微分中值定理及其应用讲课教案
微分中值定理与导数的应用教案
微分中值定理与导数的应用教案第一章：微分中值定理概述1.1 引言引入微分中值定理的概念和意义。
解释微分中值定理在数学分析和物理学中的应用。
1.2 罗尔定理介绍罗尔定理的定义和条件。
通过示例解释罗尔定理的应用。
1.3 拉格朗日中值定理阐述拉格朗日中值定理的表述和条件。
通过图形和示例解释拉格朗日中值定理的应用。
第二章：导数的应用2.1 函数的单调性引入函数的单调性的概念。
解释导数与函数单调性的关系。
通过示例说明如何利用导数判断函数的单调性。
2.2 函数的极值介绍极值的概念和分类。
解释导数与函数极值的关系。
通过示例说明如何利用导数找到函数的极值点。
2.3 函数的凹凸性引入函数凹凸性的概念。
解释导数与函数凹凸性的关系。
通过示例说明如何利用导数判断函数的凹凸性。
第三章：微分中值定理的应用3.1 洛必达法则介绍洛必达法则的定义和条件。
通过示例解释洛必达法则的应用。
3.2 泰勒公式阐述泰勒公式的定义和意义。
通过示例解释泰勒公式的应用。
3.3 微分中值定理在其他领域的应用举例说明微分中值定理在物理学、工程学等领域的应用。
第四章：导数在经济学的应用4.1 边际分析介绍边际分析的概念和意义。
解释如何利用导数进行边际分析。
通过示例说明导数在边际分析中的应用。
4.2 优化问题介绍优化问题的概念和分类。
解释如何利用导数解决优化问题。
通过示例说明导数在优化问题中的应用。
第五章：微分中值定理与导数的实际应用5.1 实际应用案例介绍介绍一个实际应用案例，如工程设计、经济决策等。
解释该案例中如何应用微分中值定理和导数。
5.2 学生实践项目分配一个实际应用项目给学生们。
指导学生如何利用微分中值定理和导数解决该项目。
5.3 项目成果展示与讨论让学生们展示他们的项目成果。
进行讨论和交流，分享各自的解题思路和经验。
第六章：导数与函数图像6.1 切线与导数解释导数在函数图像上的几何意义。
展示如何从函数的导数得到函数图像上的切线。
通过实例演示导数与切线的关系。
微分中值定理与导数的应用
微分中值定理与导数的应用引言微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它为我们研究函数的性质和应用提供了有力的工具。
本教案将通过分析微分中值定理及其应用，探讨导数在实际问题中的应用，旨在帮助学生深入理解微分中值定理的原理和导数的实际应用，提高他们的问题解决能力和数学建模能力。
第一节：微分中值定理的基本原理及应用1.1 微分中值定理的定义微分中值定理是微积分中的重要定理，它是基于导数的连续性和介值定理而得出的。
微分中值定理包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理等。
这些定理揭示了函数在一定条件下的性质，为我们研究函数的变化提供了便利。
1.2 拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理是微分中值定理中最基本的一种形式，它表明在某个开区间上，函数的导数在这个区间内取某个特定的值。
这个定理在实际问题中有广泛的应用，比如在物理学中用于描述物体的速度、加速度等问题。
1.3 柯西中值定理的应用柯西中值定理是微分中值定理中的另一种形式，它是拉格朗日中值定理的推广。
柯西中值定理表明在两个不同的点上，函数的导数取相同的值。
这个定理在实际问题中也有很多应用，比如在经济学中用于描述市场供求关系等问题。
1.4 罗尔中值定理的应用罗尔中值定理是微分中值定理中的一种特殊情况，它表明在某个闭区间上，函数的导数在两个端点处取相同的值。
这个定理在实际问题中也有很多应用，比如在工程学中用于描述物体的位移、速度等问题。
第二节：导数的应用2.1 导数与函数的变化率导数是函数在某一点上的变化率，它可以帮助我们研究函数的趋势和性质。
通过导数的计算和分析，我们可以得到函数的最值、拐点、极值等重要信息，进而应用到实际问题中。
2.2 导数与曲线的切线与法线导数还可以帮助我们研究曲线的切线和法线。
通过计算函数在某一点的导数，我们可以确定曲线在该点的切线方程和法线方程，进而研究曲线的几何性质。
2.3 导数与函数的最值问题导数在函数的最值问题中有重要的应用。
第三章 微分中值定理与导数应用教案教学设计
证明：不妨设 x ∈U(x )时， f (x) ≤ f (x ) （若 f (x) ≥ f (x ) ，可以类似地证明）.∆x ≤ 0∆x第三章 微分中值定理与导数应用第一节 微分中值定理教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。
教学重点：罗尔定理、拉格朗日中值定理。
教学难点：罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用。
教学内容：一、罗尔定理1. 罗尔定理几何意义：对于在 [a,b ] 上每一点都有不垂直于 x 轴的切线，且两端点的连线与 x 轴平行的不间断的曲线yf (x) 来说，至少存在一点 C ，使得其切线平行于 xC轴。
y = f ( x )ABoaξ ξ bx21从图中可以看出：符合条件的点出现在最大值和最小值点，由此得到启发证明罗尔定理。
为应用方便，先介绍费马（Fermat ）引理费马引理 设函数 f (x) 在点 x 的某邻域U ( x ) 内有定义, 并且在 x 处可导, 如果对任意 x ∈U(x ), 有 f (x) ≤ f (x ) (或 f (x) ≥ f (x )), 那么 f ' (x ) = 0 .0 0 0 0于是对于 x + ∆x ∈U(x ) ,有 f (x + ∆x) ≤ f (x ) , 从而当 ∆x > 0 时, 0f (x + ∆x) - f (x ) ; 而当 ∆x < 0 时, f (x 0 + ∆x) - f (x 0 ) ≥ 0; 0例如 y = ⎨根据函数 f (x) 在 x 处可导及极限的保号性的得f ' (x 0 ) = f '+ (x 0 ) = lim f (x 0 + ∆x) - f (x 0 ) ≤ 0∆x →0+∆xf ' (x 0 ) = f '- (x 0 ) = lim f (x 0 + ∆x) - f (x 0) ≥ 0∆x →0-∆x所以 f ' (x ) = 0 , 证毕.定义 导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点，临界点).罗尔定理 如果函数 f (x) 满足：（1）在闭区间 [a,b ] 上连续, （2）在开区间 (a, b ) 内可导,（3）在区间端点处的函数值相等，即f (a) = f (b ), 那么在 (a,b ) 内至少在一点ξ(a <ξ < b ) ,使得函数 f (x) 在该点的导数等于零，即 f ' (ξ ) = 0 .证明：由于 f (x) 在 [a,b ] 上连续，因此必有最大值 M 和最小值 m ，于是有两种可能的情形：（1） M = m ，此时 f (x) 在 [a,b ] 上必然取相同的数值 M ，即 f (x) = M .由此得 f '(x) = 0. 因此，任取 ξ ∈ (a, b ) ，有 f '(ξ ) = 0.（2） M > m ，由于 f (a) = f (b ) ，所以 M 和 m 至少与一个不等于 f ( x ) 在区间[a,b ] 端点处的函数值.不妨设 M ≠ f (a)(若 m ≠ f (a) ,可类似证明),则必定在 (a,b ) 有一点 ξ 使 f (ξ ) = M . 因此任取 x ∈[a,b ]有 f (x) ≤ f (ξ ) , 从而由费马引理有 f '(ξ ) = 0 . 证毕例 1 验证罗尔定理对 f ( x ) = x 2 - 2 x - 3 在区间[-1,3] 上的正确性解 显然 f ( x ) = x 2 - 2 x - 3 = ( x - 3)( x + 1)在 [-1,3] 上连续，在 (-1,3) 上可导，且f (-1) = f (3) = 0 , 又 f '( x ) = 2( x - 1) , 取 ξ = 1, (1 ∈ (-1,3)) ,有 f '(ξ ) = 0 .说明：1 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立;2 使得定理成立的ξ 可能多于一个，也可能只有一个.例如 y = x , x ∈ [-2,2]在 [-2,2] 上除 f '(0) 不存在外，满足罗尔定理的一切条件， 但 在区间 [-2,2] 内找不到一点能使 f '( x ) = 0 .⎧1 - x, x ∈ (0,1] ⎩0, x = 0除了 x = 0 点不连续外，在 [0,1] 上满足罗尔定理的一切条2 2,]满足定理的一切条件，而ξ = 0,πx ∈ (0,1) 使 f (x ) = 0 , 即 x 为方程的小于 1 的正实根. 0但 f '(x) = 5(x 4 -1) < 0, ( x ∈ (0,1)) , 矛盾, 所以 x 为方程的唯一实根..件，但在区间 [0,1] 上不存在使得 f '(ξ ) = 0 的点例如 y = x, x ∈ [0,1]. 除了 f (0) ≠ f (1) 外，在 [0,1] 上满足罗尔定理的一切条件，但在区间 [0,1] 上不存在使得 f '(ξ ) = 0 的点又例如 y = cos x,x ∈ [- π 3π2．罗尔定理的应用罗尔定理 1）可用于讨论方程只有一个根；2）可用于证明等式.例 2 证明方程 x 5 - 5 x + 1 = 0 有且仅有一个小于 1 的正实根.证明：设 f ( x ) = x 5 - 5x + 1 , 则f (x) 在 [0,1] 上连续，且 f (0) =1, f (1) = -3.由介值定理存在 0 0设另有x ∈ (0,1), x ≠ x , 使 f (x ) = 0. 因为 f (x) 在 x , x 之间满足罗尔定理1 1 0 1 0 1的条件, 所以至少存在一个 ξ （在 x , x 之间）使得 f '(ξ ) = 0 .1拉格朗日中值定理的证明就是罗尔定理证明等式的一个例子（见后面）二、拉格朗日（Lagrange ）中值定理1.拉格朗日中值定理在实际应用中，由于罗尔定理的条件（3）有时不能满足，使得其应用受到一定限制。
微分中值定理与导数的应用-教案
