2018届高三理科数学限时训练(2)学生版
2018届高考数学理科二轮总复习高考小题限时练 2 含解
高考小题限时练21．(2017·江苏运河中学质检)设集合M ＝{2,0，x }，集合N ＝{0,1}，若N ⊆M ，则x ＝________. 答案 1解析 ∵集合M ＝{2,0，x }，N ＝{0,1}，∴若N ⊆M ，则集合N 中元素均在集合M 中，∴x ＝1.2．已知集合M ＝{x |x 2－2x <0}，N ＝{x |x <a }，若M ⊆N ，则实数a 的取值范围是____________． 答案 [2，＋∞)解析 M ＝{x |x 2－2x <0}＝(0,2)， 因为M ⊆N ，所以a ≥2.3．(2017·江苏如东、丰县中学联考)函数f (x )＝log 2x 在点A (1,0)处切线的斜率为________． 答案1ln 2解析 ∵f ′(x )＝1x ln 2，∴k ＝f ′(1)＝1ln 2.4．从1,2,3,4,5,6这六个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的和能被3整除的概率为________． 答案 13解析 从1,2,3,4,5,6这六个数中一次随机地取2个数，基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15个，所取2个数的和能被3整除的基本事件有(1,2)，(1,5)，(2,4)，(3,6)，(4,5)，共5个．∴所取2个数的和能被3整除的概率为515＝13.5．已知Ω1是集合{(x ，y )|x 2＋y 2≤1}所表示的区域，Ω2是集合{(x ，y )|y ≤|x |}所表示的区域，向区域Ω1内随机地投一个点，则该点落在Ω2内的概率为________． 答案 34解析 区域Ω1是半径为1的圆面，其中在区域Ω2内的部分是34个圆面，故所求的概率是34.6．如图是一个算法流程图，则输出S 的值是________．答案 1 326解析 初始值S ＝4，k ＝2；第一次循环，S ＝4>8×2＋5＝21不成立．S ＝42－5＝11，k ＝2＋1＝3；第二次循环，S ＝11>8×3＋5＝29不成立，S ＝113－5＝1 326，k ＝3＋1＝4；第三次循环，S ＝1 326>8×4＋5＝37成立，此时结束循环．故输出S 的值是1 326. 7．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为________．答案 6解析 由约束条件作出可行域如图阴影部分(含边界)所示，目标函数可化为y ＝－25x ＋15z ，在图中画出直线y ＝－25x ，平移该直线，易知经过点A 时z 最小．又知点A 的坐标为(3,0)，∴z min ＝2×3＋5×0＝6.8．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋2有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是__________． 答案 [3，＋∞)解析 依题意可知双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，与抛物线方程联立消去y ，得x 2±bax ＋2＝0.∵渐近线与抛物线有交点，∴Δ＝b 2a 2－8≥0，求得b 2≥8a 2，∴c ＝a 2＋b 2≥3a ，∴e ＝ca≥3.9．已知角α，β满足tan αtan β＝－4，cos(α＋β)＝13，则cos(α－β)＝________.答案 －15解析 方法一 设cos(α－β)＝x ，即 cos αcos β＋sin αsin β＝x .①又cos(α＋β)＝13，即cos αcos β－sin αsin β＝13.②由①②得cos αcos β＝16＋x 2，sin αsin β＝x 2－16，所以tan αtan β＝x 2－16x 2＋16＝－4，解得x ＝－15.方法二 由tan αtan β＝－4，得 sin αsin β＝－4cos αcos β，①由cos(α＋β)＝13，得cos αcos β－sin αsin β＝13.②由①②得cos αcos β＝115，sin αsin β＝－415，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－15.10．已知函数f (x )＝x 2－4x 的图象上有两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1<x 2，若曲线y ＝f (x )在点A ，B 处的切线互相垂直，则3x 1－2x 2的最大值是________． 答案 2－ 6解析 由题意得f ′(x )＝2x －4，因为曲线y ＝f (x )在点A ，B 处的切线互相垂直， 所以x 1≠2，x 2≠2，(2x 1－4)·(2x 2－4)＝－1. 又x 1<x 2，所以2x 1－4<0,2x 2－4>0，x 1＝－14x 2－8＋2，则3x 1－2x 2＝3×⎝⎛⎭⎪⎫－14x 2－8＋2－2x 2＝－2x 2－34x 2－8＋6＝－⎣⎡⎦⎤12(4x 2－8)＋34x 2－8＋2≤－212(4x 2－8)·34x 2－8＋2＝2－6， 当且仅当12(4x 2－8)＝34x 2－8时，上式取等号，因此3x 1－2x 2的最大值为2－ 6.11．已知公差为2的等差数列{a n }及公比为2的等比数列{b n }满足a 1＋b 1>0，a 2＋b 2<0，则a 3＋b 3的取值范围是________．答案 (－∞，－2)解析 ∵a 1＋b 1>0，a 2＋b 2＝a 1＋2＋2b 1<0， ∴0<a 1＋b 1<－2－b 1，b 1<－2，b 2＝2b 1<－4.∴a 3＋b 3＝a 2＋2＋2b 2＝a 2＋b 2＋2＋b 2<0＋2－4＝－2， 则a 3＋b 3的取值范围是(－∞，－2)．12．已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，P 为边CD 上的一个动点(含端点C ，D )，则AP →·BP →的取值范围是________． 答案 [0,1]解析 方法一 由题意得当点P 与点D 或点C 重合时，AP →·BP →取得最大值，且最大值为AD →·BD →＝|AD →|·|BD →|·cos 〈AD →，BD →〉＝1×5×15＝1；当P 在DC 的中点时，AP →·BP →取得最小值，且最小值为AP →·BP →＝|AP →|·|BP →|·cos 90°＝0.故AP →·BP →的取值范围为[0,1]． 方法二 以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示．A (0,0)，B (2,0)，设P (x,1)，x ∈[0,2]．AP →·BP →＝x (x －2)＋1＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2∈[0,1]．13．已知在三角形ABC 中，AC ⊥AB ，AB ＝3，AC ＝4.若点P 在三角形ABC 的内切圆上运动，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值为________． 答案 －2解析 因为AC ⊥AB ，所以以A 为坐标原点，AB ，AC 所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (3,0)，C (0,4)．由题意可知三角形ABC 的内切圆的圆心为(1,1)，半径为1. 因为点P 在三角形的内切圆上运动， 所以可设P (1＋cos θ，1＋sin θ)(0≤θ<2π)．所以P A →·(PB →＋PC →)＝(－1－cos θ)·(1－2cos θ)＋(－1－sin θ)(2－2sin θ)＝－1＋cos θ＋2cos 2θ－2＋2sin 2θ＝－1＋cos θ≥－1－1＝－2，当且仅当cos θ＝－1，即P (0,1)时，P A →·(PB →＋PC →)取到最小值，且最小值为－2.14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x e ax，x <0，x e x ，x ≥0的图象过点⎝⎛⎭⎫－1，1e (其中e 为自然对数的底数)，若关于x 的方程[f (x )]2－mf (x )＋1＝0(m ∈R )有四个不同的实数根，则实数m 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫e 2＋1e ，＋∞解析 由题意可得a ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x e x，x <0，x e x ，x ≥0.当x ≥0时，f ′(x )＝e x ＋x e x >0恒成立，所以f (x )在区间[0，＋∞)上为增函数；当x <0，f ′(x )＝－e x －x e x ＝－e x (x ＋1)，由f ′(x )＝0，得x ＝－1，当x ＝(－∞，－1)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，所以函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x e x，x <0，x e x ，x ≥0在(－∞，0)上有一个极大值f (－1)＝1e ，结合函数图象(图略)，得要使方程[f (x )]2－mf (x )＋1＝0(m ∈R )有四个不同的实数根， 令f (x )＝t ，则方程t 2－mt ＋1＝0有两个不相等的实根，且一个根在⎝⎛⎭⎫0，1e 内，一个根在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞内．令g (t )＝t 2－mt ＋1，因为g (0)＝1>0， 则只需g ⎝⎛⎭⎫1e <0，即⎝⎛⎭⎫1e 2－m ×1e＋1<0， 解得m >e 2＋1e ，所以实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫e 2＋1e ，＋∞.。
2018届高三理科数学高考冲刺卷(二)
2018届高三理科数学高考冲刺卷（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}|2A x x =≥，{}|12B x =<，则A B =（ ） A ．()4,-+∞ B ．[)4,-+∞C ．[]2,1--D ．[]4,2--2．复数i3iz =+（i 为虚数单位）的共轭复数为（ ） A ．13i 1010+ B ．13i 1010- C ．93i 1010+D ．93i 1010- 3．下列有关命题的说法中错误的是（ ）A ．设,a b ∈R ，则“a b >”是“a a b b >”的充要条件B ．若p q ∨为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题C ．命题：“若()y f x =是幂函数，则()y f x =的图象不经过第四象限”的否命题是假命题D ．命题“*n ∀∈N ，()*f n ∈N 且()f n n ≤”的否定形式是“*0n ∃∈N ，()*0f n ∉N 且()00f n n >”4．已知不等式201x ax +<+的解集为()2,1--，则二项式621ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项是（ ）A ．15- B ．15 C ．5- D ．55．若函数()()f x x ω=π-5sin 2x ωπ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，且()2f α=，()0f β=，αβ-的最小值是2π，则()f x 的单调递增区间是（ ）A ．22,233k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦()k ∈ZB ．52,266k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦()k ∈ZC ．5,1212k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦()k ∈ZD ．,36k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z6．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积（单位：2cm ）是（ ）A ．40+B ．40+C ．36+D ．36+7．甲、乙、丙、丁、戊五位同学相约去学校图书室借A 、B 、C 、D 四类课外书（每类课外书均有若干本），已知每人均只借阅一本，每类课外书均有人借阅，且甲只借阅A 类课外书，则不同的借阅方案种类为（ ） A ．48 B ．54 C ．60 D ．72 8．如图所示，圆柱形玻璃杯中的水液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为（ ）A ．12B C D 9．一个算法的程序框图如下，则其输出结果是（ ）A1B．12+ C．2D ．010．已知点()4,0A ，()0,4B ，点(),P x y 的坐标x ，y 满足0034120x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则AP BP ⋅的最小值为（ ）A ．19625-B ．0C ．254D ．8-11．过圆P ：()22114x y ++=的圆心P 的直线与抛物线C ：22y x =相交于A ，B 两点，且2PB PA =，则点A 到圆P 上任意一点的距离的最大值为（ ） A．12B ．136C ．73D ．7212．设函数()f x 是定义在(),0-∞上的可导函数，其导函数为()'f x ，且有()()22'f x xf x x +>，则不等式()()220182018x f x ++()420f -->的解集为（ ） A ．()2020,0-B ．(),2020-∞-C ．()2016,0-D ．(),2016-∞-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量a ，b 满足5=a ，6-=a b ，4+=a b ，则向量b 在向量a 上的投影为_____．14．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且()3log 11n S n +=+，则数列{}n a 的通项公式为______．15．三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰三角形，120C ∠=︒，侧面PAB 是等边三角形且与底面ABC 垂直，2AC =，则该三棱锥的外接球表面积为___________． 16．已知()f x 是以2e 为周期的R 上的奇函数，当()0,e x ∈，()ln f x x =，若在区间[]e,3e -，关于x 的方程()f x kx =恰好有4个不同的解，则k 的取值范围是___________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知锐角ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a =sin sin sin B A b cC a b --=+．（1）求角A 的大小；（2）求b c +的取值范围． 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，已知2PA AC ==，60PAD DAC ∠=∠=︒，CE AD ⊥于E ． （1）求证：AD PC ⊥；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，且3AD =，求二面角C PD A --的余弦值．19．随着电子产品的不断更新完善，更多的电子产品逐步走入大家的世界，给大家带来了丰富多彩的生活，但也带来了一些负面的影响，某公司随即抽取1000人对某电子产品是否对日常生活有益进行了问卷调查，并对参与调查的1000人中品的态度与年龄有关系？（2）为了答谢参与问卷调查的人员，该公司对参与本次问卷调查的人员进行抽和数学期望．参与公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>．