2.2微分中值定理
微分中值定理
微分中值定理微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它揭示了函数在某个区间内取得极值的一种方法。
微分中值定理包括拉格朗日中值定理和高尔的中值定理两种形式，下面将分别介绍这两种定理。
拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它表明如果函数满足一些条件，那么在某个区间内一定存在一个点，它的导数等于函数在这个区间两个端点处的斜率。
具体来说，如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，并且a<b，那么存在一个点c∈(a,b)，使得函数在点c处的导数等于函数在区间的两个端点处的斜率。
也就是说，存在c∈(a,b)使得：f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)这个定理的图像可以形象地理解为，曲线在某点的切线与连接两个端点的直线斜率相等。
高尔的中值定理是拉格朗日中值定理的一个推广，它是由高尔证明的。
高尔的中值定理的条件比拉格朗日中值定理更加宽松，它只要求函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导。
具体来说，如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，并且函数在区间的两个端点处的斜率相等，那么存在一个点c∈(a,b)，使得函数在点c处的导数等于函数在区间的两个端点处的斜率。
也就是说，存在c∈(a,b)使得：f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)高尔的中值定理可以看做拉格朗日中值定理的推广，它更加灵活，适用范围更广。
微分中值定理的证明可以通过利用拉格朗日中值定理或高尔的中值定理的定义和一些基本的微积分知识进行推导。
证明的过程比较复杂，需要运用到数学分析中的一些技巧与方法。
微分中值定理在微积分的应用中有着广泛的应用。
它可以用来证明一些数学定理，比如费马最值定理、罗尔定理和拉格朗日多重中值定理等。
此外，微分中值定理还可以用来求函数的零点、证明函数的单调性和判断函数的极值等。
在实际问题中，微分中值定理常常被用来解决一些最优化问题，比如求函数的最值、最小二乘法中的参数估计等。
微积分中的微分与微分中值定理
微积分是数学中的一门重要分支，也是高等数学的基础课程之一。
微积分的研究对象涉及到函数的极限、连续性、导数、积分等内容。
微积分中的微分概念以及与之相关的微分中值定理是微积分理论的重要内容之一。
微分是微积分的基础概念之一，它指的是函数在某一点处的变化率。
具体来说，若函数$y=f(x)$在$x_0$处可导，则函数在$x_0$处的导数$f'(x_0)$即为函数在该点的微分。
微分可以看作是函数在某一点的局部线性近似，通过微分可以描述函数在某点的斜率以及近似的变化情况。
微分的概念是微积分中的关键，它是导数概念的先导。
微分中值定理是微分学中的重要定理之一，它是基于连续性与导数的基本性质而得出的。
微分中值定理的核心思想是通过函数的导数找到函数在某一区间内某一点的切线斜率与函数在此区间内任意两点连线斜率相等的点。
根据微分中值定理，若函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，并且在区间$(a,b)$内可导，那么在区间$(a,b)$内一定存在一点$c(a<c<b)$，使得$f'(c)$等于函数在区间$[a,b]$的平均变化率$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
微分中值定理的重要性在于它使得我们可以通过求解导函数在某一区间内的零点来研究原函数的性质。
根据微分中值定理，如果某函数在某点的导数为零，则说明函数在该点附近的斜率相等；如果某函数在某区间内的导数始终大于零（或小于零），则说明函数在该区间上是递增（或递减）的。
基于微分中值定理，我们可以研究函数的最值点、驻点、拐点等重要特性。
微积分中的微分与微分中值定理是微积分理论的重要组成部分，它们是求解导数与研究函数性质的基础。
微分的概念通过对函数的局部线性近似描述了函数的变化情况，而微分中值定理则通过导数的性质来研究函数的性质，为进一步探索函数的极值、最值等提供了基础。
在实际应用中，微积分的概念与微分中值定理常常被用于求解函数的最优化问题，如优化经济学中的最大化与最小化问题，物理学中的最速下降与最接近问题，工程学中的最优设计问题等等。
微分中值定理与罗尔定理
微分中值定理与罗尔定理微分中值定理和罗尔定理是微积分中两个重要的定理，它们在求解函数的性质和函数曲线的特点等问题中有着广泛的应用。
