第三章 微分中值定理与导数应用教案教学设计
第三章 微分中值定理与导数应用
第一节 微分中值定理
教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒
中值定理。
教学重点：罗尔定理、拉格朗日中值定理。 教学难点：罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用。 教学内容：
一、罗尔定理 1. 罗尔定理
几何意义：对于在],[b a 上每一点都有不垂直于x 轴的切线，且两端点的连线与x 轴平行的不间断的曲线
)(x f 来说，至少存在一点C ，使得其切线平行于x 轴。
从图中可以看出：符合条件的点出现在最大值和最小值点，由此得到启发证明罗尔定理。为应用方便，先介绍费马（Fermat ）引理
费马引理 设函数
)(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义, 并且在0x 处可导, 如果对任
意)(0x U x ∈, 有)()(0x f x f ≤ (或)()(0x f x f ≥), 那么0)(0'=x f .
证明：不妨设)(0x U x ∈时，)()(0x f x f ≤（若)()(0x f x f ≥，可以类似地证明）.
于是对于)(00x U x x ∈?+,有)()(00x f x x f ≤?+, 从而当0>?x 时, 0
)
()(00≤?-?+x
x f x x f ; 而当0
0)
()(00≥?-?+x
x f x x f ;
根据函数
)(x f 在0x 处可导及极限的保号性的得
==+)()(0'0'x f x f 0)()(lim 000≤?-?++
→?x
x f x x f x
==-)()(0'0'x f x f 0)()(lim 000≥?-?+-
→?x
x f x x f x
所以0)(0'=x f , 证毕.
定义 导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点，临界点).
罗尔定理 如果函数)(x f 满足：（1）在闭区间],[b a 上连续, （2）在开区间),(b a 内可导, （3）在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =, 那么在),(b a 内至少在一点)(b a <<ξξ , 使得函数)(x f 在该点的导数等于零，即
0)('=ξf .
证明：由于)(x f 在],[b a 上连续，因此必有最大值M 和最小值m ，于是有两种可能的情形： （1）m M
=，此时)(x f 在],[b a 上必然取相同的数值M ，即.)(M x f =
由此得.0)(='x f 因此，任取),(b a ∈ξ，有.0)(='ξf （2）m M
>，由于)()(b f a f =，所以M 和m 至少与一个不等于)(x f 在区间],[b a 端点处
的函数值.不妨设)(a f M ≠(若)(a f m ≠,可类似证明),则必定在),(b a 有一点ξ使M f =)(ξ. 因此任取],[b a x ∈有)()(ξf x f ≤, 从而由费马引理有0)(='ξf . 证毕 例1 验证罗尔定理对32)(2--=x x x f 在区间]3,1[-上的正确性 解 显然
32)(2--=x x x f )1)(3(+-=x x 在]3,1[-上连续，在)3,1(-上可导，且
0)3()1(==-f f , 又)1(2)(-='x x f , 取))3,1(1(,1-∈=ξ,有0)(='ξf .
说明：1 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立; 2 使得定理成立的ξ可能多于一个，也可能只有一个.
例如 ]2,2[,-∈=x x y 在]2,2[-上除)0(f '不存在外，满足罗尔定理的一切条件， 但在区间]2,2[-内找不到一点能使0)(='x f .
例如 ??
?=∈-=0
,0]1,0(,1x x x y 除了0=x 点不连续外，在]1,0[上满足罗尔定理的一切条
件，但在区间]1,0[上不存在使得0)(='ξf 的点 例如
].1,0[,∈=x x y 除了)1()0(f f ≠
外，在]1,0[上满足罗尔定理的一切条件，但在
区间]1,0[上不存在使得0)(='ξf 的点 又例如]23,
2[,cos π
π-
∈=x x y 满足定理的一切条件，而πξ,0=
2．罗尔定理的应用
罗尔定理1）可用于讨论方程只有一个根；2）可用于证明等式. 例2 证明方程0155=+-x x 有且仅有一个小于1的正实根. 证明：设15)(5
+-=x x x f , 则
)(x f 在]1,0[上连续，且.3)1(,1)0(-==f f
由介值定理存在)1,0(0∈x 使0)(0=x f , 即0x 为方程的小于1的正实根.
设另有
,),1,0(011x x x ≠∈使.0)(1=x f 因为)(x f 在10,x x 之间满足罗尔定理
的条件, 所以至少存在一个ξ（在10,x x 之间）使得0)(='ξf . 但
)1(5)(4-='x x f ))1,0((,0∈ 拉格朗日中值定理的证明就是罗尔定理证明等式的一个例子（见后面）. 二、拉格朗日（Lagrange ）中值定理 1.拉格朗日中值定理 在实际应用中，由于罗尔定理的条件（3）有时不能满足，使得其应用受到一定限制。如果将条件（3）去掉，就是下面要介绍的拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 如果函数)(x f 满足（1）在闭区间],[b a 上连续, （2）在开区间),(b a 内可导, 那么在),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ, 使得等式 ))(()()('a b f a f b f -=-ξ 成立. 几何意义: 上述等式可变形为a b a f b f f --= ') ()()(ξ，等式右端为弦AB 的斜率, 于是在区间],[b a 上 不间断且其上每一点都有不垂直于 x 轴切线的曲线上，至少存在一点C ，使得过C 点的切 线平行于弦AB. 当)()(b f a f =时，罗尔定理变为拉格朗日中值定理，即罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，而拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，下面用罗尔定理证明拉格朗日中值定理. 分析与证明：弦AB 的方程为 ).() ()()(a x a b a f b f a f y ---+ = 曲线)(x f 减去弦 AB ，所得曲线AB 两端点的函数值相等. 作辅助函数 )]() ()()([)()(a x a b a f b f a f x f x F ---+ -= 于是)(x F 满足罗尔定理的条件，则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得0)(='ξF . 又a b a f b f x f x F ---'=')()()()(, 所以a b a f b f f --=') ()()(ξ 即在),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ，使得))(()()('a b f a f b f -=-ξ.证毕 说明: 1. ))(()()('a b f a f b f -=-ξ又称为拉格朗日中值公式（简称拉氏公式）, 此公式对 于a b <也成立; 2．拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系；当设 )(x f 在],[b a 上连续, 在),(b a 内可导时, 若 ),(,00b a x x x ∈?+, 则有)10()()()(000< 当)(x f y =时, 也可写成).10()(0 < 试与微分x x f dy ??'=)(比较: x x f dy ??'=)(是函数增量y ?的近似表达式, 而 )10()(0< x x f y 是函数增量y ?的精确表达式. 所以拉格朗 日中值公式又称为有限增量公式, 拉格朗日中值定理又称有限增量定理. 推论 若函数)(x f 在区间I 上导数恒为零，则)(x f 在区间I 上是一个常数. 2. 拉格朗日中值定理的应用 拉格朗日中值定理1）可用于证明等式；2）可用于证明不等式. 例3 证明)11(2 arccos arcsin ≤≤-= +x x x π 证明：设 ]1,1[, arccos arcsin )(-∈+=x x x x f 由于0)11(11)(2 2 =-- +-= 'x x x f , 所以]1,1[, )(-∈≡x C x f 再选一个特殊的x 值确定C 的值，今取x=0，有 又0arccos 0arcsin )0(+=f 2 0π += 2π= , 即 2 π=C . 故2 arccos arcsin π = +x x . 例4、设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在),(b a 内可导，试证明：在),(b a 内至少存在一点)(b a <<ξξ, 使得 )(')(a b ) (a )(b ξξξf f a f b f +=-- 分析：根据求证式形式，构造函数：)()(F x xf x =，对其求导：)(')()(F'x xf x f x += 所以欲证等式正是函数)()(F x xf x =在区间],[b a 应用拉格朗日中值定理的结论。 证明：设函数：)()(F x xf x =，对其求导：)(')()(F'x xf x f x += 由题设知，函数)()(F x xf x =在区间],[b a 上连续，在),(b a 内可导，由拉格朗日中值定理知，在),(b a 内至少存在一点)(b a <<ξξ, 使得 )('F a b ) (F )(F ξ=--a b 即)(')(a b ) (a )(b ξξξf f a f b f +=-- 例5、 证明当0>x 时, x x x x <+<+)1ln(1 证明: 设)1ln()(x x f +=, 则)(x f 在],0[x 上满足拉氏定理的条件 于是 )0(),0)(()0()(x x f f x f <<-'=-ξξ 又x x f f += '=11 )(,0)0(, 于是 ξ+=+1)1ln(x x 而x <<ξ0, 所以x +<+<111ξ, 故 11111<+<+ξ x 从而 x x x x <+<+ξ 11, 即 x x x x <+<+)1ln(1 三、柯西中值定理 柯西中值定理 如果函数)(x f 及)(x g 满足 在闭区间],[b a 上连续,在开区间),(b a 内可导,且)(' x F 在),(b a 内每一点处均不为零，那 末在),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ,使等式) ()()()()()(' ' ξξF f a F b F a f b f =--成立 几何解释: 设曲线弧C 由参数方程?? ?