（1）若椭圆的离心率为12，且过右焦点垂直于长轴的弦长为3，求椭圆C 的标准方程；（2）点(),0P m 为椭圆长轴上的一个动点，过点P 作斜率为ba的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，试判断22PA PB +是为定值，若为定值，则求出该定值；若不为定值，说明原因．21．已知函数()ln f x x x ax =-． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()()e x g x x k k =-+，k ∈Z ，e 2.71828=⋅⋅⋅为自然对数的底数．当1a =时，若()10,x ∃∈+∞，()20,x ∀∈+∞，不等式()()2150g x f x ->成立，求k 的最大值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为sin cos sin 2x y θθθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），若以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为：sin 4ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（其中t 为常数）． （1）若曲线N 与曲线M 有两个不同的公共点，求t 的取值范围；（2）当2t =-时，求曲线M 上的点与曲线N 上点的最小距离．23．选修4-5：不等式选讲已知函数()221f x x x =+--，x ∈R ． （1）求()1f x ≤的解集；（2）若()f x x a =+有两个不同的解，求a 的取值范围．答 案一、选择题． 1．【答案】D2．【答案】B 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】A 6．【答案】C 7．【答案】C 8．【答案】D 9．【答案】B 10．【答案】A 11．【答案】A 12．【答案】B 二、填空题． 13．【答案】1-14．【答案】8,123,2n nn a n =⎧=⎨⨯≥⎩ 15．【答案】20π16．【答案】111,,e 3e e ⎛⎤⎡⎫-∞- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭三、解答题．17．【解析】（1）由sin sin sin B A b cC a b--=+及正弦定理得()()()b a b a b c c -+=-，所以222a b c bc =+-1cos 2A ⇒=，3A π=．（2）a =3A π=，所以sin sin sin a b c A B C ==2sin 3==， ()2sin sin b c B C +=+22sin sin 3B B ⎡π⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ABC △为锐角三角形，B 的范围为,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则,366B πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴cos 3B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的取值范围是⎤⎥⎝⎦，∴(3,b c +∈． 18．【解析】（1）连接PE ，∵PA AC =，PAD CAD ∠=∠，AE 是公共边， ∴PAE CAE ≅△△，∴PEA CEA ∠=∠， ∵CE AD ⊥，∴PE AD ⊥，又PE ⊂平面PCE ，CE ⊂平面PCE ，PE CE E =， ∴AD ⊥平面PCE ，又PC ⊂平面PCE ，∴AD PC ⊥． （2）法一：过E 作EF PD ⊥于F ，连接CF ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，CE AD ⊥，∴CE ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面APD ，∴CE PD ⊥，又PD EF ⊥，∴PD ⊥平面CEF ， ∴CFE ∠为二面角C PD A --的平面角，∵2PA AC ==，60PAD CAD ∠=∠=，PE AD ⊥，CE AD ⊥， ∴1AE =，PE CE ==，又3AD =，所以2DE =，∴PDEF =tan EFC ∠=， ∴二面角C PD A --．法二：由AD ⊥平面PEC ，平面PAD ⊥平面ABCD ，所以EP ，EA ，EC 两两垂直，以E 为原点，EA ，EC ，EP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．因为2PA AC ==，60PAD CAD ∠=∠=︒，3AD =，所以1AE =，PE CE ==，2DE =，则()0,0,0E ，()2,0,0D -，()C，(P，(DP =，()DC =．设平面PCD 的法向量为(),,x y z =n ，则00DP DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即2020x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令x =()=n ，又平面PAD 的一个法向量为()EC =， 设二面角C PD A --所成的平面角为θ，则cos EC EC θ⋅=n n11==，显然二面角C PD A --是锐角，故二面角C PD A --．19．【解析】（1）依题意，在本次的实验中，2K 的观测值()21000400200300100700300500500k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯47.61910.828=>， 故可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为对电子产品的态度与年龄有关系．（2）Y 的可能取值为0，10，20，30，40，()0P Y =111224=⨯=，()10P Y =1222255=⨯⨯=，()20P Y =22111325521050=⨯+⨯⨯=， ()30P Y =2122=⨯⨯=，()40P Y =111=⨯=，()12E Y =．20．【解析】（1）12e =，即12c a =，2a c =， 不妨令椭圆方程为2222143x y c c +=，当x c =时，32y =，得出1c =，所以椭圆的方程为22143x y +=．（2）令直线方程为()b y x m a=-与椭圆交于11(,)A x y ，()22,B x y 两点， 联立方程()22221b y x m a x y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得222222222b x b mx b m a b -+=，即222220x m x m a -+-=，∴12x x m +=，22122m a x x -=， ∴22PA PB +()()22221122x m y x m y =-++-+()22121b x m a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()22221b x m a ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭ ()()2221221b x m x m a ⎛⎫⎡⎤=+-+- ⎪⎣⎦⎝⎭()2222122a b x x a +=+ ()222121222a b x x x x a +⎡⎤=+-⎣⎦22a b =+为定值． 21．【解析】（1）对函数求导得()()'ln 10f x x a x =+->，令()'0f x =，得1e a x -=，当10e a x -<<时，()'0f x <，此时函数()f x 单调递减；当1e a x ->时，()'0f x >，此时函数()f x 单调递增，所以函数()f x 的单调递减区间是()10,e a -，单调递增区间是()1e ,a -+∞．（2）当1a =时，由（1）可知()()()1e 11a f x f f -===-，()10,x ∃∈+∞，()20,x ∀∈+∞，不等式125()()0f x g x -+>成立等价于当()0,x ∈+∞时，()5e 0x x k k +-+>恒成立，即5e (e 1)x x x k +>-对()0,x ∈+∞恒成立，因为()0,x ∈+∞时e 10x->，所以5e e 1xx x k +<-对()0,x ∈+∞恒成立， 即5e 1x x k x +<+-对()0,x ∈+∞恒成立，设5()e 1x x h x x +=+-，则()()()2e e 6'e 1x x x x h x --=-， 令()e 6x F x x =--，则()'e 1x F x =-，当()0,x ∈+∞时，()'0F x >，所以函数()e 6x F x x =--在()0,+∞上单调递增， 而()22e 80F =-<，()33e 90F =->，所以()()230F F <， 所以存在唯一的()02,3x ∈，使得()00F x =，即00e 6x x =+， 当()00,x x ∈时，()0F x <，()'0h x <，所以函数()h x 单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()0F x >，()'0h x >，所以函数()h x 单调递增， 所以当0x x =时，函数()h x 有极小值()0h x ，同时也为最小值，因为()00005e 1x x h x x +=+-()013,4x =+∈，又()0k h x <，且k ∈Z ， 所以k 的最大整数值是3． 22．【解析】（1）由已知M ：21y x =-，x ⎡∈⎣；N ：x y t +=．联立方程有两个解，可得5,14t ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦． （2）当2t =-时，直线N ：2x y +=-，设M 上的点为()200,1x x -，0x ≤则d=2013x ⎛⎫++ ⎪=8≥， 当012x =-时取等号，满足0x ≤8． 23．【解析】（1）()3,131,113,1x x f x x x x x +≥⎧⎪=+-<<⎨⎪--≤-⎩，若()1f x ≤，可得{}|40x x -≤≤．（2）结合图象易得13a -<<．。
普通高等学校2018届高三招生全国统一考试仿真卷(二)数学(理)试题含答案
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（二）本试题卷共2页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1z的共轭复数为（）AB C D2．若双曲线221yxm-=的一个焦点为()3,0-，则m=（）A．B．C．D．643()fx）ABC D4．函数()12xf x⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,x∈+∞的值域为D，在区间()1,2-上随机取一个数x，则x D∈的概率是（）A．12B．13C．14D．15．记()()()()72701272111x a a x a x a x-=+++++⋅⋅⋅++，则012a a a+++6a⋅⋅⋅+的值为（）A．1 B．2 C．129 D．21886．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．83B．163C．203D．87．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得（）A ．一鹿、三分鹿之一B．一鹿C．三分鹿之二D．三分鹿之一8）A．B．C．D．9．阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果是（）A ．12B ．18C ．120D ．12510．当实数x ，y 满足约束条件3310x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≥≥，表示的平面区域为C ，目标函数2z x y =-的最小值为1p ，而由曲线()230y x y =≥，直线3x =及x 轴围成的平面区域为D ，向区域D 内任投入一个质点，该质点落入C 的概率为2p ，则1224p p -的值为（ ）A ．12B ．23C ．35D ．4311．已知点1F 是抛物线C ：22x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）AB1- C1D12．已知函数()e e x x f x -=+（其中是自然对数的底数），若当0x >时，()e 1x mf x m -+-≤恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
北京市人大附中2018届高三数学2月特供卷(二)理
北京市人大附中2018届高三数学2月特供卷（二）理注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF （该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常），若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（ ）A ．14π-B ．12π- C ．22π-D ．4π 2．已知复数12z =-，则||z z +=（ ） A．12-B．12-C．12+ D．12- 3．若1cos()43απ+=，(0,)2απ∈，则sin α的值为（ ） A ．624- B ．624+ C ．187 D ．32 4． 集合2{|10}A x x =->，{|3,}xB y y x ==∈R ，则=B A （ ）A ．)1,(--∞B ．]1,(--∞C ．),1(+∞D ．),1[+∞5．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．163π+ B ．112π+ C ．1123π+ D ．143π+ 6．世界数学名题“13+x 问题”：任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1，在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数，如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想：反复进行上述运算后，最后结果为1，现根据此问题设计一个程序框图如下图，执行该程序框图，若输入的5=N ，则输出=i （ ）A ．3B ．5C ．6D ．77．已知函数)sin()(ϕω+=x A x f (0,0,||)A ωφ>><π的部分图象如图所示，则函数)cos()(ϕω+=x A x g 图象的一个对称中心可能为（ ）A ．)0,2(-B ．)0,1(C ．)0,10(D ．)0,14(8．函数sin e()xy x =-ππ≤≤的大致图象为（ ）A ．B ．2C ．D ．9．已知点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，2==BC AB ，2=AC ，若四面体ABCD 的体积为332，球心O 恰好在棱DA 上，则这个球的表面积为（ ） A ．254πB ．4πC ．8πD ．16π10．F 为双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>右焦点，M ，N 为双曲线上的点，四边形OFMN 为平行四边形，且四边形OFMN 的面积为bc ，则双曲线的离心率为（ ） A ．2B ．22C ．2D ．311．已知不等式组036060x y k x y x y -+⎧⎪--⎨⎪++⎩≥≤≥表示的平面区域恰好被圆222)3()3(:r y x C =-+-所覆盖，则实数k 的值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．612．已知0x 是方程222e ln 0xx x +=的实根，则关于实数0x 的判断正确的是（ ）A ．0ln 2x ≥B ．01ex <C ．0ln 200=+x xD ．002e ln 0xx +=第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．5(1)(1)x x +-展开式中含3x 项的系数为 ．