高等数学教学教案第3章微分中值定理与导数的应用授课序号01显然，这3个函数在相应的开区间内没有水平切线，即不存在内点ξ，使得()=0f ξ'. （2）即使罗尔定理的3个条件不满足，但定理的结论仍可能成立.例如函数3()f x x =，显然其在闭区间[11],-上连续，在开区间(11),-内可导，在区间[11],-的两端点处函数值不相等[(1)1f -=-，(1)1f =]，但仍存在0(1,1)ξ=∈-，使得()=0f ξ'[见图3.1（d ）].(a) (b)(c) (d)图3.1罗尔定理的几何意义：如果连续曲线除端点外处处都具有不垂直于x 轴的切线，且两端点处的纵坐标相等，那么其上至少有一条平行于x 轴的切线（见图3.2）.罗尔定理的代数意义：当()f x 可导时，在方程()0f x =的两个实根之间至少存在方程()0f x '=的一个实根．3.1.2拉格朗日中值定理定理3.2（拉格朗日中值定理） 如果函数()y f x =满足条件 (1)在闭区间],[b a 上连续； (2)在开区间),(b a 内可导；授课序号02.可以使用等价无穷小替换等方法进行化简，但该方法在有些极限计算中不一定是最授课序号03授课序号04小值）为函数)(x f 在开区间),(b a 内的最大值（或最小值），如图3.14和3.15所示.3.5.2 最值在实际问题中的应用1．在实际问题中求最值，需要先根据实际问题建立一个目标函数，求得实际定义域，若函数()f x 的定义域是开区间，且在此开区间内只有一个驻点0x ，根据实际问题的实际意义知最大值（或最小值）必存在，则可以直接确定该驻点0x 就是最大值点（或最小值点），0()f x 即为相应的最大值（或最小值）．2．在经济学中，总收入函数和总成本函数都可以表示为产量（销量）q 的函数，分别记为()R q 和()C q ，则总利润函数()L q 表示为()()()L q R q C q =-．为使总利润最大，需满足最大利润原则，即满足下面两个条件： ①()()()0L q R q C q '''=-=，解得驻点0q q =； ②000()()()0L q R q C q ''''''=-<. 例题讲解例3.28 求函数796)(23++-=x x x x f 在]5,1[-上的最大值和最小值例3.29 求函数123()(1)1f x x =-+的最值．例3.30 一块边长为24cm 的正方形铁皮，在其四角各截去一块面积相等的小正方形，以做成无盖的铁盒．问：截去的小正方形边长为多少时，做出的铁盒容积最大？例3.31 要做一个容积为V 的圆柱形罐头筒，问：怎样设计才能使所用材料最省？例3.32 某工厂每月生产某种商品的个数x 与需要的总费用的函数关系为21024x x ++（费用单位：万元）.若将这些商品以每个9万元售出，问：每月生产多少个商品时利润最大?最大利润是多少?授课序号05授课序号06。
教案微分中值定理
微分中值定理教案章节一：引言与预备知识【教学目标】1. 理解微分中值定理的概念和意义。
2. 掌握基本函数的求导法则。
【教学内容】1. 介绍微分中值定理的背景和应用。
2. 复习基本函数的求导法则，包括幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的求导。
【教学活动】1. 教师讲解微分中值定理的概念和意义，引导学生理解其重要性。
2. 学生自主学习基本函数的求导法则，并进行练习。
教案章节二：罗尔定理【教学目标】1. 理解罗尔定理的表述和证明。
2. 掌握罗尔定理在实际问题中的应用。
【教学内容】1. 介绍罗尔定理的表述和证明方法。
2. 通过例题讲解罗尔定理在实际问题中的应用。
【教学活动】1. 教师讲解罗尔定理的表述和证明，引导学生理解其原理。
2. 学生跟随例题学习罗尔定理的应用，并进行练习。
教案章节三：拉格朗日中值定理【教学目标】1. 理解拉格朗日中值定理的表述和证明。
2. 掌握拉格朗日中值定理在实际问题中的应用。
【教学内容】1. 介绍拉格朗日中值定理的表述和证明方法。
2. 通过例题讲解拉格朗日中值定理在实际问题中的应用。
【教学活动】1. 教师讲解拉格朗日中值定理的表述和证明，引导学生理解其原理。
2. 学生跟随例题学习拉格朗日中值定理的应用，并进行练习。
教案章节四：柯西中值定理【教学目标】1. 理解柯西中值定理的表述和证明。
2. 掌握柯西中值定理在实际问题中的应用。
【教学内容】1. 介绍柯西中值定理的表述和证明方法。
2. 通过例题讲解柯西中值定理在实际问题中的应用。
【教学活动】1. 教师讲解柯西中值定理的表述和证明，引导学生理解其原理。
2. 学生跟随例题学习柯西中值定理的应用，并进行练习。
教案章节五：微分中值定理的应用【教学目标】1. 理解微分中值定理在实际问题中的应用。
2. 掌握利用微分中值定理解决实际问题的方法。
【教学内容】1. 介绍微分中值定理在实际问题中的应用，如求函数的单调区间、极值和最值等。
2. 通过例题讲解如何利用微分中值定理解决实际问题。
微分中值定理教案
微分中值定理教案教案章节：一、微分中值定理的引入教学目标：1. 理解微分中值定理的概念和意义。
2. 掌握微分中值定理的证明方法。
教学内容：1. 引入微分中值定理的背景和动机。
2. 介绍微分中值定理的表述和符号表示。
3. 解释微分中值定理的含义和作用。
教学步骤：1. 引入微分中值定理的概念，通过实例和问题引出定理的需要。
2. 讲解微分中值定理的表述，解释定理中的关键词和符号。
3. 演示微分中值定理的证明过程，引导学生理解和掌握定理的证明方法。
教学评估：1. 提问学生对微分中值定理的理解和掌握情况。
2. 让学生尝试解释微分中值定理的含义和作用。
二、罗尔定理教学目标：1. 理解罗尔定理的概念和意义。
2. 掌握罗尔定理的证明方法。
教学内容：1. 引入罗尔定理的背景和动机。
2. 介绍罗尔定理的表述和符号表示。
3. 解释罗尔定理的含义和作用。
教学步骤：1. 引入罗尔定理的概念，通过实例和问题引出定理的需要。
2. 讲解罗尔定理的表述，解释定理中的关键词和符号。
3. 演示罗尔定理的证明过程，引导学生理解和掌握定理的证明方法。
教学评估：1. 提问学生对罗尔定理的理解和掌握情况。
2. 让学生尝试解释罗尔定理的含义和作用。
三、拉格朗日中值定理教学目标：1. 理解拉格朗日中值定理的概念和意义。
2. 掌握拉格朗日中值定理的证明方法。
教学内容：1. 引入拉格朗日中值定理的背景和动机。
2. 介绍拉格朗日中值定理的表述和符号表示。
3. 解释拉格朗日中值定理的含义和作用。
教学步骤：1. 引入拉格朗日中值定理的概念，通过实例和问题引出定理的需要。
2. 讲解拉格朗日中值定理的表述，解释定理中的关键词和符号。
3. 演示拉格朗日中值定理的证明过程，引导学生理解和掌握定理的证明方法。
教学评估：1. 提问学生对拉格朗日中值定理的理解和掌握情况。
2. 让学生尝试解释拉格朗日中值定理的含义和作用。
四、柯西中值定理教学目标：1. 理解柯西中值定理的概念和意义。
微分中值定理教案
微分中值定理【教学内容】 拉格朗日中值定理 【教学目的】1、熟练掌握中值定理，特别是拉格朗日中值定理的分析意义和几何意义；2、能应用拉格朗日中值定理证明不等式。
3、了解拉格朗日中值定理的推论1和推论2 【教学重点与难点】1、拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理的应用2、拉格朗日中值定理证明中辅助函数的引入。
3、利用导数证明不等式的技巧。
【教学过程】一、背景及回顾在前面，我们引进了导数的概念，详细地讨论了计算导数的方法。
这样一来，类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决。
但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题，那么，只知道怎样计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具。
另一方面，我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的函数；（2）导数只是反映函数在一点的局部特征；（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，需要在导数及函数间建立起联系――搭起一座桥，这个“桥”就是微分中值定理。
由此我们学习了极值点的概念、费马定理、特别是罗尔定理，我们简单回忆一下罗尔定理的内容：若函数)(x f 满足下列条件： ①在闭区间[]b a ,连续 ②在开区间()b a ,可导③)()(b f a f =则在()b a ,内至少存在一点c ，使得0)('=c f二、新课讲解1797年，法国著名的数学家拉格朗日又给出一个微分中值定理，史称拉格朗日中值定理或微分中值定理，但未证明.拉格朗日中值定理具有根本的重要性，在分析中是许多定理赖以证明的工具，是导数若干个应用的理论基础， 我们首先看一下拉格朗日中值定理的内容：2.1拉格朗日定理若函数)(x f 满足下列条件： ①在闭区间[]b a ,连续 ②在开区间()b a ,可导则在开区间()b a ,内至少存在一点c ，使 ()()ab a f b fc f --=)('注：a 、深刻认识定理，是两个条件，而罗尔定理是三个条件。
b 、若加上)()(b f a f =，则()()00)('=-=--=ab a b a f b fc f 即：0)('=c f ，拉格朗日定理变为罗尔定理，换句话说罗尔定理是拉格朗日定理的特例。
数学《微分中值定理及其应用》讲义
