微分中值定理经典题型
微分中值定理例题
理工大学微积分-微分中值定理费马定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理()()1.()0,(0)0,f x f f f ϕξξξξζξξξ'' <=>><≤[][]''''''[]<<≤１２１２１２１２１２１２１２２１１１２１１１２１１２２１设证明对任何的x ０，ｘ０，有（ｘ＋ｘ）（ｘ）＋ｆ（ｘ）． 解：不妨设ｘｘ，（ｘ）＝f （ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ） ＝ｆ（ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（０） ＝ｆ（）ｘ－ｆ（）ｘ＝ｘｆ（）－ｆ（）＝ｘｆ－．因为，０ｘｘ()ξζϕ''<<<<２１１２ｘ＋ｘ，又ｆ０，所以（ｘ）０，所以原不等式成立。
12n 12n 12n 11221122n 0011000.x b f x .x x x b 1,f )f x f x f x x *,()()()()n n n nni i i i i i i X b b x f x f x f x x x λλλλλλλχλχλχλλλλλ=='' >∀⋯⋯∈<<1++⋯+=++⋯+≤⋯=<=>α.'''=+-+∑∑2设f （）在（a ，）内二阶可导，且（）0，，（a ，），0，，，且则，试证明(（）+（）++（）. 解：设同理可证：()20000i 0011110000111()()()()().x 2!()()()()()(()()().)nn ni i i i i i i nni nniiiiiii i i i i i f x x f x f x x x f x f x f x f x x x f x X X x x f x f x λλλλξξλλλ=======⎛⎫''-'-≥+-<<'≥+-===- ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑注：x()3.)tan.2F ,F 2(0)0,(0)0,((cos02F f xf F F f ππξξπξξππππππξ [0]0'∈=[0]0=∴===[0]∈设f(x)在，上连续，在（，）内可导，且f （0）=0，求证：至少存在（0，），使得2f ( 证明：构造辅助函数：（x)=f(x)tan 则（x)在，上连续，在（，）内可导，且））所以（x)在，上满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理知：至少存在（0()()()()()()F 011F x cossin F cos sin 0222222cos0)tan22x x x f f f πξξξξξξξξξπξξ'=''''=- =-='∈≠=，），使得，而f(x)f()又（0，），所以，上式变形即得：2f (，证毕。
微分中值定理练习题
微分中值定理练习题1．试证拉格朗日中值定理．2．设()f x 在[]0,1上连续，在(0,1)内可导， (0)(1)0f f ==，11,2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭试证： （1）存在1,12η⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()f ηη=． （2）对任意实数,(0,)λξη∃∈，使[]()()1f f ξλξξ'--=．3．模型Ⅰ：设()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，则下列结论皆成立：（1）存在(,)a b ξ∈，使()()0f f ξξ'+=（为实常数）．（2）存在(,)a b ξ∈，使1()()0k f k f ξξξ-'+=（0,k k ≠为实常数）．（3）存在(,)a b ξ∈，使()()()0f g f ξξξ'+=（()g x 为连续函数）．4．设()f x 在[]0,1上连续，在(0,1)内可导，1(0)(1)0,12f f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，试证： （1）存在1,12η⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()f ηη=． （2）存在(0,)ξη∈，使[]2()3()1f f ξξξξ'+-=．5．模型Ⅱ：设(),()f x g x 在[],a b 上皆连续，在(,)a b 内皆可导，且()0,()0f a g b ==，则存在(,)a b ξ∈，使()()()()0f g f g ξξξξ''+=．6．设()f x 在[]0,1上连续，在(0,1)内可导，(0)0f =，k 为正整数，求证：存在(0,1)ξ∈，使()()()f kf f ξξξξ''+=．7．设()f x 在[]0,1上连续，在(0,1)内可导，(0)0f =．当0x >时，()0,f x > 试证：对任意正整数k ，存在()0,1ξ∈使()(1)()(1)f kf f f ξξξξ''-=-． 8．设0x >，试证ln(1)1x x x x<+<+． 9．