（用数字表示）14．已知(1,)a λ=，(2,1)b =，若向量2a b +与(8,6)c =共线，则a 在b 方向上的投影为 ． 15．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B c A b B b tan 2tan tan -=+，且8=a ，ABC △的面积为34，则c b +的值为 ．16．如图所示，点F 是抛物线x y 82=的焦点，点A ，B 分别在抛物线x y 82=及圆16)2(22=+-y x 的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则FAB △的周长的取值范围是 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．设n S 为数列}{n a 的前n 项和，且11=a ，)1()2(1+++=+n n S n na n n ，*n ∈N ． （1）证明：数列}1{+nS n为等比数列； （2）求n n S S S T +++= 21．18．如图所示的几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为菱形，a AB 2=，120ABC ∠=︒，AC 与BD 相交于O 点，四边形BDEF 为直角梯形，BF DE //，DE BD ⊥，a BF DE 222==，平面⊥BDEF 底面ABCD ．（1）证明：平面⊥AEF 平面AFC ； （2）求二面角F AC E --的余弦值．19．为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团组织“这个冬天不再冷”冬衣募捐活动，共有50名志愿者参与，志愿者的工作内容有两项：①到各班做宣传，倡议同学们积极捐献冬衣；②整理、打包募捐上来的衣物，每位志愿者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作，相关统计数据如下表所示：（1）如果用分层抽样的方法从参与两项工作的志愿者中抽取5人，再从这5人中选2人，那么“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是多少？（2）若参与班级宣传的志愿者中有12名男生，8名女生，从中选出2名志愿者，用X 表示所选志愿者中的女生人数，写出随机变量X 的分布列及其数学期望．320．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的长轴长为6，且椭圆C 与圆940)2(:22=+-y x M 的公共弦长为3104． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点)2,0(P 作斜率为)0(>k k 的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得ADB △为以AB 为底边的等腰三角形，若存在，求出点D 的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．21．已知函数e ()(ln )xf x a x x x=--．（1）当0a ≤时，试求)(x f 的单调区间；（2）若)(x f 在)1,0(内有极值，试求a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C ：θρsin 12-=，直线⎩⎨⎧==ααsin cos :t y t x l （t 为参数，0α<π≤）．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于B A ,两点（A 在第一象限），当30OA OB +=时，求a 的值．23．选修4-5：不等式选讲 已知函数|1||12|)(++-=x x x f ． （1）求不等式()3f x ≤的解集；（2）若函数)(x f y =的最小值记为m ，设a ，b ∈R ，且有m b a =+22，试证明：221418117a b +++≥．4答 案一、选择题 1．【答案】A【解析】几何概型 2．【答案】C【解析】12z =-+，1z =，12z z ∴+=+．故选C ．3．【答案】A 【解析】0,2απ⎛⎫∈⎪⎝⎭，sin 4απ⎛⎫∴+=⎪⎝⎭sin sin 4αα⎡π⎛⎫∴=+ ⎪⎢⎝⎭⎣， 故选A ． 4．【答案】C【解析】{}11A x x x =><-或，{}0B y y =>，{}1A B x x ∴=>5．【答案】C【解析】C ． 6．【答案】C 7．【答案】C【解析】由题知A =，(226ωπ=34ϕπ=-， ()384g x x ππ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，故选8．【答案】D排除A 、C ，当,22x ⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，sin y x =e x 也是增函数，所以()sin e xy x =-ππ≤≤在中点，从而有AC 垂直CD ，4AD =，所以球为平行四边形，∴02cx =，∵四边形OFMN ，∴ 2c M b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，代入双曲线方程得2114e -=，∵1e >，∴e =B ．11．【答案】D【解析】由于圆心(3,3)在直线360x y --=上，又由于直线0x y k -+=与直线60x y ++=互相垂直其交点为6262k x k y +⎧=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，直线360x y --=与60x y ++=的交点为(0,6)-．由于可行域恰好被圆所覆盖，及三角形为圆的内接三角形圆的半径为r ==，解得6k =或6k =-（舍去）．故选D ．12．【答案】C【解析】方程即为022002eln x x x =-，即()002ln 002e e ln x x x x -=-，令()e x f x x =，()()002ln f x f x ∴=-，则()()e 10x f x x '=+>，函数()f x 在定义域内单调递增，结合函数的单调性有：002ln x x =-，故选C ． 二、填空题13．【答案】0【解析】5(1)x -展开式中含3x 项的系数为3510C =，含2x 项的系数为3510C -=-，所以()5(1)1x x +-展开式中含3x 项的系数为10-10=0．14．【答案】【解析】由题知1λ=． 15．【答案】【解析】tan tan 2tan b B b A c B +=-，∴由正弦定理1cos 2A =-，23A π=， 8a =，由余弦定理可得：()22264b c bc b c bc =++=+-，又因为ABC △面积1sin 2bc A=12=，16bc =，b c +=． 16．【答案】8,12（）【解析】易知圆()22216x y -+=的圆心为（2，0），正好是抛物线x y 82=的焦点，圆6()22216x y -+=与抛物线x y 82=在第一象限交于点4(2)C ，，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为点D ，则AF AD =，则AF AB AD AB BD +=+=，当点B 位于圆()22216x y -+=与x 轴的交点（6，0）时，BD 取最大值8，由于点B 在实线上运动，因此当点B 与点C 重合时，BD 取最小值4，此时A 与B 重合，由于F 、A 、B 构成三角形，因此48BD <<，所以812BF BD <+<． 三、解答题17．【答案】（1）因为11n n n a S S ++=-， 所以1()(2)(1)n n n n S S n S n n +-=+++， 即12(1)(1)n n nS n S n n +=+++，则1211n n S Sn n+=⨯++， 所以112(1)1n n S S n n ++=++，又1121S+=， 故数列{1}n Sn+是首项为2，公比为2的等比数列．（2）由（1）知111(1)221n n n S Sn -+=+⋅=，所以2n n S n n =⋅-， 故2(12222)(12)n n T n n =⨯+⨯++⋅-+++．2n n ++⋅，12n n +++⋅2n n ++-1122n n n ++--⋅，AC BD⊥，平面ABCD BD =， 因此AC ⊥平面BDEF，从而AC EF ⊥．又BD DE ⊥，所以DE ⊥平面ABCD ，由2AB a =，2DE BF ==，120ABC ∠=︒， 可知AF ==，2BD a =，EF ==，AE ==，从而222AF FE AE +=，故EF AF ⊥．又AFAC A =，所以EF ⊥平面AFC ．又EF ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面AFC ．（2）取EF 中点G ，由题可知OG DE ∥，所以OG ⊥平面ABCD ，又在菱形ABCD 中，OA OB ⊥，所以分别以OA ，OB ，OG 的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系O xyz -（如图所示），则(0,0,0)O，,0,0)A，(,0,0)C，(0,,)E a -，(0,)F a ， 所以(0,,),0,0)AE a a a =--=(,,)a -，(,0,0),0,0)AC =-=(,0,0)-，(0,)(0,,)EF a a =--(0,2,)a =．由（1）可知EF ⊥平面AFC ，所以平面AFC的法向量可取为(0,2,)EF a =． 设平面AEC 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0,n AE n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0,0,y x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，即,0,y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令z =，得4y =，所以(0,n =． 从而cos ,n EF <>=||||63n EF n EF⋅==⋅ 故所求的二面角E AC F --． 19．【答案】（1）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是515010=， 所以，参与到班级宣传的志愿者被抽中的有120210⋅=人，8参与整理、打包衣物的志愿者被抽中的有130310⋅=人， 故“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是23257110C P C =-=．（2）女生志愿者人数0,1,2X =，则21222033(0)95C P X C ===，1112822048(1)95C C P X C ===，2822014(2)95C P X C ===∴X 的分布列为∴X 的数学期望为(E 20．【答案】（1由椭圆C 与圆M ：(x 可得椭圆C 经过点(2,11(,)x y ，22(,)B x y ，AB 的中点为00(,)E x y ．假AB 为底边的等腰三角形，则DE AB ⊥．由0=，故1223698k x x k +=-+，所以021898k x k -=+，002298y kx k =+=+．因为DE AB ⊥，所以1DEk k =-，即221601981898k k k m k -+=---+，所以2228989k m k k k--==++． 当0k >时，89k k+=≥，所以0m <．综上所述，在x 轴上存在满足题目条件的点D ，且点D 的横坐标的取值范围为0m <． 21．【答案】（1）2e (1)1()(1)x x f x a x x -'=--2e (1)(1)x x ax x x ---=2(e )(1)x ax x x --=． 当0a ≤时，对于(0,)x ∀∈+∞，e 0xax ->恒成立， 所以()0f x '>，1x >；()0f x '<，01x <<．所以单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1)．（2）若()f x 在(0,1)内有极值，则()f x '在(0,1)x ∈内有解．令()2(e )(1)0x ax x f x x --'==，e 0xax -=，e x a x =．设e ()xg x x=(0,1)x ∈，所以()e (1)x x g x x-'=，当(0,1)x ∈时，()0g x '<恒成立，所以()g x 单调递减．又因为(1)e g =，又当0x →时，()g x →+∞， 即()g x 在(0,1)x ∈上的值域为(e,)+∞，所以当e a >时，()2(e )(1)0x ax x f x x --'==有解．设()e x H x ax =-，则()e 0xH x a '=-<(0,1)x ∈， 所以()H x 在(0,1)x ∈单调递减．因为(0)10H =>，(1)e 0H a =-<，所以()e xH x ax =-在(0,1)x ∈有唯一解0x ．所以当当e a ≤时，当(0,1)x ∈时，()0f x '≥恒成立，()f x 单调递增，不成立．综上，a 的取值范围为(e,)+∞．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4—4：坐标系与参数方程 【答案】（1）由21sin ρθ=-，得sin 2ρρθ=+，所以曲线C 的直角坐标方程为244x y =+； （2）设1(,)A ρα，则2(,)B ραπ+，0,2απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12303OA OB ρρ+=⇔=，102231sin 1sin αα⎛⎫⇔= ⎪-+⎝⎭1sin 2α⇔=，∴6απ=． 23．选修4-5：不等式选讲．【答案】（1）因为()|21||1|f x x x =-++=3,1,12,1,213,.2x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪-+-⎨⎪⎪>⎪⎩≤≤从图可知满足不等式()3f x ≤的解集为[1,1]-．（2）证明：由图可知函数()y f x ==187． 所以221418117a b +++≥得证．。
2018届高三好教育特供卷 理科数学(二)学生版
