微分中值定理与导数的应用练习题
高等数学 第三章中值定理与导数的应用习题课
(5) (1 + x )α = 1 + αx +
α (α − 1)
2!
x2 + L+
α (α − 1)L (α − n + 1)
n!
x n + o( x n )
Ⅲ 导数的应用
一、函数的极值与单调性
1．函数极值的定义 ． x ∈ U ( x0 , δ ), f ( x ) ≤ f ( x0 ), f ( x0 )为极大值. 为极大值.
0 ∞ 其它型： 其它型： ⋅ ∞ , ∞ − ∞ , 0 , 1 , ∞ , 转化为 “ ”型或“ ” 型 0 型或“ 型或 0 ∞
0 ∞ 0
二、泰勒公式
1．泰勒公式 ．
如果函数在含有一点的开区间内具有直到(n+1)阶导数 阶导数 如果函数在含有一点的开区间内具有直到 f ′′( x0 ) f ( n) ( x0 ) 2 f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 ) + L+ ( x − x0 )n + Rn ( x) 2! n! ( n +1) f (ξ ) Rn ( x ) = ( x − x0 ) n+1 拉格朗日型余项 ( n + 1)!
x ∈ U ( x 0 , δ ), f ( x ) ≥ f ( x0 ), f ( x0 )为极小值 .
o
。
2．函数的驻点 ．
f ′( x 0 ) = 0 则 x 0为 f ( x ) 的驻点。 的驻点。
3．函数的单调区间的判别 ．
函数在[a,b]上连续 在(a,b)内可导 上连续,在 内可导. 函数在 上连续 内可导
微分中值定理与导数的应用习题
第四章 微分中值定理与导数的应用习题§4.1 微分中值定理1． 填空题（１）函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是ππ-4．（２）设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 3 个实根，分别位于区间)5,3(),3,2(),2,1(中．2． 选择题（１）罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（ B ）．A ． 必要条件B ．充分条件C ． 充要条件D ． 既非充分也非必要条件（２）下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（ C ）．A . x e x f =)( B. ||)(x x f = C. 21)(x x f -= D. ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00 ,1sin )(x x x x x f （３）若)(x f 在),(b a 内可导，且21x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点ξ，使下式成立（ B ）．A ． ),()()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξB ． ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间C ． 211221)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ D ． 211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ3．证明恒等式：)(2cot arctan ∞<<-∞=+x x arc x π．证明： 令x arc x x f cot arctan )(+=，则01111)(22=+-+='x x x f ，所以)(x f 为一常数． 设c x f =)(，又因为(1)2f π=， 故 )(2cot arctan ∞<<-∞=+x x arc x π．4．若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中12a x x << 3x b <<，证明:在),(31x x 内至少有一点ξ，使得0)(=''ξf ．证明：由于)(x f 在],[21x x 上连续,在),(21x x 可导,且)()(21x f x f =，根据罗尔定理知，存在),(211x x ∈ξ， 使0)(1='ξf ． 同理存在),(322x x ∈ξ，使0)(2='ξf ． 又)(x f '在],[21ξξ上 符合罗尔定理的条件，故有),(31x x ∈ξ，使得0)(=''ξf ．5． 证明方程062132=+++x x x 有且仅有一个实根． 证明：设621)(32x x x x f +++=， 则031)2(,01)0(<-=->=f f ，根据零点存在定理至少存在一个)0,2(-∈ξ， 使得0)(=ξf ．另一方面，假设有),(,21+∞-∞∈x x ，且21x x <，使0)()(21==x f x f ，根据罗尔定理，存在),(21x x ∈η使0)(='ηf ，即02112=++ηη，这与02112>++ηη矛盾．故方程062132=+++x x x 只有一个实根．6． 设函数)(x f 的导函数)(x f '在],[b a 上连续，且0)(,0)(,0)(<><b f c f a f ，其中c 是介于b a ,之间的一个实数． 证明： 存在),(b a ∈ξ, 使0)(='ξf 成立.证明： 由于)(x f 在],[b a 内可导，从而)(x f 在闭区间],[b a 内连续，在开区间(,)a b 内可导．又因为()0,()0f a f c <>，根据零点存在定理，必存在点1(,)a c ξ∈，使得0)(1=ξf ． 同理，存在点2(,)c b ξ∈，使得0)(2=ξf ．因此()f x 在[]21,ξξ上满足罗尔定理的条件，故存在),(b a ∈ξ， 使0)(='ξf 成立．