微分中值定理
微分中值定理
微分中值定理微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它揭示了函数在某个区间内取得极值的一种方法。
微分中值定理包括拉格朗日中值定理和高尔的中值定理两种形式，下面将分别介绍这两种定理。
拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它表明如果函数满足一些条件，那么在某个区间内一定存在一个点，它的导数等于函数在这个区间两个端点处的斜率。
具体来说，如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，并且a<b，那么存在一个点c∈(a,b)，使得函数在点c处的导数等于函数在区间的两个端点处的斜率。
也就是说，存在c∈(a,b)使得：f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)这个定理的图像可以形象地理解为，曲线在某点的切线与连接两个端点的直线斜率相等。
高尔的中值定理是拉格朗日中值定理的一个推广，它是由高尔证明的。
高尔的中值定理的条件比拉格朗日中值定理更加宽松，它只要求函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导。
具体来说，如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，并且函数在区间的两个端点处的斜率相等，那么存在一个点c∈(a,b)，使得函数在点c处的导数等于函数在区间的两个端点处的斜率。
也就是说，存在c∈(a,b)使得：f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)高尔的中值定理可以看做拉格朗日中值定理的推广，它更加灵活，适用范围更广。
微分中值定理的证明可以通过利用拉格朗日中值定理或高尔的中值定理的定义和一些基本的微积分知识进行推导。
证明的过程比较复杂，需要运用到数学分析中的一些技巧与方法。
微分中值定理在微积分的应用中有着广泛的应用。
它可以用来证明一些数学定理，比如费马最值定理、罗尔定理和拉格朗日多重中值定理等。
此外，微分中值定理还可以用来求函数的零点、证明函数的单调性和判断函数的极值等。
在实际问题中，微分中值定理常常被用来解决一些最优化问题，比如求函数的最值、最小二乘法中的参数估计等。
微分中值定理(2024版)
由 的任意性知, 在(a,b)上为常数 . 推论2 设x (a,b),有f (x) g(x),则f (x) g(x) C,x (a,b)
C为确定的常数
例10 证明等式 证: 设
令x=0,得
又
故所证等式在定义域
(常数) 上成立.
例
用微分法证 sin2x cos2 x 1
题型五:用柯西中值定理证明不等式
则 (a,b),使得 F() 0.
即 f () f (b) f (a) 0 ba
或 f (b) f (a) f ()(b a).
拉格朗日中值公式
注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.
几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有 一点 C ,在该点处的切 线平行于弦 AB.
至少存在一点 (0,1),使 f ( ) 2[ f (1) f (0)].
分析: 结论可变形为
f (1) f (0) 10
f () 2
f ( x) ( x 2 )
x .
证 设 g(x) x2 ,
则 f ( x), g( x) 在[0,1]上满足柯西中值定理的条件,
在(0,1)内至少存在一点, 有
例5 设f(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,且f(a)=f(b), 证明 (a,b),使f ()-f()=0
例6 证明方程 x5 5x 1 0 有且仅有一个小于
1 的正实根.
证 设 f ( x) x5 5x 1, 则 f ( x)在[0,1]连续,
且 f (0) 1, f (1) 3.
lim
x 0
f
(
x) x
f
()
0;
f()
微分中值定理
证 x1, x2 [a,b]，且 x1 x2
则 y f (x)在 x1, x2 上连续，在( x1, x2 )内可导，
由拉格朗日中值定理的条件，
至少存在一个 ( x1, x2 )
使 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( )( x1 x2 ) f ( ) 0. f (x1) f (x2) 0
件 f (a) f (b).
F(x) 0
结 论
f ( ) 0
f ( ) f (b) f (a)
ba
f ( ) f (b) f (a) . F( ) F(b) F(a)
(a＜＜b)
(a＜＜b)
(a＜＜b)
21
2.三个中值定理之间的关系；
Rolle f (a) f (b) Lagrange F(x) x Cauchy
(a
x
b)
则曲线上点(X，Y )
(F(a), f (a))A o F(a)
F ( )
D
X F (b)
处的切线的斜率为：dY f ( x) ， dX F ( x)
而弦 AB的斜率为 f (b) f (a) ，假定点C 对应于 F(b) F(a)
参数x ， 那么点C 处的切线平行于弦AB，
则有 f (b) f (a) f ( ) . F (b) F (a) F ( )
且 f (0) 1, f (1) 3. 由介值定理
x0 (0,1), 使 f ( x0 ) 0. 即为方程的小于1的正实根.
