微积分微分中值定理
微分中值定理
微分中值定理微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它揭示了函数在某个区间内取得极值的一种方法。
微分中值定理包括拉格朗日中值定理和高尔的中值定理两种形式，下面将分别介绍这两种定理。
拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它表明如果函数满足一些条件，那么在某个区间内一定存在一个点，它的导数等于函数在这个区间两个端点处的斜率。
具体来说，如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，并且a<b，那么存在一个点c∈(a,b)，使得函数在点c处的导数等于函数在区间的两个端点处的斜率。
也就是说，存在c∈(a,b)使得：f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)这个定理的图像可以形象地理解为，曲线在某点的切线与连接两个端点的直线斜率相等。
高尔的中值定理是拉格朗日中值定理的一个推广，它是由高尔证明的。
高尔的中值定理的条件比拉格朗日中值定理更加宽松，它只要求函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导。
具体来说，如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，并且函数在区间的两个端点处的斜率相等，那么存在一个点c∈(a,b)，使得函数在点c处的导数等于函数在区间的两个端点处的斜率。
也就是说，存在c∈(a,b)使得：f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)高尔的中值定理可以看做拉格朗日中值定理的推广，它更加灵活，适用范围更广。
微分中值定理的证明可以通过利用拉格朗日中值定理或高尔的中值定理的定义和一些基本的微积分知识进行推导。
证明的过程比较复杂，需要运用到数学分析中的一些技巧与方法。
微分中值定理在微积分的应用中有着广泛的应用。
它可以用来证明一些数学定理，比如费马最值定理、罗尔定理和拉格朗日多重中值定理等。
此外，微分中值定理还可以用来求函数的零点、证明函数的单调性和判断函数的极值等。
在实际问题中，微分中值定理常常被用来解决一些最优化问题，比如求函数的最值、最小二乘法中的参数估计等。
微分中值定理与导数的应用
微分中值定理与导数的应用微分中值定理是微积分中的一个重要定理，它是导数与函数之间的关系的重要推论。
本文将介绍微分中值定理的概念以及其在实际问题中的应用。
一、微分中值定理的概念微分中值定理是数学分析中的一个重要定理，它是由罗尔定理和拉格朗日中值定理推导出的。
该定理表明，如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，并且在区间端点a和b的函数值相等（f(a) = f(b)），那么在(a, b)内至少存在一点c，使得f'(c) = 0。
这一定理的直观解释是：如果一个连续函数在两个点的函数值相等，并且在两点之间的某个地方斜率为零，那么在该点一定存在切线与横轴平行。
二、导数的应用导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
通过导数的概念和性质，我们可以在实际问题中进行一些有用的应用。
1. 最值问题导数可以用来求解函数的最值问题。
在闭区间上的连续函数中，如果在某一点的导数为零或不存在，那么这一点可能是函数的极值点。
通过求解导数为零的方程，可以找到函数的极值。
2. 凹凸性和拐点问题导数可以用来研究函数的凹凸性和拐点问题。
通过分析函数的二阶导数（导数的导数），可以确定函数的凹凸性以及拐点的位置。
3. 曲线的切线和法线问题导数可以用来求解曲线的切线和法线问题。
切线的斜率等于函数在该点的导数，而法线的斜率是切线斜率的负倒数。
三、微分中值定理的应用微分中值定理是导数与函数之间的重要关系推论，它在实际问题中有着广泛的应用。
1. 速度与加速度微分中值定理可以用来解决速度与加速度的问题。
对于一个运动的实体，在某一时间段内，他的速度可能为零，这意味着他的加速度为零。
这可以通过微分中值定理得到证明。
2. 经济学中的应用微分中值定理在经济学中也有广泛的应用。
例如，在某个时间段内，一个消费品的价格可能保持不变，这意味着该消费品的边际效用或边际收益为零。
这可以用微分中值定理来解释。
3. 物理学中的应用微分中值定理在物理学中也有重要的应用。
微积分：微分中值定理
根的存在定理判断方程f x 0有根；
罗尔定理判断方程f x 0有根.
