八年级因式分解经典练习(基础+提高+拓展)
初二因式分解练习题
初二因式分解练习题初中二年级的学生们在学习代数时常常会遇到因式分解的题目。
因式分解是将一个多项式写成若干个乘积的形式，它是代数学中的重要内容之一。
在这篇文章中，我们将为大家提供一些初二因式分解练习题，帮助大家巩固这一知识点。
练习题一：将多项式 x^2 + 8x + 16 进行因式分解。
解答：我们可以观察到，x^2 + 8x + 16 的三个项都是平方的形式。
而且，16 可以写成 4 的平方。
因此，我们猜测可能是一个完全平方的形式。
通过直接计算，我们可以将 (x + 4)(x + 4) 简化为 (x + 4)^2。
因此，x^2 + 8x + 16 的因式分解形式为 (x + 4)^2。
练习题二：将多项式 x^2 - 5x - 6 进行因式分解。
解答：观察 x^2 - 5x - 6 的三个项，我们可以猜测这可能是两个一次多项式的乘积形式。
我们考虑将 x^2 - 5x - 6 进行因式分解，得到 (x - 6)(x + 1)。
因此，x^2 - 5x - 6 的因式分解形式为 (x - 6)(x + 1)。
练习题三：将多项式 x^2 - 4 进行因式分解。
解答：我们观察到 x^2 - 4 的两个项是平方的形式，而且 4 可以写成 2 的平方。
通过直接计算，我们可以将 x^2 - 4 简化为 (x - 2)(x + 2)。
因此，x^2 - 4 的因式分解形式为 (x - 2)(x + 2)。
练习题四：将多项式 4x^2 - 25 进行因式分解。
解答：观察 4x^2 - 25 的两个项，我们可以猜测这可能是两个平方根的差的形式。
我们可以使用平方差公式来进行因式分解。
根据平方差公式，我们有 4x^2 - 25 = (2x)^2 - 5^2 = (2x - 5)(2x + 5)。
因此，4x^2 - 25 的因式分解形式为 (2x - 5)(2x + 5)。
练习题五：将多项式 2x^3 + 10x^2 + 12x 进行因式分解。
八年级因式分解常见方法和经典题型(适合基础和提高)
西安乐童教育中心八年级数学 因式分解常见方法讲解和经典题型常见方法一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)； (2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2； (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)； (4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)． 下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a bc ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！ =))((b a n m ++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。
八年级因式分解练习题精选
八年级因式分解练习题精选在初中数学学习中，因式分解是一个非常重要的知识点。
它不仅是数学中的一种基本运算，也是解决一些复杂问题的基础。
因此，掌握因式分解方法和技巧对于考试和日常生活都有很大的帮助。
下面，我将为大家精选一些八年级因式分解练习题，希望能够帮助大家在学习中更好地掌握这一知识点。
1. 将$x^2+8x+15$分解因式。
解析：$x^2+8x+15$可以写成$(x+5)(x+3)$的形式，因为$5\times 3=15$，$5+3=8$。
2. 将$8x^2-24x$分解因式。
解析：$8x^2-24x$可以写成$8x(x-3)$的形式，因为$8x\times (-3)=-24x$。
3. 将$x^2-6x+9$分解因式。
解析：$x^2-6x+9$可以写成$(x-3)^2$的形式，因为$(x-3)\times (x-3)=x^2-6x+9$。
4. 将$5x^2-7x-6$分解因式。
解析：$5x^2-7x-6$可以写成$(x-2)(5x+3)$的形式，因为$-2\times 5=-10$，$-2\times 3=-6$，$5\times 3=15$，$15-10=5$，$5x^2-7x-6=(x-2)(5x+3)$。
5. 将$4x^3+32x^2+72x$分解因式。
解析：$4x^3+32x^2+72x$可以写成$4x(x+3)(x+6)$的形式，因为$4\times 3=12$，$4\times 6=24$，$3\times 6=18$，$12+18=30$，$30+24=54$，$54x=72x$，$4x^3+32x^2+72x=4x(x+3)(x+6)$。
6. 将$2x^3-98x$分解因式。
解析：$2x^3-98x$可以写成$2x(x+7)(x-7)$的形式，因为$2\times 7=14$，$2\times (-7)=-14$，$14-(-14)=28$，$28x=98x$，$2x^3-98x=2x(x+7)(x-7)$。
八年级上册因式分解分类练习题(经典全面)
因式分解练习题(提取公因式)专项训练一：确定以下各多项式的公因式。
1、ay ax +2、36mx my -3、2410a ab +4、2155a a +5、22x y xy -6、22129xyz x y -7、()()m x y n x y -+-8、()()2x m n y m n +++9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a --- 专项训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。
1、22____()R r R r ππ+=+2、222(______)R r πππ+=3、2222121211___()22gt gt t t +=+ 4、2215255(_______)a ab a +=专项训练三、在以下各式左边的括号前填上“+〞或“－〞，使等式成立。
