微分中值定理与导数的应用总结
3_1 微分中值定理与导数应用
罗尔（Rolle）定理 罗尔（ ） 设函数 f ( x ) 满足条件： 满足条件： (1) f ( x )在闭区间[a , b] 上连续; 上连续; (2) 内可导; f ( x ) 在开区间 ( a , b ) 内可导; (3) 在区间端点的函数值相等，即 f (a ) = f (b ), 在区间端点的函数值相等， 那末在 ( a , b ) 内至少有一点ξ ( a < ξ < b ), 使得函数 在该点的导数等于零， f ( x ) 在该点的导数等于零，即
利用泰勒公式证明不等式
上二阶可导， 例1 设函数 y = f ( x ) 在区间 [0,1]0, max f ( x ) = 2, 证明在 证明在(0,1)至少存在一 至少存在一
0 ≤ x ≤1
点 ξ , 使得 f ′′(ξ ) ≤ −16. 证
0 ≤ x ≤1
矛盾, 但 f ′( x ) = 5( x 4 − 1) < 0, ( x ∈ (0,1)) 矛盾,∴ 为唯一实根 .
拉格朗日(Lagrange)中值定理 拉格朗日(Lagrange)中值定理 (Lagrange)
如果函数f 满足下列条件 如果函数 (x)满足下列条件 (1) 在闭区间 b]上连续； 在闭区间[a, 上连续 上连续； (2)在开区间(a, b)内可导； )在开区间( )内可导； 那末在(a , b ) 内至少有一点ξ ( a < ξ < b ), 使等式 f ( b ) − f (a ) = f ′(ξ )(b − a ) 成立. 成立.
即
f ′(ξ ) = 2ξ [ f (1) − f ( 0)].
泰勒(Taylor)中值定理 泰勒(Taylor)中值定理 (Taylor)
微分中值定理与导数应用小结
VS
最大利润
在生产决策中，企业通常追求最大利润。 通过求利润函数的一阶导数并令其为零， 可以找到使利润最大的产量和价格组合。
05
CATALOGUE
导数在物理学的应用
导数与速度和加速度
速度是描述物体运动快慢的物理量， 而加速度是描述速度变化快慢的物理 量。导数可以用来计算物体在某一时 刻的速度和加速度，通过分析导数的 符号和大小，可以判断物体的运动状 态。
导数与热传导
在热传导过程中，热量传递的速度与 温度梯度成正比，而温度梯度的导数 描述了温度随空间位置的变化速率。
导数的符号和大小可以用来判断热传 导的方向和强度，例如在稳态热传导 中，导数为0表示温度分布达到平衡 状态。
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详细描述
罗尔定理的证明基于闭区间上连续函数的性质和导数的定义 。它的应用非常广泛，例如在证明某些等式或不等式时，可 以通过构造满足罗尔定理条件的函数来找到证明的突破口。
拉格朗日中值定理
总结词
拉格朗日中值定理是微分中值定理中的重要定理之一，它指出如果一个函数在 闭区间上连续，在开区间上可导，则在该区间内至少存在一点，使得该点的导 数等于函数在此区间内的平均变化率。
边际成本
边际成本表示企业在生产过程中，每 增加一个单位产量所增加的成本。通 过计算边际成本的一阶导数，可以了 解成本随产量变化的趋势，从而做出 最优的生产决策。
导数与弹性分析
弹性分析
弹性是衡量某一经济变量对另一经济变量变化的敏感程度，即当一个经济变量发生一定 变化时，另一个经济变量变化的比率。导数可以用来计算各种弹性，如需求弹性、供给
03
CATALOGUE
导数的几何意义
导数与曲线的切线
中值定理与导数的应用
中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础。
在实际应用中，中值定理与导数的应用非常广泛。
以下是一些具体的应用：
1.判断函数的单调性：通过导数可以判断函数的单调性，如果函数在某个区间内的导数大于0，则
该函数在这个区间内单调递增；如果函数在某个区间内的导数小于0，则该函数在这个区间内单调递减。
2.求函数的极值：导数可以用来求函数的极值。
如果函数在某一点的导数为0，则该点可能是函数
的极值点。
在判断出极值点后，可以通过求导数在该点的左右两侧的符号变化来确定该点是极大值点还是极小值点。
3.判断函数的凹凸性：通过二阶导数可以判断函数的凹凸性。
如果函数在某一点的二阶导数大于0，
则该函数在该点附近是凹函数；如果二阶导数小于0，则该函数在该点附近是凸函数。
4.求函数的拐点：在判断出函数的极值点和凹凸性后，可以进一步求出函数的拐点。
拐点的定义是
函数图像在该点处的切线发生弯曲的地方。
通过求一阶导数在该点的左右两侧的符号变化，可以判断出拐点的位置。
5.判断函数的不等式：通过导数还可以判断函数的不等式。