设不恒为常数的函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()f a f b =，证明：在(,)a b 内至少有一点ξ使得()0f ξ'>．10．设()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，证明在(,)a b 内至少存在一点ξ，使()()()()bf b af a f f b aξξξ-'=+-． 11．设0a b <<，函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，证明存在一点,(,)a b ξξ∈，使()()()ln b f b f a f aξξ'-=． 12．设()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，且0a b <<，证明：存在(,),(,)a b a b ξη∈∈，使()()2a b f f ξηξ'+'=⋅． 13．设()f x 在(,)a b 内有123()0,,,f x x x x ''>是(,)a b 内相异的三个点， 求证：[]1231231()()()33x x x f f x f x f x ++⎛⎫<++ ⎪⎝⎭ 14．若()f x 在[]0,1上有三阶导数，且(0)(1)0f f ==，设3()()F x x f x =．试证：在(0,1)内至少存在一点ξ，使得()0F ξ'''=．15．设()f x 在[]0,1上可导，在(0,1)内有二阶导数，且(0)(1)0f f ==．试证：方程2()()0f x xf x '''+=在(0,1)内有一实根．16．设()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，试证：存在(,)a b ξ∈使得()()()f f a f b ξξξ-'=-． 17．设0a b <<，函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，且(),()f a b f b a ==，试证明：存在(,)a b ξ∈使得()()f f ξξξ'=-．18．设()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续，在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭内可导， 证明：0,2πξ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使()sin 22()cos 20f f ξξξξ'+=．19．设()f x 在[]0,1上连续，(0,1)内可导，且(1)0f =，证明：(0,1)ξ∃∈，使()tan ()0f f ξξξ'+=．20．设()f x 在[]1,1-上具有三阶连续导数，且(1)0,(1)1,(0)0,f f f '-===， 证明：(1,1)ξ∃∈-，使()3f ξ'''=．21．设()f x 在[],(0)a a a ->上具有二阶连续导数，且(0)0f =．（1）写出()f x 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；（2）证明：[],a a η∃∈-，使3()3()aa a f f x dx η-''=⎰．22．设(0,1)x ∈，证明：22(1)ln (1)x x x ++<．23．设0()lim 1x f x x→=，且()0f x ''>，证明：()f x x ≥． 24．设函数()f x ，在闭区间[]0,1上连续，在开区间(0,1)内可导，且1(0)0,(1)3f f ==证明：存在110,,,122ξη⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．使得22()()f f ξηξη''+=+． 25．证明（1）对任意正整数n ，都有111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭ （2）设1111ln (1,2,)23n a n n n =++++-= 证明数列{}n a 收敛．微分中值定理练习题答案或提示（凡是证明题均为提示，为节约篇幅，在题号后不再写“提示”二字）1．作辅助函数()()()()f b f a F x f x x b a-=--，用罗尔定理． 2．（1）令()()x f x x ϕ=-，用零点定理．（2）令()()()x F x ef x x λ-=-，用罗尔定理． 3．（1）令()()x F x e f x =，用罗尔定理．（2）令()()kx F x e f x =，用罗尔定理． （3）令()()()G x F x e f x =，其中()()G x g x '=，用罗尔定理．4．（1）令()()x f x x ϕ=-，用零点定理． （2）令[]3()()x F x e f x x =-5．令()()()F x f x g x =，用罗尔定理．6．令()(1)k g x x =-，用模型Ⅱ（第5题）．7．令()()(1)kF x f x f x =-． 8．令()ln(1)f t t =+，在[]0,x 用拉格朗日定理． 9．