【方明亮、郭正光】【高等数学第一学期】第03章 微分中值定理与导数的应用习题详解
3微分中值定理与导数的应用习题
第三章微分中值定理与导数的应用1 •函数y =x2 -1在L 1,1】上满足罗尔定理条件的匕=2、若f(x)=x3在1,2】上满足拉格朗日中值定理，则在(1,2 )内存在的匕=3. f(x)=x2+x-1在区间L1,1】上满足拉格朗日中值定理的中值匕=4•函数y = In(X +1诳区间0,1】上满足拉格朗日中值定理的匕=5•验证罗尔定理对函数y =1 n sin X在区间律—1上的正确性。
T 6」6.验证拉格朗日中值定理对函数y =4x' —5x2 +x-2在区间0,1】上的正确性。
7.对函数f(x) = sinx及F(x)=x+cosx在区间〔0,—1上验证柯西中值定理的正确性。
L 2」&试证明对函数y = px2 +qx + r应用拉格朗日中值定理时的求得的点总是位于区间的正中间。
9.证明下列不得等式: ⑴ arctanx -arctan y < x - y⑶当a汕＞«¥＜"¥10.用洛必达法则求下列极限:X _x⑵ lim e ~eT sin XIn R +丄］⑷ li%__¥—鈕 1arcta n —x⑸1x m1x1.1 -x1⑹ lim (cot X -一) T x(7)lim (cos X)⑻ ji m^x "(J x2+1 -X) ⑵当X A1时，e x；＞e .XIn (1 +x)⑴lim T X⑶ lim 沁—sina X T x-asin X — xcosx2~；x sinx11. 确定下列函数的单调区间。
⑷ y =1 n(x +J 1 + x 212. 求下列函数图形的拐点及凹凸区间:⑷ y = In(x 2+1 )13. 禾U 用函数的单调性证明下列不等式:(11)lim(1-x)ta n 便'(2丿(12)tanx⑽ lim — - x -^l x「1 2 、—2x~e-1丿⑴ y = 2x 3-6x 2-18x -7⑵ y = 2x +8(X A O )x=x 3 -5x 2+3x +5/ \ -x⑵ y = xe= (x +1y +e x⑴当1 ,_______ x>0 时，1+ —x》u1+x2⑵当x>0 时，1+xl n(x+j1+x2)> J1 +x2⑶当兀 1 3 0cx£ —时，tanx〉x + -x2 314.列表讨论下列函数的单调区间，凹性区间，极值点与拐点。
3章微分中值定理与导数应用习题解答
第3章 微分中值定理与导数应用习题解答1.验证中值定理的正确性（1) 验证罗尔定理对函数y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上的正确性.解 因为y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上连续, 在)65 ,6(ππ内可导, 且)65()6(ππy y =, 所以由罗尔定理知, 至少存在一点)65 ,6(ππξ∈, 使得y '(ξ)=cot ξ=0. 由y '(x )=cot x =0得)65 ,6(2πππ∈，因此确有)65 ,6(2πππξ∈=, 使y '(ξ)=cot ξ=0.(2) 验证拉格朗日中值定理对函数y =4x 3-5x 2+x -2在区间[0, 1]上的正确性.解 因为y =4x 3-5x 2+x -2在区间[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导, 由拉格朗日中值定理知, 至少存在一点ξ∈(0, 1), 使001)0()1()(=--='y y y ξ. 由y '(x )=12x 2-10x +1=0得)1 ,0(12135∈±=x .因此确有)1 ,0(12135∈±=ξ, 使01)0()1()(--='y y y ξ.(3) 对函数f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间]2 ,0[π上验证柯西中值定理的正确性. 解 因为f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间]2 ,0[π上连续, 在)2 ,0(π可导, 且F '(x )=1-sin x 在)2 ,0(π内不为0, 所以由柯西中值定理知至少存在一点)2,0(πξ∈, 使得)()()0()2()0()2(ξξππF f F F f f ''=--. 令)0()2()0()2()()(F F f f x F x f --=''ππ, 即22sin 1cos -=-πx x .化简得14)2(8sin 2-+-=πx . 易证114)2(802<-+-<π, 所以14)2(8sin 2-+-=πx 在)2 ,0(π内有解, 即确实存在)2,0(πξ∈, 使得)()()0()2()0()2(ξξππF f F F f f ''=--.2. 证明题:(1)证明恒等式: 2arccos arcsin π=+x x (-1≤x ≤1).证明 设f (x )= arcsin x +arccos x . 因为 01111)(22≡---='x x x f ,所以f (x )≡C , 其中C 是一常数.因此2arccos arcsin )0()(π=+==x x f x f , 即2arccos arcsin π=+x x .(2)若方程a 0x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ + a n -1x =0有一个正根x 0, 证明方程a 0nx n -1+a 1(n -1)x n -2 + ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1 =0必有一个小于x 0的正根.证明 设F (x )=a 0x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ + a n -1x , 由于F (x )在[0, x 0]上连续, 在(0, x 0)内可导, 且F (0)=F (x 0)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ∈(0, x 0), 使F '(ξ)=0, 即方程a 0nx n -1+a 1(n -1)x n -2 + ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1 =0 必有一个小于x 0的正根.(3)若函数f (x )在(a , b )内具有二阶导数, 且f (x 1)=f (x 2)=f (x 3), 其中a <x 1<x 2<x 3<b , 证明: 在(x 1, x 3)内至少有一点ξ, 使得f ''(ξ)=0.