排列组合概率专题讲解
数学中的排列组合与概率计算
数学中的排列组合与概率计算排列组合与概率计算是数学中重要的概念和工具，广泛应用于各个领域，包括统计学、物理学、计算机科学等。
本文将介绍排列组合与概率计算的基本概念和方法，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、排列组合的基本概念1.1 排列排列是从一组元素中选取若干元素按一定顺序排列的方式。
对于n 个不同的元素，从中选取m个元素进行排列，可以表示为P(n,m)。
排列的计算公式为：P(n,m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 2 × 1。
1.2 组合组合是从一组元素中选取若干元素不考虑顺序的方式。
对于n个不同的元素，从中选取m个元素进行组合，可以表示为C(n,m)。
组合的计算公式为：C(n,m) = n! / (m! × (n-m)!)二、概率计算的基本原理概率是用来描述事件发生可能性的数值，它的取值范围在0到1之间，0表示不可能发生，1表示一定会发生。
概率计算基于排列组合的概念和原理，通过对事件的样本空间和事件的发生情况进行计数和分析，来得出事件发生的概率。
2.1 样本空间样本空间是指一个随机试验的所有可能结果的集合。
例如，掷一枚普通的硬币，它的样本空间包括正面和反面两个可能的结果。
2.2 事件事件是样本空间的子集，表示我们关心的某种结果。
例如，掷一枚硬币出现正面是一个事件。
2.3 概率概率是事件发生的可能性。
对于一个随机试验和事件，概率的计算公式为：P(A) = n(A) / n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A的发生情况数，n(S)表示样本空间的元素个数。
三、排列组合与概率计算的应用排列组合和概率计算在各个领域都有广泛的应用。
下面以几个具体的例子说明它们的具体应用。
3.1 组合在概率计算中的应用在扑克牌游戏中，计算一个牌型的概率就可以使用组合的概念。
掌握简单的排列组合和概率计算
掌握简单的排列组合和概率计算排列组合和概率计算是数学中非常重要的概念和方法，它们在实际生活和各个领域中都有广泛的应用。
本文将介绍简单的排列组合和概率计算的概念、原理和应用，并提供一些练习题供读者巩固所学知识。
1. 排列的概念和计算方法排列是指从给定的一组对象中，选取若干个对象按照一定的顺序排列组合的方式。
在排列中，每个对象只能使用一次。
例如，有3个不同的字母A、B、C，从中选取2个字母排列，可以得到以下6种排列：AB、AC、BA、BC、CA、CB。
计算排列的方式为：使用阶乘的方法，即对于给定的n个对象中，选取r个对象排列，计算公式为P(n, r) = n!/(n-r)!，其中n!表示n的阶乘。
2. 组合的概念和计算方法组合是指从给定的一组对象中，选取若干个对象按照任意顺序排列组合的方式。
在组合中，每个对象只能使用一次。
例如，有3个不同的字母A、B、C，从中选取2个字母组合，可以得到以下3种组合：AB、AC、BC。
计算组合的方式为：使用阶乘的方法，即对于给定的n个对象中，选取r个对象组合，计算公式为C(n, r) = n!/(r!(n-r)!)。
3. 概率的概念和计算方法概率是指某个事件发生的可能性大小。
概率的计算方法可以通过排列组合的方式得到。
对于一个随机事件A，其概率的计算公式为P(A) = 事件A发生的总数/总的可能发生的事件数。
例如，从一副扑克牌中取出5张牌，计算其中4张是红心牌的概率。
首先计算红心牌的总数，扑克牌中共有52张牌，其中红心总数为13张，因此红心牌的总数为C(13, 4)。
然后计算总的可能取牌的事件数，即从52张牌中取出5张牌，其计算公式为C(52, 5)。
最后，将红心牌的总数除以总的可能取牌的事件数即可得到概率。
4. 应用案例排列组合和概率计算在现实生活中有许多应用。
以下是几个常见的案例：a. 彩票中奖概率计算：彩票中奖概率的计算就是应用了排列组合和概率计算的原理。
通过计算选中的号码在所有可能的号码组合中所占的比例，得到中奖的概率大小。
高考数学排列组合与概率问题2025版解析
高考数学排列组合与概率问题2025版解析在高考数学中，排列组合与概率问题一直是重点和难点。
对于即将参加2025 年高考的同学们来说，深入理解和掌握这部分知识至关重要。
排列组合是研究从一些元素中取出部分元素，按照一定的顺序排列或组合成一组的方法数。
它的应用广泛，在解决实际问题时能帮助我们准确计算各种可能性。
首先，我们来了解一下排列的概念。