如果两个函数在某个区间内的导数符号
相反，则这两个函数在该区间内的函数值一定不相等。
6.最优化问题：在工程和经济学中，经常需要解决最优化问题。
使用微积分中的中值定理和导数可
以找到最优解。
例如，在经济学中，可以使用微积分来找到最大化收益或最小化成本的最佳策略。
总的来说，中值定理与导数的应用非常广泛，它们是微积分学的重要基石，可以用于解决各种实际问题。
微分中值定理与导数的应用
微分中值定理与导数的应用微分中值定理是微积分中的一个重要定理，它是导数与函数之间的关系的重要推论。
本文将介绍微分中值定理的概念以及其在实际问题中的应用。
一、微分中值定理的概念微分中值定理是数学分析中的一个重要定理，它是由罗尔定理和拉格朗日中值定理推导出的。
该定理表明，如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，并且在区间端点a和b的函数值相等（f(a) = f(b)），那么在(a, b)内至少存在一点c，使得f'(c) = 0。
这一定理的直观解释是：如果一个连续函数在两个点的函数值相等，并且在两点之间的某个地方斜率为零，那么在该点一定存在切线与横轴平行。
二、导数的应用导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
通过导数的概念和性质，我们可以在实际问题中进行一些有用的应用。
1. 最值问题导数可以用来求解函数的最值问题。
在闭区间上的连续函数中，如果在某一点的导数为零或不存在，那么这一点可能是函数的极值点。
通过求解导数为零的方程，可以找到函数的极值。
2. 凹凸性和拐点问题导数可以用来研究函数的凹凸性和拐点问题。
通过分析函数的二阶导数（导数的导数），可以确定函数的凹凸性以及拐点的位置。
3. 曲线的切线和法线问题导数可以用来求解曲线的切线和法线问题。
切线的斜率等于函数在该点的导数，而法线的斜率是切线斜率的负倒数。
三、微分中值定理的应用微分中值定理是导数与函数之间的重要关系推论，它在实际问题中有着广泛的应用。
1. 速度与加速度微分中值定理可以用来解决速度与加速度的问题。
对于一个运动的实体，在某一时间段内，他的速度可能为零，这意味着他的加速度为零。
这可以通过微分中值定理得到证明。
2. 经济学中的应用微分中值定理在经济学中也有广泛的应用。
例如，在某个时间段内，一个消费品的价格可能保持不变，这意味着该消费品的边际效用或边际收益为零。
这可以用微分中值定理来解释。
3. 物理学中的应用微分中值定理在物理学中也有重要的应用。
第三章 微分中值定理与导数的应用
《高等数学》（上）题库 第三章 微分中值定理与导数的应用判断题第一节.微分中值定理1、可导函数的极值点一定是函数的驻点。
（ ）2、曲线上有水平切线的地方，函数不一定取得极值。
（ ）3、方程015=-+x x 只有一个正根。
（ ） 第二节.洛必达法则4、洛必达法则只能用于计算00，∞∞型未定式。
（ ） 5、不是未定式，也可以使用洛必达法则。
（ ） 6、洛必达法则的条件不满足时，极限一定不存在。
（ ） 第三节.泰勒公式7、在泰勒公式中取00=x 既得麦克劳林公式。
（ ）8、佩亚诺余项可以用于误差估计。
（ ）9、泰勒中值定理是拉格朗日定理的推广。
（ ）10、()nnx n x x x x ο++++=!!21sin 2。
（ ）第四节.函数的单调性与曲线的凹凸性11、如果在()b a ,内0)(＜x f '，那么函数在[]b a ,上单调减少。
（ ）12、二阶导数为零的点一定是拐点。
（ ）第五节.函数的极值与最大值最小值13、单调函数一定存在最大值最小值。
（ ） 14、0)(0='x f 是函数取得极值的充分条件。
（ ）第六节.函数图形的描绘15、若()0lim =+∞→x f x ，则0=y 是()x f 的一条水平渐近线。
（ ） 16、若()-∞=-→x f x 3lim ，则3-=x 是()x f 的一条铅直渐近线。
（ ） 注：难度系数(1-10)依次为3，4，8；3，4，4；2，4，4，4；2，3；2，4；3，3。
填空题第一节.微分中值定理1、如果函数)(x f 在区间I 上的导数恒为零，那么)(x f 在区间I 上是 。
2、设函数)(x f 在0x 处可导，且在0x 处取得极值，那么)(0x f '= 。
第二节.洛必达法则3、如果当a x →时，两个函数)(x f 与）（x F 都趋于零，那么极限)()(lim x F x f ax →可能存在、可能不存在，通常把这种极限叫做 。
微分中值定理与导数的应用总结