例 证明 f (x) x(x 1)(x 1)(x 2)
的导函数f x 有三个实根。
证 显然 f (2) f (1) f (0) f (1) 0,
f x在 2, 1,1, 0,0,1上均满足
Rolle定理
有一条切线平行 A
N
D
o a 1 x
2 b
x
于连接曲线端点的弦.
证明： 变形 f (b) f (a) f ( ) 0
ba
构造函数 ( x) f (b) f (a) x f ( x),
ba
则易证： ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，
(a) (b) af (b) bf (a) ,
二、拉格朗日（Lagrange）中值定理 难点: 用中值定理证题
罗尔定理判断方程f x 0有根.
用拉格朗日定理证明等式或不等式
作 业：
看书，并完成作业：P122: 3; 5; 6;7;8； 9;10;11.(1);12.(1);14.
3.5 洛必达(L’Hospital)法则
一、0 型及 型未定式解法: 洛必达法则 0
ba
在(a, b)内至少有一点，
使得 （） f (b) f (a) f ( ) 0,
ba
故 f (b) f (a) f ( )。
ba
拉格朗日中值定理的另几种形式：
(1) f b f a f ' b a
称为拉格朗日公式。
2 f x x f x f ' x
x, x x
一、罗尔（Rolle）定理
若函数 y f(x)满足：
(1)在闭区间a, b上连续，
微分中值定理
微分中值定理微分中值定理是微分学中的重要定理,它揭示了函数在区间上的宏观的、整体的性质与函数在某一点上（中值点ξ）的微观的局部的性质之间的关系,是联系函数及其导数的桥梁和纽带。
其中罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理通常联系的是函数与其一阶导数的关系,泰勒中值定理通常联系的是函数与其高阶导数的关系。
一、微分中值定理的历史演变古希腊数学家在几何研究中,得到如下结论：“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”,这是拉格朗日中值定理的特殊情况。
希腊著名数学家阿基米德正是巧妙地利用这一结论,求出抛物线弓形的面积。
意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri,1598-1647）在《不可分量几何学》（1635年）的卷一中给出了处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦,这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理。
1.费马定理法国数学家费马（Fermat,1601-1665）在《求最大值和最小值的方法》（1637年）中给出了费马定理。
费马在研究极大和极小问题的解法时,得到统一的解法“虚拟等式法”,从而得到原始形式的费马定理,费马定理在现行教科书中,一般作为微分中值定理的引理。
当应当注意的是,在当时微积分还处于初创阶段,没有明确导数、极限连续的概念,所以我们现在的看到的费马定理是后人根据微积分理论和费马发现的实质重新给出的。
2.罗尔定理（引理）法国数学家罗尔（Michel Rolle,1652-1719）在任意次方程的一个解法的证明》（1691年）中,给出多项式形式的罗尔定理：“在多项式a0xn+a1xn−1+⋯+an−1x+an=0 的两个相邻根之间,方程na0xn−1+(n−1)a1xn−2+⋯+an−1=0 至少有一个实根”。
这与现代罗尔定理不仅内容上有所不同,而且证明也大相径庭。
现代形式的罗尔定理,是后人根据微积分理论重新证明的,并把它推广到一般函数（可微函数）,“罗尔定理”这一名称是由德国数学家德罗比什（Drobisch,1802-1896）在1834年给出的,并由意大利数学家贝拉维蒂斯（Bellavitis）在1846年发表的论文中正式使用,是此定理成为微分学的一个基本定理。
微积分x02-4中值定理
f (x)在 x 处于可微：
△ydy=f
(x )· △x
f (x)在 [a, b] 上满足 拉格朗日定理条件：
△y=
要求:| △x |很小，
且f (x)0
f ( x+ △x )· △x
要求: △x有限.
拉格朗日中值公式又称有限增量公式.