(,)c a b ∃∈使()()()f c f a f b ≠=，若()()f c f a >，则在[],a c 上用拉格朗日定理； 若()()f c f a <，则在[],c b 上用拉格朗日定理．10．令()()F x xf x =．用拉格朗日定理．11．令()ln ,(),()g x x f x g x =在[],a b 上用柯西中值定理．12．令2(),(),()g x x f x g x =在[],a b 上先用柯西中值定理，然后用拉格朗日中值定理． 13．令12303x x x x ++，将123(),(),(),f x f x f x 在0x 处展开成一阶泰勒公式，将三式相加可证得结论． 14．将3()()F x x f x =在0x =处展开成二阶泰勒公式．15．()f x 在[]0,1上先用罗尔定理11()0,(0,1)f x x '=∈，令2()(),F x x f x '=在[]10,x 上用罗尔定理．16．令()()()()F x f x f a b x =--⎡⎤⎣⎦，在[],a b 上用罗尔定理．17．令()()F x xf x =，在[],a b 上用罗尔定理．18．令()()sin 2F x f x x =，用罗尔定理．19．令()()sin F x f x x =，用罗尔公式．20．写出()f x 的二阶麦克劳林公式（拉格朗日型余项）．21．（2）利用（1）的展开式，对展开式两边取从a -到a 的定积分．22．令22()(1)ln (1)F x x x x =++-，对()F x 用二阶麦克劳林公式．23．写出()f x 的一阶麦克劳林公式． 24．令31()()3F x f x x =-，对()F x 在110,,,122⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦上分用拉格朗日中值定理． 25．（1）用拉格朗日中值定理 （2）证明{}n a 单调递减有下界．。
与微分中值定理有关的证明题
与微分中值定理有关的证明题一．利用罗尔定理1．()f x 在[0 ，1]上有二阶导数，且(1)0f = ，又2()()F x x f x = ，求证：在（0 ，1）内至少存在一点x ，使()0F x ⅱ= 2．()f x 在[0 ，1]上连续，在（0 ，1）内可导 ，且(1)0f = ，求证：在（0 ，1）内 至少存在一点x ，使()()0f f x x x ¢+=3．()f x 在[a ，b]上连续，在（a , b ）内可导，且()()0f a f b == ，l 为某个常数，求证：在（a , b ）内至少存在一点x ，使()()0f f l x x ¢+= 4．()f x 在[a ，b]上连续，在（a , b ）内可导，且()()0f a f b == ，l 为某个常数， 求证：在（a , b ）内至少存在一点x ，使()()0f f x x x ¢+=5．()f x ，()g x 在[a ，b]上连续，在（a , b ）内可导，且()()0f a f b ==求证：在（a , b ）内至少存在一点x ，使()()()()0f g f g x x x x ⅱ+= 6．()f x ，()g x 在[a ，b]上连续，在（a , b ）内可导，且()()0f a f b == ， 对于任一点x Î[a , b] ，()0g x ¹ ，求证：在（a , b ）内至少存在一点x ，使()()()()0f g f g x x x x ⅱ-= 7．()f x ，()g x 在[a ，b]上连续，在（a , b ）内可导，且()()0f a f b ==求证：在（a , b ）内至少存在一点x ，使()()()0f f g x x x ⅱ+= 8．()f x 在[a ，b]上连续，在（a , b ）内可导，且()()f a f b = ， 求证：在（a , b ）内至少存在一点x ，使()()()f a f f x x x ¢-= 9．()f x 在[1 ，2]上连续，在（1 ，2）内可导，且1(1)2f = ，(2)2f =，求证：在（1 , 2）内至少存在一点x ，使2()()f f x x x¢=二．利用拉格朗日中值定理1．当1||2x £，证明：23arccos arccos(34)x x x p --=2．02p a b <<<时，证明：22tan tan cos cos b a b a b a ab--<-<3．0x >时，求证：2arctan 1x x x x<<+4．0a b <<，求证：b ab ab ab e ea--<<5．()f x 在[a ，b]上连续，在（a , b ）内可导，()()f a f b =，且()f x 在[a , b]上 不为常数，求证：在（a , b ）内至少存在一点x ，使()0f x ¢>6．()f x 在[a ，b]上连续，在（a , b ）内二阶可导，()()f a f b ==0，()0f c >（a c b <<），求证：在（a , b ）内至少存在一点x ，使()0f x ⅱ<7．0x >，11()42x q <<，并求0lim ()x x q +®与lim ()x x q ?三．利用柯西中值定理1．0a b <<，求证：在（a ，b ）内至少存在一点x ，使(1)()baae be e b a xx -=-- 2．