L L M M O M L

n n n n nn

a a a a a a D a a a 等于它的任意一行（列）的各元素与其对应

的代数余子式的乘积之和，即1122i i i i in in D a A a A a A =+++L ，(1,2,,)

i n =L 1122j j j j nj nj D a A a A a A =+++L 或，(1,2,,)j n =L 。（证明课本P17）

扩展

范德蒙德(Vandermonde)行列式122

221

11112

111()≥>≥---==-∏L L L M M O M L

n n n i j n i j n n n n

x x x D x x x x x x x x 的

证明见课本P18

展开定理推论

n 阶行列式 111212122212=

L L M M O M L

n n n n nn

a a a a a a D a a a 的任意一行（列）的各元素与另一

行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即11220

()

i s i s in sn a A a A a A i s +++=≠L 11220()j t j t nj nt a A a A a A j t +++=≠L 或（证明课本P19）

第七节克拉默法则

如果线性方程组1111221121122222

1122+++=??+++=???

?+++=?L L M L n n n n n n nn n n

a x a x a x

b a x a x a x b a x a x a x b 的系数行列式不等于零，

即11

12121

222120=

≠L L

M M O M L

n n n n nn

a a a a a a D a a a ，那么该方程组有唯一解

312123,,,,n n D D D D

x x x x D D D D

===L 其中D i 是用非齐次项代替D 中第i 列元素后所得的行列式。（证明课本P53，第二章）注意

克拉默法则只适用于方程个数与未知量个数相等的情形。

定理4 如果线性方程组(1)的系数行列式D ≠0，则(1)一定有解，且解是唯一的。逆否定理

如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。

定理5 若齐次线性方程组

1111221

2112222

1122

...0

.......

...0

n n

n n nn n

a x a x a x

+++

?+++

＝

的系数行列式0

D≠，则其次

线性方程组没有非零解。（即解唯一，只有零解）

逆否定理如齐次方程组有非零解，则它的系数行列式D必为零。（课本P25）

第二章矩阵

第一节矩阵定义

由m n ?个数()

1,2,,;1,2,,ij

a i m j n ==L L 排成的m 行n 列的数表

1212221

n m m mn

a a a a a a a a a L

L M M M L

称为m 行n 列矩阵。简称m n ?矩阵，记作111212122211

n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ?

= ?

???

L L L L L L L

，

简记为()

()m n ij ij m n

A A a a ??===，,m n A ?这个数称为的元素简称为元。

说明元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。扩展

几种特殊的矩阵：

方阵：行数与列数都等于n 的矩阵A 。记作：A n 。行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。也称行(列)向量。同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。相等矩阵：AB 同型,且对应元素相等。记作：A ＝B 零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同）对角阵：不在主对角线上的元素都是零。

单位阵：主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：E n (不引起混淆时，也可

表示为E )（课本P29—P31）

注意矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得

其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。

第二节矩阵的运算

矩阵的加法设有两个m n ?矩阵()

()

ij ij A a B b ==和，那么矩阵A 与B 的和记作A B +，

规定为111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++??

+++ ?

+++??

L L L L L

说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。（课本P33）矩阵加法的运算规律

()1A B B A +=+；

()()()2A B C A B C ++=++

()()111212122211

3,()n n ij ij m n

m n m m mn a a a a a a A a A a a a a ??---??

?--- ?

=-=-= ?

?---??

L L L L L L L

设矩阵记，A -称为矩阵A 的负矩阵

()()()40,A A A B A B +-=-=+-。

（课本P33）数与矩阵相乘

,A A A λλλ数与矩阵的乘积记作或规定为

1112

12122211

,n n m m mn a a a a a a A A A A A a a a λλλλλλλλλλλλλλ??

? ?

== ?

???

L L L L L L L

数与矩阵的乘积记作或规定为

数乘矩阵的运算规律（设A B 、为m n ?矩阵，,λμ为数）

()()()1A A λμλμ=； ()()2A A A λμλμ+=+；

()()3A B A B λλλ+=+。

（课本P33）矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。

矩阵与矩阵相乘设(b )ij B =是一个m s ?矩阵，(b )ij B =是一个s n ?矩阵，那么规定矩阵

与矩阵

的乘积是一个m n ?矩阵(c )ij C =，其中

()12121122j j i i is i j i j is sj sj b b a a a a b a b a b b ??

? ?

=+++ ? ? ???