==) () (x f Y x g X (b x a ≤≤)表示, 其中x 为参数. 如果曲线C 上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线, 那么在曲线C 上必有一点 ξ=x , 使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB , 曲线C 上点 ξ=x 处的切线的斜率为) (')(ξξg f dX dY ' =, 弦 AB 的斜率为 ) ()() ()(a g b g a f b f --. 于是 ) (') ()()()()(ξξg f a g b g a f b f '=--, 即在曲线弧 AB 上至少有一点))(),((ξξf g C ,在 该点处的切线平行于弦AB. 1C 证明: 作辅助函数 )]()([) ()() ()()()()(a F x F a F b F a f b f a f x f x ---- -=? 则)(x ?满足罗尔定理的条件，于是在),(b a 内至少存在一点ξ，使得0)(='ξ?, 即 0)() ()()(='--- 'ξξF a b a f b f f , 所以 )()()()()()(ξξF f a F b F a f b f ''=--.证毕 特别地 当x x F =)(时, 1)(,)()(='-=-x F a b a F b F 由 ) () ()()()()(ξξF f a F b F a f b f ''= -- 有)()()(ξf a b a f b f '=-- 即))(()()(a b f a f b f -'=-ξ, 故拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例，而柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广. 例5 设函数 )(x f 在]1,0[上连续,在)1,0(内可导,证明:至少存在一点)1,0(∈ξ，使 )]0()1([2)(f f f -='ξξ 证明与分析: 结论可变形为 ξξ2)(01)0()1(f f f '=--ξ =' '=x x x f )() (2 设2) (x x g =，则)(),(x g x f 在]1,0[上满足柯西中值定理的条件 于是至少存在一点)1,0(∈ξ，使 ξξ2) (01)0()1(f f f '= -- 所以至少存在一点)1,0(∈ξ，使 ξ ξ2) (01)0()1(f f f '= -- 即 )]0()1([2)(f f f -='ξξ ) (2ξF ) (a F A 四、 小结 罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，而拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广; 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例，而柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广. 注意中值定理成立的条件. 五、作业 作业卡: P24~P27 第二节 洛必达法则 教学目的：理解洛必达法则，掌握用洛必达法则求0 0型和∞ ∞型以及∞-∞∞?,0型 未定式的极限的方法; 了解00,1,0∞∞型极限的求法. 教学重点：洛必达法则. 教学难点：理解洛必达法则失效的情况, ∞-∞∞?,0型的极限的求法. 教学内容： 一． 0 0型和∞∞型未定式的解：法洛必达法则 定义：若当a x →（或∞→x ）时，函数)(x f 和)(x F 都趋于零(或无穷大)，则极限 ) ()(lim ) (x F x f x a x ∞→→可能存在、也可能不存在，通常称为0 0型和∞ ∞型未定式. 例如 x x x tan lim 0→, (0 0型); bx ax x sin ln sin ln lim 0→, (∞∞型). 定理：设 (1)当0→x 时, 函数)(x f 和)(x F 都趋于零; (2)在a 点的某去心邻域内,)(x f '和)(x F '都存在且0)(≠'x F ; (3) ) ()(lim ) (x F x f x a x ∞→→存在(或无穷大), 则) ()(lim )()(lim x F x f x F x f a x a x ''=→→ 定义：这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的 方法称为洛 必达法则 证明: 定义辅助函数 ???=≠=a x a x x f x f ,0),()(1, ? ??=≠=a x a x x F x F ,0),()(1 在),(δa U ? 内任取一点x , 在以a 和x 为端点的区间上函数)(1x f 和)(1x F 满足柯西中值定理的条件, 则有 ) ()() ()()()(a F x F a f x f x F x f --= )()(ξξF f ''=, (ξ在a 与x 之间) 当0→x 时,有a →ξ, 所以当A x F x f a x =''→)()(lim , 有A F f a =''→) ()(lim ξξξ 故A F f x F x f a a x =''=→→)() (lim )()(lim ξξξ. 证毕 说明: 1.如果)() (lim x F x f a x ''→仍属于0 0型, 且)(x f '和)(x F '满足洛必达法则的条件,可继续使用洛 必达法则, 即Λ=''''=''=→→→) () (lim )()(lim )()(lim x F x f x F x f x F x f a x a x a x ; 2.当∞→x 时, 该法则仍然成立, 有) ()(lim )()(lim x F x f x F x f x x ''=∞→∞→; 3.对a x →（或∞→x ）时的未定式∞∞，也有相应的洛必达法则; 4. 洛必达法则是充分条件; 5. 如果数列极限也属于未定式的极限问题，需先将其转换为函数极限，然后使用洛 必达法则，从而求出数列极限. 例1 求x x x tan lim 0→, (0 型) 解 原式=)()(tan lim 0'' →x x x =11 sec lim 20=→x x 例2 求12 3lim 2331+--+-→x x x x x x , (0 0型) 解 原式= 12333lim 221---→x x x x = =-→266lim 1x x x 2 3 例3 求 x x x 1 arctan 2 lim -+∞ →π , (0 0型) 解 原式=22 111 lim x x x -+- +∞ →=221lim x x x ++∞→=1 例4 求 bx ax x sin ln sin ln lim 0→, (∞ ∞ 型). 解 原式= ax bx b bx ax a x sin cos sin cos lim 0??→= ax bx x cos cos lim 0→=1 例5 求 x x x 3tan tan lim 2 π→, (∞∞型) 解 原式=x x x 3sec 3sec lim 22 2 π→= x x x 222 cos 3cos lim 31π→= x x x x x sin cos 23sin 3cos 6lim 312 --→π = x x x 2sin 6sin lim 2 π→ = 32cos 26cos 6lim 2 =→x x x π 注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好. 例6 求x x x x x tan tan lim 20-→ 解 原式= 30tan lim x x x x -→= 22031sec lim x x x -→=220tan lim 31x x x →=3 1 二．0 ,1,0,,0∞∞-∞∞?∞ 型未定式的求法 关键: 将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型00型和∞∞型. 1．∞?0型未定式的求法 步骤：,1 0∞?∞? ∞?或0 100??∞? 例7 求.lim 2x x e x -+∞ → )0(∞?型 解 原式=2lim x e x x +∞→=x e x x 2lim +∞→2lim x x e +∞→=.+∞= 型∞-∞.2 步骤：0101-? ∞-∞.000 0?-? 例8 求 ).1 sin 1(lim 0x x x -→ )(∞-∞型 解 原式=x x x x x sin sin lim 0?-→x x x x x cos sin cos 1lim 0+-=→.0= 型00,1,0.3∞∞ 步骤： ?????∞??∞???→??? ???∞∞ln 01ln 0 ln 01000取对数.0∞?? 例9 求 .lim 0 x x x +→ )0(0型 解 原式=x x x e ln 0 lim +→x x x e ln lim 0+ →=x x x e 1 ln lim 0+→=2011lim x x x e -+ →=0e =.1= 例10 求.lim 111 x x x -→ )1(∞型 解 原式=x x x e ln 11 1 lim -→x x x e -→=1ln lim 11 1lim 1-→=x x e .1-=e 例11 求.) (cot lim ln 10 x x x +→ )(0 ∞型 解 由于)ln(cot ln 1 ln 1) (cot x x x e x ?= 而)ln(cot ln 1 lim 0 x x x ?+ →x x x x 1sin 1 cot 1lim 20? - =+ →x x x x sin cos lim 0?-=+→1-= 所以 原式=.1 -e 注意：洛必达法则的使用条件． 