1、__()x y x y +=+ 2、__()b a a b -=- 3、__()z y y z -+=- 4、()22___()y x x y -=-5、33()__()y x x y -=-6、44()__()x y y x --=-7、22()___()()n n a b b a n -=-为自然数8、2121()___()()n n a b b a n ++-=-为自然数9、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 10、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 11、23()()___()a b b a a b --=- 12、246()()___()a b b a a b --=- 专项训练四、把以下各式分解因式。
1、nx ny -2、2a ab +3、3246x x -4、282m n mn +5、23222515x y x y -6、22129xyz x y -7、2336a y ay y -+8、259a b ab b -+ 9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+11、323612ma ma ma -+- 12、32222561421x yz x y z xy z +-13、3222315520x y x y x y +- 14、432163256x x x --+专项训练五：把以下各式分解因式。
初二下册因式分解练习题
初二下册因式分解练习题因式分解是初中数学学习的重要内容之一，它是进一步理解和应用代数运算的基础。
通过因式分解，我们可以将一个多项式拆解为更简洁的形式，从而更好地理解和解决数学问题。
下面是一些初二下册的因式分解练习题，帮助同学们巩固这一知识点。
练习题一：1. 将多项式 $2x^2 + 3x + 1$ 进行因式分解。
解析：首先看到这是一个三项式，我们可以先试着寻找是否存在公因式。
观察系数，发现它们都没有公因式，所以我们需要采用其他的因式分解方法。
2. 将多项式 $x^2 - 4y^2$ 进行因式分解。
解析：这是一个差的平方形式，我们可以使用差两平方公式进行因式分解。
差两平方公式是指：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$。
根据差两平方公式，我们可以将多项式 $x^2 - 4y^2$ 分解为 $(x + 2y)(x - 2y)$。
练习题二：1. 将多项式 $x^2 + 3xy + 2y^2$ 进行因式分解。
解析：这是一个二次多项式，我们需要寻找是否存在公因式。
观察系数和变量的指数，可以发现它们都没有公因式。
2. 将多项式 $4x^3 + 8x^2y + 4xy^2$ 进行因式分解。
解析：这是一个三项式，我们需要寻找是否存在公因式。
观察系数和变量的指数，可以发现它们都有公因式 $4x$，所以我们可以因式分解为 $4x(x^2 + 2xy + y^2)$。
练习题三：1. 将多项式 $x^3 + 2x^2 - x - 2$ 进行因式分解。
解析：这是一个四项式，我们需要寻找是否存在公因式。
观察系数和变量的指数，可以发现它们都没有公因式。
这时我们需要采用其他的因式分解方法。
2. 将多项式 $x^4 - 16$ 进行因式分解。
解析：这是一个二次多项式，它是一个差两平方的形式。
利用差两平方公式，我们可以将多项式 $x^4 - 16$ 分解为 $(x^2 + 4)(x^2 - 4)$。
进一步分解得到 $(x^2 + 4)(x + 2)(x - 2)$。
精品 八年级数学下册 因式分解提高题02
整式的乘除 练习题1.计算 (-3)2n+1+3•(-3)2n结果正确的是( )A. 32n+2B. -32n+2C. 0D. 12.若16n m n a a a ++= ，且21m n -= ，则n m 的值为（ ）A.1B. 2C.3D.4 3.下列多项式乘法，不能用平方差公式计算的是( )A.(-a-b )(-b+a)B.(xy+z) (xy-z)C.(-2a-b) (2a+b)D.(0.5x-y) (-y-0.5x)4.设(5a+3b)2=(5a-3b)2+M,则M 的值是( )A. 30abB. 60abC. 15abD. 12ab 5.a 4+(1－a)(1+a)(1+a 2)的计算结果是( )A.－1B.1C.2a 4－1D.1－2a 46.-a n 与(-a)n的关系是( )A. 相等B. 互为相反数C. 当n 为奇数时,它们相等; 当n 为偶数时,它们互为相反数D. 当n 为奇数时,它们互为相反数; 当n 为偶数时,它们相等7.若（x －3）（x+4）=x 2+px+q,那么p 、q 的值是( )A.p=1,q=－12B.p=－1,q=12C.p=7,q=12D.p=7,q=－12 8.下列各式中计算正确的是 ( )A.（2p+3q ）(－2p+3q)=4p 2－9q 2B.(12a 2b －b)2=14a 4b 2－12a 2b 2+b 2 C.（2p －3q ）(－2p －3q)=－4p 2+9q 2 D.( －12a 2b －b)2=－14a 4b 2－a 2b 2－b 29.已知x 、y 是实数，3x ＋4 ＋y 2－6y ＋9＝0，则xy 的值是（ ）A.4B.－4C.94D.－9410.已知：a m=2，b n =32，则n m 1032+=________11.(_____－4b)(_____+4b)=9a 2－16b 2;(_____－2x)(_____－2x)=4x 2－25y 2;(xy －z)(z+xy)=_____; (65x －0.7y)(65x+0.7y)=_____;(41x+y 2)(_____)=y 4－161x 2 12.多项式(mx+8)(2-3x)展开后不含x 项, 则m= 13.如果=-+=-k a a k a 则),21)(21(31214.正方形面积为)0,0(2212122>>++b a y xy x 则这个正方形的周长是 15.设4x 2+mx+121是一个完全平方式,则m=16.已知a+b=7,ab=12,则a 2+b 2=17.若代数式26x x b -+可化为2()1x a --，则b a -的值是18.已知：()()212-=---y x x x ，则xy y x -+222=19.24(21)(21)(21)+++的结果为20.如果（2a ＋2b ＋1）(2a ＋2b －1)=63，那么a ＋b 的值为___________ 21.若210,n n +-=则3222008_______.n n ++= 22.已知0258622=+--+b a b a ，则代数式baa b -的值是___________ 23.已知：0106222=+++-y y x x ，则=x _________，=y _________。