从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素的排列数，记为 A(n,m) 。
其计算公式为：A(n,m) ＝ n! ／（n m)！。
例如，从 5 个不同的球中取出 2 个进行排列，那么排列数就是 A(5,2) ＝ 5! ／（5 2)！＝ 5×4 ＝ 20 种。
组合则是从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素的组合数，记为C(n,m) 。
组合数的计算公式是：C(n,m) ＝ n! ／ m!×（n m)！。
比如，从 5 个不同的球中取出 2 个的组合数就是 C(5,2) ＝ 5! ／ 2!×（5 2)！＝ 10 种。
在实际解题中，我们需要准确判断是用排列还是组合。
如果元素的顺序对结果有影响，就用排列；如果顺序无关，就用组合。
接下来，我们看一些常见的题型。
“相邻问题”是经常出现的一种。
例如，将5 个人排成一排，其中甲、乙两人要相邻，我们可以将甲、乙看作一个整体，先计算整体的排列数，再计算甲、乙内部的排列数。
即 A(4,4)×A(2,2) 。
“不相邻问题”则相反。
比如，将 5 个人排成一排，其中甲、乙两人不能相邻。
我们先计算所有人的排列数，再减去甲、乙相邻的情况，即 A(5,5) A(4,4)×A(2,2) 。
“定序问题”也比较典型。
若有 5 个人排成一排，其中甲必须在乙前面，此时无需考虑甲、乙的顺序，直接计算全排列除以 2 即可，即A(5,5) ／ 2 。
在排列组合问题中，还常常需要用到分类讨论和分步计算的思想。
分类讨论时，要确保不重复、不遗漏。
组合数学：排列、组合与概率
组合数学是数学中一门重要的学科，它研究的是“选择”的问题，这种选择可以是排列、组合或者概率中的各种情况。
在组合数学中，排列、组合与概率是三个关键的概念。
首先，我们来看排列。
排列是指从一组元素中，按照一定的顺序选择几个元素进行排列。
例如，有A、B、C三个字母，我们要从中选择两个字母进行排列，那么可能的排列方式就是AB、AC、BA、BC、CA、CB。
排列的数量可以通过阶乘来计算，即 n! = n * (n-1) * (n-2) * … * 2 * 1，其中n表示元素的数量。
接着，我们来看组合。
组合是指从一组元素中，不考虑顺序选择几个元素进行组合。
例如，有A、B、C三个字母，我们要从中选择两个字母进行组合，那么可能的组合方式就是AB、AC、BC。
组合的数量可以通过公式 C(n,r) = n! /(r! * (n-r)!) 进行计算，其中n表示元素的数量，r表示选择的元素个数。
最后，我们来看概率。
概率是指某个事件发生的可能性的大小，它是一个介于0和1之间的实数。
概率可以通过排列和组合的方法来计算。
例如，有一副扑克牌，从中随机抽取一张牌，如果我们想计算摸到黑桃牌的概率，那么可以用排列的方法计算。
黑桃牌的数量为13张，总牌数为52张，所以摸到黑桃牌的概率为 P = 13/52 = 1/4。
又如，有4个红色球和6个蓝色球，从中抽取两个球，如果我们想计算摸到一个红色球和一个蓝色球的概率，那么可以用组合的方法计算。
红色球的数量为4个，蓝色球的数量为6个，总球数为10个，所以摸到一个红色球和一个蓝色球的概率为 P = C(4,1) * C(6,1) / C(10,2) =24/45。
综上所述，组合数学是一门研究“选择”的数学学科，其中排列、组合与概率是三个重要的概念。
通过排列和组合的方法，可以计算出各种“选择”的可能性。
而概率则用来计算某个事件发生的可能性大小。
组合数学在实际应用中有着广泛的应用，例如在概率统计、密码学、图论等领域。
高中数学研究数学中的排列组合与概率
高中数学研究数学中的排列组合与概率在高中数学课程中，排列组合与概率是重要的概念，它们在实际生活中有着广泛的应用。
本文将深入探讨排列组合与概率的概念、性质和应用，并展示它们在解决问题中的实际意义。
一、排列组合1. 排列的概念排列是指从给定的元素中选取一部分进行排列，按照一定的顺序进行排列。
在排列中，元素的顺序是重要的。
对于n个不同的元素，选择r个进行排列的方法数可以用P(n,r)来表示。
排列的计算公式为：P(n,r) = n! / (n-r)!其中，!表示阶乘，即n! = n×(n-1)×(n-2)×...×2×1。
2. 组合的概念组合是指从给定的元素中选取一部分进行组合，元素的顺序不重要。
对于n个不同的元素，选择r个进行组合的方法数可以用C(n,r)来表示。