例12 求.cos lim x x x x +∞→ 解 原式=1 sin 1lim x x -∞→). sin 1(lim x x -=∞→极限不存在 （洛必达法条件不满足的情况） 正确解法为 原式=)cos 11(lim x x x +∞→.1= 例13 求)]24( [tan lim n n n +→∞ π 解 设)]24([tan )(x x f x +=π，则)]24([tan )(n n f n +=π 因为)]2 4tan( ln lim exp[)(lim x x x f x x +=+∞ →+∞ →π =]1) 2 4tan(ln lim exp[x x x ++∞→π]) 2 4tan(1)2)(24(sec lim exp[222x x x x x +--+=+∞→ππ=4e 从而 原式=4)(lim )(lim e x f n f x n ==+∞ →∞ → 三．小结 1． 洛必达法则是求0 0型和∞∞型未定式极限的有效方法，但是非未定式极限却不能使 用。因此在实际运算时，每使用一次洛必达法，必须判断一次条件。 2． 将等价无穷小代换等求极限的方法与洛必达法则结合起来使用，可简化计算。 3． 洛必达法则是充分条件，当条件不满足时，未定式的极限需要用其他方法求，但不 能说此未定式的极限不存在。 4． 如果数列极限也属于未定式的极限问题，需先将其转换为函数极限，然后使用洛必 达法则，从而求出数列极限. 四．作业 作业卡: P28~P30 第三节 泰勒公式 教学目的：理解泰勒中值定理，掌握常见泰勒公式。 教学重点：泰勒中值定理。 教学难点：泰勒中值定理和泰勒中值定理的应用。 教学内容： 一、泰勒(Taylor)中值定理的引入 对于一些较复杂的函数, 为了便于研究, 往往希望用一些简单的函数来近似表达. 由于用多项式表示的函数, 只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算, 便能求出它的函数值, 因此我们经常用多项式来近似表达函数. 在微分的应用中已经知道, 当 x 很小时, 有如下的近似等式: x e x +≈1, x x ≈+)1ln( 这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子. 但是这种近似表达式还存在着不足之处: 首先是精确度不高, 这所产生的误差仅是关于 x 的高阶无穷小; 其次是用它来作近似计 算时, 不能具体估算出误差大小. 因此, 对于精确度要求较高且需要估计误差时候, 就必须用0x 高次多项式来近似表达函数, 同时给出误差公式. 设函数)(x f 在含有的开区间内具有直到1+n 阶导数, 现在我们希望做的是: 找出一个关于0x x -的n 次多项式 n n n x x a x x a x x a a x P )()()()(0202010-++-+-+=Λ 来近似表达)(x f , 要求 )(x p n 与f (x )之差是比n x x )(0-高阶的无穷小, 并给出误差 )()()(x P x f x R n n -=的具体表达式. 我们自然希望)(x p n 与)(x f 在0x 的各阶导数(直到1+n 阶导数)相等, 这样就有 n n n x x a x x a x x a a x P )()()()(0202010-++-+-+=Λ 1 2 1 ) ()(2)(--++-+='n n n x x na x x a a x P Λ 2 3 2 ) ()1()(232)(---++-??+=''n n n x x a n n x x a a x P Λ 30 4 3 ) ()2)(1()(2343)(----++-??+='''n n n x x a n n n x x a a x P Λ！ ……, n n n a n x p !)()(= 于是 )(a x p n =, 1 )(a x p n =', 2 !2)(a x p n ='', 3 !3)(a x p n =''',…, n n n a n x p !)(0 )(=. 按要求有 )()(a x p x f n ==, 1 )()(a x p x f n ='=', 2 2)()(a x p x f n =''='', 3 !3)()(a x p x f n ='''=''', ? ? ? ? ?, n n n n a n x p x f !)()(0 ) (0 ) (== 从而有)(00 x f a = , )(0 1 x f a '=, )(! 2102x f a ''=, )(! 3103x f a '''=, …… ,)(!1 0)(x f n a n n =， 即) (! 10)(x f k a k k = (n k ,,2,1Λ=). 于是就有 n n n x x x f n x x x f x x x f x f x p ))((! 1 ))((!21))(()()(00)(200000-+???+-''+-'+=. 二、泰勒中值定理 泰勒中值定理 如果函数)(x f 在含有0x 的某个开区间),(b a 内具有直到1+n 阶导数, 则当 x 在),(b a 内时, )(x f 可以表示为0 x x -的一个n 次多项式与一个余项)(x R n 之 和，即 )())((! 1 ))((!21))(()()(00)(200000x R x x x f n x x x f x x x f x f x f n n n +-+???+-''+-'+= 其中10)1()()! 1() ()(++-+= n n n x x n f x R ξ(ξ介于0x 与x 之间). 证明：由假设,)(x R n 在),(b a 内具有直到)1(+n 阶导数,且 0)()()()(0) (000===''='=x R x R x R x R n n n n n Λ 两函数)(x R n 及1 0) (+-n x x 在以0x 及x 为端点的区间上满足柯西中值定理的条件,得 0)() ()()()(10010---= -++n n n n n x x x R x R x x x R n n x n R ) )(1()(0 1 1 -+'= ξξ(ξ介于0x 与x 之间) 两函数)(x R n '及n x x n ))(1(0-+在以0x 及1ξ为端点的区间上满足柯西中值定理的条件,得 0))(1()()())(1()(0101011--+'-'= -+'n n n n n x n x R R x n R ξξξξ1 2 2 ) )(1()(--+''= n n x n n R ξξ(ξ介于0x 与x 之间), 此下去,经过)1(+n 次后,得,0)() 1(=+x P n n 所以)()() 1() 1(x f x R n n n ++= 则由上式得 ()1 ) 1()(! 1) ()(++-+= n n n x x n f x R ξ(ξ介于0x 与x 之间). 证毕 说明： 1．这里多项式 n n n x x n x f x x x f x x x f x f x P ) (! ) ()(!2)())(()()(0 ) (2 -++-''+-'+=Λ. 称为函数)(x f 按0 x x -的幂展开的n 次近似多项式, 公式 2．)())((! 1 ))((!21))(()()(00)(200000x R x x x f n x x x f x x x f x f x f n n n +-+???+-''+ -'+= 称为)(x f 按0 x x -的幂展开的n 阶泰勒公式, 而R n (x )的表达式 3．10)1()()! 1() ()(++-+= n n n x x n f x R ξ(ξ介于0x 与x 之间)称为拉格朗日型余项. 4．当0=n 时, 泰勒公式变成))(()()(0 ' x x f x f x f -+=ξ(ξ介于0x 与x 之间)—拉格朗日 中值公式, 因此泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广. 5．如果对于某个固定的n , 当 x 在区间),(b a 内变动时, )() 1(x f n +总不超过一个常数M , 则有估计式1010)1(||)! 1( |)()!1() (| |)(|+++-+≤-+=n n n n x x n M x x n f x R ξ及 0)(lim 0) (0=-→n x n x x x x R . 可见, 当 a x →时, 误差)(x R n 是比n x x )(0 -高阶的无穷小, 即 ))(()(0n n x x o x R -=,该余项称为皮亚诺形式的余项. 6．在不需要余项的精确表达式时, n 阶泰勒公式也可写成 ) )(())((! 1 ))((!21))(()()(0 ) (2 n n n x x o x x x f n x x x f x x x f x f x f -+-+???+-''+ -'+= 7．当00 =x 时的泰勒公式称为麦克劳林(Maclaurin)公式, 就是 )(! )0( !2)0()0()0()()(2x R x n f x f x f f x f n n n ++???+''+ '+= 或)(! )0( !2)0()0()0()()(2n n n x o x n f x f x f f x f ++???+''+'+= 其中1)1()! 1()()(+++= n n n x n f x R ξ. 8．由此得近似计算公式n n x n f x f x f f x f ! )0( !2)0()0()0()()(2+???+''+'+≈. 误差估计式变为1 ||)! 1(|)(|++=n n x n M x R . 三、简单的应用 例1 求x e x f =)(的n 阶麦克劳林公式 解 由于x n e x f x f x f ===''=')()()() (Λ 所以 1)0()0()0()0() (===''='=n f f f f Λ 而 x n e x f θθ=+)() 1( 代入公式,得 ).10()! 1(!!211 2<<++++++=+θθn x n x x n e n x x x e Λ 由公式可知 ! !212n x x x e n x ++++≈Λ 估计误差: 设)0(>x ).10()! 1()!1()(11 <<+<+=++θθn x n x n x n e x n e x R 取! 1!2111,1n e x ++++≈=Λ, 其误差 )!1(+ 例2．求 x x f sin )(=的n 阶麦克劳林公式. 