第六章微分中值定理及其应用1. 教学框架与内容教学目标①掌握罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，会用导数判别函数的单调性．②了解柯西中值定理，掌握用洛必达法则求不定式极限．③理解带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式．④掌握函数的极值与最大(小)值的概念．⑤掌握函数的凸性与拐点的概念，应用函数的凸性证明不等式．⑥掌握函数图象的大致描绘．教学内容①罗尔中值定理；拉格朗日中值定理；用导数判别函数的单调性.②柯西中值定理；洛必达法则求各种不定式极限．③带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式及其在近似计算中的应用．④函数的极值的第一、二充分条件; 求闭区间上连续函数的最值及其应用．⑤函数的凸性与拐点的概念，应用函数的凸性证明不等式; 左、右导数的存在与连续的关系.⑥根据函数的性态表以及函数的单调区间、凸区间，大致描绘直角坐标系下显式函数图象.2. 重点和难点①中值定理证明中辅助函数的构造.②洛必达法则定理的证明.③带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式的证明.④函数的极值的第三充分条件.⑤运用詹森不等式证明或构造不等式.⑥参数形式的函数图象.3. 研究性学习选题● 如何运用中值定理对一些习题整理归类，思考中值定理的应用技巧(构造函数).● 利用导数证明不等式总结利用导数证明不等式的方法.● 不定式极限回顾总结求函数极限的方法.● 运用泰勒公式求极限，等价无穷小的代换问题.总结常见函数的泰勒公式,举例说明其在求不定式极限中的应用, 分析等价无穷小的代换问题.● 凸函数性质研究总结凸函数的性质.4. 综合性选题，写小论文★如何构造辅助函数.5. 评价方法◎课后作业，计30分.◎研究性学习布置的五个选题(选最好的两个计分)合计30分.◎小论文计10分.◎小测验计30分§1 中值定理和函数的单调性在这一章，我们主要由导函数f '的性质来推断函数f 本身的性质(主要研究f 的单调性，凸凹性，图像等) 而微分中值定理是我们研究的主要工具(微分中值定理主要包括Rolle 中值定理，Lagrange 中值定理，Cauchy 中值定理及Taylor 公式) 我们首先介绍Rolle 中值定理. 一、中值定理 1．Rolle 中值定理定理 (Rolle ) 设函数f 满足下列条件: 1) f 在闭区间[,]a b 上连续; 2) f 在开区间(,)a b 上可导; 3) ()()f a f b =,则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=.Rolle 中值定理的几何意义：在每一点都可导的连续曲线上，如果两端点的高度相同，则该曲线至少存在一条水平切线.注1 Rolle 定理的条件仅充分而不必要且缺一不可. (作图说明)例1 证明: 10x x ++=3只有一个实根且在(1,0)-中. 2．Lagrange 中值定理定理 (Lagrange ) 设函数f 满足下列条件：1) f 在闭区间[,]a b 上连续; 2) f 在开区间(,)a b 上可导, 则在(,)a b 内至少∃一点ξ，使得()()()f b f a f b aξ-'=-.几何意义 在满足定理条件的曲线()y f x =至少存在一点(())P f ξξ，, 使得 曲线在该点处的切线平行于曲线端点的连线.注 2 中值点(,)a b ξ∈对ξ的不同表示有不同形式的Lagrange 公式a) ()()()()f b f a f b a ζ'-=-, (,)a b ξ∈; b) ()()(())()f b f a f a b a b a θ'-+--＝, 01θ<<; c) ()()()f a h f a f a h h θ'+-=+, 01θ<<.推论1 若函数f 在区间I 上可导，且()0f x '≡，x I ∈, 则f 在I 上恒为常数.推论 2 设f ,g 在区间I 上均可导, 且()()f x g x ''≡, x I ∈则存在常数c , 使得()()f x g x c =+，x I ∈.推论3 设f 在区间I 上可导，且()f x M '≤，则任何12x x I ∈，,1212()()f x f x M x x -≤-从而导函数有界的函数必一致连续 (Lipschitz 连续).推论4 (导数极限定理) 设f 在0x 点某邻域0()U x ＋内连续，在00()U x ＋内可导， 且极限00lim ()(0)x x f x f x +→''=+存在，则f 在0x 右可导，且 000()lim ()(0)x x f x f x f x ++→'''+＝＝对左导数有类似的结论，事实上，我们有下面的定理.定理 设函数f 在0x 的某邻域0()U x 内连续，在0()U x ︒可导，若极限0lim ()x x f x →'存在，则0()f x '存在且00()lim ()x x f x f x →''=.注 3 由导数极限定理与导数具有介值性(Darboux 定理)知, 若函数f 在区间I 上可导，则在区间I 上的每一点，要么是()f x '的连续点，要么是'f 的第二间断点，即导函数不可能有第一类间断点.推论5 若f 在[,]a b 上可导，且f '单调，则f '必连续. (导数极限定理适用于求分段函数的导数) 例2 求分段函数()f x 的导数. [说明定理的作用]sin ,()ln(1),x x x f x x x ≤⎧+=⎨>+⎩２0,0,注4 对推论5，当0(0)f x '+不存在时，未必有0()f x '不存在.例3 设sin , () 0,x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩２１0,0,求(00)f '+，(0)f '.3. Cauchy 中值定理定理 (Cauchy ) 设函数f 和g 满足1) 在[,]a b 上连续; 2) 在(,)a b 上可导; 3) ()f x '和()g x '不同时为零; 4) ()()g a g b ≠,则存在(,)a b ξ∈，使得()()()()()()f f b f ag g b g a ξξ'-='- 几何意义证明 (先给一个错误证明)(如何构造函数?)一般的中值定理 设f ,g [,]a b R →连续且(,)a b 内可导，则存在(,)a b ξ∈, 使得[()()]()()[()()]f b f a g f g b g a ξξ''-=-.注5 上式不过是Cauchy 定理形式上的变形，但条件更简单，因而更具一般性. 例 4 考察2()f x x =，3()g x x =，[1,1]x ∈-相应的中值形式.二、中值定理的应用1. 证明中值点的存在--------关键构造函数例5 1) 设f 在闭区间[,]a b (0)a >上连续,(,)a b 内可导, 则存在(,)a b ξ∈, 使得()()ln()()bf b f a f aξξ'-=⋅⋅.2) 对函数()f x x =２确定()()()f x h f x h f x h θ'+-=⋅+中的θ, 1()2θ=.例6 设函数f 在闭区间[,]a b 上连续，(,)a b 上可导, 且()()0f a f b ==，试证明:存在(,)a b ξ∈使()()0f f ξξ' +=. (多种变形)2. 证明恒等式 (原理: 证明其导数为0，再任取一特殊值) 例7 证明: 对任何x R ∈，arctan arccot x x π+=2.例8 设f ,g 可导且()f x ≠0，又()()0()'()f xg x f x g x='，则存在常数c , 使得()()g x c f x =⋅. (若条件改作()()()()0f x g x f x g x ''+=，则结论应为?)例9 设函数f 对任何,x h R ∈，2()()f x h f x Mh +-≤，0M >为常数，则f 为常值函数.3. 证明不等式 (利用中值定理，估计中值或(0,1)θ∈) 例10 证明0h >时，2arctan 1hh h h <<+例11 (Bernoulli 不等式) 对1x >-有 1) (1)1p x px +≥+，若0p ≤或1p ≥; 2) (1)1p x px +≥+，若0p ≤≤1; 等号当且仅当0p =或1p =或0x =成立.4. 证明方程根的存在性 [注意利用连续函数介值性与导数中值定理的区别] 例12 证明: 方程sin cos 0x x x +⋅=在(0,)π内有实根.例13 证明: 方程32432+ax bx cx a b c ++=+在(0,1)内有实根.5. 研究函数的单调定理 设f 在区间I 上可导，则f 在I 上递增(减)⇔()()00f x x '≥≤，x I ∈.定理 设f 在(,)a b 上可导，则f 在(,)a b 内单调严格递增(减)⇔ 1) (,)x a b ∀∈，()()00f x '≥≤2) f 在(,)a b 的任何区间上()0f x '≡推论 6 若f 在区间I 上可导, ()()00f x '><，则f 在I 上严格递增(减)推论 7 若f 在区间I 上可导，则f 在f '的相邻零点之间必严格单调. (说明多项式函数必有有限个单调区间)例14 设()f x x x =-３，求f 的单调区间.例15 证明: 1) 1x x >+e ，()0x ≠;2) ()()22ln 1221x x x x x x -<+<-+. 0x >.例16 利用函数单调性，重证Bernoulli 不等式(利用()f x '')例17 证明: 0x >时，sin x x x >-33!.练习 1) x >１2时，2ln(1)arctan 1x x +>-.2) tan (0)sin 2x x x x x π<<<.习 题1. 用中值定理证明sin sin x y x y -≤-，,x y R ∀∈.2. 若f 在[,]a b 上可导，且'()f x m ≥，则()()()f x f a m x a ≥+- [,]x a b ∀∈3. 证明：函数()f x 在1(0,)π上存在ξ，使得'()0f ξ=，其中11sin 0()0x x f x xx π⎧⋅<≤⎪=⎨⎪=⎩4. 求函数2()3f x x x =-的单调区间.5. 证明: 若函数g f ,在区间],[b a 上可导,且)()(),()(a g a f x g x f ='>', 则在],(b a 内有)()(x g x f >.6. 应用函数的单调性证明下列不等式:1) )3,0(,3tan 3π∈->x x x x ;2)2sin xx x π<< (0,)2x π∈.3) 0,)1(2)1ln(222>+-<+<-x x x x x x x . 7. 设f 在[,]a b 上二阶可导，且()()0f a f b ==，且存在点(,)c a b ∈使得()0f c >， 证明: 至少存在一点(,)a b ξ∈使得"()0f ξ<.8. 设f 在[,]a b 上n 阶可导，若f 在[,]a b 上有1n +个零点，求证：()n f 在[,]a b 上 至少有一个零点.9. 试问函数32)(,)(x x g x x f ==在区间]1,1[-上能否应用Cauchy 中值定理得到 相应的结论, 为什么?10. 设函数f 在点a 处具有连续的二阶导数, 证明: )()(2)()(lim2a f ha f h a f h a f h ''=--++→. 11. 