证明 由于f (x )在[x 1, x 2]上连续, 在(x 1, x 2)内可导, 且f (x 1)=f (x 2), 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ1∈(x 1, x 2), 使f '(ξ1)=0. 同理存在一点ξ2∈(x 2, x 3), 使f '(ξ2)=0.又由于f '(x )在[ξ1, ξ2]上连续, 在(ξ1, ξ2)内可导, 且f '(ξ1)=f '(ξ2)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ ∈(ξ1, ξ2)⊂(x 1, x 3), 使f ''(ξ )=0.(4) 设a >b >0, n >1, 证明: nb n -1(a -b )<a n -b n <na n -1(a -b ) .证明 设f (x )=x n , 则f (x )在[b , a ]上连续, 在(b , a )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(b , a ), 使f (a )-f (b )=f '(ξ)(a -b ), 即a n -b n =n ξ n -1(a -b ). 因为 nb n -1(a -b )<n ξ n -1(a -b )< na n -1(a -b ), 所以 nb n -1(a -b )<a n -b n < na n -1(a -b ) .3. 用洛必达法则求下列极限: (1)22)2(sin ln limx x x -→ππ; (2)nn m m ax a x a x --→lim; (3)x xx 2tan ln 7tan ln lim0+→; (4)x x x 3tan tan lim 2π→;(5)2120lim x x e x →; (6)⎪⎭⎫ ⎝⎛---→1112lim 21x x x ; (7)x x xa )1(lim +∞→; (8)xx xsin 0lim +→; 解: (1)812csc lim 41)2()2(2cot lim )2(sin ln lim 22222-=---=-⋅-=-→→→x x x x xx x x πππππ.(2)nm n m n m ax nn m m ax a nm na mx nx mx a x a x -----→→===--1111limlim. (3)2000021sec 77ln tan 77tan 272tan 7lim lim lim lim 11ln tan 22tan 727sec 22tan 2x x x x x x x x x x x x x x→+→+→+→+⋅⋅====⋅⋅.(4))sin (cos 23)3sin (3cos 2lim31cos 3cos lim 3133sec sec lim 3tan tan lim 22222222x x x x x x x x x x x x x x -⋅-==⋅=→→→→ππππ 3sin 3sin 3lim cos 3cos lim22=---=-=→→x xx x x x ππ.(5)+∞====+∞→+∞→→→1lim lim 1lim lim 2101222t t t t x x xx e t e x e e x (注: 当x →0时, +∞→=21xt ). (6)2121lim 11lim 1112lim 12121-=-=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛---→→→x x x x x x x x . (7)解法1 因为)1ln(lim )1(lim x ax x x x exa +∞→∞→=+, 而 221()ln(1)1lim (ln(1)limlim 11x x x aa axa x x x x x x→∞→∞→∞⋅-+++==- limlim 1x x ax aa x a →∞→∞===+ ,所以 a x ax x x x e exa ==++∞→∞→)1ln(lim )1(lim . 解法2 lim 1lim 1axxa ax x a a e x x →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦(8) 因为x x x x x e x ln sin 0sin 0lim lim +→+→=,而 00ln lim sin ln lim csc x x x x x x →+→+= 2001sin lim lim 0csc cot cos x x x x x x x x→+→+==-=-⋅ ，所以 1lim lim 0ln sin 0sin 0===+→+→e e x x x x x x .4. 验证下列各题: (1) 验证极限xxx x sin lim+∞→存在, 但不能用洛必达法则得出.解 1)s i n 1(l i m s i n l i m =+=+∞→∞→x x x x x x x , 极限x xx x sin lim+∞→是存在的. 但)cos 1(lim 1cos 1lim )()sin (limx xx x x x x x +=+=''+∞→∞→∞→不存在, 不能用洛必达法则.(2) 验证极限xx x x sin 1sinlim20→存在, 但不能用洛必达法则得出.解 0011sin sin lim sin 1sinlim020=⋅=⋅=→→xx x x x x x x x , 极限x x x x sin 1sinlim 20→是存在的. 但xx x x x x x x x cos 1cos1sin 2lim )(sin )1sin (lim020-=''→→不存在, 不能用洛必达法则. 5. 将下列函数展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式(1) 求函数f (x )=ln x 按(x -2)的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式. 