高等数学第三章微分中值定理与导数的应用的习题库
高等数学 第三章中值定理与导数的应用习题课
(5) (1 + x )α = 1 + αx +
α (α − 1)
2!
x2 + L+
α (α − 1)L (α − n + 1)
n!
x n + o( x n )
Ⅲ 导数的应用
一、函数的极值与单调性
1．函数极值的定义 ． x ∈ U ( x0 , δ ), f ( x ) ≤ f ( x0 ), f ( x0 )为极大值. 为极大值.
0 ∞ 其它型： 其它型： ⋅ ∞ , ∞ − ∞ , 0 , 1 , ∞ , 转化为 “ ”型或“ ” 型 0 型或“ 型或 0 ∞
0 ∞ 0
二、泰勒公式
1．泰勒公式 ．
如果函数在含有一点的开区间内具有直到(n+1)阶导数 阶导数 如果函数在含有一点的开区间内具有直到 f ′′( x0 ) f ( n) ( x0 ) 2 f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 ) + L+ ( x − x0 )n + Rn ( x) 2! n! ( n +1) f (ξ ) Rn ( x ) = ( x − x0 ) n+1 拉格朗日型余项 ( n + 1)!
x ∈ U ( x 0 , δ ), f ( x ) ≥ f ( x0 ), f ( x0 )为极小值 .
o
。
2．函数的驻点 ．
f ′( x 0 ) = 0 则 x 0为 f ( x ) 的驻点。 的驻点。
3．函数的单调区间的判别 ．
函数在[a,b]上连续 在(a,b)内可导 上连续,在 内可导. 函数在 上连续 内可导
3微分中值定理与导数的应用习题
第三章微分中值定理与导数的应用1 •函数y =x2 -1在L 1,1】上满足罗尔定理条件的匕=2、若f(x)=x3在1,2】上满足拉格朗日中值定理，则在(1,2 )内存在的匕=3. f(x)=x2+x-1在区间L1,1】上满足拉格朗日中值定理的中值匕=4•函数y = In(X +1诳区间0,1】上满足拉格朗日中值定理的匕=5•验证罗尔定理对函数y =1 n sin X在区间律—1上的正确性。
T 6」6.验证拉格朗日中值定理对函数y =4x' —5x2 +x-2在区间0,1】上的正确性。
7.对函数f(x) = sinx及F(x)=x+cosx在区间〔0,—1上验证柯西中值定理的正确性。
L 2」&试证明对函数y = px2 +qx + r应用拉格朗日中值定理时的求得的点总是位于区间的正中间。
9.证明下列不得等式: ⑴ arctanx -arctan y < x - y⑶当a汕＞«¥＜"¥10.用洛必达法则求下列极限:X _x⑵ lim e ~eT sin XIn R +丄］⑷ li%__¥—鈕 1arcta n —x⑸1x m1x1.1 -x1⑹ lim (cot X -一) T x(7)lim (cos X)⑻ ji m^x "(J x2+1 -X) ⑵当X A1时，e x；＞e .XIn (1 +x)⑴lim T X⑶ lim 沁—sina X T x-asin X — xcosx2~；x sinx11. 确定下列函数的单调区间。
⑷ y =1 n(x +J 1 + x 212. 求下列函数图形的拐点及凹凸区间:⑷ y = In(x 2+1 )13. 禾U 用函数的单调性证明下列不等式:(11)lim(1-x)ta n 便'(2丿(12)tanx⑽ lim — - x -^l x「1 2 、—2x~e-1丿⑴ y = 2x 3-6x 2-18x -7⑵ y = 2x +8(X A O )x=x 3 -5x 2+3x +5/ \ -x⑵ y = xe= (x +1y +e x⑴当1 ,_______ x>0 时，1+ —x》u1+x2⑵当x>0 时，1+xl n(x+j1+x2)> J1 +x2⑶当兀 1 3 0cx£ —时，tanx〉x + -x2 314.列表讨论下列函数的单调区间，凹性区间，极值点与拐点。
高等数学第七版教材答案详解