2018届高三好教育云平台12月份内部特供卷 高三理科数学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则AB 中元素的个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．02．设复数z 满足(1i)2i z +=，则z =（ ）A ．12 B． CD ．23．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问塔底几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯（ ）A ．3盏B ．9盏C ．192盏D ．9384盏4．为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆy bx a =+．已知101240i i x ==∑，1011700i i y ==∑，ˆ4b =．该班某学生的脚长为25.5，据此估计其身高为（ ）A ．167B ．176C ．175D ．180 5．已知m ∈R ，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在()0,+∞上为减函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．已知函数()(i ) s n f x A x b ωϕ=++()00A ω＞，＞的图象如图所示，则() f x 的解析式为（ ）A ．()2sin()263f x x ππ=++B ．1()3sin()236f x x π=-+C ．()2sin()366f x x ππ=++D ．()2sin()363f x x ππ=++ 7．函数()()log 3101a y x a a =+->≠且的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则11m n +的最小值为（ ） A．3- B ．5 C．3+D．38．已知[]x 表示不超过．．．x 的最大．．整数．执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为2，则输出z 的值为（ ）A ．1B ．05-．C ．05．D ．04-．此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号9．已知如下六个函数：y x =，2y x =，ln y x =，2x y =，sin y x =，cos y x =，从中选出两个函数记为()f x 和()g x ，若()()()F x f x g x =+的图象如图所示，则()F x =（ ）A ．2cos x x +B ．2sin x x +C ．2cos x x +D ．2sin x x +10．已知1F ，2F 是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的两个焦点，()00,M x y ()000,0x y >>是双曲线的渐近线上一点，满足12MF MF ⊥，如果以2F 为焦点的抛物线22y px =()0p >经过点M ，则此双曲线的离心率为（ ）A．2+B．2C．2D211．过点(1,1)P -作圆()22()(2)1x t y t t C -+-+=∈R ：的切线，切点分别为A ，B ，则PA PB 的最小值为（ ）A ．103B ．403C ．214 D．312．已知定义在R 上的函数() y f x =对任意的x 都满足() 2() f x f x +=，当11x -≤＜时，()sin 2f x x π=，若函数()() log a g x f x x =-至少有6个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．()10,5,5⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦ B ．[)10,5,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()11,5,775⎛⎤⎥⎝⎦D ．[)11,5,775⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量()1,2a = ，(),1b x =- ，若()a a b - ∥，则a b ⋅= ____________． 14．若x ，y 满足约束条件0,20,0,x y x y y -⎧⎪+-⎨⎪⎩≥≤≥则34z x y =-的最小值为____________． 15．曲线)0y a =>与曲线y =a 的值为_______． 16．已知数列{}n a 的前n 项和()1112n n n S +=-，如果存在正整数n ，使得()()10n n p a p a +--<成立，则实数p 的取值范围是____________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）设数列{}n a ()123n ⋯＝，，，的前n 项和n S 满足12n n S a a =-，且1a ，21a +，3a 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{1}n a +的前n 项和． 18．（本小题满分12分）已知()2cos sin 2f x x x x =+． （1）求()f x 的单调增区间； （2）在ABC △中，A 为锐角且()2f A =，BC 边上的中线3AD =，AB =sin BAD ∠． 19．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b +=()0a b ＞＞的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上一点（在x 轴上方），连结1PF 并延长交椭圆于另一点Q ，设11PF FQ λ= ． （1）若点P 的坐标为3(1,)2，且2PQF △的周长为8，求椭圆C 的方程； （2）若2PF 垂直于x 轴，且椭圆C的离心率1,2e ∈⎡⎢⎣，求实数λ的取值范围．20．（本小题满分12分）设函数()22( )0f x a x a =＞，()ln g x b x =．（1）若函数() y f x =图象上的点到直线30x y --=距离的最小值为a 的值；（2）对于函数() f x 与()g x 定义域上的任意实数x ，若存在常数k ，m ，使得() f x kx m +≥和()g x kx m +≤都成立，则称直线y kx m =+为函数() f x 与()g x 的“分界线”．设a ，e b ＝，试探究() f x 与()g x 是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数()21ln 2f x x ax x =-+，a ∈R ．（1）令()()()1g x f x ax =--，讨论()g x 的单调区间；（2）若2a =-，正实数1x ，2x 满足()()12120f x f x x x ++=，证明12x x +请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数，α为直线的倾斜角）．以平面直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位，建立极坐标系．圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，设直线l 与圆C 交于A ，B 两点． （1）求角α的取值范围； （2）若点P 的坐标为()1,0-，求11PA PB +的取值范围． 23．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】 已知函数()3f x x x =+-． （1）解关于x 的不等式()5f x x -≥； （2）设(),{|}m n y y f x ∈=，试比较4mn +与()2m n +的大小．2018届高三好教育云平台12月份内部特供卷高三理科数学（二）答 案一、选择题1-5：BCCBB 6-10：DCBDC 11-12：CA12．【解析】当1a ＞时，作函数()f x 与函数log a y x =的图象如下：结合图象可知，log |5|1log |5|1a a -<⎧⎨<⎩，故5a ＞；当01a ＜＜时，作函数()f x 与函数log a y x =的图象如下：结合图象可知，log |5|1log |5|1a a --⎧⎨-⎩≥≥，故015a ＜≤．故选A ．二、填空题13．52- 14．1- 15．1e 16．3142p -<<16．【解析】112a =，234a =-，又222122121130222k k k k k k a S S --=-=--=-<；21212212211130222k k k k k k a S S ++++=-=+=>，易知，数列{}n a 的奇数项为递减的等比数列且各项为正；偶数项为递增的等比数列且各项为负，于是不等式()()10n n p a p a +--<成立，即存在正整数k 使得221k k a p a -<<成立，只需要2422131k k a a a p a a a -<<⋅⋅⋅<<<<⋅⋅⋅<<， 即213142a p a -=<<=即可，故3142p -<<．三、解答题17．【答案】（1）由已知12n n S a a =-，有()11222n n n n n a S S a a n -=-=--≥， 即()122n n a a n -=≥，从而212a a =，32124a a a ==， 又因为1a ，21a +，3a 成等差数列，即13221()a a a +=+， 所以111421)2(a a a +=+，解得12a =， 所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，故2n n a =． （2）设{}1n a +的前n 项和为n T ，则1122(12)()2212n n n n T a a a n n n +-=++++=+=-+- ． 18．【答案】（1）由题可知())1sin 21cos 2sin 223f x x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭， 令222232k x k ππππ--π+≤≤，k ∈Z ， 即函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ． （2）由()f A =，所以sin 232A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得3A π=或2A π=（舍）， 以AB 、AC 为邻边作平行四边形ABEC ，因为3AD =， 所以6AE =，在ABE △中，AB =120ABE ∠=︒，由正弦定理可得sin AEB =∠，解得1sin 4AEB ∠=且cos AEB ∠=，因此11sin sin 324BAD AEB π⎛⎫∠=-∠=-= ⎪⎝⎭ ． 19．【答案】（1）因为1F ，2F 为椭圆C 的两焦点，且P ，Q 为椭圆上的点， 所以12122PF PF QF QF a +=+=， 从而2PQF △的周长为4a ． 由题意，得48a =，解得2a =． 因为点P 的坐标为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以221914a b +=，解得23b =． 所以椭圆C 的方程为22=143x y +．（2）因为2PF x ⊥轴，且P 在x 轴上方，故设0P c y （，），00y ＞．设11Q x y （，）． 因为P 在椭圆上，所以220221y c a b +=，解得20b y a =，即2(,)b P c a ．因为10F c -（，），所以1PF2(2,)b c a =--，1FQ()11x c y =+，．由11PF FQ λ=，得12c x c λ-=+（），21b y a λ-=， 解得12x c λλ+=-，21b y a λ=-， 所以22(,)b c Q a λλλ+--．因为点Q 在椭圆上，所以2222221b e a λλλ+⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()()222221e e λλ++－＝，()22243-1e λλλ++＝．因为10λ+≠，所以()231e λλ+＝－，从而222314=311e e e λ+=---．因为12e ⎡∈⎢⎣⎦，所以21142e ≤≤，即753λ≤≤．所以λ的取值范围是7,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦．20．【答案】（1）因为()22f x a x =，所以()22f x a x '=，令()221f x a x '==，得212x a =，此时214y a =， 则点2211,24a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线30x y --=的距离为即=，解得14a =（负值舍去）．（2）设()()()()21eln 02F x f x g x x x x =-=->，则()(2e e x x x F x x x x x +-'=-==．所以当0x <<()0F x '＜；当x >()0F x '>．因此x =()F x 取得最小值0，则()f x 与()g x的图象在x =e 2⎫⎪⎭． 设()f x 与()g x 存在“分界线”，方程为(e 2y k x -=，即e 2y kx =+- 由()e 2f x kx +-≥x ∈R 上恒成立，则22e +20x kx --在x ∈R 上恒成立．所以()(222442e 484e =40k k k ∆=-=-≤成立，因此k =下面证明()()e 02g x x ->恒成立． 设()e eln 2G x x =-，则()e G x x '==所以当0x <<()0G x '>；当x >()0G x '<．因此x =()G x 取得最大值0， 则()()e 02g x x ->成立．故所求“分界线”方程为e 2y =-． 21．【答案】（1）()()()211ln 12g x f x ax x ax x ax =--=-+--， 所以()()211ax a x g x x -+-+'=， 当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x >，即()g x 在()0,+∞单调递增， 当0a >时，()()11a x x a g x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭'=，令()0g x '=，得1x a =， 所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减， 综上，当0a ≤时，函数单调递增区间为()0,+∞，无递减区间； 当0a >时，函数单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； （2）当2a =-时，()2ln f x x x x =++，0x >，由()()12120f x f x x x ++=可得2212112212ln 0x x x x x x x x +++++=即()()212121212ln x x x x x x x x +++=-，令12t x x =，()ln t t t ϕ=-，则()111t t t t ϕ-'=-=， 则()t ϕ在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增，所以()()11t ϕϕ=≥，所以()()212121x x x x +++≥，又120x x +>，故12x x +． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．【答案】（1）圆C 的直角坐标方程2220x y x +-=，把1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入2220x y x +-=得24cos 30t t α-+= ① 又直线l 与圆C 交于A ，B 两点，所以216cos 120α∆=->，解得：cos α>cos α<又由[)0,α∈π，故50,,66αππ⎡⎫⎛⎫∈π⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭． （2）设方程①的两个实数根分别为1t ，2t ，则由参数t 的几何意义可知：12124cos 113t t PA PB t t α++==，cos 1α<≤4cos 433α<≤， 于是11PA PB +的取值范围为43⎤⎥⎦． 23．【答案】（1）32,0()|||3|3,0323,3x x f x x x x x x -<⎧⎪=+-=⎨⎪->⎩≤≤，从而得0325x x x <⎧⎨-+⎩≥或0335x x ⎧⎨+⎩≤≤≥或3235x x x >⎧⎨-+⎩≥，解之得23x -≤或 x ∈∅或8x ≥， 所以不等式的解集为2(,][8,)3-∞-+∞ ．（2）由（1）易知()3f x ≥，所以3m ≥，3n ≥， 由于()()()()2422422m n mn m mn n m n +-+=-+-=-- 且3m ≥，3n ≥，所以20m ->，20n -<，即()()220m n --<， 所以()24m n mn +<+．。
2018届高三理科数学小题限时专练(共8套)
算法流程图输出的结果是
（A）7 （B）8 （C）9 （D）10
x 2y 0
（7）变量
x，y
满足约束条件
x
y
0
，则 z 2x y
x 2 y 2 0
的最小值等于
（A） 5 （B） 2 （C） 3
2
2
（D） 2
（8）在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是
（A）若 K2 的观测值为 k＝6.635,我们有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在 100
D
C
M
则 SD 面ABCD .
其中正确的命题个数是
N
A
B
（A） 0
（B）1
（C） 2
（D）3
二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
（13） (1 2 x )3 (1 3 x )5 的展开式中 x 的系数是 .