解 因为f '(x )=x -1, f ''(x )=(-1)x -2, f '''(x )=(-1)(-2)x -3 , ⋅ ⋅ ⋅ , nn nn x n x n x f )!1()1()1( )2)(1()(1)(--=+-⋅⋅⋅--=--;kk k k f 2)!1()1()2(1)(--=-(k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n +1)所以])2[()2(!)2( )2(!3)2()2(!2)2()2)(2()2(ln )(32n n n x o x n f x f x f x f f x -+-+⋅⋅⋅+-'''+-''+-'+=])2[()2(2)1( )2(231)2(221)2(212ln 13322n n nn x o x n x x x -+-⋅-+⋅⋅⋅--⋅+-⋅--+=-.(2) 求函数f (x )=xe x 的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式. 解 因为f '(x )=e x +x e x ,f ''(x )=e x +e x +x e x =2e x +x e x , f '''(x )=2e x +e x +x e x =3e x +x e x , ⋅ ⋅ ⋅, f (n )(x )=ne x +xe x ;f (k )(0)=k (k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ),所以 )(!)0( !3)0(!2)0()0()0()(32n nn xx o x n f x f x f x f f xe ++⋅⋅⋅⋅+'''+''+'+=)()!1(1!2132n n x o x n x x x +-⋅⋅⋅+++=.6. 确定下列函数的单调区间:(1) y =2x 3-6x 2-18x -7; (2)xx x y 6941023+-=; 解 (1) y '=6x 2-12x -18=6(x -3)(x +1)=0, 令y '=0得驻点x 1=-1, x 2=3. 列表得可见函数在(-∞, -1]和[3, +∞)内单调增加, 在[-1, 3]内单调减少.(2)223)694()1)(12(60x x x x x y +----=', 令y '=0得驻点211=x , x 2=1, 不可导点为x =0. 列表得可见函数在(-∞, 0), ]21 ,0(, [1, +∞)内单调减少, 在]1 ,21[上单调增加.7.证明下列不等式::(1)当x >0时, x x +>+1211;(2)当x >4时, 2x >x 2;证明 (1)设x x x f +-+=1211)(, 则f (x )在[0, +∞)内是连续的. 因为x x f +-='12121)(01211>+-+=xx , 所以f (x )在(0, +∞)内是单调增加的, 从而当x >0时f (x )>f (0)=0, 即 01211>+-+x x ,也就是 x x +>+1211.(2)设f (x )=x ln2-2ln x , 则f (x )在[4, +∞)内连续, 因为 0422ln 224ln 22ln )(=->-=-='e x x x f ,所以当x >4时, f '(x )>0, 即f (x )内单调增加.因此当x >4时, f (x )>f (4)=0, 即x ln2-2ln x >0,也就是2x >x 2.8.求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: (1) y =x 3-5x 2+3x +5 ; (2) y =xe -x ;(3) y =(x +1)4+e x .解 (1)y '=3x 2-10x +3, y ''=6x -10. 令y ''=0, 得35=x .因为当35<x 时, y ''<0; 当35>x 时, y ''>0, 所以曲线在]35 ,(-∞内是是凸的, 在) ,35[∞+内是凹的, 拐点为)2720,35(.(2)y '=e -x -x e -x , y ''=-e -x -e -x +x e -x =e -x (x -2). 令y ''=0, 得x =2.因为当x <2时, y ''<0; 当x >2时, y ''>0, 所以曲线在(-∞, 2]内是凸的, 在[2, +∞)内是凹的, 拐点为(2, 2e -2).(3)y '=4(x +1)3+e x , y ''=12(x +1)2+e x .因为在(-∞, +∞)内, y ''>0, 所以曲线y =(x +1)4+e x 的在(-∞, +∞)内是凹的, 无拐点.9.求函数的极值:(1) y =2x 3-6x 2-18x +7； (2) y =x -ln(1+x )； (3) y =-x 4+2x 2 .解 (1)函数的定义为(-∞, +∞), y '=6x 2-12x -18=6(x 2-2x -3)=6(x -3)(x +1), 驻点为x 1=-1, x 2=3. 列表可见函数在x =-1处取得极大值17, 在x =3处取得极小值-47.(2)函数的定义为(-1, +∞), xxx y +=+-='1111, 驻点为x =0. 因为当-1<x <0时, y '<0; 当x >0时, y '>0, 所以函数在x =0处取得极小值, 极小值为y (0)=0.(3)函数的定义为(-∞, +∞),y '=-4x 3+4x =-4x (x 2-1), y ''=-12x 2+4, 令y '=0, 得x 1=0, x 2=-1, x 3=1.因为y ''(0)=4>0, y ''(-1)=-8<0, y ''(1)=-8<0, 所以y (0)=0是函数的极小值, y (-1)=1和y (1)=1是函数的极大值.10.求下列函数的最大值、最小值: (1) y =2x 3-3x 2 , -1≤x ≤4;(2) y =2x 3-6x 2-18x -7(1≤x ≤4).解 (1)y '=6x 2-6x =6x (x -1), 令y '=0, 得x 1=0, x 2=1. 计算函数值得 y (-1)=-5, y (0)=0, y (1)=-1, y (4)=80,经比较得出函数的最小值为y (-1)=-5, 最大值为y (4)=80.(2) y '=6x 2-12x -18=6(x -3)(x +1), 函数f (x )在1≤x ≤4内的驻点为x =3. 比较函数值:f (1)=-29, f (3)=-61, f (4)=-47,函数f (x )在x =1处取得最大值, 最大值为f (1)=-29.11.某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图), 截面的面积为5m 2, 问底宽x 为多少时才能使截面的周长最小, 从而使建造时所用的材料最省？解 设矩形高为h , 截面的周长S , 则5)2(212=⋅+πx xh , x x h 85π-=.于是xx x x h x S 10422++=++=ππ(π400<<x ), 21041xS -+='π.