解: 因为) 2 sin()()(π? +=n x x f n , Λ,2,1=n 所以 Λ ,0)0(,1)0(,0)0(,1)0(,0)0() 4(=-='''=''='=f f f f f 于是 )()! 12()1(!51!31sin 212153x R x m x x x x m m m +--+ ???++-=--. 当3,2,1=m 时, 有近似公式 x x ≈sin , 3 ! 3 1sin x x x -≈, 53!51!31sin x x x x +-≈. 例3 计算 403 cos 2lim 2 x x e x x -+→. 解 由于)(! 2114422 x o x x e x +++= )(!4!21cos 54 2x o x x x ++- = 所以)()! 41 2!21(3cos 24 4 2 x o x x e x +?+=-+ 故 原式=4 4 4 )(127 lim x x o x x +→ .127 = 四、常用函数的麦克劳林公式 )()! 12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x Λ )()! 2()1(!6!4!21cos 22642n n n x o n x x x x x +-++-+-=Λ )(1 )1(32)1ln(11 32++++-+-+-=+n n n x o n x x x x x Λ )(111 2n n x o x x x x +++++=-Λ )(! )1()1(!2)1(1)1(2n n m x o x n n m m m x m m mx x ++--++-+ +=+ΛΛ 五、小结 Taylor 公式在近似计算中具有非常重要的应用 六、作业 第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 教学目的：理解函数的单调性和曲线的凹凸性的判定定理，会求函数的单调区间 和曲线的凹凸区间。 教学重点：掌握用一阶导数判断函数的单调性和利用二阶导数判断曲线的凹凸性 的方法。 教学难点：导数不存在的连续点、也可能是单调区间和曲线的凹凸区间的分界点。 教学内容： 一、函数单调性的判定法 如果函数)(x f y =在],[b a 上单调增加（单调减少）, 那么它的图形是一条沿x 轴正 向上升（下降）的曲线. 这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的）, 即 0)(≥'='x f y (或0)(≤'='x f y ) 由此可见, 函数的单调性与导数的符号有着密切的关 系. 反过来, 能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？ 定理1 (函数单调性的判定法) 设函数)(x f y =在],[b a 上连续, 在),(b a 内可导. (1)如果在),(b a 内 0)(>'x f , 那么函数)(x f y =在],[b a 上单调增加; (2)如果在),(b a 内0)(<'x f , 那么函数)(x f y =在],[b a 上单调减少. 证明 只证(1)（（2）可类似证得） 在],[b a 上任取两点)(,2 1 21x x x x <, 应用拉格朗日中值定理, 得到 )()()()()(2 1 1 2 1 2 x x x x f x f x f <<-'=-ξξ. 由于在上式中01 2>-x x , 因此, 如果在),(b a 内导数)(x f '保持正号, 即0)(>'x f , 那么也有0)(>'ξf , 于是 0)()()()(1 2 1 2 >-'=-x x f x f x f ξ 从而)()(21x f x f <，因此函数)(x f y =在],[b a 上单调增加. 证毕 注: 判定法中的闭区间可换成其他各种区间. 例1 判定函数x x y sin -=在]2,0[π上的单调性. 解 因为在)2,0(π内0cos 1>-='x y , 所以由判定法可知函数x x y sin -=在]2,0[π上单调增加. 例2 讨论函数1--=x e y x 的单调性. 解 由于1-='x e y 且函数1--=x e y x 的定义域为),(+∞-∞ 令0='y , 得0=x , 因为在)0,(-∞内0<'y , 所以函数1--=x e y x 在] 0,(-∞上单调减少; 又在),0(+∞内0>'y , 所以函数1--=x e y x 在),0[+∞上单调增 加. 例3. 讨论函数32x y =的单调性. 解: 显然函数的定义域为),(+∞-∞, 而函数的导数为332x y =')0(≠x 所以函数在0=x 处不可导. 又因为0 因为0>x 时, 0>'y , 所以函数在),0[+∞上单调增加. 说明: 如果函数在定义区间上连续, 除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续, 那么只要用方程 0)(='x f 的根及导数不存在的点来划分函数)(x f 的定义区间, 就能保证) (x f ' 在各个部分区间内保持固定的符号, 因而函数)(x f 在每个部分区间上单调. 例4. 确定函数31292)(2 3 -+-=x x x x f 的单调区间. 解 该函数的定义域为),(+∞-∞. 而)2)(1(612186)(2 --=+-='x x x x x f ,令0)(='x f , 得2,12 1 ==x x . 列表 函数f (x )在区间]1,(-∞和),2[+∞内单调增加, 在区间]2,1[上单调减少. 例5. 讨论函数3 x y =的单调性. 解 函数的定义域为),(+∞-∞ 函数的导数为:23x y =', 除0=x 时, 0='y 外, 在其余各点处均有0>'y 因 此函数3 x y =在区间]0,(-∞上单调减少; 因为当0≠x 时, 0>'y , 所以函数在),0[+∞及),0[+∞上都是单调增加的. 从而在整个定义域),(+∞-∞内3 x y =是单调增加的. 其在0=x 处曲线有一水 平切线. 说明:一般地, 如果 )(x f '在某区间内的有限个点处为零, 在其余各点处均为正（或负）时, 那么)(x f 在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 例6. 证明: 当1>x 时, x x 1 32->. 证明: 令)1 3(2)(x x x f --=, 则)1(111)(2 2-=-='x x x x x x f 因为当 1>x 时,0)(>'x f , 因此)(x f 在),1[+∞上单调增加, 从而当1>x 时, )1()(f x f > ,又由于0)1(=f , 故0)1()(=>f x f , 1基础知识详解 先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的 关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论： 闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。 第三章 微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得'()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。 罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，则导数存在0值。如果翻来覆去变形无法弄到两端相等，那么还是别用罗尔定理了，两端相等，证明0值是采用罗尔定理的明显特征。 拉格朗日定理是两个端点相减，所以一般用它来证明一个函数的不等式： 122()()-()1()m x f x f x m x <<； 一般中间都是两个相同函数的减法，因为这样便 于直接应用拉格朗日，而且根据拉格朗日的定义，一般区间就是12[,]x x 。 5、洛必达法则应用注意 正常求极限是不允许使用洛必达法则的，洛必达法则必须应用在正常求不出来的不定式极限中。不定式极限有如下7种： 000,,0*,,0,1,0∞∞ ∞∞-∞∞∞ 每次调用洛必达方法求解极限都必须遵从上述守则。 6、泰勒公式求极限。 如果极限是0 lim () x x f x → 那么就在0x 附近展开。如果极限是 第三章 微分中值定理与导数的应用 一、判断题 1. 若()f x 定义在[,]a b 上，在(a,b)内可导，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（ ） 2. 若()f x 在[,]a b 上连续且()()f a f b =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。 （ ） 3. 若函数()f x 在[,]a b 内可导且lim ()lim ()x a x b f x f x →+→- =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（ ） 4. 若()f x 在[,]a b 内可导，则必存在(a,b)ξ∈，使'()(a)()()f b f f b a ξ-=-。（ ） 5. 因为函数()f x x =在[1,1]-上连续，且(1)(1)f f -=，所以至少存在一点()1,1ξ∈-使 '()0f ξ=。 （ ） 6. 若对任意(,)x a b ∈，都有'()0f x =，则在(,)a b 内()f x 恒为常数。 （ ） 7. 若对任意(,)x a b ∈，都有''()()f x g x =，则在(,)a b 内()()f x g x =。 （ ） 8. arcsin arccos ,[1,1]2 x x x π +=∈-。 （ ） 9. arctan arctan ,(,)2 x x x π += ∈-∞+∞。 （ ） 10. 若()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则导函数'()f x 有3个不同的实根。 （ ） 11. 若22()(1)(4)f x x x =--，则导函数'()f x 有3个不同的实根。 （ ） 12. ' ' 222(2)lim lim 21(21)x x x x x x →→=-- （ ） 13. 22' 0011lim lim()sin sin x x x x e e x x →→--= （ ） 14. 若'()0f x >则()0f x >。 （ ） 15. 若在(,)a b 内()f x ，()g x 都可导，且''()()f x g x >，则在(,)a b 内必有()()f x g x >。