（14）为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取 5 对父子的身高数据如下： 父亲身高 x(cm) 174 176 176 176 178 儿子身高 y(cm) 175 175 176 177 177
2018 年 2 月
2018 届高三理科数学小题限时专练（二）
限时：30 分钟 总分：80 分
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1．设集合 A x x 1 ， B x 2x 16 ，则 A B
A． (1, 4)
B． (,1)
C． (4, )
D． (,1) (4,)
8．刍薨（chú hōng），中国古代算数中的一种几何形体，《九章 算术》中记载“刍薨者，下有褒有广，而上有褒无广. 刍，草 也. 薨，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长 没有宽为一条棱，刍薨字面意思为茅草屋顶”，如图，为一刍
普通高等学校2018届高三招生全国统一考试模拟(二)数学(理)试题 Word版含答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数(二)本试卷共6页，23题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第I 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知i 为虚数单位，复数()12ai a R i +∈-为纯虚数，则a 的值为 A ．2- B ．12- C ．2 D ．122．已知集合{}{}()22log 3,450,R A x x B x x x A C B =<=-->⋂=则 A ．[－1，8)B.(]05， C ．[－1，5) D ．(0，8)3．已知n S 是各项均为正数的等比数列{}n a 前n 项和，7153564,20a a a a S =+==，则A ．31B ．63C ．16D ．1274．设向量)()(,,3,1,//a b x c b c a b b ==-=-，若，则与的夹角为 A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°5．大约2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果，古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线，用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面再渐渐倾斜得到椭圆．若用周长为24的矩形ABCD 截某圆锥得到椭圆Γ，且Γ与矩形ABCD 的四边相切．设椭圆Γ在平面直角坐标系中的方程为()222210x y a b a b +=>>，测得Γ的离心率为2，则椭圆Γ的方程为 A ．221164x y += B ．2214x y +=C ．2216416x y += D ．22154x y += 6．已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量()q x (单位：百件)关于每件衣服的利润x (单位：元)的函数解析式为()1260,020,190180,x x q x x ⎧<≤⎪+=⎨⎪-<≤⎩则当该服装厂所获效益最大时A ．20B ．60C ．80D ．407.已知,x y 满足不等式组240,20,130,x y x y z x y y +-≥⎧⎪--≤=+-⎨⎪-≤⎩则的最小值为A.2B.C. D.1 8．已知函数()2110sin 10sin ,,22f x x x x m π⎡⎤=---∈-⎢⎥⎣⎦的值域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数m 的取A ．,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 9．已知()2112n x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为42-，则n = A.10 B.8 C.12 D.1110.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．30π+B ．803π+ C. 923π+ D ．763π+ 11．已知双曲线()2222:10,0x y a b a bΓ-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是双曲线Γ右支上一点，且212PF F F ⊥，过点P 作1F P 的垂线交x 轴于点A ，且22PM MF = ，若PA的中点E 在1F M 的延长线上，则双曲线Γ的离心率是A ．3B ．2+C ．1D ．4+12．已知函数()()()222f x x x x mx n =+++，且对任意实数x ，均有()()33f x f x -+=--，若方程()f x a =有且只有4个实根，则实数a 的取值范围为A ．()16,9-B ．(]16,9-C ．(]16,0-D ．(]16,5--第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2018年普通高等学校招生全国统一考试押题卷 理科数学(二)含精品解析
A． 51π 4
【答案】C
B． 41π 2
C． 41π
D． 31π
【解析】根据三视图得出，该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥 O ABCD ，
正方体的棱长为 4， A ， D 为棱的中点，根据几何体可以判断：球心应该在过 A ， D 的平
行于底面的中截面上，
设球心到截面 BCO 的距离为 x ，则到 AD 的距离为 4 x ，
DC
，
在等腰梯形 ABCD 中， AB AD 1 2 cos 60 1， AB DC 2 ，
BC
AD
11
cos
60
1
，
BC
DC
11
cos120
1
．
2
2
AE AF 1
f
x，
x
，
5
作
OH
BQ
于
H
当Q
在半圆弧
AQB
上运动时，
QOH
1
(
)
，
2
BQ 2OQ sin 2OQ cos ，
2
2
CQ BQ2 BC2 100cos2 100 10 cos2 x 1 5 2cos x 6 ，
D．
【答案】A
【解析】 N x 2x 1 x x 0， M x | x 1，M N x | 0 x 1．故选：A．
2．若双曲线 x2 y2 1的一个焦点为 3, 0，则 m （ ）
m
A． 2 2 【答案】B
2018届高考数学(理)二轮限时规范训练(Word版,含答案解析)
限时规范训练一 集合、常用逻辑用语限时40分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分) 1．集合A ＝{x ∈N |－1＜x ＜4}的真子集个数为( ) A ．7 B ．8 C ．15D ．16解析：选C.A ＝{0,1,2,3}中有4个元素，则真子集个数为24－1＝15.2．已知集合A ＝{x |2x 2－5x －3≤0}，B ＝{x ∈Z |x ≤2}，则A ∩B 中的元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选B.A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12≤x ≤3，∴A ∩B ＝{0,1,2}，A ∩B 中有3个元素，故选B. 3．设集合M ＝{－1,1}，N ＝{x |x 2－x ＜6}，则下列结论正确的是( ) A ．N ⊆M B ．N ∩M ＝∅ C ．M ⊆ND ．M ∩N ＝R解析：选C.集合M ＝{－1,1}，N ＝{x |x 2－x ＜6}＝{x |－2＜x ＜3}，则M ⊆N ，故选C. 4．已知p ：a ＜0，q ：a 2＞a ，则﹁p 是﹁q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.因为﹁p ：a ≥0，﹁q ：0≤a ≤1，所以﹁q ⇒﹁p 且﹁p ⇒/﹁q ，所以﹁p 是﹁q 的必要不充分条件．5．下列命题正确的是( )A ．若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题B ．“a ＞0，b ＞0”是“b a ＋ab≥2”的充要条件C ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x ≠1或x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”D ．命题p ：∃x ∈R ，x 2＋x －1＜0，则﹁p ：∀x ∈R ，x 2＋x －1≥0解析：选D.若p ∨q 为真命题，则p ，q 中至少有一个为真，那么p ∧q 可能为真，也可能为假，故A 错；若a ＞0，b ＞0，则b a ＋a b ≥2，又当a ＜0，b ＜0时，也有b a ＋a b≥2，所以“a ＞0，b ＞0”是“b a ＋a b≥2”的充分不必要条件，故B 错；命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x ≠1且x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”，故C 错；易知D 正确．6．设集合A ＝{x |x ＞－1}，B ＝{x ||x |≥1}，则“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是( )A ．－1＜x ≤1B ．x ≤1C ．x ＞－1D ．－1＜x ＜1解析：选D.由题意可知，x ∈A ⇔x ＞－1，x ∉B ⇔－1＜x ＜1，所以“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是－1＜x ＜1.故选D.7．“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x＋a 为奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称．当a ＝0时，f (x )＝sin x －1x，f (－x )＝sin(－x )－1－x ＝－sin x ＋1x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin x －1x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数；反之，当f (x )＝sin x －1x＋a 为奇函数时，f (－x )＋f (x )＝0，又f (－x )＋f (x )＝sin (－x )－1－x ＋a ＋sin x －1x ＋a ＝2a ，故a ＝0，所以“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x＋a 为奇函数”的充要条件，故选C.8．已知命题p ：“∃x ∈R ，e x－x －1≤0”，则﹁p 为( ) A ．∃x ∈R ，e x－x －1≥0 B ．∃x ∈R ，e x －x －1＞0 C ．∀x ∈R ，e x －x －1＞0 D ．∀x ∈R ，e x －x －1≥0解析：选C.特称命题的否定是全称命题，所以﹁p ：∀x ∈R ，e x－x －1＞0.故选C. 9．下列命题中假命题是( ) A ．∃x 0∈R ，ln x 0＜0 B ．∀x ∈(－∞，0)，e x＞x ＋1 C ．∀x ＞0,5x＞3xD ．∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＜sin x 0解析：选D.令f (x )＝sin x －x (x ＞0)，则f ′(x )＝cos x －1≤0，所以f (x )在(0，＋∞)上为减函数，所以f (x )＜f (0)，即f (x )＜0，即sin x ＜x (x ＞0)，故∀x ∈(0，＋∞)，sin x ＜x ，所以D 为假命题，故选D.10．命题p ：存在x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使sin x 0＋cos x 0＞2；命题q ：命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1，则四个命题(﹁p )∨(﹁q )、p ∧q 、(﹁p )∧q 、p ∨(﹁q )中，正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，故命题p 为假命题；特称命题的否定为全称命题，易知命题q 为真命题，故(﹁p )∨(﹁q )真，p ∧q 假，(﹁p )∧q 真，p ∨(﹁q )假．11．下列说法中正确的是( )A ．命题“∀x ∈R ，e x ＞0”的否定是“∃x ∈R ，e x＞0”B ．命题“已知x ，y ∈R ，若x ＋y ≠3，则x ≠2或y ≠1”是真命题C ．“x 2＋2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立”⇔“对于x ∈[1,2]，有(x 2＋2x )min ≥(ax )max ” D ．命题“若a ＝－1，则函数f (x )＝ax 2＋2x －1只有一个零点”的逆命题为真命题 解析：选B.全称命题“∀x ∈M ，p (x )”的否定是“∃x ∈M ，﹁p (x )”，故命题“∀x ∈R ，e x ＞0”的否定是“∃x ∈R ，e x≤0”，A 错；命题“已知x ，y ∈R ，若x ＋y ≠3，则x ≠2或y ≠1”的逆否命题为“已知x ，y ∈R ，若x ＝2且y ＝1，则x ＋y ＝3”，是真命题，故原命题是真命题，B 正确；“x 2＋2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立”⇔“对于x ∈[1,2]，有(x ＋2)min ≥a ”，由此可知C 错误；命题“若a ＝－1，则函数f (x )＝ax 2＋2x －1只有一个零点”的逆命题为“若函数f (x )＝ax 2＋2x －1只有一个零点，则a ＝－1”，而函数f (x )＝ax 2＋2x －1只有一个零点⇔a ＝0或a ＝－1，故D 错．故选B.12．“直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝1相交”是“0＜b ＜1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.若“直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝1相交”，则圆心到直线的距离为d ＝|b |2＜1，即|b |＜2，不能得到0＜b ＜1；反过来，若0＜b ＜1，则圆心到直线的距离为d ＝|b |2＜12＜1，所以直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝1相交，故选B. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．若命题“∃x 0∈R ，x 20－2x 0＋m ≤0”是假命题，则m 的取值范围是________． 解析：由题意，命题“∀x ∈R ，x 2－2x ＋m ＞0”是真命题，故Δ＝(－2)2－4m ＜0，即m ＞1.答案：(1，＋∞)14．若关于x 的不等式|x －m |<2成立的充分不必要条件是2≤x ≤3，则实数m 的取值范围是________．解析：由|x －m |<2得－2<x －m <2，即m －2<x <m ＋2.依题意有集合{x |2≤x ≤3}是{x |m－2<x <m ＋2}的真子集，于是有⎩⎪⎨⎪⎧m －2<2m ＋2>3，由此解得1<m <4，即实数m 的取值范围是(1,4)．答案：(1,4)15．设集合S ，T 满足∅≠S ⊆T ，若S 满足下面的条件：(i)对于∀a ，b ∈S ，都有a －b ∈S 且ab ∈S ；(ⅱ)对于∀r ∈S ，n ∈T ，都有nr ∈S ，则称S 是T 的一个理想，记作S ⊲T .现给出下列集合对：①S ＝{0}，T ＝R ；②S ＝{偶数}，T ＝Z ；③S ＝R ，T ＝C (C 为复数集)，其中满足S ⊲T 的集合对的序号是________．解析：①(ⅰ)0－0＝0,0×0＝0；(ⅱ)0×n ＝0，符合题意．②(ⅰ)偶数－偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数；(ⅱ)偶数×整数＝偶数，符合题意． ③(ⅰ)实数－实数＝实数，实数×实数＝实数；(ⅱ)实数×复数＝实数不一定成立，如2×i＝2i ，不合题意．答案：①②16．已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x－2.若同时满足条件： ①∀x ∈R ，f (x )＜0或g (x )＜0；②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )＜0，则m 的取值范围是________．解析：当x ＜1时，g (x )＜0；当x ＞1时，g (x )＞0；当x ＝1时，g (x )＝0.m ＝0不符合要求．当m ＞0时，根据函数f (x )和函数g (x )的单调性，一定存在区间[a ，＋∞)使f (x )≥0且g (x )≥0，故m ＞0时不符合第①条的要求．当m ＜0时，如图所示，如果符合①的要求，则函数f (x )的两个零点都得小于1，如果符合第②条要求，则函数f (x )至少有一个零点小于－4，问题等价于函数f (x )有两个不相等的零点，其中较大的零点小于1，较小的零点小于－4.函数f (x )的两个零点是2m ，－(m ＋3)，故m 满足⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，2m ＜－m ＋，2m ＜－4，－m ＋＜1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，－m ＋＜2m ，2m ＜1，－m ＋＜－4，解第一个不等式组得－4＜m ＜－2，第二个不等式组无解，故所求m 的取值范围是(－4，－2)．答案：(－4，－2)限时规范训练二 平面向量、复数运算限时45分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．设i 是虚数单位，如果复数a ＋i2－i的实部与虚部相等，那么实数a 的值为( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3解析：选C.a ＋i 2－i ＝2a －1＋a ＋5，由题意知2a －1＝a ＋2，解之得a ＝3.2．若复数z 满足(1＋2i)z ＝(1－i)，则|z |＝( ) A.25 B.35 C.105D.10解析：选C.z ＝1－i 1＋2i ＝－1－3i 5⇒|z |＝105.3．已知复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z－z 2的共轭复数是( )A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．1－3iD ．－1－3i 解析：选 B.2z －z 2＝21＋i －(1＋i)2＝－＋－－2i ＝1－i －2i ＝1－3i ，其共轭复数是1＋3i ，故选B.4．若z ＝(a －2)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 71＋a i＝( )A ．iB ．1C ．－iD ．－1解析：选C.∵z 为纯虚数，∴a ＝2，∴a ＋i 71＋a i ＝2－i 1＋2i＝2－－2＋2－2＝－3i 3＝－i.5．已知复数z ＝11－i ，则z －|z |对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：选B.