设函数f 在点a 的某个领域具有二阶导数, 证明: 对充分小的h ，存在θ，10<<θ，使得2)()()(2)()(2h a f h a f h a f h a f h a f θθ-''++''=--++. 12. 若f 在[,]a b 上可微，则存在(,)a b ξ∈, 使得22'2[()()]()()f b f a b a f ξξ-=-.13. 设f 在[,]a b 上连续, (,)a b 上可导,且()()0f a f b ==,证明:对任何R λ∈, 存在c R ∈,使得 '()()f c f c λ=.14. 设f 在R 上可导,且x R ∀∈,'()1f x ≠, 证明: 方程()f x x =至多有一个根. 15． 设)(x p 为多项式, a 为0)(=x p 的r 重实根. 证明: a 必定是函数)(x p '的1-r 重实根.16． 设0,>b a .证明方程b ax x ++3=0不存在正根. 17． 证明:x x x x sin tan >,)2,0(π∈x .§2 未定型极限未定型(不定式)00 ∞∞(∞⋅∞∞-∞∞000，，0，1，等) 以导数为工具研究上述未定型极限，该方法称为'L Hospital 法则一、0型未定型极限定理 ('L Hospital ) 若函数f 和g 满足1) 0lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==; 2) 在0x 的某去心邻域0()U x ︒都可导且()g x '≠0;3) 0()lim()x x f x A g x →'='()A R A ∈=±∞∞，，,则 00()()limlim ()()x x x x f x f x A g x g x →→'=='. 例1 1) 0sin lim x xx→ 2) 132lim 1x x x x x x →-+--+33２3) lim (arctan )x x x π→+∞-2 4) 21cos lim cos tan x xx xπ→++5) 0lim x +→ 6) 012limln(1)xx e x x →-++１2２()7) 20ln(1sin 4)lim arcsin x x x x →++() 8) 02lim sin x x x e e x x x-→---注1 1) 在定理中，0x x →可改作0x x x x →→±∞→∞+，，等2) 若f g ''，或f g ''''，满足定理条件，可多次应用L 法则 3) 'L Hospital 条件仅是充分的，而不必要，即()lim()x x f x g x →''不存在0()lim ()x x f x g x →⇒不存在.例2 1) cos lim x x x x →∞+ 2) 0sinlim sin x x x x →⋅２１二、∞∞型未定型极限 定理 ('L Hospital ) 若函数f 和g 满足 1) 0lim ()() (lim ())x x x x g x f x →→=+∞-∞未必为无穷;2) 若0x 的某右去心邻域0()U x ︒内f ，g 都可导且()g x '≠0;3) 0()lim()x x f x A g x →'='()A A =±∞∞可看作实数或，, 则 00()()limlim ()()x x x x f x f x A g x g x →→'=='. 例3 1) ln lim x xx→+∞ 2) lim x x x e →+∞３----------回顾阶的比较3) 0ln(sin )limln(sin )x ax bx → 4) 2tan lim tan 3x xx π→三、其他未定型极限 1. 0⋅∞型 000∞⋅∞==∞ 例4 1) 0lim ln x x x +→ 2) 01limcot ln 1x xx x→+⋅-.2．∞-∞型 110000∞-∞=-= 例5 1) 011lim()sin x x x →- 2) 11lim()-1ln x x x x→-.3. 00型 0ln 00ln 000ee e ⋅⋅∞===例6 1) 0lim xx x +→ 2) 1ln 0lim sin kxx x ++→.4．1∞型ln1ln101ee e ∞∞∞⋅∞⋅===例7 1) 111lim xx x -→ 2) ()21lim cos x x x →.5: 0∞型ln 0ln 0ee e ∞⋅∞⋅∞∞===.例8 1) ln lim ()xx x →+∞１ 2) ln 0lim(cot )xx x +→１.练习 P 133 5.例9 设()()0x g x f x xx ≠⎧⎪=⎨⎪=⎩00, 已知(0)(0)0g g '==，(0)g ''=3，试求(0)f '.例10 证明2()x f x x e -=3为R 上的有界函数.习 题1. 求下列未定型极限1) 01lim sin x x e x →- 2) 612sin lim cos3x xx π→-3) 0ln(1)lim1cos x x x x →+-- 4) 0tan lim sin x x xx x→--5) 011lim()1x x x e →-- 6) 111lim xx x -→7) sin 0lim(tan )x x x → 8) 22011lim()sin x x x→- 2. 考虑下列极限应用'L Hospital 法则的可能性.1) lim x →+∞ 2) sin lim sin x x xx x →∞-+3. 计算1) 0ln(1)lim ln(1)x x x x x →-++ 2) 211000lim x x e x -→3) 30tan sin limx x x x →- 4) 201cot lim x x xx →⎛⎫- ⎪⎝⎭ 5) ln lim(ln )xx x x x →+∞ 6) 10(1)lim xx x e x→+-7) 20()lim x x x a x a x →+- 8) 10lim()x xx x e →+9) 1110lim (,,0)xx xnn x a a a a n →⎛⎫++> ⎪⎝⎭4. 教材1337P .5. 证明: 2()ln(1)/f x x x =+在(1,)+∞上有界.§3 Taylor 公式多项式函数是一种简单的函数，因而对任一函数，我们考察是否存在相应的多项式去逼近该函数. 在讨论这个问题之前，我们还是应先讨论一下多项式函数本身的性质.设012()...()n n n P x a a x a x a x a ++++≠２ｎ＝0, 易见0(0)n a P =，1(0)n a P '=，……，()(0)!n nn P a n ＝自然对于一般的函数f , 假设它在0x 处有直到n 阶的导数，由这些导数构成了一个新的多项式，记为：()00000()()()()()()!n n n f x T x f x f x x x x x n '= +- +...+-此时n T 与f 有何类的性质？00()()k k n T x f x =()() k n ≤≤(0)因而我们说()n T x 与f 在某种意义下“很接近” , 称()n T x 为f 在0x 处的Taylor多项式,而()n T x 的系数()0()!k f x k 称为Taylor 系数，记()()()n n R x f x T x =-称为余项. 我们将证明0()n n R x x x =-o(())，这实际就是带Peano 余项的Taylor 展式.一、带Peano 余项的Taylor 公式——误差的定性刻画定理 若函数f 在0x 处存在直至n 阶导数，则有0()()n n f x T x x x =+-o(())即()200000000()()()()()()()()!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n '''=+-+-++-+-...o(())2!.上述公式我们就称为f 在0x 处的Taylor 公式, ()()()n n R x f x T x =-称为Taylor 公式的余项，形如0n o x x -(())的余项称为带Peano 余项的Taylor 公式.注 1 00x =时，称()2(0)(0)()(0)(0)!n nn f f f x f f x x x x n '''=+++++...o()2!为带Peano 余项的Maclaurin 公式. 例1 验证下列Maclaurin 公式.1) 1!nxn x x e x o x n =+++++２...()2!2) ()11sin 1 (1)(1)!m m m x x x x o x m --=-+++-+-35223!5!2 3) 1cos 1...(1)(2)!m m m x x x x o x m +=-+++-+２４22()2!4! 4) 1ln(1)1...(1)nn n x x x x o x n-+=-+++-+２３()23 5)11n n x x x o x x=+++++-２1...() 6) (1)(1)1(1)1!n n n x x x x o x n ααααααα--⋅⋅⋅-++=+++++２()...()2!1(1)(23)!!1(2)!!n nn n x x x o x n ---=+++++２11!!...()24!! 二、带Lagrange 型余项的Taylor 公式——误差的定量刻画定理 若函数f 在[,]a b 上存在直到n 阶的连续导函数，在(,)a b 内存在1n +阶导函数，则对任何0[,]x x a b ∈，至少存在一点(,)a b ξ∈使得()20000000()()()()()()()()!n nf x f x f x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-...2!(1)10()()(1)!n n f x x n ξ+++-+称为Lagrange 型余项，故上式又称为带有Lagrange 型余项的Taylor 公式，而00x =时，()(1)21(0)(0)()()(0)(0)!(1)!n n n n f f f x f x f f x x x x n n θ++'''=++++++...2! (0,1)θ∈ 称为(带Lagrange 型余项的) Maclaurin 公式. 例 2 将例1中的公式改为带Lagrange 型余项的Maclaurin 公式1) 11!1n xxn x x e e x x n n θ+=++++++２...2!()!, 01θ<<，(,)x ∈-∞+∞ 2) 1121cos sin 1...