（ ） 16. 函数()arctan f x x x =-在R 上是严格单调递减函数。 （ ） 17. 因为函数()f x x =在0x =处不可导，所以0x =不是()f x 的极值点。 （ ） 18. 函数()f x x =在0x =的领域内有()(0)f x f ≥，所以()f x 在0x =处取得极小值。（ ） 19. 函数sin y x x =-在[0,2]π严格单调增加。 （ ） 20. 函数1x y e x =+-在(,0]-∞严格单调增加。 （ ） 21. 方程32210x x x ++-=在()0,1内只有一个实数根。 （ ） 22. 函数y [0,)+∞严格单调增加。 （ ） 23. 函数y (,0]-∞严格单调减少。 （ ） 24. 若'0()0f x =则0x 必为'0()f x 的极值点。 （ ） 25. 若0x 为()f x 极值点则必有'(0)0f =。 （ ） 微分中值定理证明不等式 微分中值定理主要有下面几种： 1、费马定理：设函数()f x 在点0x 的某邻域内有定义,且在点0x 可导,若点0x 为()f x 的极值点,则必有 0()0f x '=. 2、罗尔中值定理：若函数()f x 满足如下条件： （1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续； （2）()f x 在开区间(,)a b 内可导； （3）()()f a f b =, 则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得 ()0f ξ'=. 3、拉格朗日中值定理：若函数()f x 满足如下条件： （1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续； （2）()f x 在开区间(,)a b 内可导； 则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得 ()()()f b f a f b a ξ-'=-. 4、柯西中值定理：若函数()f x ,()g x 满足如下条件： （1）在闭区间[,]a b 上连续； （2）在开区间(,)a b 内可导； （3）()f x ',()g x '不同时为零； （4）()()g a g b ≠； 则在开区间(),a b 内存在一点ξ,使得 ()()()()()() f f b f a g g b g a ξξ'-='-. 微分中值定理在证明不等式时,可以考虑从微分中值定理入手,找出切入点,灵活运用相关微分中值定理,进行系统的分析,从而得以巧妙解决. 例1、 设 ⑴(),()f x f x '在[,]a b 上连续； ⑵()f x ''在(,)a b 内存在； ⑶()()0;f a f b == ⑷在(,)a b 内存在点c ,使得()0;f c > 求证在(,)a b 内存在ξ,使()0f ξ''<. 证明 由题设知存在1(,)x a b ∈,使()f x 在1x x =处取得最大值,且由⑷知1()0f x >,1x x =也是极大值点,所以 1()0f x '=. 由泰勒公式：211111()()()()()(),(,)2! f f a f x f x a x a x a x ξξ'''-=-+-∈. 所以()0f ξ''<. 例2 、设0b a <≤,证明ln a b a a b a b b --≤≤. 第二章 导数与微分 一 导数 （一） 导数的概念（见§2.1） Ⅰ 内容要求 （ⅰ）理解导数的概念及其几何意义，了解函数的可导性与连续性之间的关系。 （ⅱ）了解导数作为函数变化率的实际意义，会用导数表达科学技术中一些量的变化率。 Ⅱ 基本题型 （ⅰ）用导数定义推证简单初等函数的导数公式 1． 用导数定义求证下列导数公式，并记忆下列公式（每题4分） （1）0)(='C （2）21 )1(x x - =' （3）x x 21)(=' （4）x x sin )(cos -=' （5）a a a x x ln )(=' （6）1 )(-='μμμx x （ⅱ）确定简单基本初等函数在某点处的切线方程和法线方程 2．（6分）求x y ln =在)0,1(点处的切线方程及法线方程。 解：x y 1' = ，1)1(' ==k y ，所以 切线方程为1-=x y 法线方程为1+-=x y 3．（6分）求x x y = 在)1,1(点处的切线方程。 解：4 3 x y =，41 ' 43-=x y ，4 3)1(' ==k y 切线方程为1)1(43+-= x y ，即4 143+=x y （ⅲ）科技中一些量变化率的导数表示 4．填空题（每题4分） （1）若物体的温度T 与时间t 的函数关系为)(t T T =，则该物体的温度随时间的变化 速度为 )(' t T （2）若某地区t 时刻的人口数为)(t N ，则该地区人口变化速度为 )(' t N Ⅲ 疑难题型 （ⅰ）分段函数在分段点处的导数计算 5. 讨论下列函数在0=x 处的连续性与可导性 （1）（7分）|sin |x y = 习题4.5 x (,3 2 )3 2 (3 2 ,0) 0(0, 3 2 ) 3 2 (3 2 ,+) f0+00+ f拐点拐 点 拐 点x(,0) -∞0(0,1)1(1,2)2(2,) +∞y'0++0 y''++ y 极小值拐点极大值 ()() ()() 2 22222 22 222 32 1.() ()212,()12(2)4 3 642320,0,. 2 x x x x x x x x f x xe f x e x e e x f x e x x xe e x x xe x x - ------- = ''' -=-=--- =-+=-+==± 求函数 的凸凹性区间及拐点. 解= 23 2 1 ,(,). 3 2(2)0,0,2. 220, 1. y x x x y x x x x x y x x =-∈-∞∞ '=-=-== ''=-== 作下列函数的图形： 2. 222223.,(,).2(2)(2)0,0,2;(2)(22)(42)0,2 2. x x x x x x x x y x e x y xe x e e x x e x x x y e x x e x e x x x --------'=∈-∞+∞=-=-=-==''=--+-=-+==± x (,0)-∞ (0,22)- 22- (22,2)- 2 (2,22)+ 22+ (22,)++∞ y ' - + + - - y '' + + - - 0 + y ? 极小值 ? 拐点 ? 极大值 ? 拐点 ? 22231 4.,0. 11 10, 2 1;. y x x x x y x x x y x =+≠-'=-==''=±= 理工大学 微积分-微分中值定理费马定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理 ()()1.()0,(0)0,f x f f f ?ξξξξζξξξ'' <=>><≤[][]''''''[]<<≤１２１２１２ １２１２１２１２２１１１２１１１２１ １２２１设证明对任何的x ０，ｘ０，有（ｘ＋ｘ）（ｘ）＋ｆ（ｘ）． 解：不妨设ｘｘ，（ｘ）＝f （ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ） ＝ｆ（ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（０） ＝ｆ（）ｘ－ｆ（）ｘ＝ｘｆ（）－ｆ（）＝ｘｆ－．因为，０ｘｘ()ξζ?''<<<<２１１２ｘ＋ｘ，又ｆ０，所以（ｘ）０，所以原不等式成立。 12n 12n 12n 11221122n 001 1 000.x b f x .x x x b 1,f )f x f x f x x *,()()()()n n n n n i i i i i i i X b b x f x f x f x x x λλλλλλλχλχλχλλλλλ=='' >???∈<<1++?+=++?+≤?=<=>α. '''=+-+ ∑∑2设f （）在（a ，）内二阶可导，且（）0，，（a ，），0，，，且则，试证明(（）+（）++（）. 解：设同理可证：()20000i 00 1 1 1 1 0000111() ()()()().x 2! ()()()()()(()()().) n n n i i i i i i i n n i n n i i i i i i i i i i i i f x x f x f x x x f x f x f x f x x x f x X X x x f x f x λλλλξξλλλ=======?? ''-'-≥+-<<'≥+-===- ??? ∑∑∑∑∑∑∑注：x ()3.)tan . 2 F ,F 2 (0)0,(0)0,((cos 2 F f x f F F f ππξ ξπξξπππ πππξ [0]0'∈=[0]0=∴===[0]∈Q 设f(x)在，上连续，在（，）内可导，且f （0）=0，求证：至少存在（0，），使得2f ( 证明：构造辅助函数：（x)=f(x)tan 则（x)在，上连续， 在（，）内可导， 且））所以（x)在，上满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理知：至少存在（0()()()()()()F 011F x cos sin F cos sin 0222222 cos 0)tan 2 2 x x x f f f πξξξ ξξξξ ξ ξπξξ'=''''=- =-='∈≠=，），使得，而f(x)f()又（0，），所以，上式变形即得：2f (，证毕。 第三章微分中值定理导数的应用 教学目的与要求 1掌握并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。 2理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。 3． 用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线， 会描绘函数的图形。 4． 握用洛必达法则求未定式极限的方法。 5． 道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。 6． 了解方程近似解的二分法及切线法。 一、中值定理，泰勒公式（放入泰勒级数中讲） 1．