∵复数z ＝11－i ＝1＋i －＋＝12＋12i ， ∴z －|z |＝12＋12i －⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1－22＋12i ，对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12所在的象限为第二象限．故选B.6．若复数z 满足z (1－i)＝|1－i|＋i ，则z 的实部为( ) A.2－12B.2－1C ．1D.2＋12解析：选 A.由z (1－i)＝|1－i|＋i ，得z ＝2＋i1－i＝2＋＋－＋＝2－12＋2＋12i ，z 的实部为2－12，故选A. 7．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B.由MA →＋MB →＋MC →＝0知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为边BC 的中点，则AM →＝23AD →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，所以AB →＋AC →＝3AM →，故m ＝3，故选B. 8．已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y的最小值是( )A ．24B ．8 C.83D.53解析：选B.∵a ∥b ，∴－2x －3(y －1)＝0，即2x ＋3y ＝3，∴3x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ×13(2x ＋3y )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋9y x ＋4x y ＋6≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋29y x·4x y ＝8，当且仅当2x ＝3y ＝32时，等号成立．∴3x ＋2y的最小值是8.故选B.9．在平行四边形ABCD 中，AC ＝5，BD ＝4，则AB →·BC →＝( ) A.414B ．－414C.94D ．－94解析：选 C.因为BD →2＝(AD →－AB →)2＝AD →2＋AB →2－2AD →·AB →，AC →2＝(AD →＋AB →)2＝AD →2＋AB →2＋2AD →·AB →，所以AC →2－BD →2＝4AD →·AB →，∴AD →·AB →＝AB →·BC →＝94.10．在△ABC 中，已知向量AB →＝(2,2)，|AC →|＝2，AB →·AC →＝－4，则△ABC 的面积为( ) A ．4 B ．5 C ．2D ．3解析：选C.∵AB →＝(2,2)，∴|AB →|＝22＋22＝2 2. ∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝22×2cos A ＝－4， ∴cos A ＝－22，∵0＜A ＜π，∴sin A ＝22， ∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin A ＝2.故选C.11．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1,2AO →＝AB →＋AC →且|OA →|＝|AB →|，则向量BA →在BC →方向上的投影为( )A.12B.32 C ．－12D ．－32解析：选A.由2AO →＝AB →＋AC →可知O 是BC 的中点，即BC 为△ABC 外接圆的直径，所以|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，由题意知|OA →|＝|AB →|＝1，故△OAB 为等边三角形，所以∠ABC ＝60°.所以向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos∠ABC ＝1×cos 60°＝12.故选A.12．如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM →·AN →的最大值为( )A ．3B ．2 3C ．6D ．9解析：选D.由平面向量的数量积的几何意义知， AM →·AN →等于AM →与AN →在AM →方向上的投影之积，所以(AM →·AN →)max ＝AM →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋AD →·(AB→＋AD →)＝12AB 2→＋AD 2→＋32AB →·AD →＝9.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知复数z ＝3＋i －32，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________.解析：∵z ＝3＋i －32＝3＋i－2－23i ＝3＋i －2＋3＝3＋－3－＋3－3＝23－2i －8＝－34＋14i ，∴z ·z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋14i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－14i ＝316＋116＝14. 答案：1414．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且对一切实数x ，|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立，则a ，b 夹角的大小为________．解析：|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立⇒a 2＋2x a ·b ＋x 2b 2≥a 2＋2a·b ＋b 2恒成立⇒x 2＋2a ·b x －1－2a ·b ≥0恒成立，∴Δ＝4(a·b )2－4(－1－2a·b )≤0⇒(a·b ＋1)2≤0，∴a·b ＝－1，∴cos〈a ，b 〉＝a·b |a |·|b |＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，故a 与b 的夹角的大小为2π3.答案：23π15．已知在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝6，BC ＝7，其外接圆的圆心为O ，则AO →·BC →＝________.解析：如图，取BC 的中点M ，连OM ，AM ，则AO →＝AM →＋MO →， ∴AO →·BC →＝(AM →＋MO →)·BC →.∵O 为△ABC 的外心，∴OM ⊥BC ，即OM →·BC →＝0，∴AO →·BC →＝AM →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(AC 2→－AB 2→)＝12(62－42)＝12×20＝10.答案：1016．已知非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|a －b |，〈c －a ，c －b 〉＝2π3，则|c ||a |的最大值为________．解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b . ∵非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|a －b |， ∴△OAB 是等边三角形． 设OC →＝c ，则AC →＝c －a ，BC →＝c －b .∵〈c －a ，c －b 〉＝2π3，∴点C 在△ABC 的外接圆上，∴当OC 为△ABC 的外接圆的直径时，|c ||a |取得最大值，为1cos 30°＝233.答案：233限时规范训练三 算法、框图与推理限时45分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．请仔细观察1,1,2,3,5，( )，13，运用合情推理，可知写在括号里的数最可能是( )A．8 B．9C．10 D．11解析：选A.观察题中所给各数可知，2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3,8＝3＋5,13＝5＋8，∴括号中的数为8.故选A.2．执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为2，则输出的y的值为( )A．2 B．5C．11 D．23解析：选 D.x＝2，y＝5，|2－5|＝3＜8；x＝5，y＝11，|5－11|＝6＜8；x＝11，y＝23，|11－23|＝12＞8.满足条件，输出的y的值为23，故选D.3．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于( ) A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)解析：选D.由所给等式知，偶函数的导数是奇函数．∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数，从而g(x)是奇函数．∴g(－x)＝－g(x)．4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为－4时，则输入的S0的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选D.根据程序框图知，当i ＝4时，输出S .第1次循环得到S ＝S 0－2，i ＝2；第2次循环得到S ＝S 0－2－4，i ＝3；第3次循环得到S ＝S 0－2－4－8，i ＝4.由题意知S 0－2－4－8＝－4，所以S 0＝10，故选D.5．(2017·高考山东卷)执行如图所示的程序框图，当输入的x 的值为4时，输出的y 的值为2，则空白判断框中的条件可能为()A ．x ＞3B ．x ＞4C ．x ≤4D ．x ≤5解析：选B.输入x ＝4，若满足条件，则y ＝4＋2＝6，不符合题意；若不满足条件，则y ＝log 24＝2，符合题意，结合选项可知应填x ＞4.故选B.6．如图所示的程序框图的运行结果为()A ．－1B ．12C ．1D ．2解析：选A.a ＝2，i ＝1，i ≥2 019不成立；a ＝1－12＝12，i ＝1＋1＝2，i ≥2 019不成立； a ＝1－112＝－1，i ＝2＋1＝3，i ≥2 019不成立；a＝1－(－1)＝2，i＝3＋1＝4，i≥2 019不成立；…，由此可知a是以3为周期出现的，结束时，i＝2 019＝3×673，此时a＝－1，故选A.7．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝2Sa＋b＋c.类比这个结论可知：四面体SABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体SABC的体积为V，则R等于( )A.VS1＋S2＋S3＋S4B.2VS1＋S2＋S3＋S4C.3VS1＋S2＋S3＋S4D.4VS1＋S2＋S3＋S4解析：选C.把四面体的内切球的球心与四个顶点连起来分成四个小三棱锥，其高都是R，四个小三棱锥的体积和等于四面体的体积，因此V＝13S1R＋13S2R＋13S3R＋13S4R，解得R＝3VS1＋S2＋S3＋S4.8．按照如图所示的程序框图执行，若输出的结果为15，则M处的条件为( )A．k≥16B．k＜8C．k＜16 D．k≥8解析：选 A.根据框图的循环结构依次可得S＝0＋1＝1，k＝2×1＝2；S＝1＋2＝3，k ＝2×2＝4；S＝3＋4＝7，k＝2×4＝8；S＝7＋8＝15，k＝2×8＝16，根据题意此时跳出循环，输出S＝15.所以M处的条件应为k≥16.故A正确．9．如图所示的程序框图中，输出S＝( )A ．45B ．－55C ．－66D ．66解析：选B.由程序框图知，第一次运行T ＝(－1)2·12＝1，S ＝0＋1＝1，n ＝1＋1＝2；第二次运行T ＝(－1)3·22＝－4，S ＝1－4＝－3，n ＝2＋1＝3；第三次运行T ＝(－1)4·32＝9，S ＝－3＋9＝6，n ＝3＋1＝4…直到n ＝9＋1＝10时，满足条件n ＞9，运行终止，此时T ＝(－1)10·92，S ＝1－4＋9－16＋…＋92－102＝1＋(2＋3)＋(4＋5)＋(6＋7)＋(8＋9)－100＝1＋92×9－100＝－55.故选B.10．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{5n ＋k |n ∈Z }，k ＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2 018∈[3]； ②－2∈[2]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a －b ∈[0]”． 其中正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C.因为2 018＝403×5＋3，所以2 018∈[3]，①正确；－2＝－1×5＋3，－2∈[3]，所以②不正确；因为整数集中被5除的数可以且只可以分成五类，所以③正确；整数a ，b 属于同一“类”，因为整数a ，b 被5除的余数相同，从而a －b 被5除的余数为0，反之也成立，故整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a －b ∈[0]”，故④正确．所以正确的结论有3个，故选C.11．执行如图所示的程序框图，如果输入x ，t 的值均为2，最后输出S 的值为n ，在区间[0,10]上随机选取一个数D ，则D ≤n 的概率为( )A.25B.12C.35D.710解析：选D.这是一个循环结构，循环的结果依次为M＝2，S＝2＋3＝5，k＝1＋1＝2；M ＝2，S＝2＋5＝7，k＝2＋1＝3.最后输出7，所以在区间[0,10]上随机选取一个数D，则D≤n的概率P＝710，故选D.12．定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”，若函数g(x)＝x，h(x)＝ln(x＋1)，φ(x)＝x3－1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为( )A．α＞β＞γB．β＞α＞γC．γ＞α＞βD．β＞γ＞α解析：选C.g(x)＝g′(x)，即x＝1，所以α＝1；h(x)＝h′(x)，即ln(x＋1)＝1x＋1，0＜x＜1，所以β∈(0,1)；φ(x)＝φ′(x)，即x3－1＝3x2，即x3－3x2＝1，x2(x－3)＝1，x＞3，所以γ＞3.所以γ＞α＞β.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是________．解析：令a≥b得，x2≥x3，解得x≤1.所以当x≤1时，输出a＝x2，当x＞1时，输出b ＝x3.当x≤1时，由题意得a＝x2＝8，解得x＝－8＝－2 2.当x＞1时，由题意得b＝x3＝8，得x＝2，所以输入的数为2或－2 2.14．刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好．”乙说：“我们四人中有人考得好．”丙说：“乙和丁至少有一人没考好．”丁说：“我没考好．”结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的________两人说对了．解析：甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确．故答案为乙，丙．答案：乙，丙15．已知实数x∈[2,30]，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率是________．解析：实数x∈[2,30]，经过第一次循环得到x＝2x＋1，n＝2；经过第二次循环得到x ＝2(2x＋1)＋1，n＝3；经过第三次循环得到x＝2[2(2x＋1)＋1]＋1，n＝4，此时输出x，输出的值为8x ＋7.令8x ＋7≥103，解得x ≥12.由几何概型的概率公式，得到输出的x 不小于103的概率为30－1230－2＝914.16．集合{1,2,3，…，n }(n ≥3)中，每两个相异数作乘积，将所有这些乘积的和记为T n ，如：T 3＝1×2＋1×3＋2×3＝12×[62－(12＋22＋32)]＝11；T 4＝1×2＋1×3＋1×4＋2×3＋2×4＋3×4＝12×[102－(12＋22＋32＋42)]＝35； T 5＝1×2＋1×3＋1×4＋1×5＋…＋3×5＋4×5＝12×[152－(12＋22＋32＋42＋52)]＝85.则T 7＝________.(写出计算结果)解析：由T 3，T 4，T 5归纳得出T n ＝12[(1＋2＋…＋n )2－(12＋22＋…＋n 2)]，则T 7＝12×[282－(12＋22＋…＋72)]．又∵12＋22＋…＋72＝16×7×8×15＝140，∴T 7＝12×(784－140)＝322.答案：322限时规范训练四 函数的图象与性质 限时40分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分) 1．函数y ＝x ＋x －2的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,2)∪(2，＋∞)D ．[－1,2)∪(2，＋∞)解析：选C.由题意知，要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x －2≠0x ＋1＞0，即－1＜x ＜2或x ＞2，所以函数的定义域为(－1,2)∪(2，＋∞)．故选C.2．设函数f ：R →R 满足f (0)＝1，且对任意，x ，y ∈R 都有f (xy ＋1)＝f (x )f (y )－f (y )－x ＋2，则f (2 017)＝( )A ．0B ．1C ．2 016D ．2 018解析：选D.令x ＝y ＝0，则f (1)＝f (0)f (0)－f (0)＋2＝1×1－1＋2＝2，令y ＝0，则f (1)＝f (x )f (0)－f (0)－x ＋2，将f (0)＝1，f (1)＝2代入，可得f (x )＝1＋x ，所以f (2 017)＝2 018.故选D.3．若函数f (x )满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝(x －1)2B ．f (x )＝e xC ．f (x )＝1xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选C.根据条件知，f (x )在(0，＋∞)上单调递减． 对于A ，f (x )＝(x －1)2在(1，＋∞)上单调递增，排除A ； 对于B ，f (x )＝e x在(0，＋∞)上单调递增，排除B ； 对于C ，f (x )＝1x在(0，＋∞)上单调递减，C 正确；对于D ，f (x )＝ln(x ＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除D. 4．已知函数f (x )＝2x ＋1(1≤x ≤3)，则( ) A ．f (x －1)＝2x ＋2(0≤x ≤2) B ．f (x －1)＝2x －1(2≤x ≤4) C ．f (x －1)＝2x －2(0≤x ≤2) D ．f (x －1)＝－2x ＋1(2≤x ≤4)解析：选B.因为f (x )＝2x ＋1，所以f (x －1)＝2x －1.因为函数f (x )的定义域为[1,3]，所以1≤x －1≤3，即2≤x ≤4，故f (x －1)＝2x －1(2≤x ≤4)．5．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2 018]，则函数g (x )＝f x ＋x －1的定义域是( ) A ．[－1,2 017]B ．[－1,1)∪(1,2 017]C ．