本文将对微分中值定理和罗尔定理进行详细的介绍和讨论。
一、微分中值定理微分中值定理是微积分中重要的基本定理之一，它是由勒让德提出的。
微分中值定理主要有三种形式：拉格朗日中值定理、柯西中值定理和费马中值定理。
1. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微分中值定理中最常用的一种形式。
设函数f(x)满足以下条件：在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导。
那么存在一个介于a和b之间的实数c，使得f'(c)等于曲线上两点A(a, f(a))和B(b, f(b))所连直线的斜率。
数学表达式为：f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
该定理的直观意义是，在闭区间上的某点，函数的瞬时变化率等于该点切线的斜率。
拉格朗日中值定理在物理、经济等领域的实际问题中有广泛的应用。
2. 柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，适用于多元函数。
对于二元函数f(x, y)，设[a, b]和[c, d]为其定义域上的闭区间，若该函数在这两个闭区间上连续且偏导数存在且连续，那么存在一个介于a和b之间的实数x0和一个介于c和d之间的实数y0，使得f(x0, y0)满足以下公式：[f(b, d) - f(a, d)]/(b - a) = [∂f(x0, y0)/∂x]，[f(b, d) - f(b, c)]/(d - c) =[∂f(x0, y0)/∂y]。
该定理表明，偏导数连续的二元函数在闭区间内的两点之间，存在一个点使得该点处的偏导数等于两点之间的斜率比值。
3. 费马中值定理费马中值定理是微分中值定理的一种扩展形式。
该定理主要针对多元函数，并且该函数在闭区间或闭区域上连续。
定理的表述是：如果函数f(x1, x2,..., xn)在闭区域内的每一个内点满足f'(x1, x2,..., xn) = 0，那么在该区域内必存在一点x0，使得f(x0)是该区域上的极大值或极小值。
微分中值定理的重要性
微分中值定理的重要性微分中值定理是高等数学中微分学的主要知识点。
在确定罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的基础上，深入分析了不同中值定理的推广形式。
在确定微分中值定理经典证明的前提下，分析以上之间的关系。
找出所有相关的证明形式，并分析1.引言在数学研究中，微分中值定理起着非常重要的作用。
在最近的数学考研中，与微分中值定理相关的命题层出不穷。
因此，对这部分问题的分析不仅能使我们深刻理解和认识微分中值定理的知识，而且对后续问题的解决也至关重要。
微分中值定理一般涵盖罗尔（roll）定理，拉格朗日（lagrange）中值定理，柯西(cauchy)中值定理和泰勒(taylor)公式。
上述部分彼此不断递进。
分析某个函数整体和部分，和众多函数彼此间的关系。
对了解函数的属性和根的存在性等部分具有关键的价值。
学微分中值定理这部分的时候，我们需要了解为何要学习，以及与其他定理间的关系与使用。
基于教材进行分析，我们逐渐了解到导数微分的关键性，然而并未讲解怎样使用，所以需要强化导数的使用，但是微分中值定理是导数使用的理论前提。
因此此部分知识非常关键。
其是此后分析函数极限，单调，凹凸性的前提。
基于微分中值定理的形成进行分析，此处主要的基础是函数最值问题。
而处理上述问题是使用微分中值定理。
学者们对微分中值定理的分析经历了200多年，主要从费马大定理开始，经历了从特殊到一般，从直观到抽象，从强条件到弱条件的发展时期。
也正是在上述发展时期，学者们开始了解它们的内在联系和根本特征。
微分中值定理是浓缩版的概括，上面的概括和美国数学家克莱默对数学史上任何阶段大众对数学贡献的评价，那些能够统一过去，为未来发展找到出路的概念，应该算是最深的定义了。
从广义的角度看，微分中值定理定义如下。
微分中值定理是微分学的主要定理，在数学研究中具备关键位置，是分析函数在某区间内的综合性质的重要方式。
其主要包含众多定理。
此处拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，柯西中值定理是罗尔中值定理的推广；反之，拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊案例，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特殊案例。
微分中值定理的应用
微分中值定理的应用微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它有着广泛的应用。