注:拉氏公式的几种形式
f (b) f (a) f ( ) ba
而 (x) f ( x) f (b) f (a) , ba 所以 ( ) f ( ) f (b) f (a) =0 由此得 f ( )
f (b) f (a) . ba
ba
即 f (b)f (a)=f ( )(ba).
证法二
证 设F ( x) [ f (b) f (a)]x f ( x)(b a)
f ( x) a1 x a2 x an x ,
2 n
则 f(0)=f(1)=0，从而存在0<<1,使得
f ( ) 0.
'
f ( ) a1 2a2 nan
'
n1
0.
2. 拉格朗日
(Lagrange) 中值定理.
y
拉格朗日中值定理 (微分中值定理）: 若函数 f (x)满足
f ( x ) f (0) f ( )( x 0), (0 x )
x ln(1 x ) , 1 x x x, 1 x 1
x 即 ln(1 x ) x . 1 x
• 例3 试证 |sin x -sin y| | x - y |
所以 f ( x)
2
2
微分近似计算中值定理
微分近似计算中值定理一、微分近似计算微分近似计算是通过使用微分来近似计算一个函数在一些点的值。
在微积分中，函数的微分可以看作是函数在特定点处的瞬时变化率。
给定一个函数$f(x)$，我们希望在$x=a$处的附近计算出$f(x)$的值，但是直接计算可能会很困难或者不精确。
微分近似计算的核心思想是使用函数的局部线性逼近来近似计算函数的值。
1.线性逼近：线性逼近是指用一条直线来代替曲线的一部分，从而近似曲线的形态。
在微分近似计算中，我们使用一阶导数来得到函数在特定点的切线方程，从而得到一个线性逼近函数。
设函数$f(x)$在$x=a$处可导，那么该函数在$a$点的切线方程为：$$y=f'(a)(x-a)+f(a)$$其中$f'(a)$表示函数$f(x)$在$x=a$处的导数。
通过使用该切线方程，我们可以用直线来近似曲线，从而得到$x=a$处的近似值。
2.微分近似公式：微分近似公式是微分近似计算中常用的公式，它可以通过函数的导数来近似计算函数的值。
给定函数$f(x)$在$x=a$处的导数$f'(a)$，我们可以使用微分近似公式来计算$f(x)$在$x=a+h$处的近似值，其中$h$是一个非常小的正数：$$f(a+h) \approx f(a)+hf'(a)$$这个公式的推导可以通过使用线性逼近的方法来得到。
当$h$很小时，该公式给出的近似值比较精确。
3.例题：现在考虑一个具体的例题来说明微分近似计算的具体过程。
对于函数$f(x)=\sin(x)$，我们希望计算出$f(0.1)$的值。
首先计算函数在$x=0$处的导数$f'(0)$。
由于$f(x)=\sin(x)$的导数是$f'(x)=\cos(x)$，所以$f'(0)=\cos(0)=1$。
然后使用微分近似公式来计算$f(0.1)$的近似值：$$f(0.1) \approxf(0)+0.1f'(0)=\sin(0)+0.1\cos(0)=0+0.1=0.1$$因此，$f(0.1)$的近似值为0.11.一维中值定理：一维中值定理是最基本的中值定理，它阐述了如果函数在一个闭区间上连续且可导，那么在该区间内至少存在一点，该点的导数等于函数的平均变化率。
微分中值定理与泰勒展开
微分中值定理与泰勒展开微分中值定理和泰勒展开是微积分中重要的概念和理论。
它们在分析函数的性质和求解实际问题中起着至关重要的作用。
本文将介绍微分中值定理和泰勒展开的概念、原理以及应用。
一、微分中值定理微分中值定理是微分学中最基本的定理之一，它包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理等。
这些定理揭示了函数在连续和可导的条件下的一些特性。
1. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微分中值定理中最基础的定理。
它表明，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，那么在(a, b)区间内至少存在一个点c，使得函数的导数在c点的值等于函数在[a, b]区间端点处的导数值之差的商。
数学表达式为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则存在一个介于a和b之间的数c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
2. 柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广。