[0,2 019]D ．[－1,1)∪(1,2 018]解析：选B.要使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2 018，解得－1≤x ≤2 017，故函数f (x ＋1)的定义域为[－1，2 017]，所以函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2 017x －1≠0，解得－1≤x ＜1或1＜x ≤2 017.故函数g (x )的定义域为[－1,1)∪(1,2 017]．6．下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝x 3＋3x 2B ．y ＝e x ＋e －x2C ．y ＝x sin xD ．y ＝log 23－x3＋x解析：选D.依题意，对于选项A ，注意到当x ＝－1时，y ＝2；当x ＝1时，y ＝4，因此函数y ＝x 3＋3x 2不是奇函数．对于选项B ，注意到当x ＝0时，y ＝1≠0，因此函数y ＝e x ＋e－x2不是奇函数．对于选项C ，注意到当x ＝－π2时，y ＝π2；当x ＝π2时，y ＝π2，因此函数y＝x sin x 不是奇函数．对于选项D ，由3－x3＋x＞0得－3＜x ＜3，即函数y ＝log 23－x3＋x的定义域是(－3,3)，该数集是关于原点对称的集合，且log 23－－x 3＋－x ＋log 23－x 3＋x ＝log 21＝0，即log 23－－x 3＋－x ＝－log 23－x 3＋x，因此函数y ＝log 23－x 3＋x是奇函数．综上所述，选D.7．设函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，则( ) A ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是增函数 B ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是减函数 C ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是增函数 D ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是减函数解析：选B.因为函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，则(m －1)ln 3＝0，即m ＝1，则f (x )＝ln(1＋x )＋ln(1－x )＝ln(1－x 2)，在(0,1)上，当x 增大时，1－x 2减小，ln(1－x 2)减小，即f (x )在(0,1)上是减函数，故选B.8．若关于x 的不等式4a x －1＜3x －4(a ＞0，且a ≠1)对于任意的x ＞2恒成立，则a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞)解析：选B.不等式4ax －1＜3x －4等价于ax －1＜34x －1.令f (x )＝ax －1，g (x )＝34x －1，当a ＞1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图1所示，由图知不满足条件；当0＜a ＜1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图2所示，则f (2)≤g (2)，即a2－1≤34×2－1，即a ≤12，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，故选B.9．已知函数y ＝a ＋sin bx (b ＞0且b ≠1)的图象如图所示，那么函数y ＝log b (x －a )的图象可能是( )解析：选C.由三角函数的图象可得a ＞1，且最小正周期T ＝2πb＜π，所以b ＞2，则y＝log b (x －a )是增函数，排除A 和B ；当x ＝2时，y ＝log b (2－a )＜0，排除D ，故选C.10．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数，若a ＝f (20.3)，b ＝f (log 124)，c ＝f (log 25)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b解析：选B.函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数，∴f (x )在[0，＋∞)为增函数， ∵b ＝f (log 124)＝f (－2)＝f (2)，1＜20.3＜2＜log 25，∴c ＞b ＞a ，故选B. 11．已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0,4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则函数g (x )＝a |x ＋b |的图象为( )解析：选A.∵x ∈(0,4)，∴x ＋1＞1， ∴f (x )＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5≥ 29x ＋1x ＋－5＝1，当且仅当x ＝2时取等号，此时函数f (x )有最小值1. ∴a ＝2，b ＝1，∴g (x )＝2|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1，x ＜－1，此函数可以看成由函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ＜0的图象向左平移1个单位得到，结合指数函数的图象及选项可知A 正确．故选A.12．若函数f (x )＝1＋2x ＋12x ＋1＋sin x 在区间[－k ，k ](k ＞0)上的值域为[m ，n ]，则m ＋n的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选D.∵f (x )＝1＋2·2x2x ＋1＋sin x＝1＋2·2x＋1－12x ＋1＋sin x＝2＋1－22x ＋1＋sin x＝2＋2x－12x ＋1＋sin x .记g (x )＝2x－12x ＋1＋sin x ，则f (x )＝g (x )＋2，易知g (x )为奇函数，g (x )在[－k ，k ]上的最大值a 与最小值b 互为相反数， ∴a ＋b ＝0，故m ＋n ＝4.(a ＋2)＋(b ＋2)＝a ＋b ＋4＝4. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝log 2x －1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝________.解析：因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫log 222－1＝32. 答案：3214．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a x ，x ＞2，－x 2＋2x －2，x ≤2(a ＞0，且a ≠1)的值域是(－∞，－1]，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ≤2时，f (x )＝－x 2＋2x －2＝－(x －1)2－1，f (x )在(－∞，1)上递增，在(1,2]上递减，∴f (x )在(－∞，2]上的最大值是－1， 又f (x )的值域是(－∞，－1]，∴当x ＞2时， log a x ≤－1，故0＜a ＜1，且log a 2≤－1， ∴12≤a ＜1，故答案为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，115．已知函数f (x )在实数集R 上具有下列性质：①直线x ＝1是函数f (x )图象的一条对称轴；②f (x ＋2)＝－f (x )；③当1≤x 1＜x 2≤3时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)＜0，则f (2 015)、f (2 016)、f (2 017)从大到小的顺序为______________．解析：由f (x ＋2)＝－f (x )得f (x ＋4)＝f (x )，所以f (x )的周期是4，所以f (2 015)＝f (3)，f (2 016)＝f (0)，f (2 017)＝f (1)．因为直线x ＝1是函数f (x )图象的一条对称轴，所以f (0)＝f (2)．由1≤x 1＜x 2≤3时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)＜0，可知当1≤x ≤3时，函数f (x )单调递减，所以f (1)＞f (2)＞f (3)，即f (2 017)＞f (2 016)＞f (2 015)．答案：f (2 017)＞f (2 016)＞f (2 015)16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x ＋1|，x ＜1，log 2x －m ，x ＞1，若f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，且x 1＋x 2＋x 3的取值范围为(1,8)，则实数m 的值为________．解析：作出f (x )的图象，如图所示，可令x 1＜x 2＜x 3，则由图知点(x 1,0)，(x 2,0)关于直线x ＝－12对称，所以x 1＋x 2＝－1.又1＜x 1＋x 2＋x 3＜8，所以2＜x 3＜9.结合图象可知点A的坐标为(9,3)，代入函数解析式，得3＝log 2(9－m )，解得m ＝1.答案：1限时规范训练五 不等式及线性规划限时45分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分) 1．设0＜a ＜b ＜1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 3＞b 3B.1a ＜1bC ．a b ＞1D ．lg(b －a )＜a解析：选D.∵0＜a ＜b ＜1，∴0＜b －a ＜1－a ，∴lg(b －a )＜0＜a ，故选D. 2．已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，则1a ＋4b( )A ．有最小值8B ．有最小值9C ．有最大值8D ．有最大值9解析：选B.因为1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9，当且仅当b a ＝4a b且a ＋b ＝1，即a ＝13，b ＝23时取“＝”，所以1a ＋4b的最小值为9，故选B.3．对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；②若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ； ③若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd ；④若a ＞b ，则1a ＞1b.其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B.①ac 2＞bc 2，则c ≠0，则a ＞b ，①正确； ②由不等式的同向可加性可知②正确； ③需满足a 、b 、c 、d 均为正数才成立；④错误，如：令a ＝－1，b ＝－2，满足－1＞－2，但1－1＜1－2.故选B. 4．已知不等式ax 2－bx －1＞0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是( )A ．{x |2＜x ＜3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13＜x ＜12 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜13或x ＞12 解析：选B.∵不等式ax 2－bx －1＞0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜－13， ∴ax 2－bx －1＝0的解是x 1＝－12和x 2＝－13，且a ＜0.∴⎩⎪⎨⎪⎧－12－13＝ba ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.则不等式x 2－bx －a ≥0即为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≤2或x ≥3. 5．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥12x 2，则z ＝y －x 的取值范围为( )A ．[－2,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2C ．[－1,2]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 解析：选B.作出可行域(图略)，设直线l ：y ＝x ＋z ，平移直线l ，易知当l 过直线3x－y ＝0与x ＋y －4＝0的交点(1,3)时，z 取得最大值2；当l 与抛物线y ＝12x 2相切时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧z ＝y －x ，y ＝12x 2，消去y 得x 2－2x －2z ＝0，由Δ＝4＋8z ＝0，得z ＝－12，故－12≤z ≤2，故选B.6．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是( ) A.92 B.72 C ．22＋12D ．22－12解析：选A.∵a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n＋n2， ∴S n ＋8a n＝n＋n2＋8n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋16n ＋1≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号．∴S n ＋8a n 的最小值是92，故选A. 7．一条长为2的线段，它的三个视图分别是长为3，a ，b 的三条线段，则ab 的最大值为( )A. 5B. 6C.52D ．3解析：选C.如图，构造一个长方体，体对角线长为2，由题意知a 2＋x 2＝4，b 2＋y 2＝4，x 2＋y 2＝3，则a 2＋b 2＝x 2＋y 2＋2＝3＋2＝5，又5＝a 2＋b 2≥2ab ，所以ab ≤52，当且仅当a ＝b 时取等号，所以选C.8．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是( ) A ．[1,5] B ．[2,6] C ．[3,11]D ．[3,10]解析：选C.画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12的可行域如图阴影部分所示，则x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋2y ＋2x ＋1＝1＋2×y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1的几何意义为过点(x ，y )和(－1，－1)的直线的斜率．由可行域知y ＋1x ＋1的取值范围为k MA ≤y ＋1x ＋1≤k MB ，即y ＋1x ＋1∈[1,5]，所以x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是[3,11]．9．设x ，y 满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，若M ＝3x ＋y ，N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－72，则M －N 的最小值为( )A.12 B ．－12C ．1D ．－1解析：选A.作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得A (－1,2)，B (3,2)，当直线3x ＋y －M ＝0经过点A (－1,2)时，目标函数M ＝3x ＋y 取得最小值－1.又由平面区域知－1≤x ≤3，所以函数N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－72在x ＝－1处取得最大值－32，由此可得M －N 的最小值为－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝12.10．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是( )A ．a ≥43B ．0＜a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0＜a ≤1或a ≥43解析：选 D.作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．其中直线x －y ＝0与直线2x ＋y ＝2的交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，而直线x ＋y ＝a 与x 轴的交点是(a,0)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需a ≥23＋23或0＜a ≤1，所以选D.11．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －10≥0，x ≤4，y ≤3表示区域D ，过区域D 中任意一点P 作圆x2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 、B ，当∠APB 最大时，cos∠APB ＝( )A.32 B.12 C ．－32D ．－12解析：选B.画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，易知当点P 到点O 距离最小时，∠APB 最大，此时|OP |＝|3×0＋4×0－10|32＋42＝2，又OA ＝1，故∠OPA ＝π6， ∴∠APB ＝π3，∴cos∠APB ＝12.12．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A ．c ≤3 B ．3＜c ≤6 C ．6＜c ≤9D ．c ＞9解析：选C.由0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，得0＜－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ≤3，由－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，得3a －b －7＝0，① 由－1＋a －b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，得 4a －b －13＝0，②由①②，解得a ＝6，b ＝11，∴0＜c －6≤3， 即6＜c ≤9，故选C.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数f (x )＝1＋log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，其中mn ＞0，则1m ＋1n的最小值为________．解析：因为log a 1＝0，所以f (1)＝1，故函数f (x )的图象恒过定点A (1,1)． 