0a b <<，()f x 在[a ，b]上连续，在（a , b ）内可导，求证：在（a ，b ）内至少 存在一点x ，()()()ln b f b f a f ax x ¢-=四．综合题1．()f x 在[0 ，1]上连续，在（0 ，1）内可导 ，且(0)(1)0f f ==，12()1f =， 求证：在（0 ，1）内至少存在一点x ，使()1f x ¢=2．()f x 在[a ，b]上连续，在（a , b ）内有二阶导数，连接点（a , ()f a ） 与点（b ，()f b ）的直线段交曲线()y f x =于点（c ，()f c ），a c b <<，求证：在（a ，b ）内至少存在一点x ，使()0f x ⅱ= 3．()f x ¢在[0 ， c]上单调减少，且(0)0f =，证明：对于满足0a b a b c <<<+<中 的a 与b ，恒有()()()f a f b f a b +<+4．()f x 在[0 ，1]上连续，在（0 ，1）内可导 ，且(0)0,(1)1f f ==， 求证：任给正数a 与b ，在（0，1）内必存在1x 与2x ，使12()()a b a b f x f x +=+ⅱ5．0a b <<，()f x 在[a ，b]上连续，在（a , b ）内可导，证明：在（a ，b ）内分别存在x 和h ，使222()()()3f f a ab b h x h¢¢=++提示：一 . 1. ()F x 在[0 1]上应用罗尔定理，得()0F η'= ，()F x '在[0 η]上应用罗尔定理2．()()x x f x ϕ= 3. ()()x x f x e λϕ= 4. 22()()xx e f x ϕ= 5. ()()()x f x g x ϕ=6. ()()()f x xg x ϕ=7. ()()()g x x f x e ϕ= 8. ()[()()]x x f x f a ϕ=- 9. 2()()f x x xϕ=二. 4. 取对数ln ln b a b ab a ba--<-<令()ln f x x = 5. 至少有一点c (a<c<b) , ()()f c f a ≠ 若()()f c f a >, ()f x 在[a c] 应用拉格朗日中值定理 , 若()()f c f a <, ()f x 在[c b] 应用拉格朗日中值定理 6．()f x 在[]a c 与[]c b 分别应用拉朗日中值定理，得1a c η<<与2c b η<< 且1()0f η'>与2()0f η'<，()f x '在12[]ηη上应用拉格朗日中值定理7. ()f t =在[x 1x +]上用拉格朗日中值定理得,得11()]42x θ=+由1022x x<=<=1111l i m ()l i m ()4422x x x x x θθ+→+∞→+∞→==+=三. 1. ()xef x x =1()g x x = 2 .()()ln ln f b f a b a--四. 1. ()()F x f x x =-在[121]上应用零点定理 , ()0F η=, ()F x 在[0 η]用罗尔定理 2. ()f x 在[a c]和[c d]上应用拉格朗日中值定理 , 得12()()f x f x ''=()f x '在[1x 2x ]应用罗尔定理3. ()()()()()[()(0)]f a b f a f b f a b f b f a f +--=+--- 应用拉格朗日中值定理2112()()0f a f aa b a b ξξξξ''=-<<<<<+21[()()]0a f f ξξ''=-<4. 由于01a a b<<+ 介值定理得()a f a bξ=+ 01ξ<<在[0 ξ] 和[ξ 1]上用拉格朗日中值定理 得11()0()a ab x f x ξξ=+<<' ①22(1)()1()b a bx f x ξξ=-+<<' ② ①+②相加得证5. 拉格朗日中值定理 ()()()f b f a f b a ξ-'=- ① 柯西定理332()()()3f b f a f b aηη'-=- ②②乘22a ab b ++得222()()()()3f b f a f a ab b b aηη'-=++- ③ 比较①③得证。
中值定理练习题
中值定理练习题中值定理是微积分中的一个重要定理，它是由法国数学家Cauchy在19世纪初提出的。
中值定理可以帮助我们理解函数在某个区间内的平均变化率与瞬时变化率之间的关系。
在实际应用中，中值定理常常用于证明其他定理，或者用于解决一些实际问题。
首先，让我们回顾一下中值定理的表述。
中值定理有三种形式：拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。
这三种形式都是基于相同的思想，即在一个区间内，如果函数连续且可导，那么一定存在一个点，使得函数在该点的瞬时变化率等于函数在整个区间内的平均变化率。
以拉格朗日中值定理为例，假设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导。
那么存在一个点c∈(a, b)，使得f'(c)等于函数在区间[a, b]上的平均变化率，即f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
接下来，我们来看几个关于中值定理的练习题。