L L M 1s ik kj k a b ==∑，()1,2,;1,2,,i m j n ==L L ，

并把此乘积记作C AB = 注意

1。A 与B 能相乘的条件是：A 的列数＝B 的行数。

2。矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情况下，AB BA ≠，而且两个非零矩阵的

乘积可能是零矩阵。

3。对于n 阶方阵A 和B ，若AB=BA ，则称A 与B 是可交换的。

矩阵乘法的运算规律

()()()1AB C A BC =； ()()()()2AB A B A B λλλ==

()()3A B C AB AC +=+，()B C A BA CA +=+ ()4m n n n m m m n m n A E E A A ?????==

()5若A 是n 阶方阵，

则称 A k 为A 的k 次幂，即k

k A A A A =L 14243

个

，并且m k m k A A A +=，()k

m mk A A =(),m k 为正整数。规定：A 0＝E

注意矩阵不满足交换律，即AB BA ≠，()k

k k AB A B ≠（但也有例外）（课本P36）

纯量阵矩阵0E 0λ

λλ??

?= ? ???

O 称为纯量阵，作用是将图形放大λ倍。且有()(E)E A A A λλλ==，A 为n 阶方阵时，有()(E )n n n n n E A A A λλλ==，表明纯量阵与

任何同阶方阵都是可交换的。（课本P36）转置矩阵

把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A 的转置矩阵，记作A T

，

如122458A ??= ???，142528T

A ??

?= ? ?

。转置矩阵的运算性质

()()

T A A =；

()()2T

T T A B A B +=+；

()()

T A A λλ=；

()()

T T AB B A =。

（课本P39）方阵的行列式

由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式，叫做方阵A 的行列式，记作A 或

det A （记住这个符号）

注意

矩阵与行列式是两个不同的概念，n 阶矩阵是n 2个数按一定方式排成的数表，而n

阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数。运算性质

()

1T A A =；

()2n

A A λλ=；

(3)AB A B B A BA ===（课本P40）

对称阵设A 为n 阶方阵，如果满足A =A T ，即(),1,2,,ij ji a a i j n ==L 那么A 称为对

称阵。说明

对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等，如果T

A A =-则称矩阵A 为反对称

的。即反对称矩阵A =（a ij ）中的元素满足a ij ＝－a ji ，i ，j =1，2，…n 伴随矩阵

行列式A 的各个元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵

21112

22212n n n

n nn A A A A A A A A A A *?? ? ?

= ? ???

L L L L L L L

称为矩阵A 的伴随矩阵。性质

AA A A A E **==（易忘知识点）

（课本P41）共轭矩阵（略）（课本P42）

总结

（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。

（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩

阵相乘不满足交换律。

（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同。

第三节逆矩阵

定义

对于n 阶矩阵A ，如果有一个n 阶矩阵B ,使得AB ＝BA ＝E 则说矩阵A 是可逆的，

并把矩阵B 称为A 的逆矩阵。1

A A -的逆矩阵记作，1

A B -=即。

说明

1 A ，B 互为逆阵， A = B -1

2 只对方阵定义逆阵。

3.若A 是可逆矩阵，则A 的逆矩阵是唯一的。

定理1 矩阵A 可逆的充分必要条件是0A ≠，并且当A 可逆时，有1

A A

（重要）（证明见课本P43）奇异矩阵与非奇异矩阵

当0A =时，A 称为奇异矩阵，当0A ≠时，A 称为非奇异矩

阵。即0A A A ??≠可逆为非奇异矩阵。推论

若(A=E)AB E =或B ，则1

B A -=（证明见课本P43）

求逆矩阵方法

1(1)||||021(3)||

A A A A A A -≠=先求并判断当时逆阵存在；

（）求；求

。

逆矩阵的运算性质

()()

11,,A A

A ---=若可逆则亦可逆且

()()1

2,0,,A A A A λλλ--≠=

若可逆数则可逆且。

()1113,,,A B AB AB B A ---=若为同阶方阵且均可逆则亦可逆且()。

（以上证明见课本P43）

()()

()1

14,,T

T T A A A A --=若可逆则亦可逆且。

()1

5,A A A --=若可逆则有。

方阵的多项式

设2012()m

m x a a x a x a x ?=++++L 为x 的m 次多项式，A 为n 阶矩阵，

记2012(A)m

m a E a A a A a A ?=++++L 称(A)?为矩阵A 的m 次多项式。（课本P46）

注意

矩阵A 的任意两个多项式j (A )与f (A )可交换，即(A)()()()f A f A A φφ=，矩阵A

多项式可以像x 的多项式一样相乘或因式分解。矩阵多项式的计算

11(1),k k A P P A P P --=Λ=Λ如果则，则

2012(A)m

m a E a A a A a A ?=++++L 112111012()P m m Pa EP Pa P Pa P Pa P P ?-----=+Λ+Λ++Λ=ΛL （重要）