令S '=0, 得唯一驻点π+=440x .因为0203>=''xS , 所以π+=440x 为极小值点, 同时也是最小值点. 因此底宽为π+=440x 时所用的材料最省. 12.从一块半径为R 的圆铁片上挖去一个扇形做成一漏斗(如图), 问留下的扇形的中心角ϕ取多大时, 做成的漏斗的容积最大？解 漏斗的底周长l 、底半径r 、高h 分别为 l =R ⋅ϕ, πϕ2R r =, 222242ϕππ-=-=Rr R h .漏斗的容积为22223242431ϕππϕπ-==R hr V (0<ϕ<2π).2222234)38(24ϕπϕπϕπ--⋅='R V ，驻点为πϕ362=. 由问题的实际意义, V 一定在(0, 2π)内取得最大值, 而V 在(0, 2π)内只有一个驻点, 所以该驻点一定也是最大值点. 因此当ϕ π362=时, 漏斗的容积最大.13.一房地产公司有50套公寓要出租. 当月租金定为1000元时, 公寓会全部租出去. 当月租金每增加50元时, 就会多一套公寓租不出去, 而租出去的公寓每月需花费100元的维修费. 试问房租定为多少可获最大收入？解 房租定为x 元, 纯收入为R 元.当x ≤1000时, R =50x -50⨯100=50x -5000, 且当x =1000时, 得最大纯收入45000元. 当x >1000时,700072501100)]1000(5150[)]1000(5150[2-+-=⋅---⋅--=x x x x x R ,72251+-='x R . 令R '=0得(1000, +∞)内唯一驻点x =1800. 因为0251<-=''R , 所以1800为极大值点, 同时也是最大值点. 最大值为R =57800.因此, 房租定为1800元可获最大收入.。
第03章微分中值定理与导数的应用习题详解
M 12丿」I 2丿第三章 微分中值定理与导数的应用习题3-11.解：(1)虽然 f(x)在［—1,1］上连续，f(—1) = f(1)，且 f(x)在(—1,1)内可导。
可见，f(x)在［_1,1］上满足罗尔中值定理的条件，因此，必存在一点 匕€(-1,1)，使得f 牡)=0，即:f(X)=cosx, F(X)=1 — sin X 且对任一 x 乏0,—】，F'(X)H 0, ”■. f (x),F (x)满足柯西 I 2丿中值定理条件。
—12©宀2=0，满足、； (2)虽然f(x)在［—1,1］上连续,f(_1)= f (1)，但 f (x)在(—1,1)内 x = 0点不可导。
可 见，f (x)在［ —1,1］上不满足罗尔中值定理的条件，因此未必存在一点 £ £ (_1,1)，使得 f 徉)=0. 2.因为函数是一初等函数，易验证满足条件 3 3 .解：令 y = 3arccos x - arccos(3x - 4x 3), y ‘ = 一 23 —12x 2厂工®®3)2，化简得 y'=0,「. y =c ( C 为常数)，又 y(0.5)=兀，故当-0.5<x<0.5，有 y(x)=兀。
「兀f f 兀、 4 .证明：显然f(x), F(x)都满足在'|0,二I 上连续，在10,二 内可导L 2」 I 2丿 c oxsn ——x、、2丿F Q-F(O)12丿兀--1 2F( x) -1 sixn_c O 弓-x厂(X )_F(x) ZL"2 /兀 X ,，即 tan I - -- U--1，此时l 4 2丿 2f JI「兀X = 2 I — -arctan l — -1L 4l 2显然萨〔0,-〕，即丿」 I 2丿5.解：因为f(0) = f (1)= f (2) = f (3) =0，又因为f(x)在任一区间内都连续而且可导, 所以f (X)在任一区间 0,1 ], 1,2], [2,3]内满足罗尔中值定理的条件， 所以由罗尔定理，得:3" -(0,1), "^(1,2), ©-(2,3),使得：f 徉1 )= 0 r =) &：◎(=), 30 因为6.证明：设f(x) =0的n+1个相异实根为X o V X 1 <X 2 <H( <X n则由罗尔中值定理知：存在J (i =1,2,川n):X0 <：勺1cj ■<X2 vill <-1^Xn ，使得再由罗尔中值定理至少存在So =1,2,川n-1):上11 C 巴21 V ©2 吒 W ©3 V i 11 < J n d W G n ,使得7.解：反证法，倘若 p(X)=0有两个实根，设为X^X 2，由于多项式函数 p(x)在[X 1,X 2]上连续且可导，故由罗尔中值定理存在一点E€(X I ,X 2),使得P 徉)=0,而这与所设p'(x)=0没有实根相矛盾，命题得证。
第三章 微分中值定理和导数的应用习题66道
第三章 微分中值定理和导数的应用3．1 验证罗尔定理对函数21x y -=在区间]1,1[-上的正确性。
3．2 验证罗尔定理对函数x y sin ln =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ上的正确性。
3．3 不用求函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的导数，说明0)(/=x f 有几个实根，并指出它们所在的区间。
3．4 试证明对函数r qx px y ++=2应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间。
3．5 验证担格朗日定理对于函数x x f arctan )(=在区间[0，1]上的正确性。
3．6 对函数3)(x x f =及1)(2+=x x g 在区间[1，2]上验证柯西中值定理的正确性。
3．7 对函数x x f sin )(=，x x g cos )(=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π验证柯西中值定理的正确性。
3．8 对函数2)(x x f =，x x g =)(在区间[1，4]上验证柯西中值定理的正确性。
3．9 试证当⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2ππx 时，|tan |||x x ≤（等号只有在0=x 时成立）。
3．10 证明下列不等式：（1）b a b a -≤-arctan arctan ；（2）y x y x -≤-sin sin ；（3）)()(11y x nx y x y x ny n n n n -<-<--- （y x n >>,1）；（4）如果20παβ<≤<，试证：αβαβαββα22cos tan tan cos -≤-≤-； （5）设0>n ，试证：1111arctan 1arctan 1)1(122+<+-<++n n n n 。