7. 设函数)(x f 在]1,0[上连续, 在)1,0(内可导. 试证:至少存在一点(0,1)ξ∈, 使()2[(1)(0)].f f f ξξ'=-证明： 只需令2)(x x g =，利用柯西中值定理即可证明.8．证明下列不等式 （１）当π<<x 0时，x xx cos sin >． 证明： 设t t t t f cos sin )(-=，函数)(t f 在区间],0[x 上满足拉格朗日中值定理的条件，且t t t f sin )(=', 故'()(0)()(0), 0f x f f x x ξξ-=-<<, 即0sin cos sin >=-ξξx x x x (π<<x 0)因此， 当π<<x 0时，x xx cos sin >． （２）当 0>>b a 时，bb a b a a b a -<<-ln ． 证明：设x x f ln )(=，则函数在区间[,]b a 上满足拉格朗日中值定理得条件，有'()()()(),f a f b f a b b a ξξ-=-<< 因为'1()f x x=，所以1ln ()a a b b ξ=-，又因为b a ξ<<，所以111a b ξ<<，从而 b b a b a a b a -<<-ln ．。
3(xtk)高等数学 微分中值定理习题
例24
证明:
x (1) x 0时, e 1 x ; 22 x x (2) x 0时, e 1 x . 2
x 2
22
第三章
微分中值定理与导数的应用
例25
Taylor中值 定理 设f ( x)在 a, b内二阶可导, f ( x) 0,
f ( ) f (0) ( 0) f ( ), (0, ) (1) a f ( ) ab f (1) f ( ) (1 ) f ( ), ( ,1) (2) a b 由(1),有 a b 由(2),有 1 a b f ( ) f ( ) a b 1 得 f ( )(a b) f ( )(a b) a b a b. f ( ) f ( ) 18
且f (0) 0, f ( x)单调减少, Lagrange
f (a b) f (a) f (b), 0 a b a b c
24
证明:
中值定理
第三章
微分中值定理与导数的应用
习题课
例29 设f ( x)在0, a上二阶可导, 且 f ( x) M ,
4. 会用导数判断函数图形的凹凸性,会求拐点 会描绘函数的图形(包括水平,铅直和斜渐 , 近线). 会求解最大值和最小值的应用问题. 5. 会用洛必达(L,Hospital)法则求不 定式的极限. 6. 了解曲率和曲率半径的概念并会 计算曲率和 曲率半径.
3
第三章
微分中值定理与导数的应用
习题课
1.微分中值定理及其相互关系
的零点.
11
第三章
微分中值定理与导数的应用
习题课
例7 设 f ( x)在0, a上连续, 在 0, a 内可导,
第三章 微分中值定理与导数的应用
微分中值定理例3.1 证明方程322x x +=-有且仅有一实根.例3.2 设()f x 在[]0,a 上连续，在()0,a 内可导，且()0f a =，证明：存在一点()0,a ξ∈，使得()()0f f ξξξ'+=. 例3.4 证明当0>x 时,x x xx <+<+)1ln(1．习题3.11．选择题（1）函数()f x =）.（Ａ） []0,1 （Ｂ） [1,1]- （Ｃ） [2,2]- （Ｄ）34,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （2）下列函数在给定的区间上，满足拉格朗日中值定理条件的是（ ） （Ａ）()f x x =[]1,1- （Ｂ） ()cos f x x = []1,1-（Ｃ）1()f x x=[]1,1- （Ｄ）21,0()1,x x f x x x +≤⎧=⎨+>⎩ []1,1-（3）设()f x 连续可导，且()0f x =有5个不等实根，则()0f x '=至少有（ ）个实根． （Ａ）5 （Ｂ） 1 （Ｃ）4 （Ｄ）3（4）设()f x 在[],a b 连续，在(),a b 内三阶可导，且()0f x =在(),a b 内有5个不等实根，则()0f x '''=至少有（ ）个实根．（Ａ）0 （Ｂ） 1 （Ｃ）2 （Ｄ）3 2.填空题（1）设()(1)(2)(3)(4)f x x x x x x =----，则()0f x '=有 个实根． （2）对函数xy e =在[]0,1上应用拉格朗日中值定理，得到的ξ= ．3．证明方程5321x x x ++=有且仅有一个正实根.4.证明多项式()33f x x x a =-+在[]0,1上至多有一个零点.5.设函数()f x 在闭区间[]0,1上可导,对[]0,1上的任意x 都有0()1f x <<，且对任意()0,1x ∈都有()1f x '≠，证明:在()0,1内有且仅有一个x 使得()f x x =.洛必达法则例3.8 求xx x x x tan tan lim2-→.例3.10 求极限0lim ln x x x +→⋅例3.11 求极限011lim tan x xx →⎛⎫-⎪⎝⎭例3.12 求极限 0lim xx x +→习题3.21．求下列极限 （1）0tan limsin x x x x x→-- （2）2arcsin limsin x x x x x→-（3）011lim ln(1)x x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦（4）lim nx x xe →+∞（其中n 是正整数）（5）sin sin limx ax ax a→-- （6）()111155lim0x ax a a x a→-≠-（7）02limsin x xx e exx x-→---（8）011lim sin x xx →⎛⎫-⎪⎝⎭（9）()tan21lim 2xx x π→- （10）()0lim sin xx x +→函数单调性与极值以及曲线凹凸性例3.19讨论22ln y x x =-的单调区间，并求极值例 3.20 设()()()()121,,f x x x x '=-+∈-∞+∞，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内讨论()f x 的单调性和曲线()y f x =凹凸性例3.21设()f x 有二阶连续导数，()0(0)0,lim1x f x f x→'''==，则（ ）（A ） (0)f 不是)(x f 的极值点，()0,(0)f 也不是曲线()y f x =的拐点；（B ） (0)f 是)(x f 的极值点，()0,(0)f 也是曲线()y f x =的拐点； （C ） ()0,(0)f 是曲线()y f x =的拐点；（D ）(0)f 是)(x f 的极小值点.