高等数学第七版教材答案详解1. 课后习题答案1.1 第一章：函数与极限1.1.1 习题1解答1.1.2 习题2解答...1.2 第二章：导数与微分1.2.1 习题1解答1.2.2 习题2解答...1.3 第三章：微分中值定理与导数的应用1.3.1 习题1解答1.3.2 习题2解答...2. 课后思考题答案2.1 第一章：函数与极限2.1.1 思考题1解答2.1.2 思考题2解答...2.2 第二章：导数与微分2.2.1 思考题1解答2.2.2 思考题2解答...2.3 第三章：微分中值定理与导数的应用2.3.1 思考题1解答2.3.2 思考题2解答...3. 课后习题详解3.1 第一章：函数与极限3.1.1 习题1详解3.1.2 习题2详解...3.2 第二章：导数与微分3.2.1 习题1详解3.2.2 习题2详解...3.3 第三章：微分中值定理与导数的应用3.3.1 习题1详解3.3.2 习题2详解...在这篇文章中，我将给出《高等数学第七版》教材的习题答案和课后思考题答案的详细解析。
为了方便阅读，我将按章节划分答案，并提供习题和思考题的解答。
如果你在学习过程中遇到了困惑，希望这些答案能够帮助你更好地理解相关的数学概念和解题方法。
首先，我将给出每章节的课后习题答案。
在习题解答中，我将详细解释每个题目的解题思路和步骤，并给出最终答案。
你可以根据自己的需要，选择性地查看想要解答的习题。
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我将为每个思考题提供解答，希望能够帮助你在思考和解决问题时找到正确的方向。
最后，我将给出课后习题的详细解析。
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总之，在这篇文章中，我将为你提供《高等数学第七版》教材的习题答案和课后思考题答案的详细解析。
第03章微分中值定理与导数的应用习题详解
M 12丿」I 2丿第三章 微分中值定理与导数的应用习题3-11.解：(1)虽然 f(x)在［—1,1］上连续，f(—1) = f(1)，且 f(x)在(—1,1)内可导。
可见，f(x)在［_1,1］上满足罗尔中值定理的条件，因此，必存在一点 匕€(-1,1)，使得f 牡)=0，即:f(X)=cosx, F(X)=1 — sin X 且对任一 x 乏0,—】，F'(X)H 0, ”■. f (x),F (x)满足柯西 I 2丿中值定理条件。
—12©宀2=0，满足、； (2)虽然f(x)在［—1,1］上连续,f(_1)= f (1)，但 f (x)在(—1,1)内 x = 0点不可导。
可 见，f (x)在［ —1,1］上不满足罗尔中值定理的条件，因此未必存在一点 £ £ (_1,1)，使得 f 徉)=0. 2.因为函数是一初等函数，易验证满足条件 3 3 .解：令 y = 3arccos x - arccos(3x - 4x 3), y ‘ = 一 23 —12x 2厂工®®3)2，化简得 y'=0,「. y =c ( C 为常数)，又 y(0.5)=兀，故当-0.5<x<0.5，有 y(x)=兀。
「兀f f 兀、 4 .证明：显然f(x), F(x)都满足在'|0,二I 上连续，在10,二 内可导L 2」 I 2丿 c oxsn ——x、、2丿F Q-F(O)12丿兀--1 2F( x) -1 sixn_c O 弓-x厂(X )_F(x) ZL"2 /兀 X ,，即 tan I - -- U--1，此时l 4 2丿 2f JI「兀X = 2 I — -arctan l — -1L 4l 2显然萨〔0,-〕，即丿」 I 2丿5.解：因为f(0) = f (1)= f (2) = f (3) =0，又因为f(x)在任一区间内都连续而且可导, 所以f (X)在任一区间 0,1 ], 1,2], [2,3]内满足罗尔中值定理的条件， 所以由罗尔定理，得:3" -(0,1), "^(1,2), ©-(2,3),使得：f 徉1 )= 0 r =) &：◎(=), 30 因为6.证明：设f(x) =0的n+1个相异实根为X o V X 1 <X 2 <H( <X n则由罗尔中值定理知：存在J (i =1,2,川n):X0 <：勺1cj ■<X2 vill <-1^Xn ，使得再由罗尔中值定理至少存在So =1,2,川n-1):上11 C 巴21 V ©2 吒 W ©3 V i 11 < J n d W G n ,使得7.解：反证法，倘若 p(X)=0有两个实根，设为X^X 2，由于多项式函数 p(x)在[X 1,X 2]上连续且可导，故由罗尔中值定理存在一点E€(X I ,X 2),使得P 徉)=0,而这与所设p'(x)=0没有实根相矛盾，命题得证。
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)-课后习题详解-第三章 微分中值定理与导数的应用【圣才出
