互斥事件及其概率

互斥事件及其概率
教学目标：
（1）了解互斥事件及对立事件的概念，能判断某两个事件是否是互斥事件，
进而判
断它们是否是对立事件．
（2）了解两个互斥事件概率的加法公式，知道对立事件概率之和为1的结论．会用相关公式进行简单概率计算．
（3）注意学生思维习惯的培养，在顺向思维受阻时，转而逆向思维． 教学重点：
互斥事件和对立事件的概念，互斥事件中有一个发生的概率的计算公式． 教学难点：
利用对立事件的概率间的关系把一个复杂事件的概率计算转化成求其对立事件的概率．
教学过程：
（一） 知识要点：
1．互斥事件：
不能同时发生的两个事件称为互斥事件．
2．互斥事件的概率：
如果事件A ，B 互斥，那么事件B A +发生的概率，等于事件A ，B 分别发生的概率的和，即)()()(B P A P B A P +=+．一般地，如果事件n A A A ,,,21Λ两两互斥，则)()()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=+++ΛΛ．
3．对立事件：两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件．事件A 的对立事件记为A ．对立事件A 和A 必有一个发生，故A A +是必然事件，从而1)()()(=+=+A P A P A A P ．因此，我们可以得到一个重要公式)(1)(A P A P -=．
思考：对立事件和互斥事件有何异同？
（二） 例题选讲：
例1、一只口袋内装有大小一样的4只白球与4只黑球，从中一次任意摸出2只球．记摸出2只白球为事件A ，摸出1只白球和1只黑球为事件B ．问事件A 和B 是否为互斥事件？是否为对立事件？
解：事件A 和B 互斥。

因为从中一次可以摸出2只黑球，所以事件A 和B 不是对立事件．
（2） 求射击1次，命中不足7环的概率．
解：记事件“射击1次，命中k 环”为),10,(≤∈k N k A k 且则事件k A 两
两相斥．
（1）记“射击一次，至少命中7环”的事件为A ，那么当10A ，9A ，8A 或7A 之一发生时，事件A 发生．由互斥事件的概率加法公式，得)()(78910A A A A P A P +++=
=)()()()(78910A P A P A P A P +++=9.032.028.018.012.0=+++．
（2）事件“射击一次，命中不足7环”是事件“射击一次，命中至少7环”的对立事件，即A 表示事件“射击一次，命中不足7环”．根据对立事件的概率公式，得
1.09.01)(1)(=-=-=A P A P ．
答：此人射击1次，至少命中7环的概率为0.9；命中不足7环的概率为0.1． 血型
A B AB O 该血型的人所占比/%
28 29 8 35 血都可以输给AB 型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B 型血，若小明因病需要输血，问：
（1） 任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？
（2） 任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？
解（1）对任一人，其血型为A ，B ，AB ，O 型血的事件分别记为,,,,D C B A ''''它们是互斥的．由已知，有35.0)(,08.0)(,29.0)(,28.0)(='='='='D P C P B P A P ．因为B ，O 型血可以输给B 型血的人，故“可以输给B 型血的人”为事件D B '+'．根据互斥事件的加法公式，有64.035.029.0)()()(=+='+'='+'D P B P D B P ．
（2）由于A ，AB 型血不能输给B 型血的人，故“不能输给B 型血的人”
为事件
C A '+'，且36.008.028.0)()()(=+='+'='+'C P A P C A P ．
答任找一人，其血可以输给小明的概率为0.64，其血不能输给小明的概率
为0.36．
注 ：第（2）问也可以这样解：因为事件“其血可以输给B 型血的人”与事件“其血不能输给B 型血的人”是对立事件，故由对立事件的概率公式，有 36.064.01)(1)(=-='+'-='+'D B P D B P
例3 、某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28，计算这个射手在一次射击中：
（1）射中10环或7环的概率（2）不够7环的概率
例4 、在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球．从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个．试求：
(1)取得两个红球的概率； (2)取得两个绿球的概率；