例3.24 当0x >时，证明不等式3sin 6xx x -<．习题3.41．选择题（1）下面说法正确的是（ ）（Ａ）如果可导函数()f x 在(),a b 内单调增加，那么()0f x '>；（Ｂ）如果可导函数()f x 在0x 处有水平切线，那么()f x 在0x 处取得极值； （Ｃ）如果可导函数在(),a b 内只有唯一的驻点，那么该驻点一定是极值点； （Ｄ）如果可导函数()f x 在0x 处取得极值，那么()0f x '=．（2）函数()f x 在点0x x =处连续且取得极小值，则()f x 在0x 处必有（ ）． （Ａ）0()0f x '=且0()0f x ''>； （Ｂ）0()0f x '=； （Ｃ）0()0f x '=或不存在； （Ｄ）0()0f x ''>． （4）曲线arctan y x x =的图形（ ）（Ａ）在(),-∞+∞内是凹的； （Ｂ）在(),-∞+∞内是凸的； （Ｃ）在(),0-∞内是凸的，在()0,+∞内是凹的； （Ｄ）在(),0-∞内是凹的，在()0,+∞内是凸的． （5）函数21x y e +=的单调增区间为（ ）（A ）(),-∞+∞ （B ） [)0,+∞ （C ） [)1,+∞ （D ） (],0-∞（6）设0a <，则当满足条件（ ）时函数 32()38f x ax ax =++为增函数．（Ａ）2x <-； （Ｂ）20x -<<； （Ｃ）0x >； （Ｄ）2x <-或0x >． （7）设函数()f x 及()g x 都在0x x =处取得极大值，()()()F x f x g x =，则()F x 在0x x = 处（ ）（Ａ）必取得极小值； （Ｂ）必取得极大值；（Ｃ）必不取得极值； （Ｄ）是否取得极值不能确定． 2.填空题(1) 函数331y x x =-+的单调减区间为 ； 曲线331y x x =-+的凹区间为 . (2)函数32()31f x x x =++在区间[]3,1-上的最小值为 . （3）设()f x 在[]15,x x 上有连续导数，且()f x '则()f x 在()15,x x 内的极小值点为(4)函数3()1f x x ax =-+在点1x =处取极小值，则a = . （5）方程3310x x -+=，有 个实根. 3．确定下列函数的单调区间．（1）223y x x =-+ （2）()cos 02y x x xπ=+≤≤（3）x y x e -=+ （4）y =4．讨论下列函数确定的曲线的凹凸性和拐点． （1）3223124y x x x =+-+ （2）()523539y x x =+-5．证明下列不等式：（1）.证明：当1x >时，x e ex >.（2）证明：当01x <<时，22ln 1x x ->. （3）证明：当0x >时，()2ln 12xx x -<+.（4）证明：当02x π<<时，sin cos x x x >.（7）证明：当0x >时，13x≥-．6．求函数()32()11f x x =-+的极值． 7．求函数y x =在闭区间[]5,1-上的最大值和最小值．9．已知32()f x x ax bx =++在1x =处有极小值2-，求a 和b ．10．当a 为何值时，函数1()sin sin 33f x a x x =+在3x π=处必有极值，它是极大值还是极小值，并求此极值．13．求内接于半径为R 的球圆柱体的体积的最大值.14.在半径为R 的圆内作一个内接矩形，试将矩形的面积的最大值.15. 设有一块边长为a 的正方形铁皮，现将它的四角剪去边长相等的小正方形后，制作一个无盖盒子，问小正方形边长为多少时盒子的容积最大？.16.抛物线22(0)y px p =>和直线x a =(0)a >的内接矩形（一边在x a =上）的宽E F 为多少时，其面积最大？。
高等数学微分中值定理与导数应用习题
微分中值定理与导数应用一、选择题1. 设函数()sin f x x =在[0,]π上满足罗尔中值定理的条件，则罗尔中值定理的结论中的=ξ【 】 A. π B. 2π C. 3πD. 4π2. 下列函数中在闭区间],1[e 上满足拉格朗日中值定理条件的是【 】A. x lnB.x ln ln C.xln 1 D.)2ln(x -3. 设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ，则方程0)('=x f 有【 】A. 一个实根B. 二个实根C. 三个实根D. 无实根4. 下列命题正确的是【 】A. 若0()0f x '=，则0x 是()f x 的极值点B. 若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=C. 若0()0f x ''=，则()()00x f x ，是()f x 的拐点D. ()0,3是43()23f x x x =++的拐点5. 若在区间I 上，()0,()0,f x f x '''>≤, 则曲线f (x ) 在I 上【 】A. 单调减少且为凹弧B. 单调减少且为凸弧C. 单调增加且为凹弧D. 单调增加且为凸弧 6. 下列命题正确的是【 】A. 若0()0f x '=，则0x 是()f x 的极值点B. 若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=C. 