八年级因式分解练习题
八年级因式分解练习题在八年级数学学习中，因式分解是一个重要的知识点。
掌握因式分解的方法对于解决数学问题和提高解题能力非常有帮助。
下面将为大家呈现一些八年级因式分解的练习题，希望能够帮助大家巩固这一知识点。
题目一：因式分解1. 将xy + 4y分解为两个因式的乘积。
解析：首先我们观察到xy和4y都有一个共同的因子y。
因此，我们可以将xy + 4y写为y(x + 4)。
2. 将4x^2 - 12x分解为两个因式的乘积。
解析：首先，我们可以找出4x^2和12x的最大公因数为4x。
将4x^2和12x同时除以4x，得到4x^2 ÷ 4x = x 和 12x ÷ 4x = 3。
因此，4x^2 - 12x可以分解为4x(x - 3)。
3. 将9a^2 - 25b^2分解为两个因式的乘积。
解析：观察到9a^2是一个完全平方数，可以写成(3a)^2。
类似地，25b^2也是一个完全平方数，可以写成(5b)^2。
因此，9a^2 - 25b^2可以分解为(3a + 5b)(3a - 5b)。
题目二：因式分解应用1. 一个长方形的长是2a + 3，宽是a - 1。
将其周长表示为一个因式的乘积。
解析：长方形的周长是将长和宽的两倍相加，即周长 = 2(2a + 3 + a - 1) = 2(3a + 2) = 6a + 4。
因此，周长可以表示为2(3a + 2)，即2(2a + 3+ a - 1)。
2. 化简表达式6x^2 - 9xy + 15x。
解析：观察到6x^2，-9xy和15x都有一个最大公因数为3x。
因此，可以将表达式化简为3x(2x - 3y + 5)。
3. 将4x^3y^2 + 6xy^2 + 9x^2y分解为两个因式的乘积。
解析：观察到4x^3y^2，6xy^2和9x^2y都有一个最大公因数为xy。
因此，可以将表达式分解为xy(4x^2y + 6y + 9x)。
这些练习题涵盖了八年级因式分解的基本概念和常见应用。
专题21.8 解一元二次方程—因式分解法(拓展提高)(解析版)
专题21.8 解一元二次方程—因式分解法（拓展提高）一、单选题1．下列一元二次方程最适合用分解因式法解的是( )A ．（x-1）（x-2）=3B ．x 2 +4x=23C ．x 2+2x-1=0D ．（x-3）2=x 2-9【答案】D【分析】先观察每个方程的特点，根据方程的特点逐个判断即可．【详解】解：A 、不适合用分解因式解方程，故本选项不符合题意；B 、不适合用分解因式解方程，故本选项不符合题意；C 、不适合用分解因式解方程，故本选项不符合题意；D 、最适合用分解因式解方程，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生的理解能力和判断能力．2．方程(1)(3)1x x x -+=-的根是（ ）A ．1x =B ．123,1x x =-=C ．122,1x x =-=D ．123,0x x =-= 【答案】C【分析】利用因式分解法解一元二次方程，即可得到答案．【详解】解：∵（x -1）（x+3）=x -1，∴（x -1）（x+3）-（x -1）=0，∴（x -1）（x+2）=0，则x -1=0或x+2=0，解得：x 1=1，x 2=-2，故选：C ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．3．一元二次方程（x +1）2﹣2（x ﹣1）2＝7的根的情况是（ ）A ．无实数根B ．有一正根一负根C ．有两个正根D ．有两个负根【分析】解方程，根据方程根的情况判断即可．【详解】解：∵（x +1）2﹣2（x ﹣1）2＝7，∴x 2+2x +1﹣2（x 2﹣2x +1）＝7，整理得：﹣x 2+6x ﹣8＝0，则x 2﹣6x +8＝0，（x ﹣4）（x ﹣2）＝0，解得：x 1＝4，x 2＝2，故方程有两个正根．答案：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用因式分解法解方程．4．方程2450x x -=+的解是121,5x x ==-，现给出另一个方程2(21)4(21)50x x -+--=，它的解是（ ）A ．121,2x x ==B ．121,2x x ==-C ．121,2x x =-=D ．121,2x x =-=- 【答案】B【分析】结合已知方程的解，利用换元法解一元二次方程即可得．【详解】解：2(21)4(21)50x x -+--=，令21y x =-，则方程可转化为2450y y +-=，由题意得：121,5y y ==-，即12211,215x x -=-=-，解得121,2x x ==-，故选：B ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键．5．已知1x ，2x 是一元二次方程22(21)10x m x m +++-=的两不相等的实数根，且221212170x x x x ++-=，则m 的值是（ ）A ．53或3-B ．3-C ．53D ．53-【分析】先利用判别式的意义得到m ＞−54，再根据根与系数的关系的12(21)x x m +=-+，2121x x m =-，则由221212170x x x x ++-=可得()()22211170m m ---+=，然后解关于m 的方程，最后确定满足条件的m 的值．【详解】解：根据题意得△＝222141m m --(+)()＞0，解得m ＞−54， 根据根与系数的关系的12(21)x x m +=-+，2121x x m =-，∵221212170x x x x ++-=，∴()21212170x x x x --+=，∴()()22211170m m ---+=， 整理得234150m m -+=，解得153m =，23m =-， ∵m ＞−54， ∴m 的值为53． 故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握根的判别式及根与系数的关系是解答此题的关键．6．如图，已知等边△ABC 外有一点P ，P 落在∠BAC 内，设P 到BC 、CA 、AB 的距离分别为h 1，h 2，h 3，满足h 2+h 3﹣h 1＝6，那么等边△ABC 的面积为（ ）A ．3B ．3C ．3D ．