组合的计算公式为：C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)3. 排列组合的性质排列和组合有一些重要的性质，可以利用这些性质简化计算和问题的解决。
（1）互补原则：P(n,r) = n! / (n-r)! = n × (n-1) × (n-2) × ... × (n-r+1)，C(n,r) = n! / (r!(n-r)!) = P(n,r) / r!（2）相同元素的排列：如果有n个元素中有m1个相同，m2个相同，...，mk个相同，那么排列的方法数可表示为P(n, n) / (m1! × m2! × ... × mk!)。
（3）0的阶乘：0! 等于1。
二、概率1. 概率的概念概率是研究随机事件发生可能性或可能性大小的数学方法。
概率的范围在0-1之间，事件发生的概率越高，其值越接近于1；事件发生的概率越低，其值越接近于0。
随机事件的概率可以用P(A)来表示，其中A表示随机事件。
2. 概率的计算（1）古典概型：对于有限个样本点的等可能概率试验，事件A发生的概率可以通过计算满足事件A的样本点的数量除以总样本点的数量来计算。
专题六 排列组合与随机事件的概率
专题六 排列组合与随机事件的概率一、知识梳理（一）1．排列组合的常见方法有：特殊元素法、特殊位置法、相邻问题捆绑法、不相邻 问题插空法、分排问题直排法，定序问题用除法，分组分配问题中平均分组要除以组数阶乘，隔板法等。
2．排列组合遵循原则：先选后排，先特殊后一般，正难则反。
（二）二项式定理主要考查二项式展开式的特定项及项的系数，利用二项式的性质求多项式的系数和，利用二项式定理求余数及近似计算。
（三）随机事件的概率1．随机事件概率的范围 ； 2．等可能事件的概率计算公式 ；其中n 是试验中所有等可能出现的结果（基本事件）的个数，m 是所研究事件A 中所包含的等可能出现的结果（基本事件）个数，因此，正确区分并计算,m n 的关键是抓住“等可能”，即n 个基本事件及m 个基本事件都必须是等可能的； 二、基础练习 1．（2-31x）6的展开式中的第四项是_______________2．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选 法共有（ ）A ．6种B ．12种C ．30种D ．36种3．4张卡片上分别写有数学1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张 卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ）A ．31 B ．`21 C ．32 D ．434．在平面直角坐标系中，从六个点：A （0，0）、B （2，0），C （1，1）、D （0，2）、E （2，2）、F （3，3）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是_________ （结果用分数表示）5．锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特 征完全相同，从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（ ）A ．919 B ．9125 C ．9148 D ．9160三、典型例题例1 在一次口试中，要从20道题中随机抽出6道题进行回答，答对了其中的5道就得优秀，答对其中的4道就获得及格，某考生会回答20道题中的8道题，试求：（1）他获得优秀的概率是多少；（2）他获得及格与及格以上的概率有多大。
排列组合的概率
排列组合的概率排列组合是概率论中一个非常重要的知识点，也是数学中的一支分支。
在实际生活中，排列组合也有广泛的应用，例如在概率统计、密码学等领域都有重要的作用。
本篇文章将为大家介绍排列组合在概率中的应用及其相关概念和公式。
一、排列组合的基本概念排列和组合是计数学中最基本的问题之一，他们的特点是在某个集合中从中选出元素并进行排列。
排列和组合的区别是排列允许重复，组合不允许重复。
举个例子，假设一个3个球的盒子中有红色、黄色和蓝色三个球，从中选两个球排列，那么所有可能的结果有：红色球，黄色球红色球，蓝色球黄色球，红色球黄色球，蓝色球蓝色球，红色球蓝色球，黄色球这是从三个球中选取两个并进行排列的结果，共有6个可能的结果。
这种情况下的计算就是典型的排列问题。
如果是组合问题的话，那么从三个球中选两个，可能的结果就是：红色球，黄色球红色球，蓝色球黄色球，蓝色球这是从三个球中选取两个并进行组合的结果，共有3个可能的结果。