有且仅有三个实根，它们分别位于区间（1，2），（2，3），（3，4）
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6．证明恒等式： 证：取函数 f(x)＝arcsinx＋arccosx，x∈[－1，1]．因
所以 f(x)≡C．取 x＝0，得
．因此
7．若方程 正根 x＝x0，证明方程
即
，所以
（2）取函数
，因为函数 f(t)在[1，x]上连续，在（1，x）内可导，则由
拉格朗日中值定理知，至少存在一点 ξ∈（1，x），使
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即
．又 1＜ξ＜x，所以 eξ＞e，因此
即
ex＞x·e．
12．证明方程 x5＋x－1＝0 只有一个正根． 证：取函数 f(x)＝x5＋x－1，f(x)在[0，1]上连续，
的正根． 证：取函
有一个 必有一个小于 x0
数
．f(x)在[0，x0]
上连续，在（0，x0）内可导，且 f(0)＝f（x0）＝0，由罗尔定理知至少存在一点
ξ∈（0，x0），使
，即方程
正根．
必有一个小于 x0 的
8．若函数 f(x)在（a，b）内具有二阶导数，且 f（x1）＝f（x2）＝f（x3），其中
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a＜x1＜x2＜x3＜b．证明：在（x1，x3）内至少有一点 ξ，使得
．
证：根据题意知函数 f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]上连续，在（x1，x2），（x2，x3）内可导
且
，所以由罗尔定理知至少存在点 ξ1∈（x1，x2），
第三章 微分中值定理与导数的应用
《高等数学》（上）题库 第三章 微分中值定理与导数的应用判断题第一节.微分中值定理1、可导函数的极值点一定是函数的驻点。
（ ）2、曲线上有水平切线的地方，函数不一定取得极值。
（ ）3、方程015=-+x x 只有一个正根。
（ ） 第二节.洛必达法则4、洛必达法则只能用于计算00，∞∞型未定式。
（ ） 5、不是未定式，也可以使用洛必达法则。
（ ） 6、洛必达法则的条件不满足时，极限一定不存在。
（ ） 第三节.泰勒公式7、在泰勒公式中取00=x 既得麦克劳林公式。
（ ）8、佩亚诺余项可以用于误差估计。
（ ）9、泰勒中值定理是拉格朗日定理的推广。
（ ）10、()nnx n x x x x ο++++=!!21sin 2。
（ ）第四节.函数的单调性与曲线的凹凸性11、如果在()b a ,内0)(＜x f '，那么函数在[]b a ,上单调减少。
（ ）12、二阶导数为零的点一定是拐点。
（ ）第五节.函数的极值与最大值最小值13、单调函数一定存在最大值最小值。
（ ） 14、0)(0='x f 是函数取得极值的充分条件。
（ ）第六节.函数图形的描绘15、若()0lim =+∞→x f x ，则0=y 是()x f 的一条水平渐近线。
（ ） 16、若()-∞=-→x f x 3lim ，则3-=x 是()x f 的一条铅直渐近线。
（ ） 注：难度系数(1-10)依次为3，4，8；3，4，4；2，4，4，4；2，3；2，4；3，3。
填空题第一节.微分中值定理1、如果函数)(x f 在区间I 上的导数恒为零，那么)(x f 在区间I 上是 。
2、设函数)(x f 在0x 处可导，且在0x 处取得极值，那么)(0x f '= 。
第二节.洛必达法则3、如果当a x →时，两个函数)(x f 与）（x F 都趋于零，那么极限)()(lim x F x f ax →可能存在、可能不存在，通常把这种极限叫做 。
微分中值定理与导数的应用习题课(一)
【例3】设 f ( x)在[0, a]上连续, 在 (0, a)内可导, 且 f (a) 0 . 证明存在一点 (0, a), 使 f ( ) f ( ) 0. 分析 从结论 f ( ) f ( ) 0 看等价于方程 x f ( x) f ( x) 0 有实根，但若利用零点定理，无法验证 f (0) f (a) 0，所以
证明: 设 F ( x) a0 x n a1 x n1 an1 x, 易知多项式函数F ( x)在[0, x0 ] 上连续且可导，由题设
F ( x0 ) 0 F (0).