罗尔定理 如()x f 满足： （1）在 []b ,a 连续. （2）在 ()b ,a 可导. （3）()()b f a f = 则至少存在一点()b ,a ∈ξ 使()0f /=ξ 例 设()()()()1x 31x 21x x x g -++=，则 在区间（-1，0）内，方程()0x g /= 有2个实根；在（-1，1）内()0x g //=有2个根 例 设()x f 在[0，1]可导，且()()01f 0f ==， 证明存在()1,0∈ η，使()()0f f /=ηη+η。 证： 设()()x xf x F =在[a,b]可导，()()1F 0F = ∴ 存在()1,0∈η使()0F /=η 即()()0f f /=ηη+η 例 设()x f 在[0，1]可导，且()()01f 0f ==, 证明存在η ()()0F F /=η+η 。 解: 设()()x f e x F x =，且()()1F 0F = 由罗尔定理 存在η 使()0F /=η 即()()0f e f e /=η+ηηη， 亦即()()0f f /=η+η 例 习题6 设()()()x g e x f x F =（复合函数求导） 2、 拉格朗日中值定理 如()x f 满足：①在[a,b]连续；②在（a,b ）连续， 则存在()b ,a ∈ξ 使()()()()a b f a f b f /-ξ=-。 推论：⑴ 如果在区间I 上()0x f /≡，则()c x f = ⑵ 如果在区间I 上())0(0x f /<>， ()x f 在Ｉ单增（减） 例 对任意满足1x <的x ， 都有4x arcsin 21x 1x 1arctg π=++- 设 ()x arcsin 21x 1x 1arctg x f ++-= ∵ ()()0x 1121x 12x 1x 121x 1x 111x f 22/=-++-?+-?+-+= 0x 121x 12x 1x 12x 1212 22=-++?-+?+?-= ∴ ()c x f = ∵ ()4 0f π= ∴ ()4 x f π= 例 设()0x >，证明()x x 1ln x 1x <+<+ 求导证明 作业：见各章节课后习题。 第四章 微分中值定理与导数的应用 第一节 中值定理（2课时） 要求：理解罗尔中值定理与拉格朗日中值定理。了解柯西中值定理。 重点：理解中值定理及简单的应用。 难点：中值定理证明的应用。 一、罗尔(Rolle)定理 罗尔定理 如果函数)(x f 满足条件 （1）在闭区间],[b a 上连续； （2）在开区间),(b a 内可导； （3）)()(b f a f =． 则在开区间),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ，使得函数)(x f 在该点的导数等 于零，即0)(='ξf ． 几何解释 设曲线? AB 的方程为))((b x a x f y ≤≤=，罗尔定理的条件的几何表示，?AB 是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直于x 轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，结论是曲线弧? AB 上至少有一点C ，使该点处曲线的切线是水平的．从图中看到，在曲线的最高点或最低点处，切线是水平的，这就启发了我们证明这个定理的思路，ξ应在函数取最值点处找． 例1．验证罗尔定理对函数34)(2+-=x x x f 在]3,1[上的正确性． 证明 因为函数)3)(1(34)(2--=+-=x x x x x f 在闭区间]3,1[上连续，可导． )2 (2 4 2 ) (- = - = 'x x x f 且0 )3( )1(= =f f 函数) (x f在区间]3,1[上满足罗尔定理条件，所以在区间)3,1(内存在ξ使得 )2 (2 ) (= - = 'ξ ξ f， 于是)3,1( 2∈ = ξ． 故确实在区间)3,1(内至少存在一点2 = ξ使得0 )2(= 'f，结论成立． 二、拉格朗日中值定理（微分中值定理） 几何分析 拉格朗日中值定理设函数) (x f满足条件 （1）在闭区间] , [b a上连续； （2）在开区间) , (b a内可导． 则在区间) , (b a内至少存在一点) (b a< <ξ ξ，使得等式 ) )( ( ) ( ) (a b f a f b f- ' = -ξ成立． 推论1如果函数) (x f在区间I上的导数恒为零，那么函数) (x f在区间I上是一个常数（它的逆命题也成立）． 例2．试证 2 cot arctan π = +x arc x) (+∞ < < -∞x． 证明构造函数x arc x x f cot arctan ) (+ =， 因为函数) (x f在) , (+∞ -∞上可导，且 1 1 1 1 ) ( 2 2 = + - + = ' x x x f 由推论得()arctan cot f x x arc x C =+=，(,) x∈-∞+∞， 第三章 微分中值定理与导数的应用 一、选择题 1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（ ） 是否为极值点不能断定的极值点 不是 的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A ( 2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（ ） 0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在 且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''= 3、的凸区间是 x e y x -=（ ） ) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞ 4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ） (A)x x sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2 x )x (f = (D)1x )x (f 2+= 5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（ ） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值 6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（ ） (A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ] 5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（ ） (A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-， 8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（ ） ． (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3 x 3sin3x asinx f(x )π=+ =（ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 π (D) 0 10、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（ ） ] 5 4 , 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (--- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（ ） 的极值 必定不是的极值点为必定为曲线的驻点 ， 必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000 二、填空题 1、__________________e y 82 x 的凸区间是曲线-=． 2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=． 第二章 导数与微分答案 第一节 导数概念 1．填空题. （1） ()'f 0= 0； （2） (2, 4) （3） 1 . （4） =a 2 ，=b -1 . 2．选择题. （1）B ； （2）B ； （3） C ； （4）D ； （5） B ； （6）B 3．解 令)(t v 表示在t 时刻的瞬时速度，由速度与位移的关系知 ()().5)21(lim 2 ) 22(lim 22lim )2()2(22222' =++=-+-+=--==→→→t t t t t s t s s v t t t 4．设()? x 在x a =处连续，()()()f x x a x =-?， 求()'f a ；若)(||)(x a x x g ?-=，()x g 在x a =处可导吗？ 解（1）因为()? x 在x a =处连续， 故)()(lim a x a x ??=→，所以 ()()()).()(lim 0 )(lim lim )('a x a x x a x a x a f x f a f a x a x a x ???==---=--=→→→ （2）类似于上面推导知 ()()()),(0 )(lim lim )(' a a x x a x a x a g x g a g a x a x ??=---=--=++ →→+ ()()()).(0)(lim lim )(' a a x x a x a x a g x g a g a x a x ??-=----=--=--→→- 可见当()0=a ?时，()0)(' ==a a g ?；当()0≠a ?时，())(' ' a g a g -+≠， 故这时()x g 在x a =处不可导。 5．求曲线y x =-43在点()12,-处的切线方程和法线方程. 解 根据导数的几何意义知道，所求切线的斜率为 ,4|4|131'1=====x x x y k 从而所求切线方程为 ),1(4)2(-=--x y 即 64-=x y . 第四章微分中值定理和导数的应用[单选题] 1、 曲线的渐近线为（）。 A、仅有铅直渐近线 B、仅有水平渐近线 C、既有水平渐近线又有铅直渐近线 D、无渐近线 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 B 【您的答案】您未答题 【答案解析】 本题考察渐近线计算. 