练习题一：证明函数f(x)=x^3在区间[-1, 1]上满足中值定理的条件，并找出满足中值定理的点。
解答：首先，我们可以验证函数f(x)=x^3在闭区间[-1, 1]上是连续的。
因为多项式函数在整个实数域上都是连续的，所以f(x)=x^3在[-1, 1]上也是连续的。
其次，我们需要证明函数f(x)=x^3在开区间(-1, 1)上是可导的。
对于f(x)=x^3，我们可以直接求导得到f'(x)=3x^2。
因为3x^2在整个实数域上都是连续的，所以f'(x)=3x^2在(-1, 1)上也是连续的。
由于函数f(x)=x^3满足中值定理的条件，根据中值定理，存在一个点c∈(-1, 1)，使得f'(c)=(f(1)-f(-1))/(1-(-1))。
将函数f(x)=x^3代入上式，得到3c^2=(1^3-(-1)^3)/(1-(-1))=1。
解方程3c^2=1，我们可以得到c=±1/√3。
因此，满足中值定理的点c分别为c=1/√3和c=-1/√3。
高等数学微分中值定理与导数应用习题
微分中值定理与导数应用一、选择题1. 设函数()sin f x x =在[0,]π上满足罗尔中值定理的条件，则罗尔中值定理的结论中的=ξ【 】 A. π B. 2π C. 3πD. 4π2. 下列函数中在闭区间],1[e 上满足拉格朗日中值定理条件的是【 】A. x lnB.x ln ln C.xln 1 D.)2ln(x -3. 设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ，则方程0)('=x f 有【 】A. 一个实根B. 二个实根C. 三个实根D. 无实根4. 下列命题正确的是【 】A. 若0()0f x '=，则0x 是()f x 的极值点B. 若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=C. 若0()0f x ''=，则()()00x f x ，是()f x 的拐点D. ()0,3是43()23f x x x =++的拐点5. 若在区间I 上，()0,()0,f x f x '''>≤, 则曲线f (x ) 在I 上【 】A. 单调减少且为凹弧B. 单调减少且为凸弧C. 单调增加且为凹弧D. 单调增加且为凸弧 6. 下列命题正确的是【 】A. 若0()0f x '=，则0x 是()f x 的极值点B. 若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=C. 若0()0f x ''=，则()()00x f x ，是()f x 的拐点D. ()0,3是43()23f x x x =++的拐点7. 若在区间I 上，()0,()0,f x f x '''<≥, 则曲线f (x ) 在I 上【 】A. 单调减少且为凹弧B. 单调减少且为凸弧C. 单调增加且为凹弧D. 单调增加且为凸弧 8. 下列命题正确的是【 】A. 若0()0f x '=，则0x 是()f x 的极值点B. 若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=C. 若0()0f x ''=，则()()00x f x ，是()f x 的拐点D. ()0,3是43()23f x x x =++的拐点9. 若在区间I 上，()0,()0,f x f x '''>≥, 则曲线f (x ) 在I 上【 】A. 单调减少且为凹弧B. 单调减少且为凸弧C. 单调增加且为凹弧D. 单调增加且为凸弧 10.函数256, y x x =-+在闭区间 [2,3]上满足罗尔定理，则ξ=【 】A. 0B. 12C. 52D. 2 11.函数22y x x =--在闭区间[1,2]-上满足罗尔定理，则ξ=【 】A. 0B. 12C. 1D. 212.函数y =在闭区间[2,2]-上满足罗尔定理，则ξ=【 】A. 0B. 12C. 1D. 2 13.方程410x x --=至少有一个根的区间是【 】A.(0,1/2)B.(1/2,1)C. (2,3)D.(1,2) 14.函数(1)y x x =+.在闭区间[]1,0-上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的=ξ 【 】A. 0B. 12-C. 1D.1215.已知函数()32=+f x x x 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，则拉格朗日定理成立的ξ是【 】 A.± B. C. D. 13±16.设273+=x y ，那么在区间)3,(-∞和),1(+∞内分别为【 】 A.单调增加，单调增加 B.单调增加，单调减小 C.单调减小，单调增加 D.单调减小，单调减小二、填空题1. 曲线53)(23+-=x x x f 的拐点为_____________.2. 曲线x xe x f 2)(=的凹区间为_____________。
微分中值定理例题