本文将讨论微分中值定理在各个领域中的应用，以展示该定理的实际价值。
首先，微分中值定理在物理学领域中被广泛应用。
在运动学中，通过对位移、速度和加速度的关系进行微分运算，并应用微分中值定理，可以得出物体在某一时刻的速度与实际速度之间的关系。
这对于分析物体的运动规律以及建立运动模型具有重要意义。
其次，微分中值定理在经济学领域中的应用也非常显著。
在经济学中，市场需求和价格之间存在着紧密的关系。
通过应用微分中值定理，可以得出在某一时刻市场均衡价格的存在性及其与市场需求的关系。
这对于制定经济政策、分析市场波动以及预测商品价格具有重要影响。
此外，微分中值定理在工程学领域也发挥着重要作用。
在工程设计中，经常需要估计材料的特性以及构件的强度。
通过应用微分中值定理，可以推导出在某一点上材料的变形与材料特性之间的定量关系，进而对构件的强度进行评估和优化。
另外，微分中值定理在计算机科学领域中也具有广泛的应用。
在图像处理中，通过应用微分中值定理，可以实现图像边缘检测和轮廓识别等计算机视觉任务。
此外，在机器学习和数据分析中，微分中值定理可用于优化算法和模型训练，提高模型的收敛速度和预测准确性。
总结来说，微分中值定理在物理学、经济学、工程学和计算机科学等领域中都有着广泛的应用。
这些应用凸显了微分中值定理在理论研究和实际问题解决中的重要性和实用性。
通过对微分中值定理的深入理解和应用，我们可以更好地理解自然规律和现象，并利用它们来推动科学技术的发展和社会进步。
总之，微分中值定理作为微积分中的重要定理，在各个领域中都有着广泛的应用。
通过运用微分中值定理，我们可以推导出各种现象之间的定量关系，从而提高问题的解决效率和准确性。
值得指出的是，微分中值定理只是微积分中的一个基础定理，它的应用远不止于此，它为我们开启了更深层次的数学探索和实践应用的大门。
对于理解微积分的精髓和掌握实际问题解决的方法论，微分中值定理的学习和应用是不可或缺的一部分。
微分中值定理及其应用
微分中值定理及其应用微分中值定理是微积分中的一个重要定理，也是微分学中的基本定理之一。
该定理通常用于研究函数在某一点的变化情况，可以推导出许多与函数极值、单调性、零点和曲率等相关的性质。
微分中值定理的数学表述如下：若函数f(x)在[a, b]区间内满足以下条件：1、f(x)在[a, b]区间内可导；2、f(a)和f(b)存在；则在[a, b]内必有一个点c满足：f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a)其中，f'(c)表示在点c处的导数。
这个定理的意义可以用图示表示为以下：此外，微分中值定理也可以用于求函数的 Taylor 展开式和曲率等问题。
下面我们来看一些微分中值定理的应用实例。
例1：证明一次函数f(x) = kx + b的图像线性。
我们知道，要证明一条直线呈现线性图像，需要证明其斜率k是恒定不变的。
因此，我们可以利用微分中值定理进行证明。
由于f(x)是一个一次函数，因此它在[a, b]区间内可导。
我们设该区间的两个端点为a和b，于是由微分中值定理可知，在[a, b]区间内必有一个点c满足：f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a)根据f(x) = kx + b的定义，我们可以计算出其导数：f'(x) = k因此，有：即k是[b, a]区间上两个点间f(x)的变化率的平均值。
也就是说，k是线性函数在任何两个点间斜率的平均值，从而证明了一次函数的图像呈现线性。
例2：证明一段周期函数的平均值等于零。
假设f(x)是一个具有周期T的函数，即f(x+T) = f(x)，我们需要证明其平均值为0，即：(1/T) * ∫f(x)dx = 0 （其中，积分区间为一个周期）我们首先对函数进行平移（或反演）操作，得到：由于g(x)的平均值为0，那么根据微分中值定理，我们可以得到：∃c∈[x, x+T]，使得g'(c) = g(x+T) - g(x) / T = 0即：由此可得：因此，f(x)的周期平均值为f(c)，而由于函数具有周期性，因此f(c)等于函数的平均值，即证明了我们的论点。
微分中值定理
微分中值定理微分中值定理是微分学中的重要定理,它揭示了函数在区间上的宏观的、整体的性质与函数在某一点上（中值点ξ）的微观的局部的性质之间的关系,是联系函数及其导数的桥梁和纽带。
其中罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理通常联系的是函数与其一阶导数的关系,泰勒中值定理通常联系的是函数与其高阶导数的关系。