因为，所以y存在水平渐近线，且无铅直渐近线。 [单选题] 2、 在区间[0，2]上使罗尔定理成立有中值为ξ为（） A、4 B、2 C、3 D、1 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 D 【您的答案】您未答题 【答案解析】 ，罗尔定理是满足等式f′（ξ）=0，从而2ξ-2=0，ξ=1. [单选题] 3、 ，则待定型的类型是（）. A、 B、 C、 D、 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 D 【您的答案】您未答题 【答案解析】 由于当x趋于1时，lnx趋于0，ln(1-x)趋于无穷，所以是型. [单选题] 4、 下列极限不能使用洛必达法则的是（）. A、 B、 C、 D、 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 D 【您的答案】您未答题 【答案解析】 由于当x趋于无穷时，cosx的极限不存在，所以不能用洛必达法则. [单选题] 5、 在区间[1，e]上使拉格朗日定理成立的中值为ξ=（）. A、1 B、2 C、e D、 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 D 【您的答案】您未答题 【答案解析】本题考察中值定理的应用。 [单选题] 6、 如果在内，且在连续，则在上（）. A、 B、 C、 D、 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 C 【您的答案】您未答题 【答案解析】 在内，说明为单调递增函数，由于在连续，所以在 上f(a)＜f(x)＜f(b). [单选题] 7、 的单调增加区间是（）. A、（0，+∞） B、（-1，+∞） C、（-∞，+∞） D、（1，+∞） 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 D 【您的答案】您未答题 【答案解析】 ,若求单调增加区间就是求的区间，也就是2x-2>0，从而x>1. [单选题] 8、 （）. 高等数学练习题 第二章 导数与微分 第一节 导数概念 一．填空题 1.若)(0x f '存在，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 = )(0x f '- 2. 若)(0x f '存在，h h x f h x f h ) ()(lim 000 --+→= )(20x f ' . 000 (3)() lim x f x x f x x ?→+?-?=03()f x '. 3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim )000 x f x x f x x 4 1 4.已知物体的运动规律为2 t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒） 5.曲线x y cos =上点（ 3π，2 1 ）处的切线方程为03 123=- -+π y x ，法线方程为 03 22332=-+ -π y x 6.用箭头?或?表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系， 可微 ? 可导 <≠ ? | 连续 <≠ ? 极限存在。 二、选择题 1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则x x f x ) (lim 0→= [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2 1 )0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则x x b x f x a x f x ??--?+→?) ()(lim 0 = [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2 b a +)(x f ' 3. 函数在点0x 处连续是在该点0x 处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要 （B ）必要但不是充分 （C ）充分必要 （D ）即非充分也非必要 4．设曲线22 -+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ] （A ）(0,1) ( B) (1, 0) (C) ( 0,0) (D) (1,1) 第四章 微分中值定理与导数的应用习题 § 微分中值定理 1． 填空题 （１）函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是 π π -4． （２）设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 3 个实根，分别位于区间)5,3(),3,2(),2,1(中． 2． 选择题 （１）罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且 )()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（ B ）． A ． 必要条件 B ．充分条件 C ． 充要条件 D ． 既非充分 也非必要条件 （２）下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（ C ）． A. x e x f =)( B. ||)(x x f = C. 21)(x x f -= D. ????? =≠=0 ,00 ,1sin )(x x x x x f （３）若)(x f 在),(b a 内可导，且21x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点ξ，使下式成立（ B ）． A ． ),()()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξ B ． ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间 C ． 211221)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ D ． 211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ 3．证明恒等式：)(2 cot arctan ∞<<-∞= +x x arc x π ． 证明： 令x arc x x f cot arctan )(+=，则011 11)(2 2=+-+='x x x f ，所以)(x f 为一常数． 设c x f =)(，又因为(1)2 f π =， 故 )(2 cot arctan ∞<<-∞= +x x arc x π ． 4．若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中 12a x x << 3x b <<，证明:在),(31x x 内至少有一点ξ，使得0)(=''ξf ． 证明：由于)(x f 在],[21x x 上连续,在),(21x x 可导,且)()(21x f x f =，根据罗尔定理知，存在),(211x x ∈ξ， 使0)(1='ξf ． 同理存在),(322x x ∈ξ，使0)(2='ξf ． 又)(x f '在],[21ξξ上 符合罗尔定理的条件，故有),(31x x ∈ξ，使得0)(=''ξf ． 5． 证明方程06 213 2=+++x x x 有且仅有一个实根． 证明：设621)(32x x x x f +++=， 则03 1 )2(,01)0(<-=->=f f ，根据零点 存在定理至少存在一个)0,2(-∈ξ， 使得0)(=ξf ．另一方面，假设有),(,21+∞-∞∈x x ，且21x x <，使0)()(21==x f x f ，根据罗尔定理，存在) ,(21x x ∈η使0)(='ηf ，即02112=++ηη，这与02 112>++ηη矛盾．故方程0 62132=+++x x x 只有一个实根． 第三章 微分中值定理与导数应用 第一节 微分中值定理 教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒 中值定理。 教学重点：罗尔定理、拉格朗日中值定理。 教学难点：罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用。 教学内容： 一、罗尔定理 1. 罗尔定理 几何意义：对于在],[b a 上每一点都有不垂直于x 轴的切线，且两端点的连线与x 轴平行的不间断的曲线 )(x f 来说，至少存在一点C ，使得其切线平行于x 轴。 从图中可以看出：符合条件的点出现在最大值和最小值点，由此得到启发证明罗尔定理。为应用方便，先介绍费马（Fermat ）引理 费马引理 设函数 )(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义, 并且在0x 处可导, 如果对任 意)(0x U x ∈, 有)()(0x f x f ≤ (或)()(0x f x f ≥), 那么0)(0'=x f . 证明：不妨设)(0x U x ∈时，)()(0x f x f ≤（若)()(0x f x f ≥，可以类似地证明）. 于是对于)(00x U x x ∈?+,有)()(00x f x x f ≤?+, 从而当0>?x 时, 0 ) ()(00≤?-?+x x f x x f ; 而当0 根据函数 )(x f 在0x 处可导及极限的保号性的得 ==+)()(0'0'x f x f 0)()(lim 000≤?-?++ →?x x f x x f x ==-)()(0'0'x f x f 0)()(lim 000≥?-?+- →?x x f x x f x 所以0)(0'=x f , 证毕. 定义 导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点，临界点). 