若0()0f x ''=，则()()00x f x ，是()f x 的拐点D. ()0,3是43()23f x x x =++的拐点7. 若在区间I 上，()0,()0,f x f x '''<≥, 则曲线f (x ) 在I 上【 】A. 单调减少且为凹弧B. 单调减少且为凸弧C. 单调增加且为凹弧D. 单调增加且为凸弧 8. 下列命题正确的是【 】A. 若0()0f x '=，则0x 是()f x 的极值点B. 若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=C. 若0()0f x ''=，则()()00x f x ，是()f x 的拐点D. ()0,3是43()23f x x x =++的拐点9. 若在区间I 上，()0,()0,f x f x '''>≥, 则曲线f (x ) 在I 上【 】A. 单调减少且为凹弧B. 单调减少且为凸弧C. 单调增加且为凹弧D. 单调增加且为凸弧 10.函数256, y x x =-+在闭区间 [2,3]上满足罗尔定理，则ξ=【 】A. 0B. 12C. 52D. 2 11.函数22y x x =--在闭区间[1,2]-上满足罗尔定理，则ξ=【 】A. 0B. 12C. 1D. 212.函数y =在闭区间[2,2]-上满足罗尔定理，则ξ=【 】A. 0B. 12C. 1D. 2 13.方程410x x --=至少有一个根的区间是【 】A.(0,1/2)B.(1/2,1)C. (2,3)D.(1,2) 14.函数(1)y x x =+.在闭区间[]1,0-上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的=ξ 【 】A. 0B. 12-C. 1D.1215.已知函数()32=+f x x x 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，则拉格朗日定理成立的ξ是【 】 A.± B. C. D. 13±16.设273+=x y ，那么在区间)3,(-∞和),1(+∞内分别为【 】 A.单调增加，单调增加 B.单调增加，单调减小 C.单调减小，单调增加 D.单调减小，单调减小二、填空题1. 曲线53)(23+-=x x x f 的拐点为_____________.2. 曲线x xe x f 2)(=的凹区间为_____________。
第03章微分中值定理与导数的应用习题详解
M 12丿」I 2丿第三章 微分中值定理与导数的应用习题3-11.解：(1)虽然 f(x)在［—1,1］上连续，f(—1) = f(1)，且 f(x)在(—1,1)内可导。
可见，f(x)在［_1,1］上满足罗尔中值定理的条件，因此，必存在一点 匕€(-1,1)，使得f 牡)=0，即:f(X)=cosx, F(X)=1 — sin X 且对任一 x 乏0,—】，F'(X)H 0, ”■. f (x),F (x)满足柯西 I 2丿中值定理条件。
—12©宀2=0，满足、； (2)虽然f(x)在［—1,1］上连续,f(_1)= f (1)，但 f (x)在(—1,1)内 x = 0点不可导。
可 见，f (x)在［ —1,1］上不满足罗尔中值定理的条件，因此未必存在一点 £ £ (_1,1)，使得 f 徉)=0. 2.因为函数是一初等函数，易验证满足条件 3 3 .解：令 y = 3arccos x - arccos(3x - 4x 3), y ‘ = 一 23 —12x 2厂工®®3)2，化简得 y'=0,「. y =c ( C 为常数)，又 y(0.5)=兀，故当-0.5<x<0.5，有 y(x)=兀。
「兀f f 兀、 4 .证明：显然f(x), F(x)都满足在'|0,二I 上连续，在10,二 内可导L 2」 I 2丿 c oxsn ——x、、2丿F Q-F(O)12丿兀--1 2F( x) -1 sixn_c O 弓-x厂(X )_F(x) ZL"2 /兀 X ,，即 tan I - -- U--1，此时l 4 2丿 2f JI「兀X = 2 I — -arctan l — -1L 4l 2显然萨〔0,-〕，即丿」 I 2丿5.解：因为f(0) = f (1)= f (2) = f (3) =0，又因为f(x)在任一区间内都连续而且可导, 所以f (X)在任一区间 0,1 ], 1,2], [2,3]内满足罗尔中值定理的条件， 所以由罗尔定理，得:3" -(0,1), "^(1,2), ©-(2,3),使得：f 徉1 )= 0 r =) &：◎(=), 30 因为6.证明：设f(x) =0的n+1个相异实根为X o V X 1 <X 2 <H( <X n则由罗尔中值定理知：存在J (i =1,2,川n):X0 <：勺1cj ■<X2 vill <-1^Xn ，使得再由罗尔中值定理至少存在So =1,2,川n-1):上11 C 巴21 V ©2 吒 W ©3 V i 11 < J n d W G n ,使得7.解：反证法，倘若 p(X)=0有两个实根，设为X^X 2，由于多项式函数 p(x)在[X 1,X 2]上连续且可导，故由罗尔中值定理存在一点E€(X I ,X 2),使得P 徉)=0,而这与所设p'(x)=0没有实根相矛盾，命题得证。
微分中值定理与导数的应用习题课(一)
【例3】设 f ( x)在[0, a]上连续, 在 (0, a)内可导, 且 f (a) 0 . 证明存在一点 (0, a), 使 f ( ) f ( ) 0. 分析 从结论 f ( ) f ( ) 0 看等价于方程 x f ( x) f ( x) 0 有实根，但若利用零点定理，无法验证 f (0) f (a) 0，所以
证明: 设 F ( x) a0 x n a1 x n1 an1 x, 易知多项式函数F ( x)在[0, x0 ] 上连续且可导，由题设
F ( x0 ) 0 F (0).