柯西中值定理表明，如果两个函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且其中一个函数在开区间(a, b)内不恒为零，那么在(a, b)区间内至少存在一个点c，使得两个函数的导数的商等于函数值的商。
数学表达式为：如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且g'(x)≠0，则存在一个介于a和b之间的数c，使得(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f'(c)/g'(c)。
3. 罗尔中值定理罗尔中值定理是微分中值定理的特殊情况。
罗尔中值定理表明，如果函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且在区间端点处的函数值相等，那么在(a, b)区间内至少存在一个点c，使得函数在c 点的导数等于零。
数学表达式为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且f(a)=f(b)，则存在一个介于a和b之间的数c，使得f'(c)=0。
中值定理 证明 解微分方程
中值定理证明解微分方程
中值定理是微积分中的一个重要定理，可以用来证明解微分方程的存在和唯一性。
该定理指出，对于一个在闭区间上连续的实函数，存在一个点使得该点的导数等于函数在该区间上的平均变化率。
这个点就是中值定理所述的中间点。
利用中值定理证明解微分方程的存在性，通常先将微分方程化为形如dy/dx=f(x,y)的一阶常微分方程。
然后，将该方程表示为
y'=g(x,y)，其中g(x,y)=f(x,y)/√(1+f(x,y)^2)。
由于g(x,y)在整个平面上的偏导数都是连续的，因此根据偏导数的连续性定理，可以得到g(x,y)在平面上是局部利普希茨连续的。
接下来，对于给定的初始条件y(x0)=y0，可以构造一条以(x0,y0)为起点，斜率为g(x0,y0)的直线。
根据中值定理，该直线与y=f(x)在(x0,x0+1)的某一点处相切。
将该点的横纵坐标记作x1和y1，可以得到y1=y0+g(x0,y0)(x1-x0)。
然后，以(x1,y1)为起点，斜率为g(x1,y1)的直线与y=f(x)在(x1,x1+1)的某一点处相切，构造出新的点(x2,y2)。
如此重复进行下去，可以得到一条光滑的曲线y=y(x)，满足y(x0)=y0，
y'(x)=g(x,y(x))。
由于g(x,y)是局部利普希茨连续的，因此可以证明y(x)在一定范围内是存在且唯一的。
此外，由于y'(x)是连续的，因此y(x)也是连续的。
因此，该曲线就是微分方程的解。
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故,当x (x0 , x0
)时, 有
f
(x) x
f (x0 ) x0
0,
当x (x0
, x0 )时, 有
f
(x) x
f (x0 ) x0
0.
从而f (x0 )
f ( x0
在 (a,b)使f ( ) 0.
证 :由定理2.5知: f (x)在[a,b]内必有最大值 M与最小值m.
(1) :当M m时,则f (x)在[a,b]内是常数函数 ,故f (x) 0, x [a,b].从而命题成立 .
(2) :当M m时,由f (a) f (b)知: 最大值M与最小值m至少有一个在开区间(a,b)
由罗尔中值定理知: 存在 (0, )使得F( ) F(x) sin cos 0.
x
x
故方程 sin x x cos x 0在(0, )内有实根.
例: 设f (x)在(a,b)内二阶可导,且f (x) 0, x (a,b).证明f (x)在 (a, b)内至多有一个驻点.
证 : 若f (x)在(a,b)内有两个驻点 x1与x2且x1 x2.
则f (x1) f (x2 ) 0.
由于f (x)在(a,b)存在,故导函数f (x)在[x1, x2 ]上连续.
从而由罗尔中值定理知 : 存在 (x1, x2 ) (a,b)使f ( ) 0.
这与f (x) 0, x (a,b)矛盾,故f (x)在(a,b)内至多有一个驻点 .
例: 设函数f (x) 1 x x2 x3 有且仅有一个零点 . 23
定理4.1(费马定理)的逆命题不一定正确. 例: f (x) x3,则f (x) 3x2,故f (0) 0,但x 0不是f (x)的极值点. 通常, 称使f (x) 0的点x为f (x)的驻点(临界点).