3【答案】D 【分析】设等边三角形ABC 的边长为a ，可求S △ABC 23a ，连结PA 、PB 、PC ，可求S △ABP =212ah ，S △ACP =312ah ，S △BCP =112ah ，利用面积差可求S △ABC = S △ABP + S △ACP - S △BCP 3=a ，利用同一个三角形面积构造方程234a =3a ，解方程求出a 即可解决问题． 【详解】解：设等边三角形ABC 的边长为a ，∴S △ABC =23a ， 连结PA 、PB 、PC ，∵S △ABP =212ah ，S △ACP =312ah ，S △BCP =112ah ， ∴S △ABC = S △ABP + S △ACP - S △BCP =+312ah -112ah =()231132a h h h a +-=， ∴234a =3a ， 解得=430a a =，（舍去），S △ABC 3123a ==．故选择：D ．【点睛】本题考查等边三角形面积，掌握三角形面积公式，利用面积差求出△ABC 的面积，构造方程是解题关键．二、填空题7．若分式221x x x --+的值为零，则x 的值为_______． 【答案】2【分析】根据分式值为的条件：分子为0，分母不为0，列式即可．【详解】解：∵分式221x x x --+的值为零， ∴22x x --=0且10x +≠，解方程得，1212x x =-=，；解不等式得，1x ≠-，∴2x =故答案为：2．【点睛】本题考查了分式值为零的条件，包含一元二次方程和一元一次不等式，解题关键是明确分式值为0，分子为0分母不为0，列出方程和不等式求解．8．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知90,3,10A BD CF ∠=︒==，则OE 的长度是_________．【答案】2【分析】设正方形ADOF 的边长为x ，在直角三角形ACB 中，利用勾股定理可建立关于x 的方程，解方程即可，进而全等三角形的性质得出OE 的长．【详解】解：设正方形ADOF 的边长为x ，由题意得：BE =BD =3，CE =CF =10，∴BC =BE +CE =BD +CF =13，在Rt △ABC 中，AC 2+AB 2=BC 2，即（10+x ）2+（x +3）2=132，整理得，x 2+13x 30-=0，解得：x =2，或x =-15（舍去），即正方形ADOF 的边长是2，∴DO =FO =2，∵△BOD ≌△BOE ，∴2OE OD ==．故答案为：2．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质、一元二次方程的解法、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．9．已知关于x 的一元二次方程()2222230k x x k k -+--+=1有一个根是零，则k =______．【答案】3-【分析】由一元二次方程可知二次项系数不为0，得到关于k 的一个不等式，由它有一个根是0，将0代入后又得到关于k 的一个一元二次方程，综合这两个式子即可求解．【详解】解：由题可得 22102303k k k k ⎧-≠⎨--+=⎩∴=-故答案为3-．【点睛】本题考查了一元二次方程和一元二次方程根的的概念，解题过程中涉及到了解不等式和一元二次方程，因此牢记相关定义和计算步骤是解题关键．10．已知三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x 2－4x ＋3＝0的一个根，则这个三角形的周长为____________．【答案】8【分析】将方程左边进行因式分解后求出方程的两个根，利用三角形的三边关系可以判断出三角形的第三边长是3，由此即可求出周长．【详解】解：由题可知：()()243130x x x x -+=--=121 3x x ∴==．123+>不成立，∴由三角形的三边关系可知它的第三边长为3，∴三角形周长为2+3+3=8．故答案为：8．【点睛】本题考查了三角形的三边关系和解一元二次方程的内容，学生需要掌握三角形任意两边之和大于第三边的结论，题中方程用因式分解法解更为简便，该题考查了考生对三角形三边关系的理解与应用以及灵活运用恰当的方法解一元二次方程的能力．11．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2＋3x＋m﹣1＝0为“友好方程”，则m的值_____．【答案】1或-9【分析】通过解方程x2-2x=0，可得出方程的根，分x=0为两方程相同的实数根或x=2为两方程相同的实数根两种情况考虑：①若x=0是两个方程相同的实数根，将x=0代入方程x2+3x+m-1=0中求出m的值，将m 的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出m=1符合题意；②若x=2是两个方程相同的实数根，将x=2代入方程x2+3x+m-1=0中求出m的值，将m的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出m=2符合题意．综上此题得解．【详解】解：解方程x2-2x=0，得：x1=0，x2=2．①若x=0是两个方程相同的实数根．将x=0代入方程x2+3x+m-1=0，得：m-1=0，∴m=1，此时原方程为x2+3x=0，解得：x1=0，x2=-3，符合题意，∴m=1；②若x=2是两个方程相同的实数根．将x=2代入方程x2+3x+m-1=0，得：4+6+m-1=0，∴m=-9，此时原方程为x2+3x-10=0，解得：x1=2，x2=-5，符合题意，∴m=-9．综上所述：m的值为1或-9．故答案为：1或-9．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，代入x求出m的值是解题的关键．12．对于实数,a b，定义运算“*”：)()0a ba ba b≤<*=≥．例如92*，因为92≥，所以92*==．若12,x x是一元二次方程212270x x-+=的两个根，则12x x*=_________．3【分析】首先解出一元二次方程的两个解，然后根据定义新运算分情况讨论即可．【详解】∵12,x x 是一元二次方程212270x x -+=的两个根，()()390x x ∴--=，∴123,9x x ==或129,3x x ==， 当123,9x x ==时，123933x x *=-=-；当129,3x x ==时，12936x x *=-=；综上所述，12x x *的值为33-或6，故答案为：33-或6．