由罗尔定理，存在 (0, x0 ), 使 F ( ) 0, 即 a0n n1 a1 (n 1) n2 an1 0, 这说明 就是方程 a0nx n1 a1 (n 1) x n2 an1 0 的一个小于 x 0的正根.
2
x 1)
分析 证明函数恒等式，主要是利用拉格朗日定理的推论：
如果函数 f ( x)在区间 I上的导数恒为零，那么 f ( x)在区间 I上是一个常数.
证明：设 f ( x) arcsin x arccos x,(1 x 1)
因 f ( x) 1 1 0,(1 x 1) 1 x2 1 x2
试证在(a,
b)内至少存在一点 ,
使 f (b)
f (a)
f ( ) ln b
a
成立.
分析
将所证等式变形为
f (b)
f (a)
f ( ) 或
ln b ln a 1
f (b) f (a) ln b ln a
f ( x)
ln x
,
x
可见，应对 f ( x)与 ln
x 在[a,
b]上应用
ln b ln a 1
第三章 微分中值定理和导数的应用习题66道
第三章 微分中值定理和导数的应用3．1 验证罗尔定理对函数21x y -=在区间]1,1[-上的正确性。
3．2 验证罗尔定理对函数x y sin ln =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ上的正确性。
3．3 不用求函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的导数，说明0)(/=x f 有几个实根，并指出它们所在的区间。
3．4 试证明对函数r qx px y ++=2应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间。
3．5 验证担格朗日定理对于函数x x f arctan )(=在区间[0，1]上的正确性。
3．6 对函数3)(x x f =及1)(2+=x x g 在区间[1，2]上验证柯西中值定理的正确性。
3．7 对函数x x f sin )(=，x x g cos )(=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π验证柯西中值定理的正确性。
3．8 对函数2)(x x f =，x x g =)(在区间[1，4]上验证柯西中值定理的正确性。
3．9 试证当⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2ππx 时，|tan |||x x ≤（等号只有在0=x 时成立）。
3．10 证明下列不等式：（1）b a b a -≤-arctan arctan ；（2）y x y x -≤-sin sin ；（3）)()(11y x nx y x y x ny n n n n -<-<--- （y x n >>,1）；（4）如果20παβ<≤<，试证：αβαβαββα22cos tan tan cos -≤-≤-； （5）设0>n ，试证：1111arctan 1arctan 1)1(122+<+-<++n n n n 。
3．11 试证：21arctan arcsin xx x -= （11<<-x ）。
3．12 若k x f =)(/，k 为常数，试证：b kx x f +=)(。
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第三章 微分中值定理与导数的应用一、判断题1. 若()f x 定义在[,]a b 上，在(a,b)内可导，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。
（ ）2. 若()f x 在[,]a b 上连续且()()f a f b =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。
（ ）3. 若函数()f x 在[,]a b 内可导且lim ()lim ()x a x b f x f x →+→-=，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。
（ ） 4. 若()f x 在[,]a b 内可导，则必存在(a,b)ξ∈，使'()(a)()()f b f f b a ξ-=-。
（ ） 5. 因为函数()f x x =在[1,1]-上连续，且(1)(1)f f -=，所以至少存在一点()1,1ξ∈-使'()0f ξ=。
（ ） 6. 若对任意(,)x a b ∈，都有'()0f x =，则在(,)a b 内()f x 恒为常数。
（ ） 7. 若对任意(,)x a b ∈，都有''()()f x g x =，则在(,)a b 内()()f x g x =。
（ ） 8. arcsin arccos ,[1,1]2x x x π+=∈-。
（ ） 9. arctan arctan ,(,)2x x x π+=∈-∞+∞。
（ ） 10. 若()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则导函数'()f x 有3个不同的实根。