3．11 试证：21arctan arcsin xx x -= （11<<-x ）。
3．12 若k x f =)(/，k 为常数，试证：b kx x f +=)(。
高等数学第三章微分中值定理与导数的应用试题库(附带答案)
第三章 微分中值定理与导数的应用一、选择题1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（ ）是否为极值点不能断定的极值点 不是 的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A (2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（ ）0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在 且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''= 3、的凸区间是 x e y x -=（ ）) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ）(A)xx sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2x )x (f = (D)1x )x (f 2+=5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（ ） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（ ）(A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ]5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（ ）(A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-，8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（ ） ． (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3x 3sin3x asinx f(x)π=+=（ ） (A) 1 (B) 2 (C)3 π(D) 010、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（ ）]5 4, 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (--- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（ ）的极值必定不是的极值点为必定为曲线的驻点， 必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000二、填空题 1、__________________ey 82x的凸区间是曲线-=．2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=．3、的凸区间为曲线x 3 e y x+=_____________________ ．4、函数f （x ）＝x x 3-在[0,3]上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的罗尔中值点ξ＝ ．5、设曲线y ＝a 23bx x +以点（1，3）为拐点，则数组（a ，b ）＝ ．6、函数1x 3x y 3+-=在区间 [-2,0] 上的最大值为 ，最小值为 ．7、函数 x sin ln y =在 [65, 6 ππ] 上的罗尔中值点ξ= ． 8、1 x y +=在区间 [ 1，3 ] 的拉格朗日中值点ξ = _______________． 9、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=． 10、______________ 2x y x 的极小值点是函数⋅=。
《高等数学》第三章微分中值定理与导数的应用的习题库（201511）
《⾼等数学》第三章微分中值定理与导数的应⽤的习题库（201511）第三章微分中值定理与导数的应⽤⼀、判断题1. 若()f x 定义在[,]a b 上，在(a,b)内可导，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。
（）2. 若()f x 在[,]a b 上连续且()()f a f b =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。
（）3. 若函数()f x 在[,]a b 内可导且lim ()lim ()x a x b f x f x →+→-=，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。
（） 4. 若()f x 在[,]a b 内可导，则必存在(a,b)ξ∈，使'()(a)()()f b f f b a ξ-=-。
（） 5. 因为函数()f x x =在[1,1]-上连续，且(1)(1)f f -=，所以⾄少存在⼀点()1,1ξ∈-使'()0f ξ=。
（） 6. 若对任意(,)x a b ∈，都有'()0f x =，则在(,)a b 内()f x 恒为常数。
（） 7. 若对任意(,)x a b ∈，都有''()()f x g x =，则在(,)a b 内()()f x g x =。
（） 8. arcsin arccos ,[1,1]2x x x π+=∈-。
（） 9. arctan arctan ,(,)2x x x π+=∈-∞+∞。
（） 10. 若()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则导函数'()f x 有3个不同的实根。
（） 11. 若22()(1)(4)f x x x =--，则导函数'()f x 有3个不同的实根。
（） 12. ''222(2)lim lim21(21)x x x x x x →→=--（）13. 22'0011limlim()sin sin x x x x e e x x→→--= （） 14. 若'()0f x >则()0f x >。
(整理)微分中值定理与导数的应用练习题.