【点睛】本题主要考查定义新运算，分情况讨论是关键．13．已知等边ABC ，AE BD =，连接AD ，CE 交于点F ，连接BF ，19BF =，5CF =，若2AF >时，则AC =__________．【答案】7【分析】延长AD 至G 点，使得FG =FC ，连接BG ，CG ，作BH ⊥DG 于H 点，通过条件证明△ABD ≌△CAE ，得到△FGC 为等边三角形，再分别在Rt △BHG ，Rt △BFH ，和Rt △ABH 中运用勾股定理求解即可．【详解】如图所示，延长AD 至G 点，使得FG =FC ，连接BG ，CG ，作BH ⊥DG 于H 点，∵△ABC 是等边三角形，∴AB =CA ，∠ABD =∠CAE =60°，∵AE =BD ，∴△ABD ≌△CAE ，∴∠BAD =∠ACE ，∴∠DFC =∠CAF +∠ACE =∠CAF +∠BAD =∠BAC =60°，∴△FGC 为等边三角形，∴∠FCG =60°，FC =GC ，∵∠ACB =60°，AC =BC ，∴△ACF ≌△BCG ，∴AF =BG ，∠AFC =∠BGC =120°，∴∠BGH =60°，在Rt △BHG 中，设GH =x ，则BG =2x ，BH =3x ， ∴FH =FG -GH =5-x ，则在Rt △BFH 中，()221935x x =+-，解得：132x =，21x =（不符合题意，舍去） ∴GH =32，BG =AF =2GH =3，FH =72，BH =332， ∴AH =AF +FH =132， 在Rt △ABH 中，221333722AB ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴AC =AB =7，故答案为：7．【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理解三角形等，灵活结合等边三角形的性质以及常见证明全等的模型构造出辅助线是解题关键．14．阅读理解：对于()321x n x n -++这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：()()()()3232222()()(1)()1x n x n x n x x n x x n x n x x n x n x n x n x nx -++=--+=---=+-=-+--一理解运用：如果()3210x n x n -++=，那么()2(10)x n x nx -+-=，即有0x n -=或210x nx +-=，因此，方程0x n -=和210x nx +-=的所有解就是方程()321x n x n -++=0 的解．解决问题：求方程31030x x -+=的解为___________．【答案】1233,x x x === 【分析】通过因式分解的方法把方程左边分解因式，这样把原方程转化为x−3＝0或x 2＋3x−1＝0，然后解一次方程和一元二次方程即可．【详解】解：∵x 3−10x ＋3＝0，∴x 3−9x−x ＋3＝0，x （x 2−9）−（x−3）＝0，（x−3）（x 2＋3x−1）＝0，∴x−3＝0或x 2＋3x−1＝0，∴1233,x x x ===．故答案为：1233,x x x ===． 【点睛】本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．也考查了公式法解一元二次方程．三、解答题15．解方程：（1）x 2﹣7x ﹣18＝0（2）（2x ﹣3）2﹣2（2x ﹣3）﹣3＝0．【答案】（1）x 1＝9，x 2＝﹣2；（2）x 1＝3，x 2＝1【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）把（2x ﹣3）看成整体，利用因式分解法求解即可．【详解】解：（1）x 2﹣7x ﹣18＝0，（x ﹣9）（x +2）＝0，∴x ﹣9＝0或x +2＝0，∴x 1＝9，x 2＝﹣2；（2）（2x ﹣3）2﹣2（2x ﹣3）﹣3＝0，[（2x ﹣3）﹣3][（2x ﹣3）+1]＝0，∴（2x ﹣3）﹣3＝0或（2x ﹣3）+1＝0，∴x 1＝3，x 2＝1.【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程、解一元二次方程-因式分解法，准确计算是解题的关键． 16．先化简，再求值：213(2)211a a a a a +-÷+-+-，其中a 是方程x 2＋2x ﹣3＝0的一个根． 【答案】11a -；14- 【分析】原式除数括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出方程的解得到a 的值，代入计算即可求出值． 【详解】解：213(2)211a a a a a +-÷+-+- 21223(1)1a a a a a +-+-÷--＝ 211(1)1a a a a +-⋅-+＝ 11a -＝， ∵a 是方程x 2＋2x ﹣3＝0的一个根．∴3a =-或a =1，当a =1时，原式无意义，舍去；当a =-3时，原式11314==---． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，以及解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．已知关于x 的一元二次方程240x x a -+=有两个不相等的实数根（1）求a 的取值范围；（2）请你给出一个符合条件的a 的值，并求出此时方程的解．【答案】（1）4a <；（2）此题答案不唯一，3a =，11x =，23x =【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式即可求解；（2）令3a =，利用因式分解法求解方程即可．【详解】解：（1）∵关于x 的一元二次方程一般式为240x x a -+=，∴224(4)41164b ac a a ∆=-=--⨯⨯=-，∵方程有两个不相等的实数根，0∴∆>．1640a ∴->，4a ∴<；（2）此题答案不唯一．如3a =，∴一元二次方程为2430x x -+=，因式分解得()()130x x --=，11x ∴=，23x =．∴当3a =时，方程的根为11x =，23x =．【点睛】本题主要考查根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．