. . . .()()1.()0,(0)0,f x f f f ϕξξξξζξξξ'' <=>><≤[][]''''''[]<<≤１２１２１２１２１２１２１２２１１１２１１１２１１２２１设证明对任何的x ０，ｘ０，有（ｘ＋ｘ）（ｘ）＋ｆ（ｘ）． 解：不妨设ｘｘ，（ｘ）＝f （ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ） ＝ｆ（ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（０） ＝ｆ（）ｘ－ｆ（）ｘ＝ｘｆ（）－ｆ（）＝ｘｆ－．因为，０ｘｘ()ξζϕ''<<<<２１１２ｘ＋ｘ，又ｆ０，所以（ｘ）０，所以原不等式成立。
12n 12n 12n 11221122n 0011000.x b f x .x x x b 1,f )f x f x f x x *,()()()()n n n nni i i i i i i X b b x f x f x f x x x λλλλλλλχλχλχλλλλλ=='' >∀⋯⋯∈<<1++⋯+=++⋯+≤⋯=<=>α.'''=+-+∑∑2设f （）在（a ，）内二阶可导，且（）0，，（a ，），0，，，且则，试证明(（）+（）++（）. 解：设同理可证：()20000i 0011110000111()()()()().x 2!()()()()()(()()().)nn ni i i i i i i nni nniiiiiii i i i i i f x x f x f x x x f x f x f x f x x x f x X X x x f x f x λλλλξξλλλ=======⎛⎫''-'-≥+-<<'≥+-===- ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑注：x5的理工大学微积分-微分中值定理费马定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理程功2021/12/28()3.)tan.2F ,F 2(0)0,(0)0,((cos02F f xf F F f ππξξπξξππππππξ [0]0'∈=[0]0=∴===[0]∈设f(x)在，上连续，在（，）内可导，且f （0）=0，求证：至少存在（0，），使得2f ( 证明：构造辅助函数：（x)=f(x)tan 则（x)在，上连续，在（，）内可导，且））所以（x)在，上满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理知：至少存在（0()()()()()()F 011F x cos sin F cos sin 0222222cos0)tan22x x x f f f πξξξξξξξξξπξξ'=''''=- =-='∈≠=，），使得，而f(x)f()又（0，），所以，上式变形即得：2f (，证毕。
微分中值定理及导数应用双周练习卷
lim arctan( x a) arctan x
x
x 2
(0) 0
lim x
1
(
1 x
a
)2
2 x3
1
1 x
2
1 lim
2 x
x3 (2ax a2 ) (1 x2 )[1 ( x a)2 ]
()
1 2a
2
a
1
13、lim x0
tan x
x
x2
lim x0
1
e x2
tan x ln x
1
8 x3
由f ( x) 0,得 x 2
f (1) 1,
f (2) 1,
f (4) 1 4
最大值是 f (2) 1； 最小值是 f (1) 1
17、证明：arctan b arctan a b a .
证：设f ( x) arctan x，(不妨设b a) f ( x) C[a,b]， f ( x) D(a,b)
x
x
二、填空题(每题3分，共15分)
6、曲线y
4x 1 ( x 2)2
的渐近线是
y 0,
x 2.
解：
lim 4x 1 x ( x 2)2
0
y 0是水平渐近线
又
4x 1
lim
x 2
(
x
2)2
x 2是垂直渐近线
7、函数f ( x) 1 x 在[1, 2]上满足拉格朗日中 x
定理的 = 2 .
解： f ( ) f (2) f (1)
21
1
2
1 2
得 2 (舍负)
8、函数f ( x) x 2sin x在区间[0, ]上的
2
积分中值定理的例题
积分中值定理的例题
《中值定理》是微积分学中最重要的定理之一，它关乎到函数在
给定段上的定义、最值、单调性问题，经常被广泛地应用于几何、物
理等领域。
按照中值定理规定，如果一个在给定段上具有连续导数的函数，
在某一点上取值的极值（最大值或最小值），则在该点的导数必定为0，即当函数f（x）在a点取最大值时，f（x）的导数f'（a）=0；当函
数f（x）在a点取最小值时，f（x）的导数f'（a）=0。
拿一元函数f（x）=ax^2+bx+c举例：在计算此函数的极大值、
极小值时，我们一般都要经过两步：
首先根据求导法求出此函数的表达式的导数f'（x）；
由f'(x)=0可变求出x的值，记为x0，得到f'（x0）=0；
再用x0代入f（x）的表达式，计算得出f（x0）的值，记为K，得到f（x0）=K；
由K可以确定f（x）的极大值或极小值是K。
通过真实例题来加以说明。
求函数f（x）=2x^2-4x+3在［3，4］段上的最值。
对函数求导
：f'（x）=4x-4
让f'（x）=0可得x=1
让x=1代入函数f（x）得函数值为f（x=1）=2
它是一个最小值，为2，
又因为函数f（x）在［3， 4］上是连续的，因此它的最小值是2.