.题型1.利用极限、函数、导数、积分综合性的使用微分中值定理写出证明题2.根据极限，利用洛比达法则，进行计算3.根据函数，计算导数，求函数的单调性以及极值、最值4.根据函数，进行二阶求导，求函数的凹凸区间以及拐点5.根据函数，利用极限的性质，求渐近线的方程内容一．中值定理1.罗尔定理2.拉格朗日中值定理二．洛比达法则一些类型（0、、0? 、、0、00、1等）三．函数的单调性与极值1.单调性2.极值四．函数的凹凸性与拐点1.凹凸性2.拐点五．函数的渐近线水平渐近线、垂直渐近线典型例题.题型 I 方程根的证明题型 II 不等式（或等式）的证明题型 III 利用导数确定函数的单调区间与极值题型 IV 求函数的凹凸区间及拐点自测题三一．填空题二．选择题三．解答题4 月 13 日微分中值定理与导数应用练习题基础题：一．填空题1．函数y x21在 1,1上满足罗尔定理条件的。
3．f ( x)x2x1在区间1,1 上满足拉格朗日中值定理的中值=。
4．函数y ln x1 在区间0,1 上满足拉格朗日中值定理的。
5.函数f ( x)arctan x 在 [ 0, 1] 上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是．6.设f ( x)( x1)( x 2)( x3)( x 5) ，则 f ( x) 0 有个实根，分别位于区间中．7. lim cos5x 5 3x cos3x 2ln(11)8. lim x0 x arctan x9. lim (11) =1x 0 x2x tan x3 10. lim(sin x)x1x 0二．选择题.1.罗尔定理中的三个条件 : f ( x) 在 [ a, b] 上连续，在 (a,b) 内可导，且 f (a) f (b) ，是 f (x)在 (a,b) 内至少存在一点，使 f ( )0 成立的（ ）．A ． 必要条件B ．充分条件C ． 充要条件D ．既非充分也非必要条件２．下列函数在 [1, 1] 上满足罗尔定理条件的是（）．A.f ( x) e x B.f ( x) | x |C.f (x) 1x 2D.1xf ( x)x sin ,xx0,３．若 f (x) 在 (a, b) 内可导，且 x 1、 x 2 是 (a,b) 内任意两点，则至少存在一点，使下式成立（）．A ．f ( x 2 ) f (x 1 )( x 1 x 2 ) f ( ) (a, b)B ． f ( x 1 ) f ( x 2 )(x 1x 2 ) f ( )在 x 1 , x 2 之间C ． f ( x 1 )f ( x 2 ) ( x 2 x 1 ) f ( ) x 1 x 2D ． f ( x 2 ) f (x 1 )( x 2 x 1 ) f ( )x 1x 24．下列各式运用洛必达法则正确的是（B ）ln nlim 1A ． limnn elimnen1nnnB ． limxsin xlim1cos xx0 x sin xx0 1 cos xx 2sin 1 2 xsin 1 cos 1C ．lim sin x x lim xx不存在x 0x 0 cos xD ．limx= lim11e xxx 0x 0 e5． 在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（A ． limx 2B ． lim ( 1 ) tan xC ． limxx 0sin xx 0xx综合题：C ）sin x D ． limxnx xxe三．证明题1．验证罗尔定理对函数y ln sin x 在区间 ,5上的正确性。
第三章微分中值定理与导数的应用作业习题共6页
第三章 微分中值定理与导数的应用作业习题1、证明下列的不等式。
（1）y x y x -≤-arctan arctan ；（2）)0(,ln x y yyx y x x y x ≤<-≤≤-。
2、设121,,+k a a Λ是任意实数，求证x k a x a x a x f k )12sin(3sin sin )(1231++++=+Λ在)2,2(ππ-内必有零点。
3、设)(x f 在),[+∞a 可导，)(lim x f x +∞→存在，b x f x ='+∞→)(lim ，求证0=b 。
4、求下列极限。
（1）x e x xx -+→10)1(lim；（2）)3ln(cos )2ln(cos lim 0x x x →；（3）x x x 2tan 04)(tan lim +→π； （4）)ln ln 1(lim 1x xx x -→；（5）x x x +-→22)(cos lim ππ；（6）x x x )1(ln lim 0+→；（7）2222lim x x x x -+-→；（8）x x e x x 630sin 13lim --→。
5、求函数x xx g 2ln 1)(=的单调区间与极值点。
6、证明当20π<<x 时，有x x x 2tan sin >+。
7、求证当]2,21[-∈x 时，有232≤-x x 。
8、证明方程122=-x x 有且仅有三个实根。
9、求椭圆12222=+by a x 的曲率半径。
10、在半径为R 的球内作一内接圆锥体，要使锥体体积最大，问其高，底半径应是多少？ 作业习题参考答案：1、 证：（1）取,11)(,arctan )(2xx f x x f +='=在],[y x 上对)(x f 用拉格朗日中值定理，),(y x ∈∃ξ使得y x y f x f arctan arctan )()(-=-y x y x -≤-+=211ξ， 即 y x y x -≤-arctan arctan 。
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第三章 微分中值定理与导数的应用习题3-11.解：（1）虽然()f x 在[1,1]-上连续，(1)(1)f f -=，且()f x 在(1,1)-内可导。
可见，()f x 在[1,1]-上满足罗尔中值定理的条件，因此，必存在一点ξ(1,1)∈-，使得()0f ξ'=，即：22120(21)ξξ-=+ ，满足，0ξ=； （2）虽然()f x 在[1,1]-上连续，(1)(1)f f -=，但()f x 在(1,1)-内0x =点不可导。