设另有 x1 (0,1), x1 x0, 使 f (x1) 0.
f (x) 在 x0, x1之间满足罗尔定理的条件
则至少存在一个 （在x0, x1 之间）使得 f () 0.
微分中值定理
微分中值定理微分中值定理是微分学中的重要定理,它揭示了函数在区间上的宏观的、整体的性质与函数在某一点上（中值点ξ）的微观的局部的性质之间的关系,是联系函数及其导数的桥梁和纽带。
其中罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理通常联系的是函数与其一阶导数的关系,泰勒中值定理通常联系的是函数与其高阶导数的关系。
一、微分中值定理的历史演变古希腊数学家在几何研究中,得到如下结论：“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”,这是拉格朗日中值定理的特殊情况。
希腊著名数学家阿基米德正是巧妙地利用这一结论,求出抛物线弓形的面积。
意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri,1598-1647）在《不可分量几何学》（1635年）的卷一中给出了处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦,这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理。
1.费马定理法国数学家费马（Fermat,1601-1665）在《求最大值和最小值的方法》（1637年）中给出了费马定理。
费马在研究极大和极小问题的解法时,得到统一的解法“虚拟等式法”,从而得到原始形式的费马定理,费马定理在现行教科书中,一般作为微分中值定理的引理。
当应当注意的是,在当时微积分还处于初创阶段,没有明确导数、极限连续的概念,所以我们现在的看到的费马定理是后人根据微积分理论和费马发现的实质重新给出的。
2.罗尔定理（引理）法国数学家罗尔（Michel Rolle,1652-1719）在任意次方程的一个解法的证明》（1691年）中,给出多项式形式的罗尔定理：“在多项式a0xn+a1xn−1+⋯+an−1x+an=0 的两个相邻根之间,方程na0xn−1+(n−1)a1xn−2+⋯+an−1=0 至少有一个实根”。
这与现代罗尔定理不仅内容上有所不同,而且证明也大相径庭。
现代形式的罗尔定理,是后人根据微积分理论重新证明的,并把它推广到一般函数（可微函数）,“罗尔定理”这一名称是由德国数学家德罗比什（Drobisch,1802-1896）在1834年给出的,并由意大利数学家贝拉维蒂斯（Bellavitis）在1846年发表的论文中正式使用,是此定理成为微分学的一个基本定理。
微分中值定理
定理证明
总结词
柯西中值定理的证明涉及到了微分学中的一 些基本概念和性质，如导数的定义、导数的 几何意义等。
Hale Waihona Puke 详细描述证明柯西中值定理，首先需要理解导数的定 义和性质，然后利用拉格朗日中值定理，再 结合闭区间上连续函数的性质，逐步推导， 最终得出结论。
定理应用
总结词
柯西中值定理在微分学中有广泛的应用，它可以用于研 究函数的单调性、极值等问题，还可以用于求解一些复 杂的微分方程。
详细描述
柯西中值定理的应用主要体现在两个方面，一是利用该 定理研究函数的单调性和极值问题，二是利用该定理求 解一些复杂的微分方程。通过柯西中值定理的应用，我 们可以更好地理解函数的性质，并且能够求解一些复杂 的数学问题。
06
罗尔中值定理
定理内容
总结词
罗尔中值定理是微分学中的基本定理之一，它指出如 果一个函数在闭区间上连续，在开区间上可导，并且 在区间的两端取值相等，那么在这个区间内至少存在 一点，使得函数在该点的导数为零。
定理应用
01
洛必达法则可以用于求极限，特别是当极限的形式为0/0或 者∞/∞时，可以通过洛必达法则求得极限值。