由罗尔定理，存在 (0, x0 ), 使 F ( ) 0, 即 a0n n1 a1 (n 1) n2 an1 0, 这说明 就是方程 a0nx n1 a1 (n 1) x n2 an1 0 的一个小于 x 0的正根.
2
x 1)
分析 证明函数恒等式，主要是利用拉格朗日定理的推论：
如果函数 f ( x)在区间 I上的导数恒为零，那么 f ( x)在区间 I上是一个常数.
证明：设 f ( x) arcsin x arccos x,(1 x 1)
因 f ( x) 1 1 0,(1 x 1) 1 x2 1 x2
试证在(a,
b)内至少存在一点 ,
使 f (b)
f (a)
f ( ) ln b
a
成立.
分析
将所证等式变形为
f (b)
f (a)
f ( ) 或
ln b ln a 1
f (b) f (a) ln b ln a
f ( x)
ln x
,
x
可见，应对 f ( x)与 ln
x 在[a,
b]上应用
ln b ln a 1
(完整版)中值定理与导数的应用导数、微分习题及答案
第三章 中值定理与导数的应用(A)1．在下列四个函数中,在[]1,1-上满足罗尔定理条件的函数是( ) A ．18+=x y B ．142+=x y C ．21xy = D ．x y sin = 2．函数()xx f 1=满足拉格朗日中值定理条件的区间是 ( ) A ．[]2,2- B ． []0,2- C ．[]2,1 D ．[]1,0 3．方程0155=+-x x 在()1,1-内根的个数是 ( ) A ．没有实根 B ．有且仅有一个实根 C ．有两个相异的实根 D ．有五个实根 4．若对任意()b a x ,∈，有()()x g x f '='，则 ( ) A ．对任意()b a x ,∈，有()()x g x f = B ．存在()b a x ,0∈，使()()00x g x f =C ．对任意()b a x ,∈，有()()0C x g x f +=(0C 是某个常数)D ．对任意()b a x ,∈，有()()C x g x f +=(C 是任意常数) 5．函数()3553x x x f -=在R 上有 ( )A ．四个极值点；B ．三个极值点C ．二个极值点D ． 一个极值点 6．函数()7186223+--=x x x x f 的极大值是 ( ) A ．17 B ．11 C ．10 D ．97．设()x f 在闭区间[]1,1-上连续，在开区间()1,1-上可导，且()M x f ≤'，()00=f ，则必有 ( )A ．()M x f ≥B ．()M x f >C ．()M x f ≤D ．()M x f < 8．若函数()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,可导，则 ( ) A ．存在()1,0∈θ，有()()()()()a b a b f a f b f --'=-θ B ．存在()1,0∈θ，有()()()()()a b a b a f b f a f --+'=-θC ．存在()b a ,∈θ，有()()()()b a f b f a f -'=-θD ．存在()b a ,∈θ，有()()()()b a f a f b f -'=-θ9．若032<-b a ，则方程()023=+++=c bx ax x x f ( )A ．无实根B ．有唯一的实根C ．有三个实根D ．有重实根10．求极限xx x x sin 1sinlim20→时，下列各种解法正确的是 ( )A ．用洛必塔法则后，求得极限为0B ．因为xx 1lim0→不存在，所以上述极限不存在 C ．原式01sin sin lim 0=⋅=→x x x x xD ．因为不能用洛必塔法则，故极限不存在 11．设函数212x xy +=，在 ( ) A ．()+∞∞-,单调增加 B ．()+∞∞-,单调减少 C ．()1,1-单调增加，其余区间单调减少 D ．()1,1-单调减少，其余区间单调增加12．曲线xe y x+=1 ( )A ．有一个拐点B ．有二个拐点C ．有三个拐点D ． 无拐点 13．指出曲线23x xy -=的渐近线 ( ) A ．没有水平渐近线，也没有斜渐近线 B ．3=x 为其垂直渐近线，但无水平渐近线 C ．即有垂直渐近线，又有水平渐近线 D ． 只有水平渐近线14．函数()()312321--=x x x f 在区间()2,0上最小值为 ( )A ．4729B ．0C ．1D ．无最小值 15．求()201ln lim x x x x +-→16．求()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+→x x x 11ln 1lim 0 17．求x xx 3cos sin 21lim6-→π18．求()xx x1201lim +→19．求xx arctgx ln 12lim ⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→π20．求函数149323+--=x x x y 的单调区间。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
题型1.利用极限、函数、导数、积分综合性的使用微分中值定理写出证明题2.根据极限，利用洛比达法则，进行计算3.根据函数，计算导数，求函数的单调性以及极值、最值4.根据函数，进行二阶求导，求函数的凹凸区间以及拐点5.根据函数，利用极限的性质，求渐近线的方程内容一．中值定理 1.罗尔定理2.拉格朗日中值定理 二．洛比达法则一些类型（00、∞∞、∞•0、∞-∞、0∞、00、∞1等）三．函数的单调性与极值 1.单调性 2.极值四．函数的凹凸性与拐点 1.凹凸性 2.拐点五．函数的渐近线水平渐近线、垂直渐近线典型例题题型I 方程根的证明题型II 不等式（或等式）的证明题型III 利用导数确定函数的单调区间与极值 题型IV 求函数的凹凸区间及拐点自测题三一．填空题 二．选择题 三．解答题4月13日微分中值定理与导数应用练习题基础题：一．填空题1．函数12-=x y 在[]1,1-上满足罗尔定理条件的=ξ 。