二、排列组合的公式计算排列和组合的问题本质上就是在进行选择和排序。
在实际计算过程中，可以使用排列组合的公式来进行求解。
1. 排列公式在一个 n 个元素的集合中，如果选取 m 个元素进行排列，那么总的可能组合数就是：A(n,m) = n! / (n - m)!其中，n! 表示 n 的阶乘，即 n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 2 × 1。
这个公式的意思是先从 n 个元素中选择 m 个不同的元素，然后对这 m 个元素进行全排列。
2. 组合公式在一个 n 个元素的集合中，如果选取 m 个元素进行组合，那么总的可能组合数就是：C(n,m) = n! / (m! × (n-m)!)在计算组合的时候，我们需要排除掉同一种组合中不同的位置排列，因此这个公式在计算的时候需要将排列问题中的 m! 减去，即：C(n,m) = A(n,m) / m!。
排列组合与概率
第十三章 排列组合与概率一、基础知识1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。
2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。
3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，m n A =n(n-1)…(n-m+1)=)!(!m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n,注：一般地0n A =1，0！=1，nn A =n!。
4．N 个不同元素的圆周排列数为nA n n =(n-1)!。
5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。
从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用mn C 表示：.)!(!!!)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--=6．组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=；（2）11--+=n n m n m n C C C ；（3）kn k n C C kn =--11；（4）n nk k n n nnnC C C C 2010==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6）k n m n m k k n C C C --=。
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专题五： 排列、组合、二项式定理、概率与统计【考点分析】1． 突出运算能力的考查。
高考中无论是排列、组合、二项式定理和概率题目，均是用数值给出的选择支或要求用数值作答，这就要求平时要重视用有关公式进行具体的计算。
2． 有关排列、组合的综合应用问题。
这种问题重点考查逻辑思维能力，它一般有一至两 3． 个附加条件，此附加条件有鲜明的特色，是解题的关键所在；而且此类问题一般都有多种解法，平时注意训练一题多解；它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于中等偏难（理科）的题目。
4． 有关二项式定理的通项式和二项式系数性质的问题。
这种问题重点考查运算能力，特别是有关指数运算法则的运用，同时还要注意理解其基本概念，它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于基础题。
5． 有关概率的实际应用问题。
这种问题既考察逻辑思维能力，又考查运算能力；它要求对四个概率公式的实质深刻理解并准确运用；文科仅要求计算概率，理科则要求计算分布列和期望；它一般以一小一大（既一道选择题或填空题、一道解答题）的形式出现，属于中等偏难的题目。
6． 有关统计的实际应用问题。
这种问题主要考查对一些基本概念、基本方法的理解和掌握，它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于基础题。
【疑难点拨】 1． 知识体系：2．知识重点：（1） 分类计数原理与分步计数原理。
它是本章知识的灵魂和核心，贯穿于本章的始终。
（2） 排列、组合的定义，排列数公式、组合数公式的定义以及推导过程。
排列数公式的推导过程就是位置分析法的应用，而组合数公式的推导过程则对应着先选（元素）后排（顺序）这一通法。