一、微分中值定理的历史演变古希腊数学家在几何研究中,得到如下结论：“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”,这是拉格朗日中值定理的特殊情况。
希腊著名数学家阿基米德正是巧妙地利用这一结论,求出抛物线弓形的面积。
意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri,1598-1647）在《不可分量几何学》（1635年）的卷一中给出了处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦,这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理。
1.费马定理法国数学家费马（Fermat,1601-1665）在《求最大值和最小值的方法》（1637年）中给出了费马定理。
费马在研究极大和极小问题的解法时,得到统一的解法“虚拟等式法”,从而得到原始形式的费马定理,费马定理在现行教科书中,一般作为微分中值定理的引理。
当应当注意的是,在当时微积分还处于初创阶段,没有明确导数、极限连续的概念,所以我们现在的看到的费马定理是后人根据微积分理论和费马发现的实质重新给出的。
2.罗尔定理（引理）法国数学家罗尔（Michel Rolle,1652-1719）在任意次方程的一个解法的证明》（1691年）中,给出多项式形式的罗尔定理：“在多项式a0xn+a1xn−1+⋯+an−1x+an=0 的两个相邻根之间,方程na0xn−1+(n−1)a1xn−2+⋯+an−1=0 至少有一个实根”。
这与现代罗尔定理不仅内容上有所不同,而且证明也大相径庭。
现代形式的罗尔定理,是后人根据微积分理论重新证明的,并把它推广到一般函数（可微函数）,“罗尔定理”这一名称是由德国数学家德罗比什（Drobisch,1802-1896）在1834年给出的,并由意大利数学家贝拉维蒂斯（Bellavitis）在1846年发表的论文中正式使用,是此定理成为微分学的一个基本定理。
微分中值定理
定理证明
总结词
柯西中值定理的证明涉及到了微分学中的一 些基本概念和性质，如导数的定义、导数的 几何意义等。
Hale Waihona Puke 详细描述证明柯西中值定理，首先需要理解导数的定 义和性质，然后利用拉格朗日中值定理，再 结合闭区间上连续函数的性质，逐步推导， 最终得出结论。
定理应用
总结词
柯西中值定理在微分学中有广泛的应用，它可以用于研 究函数的单调性、极值等问题，还可以用于求解一些复 杂的微分方程。
详细描述
柯西中值定理的应用主要体现在两个方面，一是利用该 定理研究函数的单调性和极值问题，二是利用该定理求 解一些复杂的微分方程。通过柯西中值定理的应用，我 们可以更好地理解函数的性质，并且能够求解一些复杂 的数学问题。
06
罗尔中值定理
定理内容
总结词
罗尔中值定理是微分学中的基本定理之一，它指出如 果一个函数在闭区间上连续，在开区间上可导，并且 在区间的两端取值相等，那么在这个区间内至少存在 一点，使得函数在该点的导数为零。
定理应用
01
洛必达法则可以用于求极限，特别是当极限的形式为0/0或 者∞/∞时，可以通过洛必达法则求得极限值。
02
洛必达法则还可以用于判断函数的单调性，如果函数在某区间 的导数大于0，则函数在此区间单调递增；如果导数小于0，则
函数在此区间单调递减。
03
此外，洛必达法则还可以用于求函数极值，如果函数在某 点的导数等于0，则该点可能是函数的极值点。
定理应用
总结词
罗尔中值定理在微分学中有广泛的应 用，它可以用于证明其他中值定理、 研究函数的单调性、解决一些微分方 程问题等。
2. 研究函数的单调性
通过罗尔中值定理可以推导出一些关 于函数单调性的结论，例如如果函数 在区间上单调增加或减少，那么其导 数在该区间上非负或非正。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§2.2 微分中值定理一、罗尔定理 设函数()f x 满足（1）在闭区间［a ,b ］上连续； （2）在开区间（a ,b ）内可导； （3）()()f a f b =.则至少存在一点()a b x Î，，使得()0f x ¢=.几何意义：条件（1）说明曲线()y f x =在(,())A a f a 和(,())B b f b 之间是连续曲线［包括点A 和点B ］.条件（2）说明曲线()y f x =在A ，B 之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于x 轴的切线［不包括点A 和B ］条件（3）说明曲线()y f x =在端点A 和B 处纵坐标相等。
结论说明曲线()y f x =在A 点和B 点之间［不包括点A 和B ］至少有一点，它的切线平行于x 轴。