3．1)(2-+=x x x f 在区间[]1,1-上满足拉格朗日中值定理的中值ξ= 。
4．函数()1ln +=x y 在区间[]1,0上满足拉格朗日中值定理的=ξ 。
5.函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是 ． 6.设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 个实根，分别位于区间 中． 7. =→xxx 3cos 5cos lim2π35-8.=++∞→xx x arctan )11ln(lim9.)tan 11(lim 20x x x x -→=3110.0lim(sin )xx x +→=1 二． 选择题1.罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（ ）．A ． 必要条件B ．充分条件C ． 充要条件D ． 既非充分也非必要条件２．下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（ ）．A.x e x f =)( B.||)(x x f = C.21)(x x f -= D.⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00 ,1sin )(x x xx x f ３．若)(x f 在),(b a 内可导，且21x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点ξ，使下式成立（ ）．A ． ),()()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξB ． ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间C ． 211221)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξD ． 211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ4．下列各式运用洛必达法则正确的是（ B ）A ． ==∞→∞→n nnn n en ln limlim11lim=∞→n n eB ． =-+→x x x x x sin sin lim0 ∞=-+→xxx cos 1cos 1lim 0C ． x x x x x x x x x cos 1cos1sin 2lim sin 1sin lim020-=→→不存在 D ． x x e x 0lim →=11lim 0=→x x e5． 在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（ C ）A ． x x x sin lim 20→B ． x x x tan 0)1(lim +→C ． xx x x sin lim +∞→ D ． x nx e x +∞→lim综合题：三．证明题1．验证罗尔定理对函数x y sin ln =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ上的正确性。
2．验证拉格朗日中值定理对函数25423-+-=x x x y 在区间[]1,0上的正确性。
3．试证明对函数r qx px y ++=2应用拉格朗日中值定理时的求得的点ξ总是位于区间的正中间。
3.证明方程062132=+++x x x 有且仅有一个实根．4．证明下列不得等式：⑴y x y x -≤-arctan arctan ⑵当x e e x x⋅>>时，1(3)当b b a b a a b a b a -<<->>ln 0时， （4）当20π<<x 时，x x x 2tan sin >+(5)当π<<x 0时，x xxcos sin >．四．计算题10．用洛必达法则求下列极限：⑴()xx x +→1ln lim 0 ⑵x e e x x x sin lim 0-→-⑶a x a x a x --→sin sin lim ⑷xx x 1arctan11ln lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→⑸xx x-→111lim ⑹)1(cot lim 0xx x -→⑺xx x 10)(cos lim → ⑻)1(lim 2x x x x -+⋅+∞→⑼x x x x x x sin cos sin lim 20-→ ⑽⎪⎭⎫ ⎝⎛--→121lim 20x x e x⑾()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=→2tan 1lim 1x x x π ⑿xx x tan 01lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→4月14日微分中值定理与导数应用练习题基础题： 一．填空题 1.函数xx x y 6941023+-=，则该函数的单调增区间区间是_________________ 2.函数()21ln x x y ++=，则该函数的单调减区间是____________________ 3.函数53523++-=x x x y ，则该函数的拐点是____________________4.函数xxey -=，则该函数的凹区间是________________________5.