定理4.2(罗尔中值定理) :设f (x)在[a,b]内连续,在(a,b)内可导.若f (a) f (b),则必存
证 : f (0) 1 0, f (3) 1 3 9 27 13 0. 23 2
内的某一点处取得,即f ( ) M (或f ( ) m).
此时有f
( )
f
(x), x O ( ) (a,b),其中
max{b ,
2
a}
0;
(或f
( )
f
(x), x O
( )
(a, b), 其中
max{b ,
2
a}
0).
故为f (x)的一个极值点.而f (x)在极值点可导,由费马定理知 : f ( ) 0.
y
x 注: 极值点是局部性质 ,最大值与最小值是全局 性质,两者不同.
极大值不一定是最大值 ,极小值也不一定是最小 值;极大值可以小于极小值 .
定理4.1(费马定理 ) : 设y f (x)在x0点取得极值 ,若f (x)在x0点可导,则f (x0 ) 0.
证 : 不妨设f (x)在点x0处取得极小值 ( f (x)在点x0处取得极大值可类似证 明) 即在点x0的邻域(x0 , x0 ), ( 0)内, 有f (x) f (x0 ).
例: f (x) x2,则x 0为f (x)的一个极小值点. 存在领域O (0),使当x O (0)时, f (x) f (0).
例: f (x) x2,则x 0为f (x)的一个极大值点. 存在领域O (0),使当x O (0)时, f (x) f (0).
例: f (x) k(k为常数), 则任何一点 x0都是为f (x)的一个极大值点与极小 值点. 对任何一点 x0 , 存在领域 O (x0 )使当x O (x0 )时, f (x) f (x0 )且f (x) f (x0 ). 例: f (x) x3,则x 0不是f (x)的一个极值点. 因为不存在 x 0的一个领域 O (0)使当x O (0)时, f (x) f (0)或者f (x) f (0).
(x)
x2
cos 1 x
x 0,则f (x)在[1,1]连续, (1,1)可导.
0
x0
则f (1) f (1), 故存在 (1,1), 使f ( ) 0.
但f
( x)
2x
cos
1 x
sin
1 x
x 0在x 0Байду номын сангаас不连续.
0
x0
例: 证明方程 sin x x cos x 0在(0, )内必有实根.
罗尔中值定理的几何意义 :
y
连接点(a, f (a))与点(b, f (b))的直线平行
于x轴, 那么处处有切线的曲线上至少有
一点的切线平行于两端点的连线.
a
bx
罗尔中值定理常用来判 断导函数f (x)的零点.
但这与连续函数零点存在定理2.6不一样.
因为f (x)可导,但f (x)未必连续.
例:
f
)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) 0, x x0
f (x0 )
f ( x0
)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) 0. x x0
f (x0 ) 0
定理4.1(费马定理)的几何意义: 若y f (x)在极值点处有切线,则该切线平行于x轴,即切线的斜率为零.
注: y f (x)在极值点处可能没有切线,即在极值点处可能不可导. 例: f (x) x ,则x 0为极小值点,但f (x)在x 0处不可导,即没有切线.
第四章 中值定理与导数的应用
4.1、微分中值定理
定义4.1: 设f (x)在点x0的某一领域O (x0 )内有定义, 若f (x) f (x0 )(或f (x) f (x0 )),x O (x0 ),则称f (x0 )为f (x)的一个极小值(或极大值). 这时称x0为f (x)的一个极小值点 (或极大值点 ). 极小值与极大值统称为极值. 极小值点与极大值点统称为极值点.
证 :由于sin x x cos x是x sin x的导函数,故考虑函数 F(x) x sin x, x [0, ].
则F(x)在[0, ]上连续可导 (F(x)连续可导是导函数 F(x)在[0, ]上连续).
(注: 在端点x 0与x 处可导是指右可导与左 可导).
而且F(0) F( ) 0.