(1)(1)(1)!(21)!m m m m x x x x x xm m θ--+=-+++-+--+3523!5!2 01θ<<，(,)x ∈-∞+∞3) 122cos cos 1...(1)(1)(2)!(22)!mm m m x x x x x x m m θ++=-+++-+-+２４22!4! 01θ<<，(,)x ∈-∞+∞4) 111ln(1)1...(1)(1)(1)(1)nn n nn x x x x x n n x θ+-++=-+++-+-++２３23 01θ<<，(,)x ∈-∞+∞5) 1111(1)n nn x x x x x x θ++=+++++--２1... 01θ<<，(,)x ∈-∞+∞ 6) (1)(1)1(1)1!n n x x x x n ααααααα--⋅⋅⋅-++=++++２()...2!11(1)(1)(1)!n n n x x n ααααθ--+-⋅⋅⋅-+++()01θ<<，(,)x ∈-∞+∞三、函数的Taylor 公式(Maclaurin 公式) 1. 直接展开(例1,例2)例3 将tan y x =展到含5x 的具Peano 余项的Maclaurin 公式2. 间接展开 利用已知的展开式施行代数运算或变量代换,求得新的展开式. 例4 1) 分别求2sin x ，22x e -具Peano 余项的Maclaurin 展式;2) 求2cos x 的具Peano 余项的Maclaurin 展式; 3) 求35x+1在0x =处具Peano 余项的Maclaurin 展式;4) 分别求23x x --21在0x =处具Peano 余项的Maclaurin 展式;在1x =处具Peano 余项的Taylor 展式;5) 求2x x -２1+3在1x =处具Peano 余项的Taylor 展式.四．Taylor 公式的应用举例 1. 利用Taylor 公式求极限例5 1) 2240cos lim x x x e x -→-.2) 02lim x x x a a x-→+-２.3) 21lim[ln(1)]x x x x →∞-+.2. 利用Taylor 公式求高阶导数值例6 设22()x f x e -=，求98(0)f ，99(0)f .3. 计算函数的近似值例7 证明: e 为无理数，并求e 精确到610-的近似值.4. 利用展式证明不等式例8 若函数f 在区间[,]a b 上恒有()0f x ''≥，则对(,)a b 内任何两点12,x x 都有1212()()()2f x f x x xf ++≥2例9 设函数f 在[,]a b 上二阶可导，()()0f a f b ''==，证明: 存在一点(,)a b ξ∈使得 2()()()()f f b f a b a ξ''≥--4.例10 当[0,2]x ∈时，() ()f x f x ''≤≤1，1, 证明: |'()| 2.f x ≤5. 中值点的存在性及其性质例11 设f 在[,]a b 上三阶可导，证明: 存在(,)a b ξ∈, 使得3()()()[()()]()()2f b f a b a f a f b b a f ξ'''''=+-+--１１12例12 证明：若函数f 在点a 处二阶可导，且()f a ''≠0，则对Lagrange 公式()()()f a h f a f a h h θ'+-=+⋅ 01θ<<中的θ，有0lim h θ→=12.练习 证明：若0x >，则存在11()[,]42x θ∈, 使得=;2. 01lim ()4x x θ→=，1lim ()2x x θ→+∞=.习 题一、给出下列函数带Peano 型余项的Maclaurin 公式.1. ()f x =2. arctan x 到含5x 的项3.()tan f x x =到含5x 的项4. 2()sin f x x =5. ln(2)x +6. ln(1)x e x +到3x 的项 二、利用Taylor 公式求下列函数极限1. 30sin (1)lim x x e x x x x →-+2. 201cot lim x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭ 3. 21lim[ln(1)]x x x x→∞-+4. 20lim sin x x e x x x →+-5. 74lim x x →+∞三、求下列函数在指定点处的带Lagrange 型余项的Taylor 公式 1. ln(1)x +在1x =处 2.2123x x --在2x =处 3.sin x 在4x π=处四、求下列极限1. 12ln(1)1lim(1)x x x --→- 2. 20ln(1)lim x x xe x x→-+ 3. 201sinlimsin x x x x→⋅ 4. sin lim sin x x x x x →+∞-+ 五、设函数f 在[0,]a 上具有二阶导数,且"()f x M ≤,f 在(0,)a 内取最大值,求证 ''(0)()f f a Ma +≤. 六、设f 在[,]a b 上二阶可导, ''()()0f a f b ==. 证明:'2[,]4sup ()()()()x a b f x f b f a b a ∈≥--.§4 函数的极值与最值一、极值判别1.可微极值的必要条件----Fermat 定理定理 (Fermat ) 若f 在0x 可导，且0x 为f 的极值点，则0()0f x '=. (可导的极值点必为驻点) . 可疑极值点: 驻点，不可导点. 2. 极值点的充分条件定理 (极值的第一充分条件) 设f 在0x 连续，在其去心邻域0(,)U x δ︒内可导 若 1) 当00(,)x x x δ∈-，()f x '≤0，而00(,)x x x δ∈+时，()f x '≥0; 2) 当00(,)x x x δ∈-，()f x '≥0，而00(,)x x x δ∈+时，()f x '≤0; [1)，2)说明f '在0x 两侧异号时] 则f 在0x 处取得极值. 若f '在0x 两侧不异号时，则f 在0x 处不能取得极值. 注 在上述定理条件中未假设f 在0x 处可导.⎡⎤⎣⎦分析引入第二充分条件 当f 在0x 不仅可导而且是二阶可导时，我们有 定理 (极值的第二充分条件) 设f 在0x 的某邻域0U x δ(,)内一阶可导，在0x x = 处二阶可导，且00()0,()f x f x '''=≠0, 则 1) 若0()0f x ''<，则f 在0x 处取得极大值; 2) 若0()0f x ''>，则f 在0x 处取得极小值.[()]f x x =2利用去记忆例1 求()(2f x x =-的极值点与极值.例2 求()f x x x=+２432的极值与极值点.第二充分条件中0()0f x '=，0()f x ''≠0，若0()f x ''还等于0怎么办? 则我们可考察更高阶导数，一般地, 我们有定理 (极值的第三充分条件) 设f 在0x 的某邻域内存在直到1n -阶导数，而在0x 处存在n 阶导数(n 阶可导) 且0()0k f x =，1,2,...,1k n =-, ()0()0n f x ≠, 则1) 当n 为奇数时，f 在0x 不能取得极值;2) 当n 为偶数时，f 在0x 处取得极值且当()0()0n f x <时，取得极大值; 而()0()0n f x >时, 取得极小值. 例3 求3()(1)f x x x =-4的极值.注 上述三个定理均为极值的充分条件，而非必要.例4 1) ,,()0,0,x x e f x x -⎧≠⎪=⎨=⎪⎩2１0在0x =处取得极小值，而()(0)0n f = ()n N ∀∈.2) 2,sin ,(),,x x f x xx ⎧≠⋅⎪=⎨=⎪⎩4１000在0x =处取得极小值，考察f 在0x =是否满足第一第二充分条件.二、函数的最值最值与极值的区别与联系，整体与局部，最值点(,)a b ∈，则最值点必为相应的极值点，所以可能的最值点为端点，极值点，进一步设f 在闭区间[,]a b 上连续，且仅有有限个可疑极值点12,(,)n x x x a b ∈,..., 则 {}1[,]max ()max (),(),(),...,()n x a b f x f a f b f x f x ∈=;{}1[,]min ()min (),(),(),...,()n x a b f x f a f b f x f x ∈=.注 1) 由最值性定理，闭区间上的连续函数必有最大最小值.2) 上述结论中可疑点为导数不存在及导数为0的点，而无需判断 它们是否真的是极值点.例5 ()2912f x x x x =-+32在闭区间15[,]42-上的最大值与最小值.函数最值的几种特例 1) 单调函数的最值;2) 如果函数f 在区间[,]a b 上连续，且仅有唯一的极值点. 则若0x 是f 的 极大(小) 值点，则0x 必是()f x 在[,]a b 上的最大(小) 值点. (反证) 3) 如果函数f 在区间[,]a b 上可导，且仅有一个驻点0x ，则结论与2)同. 4) 对某具有实际意义的函数，可常用实际判断确定函数的最大(小)值.例6 设,A B两村距输电线分别为1km，1.5km，CD长为3km，现两村合用一变压器供电，问变压器设在何处使输电线总长AE BE最短.例7 如图所示，剪去正方形四角同样大小的正方形后制成一个无盖盒子，问剪去小方块的边长为何值时使盒子的容积最大？例8 [无盖水箱的例子]习 题1. 求下列函数的极值:1) 212)(x x x f +=; 2) )1ln(21arctan )(2x x x f +-= 2. 求函数543551y x x x =-++在[1,2]-上的最值与极值.3. 求函数242(1)()1x x f x x x +=-+的极值.4． 设421sin ,0,()0,0,x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 1) 证明:0=x 是极小值点;2) 说明f 的极小值0=x 处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件. 5． 设)(x f 在区间I 上连续,并且在I 上仅有唯一的极限值0x , 证明: 若0x 是f 的 极大(小)值点, 则0x 必是)(x f 在I 上的最大(小)值点.6．有一个无盖的圆柱形容器,当给定体积为V 时,要使容器的表面积为最小, 问底的半径与容器高的比例应该怎样?§5 函数的凸性, 拐点, Jensen 不等式一、凸性定义及判定 1. 