函数()7ln 124-=x x y 的拐点是_______________________6. 点()3,1为曲线23bx ax y +=的拐点,则a=_________,b=___________7.函数()221xx x f += ，其极大值为_____________,极小值为___________ 8.函数x x y -+=1，在区间[-5,1]上的最大值为__________,最小值为___________ 9.函数)ln(422x x y -=的单调增加区间是 ，单调减少区间 ．10.若函数)(x f 二阶导数存在，且0)0(,0)(=>''f x f ，则xx f x F )()(=在+∞<<x 0上是单调 ．11.函数xx y 2=取极小值的点是 ．12.函数31232)1()(--=x x x f 在区间]2,0[上的最大值为 ，最小值为 ． 二．选择题 １下列函数中，（ ）在指定区间内是单调减少的函数. A . xy -=2),(∞+-∞ B . xy e = )0,(-∞C . x y ln = ),0(∞+D . x y sin = ),0(π ２设)12)(1()(+-='x x x f ，则在区间)1,21(内（ ）．A. )(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凹的B. )(x f y = 单调减少，曲线)(x f y =为凹的C. )(x f y =单调减少，曲线)(x f y =为凸的 Ｄ．)(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凸的３)(x f 在),(+∞-∞内可导, 且21,x x ∀,当 21x x >时, )()(21x f x f >,则( )A. 任意0)(,>'x f xB. 任意0)(,≤-'x f xC. )(x f -单调增D. )(x f --单调增４设函数)(x f 在]1,0[上二阶导数大于0, 则下列关系式成立的是（ ）A. )0()1()0()1(f f f f ->'>'B. )0()0()1()1(f f f f '>->'C. )0()1()0()1(f f f f '>'>-D. )0()1()0()1(f f f f '>->'5.设)(x f 在),(+∞-∞内有二阶导数，0)(0='x f ，问)(x f 还要满足以下哪个条件，则)(0x f 必是)(x f 的最大值？（ ）A ． 0x x =是)(x f 的唯一驻点B ． 0x x =是)(x f 的极大值点C ． )(x f ''在),(+∞-∞内恒为负D ．)(x f ''不为零6.已知)(x f 对任意)(x f y =满足xe xf x x f x --='+''1)]([3)(2，若00()0 (0)f x x '=≠，则（ ）A. )(0x f 为)(x f 的极大值B. )(0x f 为)(x f 的极小值C.))(,00x f x （为拐点 D. )(0x f 不是极值点, ))(,00x f x （不是拐点 7.若)(x f 在0x 至少二阶可导, 且1)()()(lim2000-=--→x x x f x f x x ,则函数)(x f 在0x 处( )A ． 取得极大值B ． 取得极小值C ． 无极值D ． 不一定有极值 综合题：三．求下列函数的单点区间（1）()21ln x x y ++= （２）(2y x =- 四．求下列函数的极值（1）x x y tan += （2）()3/223x x x f -= 五．求下列函数的最值（1）x x y -+=1，15≤≤-x （2）14123223+-+=x x x y ，]4,3[-六．求函数图形的凹或凸区间及拐点 （1）xey arctan = （2）12-+=x xx y 七．证明题（1）利用函数的单调性，证明：当0>x 时，()2211ln 1x x x x +>+++ （2）利用函数的凹凸性，证明不等式()y x e e e y x yx ≠>++22八．试确定曲线d cx bx ax y +++=23中的a 、b 、c 、d ，使得2-=x 处曲线有水平切线，)10,1(-为拐点，且点)44,2(-在曲线上．九．工厂C 与铁路线的垂直距离AC 为20km , A 点到火车站B 的距离为100km . 欲修一条从工厂到铁路的公路CD , 已知铁路与公路每公里运费之比为3:5，为了使火车站B 与工厂C 间的运费最省, 问D 点应选在何处？4月15日微分中值定理与导数的应用练习题一、选择题1、下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的有（ ） A 、y = x 2–7x +10 [2,5] B 、y =321-x [0,2]C 、y = x 2x e- [0,1] D 、y =⎩⎨⎧=≤-+11112x x x2、下列函数在给定区间上满足拉格朗日中值定理条件的有（ ） A 、21x x y+=[－1,1] B 、x xy = [－1,1]C 、y = | x | [－2,2]D 、⎩⎨⎧≤≤+≤-+=1010112x x x x y3、设f (x )在[a ,b ]上连续，在(a ,b )内可导，a < x 1 < x 2 < b ，则下式中不一定成立的是（ ） A 、f (b )－f (a ) =)(ξf '(b －a ) ξ∈(a ,b ) B 、f (b )－f (a ) =)(ξf '(b －a ) ξ∈(x 1,x 2) C 、f (x 2)－f (x 1) =)(ξf '( x 2－x 1) ξ∈(a ,b ) D 、f (x 2)－f (x 1) =)(ξf '( x 2－x 1) ξ∈(x 1,x 2)4、函数xx y4+=的单调减少区间为（ ） A 、(-∞,-2)∪(2,+∞) B 