由题意，点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，所以m ＋n －2＝0，即m ＋n ＝2. 而1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ×(m ＋n ) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ，因为mn ＞0，所以nm ＞0，m n＞0. 由均值不等式，可得n m ＋m n ≥2×n m ×mn＝2(当且仅当m ＝n 时等号成立)， 所以1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≥12×(2＋2)＝2，即1m ＋1n的最小值为2.答案：214．设P (x ，y )是函数y ＝2x(x ＞0)图象上的点，则x ＋y 的最小值为________．解析：因为x ＞0，所以y ＞0，且xy ＝2.由基本不等式得x ＋y ≥2xy ＝22，当且仅当x ＝y 时等号成立．答案：2 215．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥x ，3x ＋2y ≤15，则w ＝4x ·2y的最大值是________．解析：作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．w ＝4x ·2y ＝22x ＋y，要求其最大值，只需求出2x ＋y ＝t 的最大值即可，由平移可知t ＝2x ＋y 在A (3,3)处取得最大值t ＝2×3＋3＝9，故w ＝4x·2y的最大值为29＝512.答案：51216．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x ＞1，若对任意的x ∈R ，不等式f (x )≤m 2－34m 恒成立，则实数m 的取值范围为________．解析：由题意知，m 2－34m ≥f (x )max .当x ＞1时，f (x )＝log 13x 是减函数，且f (x )＜0；当x ≤1时，f (x )＝－x 2＋x ，其图象的对称轴方程是x ＝12，且开口向下，∴f (x )max ＝－14＋12＝14.∴m 2－34m ≥14，即4m 2－3m －1≥0，∴m ≤－14或m ≥1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14∪[1，＋∞)限时规范训练六 导数的简单应用限时45分钟，实际用时分值81分，实际得分一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)1．设函数f (x )＝x 24－a ln x ，若f ′(2)＝3，则实数a 的值为( )A ．4B ．－4C ．2D ．－2解析：选B.f ′(x )＝x 2－a x ，故f ′(2)＝22－a2＝3，因此a ＝－4.2．曲线y ＝e x在点A 处的切线与直线x －y ＋3＝0平行，则点A 的坐标为( ) A ．(－1，e －1) B ．(0,1) C ．(1，e)D ．(0,2)解析：选B.设A (x 0，e x 0)，y ′＝e x，∴y ′|x ＝x 0＝e x 0.由导数的几何意义可知切线的斜率k ＝e x 0.由切线与直线x －y ＋3＝0平行可得切线的斜率k ＝1. ∴e x 0＝1，∴x 0＝0，∴A (0,1)．故选B.3．若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为 ( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B.⎝⎛⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：选D.若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则f ′(x )＝3x 2－4cx ＋1＝0有两根，故Δ＝(－4c )2－12＞0，从而c ＞32或c ＜－32. 4．已知f (x )＝a ln x ＋12x 2(a ＞0)，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2都有f x 1－f x 2x 1－x 2≥2恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(0,1]解析：选 A.由条件可知在定义域上函数图象的切线斜率大于等于2，所以函数的导数f ′(x )＝ax＋x ≥2.可得x ＝a 时，f ′(x )有最小值2.∴a ≥1.5．若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )满足f ′(x )＞k ＞1，则下列结论中一定错误的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k＜1kB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＞1k －1C ．f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＜1k －1D ．f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＞k k －1解析：选C.构造函数g (x )＝f (x )－kx ＋1，则g ′(x )＝f ′(x )－k ＞0，∴g (x )在R 上为增函数． ∵k ＞1，∴1k －1＞0，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＞g (0)． 而g (0)＝f (0)＋1＝0， ∴g ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－k k －1＋1＞0，即f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＞k k －1－1＝1k －1，所以选项C 错误，故选C.6．由曲线y ＝x 2，y ＝x 围成的封闭图形的面积为( ) A.16 B.13 C.23D ．1解析：选 B.由题意可知所求面积(如图中阴影部分的面积)为⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎫23x 32－13x 310＝13.所以选B.二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)7．(2016·高考全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.解析：直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ln x ＋2，y ＝ln(x ＋1)均相切，设切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由y ＝ln x ＋2得y ′＝1x ，由y ＝ln(x ＋1)得y ′＝1x ＋1，∴k ＝1x 1＝1x 2＋1，∴x 1＝1k ，x 2＝1k－1，∴y 1＝－ln k ＋2，y 2＝－ln k .即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k，－ln k ＋2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k－1，－ln k ，∵A 、B 在直线y ＝kx ＋b 上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－ln k ＝k ·1k ＋b ，－ln k ＝k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＋b解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1－ln 2，k ＝2.答案：1－ln 28．已知函数f (x )＝－12x 2－3x ＋4ln x 在(t ，t ＋1)上不单调，则实数t 的取值范围是________．解析：由题意得，f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴t ＞0， ∴f ′(x )＝－x －3＋4x＝0在(t ，t ＋1)上有解，∴x 2＋3x －4x＝0在(t ，t ＋1)上有解，∴x 2＋3x －4＝0在(t ，t ＋1)上有解，由x 2＋3x －4＝0得x ＝1或x ＝－4(舍去)，∴1∈(t ，t ＋1)，∴t ∈(0,1)，故实数t 的取值范围是(0,1)．答案：(0,1)9．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数b 的最大值是________．解析：函数的定义域是x ＋2＞0，即x ＞－2，而f ′(x )＝－x ＋bx ＋2＝－x 2－2x ＋bx ＋2.因为x ＋2＞0，函数f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，即－x 2－2x ＋b ≤0在x ∈(－1，＋∞)上恒成立，得b ≤x 2＋2x 在x ∈(－1，＋∞)上恒成立，令g (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，x ∈(－1，＋∞)，g (x )＞g (－1)＝－1，所以b ≤－1.所以b 的最大值为－1.答案：－1三、解答题(本题共3小题，每小题12分，共36分) 10．已知f (x )＝2x ＋3－x ＋2x ＋1.(1)求证：当x ＝0时，f (x )取得极小值；(2)是否存在满足n ＞m ≥0的实数m ，n ，当x ∈[m ，n ]时，f (x )的值域为[m ，n ]？若存在，求m ，n 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：由已知得f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 当x ＞－12时，f ′(x )＝2－2－x ＋x ＋2＝8x 2＋8x ＋x ＋x ＋2.设F (x )＝8x 2＋8x ＋2ln(2x ＋1)，则f ′(x )＝F x x ＋2.当x ＞－12时，y ＝8x 2＋8x ＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－2是单调递增函数，y ＝2ln(2x ＋1)也是单调递增函数．∴当x ＞－12时，F (x )＝8x 2＋8x ＋2ln(2x ＋1)单调递增．∴当－12＜x ＜0时，F (x )＜F (0)＝0，当x ＞0时，F (x )＞F (0)＝0.∴当－12＜x ＜0时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，当x ＞0时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．∴当x ＝0时，f (x )取得极小值．(2)由(1)知f (x )在[0，＋∞)上是单调递增函数，若存在满足n ＞m ≥0的实数m ，n ，当x ∈[m ，n ]时，f (x )的值域为[m ，n ]，则f (m )＝m ，f (n )＝n ，即f (x )＝x 在[0，＋∞)上有两个不等的实根m ，n .∴2x 2＋7x ＋3－ln(2x ＋1)＝0在[0，＋∞)上有两个不等的实根m ，n . 设H (x )＝2x 2＋7x ＋3－ln(2x ＋1)，则 H ′(x )＝8x 2＋18x ＋52x ＋1.当x ＞0时，2x ＋1＞0,8x 2＋18x ＋5＞0， ∴H ′(x )＝8x 2＋18x ＋52x ＋1＞0.∴H (x )在[0，＋∞)上是单调递增函数，即当x ≥0时，H (x )≥H (0)＝3. ∴2x 2＋7x ＋3－ln(2x ＋1)＝0在[0，＋∞)上没有实数根． ∴不存在满足条件的实数m ，n .11．(2017·河南郑州质量检测)设函数f (x )＝12x 2－m ln x ，g (x )＝x 2－(m ＋1)x .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当m ≥0时，讨论函数f (x )与g (x )图象的交点个数．。
高三数学-2018届广东省东莞市高三理科数学高考模拟题(二)20183精品
(III) 若 0<a<b, 函数 f ( x) 在 x s 和 x t 处取得极值， 且 a b 2 3 , 证明： OA 与 OB 不
可能垂直 .
参考答案
一、 BDBC CBCB
二、 9. 4 3
10． 10
11. i 5?（或 sum 4?） 12. [
，2 ] 23
13． 2 13
7. 设有如下三个命题：甲：相交直线 l 、 m 都在平面 内，并且都不在平面 内；乙：直线 l 、
m 中至少有一条与平面 相交；丙：平面 与平面 相交．则当甲成立时
A．乙是丙的充分而不必要条件
B ．乙是丙的必要而不充分条件
C．乙是丙的充分且必要条件
D ．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件
8. 现代社会对破译密码的难度要求越来越高． 有一种密码把英文的明文 ( 真实文 ) 按字母分解， 其
x2
2
4
y 2 1 …… 13 分 3
20. 解：（ I）∵ (an 1 a n ) g(a n ) f (a n ) 0 ， f (an ) (a n 1) 2 ， g( a n ) 10(a n 1) ，
∴ (an 1
an )10(a n -1)
2
(a n -1)
0 ． 即 ( an
1)(10a n 1 - 9an -1)
． love
C． ohhl
D． eovl
答题卷
班级
姓名
得分
一、选择题 （每小题 5 分，共 40 分 .请把正确选择支号填在答题表内 .）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
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2018届高三理科数学限时训练（2）学生版2017.8.9
（时间：60分钟，满分：100分）
班别：姓名：学号：分数：
基础题组
一、选择题
1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( ) A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( ) A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3
B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2＜3
C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3
D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3
3．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是( ) A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数
B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数
C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数
D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数
4．已知直线l，m，其中只有m在平面α内，则“l∥α”是“l∥m”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．下列说法正确的是( )
A．命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2＞1，则x≤1”
B．命题“∃x0∈R，x20＞1”的否定是“∀x∈R，x2＞1”
C．命题“若x＝y，则cos x＝cos y”的逆否命题为假命题
D ．命题“若x ＝y ，则cos x ＝cos y ”的逆命题为假命题
6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是 “sin A ≤sin B ”的 ( )
A ．充分必要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
7．已知p ：x ≥k ，q ：(x ＋1)(2－x )＜0，如果p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是 ( )
A ．[2，＋∞)
B ．(2，＋∞)
C ．[1，＋∞)
D ．(－∞，－1]
8．下列命题中真命题是 ( )
A ．“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的充分条件
B ．“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的必要条件
C ．“a ＞b ”是“ac 2＞bc 2”的必要条件
D ．“a ＞b ”是“|a |＞|b |”的充要条件
9．命题“若x 2＞y 2，则x ＞y ”的逆否命题是________．
10．“m <14
”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的________条件(填“充分不必要、必要不充分、充要”)．
11．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是________．
12．下列命题：
①“全等三角形的面积相等”的逆命题；
②“若ab ＝0，则a ＝0”的否命题；
③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题．
其中真命题的序号是________．
能力提升题组
13．设a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |”的 ( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
14．已知p 是r 的充分不必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件．现有下列命题：
①s 是q 的充要条件；
②p 是q 的充分不必要条件；
③r 是q 的必要不充分条件；
④綈p 是綈s 的必要不充分条件；
⑤r 是s 的充分不必要条件．
则正确命题的序号是 ( )
A ．①④⑤
B ．①②④
C ．②③⑤
D ．②④⑤
15．下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是 ( )
A ．p ：x ＝1，q ：x 2＝x
B ．p ：|a |＞|b |，q ：a 2＞b 2
C ．p ：x ＞a 2＋b 2，q ：x ＞2ab
D ．p ：a ＋c ＞b ＋d ，q ：a ＞b 且c ＞d
16．设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________．
17．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12＜2x ＜8，x ∈R ，B ＝{x |－1＜x ＜m ＋1，x ∈R }，若x ∈B
成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．
18、设数列{n a }的前n 项和为n S ，且22n n a S =+.
（Ⅰ）求{n a }的通项公式； （Ⅱ）设n n
n b a ，求数列{}n b 的前n 项和n T .。