凸函数定义(由直观引入，强调曲线弯曲方向与上升方向以2y x =，y =) 定义 设f 为定义在区间I 上的函数，若对I 上的任意两点,x x １2和任意实数(0,1)λ∈，总有22((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-11,则称f 为I 上的凸函数. 反之若总有22((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≥+-11,则称f 为I 上的凹函数. 如果上两式中的不等式均为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数. 易见f 为I 上的凸函数⇔f -为I 上的凹函数 几何意义(凸函数) 曲线上任两点的连线(线段) 总在区间的上方. (引出割线斜率) 2. 凸函数性质与判定引理 f 为区间I 上的凸函数⇔对I 上任意三点123x x x <<总有32212132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤--注 同理可证 f 为I 上的凸函数⇔对区间I 上任意三点123x x x <<有313221213132()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x ---≤≤---割线的极限 → 切线↓ ↓割线斜率递增 → 切线斜率应该为递增定理 设f 为区间I 上的可导函数，则下列命题等价 1) f 为I 上的凸函数(严格凸函数); 2) f '为I 上的增函数(严格增函数);3) 对I 上的任两点12,x x ，有21121()()()()f x f x f x x x '≥+-，12,x x I ∈,(21121()()()()f x f x f x x x '>+-, 12,x x I ∈, 12x x ≠) .注 由定理可见凸函数的几何意义1) 曲线上任两点的割线在曲线的上方(定义) ; 2) 切线的斜率(割线的斜率) 递增; 3) 曲线在其上任一点处切线的上方.推论 1) 设f 为I 上的二阶可导函数，则f 为凸函数⇔()0f x ''≥(x I ∈) ;2) ()0f x ''≥且在I 的任何子区间上f f ''≡⇔0在I 上严格凸; 3) ()0f x ''>则f 在I 上严格凸.注 f ''的符号确定函数f 的凸凹性，f '的符号确定单调性例1 讨论函数()f x =()arctan g x x =的凸凹性。
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分类号UDC 单位代码密级公开学号 2006040223四川文理学院学士学位论文论文题目：微分中值定理及其应用论文作者：XXX指导教师：XXX学科专业：数学与应用数学提交论文日期：2010年4月20日论文答辩日期：2010年4月28日学位授予单位：四川文理学院中国•达州2010年4月目 录摘要 .......................................................................... Ⅰ ABSTRACT....................................................................... Ⅱ 引言第一章 微分中值定理历史 (1)1.1 引言 (1)1.2 微分中值定理产生的历史 (2)第二章 微分中值定理介绍 (4)2.1 罗尔定理 (4)2.2 拉格朗日中值定理 (4)2.3 柯西中值定理 (6)第三章 微分中值定理应用 (7)3.1 根的存在性的证明 (7)3.2 一些不等式的证明 (8)3.3 求不定式极限 .......................................................... 10 3.3.1 00型不定式极限 .................................................... 10 3.3.2 ∞∞型不定式极限 .................................................... 11 3.4 利用拉格朗日定理讨论函数的单调性 (12)第四章 结论 (14)参考文献 (15)致谢 (16)微分中值定理及其应用学生：XXX 指导老师：XXX摘要微分中值定理是微分学的基本定理之一,在微分学有着重要的地位，其发展经历了几百年．费马作为微积分的创立者,提出了费马定理，罗尔在《方程的解法》中又有了罗尔定理的前身，拉格朗日在《解析函数论》一书中首次提出拉格朗日中值定理，柯西在《微分计算教程》中给出最初的柯西定理．在本论文第二章分别详细的介绍了微分中值定理的三大派别．微分中值定理的应用很广，在很多领域都可以看到其理论知识．在第三章微分中值定理的应用中分别从证明根的存在性问题、证明一些不等式、不定式极限三个方向简要说明其应用，并用一些经典的例题来诠释．关键词：罗尔定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理；根的存在性；不定式极限DIFFERENTIAL MEAN V ALUE THEOREM AND ITSAPPLICATIONstudent: Hu Zhanhong Supervisor: Hu RongABSTRACT Mean Value Theorem is one of the fundamental theorem of differential calculus, the differential calculus plays an important role. Its development through the centuries, Fermat as the founder of calculus proposed Fermat's theorem, Rolle in "Equation Solution" in the former, there has been Rolle's theorem, Lagrange in the "theory of analytic functions" the first time a book Lagrange mean value theorem, Cauchy in the "differential Computer Course" given in the initial Cauchy's theorem. In the second chapter presented a detailed description of the Mean Value Theorem of the three major factions. Mean Value Theorem is very broad, can be seen in many areas of their theoretical knowledge. Chapter III Application of Mean Value Theorem to prove the root, respectively, from the existence of the problem, that some of inequality, a brief description of the infinitive limit its application in three directions, and with some classic examples to explain.Key words:Rolle's theorem，Lagrange theorem，Cauchy mean value theorem，Root of，Infinitive Limit第一章 微分中值定理历史[1]1.1 引言微分中值定理是微分学的基本定理之一,是研究函数的有力工具. 微分中值定理有着明显的几何意义和运动学意义.以拉格朗日(Lagrange)中值定理为例,它的几何意义：一个定义在区间[,]a b 上的可微（注：连续且除端点外处处具有不垂直于x 轴的切线）的曲线弧()f x ,其上至少有一点C ， 使曲线在这一点的切线平行于连接点(,())a f a 与(,())b f b 的割线．它的运动学意义：设f 是质点的运动规律，质点在时间区间[,]a b 上走过的路程()()f b f a - , ()()f b f a b a--代表质点在(,)a b 上的平均速度， 在(,)a b 上至少存在某一时刻ξ，使得质点在ξ的瞬时速度恰好是它的平均速度.人们对微分中值定理的认识可以追溯到公元前古希腊时代.古希腊数学家在几何研究中,得到如下结论:“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”,这正是拉格朗日定理的特殊情况.希腊著名数学家阿基米德(Archimedes)正是巧妙地利用这一结论,求出抛物弓形的面积.意大利卡瓦列里(Cavalieri) 在《不可分量几何学》(1635年) 的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实: 曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦.这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理.人们对微分中值定理的研究,从微积分建立之时就开始了. 1637年,著名法国数学家费马(Fermat) 在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理,在教科书中,人们通常将它称为费马引理.1691年,法国数学家罗尔(Rolle) 在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理.1797年,法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理,并给出最初的证明．对微分中值定理进行系统研究的是法国数学家柯西(Cauchy) ,他是数学分析严格化运动的推动者,他的三部巨著《分析教程》、《无穷小计算教程概论》 (1823年)、《微分计算教程》(1829年)以严格化为其主要目标,对微积分理论进行了重构.