高一数学函数解析式、定义域、值域解题方法

2、配方法
例12. 求函数y＝2x2＋4x的值域。
解：y＝2x2＋4x＝2（x2＋2x＋1）－2＝2（x＋1）2－2≥－2，故值域为{y|y≥－2}。
说明：这是一个二次函数，可通过配方的方法来求得函数的值域。类似的，对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此方法求解，如y＝af2（x）＋bf（x）＋c。
解：Y=20-2X
Y>0，即20-2X>0，X<10，
两边之和大于第三边，
2X>Y，
即2X>20-2X
4X>20
X>5。
本题定义域较难，很容易忽略X>5。
∴5
4、二次函数y＝x2－4x＋4的定义域为［a，b］（a<b），值域也是［a，b］，则区间［a，b］是（ ）
A.［0，4］B. ［1，4］C. ［1，3］D. ［3，4］
当x>2时,2/(2-x) 6≥2-x => x≥-4
∴定义域：[-4,2)
三. 解答题
10、求函数 的定义域。
11、已知 ，若f（a）＝3，求a的值。
12、已知函数f（x）满足2f（x）－f（－x）＝－x2＋4x，试求f（x）的表达式。
解：2f(-x)-f(x)=-x2-4x 4f(x)-2f(-x)=-2x2+8x 相加得 f(x)=-x2+4x/3
2、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联立求解。
例2. （1）已知 ，试求 ；
（2）已知 ，试求 ；
解：（1）由条件式，以 代x，则得 ，与条件式联立，消去 ，则得： 。
（2）由条件式，以－x代x则得： ，与条件式联立，消去 ，则得： 。
说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。
4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；
5、分段函数的定义域是各个区间的并集；
6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；
7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；
一：求函数解析式
1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。
例1. 已知 ，试求 。
解：设 ，则 ，代入条件式可得： ，t≠1。故得： 。
说明：要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。
（二）求函数定义域
1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；
2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；
3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；
6、函数 的值域是（ ）
解：判别式法
7、（2007安徽）图中的图像所表示的函数的解析式是（ ）
二. 填空题
8、若f（x）＝（x＋a）3对任意x∈R都有f（1＋x）＝－f（1－x），则f（2）＋f（－2）＝；
解：∵对任意x∈R，总有f（1+x）=-f（1-x），
∴当x=0时，有f（1+0）=-f（1-0），
求函数的值域和最值的方法十分丰富，下面通过例题来探究一些常用的方法；随着高中学习的深入，我们将学习到更多的求函数值域与最值的方法。
1、分离变量法
例11. 求函数 的值域。
解： ，因为 ，故y≠2，所以值域为{y|y≠2}。
说明：这是一个分式函数，分子、分母均含有自变量x，可通过等价变形，让变量只出现在分母中，再行求解。
解：
又由于x2－4x＋3>0 **
联立*、**两式可解得：
例9. 若函数f（2x）的定义域是［－1，1］，求f（log2x）的定义域。
解：由f（2x）的定义域是［－1，1］可知：2－1≤2x≤2，所以f（x）的定义域为［2－1，2］，故log2x∈［2－1，2］，解得 ，故定义域为 。
三：求函数的值域与最值
（1）
（2）
（3）
（4）
【思路分析】
【题意分析】求函数的值域问题首先必须明确两点：一是值域的概念，即对于定义域 上的函数 ，其值域就是指集合 ；二是函数的定义域，对应关系是确定函数值的依据。
【解题过程】
（1）将 的值域为 。
（2） ，即所求函数的值域为 或用换元法，令 的值域为 。
（3）<方法一> 函数的定义域为R。
例4.求下列函数的解析式：
（1）已知 是二次函数，且 ，求 ；
（2）已知 ，求 ， ， ；
（3）已知 ，求 ；
（4）已知 ，求 。
【思路分析】
【题意分析】（1）由已知 是二次函数，所以可设 ，设法求出 即可。
（2）若能将 适当变形，用 的式子表示就容易解决了。
（3）设 为一个整体，不妨设为 ，然后用 表示 ，代入原表达式求解。
例3. 求 的定义域。
解：由题意知： ，从而解得：x>－2且x≠±4.故所求定义域为：
{x|x>－2且x≠±4}。
例2.求下列函数的定义域：
（1） ； （2）
【思路分析】
【题意分析】求函数的定义域就是求自变量的取值范围，应考虑使函数解析式有意义，这里需考虑分母不为零，开偶次方被开方数为非负数。
【解题过程】（1）要使函数有意义，则 ，在数轴上标出，即 。故函数的定义域为 .当然也可表示为 。
。
<方法二>
。
故所求函数的值域为（－1，1]。
（4）<构造法>
所以函数的值域为[－12，3]。
【题后思考】求函数的值域问题关键是将函数的解析式变形，通过观察或利用熟知的基本函数的值域，逐步推出所求函数的值域，有时还需要结合函数的图象进行分析。
【模拟试题】(答题时间：30分钟)
一. 选择题
1、函数y＝f（x）的值域是［－2，2］，则函数y＝f（x＋1）的值域是（ ）
二. 求函数的解析式
3、求函数解析式的一般方法有：
（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。
（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；
（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之；
（4） ， 同时使得 有意义，用 代替 建立关于 ， 的两个方程就行了。
【解题过程】⑴设 ，由 得 ，
由 ，得恒等式 ，得 。
故所求函数的解析式为 。
（2） ，
又 。
（3）设 ，
则
所以 。
（4）因为 ①
用 代替 得 ②
解①②式得 。
【题后思考】求函数解析式常见的题型有：
（1）解析式类型已知的，如本例⑴，一般用待定系数法。对于二次函数问题要注意一般式 ，顶点式 和标根式 的选择；
2.设函数 则不等式 的解集是（ ）A BFra bibliotekC D
答案：A
【解析】由已知，函数先增后减再增
当 ， 令
解得 。
当 ，
故 ，解得
【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。
A. ［－1，3］ B. ［－3，1］ C. ［－2，2］ D. ［－1，1］
解∵函数y=f（x）的值域是[-2，2]，
∴y=f（x）的最大值为2，最小值为-2
又∵函数y=f（x+1）的图象是由y=f（x）向左平移1个单位而得
∴函数y=f（x+1）最大值是2，最小值是-2
所以函数y=f（x+1）的值域仍是[-2，2]
（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式；
（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。
2、求分段函数的定义域：对各个区间求并集。
例4. 已知函数由下表给出，求其定义域
X
1
2
3
4
5
6
Y
22
3
14
35
－6
17
解：{1，2，3，4，5，6}。
3、求与复合函数有关的定义域：由外函数f（u）的定义域可以确定内函数g（x）的范围，从而解得x∈I1，又由g（x）定义域可以解得x∈I2.则I1∩I2即为该复合函数的定义域。也可先求出复合函数的表达式后再行求解。
即f（1）=-f（1）．∴f（1）=0．
又∵f（x）=（x+a）3，∴f（1）=（1+a）3．
故有（1+a）3=0，解得a=-1．
∴f（x）=（x-1）3．
∴f（2）+f（-2）=（2-1）3+（-2-1）3=13+（-3）3=-26．
9、若函数 的值域为 ，则其定义域为；
解：2/(x-2)≤-1/3 => 1/3≤2/(2-x)
解：a ，由于对称轴为x=2，当x=0或x=4时有最大值y=4，x=2时有最小值y=0
5、函数y＝f（x＋2）的定义域是［3，4］，则函数y＝f（x＋5）的定义域是（ ）
A. ［0，1］ B. ［3，4］ C. ［5，6］ D. ［6，7］