（3） 二项式定理及其推导过程、二项展开式系数的性质及其推导过程。
二项式定理的推导过程体现了二项式定理的实质，反映了两个基本计数原理及组合思想的具体应用，二项展开式系数性质的推导过程就对应着解决此类问题的通法——赋值法（令1±=x ）的应用。
（4） 等可能事件的定义及其概率公式，互斥事件的定义及其概率的加法公式，相互独立事件的定义及其概率的乘法公式，独立重复试验的定义及其概率公式。
互斥事件的概率加法公式对应着分类相加计数原理的应用，相互独立事件的概率乘法公式对应着分步相乘计数原理的应用。
（5） （理科）离散型随机变量的定义，离散型随机变量的分布列、期望和方差。
（6） 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，总体分布，正态分布，线性回归。
2． 知识难点：(1) 排列、组合的综合应用问题。
突破此难点的关键在于：在基本思想上强调两个基本原理（分类相加计数原理和分步相乘计数原理）在本章知识中的核心地位；在通法上要求，首先要认真审题，分清是排列（有序）还是组合（无序），或二者兼而有之；其次要抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原理进行“分类与分步”，分类时要不重不漏，分步时要独立连续。
在两个公式的应用中要深刻理解其定义中的“所有”的含义，特别是组合数“mnC ”已包含了m 个元素“所有”可能的组合的个数，故在平均分堆过程中就会产生重复，而平均分配给不同的对象过程中就不用再排序。
同时在本节中要注意强调转化化归数学思想的应用。
(2) 二项式定理的计算。
突破此难点的关键在于：熟记指数的运算法则和二项展开式的通项公式，深刻理解“第k 项”“常数项”“有理项”“二项式系数”“系数”等基本概念的区别与联系。
(3) 概率、分布列、期望和方差的计算。
突破此难点的关键在于：首先要运用两个基本原理认真审题，弄清楚问题属于四种类型事件中的哪一种，然后准确地运用相应的公式进行计算，其中要注意排列、组合知识的应用。
（理科）对于分布列要熟记一个基本型（ζ）和三个特殊型（b a +=ζη，二项分布，几何分布）的定义和有关公式；此类问题解题思维的的流程是：要求期望，则必先求分布列，而求分布列的难点在于求概率，求概率的关键在于要真正弄清每一个随机变量“k =ζ”所对应的具体随机试验的结果。
【经典题例】例1：将8名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方法共有多少种？[思路分析] 根据宿舍的人数，可分为三类：“62+”型不同的分配方法有2228A C 种；“53+”型不同的分配方法有2238A C 种；“44+”型不同的分配方法有48C 种。
则由加法原理得，不同的分配方法共有2384822382228=++C A C A C 种。
[小结] 本题体现了“先选后排”通法的应用，属于排列组合混合问题。
要注意（不）平均分配与（不）平均分堆的联系与区别。
例2：在正方形ABCD 中，H G F E ,,,分别为各边的中点，O 为正方形中心，在此图中的九个点中，以其中三个点为顶点作三角形，在这些三角形中，互不全等的三角形共有多少个？[思路分析] 根据三角形的类型分为三类：直角三角形有DAB Rt DAE Rt HAE Rt ∆∆∆,,共3种；以边AB 为底的三角形GAB OAB ∆∆,共2种；过中点和中心的三角形有,,HGB DGB GBO ∆∆∆ 共3种。
由加法原理得，共有3238++=种不同类型的三角形。
[小结] 本题体现了“转化化归数学思想”的应用，属于排列组合中的几何问题，在具体方法上是运用了“穷举法（将所有的情形全部列出）”。
例3：在多项式65(1)(1)x x +-的展开式中，含3x 项的系数为多少？[思路分析]解1 652323(1)(1)(161520)(151010)x x x x x x x x +-=++++-+-+L L ，所以含3x 项的系数为 1060515205-+-⨯+=-。
解2 6525122455(1)(1)(1)(1)(1)(1)x x x x C x C x x +-=-+=-+-+L ，所以含3x 项的系数为1515C -⋅=-。
解3 由组合原理03312221130065656565(1)(1)(1)(1)5C C C C C C C C -+-+-+-=-。
[小结] 本题重点考查对二项式定理的本质的理解和运算能力。