、(-2,2)C 、(-∞,0)∪(0,+∞)D 、(-2, 0)∪(0,2)5、设f (x )在[a ,b ]上连续，在(a ,b )内可导，且当x ∈(a ,b )时，有)(x f '>0,又知f (a ) <0，则（ ）A 、f (x )在[a ,b ]上单调增加，且f (b )>0B 、f (x )在[a ,b ]上单调增加，且f (b ) <0C 、f (x )在[a ,b ]上单调减少，且f (b )<0D 、f (x )在[a ,b ]上单调增加，f (b )的符号无法确定6、函数f (x )在x = x 0处取得极小值，则必有（ ） A 、)(0x f '=0 B 、)(0x f ''>0C 、)(0x f '=0，且)(0x f ''>0 D 、)(0x f '=0或)(0x f '不存在7、设函数f (x )在x = x 0处)(x f '=0，且0)(=''x f ，则f (x )在x = x 0点（ ）A 、一定有最大值B 、一定有极小值C 、不一定有极值D 、一定没有极值 8、点（1,2）是曲线y = ax 3 + bx 2的拐点，则（ ） A 、a =－1,b =3 B 、a =0,b =1 C 、a 为任意数, b =3 D 、a =－1,b 为任意数9、曲线xe y x +=1（ ）A 、有一个拐点B 、有二个拐点C 、有三个拐点D 、无拐点10、曲线23xxy -=的渐近线（ ）A 、无水平渐近线，也无斜渐近线B 、3=x为垂直渐近线，无水平渐近线C 、有水平渐近线，也有垂直渐近线D 、只有水平渐近线 11、曲线2211x x ee y ---+=( )A 、没有渐近线；B 、仅有水平渐近线C 、仅有铅直渐近线D 、既有水平渐近线又有铅直渐近线二、填空题1、曲线y = x 3－3x+1的拐点是2、要使点（1,3）是曲线y = ax 3 + bx 2的拐点，则a = ；b =3、曲线121224++-=x x x y 的凹区间为 ，凸区间为4、曲线f (x ) =113222+-+x x x 的斜渐近线为5、曲线)1(4)3(2--=x x y ，其垂直渐近线方程是 ，斜渐近线方程是6、函数f (x )= x 4－2x 2+5在[－2,2]的最小值为7、函数f (x )=－3x 4+6x 2－1在[－2,2]的最小值为8、函数f (x )=3132)1(2--x x 在[0,2]的最大值为 ，最小值为9、函数f (x )=11222++-x x x 在(－∞,+∞)的最大值为 ，最小值为10、函数f (x )=11+-x x 在[0,4]的最大值为 ，最小值为 三、计算题1、求下列极限（1）30sin lim xxx x -→（2）1cos 1lim 20--→x e x x（3） ⎪⎭⎫⎝⎛--→x x x tgx x sin lim 0（4）⎪⎪⎭⎫⎝⎛→x tg x x 53sin lim π（5）x ctg x x 2lim 2→（6）)1112(lim 21---→x x x（7）x e e xx x sin lim 0-→- （8）nn mm x a x a x --→1lim （9⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x 220sin 11lim （10）e e x x x x -+-→ln 1lim 20 （11）21)1ln(lim x e x x +++∞→ （12）x x x --→202)(cos lim ππ （13）ctgxx x ln lim 0+→ （14）)ln 1ln (lim 1x x x x -→ （15）⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x x x x x x sin cos lim 0 （16）x x x 10)sin 1(lim +→ （17）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→xb a x x x 0lim （18）x x x ln lim 20→ 2、求下列函数的增减区间（1）y = x 2+ x（2）y =31x 3-4x （3）y =2x 2 –ln x（4）y = arctg x –x （5）y =12-x（6）y = (x –2)2(2x +1)4 （7）y = xe –x （8）y =xx ln 2 3、求下列函数的极值点与极值（1）y =31x 3-4x（2）y =2x 2 –ln x （3）y = x –2sin x（4）y = ln (x 4–1) （5）y =23)23()1(--x x （6）y =22x x -（7）y =xx +12 （8）y = x +21x -4.求下列函数的渐近线 （1）求曲线121y x =+-的渐近线 （2）求曲线3223x y x x =+-的渐近 （3）求曲线2361(3)x y x =++的渐近线 （4）求曲线1)3)(2(2)(-+-=x x x x f 的渐近线 四、证明题：（1）验证罗尔定理对函数107423--+=x x x y 在区间[]2,1-上的正确性（2）验证罗尔定理对函数x y sin ln =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ上的正确性 （3）验证拉格朗日定理对函数arctgx y =在区间[]1,0上的正确性（4）证明：若a b ≤<0，则b b a b a a b a -≤≤-ln （5）证明：若20παβ<≤<，则αβαβαββα22cos cos -≤-≤-tg tg （6）证明：x x ≤sin五、应用题1、将已知正数a 分成两数之和使其乘积为最大；2、欲用长6米的木料加工成一日字形窗框，问它的长和宽分别为多少时，才能使窗框的面积最大；最大面积是多少？。