微分中值定理与导数的应用总结一、微分中值定理1.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微分中值定理的最基本形式，它表述为：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一个数c，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)，其中c属于(a,b)。
拉格朗日中值定理的几何意义是：如果一条曲线在两个点a和b上的斜率相等，则在这两个点之间必然存在一点c，使得曲线在c点和a、b两点之间的切线斜率相等。
2.柯西中值定理柯西中值定理是微分中值定理的推广形式，它给出了两个函数的导数的关系。
设f(x)和g(x)在[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导且g'(x)≠0，则存在一个数c，使得[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=[f'(c)]/[g'(c)]。
柯西中值定理的几何意义是：如果曲线f(x)和g(x)在两个点a和b上的切线斜率之比等于f'(c)和g'(c)的比，则在这两个点之间必然存在一点c，使得曲线f(x)和g(x)在c点的切线斜率之比等于f'(c)和g'(c)的比。
3.罗尔中值定理罗尔中值定理是微分中值定理的特殊形式，它给出了导数为零的充分条件。
设函数f(x)在[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则在(a,b)内至少存在一个数c，使得f'(c)=0。
罗尔中值定理的几何意义是：如果一条曲线在两个端点上的函数值相等，则在这两个端点之间必然存在一个点c，使得曲线在c点的切线斜率为零。
微分中值定理的应用非常广泛，例如在证明极限存在或连续性、研究函数增减性和函数极值、解方程和不等式等问题中都有重要的作用。
在实际生活中，微分中值定理可以应用于求解速度、加速度、距离等问题，帮助我们更好地理解和解决实际问题。
二、导数的应用导数作为微积分的重要概念，具有很多实际应用。
微分中值定理与导数应用
F ( x) 的最小值． F( x) 0 ，即得 f ( x) x ．证毕．
例 5 设 lim f ( x) 1，且 f ( x) 0 ．试证： f ( x) x ． x0 x
4 (b a)2
|{ f (b) [ f (b)
f (b)( a b 2
b)
1 2
f
(1
)(
a
2
b
b)2 ]}
{ f (a) [ f (a)
f (a)( a b 2
a)
1 2
f
(
2
)(
a
2
b
a)2 ]} |
4 (b a)2
|
1 2
{
f
(1
)
f
(
2
)}(
b
2
a
)2
0 ，根据极限的保号性即知,
在 x a 的右邻近，有 f ( x) f (a) 0 ，故有 f ( x) f (a) . xa
f (a) 不可能是 f ( x) 在[a, b] 上的最小值． 同理，由 f(b)
0 可知， f (b) 也不可能是 f ( x) 在[a, b] 上的最小值．
F ( x) F( x) F(0) F( x)x (其中 (0,1) )
{F( x) F(0)}x {F(1 x) x}x (其中1 (0,1) ) F (1 x) x2 0 ，即得 f ( x) x ．证毕．
例 6 设 f ( x) 在[a,b] 上存在， f (a) f (b) 0 ．试证：
高等数学(一)01-微分中值定理和导数的应用单元总结_31
的拐点.
4. 典型例题
例1 求下列极限
(1)lim
1 x
1
xe
ln1 x
ln1 x1
e x e
e x 1
lim
e lim
x0
x
x0
x
x0
x
e
lim
x0
ln1 x
x x
1
e lim x0
ln1 x
x2
2．Peano：定性; Lagrange：定量. 3．Peano：局部，Lagrange：整体 4． Lagrange定理是Taylor定理的特例.
四大中 值定理
前三个建立 f ( x) 与一阶导数的关系； Taylor建立 f ( x) 与高阶导数之间的关系。
2. 洛必达法则
0
设函数
f
x, g x 在
U
x0
,
内可导，g
x
0,
0 并且满足下列条件
1 lim f x lim g x 0;
x x0
x x0
2
lim
x x0
f x g x A
A 为有限实数或无穷大
f x
f x
则
lim
x x0
gx
lim
x x0
g x
A
3. 函数的性态
单调性 极值 凹凸性 拐点
函数单调性的判别法
设 f : I R 在 I 上连续，在 I 内可导，则 (1) 在 I 内 f ( x) 0( 0) f ( x) 在 I 上严格单调增(减); (2) 在 I 内 f ( x) 0( 0) f ( x) 在 I 上单调增(减).