他首先赋予中值定理以重要作用,使其成为微分学的核心定理.在《无穷小计算教程概论》中,柯西首先严格地证明了拉格朗日定理,又在《微分计算教程》中将其推广为广义中值定理—柯西定理.从而发现了最后一个微分中值定理.1.2 微分中值定理产生的历史费马作为微积分的创立者,他在研究极大和极小问题的解法时,得到统一的解法“虚拟等式法”,从而得出原始形式的费马定理.所谓的虚拟等式法,费马的“虚拟等式法”基于一种非常直观的想法,如果0()f x 为()f x 的极大值,那么从直观上来看，()f x 在0x 附近值变化很小,当e 很小时0x x =,)(x f 和()f x e +相差很小.用现代语言来说,对于函数()f x ,让自变量从x 变化到e x +,当()f x 为极值时,()f x 和()f x e +的差近似为0,用e 除虚拟等式,()()0f x e f x e +-≈ ,然后让0→e ,就得到函数极值点的导数值为0,这就是费马定理: 函数 ()f x 在0x x =处取极值,并且可导,则()0f x '=. 应该指出: 费马给出以上结论,微积分还处于初创阶段,并没有明确导数,极限连续的概念,用现代眼光来看,其论断也是不严格的.现在看到的费马定理是后人根据微积分理论和费马发现的实质重新给出的.罗尔在论著《方程的解法》给出了“在多项式101100n n n a x a x a x a --+++=L 的两个相邻根中,方程12011(1)0n n n na x n a x a ---+-+=L 至少有一个实根.”这是定理:“()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 上可导,并且()()f a f b =,则必存在一点(,)a b ξ∈,使()0f ξ'=”的特例.也就是以上定理被称为罗尔定理的原因.最初罗尔定理和现代罗尔定理不仅内容有所不同,而且证明也大相径庭,它是罗尔利用纯代数方法加以证明的,和微积分并没有什么联系.现在看到的罗尔定理,是后人根据微积分理论重新证明,并把它推广为一般函数,“罗尔定理”这一名称是由德罗比什在1834年给出,并由意大利数学家贝拉维蒂斯在1846年发表的论文中正式使用的.拉格朗日定理是微分中值定理中最主要的定理．它是指:“()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 上可导,则存在一点(,)a b ξ∈,,使()()()f b f a f b aξ-'=-.”这一定理是拉格朗日在《解析函数论》一书中首先给出的,它最初形式为:“函数()f x 在0x 和x 之间连续, ()f x '的最大值为A ,最小值为B ,则00)()(x x x f x f --必取],[A B 中一个值.” 历史上拉格朗日定理证明有三个,最初的证明是拉格朗日在《解析函数论》中给出的.这个证明很大程度建立在直观基础上,所以并不是严格的. 它依赖于这样一个事实: 当()0f z '>, ()f z 在[,]a b 上单调增加.所用的条件也比现在强,现代中值定理只须()f x 在[,]a b 上可导,而拉格朗日最初的中值定理,却需()f x 在[,]a b 上可导,并存在连续导数.并且所用连续概念,也是直观的,“假设变量连续地变化,那么函数将会产生相应变化,但是如果不经过一切中间值,它就不会从一个值过渡到另一个值.” 十九世纪初,在以柯西等为代表的微积分严格化运动中,人们给出了极限、连续、导数的严格定义,也给拉格朗日中值定理以新的严格证明,柯西在《无穷小计算概论》中证明了：如果()f x '在[,]a b 为连续,则 必有一个[,]a b ξ∈,使00()()()f x f x f x x ξ-'=-现代形式的拉格朗日定理,是由法国数学家博(O.Bonnet) 在其著作《Cours de Calcul Differentiel et integral 》中给出的,他不是利用()f x '的连续性,而是罗尔定理对拉格朗日定理加以重新证明.柯西定理被认为是拉格朗日定理的推广.它是指: 设()f x 和()F x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 上可导,并且()0F x '≠,则必有一个值(,)a b ξ∈,使 ()()()()f b f a F b F a --=()()f F ξξ'' 柯西在《微分计算教程》中给出最初的柯西定理: ()f x 和()F x 在[,]a b 上有连续的导数,并且()F x '在[,]a b 上不为零,这时对于某一点[,]a b ξ∈,有 ()()()()f b f a F b F a --=()()f F ξξ'' 柯西的证明与拉格朗日对拉格朗日中值定理很相似.微分中值定理在柯西的微积分理论系统中占有重要的地位.例如他利用微分中值定理给洛必达法则以严格的证明,并研究泰勒公式的余项．从柯西起,微分中值定理就成为研究函数的重要工具和微分学的重要组成部分.第二章 微分中值定理介绍[2]2.1 罗尔定理定理1(罗尔定理) 若函数f 满足下列条件：(1)在闭区间[,]a b 连续；(2)在开区间(,)a b 可导；(3)()()f a f b =，则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ， 使得()0f ξ'=（注：在罗尔定理中，三个条件有一个不成立，定理的结论就可能不成立.）罗尔定理的几何意义是说：在除端点外处处可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端高度相等，则至少存在一条水平切线.证明：因为f 在[,]a b 上连续，所以有最大值和最小值，分别用M 和m 表示，现分两种情况来讨论：(1) 若m M =，则f 在[,]a b 上必为常数，从而结论显然成立.(2) 若m M <，则因()()f a f b =,使得最大值M 和最小值m 至少有一个在(,)a b 内某点ξ处取得，从而ξ是f 的极值点.由条件（2），f 在点ξ处可导，故由费马定理推知()0f ξ'=2.2 拉格朗日中值定理定理2（拉格朗日中值定理）若函数f 满足如下条件：(1)在闭区间[,]a b 连续；(2)在开区间(,)a b 可导，则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()f b f a f b aξ-'=- 显然，特别当()()f a f b =时，本定理的结论即为罗尔中值定理的结论．这表明罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一种特殊情形．证明：作辅助函数()()()()()()f b f a F x f x f a x a b a-=---- 显然，()()0F a F b ==，且F 在[,]a b 上满足罗尔中值定理的另两个条件．故存在(,)a b ξ∈,使()()()()0f b f a F f b aξξ-''=-=- 移项后既得到所要证明的式子． 拉格朗日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线()y f x =上至少存在一点 (,())P f ξξ，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB ．我们在证明中引入的 辅助函数()F x ，正是曲线()y f x =与直线AB （()()()()f b f a y f a x a b a-=+--）之差． 此外，拉格朗日公式还有以下几种等价表示形式，供读者在不同场合适用：()()()()f b f a f b a ξ'-=-， a b ξ<<；()()(())()f b f a f a b a b a θ'-=+--， 01θ<<；()()()f a h f a f a h h θ'+-=+， 01θ<<．值得注意的是：拉格朗日公式无论对于a b <，还是a b >都成立，而ξ则是介于a 与b 之间的某一定数．而后两式的特点，在于把中值点ξ表示成了()a b a θ+-，使得不论,a b 为何值，θ总可为小于1的某一正数．2.3 柯西中值定理定理3（柯西中值定理）设函数f 和g 满足(1)在闭区间[,]a b 上都连续；(2)在开区间(,)a b 内都可导；(3)()f x '和()g x '不同时为0；(4)()()g a g b ≠，则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()()f b f a g b g a --=()()f g ξξ'' 证明：作辅助函数()()()()()(()())f b f a F x f x f a g b g a b a-=---- 易见F 在[,]a b 上满足罗尔中值定理条件，故存在(,)a b ξ∈，使得()()()()()0()()f b f a F fg g b g a ξξξ-'''=-=- 因为()0g ξ'≠（否则由上式()f ξ'也不为零），所以可把上式改写成结论．柯西中值定理的几何意义：把f ，g 这两个函数写作以x 为参量方程()()u g x v f x =⎧⎨=⎩ 在UOV 平面上表示一段曲线，由于()()()()f b f ag b g a --表示连接该曲线两端的弦AB 的斜率，而()()x f dv g du ξξξ='='则表示该曲线上x ξ= 相对应的一点((),())C g f ξξ处的切线的斜率．因此上述切线与弦AB 互相平行．第三章 微分中值定理应用3.1 根的存在性的证明[3]引理 若实函数()y f x =在开区间(,)a b 内可导，且12()()()n f x f x f x ===L ，其中12,,n x x x L 是(,)a b 内n 个互不相同的实数，则方程()0f x '=在(,)a b 内至少有1n -个不同的实根．设12,,n x x x L 已按从小到大的顺序排列，以其作为分点可得1n -个小区间12231[,],[,],,[,]n n x x x x x x -K ，在每个区间上应用罗尔定理即可得到上述结论．定理1 若实函数()y f x =在开区间(,)a b 内有m 阶导数，且12()()()n f x f x f x ===L ，其中12,,n x x x L 是(,)a b 内n 个互不相同的实数，则方程()0mf x =在(,)a b 内至少有n m -个不同的实根．