02
洛必达法则还可以用于判断函数的单调性，如果函数在某区间 的导数大于0，则函数在此区间单调递增；如果导数小于0，则
函数在此区间单调递减。
03
此外，洛必达法则还可以用于求函数极值，如果函数在某 点的导数等于0，则该点可能是函数的极值点。
定理应用
总结词
罗尔中值定理在微分学中有广泛的应 用，它可以用于证明其他中值定理、 研究函数的单调性、解决一些微分方 程问题等。
2. 研究函数的单调性
通过罗尔中值定理可以推导出一些关 于函数单调性的结论，例如如果函数 在区间上单调增加或减少，那么其导 数在该区间上非负或非正。
微分中值定理公式
微分中值定理公式
微分中值定理：
1、定义：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且其在该区间上具有一阶导数，那么，存在一个c属于[a,b]，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)
2、应用：
（1）求解函数f(x)在闭区间[a,b]中的最值。
（2）确定区间上函数的局部极大值和极小值，以及单调区间。
（3）确定函数凹凸变化，如果有拐点，则根据导数解一元二次不等式获取。
（4）计算凸函数f(x)的极限值，如极限存在的话，就用微分中值定理来确定它。
3、几何意义：围绕着函数曲线c，有两个相交面积相等，其一个为上和下凸函数组成的不规则四边形的面积，而另一个则为分别以端点a，b为对角的矩形的面积之和：S=(f(a)+f(b))(b-a)
4、优势：
（1）微分中值定理是由微积分中基础概念构成；
（2）它是通过计算数学原理而不是函数曲线平移，形变等操作来确定突变点；
（3）它是通过极值解决拐点计算的有力工具；
（4）它可以用来计算凸函数极限值，是一种快捷有效的方法。
微分中值定理
二、 拉格朗日中值定理
推论1
如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那么f(x)在区间I上是一 个常数.
证在区间I上任取两点x1，x2(x1<x2)，在区间［x1,x2］上应用 拉格朗日中值定理，由式(4-1)
f(x1)－f(x2)=f′(ξ)(x1－x2)(x1<ξ<x2), 由假设f′(ξ)=0 f(x1)=f(x2) 再由x1,x2的任意性知，f(x)在区间I上任意点处的函数值都相等， 即f(x)在区间I上是一个常数. 推论1表明，导数为零的函数就是常数函数.这一结论在以后的 积分学中将会用到.由推论1立即可得下面的推论2.
二、 拉格朗日中值定理
证构造辅助函数 容易验证F(x)满足罗尔定理的条件，从而在(a,b)内至 少存在一点ξ，使得F′(ξ)=0
二、 拉格朗日中值定理
式(4-1)和式(4-2)均称为拉格朗日中值公式.式(4-2)的左端 f(b)－f(a)b－a表示函数在闭区间［a,b］上整体变化的平均变 化率，右端f′(ξ)表示开区间(a,b)内某点ξ处函数的局部变化率.于 是，拉格朗日中值公式反映了可导函数在［a,b］上的整体平均 变化率与在(a,b)内某点ξ处函数的局部变化率的关系.若从力学 角度看，式(4-2)表示整体上的平均速度等于某一内点处的瞬时 速度.因此，拉格朗日中值定理是联结局部与整体的纽带.
图 4-1
一、罗尔定理
定理1
(1)在闭区间［a，b］上连续 (2)在开区间(a，b)内可导 (3)在闭区间［a，b］端点的函数值相等，即f(a)=f(b) 那么在(a，b)内至少有一点ξ［ξ∈(a，b)］，使得函数f(x)在 该点的导数等于零
f′(ξ)=0. 值得注意的是，罗尔定理要求f(x)应同时满足三个条件，若 函数f(x)满足定理的三个条件，则曲线y=f(x)在开区间(a，b)内， 至少有一条水平切线；若函数f(x)不能同时满足定理的三个条件， 则曲线y=f(x)在开区间(a，b)内，可能就没有水平切线.