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1基础知识详解先回顾一下第一章的几个重要定理1、0lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=⇔=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的关系2、=+()o αββαα⇔: ，这是两个等价无穷小之间的关系3、零点定理：条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号)结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ=4、介值定理：条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠=结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得()f C ζ=。
5、介值定理的推论：闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。
第三章 微分中值定理和导数的应用1、罗尔定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b)结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得'()0f ζ=2、拉格朗日中值定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=-3、柯西中值定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()()'()f b f a f g b g a g ζζ-=-拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。
4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。
罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。
当然也有用第一章的零点定理的。
但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。
而罗尔定理是两个端点大小相同，则导数存在0值。
如果翻来覆去变形无法弄到两端相等，那么还是别用罗尔定理了，两端相等，证明0值是采用罗尔定理的明显特征。
拉格朗日定理是两个端点相减，所以一般用它来证明一个函数的不等式：122()()-()1()m x f x f x m x <<； 一般中间都是两个相同函数的减法，因为这样便于直接应用拉格朗日，而且根据拉格朗日的定义，一般区间就是12[,]x x 。
5、洛必达法则应用注意正常求极限是不允许使用洛必达法则的，洛必达法则必须应用在正常求不出来的不定式极限中。
不定式极限有如下7种：000,,0*,,0,1,0∞∞∞∞-∞∞∞每次调用洛必达方法求解极限都必须遵从上述守则。
6、泰勒公式求极限。
如果极限是0lim ()x x f x → 那么就在0x 附近展开。
如果极限是lim ()x f x →∞，那么就变形成0lim ()t t f t →，再在0t 附近展开。
一般都是化成0lim ()t f t →用迈克劳林展开式展开。
那么展开多少步呢一般分子分母展开的幂应该是一样的，便于上下几次方相抵消，分子分母尾部都跟着一个皮亚诺型余项。
如果展开了，发现分母是表面外观的2次方，而上面如果展开后分子的结果为0，则还要继续往更高阶次展开。
分母一定会跟着分子有同样阶的。
算吧，很大的计算量。
7、用导数判断函数曲线的单调性和单调区间。
条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，且导数'()0(0)f x ><结论1：()f x 在闭区间[a,b]上单增（单减）结论2：'()0f x =或不存在 则此点一定是可靠而全面的对单调的分界点8、函数曲线的凹凸性和拐点（左右凹凸变化的分界点）方法一：条件：区间连续。
结论：若1212()()()22x x f x f x f ++<，则该曲线在(x1,x2)凹 若1212()()()22x x f x f x f ++>，则该曲线在(x1,x2)凸 方法二：条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)存在一阶和二阶导数结论1：''()0f x > 在[a,b]凹；''()0f x < 在[a,b]凸；结论2：''()0f x =或不存在 则此点一定是全面的但仅是可能的拐点。
然后验证-''()''()f x f x +、的符号。
异号则一定为拐点。
9．函数在区间上的极值点，最值点。
定理1：极值点处的导数0'()0f x =定理2：条件：()f x 在0x 点处连续，在0x 附近的去心邻域内可导结论：00'()0,'()0f x f x +->< 则在0x 点取得极大值。
00'()0,'()0f x f x +-<> 则在0x 点取得极小值。
若左右邻域内符号不变，则该点无极值。