罗尔定理 如果函数)(x f 满足：（1）在闭区间],[b a 上连续, （2）在开区间),(b a 内可导, （3）在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =, 那么在),(b a 内至少在一点)(b a <<ξξ , 使得函数)(x f 在该点的导数等于零，即 0)('=ξf . 证明：由于)(x f 在],[b a 上连续，因此必有最大值M 和最小值m ，于是有两种可能的情形： （1）m M =，此时)(x f 在],[b a 上必然取相同的数值M ，即.)(M x f = 由此得.0)(='x f 因此，任取),(b a ∈ξ，有.0)(='ξf （2）m M >，由于)()(b f a f =，所以M 和m 至少与一个不等于)(x f 在区间],[b a 端点处 的函数值.不妨设)(a f M ≠(若)(a f m ≠,可类似证明),则必定在),(b a 有一点ξ使M f =)(ξ. 因此任取],[b a x ∈有)()(ξf x f ≤, 从而由费马引理有0)(='ξf . 证毕 例1 验证罗尔定理对32)(2--=x x x f 在区间]3,1[-上的正确性 解 显然 32)(2--=x x x f )1)(3(+-=x x 在]3,1[-上连续，在)3,1(-上可导，且 0)3()1(==-f f , 又)1(2)(-='x x f , 取))3,1(1(,1-∈=ξ,有0)(='ξf . 说明：1 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立; 2 使得定理成立的ξ可能多于一个，也可能只有一个. 例如 ]2,2[,-∈=x x y 在]2,2[-上除)0(f '不存在外，满足罗尔定理的一切条件， 但在区间]2,2[-内找不到一点能使0)(='x f . 例如 ?? ?=∈-=0 ,0]1,0(,1x x x y 除了0=x 点不连续外，在]1,0[上满足罗尔定理的一切条 习题 4.1 3 2 12121.()32[0,1][1,2]R o lle 0,(0)(1)(2)0,()[0,1][1,2]R o lle 620,6 3 (0,1),(1,2),()()0. 332.f x x x x f f f f f x x x x x x f x f x =-+==='-+== = ''====2 验证函数在区间及上满足定理的条件并分别求出导数为的点. 处处可导故在区间及上满足定理的条件.f (x )=3x 讨论下列 解11 1 1 ()[1,1]R o lle ,,(1,1),()0. (1)()(1)(1),,;(2)()1(1)()(1)(1)(1)(1) (1)(1)()0,(1,1),()0. 1 (2)(m n m n m n m n f x c f c f x x x m n f x f x m x x n x x m n x x m m x n n x c f c m f x -----∈-'==+-=- '=+--+--'=+----== ∈-=+'函数在区间上是否满足定理的条件若满足求使为正整数解1/3 2),(0). 33.()ln [1,],?11(),()(1)ln ln 11(1), 1. 4.L ag ran g e (1)|sin sin |||; (2)|tan tan |||,,(/2,/2);(3) ln x f f x x e c f x f e f e e c e x c y x x y x y y x x y b a b b b a ππ-'=- =='= -=-== -=--≤--≥-∈--<<不存在写出函数在区间上的微分中值公式并求出其中的应用中值定理,证明下列不等式:解2 2 2 (0). (1)|sin sin ||(sin )|()||co s |||||.(2)|tan tan ||(tan )|()|sec ||||.(3) ln ln ln (ln )|()((,)). 5.()(1)(4)x c x c x c a a b a x y x x y c x y x y y x x y x c y x y x b a b b a b a b a x b a c a b a a c a P x x x ===-<<'-=-=-≤-'-=-=-≥----'<=-=-= ∈< =--证明多项式的导函数的证1,212,. ()1,2,R o lle ,,,()(2,1),(1,1),(1,2). 6.,,,:()co s co s 2co s (0,). n n P x P x c c c f x c x c x c n x π±±---=+++ 三个根都是实根并指出它们的范围有四个实根根根据定理它的导函数有三个实根又作为四次多项式的导函数是三次多项式,最多三个实根,故的导函数的三个根都是实根,分别在区间设为任意实数证明函数在内必有根证 微分中值定理的证明题 1. 若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ?∈， (,)a b ξ?∈使得：()()0f f ξλξ'+=。 。 2. 设,0a b >，证明：(,)a b ξ?∈，使得(1)()b a ae be e a b ξξ-=--。 。 3. 设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1) 内至少存在一点ξ，使得：()0F ξ''=。 证 4. 设函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，0)0(=f ，1)1(=f .证明： (1)在(0,1)内存在ξ，使得ξξ-=1)(f ． (2) 在(0,1)内存在两个不同的点ζ，1)()(//=ηζηf f 使得 5. 设)(x f 在[0，2a]上连续，)2()0(a f f =，证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+. 6. 若)(x f 在]1,0[上可导，且当]1,0[∈x 时有1)(0< 9. 设()f x 在[,]a b 上连续,(,)a b 内可导(0),a b ≤<()(),f a f b ≠ 证明: ,(,)a b ξη?∈使得 ()().2a b f f ξηη +''= (1) 10. 已知函数)(x f 在[0 ,1]上连续，在（0 ，1）内可导，b a <<0，证明存在),(,b a ∈ηξ， 使)()()(3/22/2ηξηf b ab a f ++= 略） 11. 设)(x f 在a x ≥时连续，0)(时，0)(/>>k x f ，则在))(,(k a f a a -内0)(=x f 有唯一的实根 根 12. 试问如下推论过程是否正确。对函数21sin 0()0 0t t f t t t ?≠?=??=?在[0,]x 上应用拉格朗日中值定理得： 21s i n 0()(0)111s i n ()2s i n c o s 00x f x f x x f x x x ξξξξ --'====--- (0)x ξ<< 即：1 1 1cos 2sin sin x x ξξξ=- (0)x ξ<< 因0x ξ<<，故当0x →时，0ξ→，由01l i m 2s i n 0ξξξ+→= 01lim sin 0x x x +→= 得：0lim x +→1cos 0ξ=，即01lim cos 0ξξ+→= 出 13. 证明：02x π?<<成立2cos x x tgx x <<。 x 第二章导数与微分 (一) f X 0 X f X 0 I x 0 X 3 .函数f x 在点x 0连续，是f x 在点x 0可导的（A ） 5. 若函数f x 在点a 连续，则f x 在点a （ D ） C . a 6. f x x 2 在点X 2处的导数是（D ） A . 1 B . 0 C . -1 D .不存在 7.曲线y 2x 3 5x 2 4x 5在点2, 1处切线斜率等于（A ） A . 8 B . 12 C . -6 D . 6 8.设y e f x 且fx 二阶可导，则y （ D ） A . e f x B f X r e f f X ￡ ￡ f X 丄 2 x C . e f x f x D . e f x 9.若 f x ax e , x 0 在x 0处可导，则a ， b 的值应为 b sin2x, (A ) A .左导数存在； B .右导数存在； C .左右导数都存在 1 .设函数y f x ，当自变量x 由x 0改变到 X o x 时，相应函数的改变量 f x 0 x B . f x 0 x C . f x 0 X f X 0 f X 。 x 2 .设f x 在x o 处可，则lim f X 0 B . X o C . f X 0 D . 2 f X 0 A .必要不充分条件 B . 充分不必要条件 C .充分必要条件 既不充分也不必要条件 4.设函数y f u 是可导的，且u x 2 ，则 d y ( C ) x 2 B . xf x 2 C . 2 2 2xf x D . x f x D .有定义 10?若函数f x 在点X o 处有导数，而函数 g x 在点X o 处没有导数，则 F x f x g x , G x f x g x 在 x 0 处（A ） A ?一定都没有导数 B ?—定都有导数 C .恰有一个有导数 D ?至少一个有导数 11.函数fx 与g x 在x 0处都没有导数，则Fx g x 在 x o 处(D ) 13 . y arctg 1 ，贝U y x A .一定都没有导数 B . 一定都有导数 C .至少一个有导数 D .至多一个有导数 12.已知F x f g x ，在 X X 。处可导，则（A ） g x 都必须可导 B . f x 必须可导 C . g x 必须可导 D . x 都不一定可导第3章 微分中值定理与导数的应用总结
高等数学第三章微分中值定理与导数的应用的习题库
(完整版)利用微分中值定理证明不等式
(完整版)第二章.导数和微分答案解析
北大版高等数学第四章微分中值定理与泰勒公式答案习题
微分中值定理例题
第三章微分中值定理导数的应用
第四章 微分中值定理与导数的应用
高等数学第三章微分中值定理与导数的应用题库(附带答案)
2第二章 导数与微分答案
《高等数学一》第四章-微分中值定理和导数的应用-课后习题汇总(含答案解析)
导数与微分练习题答案
微分中值定理与导数的应用习题
第三章 微分中值定理与导数应用教案教学设计
北大版高等数学第四章 微分中值定理与泰勒公式答案 习题4.1
微分中值定理的证明题(题目)
(完整版)第二章导数与微分(答案)