微分中值定理的证明题(题目)

微分中值定理的证明题

1. 若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ∀∈，

(,)a b ξ∃∈使得：()()0f f ξλξ'+=。

。

2. 设,0a b >，证明：(,)a b ξ∃∈，使得(1)()b a ae be e a b ξξ-=--。

。

3. 设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1)

内至少存在一点ξ，使得：()0F ξ''=。

证

4. 设函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，0)0(=f ，1)1(=f .证明：

(1)在(0,1)内存在ξ，使得ξξ-=1)(f ．

(2) 在(0,1)内存在两个不同的点ζ，1)()(//=ηζηf f 使得

5. 设)(x f 在[0，2a]上连续，)2()0(a f f =，证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+.

6. 若)(x f 在]1,0[上可导，且当]1,0[∈x 时有1)(0<

在)1,0( 内有且仅有一个点ξ使得ξξ=)(f

7. 设)(x f 在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且)0(f =)1(f =0，)2

1(f =1。试证至少存在一个∈ξ(0，1)，使()f x ¢

=1。 8. 设)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且)1()0(f f =试证存在ξ和η.满足

10<<<ηξ，使0)()(='+'ηξf f 。

9. 设()f x 在[,]a b 上连续,(,)a b 内可导(0),a b ≤<()(),f a f b ≠

证明: ,(,)a b ξη∃∈使得 ()().2a b f f ξηη

+''= (1) 10. 已知函数)(x f 在[0 ,1]上连续，在（0 ，1）内可导，b a <<0，证明存在),(,b a ∈ηξ，

使)()()(3/22/2ηξηf b ab a f ++=

略）

11. 设)(x f 在a x ≥时连续，0)(时，0)(/>>k x f ，则在))(,(k

a f a a -内0)(=x f 有唯一的实根

根

12. 试问如下推论过程是否正确。对函数21sin 0()0

0t t f t t t ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在[0,]x 上应用拉格朗日中值定理得：

21s i n 0()(0)111s i n ()2s i n c o s 00x f x f x x f x x x ξξξξ

--'====--- (0)x ξ<< 即：1

1

1cos 2sin sin x x

ξξξ=- (0)x ξ<< 因0x ξ<<，故当0x →时，0ξ→，由01l i m 2s i n 0ξξξ+→= 01lim sin 0x x x

+→= 得：0lim x +→1cos 0ξ=，即01lim cos 0ξξ+→=

出

13. 证明：02x π∀<<成立2cos x x tgx x

<<。

。

14. 证明：当02x π<<

时，sin 2x tgx x +>。

。

15. 证明：若()f x 二阶可导，且()0f x ''>，(0)0f =，则()()f x F x x =

在 (0,)+∞内单调递增。 。