从中我们可以看出，中值定理非常实用，只要将函数求导，得到函数值，然后根据计算结果就能轻而易举地算出函数的最大值或最小值。
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(1) 求
在
内的极值可疑点
(2) 最大值 最小值
M max
f (a) , f (b)
注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值)
4.连续曲线凹凸与拐点
（1）凸（凹）函数的定义
设f : I R，若x1 , x2 I， [0,1]有
f x1 (1 ) x2 f ( x1 ) (1 ) f ( x2 )
(2) f (1) f () f '( )(1 ) f () f (0) f '() (,1) (0, )
又f (1) f () 1 f ()
f ( ) f (0) f ( ) 1
1 f '( ) f '() ， 0， （ 1）
证 设 x0 [0,1], 在 x0 处把 f ( x ) 展成一阶泰勒公式 有 ,
1 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) f ( )( x x0 )2 2
令 x 0, x 1, 则有
1 2 f (0) f ( x0 ) f ( x0 ) x0 f (1 ) x0 2 1 f (1) f ( x0 ) f ( x0 )(1 x0 ) f ( 2 )(1 x0 )2 2
洛必达法则
Cauchy 中值定理
F ( x) x
0 0 ,1 , 0 型
0 型 0 型
令y f 取对数
g
型
1 g 1 f f g 1 g 1 f
0 型
f g f 1g
Lagrange f (a ) f (b) Rolle 中值定理 定理
n0
Fermat定理
①
又因 f ( x ) 及 x 2在 [a , b] 上满足柯西定理条件 ,
故有 ②
ab 将①代入② , 化简得 f ( ) f ( ), , (a , b) 2
例1 若函数 f ( x ) 在 [0,1] 上二阶可微, 且 f (0)
1 f (1), f ( x ) 1, 证明 : f ( x ) ( x [0,1]) 2
使
f ( x ) sinln x , F ( x ) ln x
则 f (x) , F(x) 在 [ 1 , e ] 上满足柯西中值定理条件, f (e ) f (1) f ( ) , ( 1 , e ) 因此 F (e ) F (1) F ( ) 即 分析:
1
cos ln
在 I 上单调递增 在 I 上单调递减
2. 连续函数的极值 (1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点 (2) 第一充分条件
过 过 由正变负 由负变正 为极大值 为极小值 为极大值 为极小值
(3) 第二充分条件
3. 在[a, b]上连续的函数f(x)的最大（小）值求法
求函数最值的方法:
f (0) f (1) f (2) 3, f (3) 1, 试证必存在 (0, 3) , 使 f ( ) 0.
证明: 因 f (x) 在[0, 3]上连续, 所以在[0, 2]上连续, 且在 [0, 2]上有最大值 M 与最小值 m, 故
m f (0), f (1), f (2) M
f ( ) f ( ) 0
0
e f ( )e f ( ) 0
[ e x f ( x ) ]
x
证明 作辅助函数F ( x ) e x f ( x ) , 验证 F (x )在 [ x1 , x2 ]上 满足罗尔定理条件.
1'. 设f ( x )在R上可微，且f ( x ) f ( x ) 0, 证明 f ( x ) 至多只有一个零点.
1
8.
试证存在
且
f ( ) f ( ) f ( )(b a ) f ( ) ,即要证 . 证明: 欲证 2 2 ab 2 b a 2
因 f ( x ) 在 [ a , b ] 上满足L-中值定理条件,
故有
f (b) f (a ) f ( )(b a ) , (a , b)
1 又f (a h) f (a ) hf (a ) f (a 2 h)h2 (0 2 1), 2 1 2 2 两式相减,得 h f ''(a 1 h) h f (a 2 h) 2
h 0
令h→0,两边取极限,利用f
〃
( a) 的连续性得
m
由介值定理, 至少存在一点 c [0, 2] , 使
f (0) f (1) f ( 2) 3
M
f (0) f (1) f ( 2) f (c ) f1 3 f (0) (1) f ( 2) 1, f (3) 1 分析: 所给条件可写为 3 ( 2) f (c) f (3) 1, 且 f ( x) 在[c, 3] 上连续,f 在cf,(3) 内可导 , f (0) (1) 想到找一点 c , 使 f (c) 3 由罗尔定理知, 必存在 (c, 3) (0, 3) , 使 f ( ) 0.
