高等数学第三章微分中值定理与导数的应用的习题库

第三章 微分中值定理与导数的应用

一、判断题

1. 若()f x 定义在[,]a b 上，在(a,b)内可导，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（ ）

2. 若()f x 在[,]a b 上连续且()()f a f b =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。 （ ）

3. 若函数()f x 在[,]a b 内可导且lim ()lim ()x a x b f x f x →+→-

=，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（ ） 4. 若()f x 在[,]a b 内可导，则必存在(a,b)ξ∈，使'()(a)()()f b f f b a ξ-=-。（ ） 5. 因为函数()f x x =在[1,1]-上连续，且(1)(1)f f -=，所以至少存在一点()1,1ξ∈-使

'()0f ξ=。

（ ） 6. 若对任意(,)x a b ∈，都有'()0f x =，则在(,)a b 内()f x 恒为常数。 （ ） 7. 若对任意(,)x a b ∈，都有''()()f x g x =，则在(,)a b 内()()f x g x =。 （ ） 8. arcsin arccos ,[1,1]2

x x x π

+=∈-。

（ ） 9. arctan arctan ,(,)2

x x x π

+=

∈-∞+∞。

（ ） 10. 若()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则导函数'()f x 有3个不同的实根。

（ ） 11. 若22()(1)(4)f x x x =--，则导函数'()f x 有3个不同的实根。

（ ） 12. '

'

222(2)lim lim

21(21)x x x x x x →→=--

（ ）

13. 22'

0011lim

lim()sin sin x x x x e e x x

→→--= （ ） 14. 若'()0f x >则()0f x >。

（ ）

15. 若在(,)a b 内()f x ，()g x 都可导，且''()()f x g x >，则在(,)a b 内必有()()f x g x >。（ ） 16. 函数()arctan f x x x =-在R 上是严格单调递减函数。

（ ） 17. 因为函数()f x x =在0x =处不可导，所以0x =不是()f x 的极值点。

（ ）

18. 函数()f x x =在0x =的领域内有()(0)f x f ≥，所以()f x 在0x =处取得极小值。（ ） 19. 函数sin y x x =-在[0,2]π严格单调增加。 （ ） 20. 函数1x y e x =+-在(,0]-∞严格单调增加。

（ ） 21. 方程32210x x x ++-=在()0,1内只有一个实数根。 （ ）

22. 函数y [0,)+∞严格单调增加。 （ ）

23. 函数y (,0]-∞严格单调减少。 （ ） 24. 若'0()0f x =则0x 必为'0()f x 的极值点。 （ ） 25. 若0x 为()f x 极值点则必有'(0)0f =。

（ ）

26. 3()f x x =在0x =处有(0)0f '=，所以0x =是()f x 的极值点。 （ ） 27. 若00(,())x f x 为曲线()y f x =的拐点，则必有''0()0f x =。

（ ） 28. 若''0()0f x =，则00(,())x f x 必为函数曲线()y f x =的拐点。

（ ）

29. 若在I 上，曲线总在它每一点的切线上方，则曲线在I 上是凹的。 （ ） 30. 曲线4263y x x x =-+在区间（0,1）内是凸的。 （ ） 31. 曲线2ln(1)y x =-的图形处处是凹的。 （ ） 32. 曲线3x y xe -=的拐点0x =。

（ ） 33. 曲线3y x =在(,0]-∞内是凸的，在[0,)+∞内是凹的。

（ ） 34. 曲线ln x

y x

=有水平渐近线0y =。

（ ）

二、选择题

1. 若()f x 在(,)a b 内可导，12,x x 是(,)a b 内任意两点，且12x x <，则至少存在一点ξ使（ ）

A.'()()()()f b f a f b a ξ-=-，其中a b ξ<<

B.'11()()()()f b f x f b x ξ-=-，其中x b ξ<<

C.'1221()()()()f x f x f x x ξ-=-，其中12x x ξ<<

D.'22()()()()f x f a f x a ξ-=-，其中2a x ξ<<

2. 函数3

()3

x f x x =-在(满足罗尔定理条件的ξ等于

（ ）

A.-1

B.0

C.1 3. 函数2()23f x x x =+-在()1,2-满足拉格朗日中值定理条件的ξ等于

（ ）

A.

12

B.0

C.1

D.1

2

-

4. 函数(1)y x x =-在区间(0,1)内满足罗尔定理的ξ=

（ ）

A.0

B.13

C.1

2

D.1 5. 下列各式中正确运用洛必达法则求极限的是 （ ）

A.000sin cos sin lim lim lim 1x x x x x x x x x e e e →→→-==-

B.sin lim lim(1cos )x x x x x x

→∞→∞+=+不存在 C.232000011sin cos sin cos sin 1lim cot lim lim lim sin 33x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→--⎛⎫

-==== ⎪⎝⎭

D.22001lim

lim 1sin cos x x

x x e e x x

→→-== 6. 函数2

()1x

f x x

=

+ （ ）