微分中值定理
微分中值定理微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它揭示了函数在一定条件下存在某个点，该点的导数与函数在两个端点的斜率相等。
本文将介绍微分中值定理的三种形式，以及它们的应用和证明过程。
一、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微分中值定理的一种形式，它表述为：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则在(a, b)上至少存在一点c，使得f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)。
拉格朗日中值定理的证明依赖于罗尔中值定理。
首先，由于函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在[a, b]上一定存在最大值M和最小值m。
若M=m，则f(x)是一个常数函数，此时拉格朗日中值定理显然成立。
若M≠m，则根据罗尔中值定理，存在某个点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ)=0。
于是，可以将区间[a, b]分成两个子区间：[a, ξ]和[ξ, b]。
在两个子区间上分别应用拉格朗日中值定理，可得：f(ξ) - f(a) = f'(c1)(ξ - a)， f(b) - f(ξ) = f'(c2)(b - ξ)其中，c1∈(a, ξ)，c2∈(ξ, b)。
因此，通过简单的变形，我们可以得到f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)，其中c∈(a, b)。
证明完毕。
拉格朗日中值定理的经典应用是利用导数来研究函数的增减性和极值问题。
通过该定理，我们可以找出函数在某一区间上的极值点，并且可以了解函数在该区间上的增减性。
二、柯西中值定理柯西中值定理是微分中值定理的另一种形式，它用于描述两个函数在给定区间内的导数之间的关系。
柯西中值定理的表述为：若函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导且g'(x)≠0，则在(a, b)上至少存在一点c，使得(f(b) - f(a))g'(c) = (g(b) - g(a))f'(c)。
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则由F拉( x氏)在中[a值,b定]上理满,知足:罗至尔少定存理在的一条个件,且(ax,b),(使a,b得),有
F (
f (b) x) b
f (a) f (ab)
f(af)(g(),x)
g(b) g(a) f b( x)a,
g(
),
由罗尔fg定((bb理)) ,知ggf(((:baa)))ggf((aa((),b))).,使正得确F吗(?)为 0什. 么?
(1) 在[a,b]上连续,
(2) 在(a,b)内可导,
o a
bx
则至少存在一点 (a,b), y
罗尔定理
使得f ( ) f (b) f (a) .
ba
o a
bx
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
若f ( x)满足 : (1) 在[a,b]上连续,
证明: 令F ( x) f ( x) f (a)
定例理3 若f ( x), g( x)满足 : (1) 在[a,b]上连续,
(2) 在(a,b)内可导, (3) x (a,b), g( x) 0,
则至少存在一点 (a,b),使得
f (b) f (a) g(b) g(a)
f ( ) . g( )
柯证西明(C: a由uc(h3)y知)中:值g(定b) 理 g(a) 0几, 何解释
xf)(fbb()xf)(,abf )(a)
f(aff)(a(g)(),x)
g(b) g(a) f b( x)a,
g(
),
由罗x尔[fga定((,bbb理])).,知ggf(((:baa)))ggf((aa((),bo))).,使正得g确(Fa吗)(g?()为)0什. g么(b?)
2 证 设 f ( x) arcsin x arccos x, x [1,1]
则 f ( x)在[1,1]上连续, 在(1,1)内可导,
且 f ( x)
1 ( 1 x2
1 1
) x2
0,
f ( x)为[1,1]上的常值函数,
又 f (0) arcsin0 arccos0 0 ,
设 f ( x)在[ x1, x2 ]上连续,在( x1, x2 )内可导,则
至少存在一点 ( x1, x2 ),使得 f ( x2 ) f ( x1 ) f ( ) ( x2 x1 ).
例1 证明当 x 0时, x ln(1 x) x. 1 x
证 设 f (t) ln(1 t ),
f ( x2 ) f ( x1) f ( ) ( x2 x1), 其中 位于x1与x2之间, 又由题知 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1) 0, f ( x1) f ( x2 ), 由x1和x2的任意性知, 推论成立.
例2 证明 arcsin x arccos x (1 x 1).
第三章 中值定理与导数的应用
中值定理
泰
勒
中
罗尔定理
值
定
柯西中值定理
理 （
泰
勒
公
拉格朗日中值定理
式 ）
第一节 微分中值定理
观察图形 y f ( x), x [a,b]:
y
y
o a
b
y
o a 1 2 3 4 5 b
x o a 1 2 b
x
条件 : f ( x)满足
(1) 在[a,b]上连续;
f (b) f (a)( x a), ba
则F ( x)满足 :
(2) 在(a,b)内可导,
则至少存在一点 (a,b),
(1) 在[a,b]上连续, (2) 在(a,b)内可导,
(3) F(a) F(b) 0,
使得f ( ) f (b) f (a) .
ba
由罗尔定理,知 :
其证明见罗尔定理的证明过程
★罗尔定理的证明: f ( x) 在 [a,b] 连续, f ( x)在[a,b]可取得最大值 M 和最小值 m. (1) 若 M m. 则 对x [a,b],有f ( x) M .
从而对x (a,b),有f ( x) 0. 即 (a,b), 有 f ( ) 0.
至少存在一个 ( x0, x1),使得 f ( ) 0.