定理3：条件：()f x 在0x 点处的一阶导数0'()0f x =结论：0''()0f x > ，则在0x 点取得极小值。
0''()0f x < ，则在0x 点取得极小值。
0''()=0f x ,则该点可能是极值，也可能不是极值。
总结：一阶导数就能得出极值点。
二阶导数也能得出，但二阶导数有限制0'()0f x =。
最值：在极值中挑出个最大的，最小的点，再跟两端的值大小比较一下，得到的就是闭区间最大值，最小值。
10、曲率 曲率定义是：d K ds α= ，曲率半径用a 表示，是曲率的导数，即1a K=。
所谓曲率半径，是指如果在该点出以这么半径画一个圆，那么该圆的圆弧点上处处的曲率都是K 。
如何推导曲率课本典型题：2扩展三个定理的条件都是闭区间连续，开区间可导。
然后罗尔定律是f(a)=f(b),结论是导数为0。
拉格朗日中值定理结论是存在导数。
柯西定理形象来说是拉格朗日中值定理的变形（见物理意义）。
罗尔定理拉格朗日中值定理柯西定理微分中值定理这部分看起来特别重要。
因为它涉及到几个定理。
罗尔定理常用于以下几种题：1 )('x f 在（a ，b ）上是否存在零点显然，只要找到)()(b f a f =的a 和b 即可。
找到了还能知道至少有几个零点，以及每个零点的区域。
如已知)3)(2)(1()(---=x x x x f ，说明0)('=x f 有几个实根范围是什么等。
2 证明)(x f 在（a ，b ）上是否存在零点注意1是)('x f 是否存在零点。
故可以求出⎰=dx x f x F )()(，这样就成了求)('x F 在(a,b)上是否存在零点。
和1一样的方法了。
3 证明)(x f 的根不超过多少个。
如证明其根不超过3个。
那么，记住用反证法+罗尔定理。
设根有四个，分别为x1<x2<x3<x4。
则由罗尔定理，)('x f 肯定有三个不等的根，)(''x f 有两个不等的根，)()3(x f 有一个不等的根。
但是算到)()3(x f 时，结果却是无根。
故假设错误，根不超过3个。
拉格朗日中值定理常用于证明不等式：1 证明),(),(),(b a Q b a F b a P <<，想办法把整个式子都变变形，最重要的是把),(b a F 变成两个同函数相减的方式，)()(a f b f -的形式，再用拉格朗日中值定理改为导数的形式与两端比较。
柯西中值定理常用于证明不等式：1 证明)()(x Q x P > 方法：把原式转换成1)()(>x G x F 或1<的形式。
因为柯西中值定理实质是两个函数相除转换成导数相除，因此要想法给弄成除的形式。
拉格朗日中值定理是弄成减的形式。
然后证明一下两个导数相除大于或者小于1就行了证明函数恒等)()(x g x f =，),(b a x ∈证明原则： 1 )(')('x g x f =，),(b a x ∈【当然还有个条件就是f,g 在(a,b)存在导数】2 找到任意一点),(0b a x ∈，使得)()(00x g x f =如果],[b a x ∈还需要验证],[)(),(b a x g x f 在连续2洛必达法则应用有两个条件① ∞∞=lim 00lim )()(lim 或者x g x f ② A )(')('lim=x g x f ，即必须存在结果，可以是无穷大，也可以是0等，但不能是诸如)1sin(lim 0x A x →=之类的没具体的玩意。
但是注意，如果用洛必达法则算出就是这类没具体的玩意，也不能证明该函数除法式无极限。
只能证明洛必达法则此时适用性太小。
3洛必达法则应用① 求1的七种类型的未定式极限② 确定无穷小的阶是多少K 阶无穷小的定义：若0,0lim >≠=k C k αβ，则称β是α的K 阶无穷小。
无穷小阶的运算法则：设f(x)是x的n阶无穷小，g(x)是x的m阶无穷小，则有：f(x)+g(x)是x的min( n , m )阶无穷小f(x)*g(x)是x的n+m阶无穷小f(x)/g(x)是x的abs( n - m)阶无穷小这一节内容关于应用洛必达法则讨论极限的问题我学的很差。
泰勒中值定理的来源想象：任何一个函数f(x)，在0点附近都可以曲线化直的表示成)(...)(2210x Rn x b x b x b b x f n n +++++=用导数一算，恰好有!)0(...!2)0('',!1)0(',!0)0()(210n f b f b f b f b n n ==== 故在0x 点处可得泰勒展开公式：（前提：f(x)在含0x 的某个开区间（a , b ）上具有（n+1）阶的导数，这样才能得到拉格朗日余项）)()(!)(...)(!2)())((')()(00)(200''000x Rn x x n x f x x x f x x x f x f x f n n +-++-+-+=当n=0时，))((')()(00x x f x f x f -+=ζ其中))(('0x x f -ζ是n=0时的拉格朗日余项 拉格朗日余项为：),(,)()!1()()(Rn 010)1(x x x x n f x n n ∈-+=++ζζ换成θ表示为：)1,0(),(00∈-+=θθζx x x 这样表示很常见 （不要求精确时）可使用佩亚诺余项：])[()(Rn 0n x x o x -=（注意：不是拉格朗日余项的n+1次方）最开始推导时，x 在0处的仿f （x ）多项式称为麦克劳林公式，是泰勒公式的简单形式。