证明：由引理知方程()0f x '=在(,)a b 内至少有1n -个根，不妨设这1n -个根为121,,n ξξξ-L .则121()()()0n f f f ξξξ-'''====L ，由引理可得方程()0f x ''=在(,)a b 内至少有 2n -个根．以此类推，()0mf x =在(,)a b 内至少有n m -个根．推论 若实函数()y f x =在开区间(,)a b 内有m 阶导数，且方程()0mf x =在(,)a b 内只有n 个不同的实根，则方程()0f x =在(,)a b 内至多有n m + 个不同的实根．例1：设,,a b c 为实数，求证方程32432ax bx cx a b c ++=++在(0，1)内至少有一个根． 证明：令432()()f x ax bx cx a b c x =++-++则 (0)(1)0f f ==．易验证()f x 在[0,1]上满足罗尔定理的三个条件，从而 存在(0,1)ξ∈，使得()0f ξ'=．即 32432ax bx cx a b c ++=++.例2：设()f x 在[0，1]上可导，且0()1f x <<，又对于(0，1)内的所有点x 有1)(-≠'x f 证明方程()10f x x +-=在(0，1)内有唯一的实根． 证明：先证存在性令()()1p x f x x =+-则()p x 在[0，1]上可导．因为0()1f x <<，所以(0)(0)10p f =-<， (1)(1)0p f => 由中值定理知()p x 在(0，1)内至少有一个零点 即方程()10f x x +-=在(0，1)内至少有一个实根． 再证唯一性用反证法，设方程()10f x x +-=在(0，1)内有两个实根12,x x ，不妨设0()1f x <<，有11()1f x x =-，22()1f x x =-．对()f x 在12[,]x x 上由拉格朗日中值定理，有12(,)x x ξ∈使21212121()()1(1)()1f x f x x x f x x x x ξ----'===---这与假设1)(-≠'x f 矛盾，唯一性得证．3.2 一些不等式的证明应用微分中值定理(含Taylor 公式)及其导出的结论证明不等式内容十分丰富， 在此仅举几例．例1[5]：设12,,n a a a L≤12na a a n+++L其中等号成立12n a a a ⇔===L证明：取函数()ln xf x =，它的定义域是区间(0，+∞)故1()f x x '=，21)(xx f -='' 不妨设1a ≤2a ≤L ≤n a令120...na a a a n+++=或120...0n a a a na +++-=有1a ≤0a ≤n a将函数()ln x f x =在0a 展开泰勒公式（到二阶导数）∀0x >有020020111ln ln ()()()2!a x x a x a a ξ=+-+-- 其中ξ于0a 与x 之间，显然20211()()2!x a ξ--≤0 于是，∀ 0x >有0001ln ln ()ax x a a =+- 当12,,(0,)n x a a a =∈+∞L 时，分别有1ln a ≤01001ln ()a a a a +- 2ln a ≤02001ln ()a a a a +- ……………………………………ln n a≤0001ln ()an a a a +- 将上述n 个不等式两端分别相加，有：12ln ln ln n a a a +++L ≤()012001ln ...a n n a a a na a ++++- 0ln a n =即： ()12...1ln n a a a n⋅≤12()ln n a a a n +++⎛⎫⎪⎝⎭L≤12na a a n+++L因为211()02!ξ-≠所以，不等式中等号成立12n a a a ⇔===L 例4[4]. 设2e a b e <<<，证明()2224ln ln b a b a e->-． 证明：对函数2ln x 在[,]a b 上应用拉格朗日中值定理，得()222ln ln ln b a b a ξξ-=-，a b ξ<<．设 ()ln t t t ϕ=，则()21ln tt t ϕ-'=当t e >时，()0t ϕ'<，所以()t ϕ单调减少，从而()2()e ϕξϕ>，即222ln ln 2e e eξξ>= ()222ln ln ln b a b a ξξ-=-故()2224ln ln b a b a e->- 3.3 求不定式极限我们把两个无穷小量或无穷大量之比的极限统称为不定式极限，分别记为00型或∞∞型的不定式极限．现在我们将以导数为工具研究不定式极限，这个方法通常称为洛必达法则．其中柯西中值定理是建立洛必达法则的理论依据．3.3.1型不定式极限 定理1 若函数f 和g 满足：（1）00lim ()lim ()0f x g x x x x x →→==；（2）在点0x 的某空心邻域00()u x 内两者都可导，且()0g x '≠；（3）0()lim()x x f x A g x →'='（A 可为实数，也可为±∞或∞）， 则00()()lim lim ()()x x x x f x f x A g x g x →→'==' 例1[6]．求30(1)2(1)lim x x x x e e x →+--解：这是型不定式， 故 30(1)2(1)lim x x x x e e x →+-- 20(1)2lim 3x x x x e xe e x →++-= 201lim 3x x x xe e x →+-= 0lim 6x x x x e xe e x →+-= =163.3.2∞∞型不定式极限 定理2 若函数f 和g 满足：（1）00lim ()lim ()f x g x x x x x ++→→==∞；（2）在点0x 的某右邻域00()u x +内两者都可导，且()0g x '≠； （3）0()lim()x x f x A g x →'='（A 可为实数，也可为±∞或∞）， 则0()()lim lim ()()x x x x f x f x A g x g x ++→→'=='例2.求0ln(sin 3)lim ln(sin )x x x +→解：这是∞∞型不定式，故 0ln(sin 3)lim ln(sin )x x x +→03cos3sin lim sin 3cos x x xx x+→=03cos cos39sin 3sin lim3cos cos3sin 3sin x x x x xx x x x+→-=- =13.4 利用拉格朗日定理讨论函数的单调性利用拉格朗日中值定理能够很方便地判别出函数的单调性定理1：若函数()f x 在[,]a b 连续，在(,)a b 内可导，则有：如果在(,)a b 内()f x '≥0则()f x 在[,]a b 上单调递增；如果在[,]a b 内()f x ' ≤0则()f x 在[,]a b 单凋递减．另外()f x 在(,)a b 内除有限个点外，仍有()f x '≥0(或≤0)，则()f x 在[,]a b 仍然是单调递增(或单调递减的)，即连续函数在个别点处无导数并不影响函数的单调性． 证明： 若f 为增函数，则对每一0[,]x a b ∈，当0x x ≠时，有00()()f x f x x x -- ≥0令0x x →，即得()f x ' ≥0．反之，若()f x 在区间[,]a b 上恒有()f x '≥0,则对任意12,[,]x x a b ∈（设12x x <），应用拉格朗日定理，存在12(,)[,]x x a b ξ∈⊂,使得2121()()()()f x f x f x x ξ'-=-≥0由此征得f 在[,]a b 上为增函数．例6．求证当0x >时，2ln(1)2x x x +>-证明：令2()ln(1)()2x f x x x =+--因()f x 在[0，+∞)上连续，在(0，+∞)内可导，且21()111x f x x x x '=-+=++当0x >时，有2()01x f x x '=>+，所以当0x >时，()f x 是单调增加的， 当0x >时，()(0)0f x f >=，因此()0f x >，从而2ln(1)2x x x +>-第四章结论微分中值定理作为大学课程里的一个重要内容，是研究函数的有力工具．其地位是不容忽视的，微分中值定理的发展历史是非常悠久的，通过近三、四百年的发展数学科学家们得到了罗尔定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理．这三大定理可以说是其发展的一个里程碑，对以后的发展有着非常大的帮助．近些年来人们又开始着重去挖掘微分中值定理的一系列应用，并且得到了很多有用的定理．体现微分中值定理的一部分价值．本论文在详细的介绍了微分中值定理的来源之后，又系统性的整理了微分中值定理的三种不同的形式，同时分别证明了这三种定理，并总结了它们之间的联系．从接下来的内容中我们可以充分了解微分中值定理的应用，通过四个大方向来诠释其应用，其实这是微不足道的，因为微分中值定理的应用还有很多，这里只是总结了它的经典应用及其例题．希望能够帮助大家对微分中值定理的学习．参考文献[1] 卢玉峰. 微分中值定理历史与发展. 高等数学研究， 2008；11（5）：59-61[2] 华东师范大学. 数学分析[M]. 北京：高等教育出版社，2001：119-128[3] 王宝艳. 微分中值定理的应用. 雁北师范学院学报， 2005；21（2）：59-60[4] 张娅莉、吴炜. 微分中值定理的应用. 信阳农业高等专科学校学报， 2007；17（1）：135[5] 霍玉珍. 高数中微分中值定理的应用. 河北建筑工程学院学报，2004；22（1）：153[6] 薛秋. 微分中值定理的应用. 无锡商业职业技术学院学报，2007；7（6）：68致谢衷心感谢我的指导老师胡蓉讲师，她渊博的专业知识，严谨科学的治学态度，精益求精的工作作风，一丝不苟、锲而不舍的精神，和对数学研究的独到见解，对我产生了深远的影响，使我终身受益．感谢他指引我进入一个崭新的研究方向，感谢他时刻关心着我的论文进度并认真耐心地指导毕业论文，使得本文能够顺利完成．在胡蓉老师的指引下，我对微分中值定理有了初步的了解，具有了一定的独立科研能力．能够成为胡蓉老师的学生，乃人生一大幸事．在此成文之际，谨向导师胡蓉讲师致以我最崇高的敬意和衷心的感谢，并祝胡蓉老师及家人身体健康，生活幸福．感谢四川文理学院的老师和领导，感谢他们在我读书期间所给予的关心和帮助．感谢同窗以及其他师兄妹，非常高兴能与他们一起学习讨论．最后，感谢我的家人，感谢他们对我永远的支持与鼓励！。