但 f ( x) 5( x4 1) 0, x (0,1), 矛盾, ∴在(0,1)内f (x)有且仅有一个零点,
即原方程在(0,1)内有且仅有一个实根.
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 y
若f ( x)满足 :
例题
例1 证明: 在(0,1)内,方程 x5 5x 1 0 有且仅有 一个实根.
证 设 f ( x) x5 5x 1, 则 f ( x)在[0,1]连续,
且 f (0) 1, f (1) 3. 由零点定理, 知
x0 (0,1),使 f ( x0 ) 0. 即方程在(0,1)内有实根. 设另有 x1 (0,1), x1 x0 , 使 f ( x1 ) 0, 不妨设 x1 x0 . 关于[ x0, x1], f ( x) 满足罗尔定理的条件,
至少有一个零点.
思考题提示或答案
2、已知
a0
a1 2
an n1
0,
证明: f ( x) a0 a1x an xn在(0,1)内
至少有一个零点.
提示 : 考虑
g(
x)
a0
x
a1 2
x2
an xn1 . n1
(2) 若 M m. f (a) f (b), 最大值和最小值中至少 有一个在区间(a , b)内取得,
不妨设 f ( ) M , (a,b). f ( x) f ( ), 即有 f ( x) f ( ) 0,
f ( x) f ( ), 即有 f ( x) f ( ) 0,
dx 1
x
1 x2
思考题
1、已知f ( x) ( x 1)( x 2)( x 3)( x 4),问方程 f ( x) 0有几个根,分别在何区间内?
2、已知
a0
a1 2
an 0, n1
证明: f ( x) a0 a1x an xn在(0,1)内
则考令有由F察F人拉(X(参x给氏x)在)数出中g[方a如(值fg,x程b((下)定bb],上)):证理满明g,f知(足(aa:ff):)罗(([Yb至g尔))( x少定) 存理g在(的a一)条] 个件[,f且( x()ax,bf),((使aa,)b得],),有
Y F (
22
arcsin x arccos x (1 x 1) .
2
同理可证: arctanx arc cot x ( x ).
2
例3 若f ( x), g( x)满足 : (1) 在[a,b]上连续,
(2) 在(a,b)内可导, (3) x (a,b), g( x) 0,
f ( ) 0,
f ( )存在, f( ) f( ) f ( ),
f ( ) 0且f ( ) 0, f ( ) 0.
注: 罗尔定理是一个充分性定理.
例如:
y
f (x)
1,
1,
1 x 0 .
0 x 1
1 1 1 x,
1 1 1,
1 x 1
x x x,
1若 f ( x) 在区间 I 上连续,且在(I )内的导数恒为零 , 则 f (x) 在区间 I 上是一个常数.
证 设 x1与x2为I上任意两点, x1 x2 , 则拉格朗日中值定理,知 :
则 F( x)在[a,b]上满足罗尔定理的条件,且x (a,b),有
F( x) f (b) f (a) g( x) f ( x), g(b) g(a)
由罗尔定理,知 : (a,b),使得 F( ) 0.
定例理3 若f ( x), g( x)满足 : (1) 在[a,b]上连续,
则 f (t) 在[0, x]上满足拉氏定理的条件 ,
f ( x) f (0) f ( )(x 0), (0 x)
f ( x) ln(1 x), f (0) 0, f (t) 1 , 1 t
ln(1 x) x ,
1
又 0 x,
X
补充
二阶行列式、三阶行列式的定义与计算 (附录1，P339)
◆二阶行列式
a
b ad bc.
cd
例如
2
1 2(3) 5(1) 1.
5 3
x 2 y f ( x) 2( x 2 y) f ( x).
1
2
d x ln( x2 1) [ x2 ln( x2 1)] 2 x 2 x .
(2) 在(a,b)内可导, (3) x (a,b), g( x) 0,
则至少存在一点 (a,b),使得
f (b) f (a) g(b) g(a)
f ( ) . g( )
柯证西明(C: a由uc(h3)y知)中:值g(定b) 理 g(a) 0,
令有F (人x)给出fg如((bb))下证gf((明aa)):[g( x) g(a)] [ f ( x) f (a)],
若 x 0, 则有 f ( x) f ( ) 0,
x
若 x 0, 则有 f ( x) f ( ) 0,
x
即
f( )