(3)取得两个同颜色的球的概率； (4)至少取得一个红球的概率．
(答案: (1)157 （2）151 (3)158 (4)1514) 例5 、盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：
(1)取到的2只都是次品； (2)取到的2只中正品、次品各一只；
(3)取到的2只中至少有一只正品．
解：从6只灯泡中有放回地任取两只，共有36种不同取法．
(1)取到的2只都是次品情况为4种．因而所求概率为9
1364=． (2)由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品，第二次取到正品．因而所求概率为9
423624=⨯⨯=P ． (3)由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件．因而所求概率为9
8911=-=P ． 例6 、从男女学生共有36名的班级中，任意选出2名委员，任何人都有同样的当选机会．如果选得同性委员的概率等于
21，求男女生相差几名? 解：设男生有x 名，则女生有x -36名．选得2名委员都是男性的概率为35
36)1(⨯-x x ． 选得2名委员都是女性的概率为35
36)35)(36(⨯--x x ． 上两种选法是互斥的，又选得同性委员的概率等于
21，得213536)35)(36(3536)1(=⨯--+⨯-x x x x ．解得15=x 或21=x
即男生有15名，女生有36-15=21名，或男生有21名，女生有36-21=15名．
总之，男女生相差6名．
（三） 巩固练习：
1、判别下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事
件．
从一堆产品（其中正品与次品都多于2个）中任取2件，其中：
(1)恰有1件次品和恰有2件正品；
(2)至少有1件次品和全是次品；
(3)至少有1件正品和至少有1件次品；
(4)至少有1件次品和全是正品；
答案：（互斥但不对立，不互斥，不互斥，互斥对立）
2、在一个盒子内放有10个大小相同的小球，其中有7个红球、2个绿球、1个黄球，从中任取一个球，求：
⑴得到红球的概率； ⑵得到绿球的概率； ⑶得到红球或绿球的概率； ⑷得到黄球的概率．
（5） “得到红球”和“得到绿球”这两个事件A 、B 之间有什么关系，可以同时发生吗？
（6） ⑶中的事件D “得到红球或者绿球”与事件A 、B 有何联系？
答案：（1）107 （2）51 （3）109 （4）10
1 （5）互斥事件（6）)()()(B P A P D P +=．
3、下列说法中正确的是（ D ）
A ．事件A 、
B 中至少有一个发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率大
B ．事件A 、B 同时发生的概率一定比事件A 、B 恰有一个发生的概率小
C ．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
D ．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
4、回答下列问题：
(1)甲、乙两射手同时射击一目标，甲的命中率为0．65，乙的命中率为0．60，那么能否得出结论：目标被命中的概率等于0．65＋0．60＝1．25，为什么?
(2)一射手命中靶的内圈的概率是0．25，命中靶的其余部分的概率是0．50，那么能否得出结论：目标被命中的概率等于0．25＋0．50＝0．75，为什么?
(3)两人各掷一枚硬币，“同时出现正面”的概率可以算得为
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1．由于“不出现正面”是上述事件的对立事件，所以它的概率等于432112=-这样做对吗?说明道理．
解: (1)不能．因为甲命中目标与乙命中目标两事件不互斥．
(2)能．因为命中靶的内圈和命中靶的其余部分是互斥事件．
(3)不对．因为“不出现正面”与“同时出现正面”不是对立事件，故其概率和不为1．
5、某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛．甲乙两队夺取冠军的概率分别是73和41．试求该市足球队夺得全省足球冠军的概率．(28
19) 6、在房间里有4个人．问至少有两个人的生日是同一个月的概率是多少?
(96
41) 7、某单位36人的血型类别是：A 型12人，B 型10人，AB 型8人，O 型6人．现从这36人中任选2人，求此2人血型不同的概率．(
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（四）课堂小结：
1．互斥事件和对立事件的概念；
2．互斥事件中有一个发生的概率的计算公式；3．对立事件的概率间的关系．。