注意：构造辅助函数时，可考虑以下形式（1）()()kF x x f x =（加法） （2）()()kf x F x x =（加法） （3）()()kxF x f x e =（函数加导数）【例1】设()f x 在[]0，3上连续，在()0，3内可导，且()()()0123f f f ++=，()31f =，试证：必存在()ξ∈0，3，使()0f ξ'=。
证 ()f x Q 在[]0，3上连续，()f x ∴在[]0，2上连续，且有最大值M 和最小值m ,于是(0)m f M ≤≤；(1)m f M ≤≤；(2)m f M ≤≤，故[]1(0)(1)(2)3m f f f M ≤++≤。
由连续函数介值定理可知，至少存在一点[]c ∈0，2，使得()[]1(0)(1)(2)13f c f f f =++= 因此()()3f c f =，且()f x 在[]c ，3上连续，()c ，3内可导，由罗尔定理得出必存在()()03ξ∈⊂c ，3，，使得()0f ξ'=。
【例2】 设()f x 在[]0，1上连续，在()01，内可导，且()()23130f x dx f =⎰.求证：存在()0，1x Î使()0f x ¢= 证 由积分中值定理可知，存在轾Î犏臌2,13c ，使得()()231213f x dx f c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰得到 ()()2313(0)f c f x dx f ==⎰对()f x 在[]0c ，上用罗尔定理（三个条件都满足）， 故存在()0(01)c ，，x 翁，使()0f x ¢=【例3】（07）设函数()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()f a g a f b g b ==，证明：存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=。
分析：令()()()()F x f x g x F x =-⇒在[,]a b 连续，在(,)a b 可导，在题设条件下，要证存在(,)a b ξ∈，()0F ξ''=。
已知()()0F a F b ==，只需由题设再证(,)c a b ∃∈，()0F c =。
证明：由题设11[,](,),max ()()a b x a b M f x f x ∃∈==，22[,](,),max ()()a b x a b M g x g x ∃∈==。
若12x x =，取12c x x ==，则()0F c =。
若12x x ≠，不妨设12x x <，则111()()()0F x f x g x =-≥，222()()()0F x f x g x =-≤ 12[,]c x x ⇒∃∈，()0F c =由()()()0F a F c F b ===，对()F x 分别在[,]a c 和[,]c b 用罗尔定理12(,),(,)a c c b ξξ⇒∃∈∃∈，使得12()()0F F ξξ''==。
再对()F x '用罗尔定理12(,)(,)a b ξξξ⇒∃∈⊂，使得()0F ξ''=，即()()f g ξξ''''=。
二、拉格朗日中值定理 设函数()f x 满足（1）在闭区间[]a b ，上连续； （2）在开区间()a b ，内可导。
则存在()a b ξ∈，，使得()()()f b f a f b aξ-'=-或写成()()()()()f b f a f b a a b ξξ'-=-<< 有时也写成()()()()00001f x x f x f x x x θθ'+∆-=+∆∆<<g 这里0x 相当a 或b 都可以，x ∆可正可负。
几何意义：条件（1）说明曲线()y f x =在点()()A a f a ，和点()()B f b b ，之间［包括点A 和点B ］是连续曲线。
条件（2）说明曲线()y f x =［不包括点A 和点B ］是光滑曲线。
结论说明曲线()y f x =在A 、B 之间［不包括点A 和点B ］至少有一点，它的切线与割线AB 是平行的。
推论1 若()f x 在()a b ，内可导，且()0f x '≡，则()f x 在()a b ，内为常数。
推论 2 若()()f x g x ，在()a b ，内皆可导，且()()f x g x ''≡，则在()a b ，内()()f x g x c =+，其中c 为一个常数。