可见，()f x 在[1,1]-上不满足罗尔中值定理的条件，因此未必存在一点ξ(1,1)∈-，使得()0f ξ'=.2.因为函数是一初等函数，易验证满足条件. 3．解：令33arccos arccos(34)y x x x =--，2y '=，化简得0,C y y '=∴=（C 为常数），又(0.5)y π=，故当0.50.5x -≤≤，有()y x π=。
4．证明：显然(),()f x F x 都满足在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续，在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内可导()cos ,()1sin f x x F x x ''==-且对任一0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0F x '≠，(),()f x F x ∴满足柯西中值定理条件。
(0)121(0)22f f F F πππ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫-- ⎪⎝⎭，而sin cos ()cos 242()1sin 1cos sin 242x x f x x x F x x x ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭==='-⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()1()12f x F x π'='-，即tan 1422x ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，此时 2arctan 142x ππ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦显然0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即2arctan 10,422πππξ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∃=--∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，使得(0)(3)2(3)(0)2f f f F F F ππ⎛⎫- ⎪'⎝⎭='⎛⎫- ⎪⎝⎭。
5.解：因为(0)(1)(2)(3)0f f f f ====，又因为()f x 在任一区间内都连续而且可导，所以()f x 在任一区间[][][]0,1,1,2,2,3内满足罗尔中值定理的条件，所以由罗尔定理，得：123(0,1),(1,2),(2,3),ξξξ∃∈∈∈使得：123()0,()0,()0f f f ξξξ'''===，又因为()0f x '=只有三个根，()0f x ∴=有3个根123,,ξξξ分别属于(0,1),(1,2),(2,3)三个区间.6．证明：设()0f x =的1n +个相异实根为012n x x x x <<<<则由罗尔中值定理知：存在1(1,2,)i i n ξ=：01111221n n x x x x ξξξ<<<<<<<，使得1()0,(1,2,,)i f i n ξ'==再由罗尔中值定理至少存在2(1,2,1)i i n ξ=-：1121122213211n n ξξξξξξξ-<<<<<<<，使得2()0,(1,2,,1)i f i n ξ''==- 如此作到第n 步，则知至少存在一点ξ：1112n n ξξξ--<<使得()()0n fξ=。
7．解：反证法，倘若()0p x =有两个实根，设为1x 和2x ，即12()()0p x p x ==，不妨设12x x <，由于多项式函数()p x 在12[,]x x 上连续且可导，故由罗尔中值定理存在一点12(,)x x ξ∈，使得()0p ξ'=，而这与所设()0p x '=没有实根相矛盾，命题得证。
8．证明：令5()1f x x x =+-，由于(0)1,(1)1f f =-=由零点定理知，在(0,1)内至少存在一点ξ，使()0f ξ=，又由方程得4(1)1x x +=，因此方程只存在0与1之间的正根，假设510x x +-=有两个正根，即12,0x x ∃>，且12x x ≠使得：12()()0f x f x ==，不妨假设12x x <，显然()f x 在12[,]x x 上连续，在12(,)x x 内可导。
所以由罗尔定理，得：12(,)x x ξ∃∈，使得：()0f ξ'=，即4510ξ+=，矛盾，假设不成立，所以方程510x x +-=只有一个正根。
9．证明：（1）因为()f x 在[,]a b 上可导，所以由拉格朗日中值定理知：存在(,)a b ξ∈使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-又()f m ξ'≥，故()()()f b f a m b a -≥-，即()()()f b f a m b a ≥+-。
（2）因为()f x 在[,]a b 上可导，所以由拉格朗日中值定理知：存在(,)a b ξ∈使得()()()()f b f a b a f ξ'-=-又()f M ξ'≤，所以|()()|M()f b f a b a -≤-。
（3）当12x x =时结论显然成立，当12x x ≠时，对函数sin x 在以12,x x 为端点的区间上应用拉格朗日中值定理，得1212sin sin cos ()x x x x ξ-=⋅-，其中ξ在1x 与2x 之间，因此121212sin sin cos x x x x x x ξ-=-≤-。
10．证明：因为()f x 在(,)a b 内具有二阶导数，所以由罗尔定理，得112(,)x x ξ∃∈，223(,)x x ξ∃∈，使得12()()0f f ξξ''==，又()f x '在[]12,ξξ且满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理，得：1213(,)(,)x x ξξξ∃∈⊂，使得()0f ξ''=。