则称f 为I上的凸函数； 凹
若x1 x2 I， (0,1)有
f x1 (1 ) x2 f ( x1 ) (1 ) f ( x2 )
5.已知f ( x ) C[0,1], f ( x )在(0,1)内可导， 且f (0) 0, f (1) 1，证明： (1) (0,1), 使 f ( ) 1 (2) , (0,1), 并且 使 f '( ) f '() 1.
证明: （1）令F ( x ) f ( x ) - 1 x F ( x ) C [0,1], F (0)F (1) ( f (0) 1) f (1) 1 0
证明 反证法,由第1题!
若将第1题改为:
1''. 设f ( x )在R上可微，证明 f ( x ) 的两个 零点之间一定有f ( x ) f ( x )的零点.
提示：
F ( x) e x f ( x)
2. 设 f (x) 在 [0,1] 连续， 0 ,1) 可导，且 f (1) 0 , (
有时也可考虑对导数用中值定理 .
(5) 若结论为不等式 , 多半用Taylor和lagrange公式,要 注意适当放大或缩小的技巧.
1. 研究函数的性态:
增减 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 . 2. 解决最值问题 • 目标函数的建立与简化 • 最值的判别问题
导数的应用
单调性,极值与最值, 凹凸性,拐点,函数 图形的描绘.
两式相减, 注意到 f (0) f (1),
f ( x 0 )
则有
1 1 (1 ) x0 2 f ( 2 )(1 x0 )2 f 2 2
f ( x ) 1,
f ( x 0 ) 1 2 1 1 2 1 2 x0 (1 x0 ) ( x0 ) 2 2 2 4
3. 其他应用 : 证明不等式 ; 研究方程实根等.
(单调性, 极值,凹凸等方法)
1. 可导函数单调性判别
f ( x) 0 , x I f ( x) 0 , x I
f ( x ) 0 , x I f ( x ) 0 , x I
在 I 上严格单调递增 在 I 上严格单调递减
又由 x0 [0,1] 知,
1 1 x0 , 于是有 2 2
f ( x 0 )
1 2
由 x0 的任意性, 可知命题成立 .
类似地， 若函数 f ( x ) 在 [0,1] 上二阶可微 , 且 f ( x ) a , f ( x ) b, 其中a , b是非负数. b 证明 : x (0,1), 有 f ( x ) 2a . 2
f ( 2 ) x1 f (1 ) x1 ( x2 2 x1 x2 , 0 1 x1 )
x1 f ( )( 2 1 ) 0 (1 2 ) f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 )
4. 设函数 f (x) 在[0, 3] 上连续, 在(0, 3) 内可导, 且
求证存在 (0 ,1) ,使
证明：设辅助函数 ( x) x n f ( x) 显然 (x ) 在 [0,1] 上满足罗尔定理条件,
因此至少存在 (0 ,1) , 使得
( ) n
即
n1
f ( ) f ( ) 0
n
在
上连续, 在
证明至少存在一点
又零点定理， 0， F ( )＝0， （ 1） 即f ( ) 1 .
（1）令F ( x ) f ( x ) - 1 x F ( x ) C [0,1], F (0)F (1) ( f (0) 1) f (1) 1 0 又零点定理， 0， F ( )＝0， （ 1） 即f ( ) 1 .
内可导, 且 使
证明 第2题的特殊情况:n = 2!
3. 设 f ( x) 0 , f (0) 0 证明对任意 x1 0, x2 0 有
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 )
证明 不妨设 0 x1 x2
f ( x1 x2 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x2 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f (0)
1 lim f ''(a 1 h) lim f ( x 2 h) h 0 2 h 0 1 1 lim f (a ) f (a ), 又 f (a ) 0，得 lim . h 0 h 0 2 2