总结

逆矩阵的计算方法

()1待定系数法；()1

2A A A

-=利用公式；()()3初等变换法下一章介绍

第四节矩阵分块法

矩阵分块

将矩阵A 用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A 的子

块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。分块的目的是为了简化运算。分块矩阵的运算规则加法 A 与B 同型，且A 、B 的分块方法相同，则A 与B 的和定义为对应子块相加。

数乘

()ij A A λλ=。

转置

2111

121312

2313

23,T T T

T T T T A A A A A A A A A A A A A A ???? ?==

? ??? ??

设则。乘法首先AB 有意义，其次A 的列的分法与B 的行的分法相同。

,,A m l B l n ??设为矩阵为矩阵分块成

()1212,,(),()

t n B B

A A A A

B B ?? ? ?== ? ???

L M 即列向量组即行向量组，

1212,,,,,,,i i it j j tj A A A B B B L L 其中的列数分别等于的行数那么1111

r s sr C C AB C C ??

?= ? ???

L M

M L ，()11,,;1,,t

ij ik kj

k C A B i s j r ====∑L L 其中。

结论分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似。

分块对角阵（准对角矩阵）

设A 为n 阶矩阵，若A 的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，

且非零子块都是方阵，即1

s A A A A ??

?= ? ??

，()1,2,i

A i s =L 其中都是方阵，则

有：

121)s A A A A =L 。

2)0,,i s A A A A A A ??

?≠= ? ? ??

若每个则可逆且有，

()111

1121,2,,,,,i s A A i s A diag A A A ----?==L L 可逆可逆且（diag （A ）表示对角阵A ）

（课本P50）

有用的结论

T A A O,A O P5117==设则（证明见课本例）

线性方程组的分块表示

线性方程组1111221121122222

m11m22m ..............................................n n n n n n n

a x a x a x

b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=????+++=?，

111112112221222212

......A (), , , ...n n ij n m m m mn m x b a a a b x b a a a b a x b B x b a a a b ?????? ? ? ? ? ? ?==== ? ? ? ? ? ???????M M M M M M 记，其中A 为系数矩阵，x 称为未知数向量，b 称为常数向量，B 称为增广矩阵。增广矩阵可以分块表示为：12(,)(,,...,,)n B A b B a a a b ==或

第三章矩阵的初等变换与线性方程组

第一节矩阵的初等变换

初等行变换

()1()i j r r ?对调两行，记作。

()20()i k r k ≠?以数乘以某一行的所有元素，记作。

()3()i j k r kr +把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去，记作。

初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“r ”换成“c ”。扩展

矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换，初等变换的逆变换仍为初等变换,

且类型相同。矩阵等价

A B A B 如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价。

等价关系的性质

（1）反身性 A~A

2 A ~B , B ~A;（）对称性若则

3 A ~B,B ~C, A ~C （）传递性若则。（课本P59）

行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。

行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0.

标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如r

m n

E O

F O O ???

???的矩阵，称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。初等变换的性质

设A 与B 为m ×n 矩阵，那么

(1);r

A B m P PA B ?=:存在阶可逆矩阵，使 (2)~;c

A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使

(3)P ;A B m P n Q AQ B ?=:存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使

初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。初等矩阵的性质

设A 是一个m ×n 矩阵，则

（1）对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；

~;r

A B m P PA B ?=即存在阶可逆矩阵，使

（2）对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵；即~;c

A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使

(3)~P ;A B m P n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使

（4）方阵A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵1212,,,,l l P P P A PP P =L L 使。（5）~r

A A E 可逆的充分必要条件是。（课本P61—P63）初等变换的应用

（1）求逆矩阵：()

1(|)|A E E A -????→初等行变换或1A E E A -????

????

→

? ?????

初等列变换。（2）求A -1B ：A (,) ~ (,),r

A B E P 即()

1(|)|A B E A B -??→行

，则P =A -1B 。或

1E A B BA -??

??????

→ ? ?????

初等列变换. 第二节矩阵的秩

矩阵的秩任何矩阵m n A ?，总可以经过有限次初等变换把它变为行阶梯形，行阶梯形矩

阵中非零行的行数是唯一确定的。（非零行的行数即为矩阵的秩）

矩阵的秩在矩阵A 中有一个不等于0的r 阶子式D ，且所有r + 1阶子式(如果存在的