推论3 设()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，则000(1)()(),(,)()()([,])(2)[,],()()f xg x x a b f x g x x a b x a b f x g x ''=∈⎧=∈⇔⎨∃∈=⎩ （注：拉格朗日中值定理为罗尔定理的推广，当()()f a f b =时的特殊情形，就是罗尔定理）【例1】 设不恒为常数的函数()f x 在[]a b ，上连续，()a b ，内可导，且()()f a f b =，证明()a b ，内至少有一点ξ，使得()0f ξ'>.证 由题意可知存在(,)c a b Î使得 ()()()f c f a f b ≠=如果()()f c f a >，则()f x 在[]a c ，上用拉格朗日中值定理存在1(,)a c x Î，使()1()()0f c f a f c aξ-'=>-如果()()f b f c >，则()f x 在[]c b ，上用拉格朗日中值定理存在2(,)c b x Î，使()2()()0f b f c f b cξ-'=>-，因此，必有(,)a b x Î，使得()0f ξ'> 成立.【例2】 设()0f x ''<，(0)0f =，证明对任意10x >，20x >恒有1212()()()f x x f x f x +<+证 不妨假设12x x £，由拉格朗日中值定理有①1111()()(0)(0)()f x f x f x f x ¢=-=-， 110x x << ②[]1221222()()()()f x x f x x x x f x ¢+-=+-，2212x x x x <<+，从而可知12x x <，∵()0f x ⅱ<，∵()f x ¢单调减少，于是12()()f f x x ⅱ> 这样由①②两式可知 1122()()()f x f x x f x >+- 因此，1212()()()f x x f x f x +<+ 成立. 【例3】(04)设2e a b e <<<，证明2224ln ln ()b a b a e ->-. 分析：即证222ln ln 4()b a b a e->-，符合拉格朗日中值定理。
证明：令2()ln f x x =，在[,]a b 上用拉格朗日中值定理得22()()ln ln ln ()2f b f a b a f b a b a ξξξ--'===--，其中2(,)(,)a b e e ξ∈⊂。
注意到ln ()xx xϕ=， 则21ln ()0()()xx x e x xϕϕ-'=<>⇒在(,)e +∞单调下降 2222ln ln 2()()e e e e ξϕξϕξ⇒=>==，因此222ln ln 4()b a b a e->-。
解法二 引入辅助函数，利用函数单调性三、柯西中值定理设函数()f x 和()g x 满足： （1）在闭区间[]a b ，上皆连续；（2）在开区间()a b ，内皆可导且()0g x '≠。
则存在()a b ξ∈，使得()()()()()()()f b f a f a b g b g a g ξξξ'-=<<'- （注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形()g x x =时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理）几何意义：考虑曲线»AB 的参数方程()()[]x g t t a b y f t =⎧⎪∈⎨=⎪⎩，，点()()()A g a f a ，，点()()()B g b f b ，曲线»AB 上是连续曲线，除端点处是光滑曲线，那么在曲线上至少有一点，它的切线平行于割线AB 。
值得注意：在数学理论上，拉格朗日中值定理最重要，有时也称为微分学基本定理。
罗尔定理看作拉格朗日中值定理的预备定理，柯西中值定理虽然更广，但用得不太多。
在考研数学命题中，,用罗尔定理最多，其次是用拉格朗日中值定理，而用柯西中值定理也是较少。
【例1】 设()f x 在[]a b ，上连续，()a b ，内可导，且0b a >>，证明：存在(,)a b x Î，(,)a b h Î使()()2a b f f x h x¢+¢=g 证 考虑柯西中值定理（()g x 待定）()()()()()()()()()()f f b f a f b a g b g a g b g a g x h x ⅱ--==¢-- 最后一步是把分子用拉格朗日中值定理.再把欲证的结论变形，()()()()222f f f b a a b b ax h h x ⅱ?-==+- 两式比较，看出令()2g x x =即可.类似地，欲证()()2223f b ab a f x h x¢++¢=g ，则取()3g x x =即可 四、泰勒定理（泰勒公式）定理1 （皮亚诺余项的n 阶泰勒公式） 设()f x 在0x 处有n 阶导数，则有公式()()()()()()()()()()200000001!2!!n nn f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+L()0x x →其中()()()00nn R x o x x x x ⎡⎤=-→⎣⎦称为皮亚诺余项。