11．证明：设()ln f x x =，由拉格朗日中值定理，得(,)b a ξ∃∈，使得：()()()f a f b f a bξ-'=-即：ln ln ln a b a a b b ξ-=-=，又(,)b a ξ∈，111a bξ∴<<，a b a b a ba b ξ---∴<<。
12．证明：对函数()arctan f x x =在[0,]h 上应用拉格朗日中值定理：存在(0,)h ξ∈使得2arctan arctan arctan 01hh h ξ=-=+ 从而2arctan 1hh h h <<+。
13．证明：（1）令()arctan f x x =。
当a b =时结论显然成立。
当a b ≠时，由拉格朗日中值定理，得()()()f b f a f b aξ-'=-。
（ξ在,a b 构成的区间内），即：21()()()arctan arctan 1b a f b f a b a ξ-⋅=-=-+。
21arctan arctan 1a b a b a b ξ∴-=-⋅<-+ 综上所述，结论成立。
（2）令()xf x e =由拉格朗日中值定理，得：(1,)x ξ∃∈，使得：()(1)()1f x f f x ξ-'=-，即：()(1)(1)()(1)x f x f e e x f x e ξξ'-=-=-=-，又(1,)x ξ∈，故e e ξ>，所以e e (1)e (1)e x x x ξ-=->-，即e e x x >。
14．证明：()y f x =在0x =的某邻域内具有n 阶导数，由柯西中值定理，得：1(0,)x ξ∃∈使111111()()(0)()()(0)00n n n n n f f f f x f x f x x n n ξξξξ--'''--===--，反复使用柯西中值定理，得： 21321(0,).(0,).(0,)(0,)n x ξξξξξξ-∃∈∈∈⊂，使得()121212()(0)()(0)()()0(1)0!n n n n f f f f f x f x n n n n ξξξξξ--''''''--====--- 即(0,1)θ∃∈，使(0,)x x θξ=∈，使得：()()(),(01)!n n f x f x x n θθ=<<。
习题3-21.解：()(2)6,(2)4,(2)4,(2)6,(2)0(4)n f f f f f n ''''''=-=-===≥将上述结果代入泰勒多项式，得23(2)(2)()(2)(2)(2)(2)(2)2!3!f f f x f f x x x ''''''=+-+-+- ∴32()(2)2(2)4(2)6f x x x x =-+----.2.解：因为()()1(1)!(0)1,(),(0)(1)!,1,2,(1)k k k k k k f f x f k k x +-===-=+所以1212(1)()1(1),(01)(1)n nnn n f x x x x x x θθ+++-=-+++-+<<+. 3.解：因为2(0)0,()sec ,(0)1,f f x x f ''===2()2sec tan ,(0)0f x x x f ''''==，224()4sec tan 2sec ,(0)2f x x x x f ''''''=+=， (4)234(4)()8sec tan 16sec tan ,(0)0f x x x x x f =+=，(5)24426(5)()16sec tan 88sec tan 16sec ,(0)16f x x x x x x f =++=，所以35512()()315f x x x x o x =+++.4.解：()f x =321()()4f x f x x -'''==-，523()8f x x -'''= 7(4)215()16fx x -=-，令4x =代入得113(4)2,(4),(4),(4)432256f f f f ''''''===-=，由泰勒公式，得4237211115(4)2(4)(4)(4)4645124!16[4(4)]x x x x x θ-=+---+--+-.5.解：因为1()f x x =，234123!(),(),()f x f x f x x x x ''''''=-==-，一般地，有()1!()(1)n n n n f x x+=-⋅，所以(1)1,(1)1,(1)2,(1)3!f f f f ''''''-=--=--=--=-，一般地，有：()(1)!n f n -=-所以，由泰勒公式，得12121(1)[1(1)(1)(1)](1),(01).[1(1)]n n n n x x x x xx θθ++++=-++++++++-<<-++ 6.解：()xf x xe -=，所以()()011()()(1)(1)()0n x n n x n x n n f x xe C e x C e x ----'==-+-+1(1)(1)n x n x xe n e --=-+-⋅，又()1(0)(1)n n f n -=-，所以321()(1)()2(1)!nn n x x f x x x o x n -=-+++-+-.7.解：（1）22(27)(27)(27)(27)(27)(27)(27)23!f x f x f f x '''''--'≈+-++237121153(27)(27)(27)2733x x x =+---+-3.10724,≈误差为：(4)4(4)412()3(27)3100.000024!4!3f f ξ⋅≤=<（2）331sin ,sin180.309993!103!10x x x ππ⎛⎫≈-∴≈-⋅≈ ⎪⎝⎭误差为(5)55sin ()2105!x ξ-⋅<⨯.8.解：（1）由于分式的分母33sin (0)xx x →，我们只需将分子中的sin x 和cos x x 分别用带有佩亚诺型余项的三阶麦克劳林公式表示，即33sin 0()3!x x x x ≈-+，33cos 0()2!x x x x x ≈-+，于是3333331sin cos 0()0()0()3!2!3x x x x x x x x x x x -≈-+-+-=+，故33330010()sin cos 13lim lim sin 3x x x x x xx x x →→+-==。