18．已知11x y =⎧⎨=-⎩是方程组28ax by bx ay +=-⎧⎨-=⎩的解． （1）求ab 的值；（2）若已知一个三角形的一条边长为4，它的另外两条边的长是方程2()0x a b x ab -++=的解，试判断这个三角形的形状并说明理由．【答案】（1）15ab =；（2）该三角形是直角三角形．理由见解析．【分析】（1）将x 与y 的值代入原方程组即可求出a 、b 的值；（2）将（1）中求得a ，b 值代入，列出方程x 2-8x +15=0，利用因式分解法求得该方程的两根．然后判断该三角形的形状．【详解】解：（1）把11x y =⎧⎨=-⎩代入方程组28ax by bx ay +=-⎧⎨-=⎩，得28a b b a -=-⎧⎨+=⎩，解得：35a b =⎧⎨=⎩． 所以3515=⨯=ab ；（2）该三角形是直角三角形．理由如下：由（1）知，35a b =⎧⎨=⎩，则8a b +=，15ab =． 由题意知，28150x x -+=．整理，得(3)(5)0x x --=．解得13x =，25x =，所以该三角形的三边长分别是3，4，5．因为222345+=．所以该三角形是直角三角形．【点睛】本题综合考查了二元一次方程组的解，三角形的三边关系，因式分解法解一元二次方程，还考查了勾股定理的逆定理．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．19．对于实数m 、n ，定义一种运算：m n mn n =+△．（1）求2-（2）如果关于x 的方程()14x a x =-△△有两个相等的实数根，求实数a 的值．【答案】（1）-；（2）0a =【分析】（1）根据新运算“△”的运算公式进行运算即可得出结论；（2）根据新运算“△”的运算公式将方程进行变形，再根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于a 的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解:（1）22-=-△2=-⨯=-42=- （2）()14x a x =-△△， ()14x ax x +=-△ ()()14x ax x ax x +++=- ()()211104a x a x ++++= 整理得：4（a +1）x 2+4（a +1）x +1＝0．∵关于x 的方程()14x a x =-△△有两个相等的实数根， ∴ ()()2101611610a a a +≠⎧⎪⎨=+-+=⎪⎩， ∴a ＝0．【点睛】本题考查了实数的运算、根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）根据新运算“△”的运算公式进行运算；（2）由原方程有两个相等的实数根，找出关于a 的一元一次不等式及一元二次方程．20．阅读理解：对于线段MN 和点Q ，定义：若QM ＝QN ，则称点Q 为线段MN 的“等距点”；特别地，若∠MQN ＝90°，则称点Q 是线段MN 的“完美等距点”．解决问题：如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(4，0)，点P (m ，n )是直线y ＝﹣12x 上一动点．（1）已知4个点：B (2，﹣3)、C (2，﹣2)、D (﹣2，2)、E (23，则线段OA 的“等距点”是 ，线段OA 的“完美等距点”是 ．（2）若OP H在y轴上，且H是线段AP的“等距点”，求点H的坐标；（3）当m＞0，是否存在这样的点N，使点N是线段OA的“等距点”且为线段OP的“完美等距点”，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）B，C，E为等距点，C为完美等距点；（2）(0，112)或(0，﹣112)；（3）存在，(8，﹣4)或(83，﹣4 3 )【分析】（1）依据两点之间的距离公式分别计算各点到O，A的距离，根据等距点和完美等距点做出判断；（2）设出H点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论；（3）假定存在，设出N点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论．【详解】解：（1）∵OB=AB=∴OB＝AB．∴B为等距点．∵OC==，AC==∴OC＝AC．∴C为等距点．∵OD==AD=∴OD≠AD．∴D不为等距点．∵OE=AE=∴OE＝AE．∴E为等距点．∵OA＝4，∴OB2+AB2≠OA2，OC2+AC2＝OA2，OD2+AD2≠OA2，OE2+AE2≠OA2，∴C为完美等距点．故答案B，C，E．C为完美等距点．（2）∵P（m，n）在y＝﹣12x上，∴n＝﹣12 m．∴OP===∴m＝±2．∴n＝±1．∴P（2，﹣1）或P（﹣2，1）．设H的坐标为（0，t），∴PH．∵AHAH＝HP，==解得：t＝112或t＝﹣112．经检验，符合题意，∴H的坐标为（0，112）或（0，﹣112）．（3）存在．理由：设N点的坐标为（2，b），∵P（m，﹣12 m），∴ON PN∵点N是线段OA的“等距点”，∴ON＝PN．=解得：b＝4﹣54 m．∵N为线段OP的“完美等距点”，∴ON⊥PN．∴△OPN为等腰直角三角形．∴OP ON．∵OP，ON解得：m＝8或m＝83．经检验，符合题意，当m＝8时，﹣12m＝﹣4．当m＝83时，﹣12m＝﹣43．∴P点的坐标为（8，﹣4）或（83，﹣43）．【点睛】此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知一次函数的性质及勾股定理的应用．。
八年级数学经典练习题附答案因式分解