例4：从数字0,1,2,3,4,5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于6的概率为多少？[思路分析] 本题的基本事件是由6个不同的数字允许重复而且含0的条件下组成三位数，根据乘法原理可知基本事件的全体共有566180⨯⨯=个。
设三个数字之和等于6的事件为A ，则A 分为六类：数码(5,1,0)组成不同的三位数有2122A C个；数码(4,2,0)组成不同的三位数有2122A C 个；数码(4,1,1)组成不同的三位数有13C个；数码(3,3,0)组成不同的三位数有12C 个；数码(3,2,1)组成不同的三位数有33A个；数码(2,2,2)组成不同的三位数有1个，根据加法原理，事件A 共有21211132222323120A C A C C C A +++++=个。
故201()1809P A ==。
[小结] 本题考查等可能性事件的概率和互斥事件的概率，重点在于利用排列组合知识求各个基本事件的总数。
例5：若1002100012100(12)(1)(1)(1),,1,2,3,,i x e e x e x e x e R i +=+-+-++-∈=L L 则012100e e e e ++++=L ，012100e e e e ++++=L 。
[思路分析] 将条件等式的左右两边比较，可知变形[]100100(12)3(2)(1)x x +=+--。
利用赋值法，令(1)1x -=，则有100012100(321)1e e e e ++++=-⨯=L ；令(1)1x -=-，则有[]1001001210032(1)5e e e e ++++=-⨯-=L 。
[小结] 本题考查二项展开式系数的性质，在具体方法上是运用了通法“赋值法”。
例6：从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的不同四位数共有 个。
[思路分析] 由已知，此四位数的末位只能是0或5，且0不能在首位，故0,5为特殊元素，而且二者中至少要选一个。
根据题意，可分三类：有5无0，不同的四位数有123343C C A个；有0无5，不同的四位数有213343C C A个；0,5同时存在，当0在末位时，不同的四位数有113343C C A 个，当5在末位时，不同的四位数有11123422C C C A个。
所以满足条件的不同的四位数共有1232131131234334334322()300C C A C C A C C A C A +++=个。
[小结] 本题考查有两个受条件限制的特殊元素的排列组合混合问题，基本解题模型为：分为三类。
第一类，两个中一个都不考虑；第二类，两个中考虑一个；第三类，两个都考虑。
注意在具体求解中其中“先选后排”“位置分析法”等通法的运用。
例7：鱼塘中共有N 条鱼，从中捕得t 条，加上标志后立即放回塘中，经过一段时间，再从塘中捕出n 条鱼，发现其中有s 条标志鱼。
（1）问其中有s 条标志鱼的概率是多少？（2）由此可推测塘中共有多少条鱼（即用,,t n s 表示N ）？[思路分析] （1）由题意可知，基本事件总数为n NC 。
鱼塘中的鱼分为两类：有标志的鱼t条，无标志的鱼()N t -条，从而在捕出n 条鱼中，有标志的s 条鱼有st C种可能，同时无标志的()n s -条鱼有n s N t C --种可能，则捕出n 条鱼中有s 条鱼共有s n s t N t C C --种可能。
所以概率为s n st N tnN C C C --。
（2）由分层抽样可知，,s n nt N t N s =∴=（条）。
[小结] 本题考查等可能性事件的概率和统计知识，重点要注意“鱼”的不同的分类以及抽样方法中各个元素被抽取概率的相等性。
例8：某宾馆有6间客房，现要安排4位旅游者，每人可以进住任意一个房间，且进住各房间是等可能的，求下列事件各的概率：（1）事件A ：指定的4个房间各有1人；（2）事件B ：恰有4个房间各有1人；（3）事件C ：指定的某房间中有2人；（4）事件D ：一号房间有1人，二号房间有2人；（5）事件E ：至少有2人在同一个房间。
[思路分析] 由于每人可以进住任一房间，进住哪一个房间都有6种等可能的方法，根据乘法原理，4个人进住6个房间有46种方法，则（1）指定的4个房间中各有1人有44A 种方法，4441()654A P A ==。
（2）恰有4个房间各有1人有4464C A 种方法，446445()618C A P B ==。
（3）从4人中选2人的方法有24C 种，余下的2人每人都可以去另外的5个房间中的任一间，有25种方法，2244525()6216C P C ⋅==。