八年级数学经典练习题附答案因式分解因式分解练习题一、填空题：2．a－33－2a=_______3－a3－2a；12．若m2－3m＋2=m＋am＋b;则a=______;b=______；15．当m=______时;x2＋2m－3x＋25是完全平方式．二、选择题：1．下列各式的因式分解结果中;正确的是A．a2b＋7ab－b＝ba2＋7a B．3x2y－3xy－6y=3yx－2x＋1C．8xyz－6x2y2＝2xyz4－3xy D．－2a2＋4ab－6ac＝－2aa＋2b－3c 2．多项式mn－2－m22－n分解因式等于A．n－2m＋m2 B．n－2m－m2 C．mn－2m＋1 D．mn－2m－13．在下列等式中;属于因式分解的是A．ax－y＋bm＋n＝ax＋bm－ay＋bn B．a2－2ab＋b2＋1=a－b2＋1 C．－4a2＋9b2＝－2a＋3b2a＋3b D．x2－7x－8=xx－7－84．下列各式中;能用平方差公式分解因式的是A．a2＋b2 B．－a2＋b2 C．－a2－b2 D．－－a2＋b25．若9x2＋mxy＋16y2是一个完全平方式;那么m的值是A．－12 B．±24 C．12 D．±126．把多项式an+4－an+1分解得A．ana4－a B．an-1a3－1 C．an+1a－1a2－a＋1 D．an+1a－1a2＋a＋1 7．若a2＋a＝－1;则a4＋2a3－3a2－4a＋3的值为A．8 B．7 C．10 D．128．已知x2＋y2＋2x－6y＋10=0;那么x;y的值分别为A．x=1;y=3 B．x=1;y=－3 C．x=－1;y=3 D．x=1;y=－3 9．把m2＋3m4－8m2＋3m2＋16分解因式得A．m＋14m＋22 B．m－12m－22m2＋3m－2C．m＋42m－12 D．m＋12m＋22m2＋3m－2210．把x2－7x－60分解因式;得A．x－10x＋6 B．x＋5x－12 C．x＋3x－20 D．x－5x＋1211．把3x2－2xy－8y2分解因式;得A．3x＋4x－2 B．3x－4x＋2 C．3x＋4yx－2y D．3x－4yx＋2y 12．把a2＋8ab－33b2分解因式;得A．a＋11a－3 B．a－11ba－3b C．a＋11ba－3b D．a－11ba＋3b13．把x4－3x2＋2分解因式;得A．x2－2x2－1 B．x2－2x＋1x－1C．x2＋2x2＋1 D．x2＋2x＋1x－114．多项式x2－ax－bx＋ab可分解因式为A．－x＋ax＋b B．x－ax＋b C．x－ax－b D．x＋ax＋b15．一个关于x的二次三项式;其x2项的系数是1;常数项是－12;且能分解因式;这样的二次三项式是A．x2－11x－12或x2＋11x－12 B．x2－x－12或x2＋x－12C．x2－4x－12或x2＋4x－12 D．以上都可以16．下列各式x3－x2－x＋1;x2＋y－xy－x;x2－2x－y2＋1;x2＋3x2－2x＋12中;不含有x－1因式的有A．1个 B．2个 C．3个D．4个17．把9－x2＋12xy－36y2分解因式为A．x－6y＋3x－6x－3 B．－x－6y＋3x－6y－3C．－x－6y＋3x＋6y－3 D．－x－6y＋3x－6y＋318．下列因式分解错误的是A．a2－bc＋ac－ab=a－ba＋c B．ab－5a＋3b－15=b－5a＋3C．x2＋3xy－2x－6y=x＋3yx－2 D．x2－6xy－1＋9y2=x＋3y＋1x＋3y－1 19．已知a2x2±2x＋b2是完全平方式;且a;b都不为零;则a与b的关系为A．互为倒数或互为负倒数 B．互为相反数C．相等的数 D．任意有理数20．对x4＋4进行因式分解;所得的正确结论是A．不能分解因式B．有因式x2＋2x＋2 C．xy＋2xy－8 D．xy－2xy－8 21．把a4＋2a2b2＋b4－a2b2分解因式为A．a2＋b2＋ab2 B．a2＋b2＋aba2＋b2－abC．a2－b2＋aba2－b2－ab D．a2＋b2－ab222．－3x－1x＋2y是下列哪个多项式的分解结果A．3x2＋6xy－x－2y B．3x2－6xy＋x－2yC．x＋2y＋3x2＋6xy D．x＋2y－3x2－6xy 23．64a8－b2因式分解为A．64a4－ba4＋b B．16a2－b4a2＋bC．8a4－b8a4＋b D．8a2－b8a4＋b24．9x－y2＋12x2－y2＋4x＋y2因式分解为A．5x－y2 B．5x＋y2 C．3x－2y3x＋2y D．5x－2y225．2y－3x2－23x－2y＋1因式分解为A．3x－2y－12 B．3x＋2y＋12C．3x－2y＋12 D．2y－3x－1226．把a＋b2－4a2－b2＋4a－b2分解因式为A．3a－b2 B．3b＋a2 C．3b－a2 D．3a＋b227．把a2b＋c2－2aba－cb＋c＋b2a－c2分解因式为A．ca＋b2 B．ca－b2 C．c2a＋b2 D．c2a－b28．若4xy－4x2－y2－k有一个因式为1－2x＋y;则k的值为A．0 B．1 C．－1 D．429．分解因式3a2x－4b2y－3b2x＋4a2y;正确的是A．－a2＋b23x＋4y B．a－ba＋b3x＋4yC．a2＋b23x－4y D．a－ba＋b3x－4y30．分解因式2a2＋4ab＋2b2－8c2;正确的是A．2a＋b－2c B．2a＋b＋ca＋b－cC．2a＋b＋4c2a＋b－4c D．2a＋b＋2ca＋b－2c三、因式分解：1．m2p－q－p＋q； 2．aab＋bc＋ac－abc；3．x4－2y4－2x3y＋xy3； 4．abca2＋b2＋c2－a3bc＋2ab2c2；5．a2b－c＋b2c－a＋c2a－b； 6．x2－2x2＋2xx－2＋1；7．x－y2＋12y－xz＋36z2； 8．x2－4ax＋8ab－4b2；9．ax＋by2＋ay－bx2＋2ax＋byay－bx；10．1－a21－b2－a2－12b2－12；11．x＋12－9x－12； 12．4a2b2－a2＋b2－c22；13．ab2－ac2＋4ac－4a； 14．x3n＋y3n；15．x＋y3＋125； 16．3m－2n3＋3m＋2n3；17．x6x2－y2＋y6y2－x2； 18．8x＋y3＋1；19．a＋b＋c3－a3－b3－c3； 20．x2＋4xy＋3y2；21．x2＋18x－144； 22．x4＋2x2－8；23．－m4＋18m2－17； 24．x5－2x3－8x；25．x8＋19x5－216x2； 26．x2－7x2＋10x2－7x－24；27．5＋7a＋1－6a＋12； 28．x2＋xx2＋x－1－2；29．x2＋y2－x2y2－4xy－1； 30．x－1x－2x－3x－4－48；四、证明求值：1．已知a＋b=0;求a3－2b3＋a2b－2ab2的值．2．求证：四个连续自然数的积再加上1;一定是一个完全平方数．3．证明：ac－bd2＋bc＋ad2=a2＋b2c2＋d2．4．已知a=k＋3;b=2k＋2;c=3k－1;求a2＋b2＋c2＋2ab－2bc－2ac的值．5．若x2＋mx＋n=x－3x＋4;求m＋n2的值．6．当a为何值时;多项式x2＋7xy＋ay2－5x＋43y－24可以分解为两个一次因式的乘积．7．若x;y为任意有理数;比较6xy与x2＋9y2的大小．8．两个连续偶数的平方差是4的倍数．参考答案:一、填空题：7．9;3a－110．x－5y;x－5y;x－5y;2a－b11．＋5;－212．－1;－2或－2;－114．bc＋ac;a＋b;a－c15．8或－2二、选择题：1．B 2．C 3．C 4．B 5．B 6．D 7．A 8．C 9．D 10．B 11．C 12．C 13．B 14．C 15．D 16．B 17．B 18．D 19．A 20．B 21．B 22．D 23．C 24．A 25．A 26．C 27．C 28．C 29．D 30．D三、因式分解：1．p－qm－1m＋1．8．x－2bx－4a＋2b．11．42x－12－x．20．x＋3yx＋y．21．x－6x＋24．27．3＋2a2－3a．四、证明求值：2．提示：设四个连续自然数为n;n＋1;n＋2;n＋36．提示：a=－18．∴a=－18．。
精品 八年级数学上册 因式分解提高题02
14.利用分解因式计算:3 +6×3 －3 =_________ 2 4 2008 15.计算（2＋1） （2 ＋1） （2 ＋1） · ……· （2 ＋1）＋1＝______ 16.要使 16 x ＋1 成为完全平方式，应加上的式子是_______ 17.若 x mx n 是一个完全平方式，则 m、n 的关系是
（5）
20013 2 20012 1999 20013 20012 2002
（6）202 +198
2121 (a b) 2
（8） ( x 2 4 y 2 ) 2 16x 2 y 2
（9） (2x 2 5x) 2 2x 2 5x 6
2
2
2
2
19.已知 a、b、c 分别为△ABC 的三边，你能判断 a b c
2 2
2 2
4a 2b 2 的符号吗？
课堂小练-整式的乘除与因式分解 1.4(a-b) -4(b-a)+1 分解因式的结果是( 2 2 A.(2a-2b+1) B. (2a+2b+1) 2. 4 8 16 2 ，求 n ＝
8.把多项式 m ( a 2) m( 2 a ) 分解因式等于（ A. (a 2)(m 2 m)
2 2
B. (a 2)(m 2 m)
D.m(a-2)(m+1)
9.满足 m n 2m 6n 10 0 的是（ A. m 1, n 3 B. m 1, n 3
2 2
18.如果（2a＋2b＋1）(2a＋2b－1)=63，那么 a＋b 的值为___________ 19.已知 a 2 b 2 6a 8b 25 0 ，则代数式
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第一章因式分解
【经典基础训练】
一、填空：（30分）
1、若是完全平方式，则的值等于_____。
2、则=____=____
3、与的公因式是＿
4、若=，则m=_______，n=_________。
5、在多项式中，可以用平方差公式分解因式的有________________________ ，其结果是_____________________。
6、若是完全平方式，则m=_______。
7、
8、已知则
9、若是完全平方式M=________。
10、，
11、若是完全平方式，则k=_______。
12、若的值为0，则的值是________。
13、若则=_____。
14、若则___。
15、方程，的解是________。
二、选择题：（10分）
1、多项式的公因式是（）
A、－a、
B、
C、
D、
2、若，则m，k的值分别是（）
A、m=—2，k=6，
B、m=2，k=12，
C、m=—4，k=—12、D m=4，k=12、
3、下列名式：中能用平方差公式分解因式的有（）
A、1个，
B、2个，
C、3个，
D、4个
4、计算的值是（）A、B、
三、分解因式：（30分）
1 、
2 、
3 、4、
5、6、7、8、
9 、10、
四、代数式求值（15分）
1、已知，，求的值。
2、若x、y互为相反数，且，求x、y的值
3、已知，求的值
五、计算：（15）
（1）0.75（2）（3）
【经典提高训练】
1、有一个因式是，另一个因式是（）
A． B． C． D．
2、把a4－2a2b2＋b4分解因式，结果是（）
A、a2(a2－2b2)＋b4
B、(a2－b2)2
C、(a－b)4
D、(a＋b)2(a－b)2
3、若a2-3ab-4b2=0,则的值为（）A、1 B、-1 C、4或-1 D、- 4或1
4、已知为任意整数，且的值总可以被整除，则的值为（）A．13 B．26 C．13或26 D．13的倍数
5、把代数式分解因式，结果正确的是
A． B． C． D．
6、把x2－y2－2y－1分解因式结果正确的是（）。
A．（x＋y＋1）(x－y－1) B．（x＋y－1）(x－y－1)
C．（x＋y－1）(x＋y＋1) D．（x－y＋1）(x＋y＋1)
7、把x2－y2－2y－1分解因式结果正确的是（）。
A．（x＋y＋1）(x－y－1) B．（x＋y－1）(x－y－1)
C．（x＋y－1）(x＋y＋1) D．（x－y＋1）(x＋y＋1)
8、分解因式：的结果是（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
9、因式分解：9x2－y2－4y－4＝__________．
10、若=，则m=_______，n=_________。
11、已知则12、若则___。
13、计算的值是（）
14、 15、 16、
17、 18、 19、
20、 21、
22、已知，，求的值。
23、（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值；
（3）已知，，求（1）；（2）
（4）已知，求x+y的值；
24、已知，求的值
25、先分解因式，然后计算求值：（本题6分）（a2+b2－2ab）－6（a－6）+9，其中a=10000，b=9999。
26、已知求的值。
24、27已知：
(1)求的值； (2)求的值。
28、已知x(x－1)－(x2－y)＝－2．求的值．
【拓展训练---十字相乘法】
1、2、
3、4、
9、10、11、12、13、14、15、16、23、24、25、27、28、29、
33、34、答案：1、2、3、4、5、6、7、
8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、
23、24、25、
26、27、28、
29、30、31、
32、33、34、35、36、
37、38、。