（ ） 11. 若22()(1)(4)f x x x =--，则导函数'()f x 有3个不同的实根。
（ ） 12. ''222(2)lim lim21(21)x x x x x x →→=--（ ）13. 22'0011limlim()sin sin x x x x e e x x→→--= （ ） 14. 若'()0f x >则()0f x >。
（ ）15. 若在(,)a b 内()f x ，()g x 都可导，且''()()f x g x >，则在(,)a b 内必有()()f x g x >。
（ ） 16. 函数()arctan f x x x =-在R 上是严格单调递减函数。
（ ） 17. 因为函数()f x x =在0x =处不可导，所以0x =不是()f x 的极值点。
（ ）18. 函数()f x x =在0x =的领域内有()(0)f x f ≥，所以()f x 在0x =处取得极小值。
（ ） 19. 函数sin y x x =-在[0,2]π严格单调增加。
（ ） 20. 函数1x y e x =+-在(,0]-∞严格单调增加。
（ ） 21. 方程32210x x x ++-=在()0,1内只有一个实数根。
（ ）22. 函数y [0,)+∞严格单调增加。
（ ）23. 函数y (,0]-∞严格单调减少。
（ ） 24. 若'0()0f x =则0x 必为'0()f x 的极值点。
（ ） 25. 若0x 为()f x 极值点则必有'(0)0f =。
（ ）26. 3()f x x =在0x =处有(0)0f '=，所以0x =是()f x 的极值点。
（ ） 27. 若00(,())x f x 为曲线()y f x =的拐点，则必有''0()0f x =。
（ ） 28. 若''0()0f x =，则00(,())x f x 必为函数曲线()y f x =的拐点。
（ ）29. 若在I 上，曲线总在它每一点的切线上方，则曲线在I 上是凹的。
（ ） 30. 曲线4263y x x x =-+在区间（0,1）内是凸的。
（ ） 31. 曲线2ln(1)y x =-的图形处处是凹的。
（ ） 32. 曲线3x y xe -=的拐点0x =。
（ ） 33. 曲线3y x =在(,0]-∞内是凸的，在[0,)+∞内是凹的。
（ ） 34. 曲线ln xy x=有水平渐近线0y =。
（ ）二、选择题1. 若()f x 在(,)a b 内可导，12,x x 是(,)a b 内任意两点，且12x x <，则至少存在一点ξ使（ ）A.'()()()()f b f a f b a ξ-=-，其中a b ξ<<B.'11()()()()f b f x f b x ξ-=-，其中x b ξ<<C.'1221()()()()f x f x f x x ξ-=-，其中12x x ξ<<D.'22()()()()f x f a f x a ξ-=-，其中2a x ξ<<2. 函数3()3x f x x =-在(满足罗尔定理条件的ξ等于（ ）A.-1B.0C.1 3. 函数2()23f x x x =+-在()1,2-满足拉格朗日中值定理条件的ξ等于（ ）A.12B.0C.1D.12-4. 函数(1)y x x =-在区间(0,1)内满足罗尔定理的ξ=（ ）A.0B.13C.12D.1 5. 下列各式中正确运用洛必达法则求极限的是 （ ）A.000sin cos sin lim lim lim 1x x x x x x x x x e e e →→→-==-B.sin lim lim(1cos )x x x x x x→∞→∞+=+不存在 C.232000011sin cos sin cos sin 1lim cot lim lim lim sin 33x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→--⎛⎫-==== ⎪⎝⎭D.22001limlim 1sin cos x xx x e e x x→→-== 6. 函数2()1xf x x=+ （ ）A.在R 上单调减少B.在R 上单调增加C.在(1,1)-上单调减少D.在(1,1)-上单调增加 7. ()ln f x x x =，则（ ）A.在1(0,)e内单调增加B.在1(,)e+∞内单调增加C.在(0,)+∞内单调减少D.在(0,)+∞内单调增加8. 函数2()x f x x e -=（ ）A.没有极值B.既有极大值也有极小值C.只有极大值D.只有极小值 9. 若在区间(,)a b 内函数'(0)0f >，''(0)0f <则()f x 在(,)a b 内（ ）A.单调递减且凹的B.单调增加且凸的C.单调增加且凹的D.单调递减且凸的10. 若()()f x f x -=，(,)x ∈-∞+∞，在(,0)-∞内'()0f x >，()0f x ''<，则()f x 在(0,)+∞内有（ ）A. '()0f x >，()0f x ''<B. '()0f x >，()0f x ''>C. '()0f x <，()0f x ''<D. '()0f x <，()0f x ''>11. 要使点(1,3)为曲线32y ax bx =+的拐点则,a b 值应为（ ）A.93,22a b ==-B.39a ,22b =-= C.3,6a b =-= D. 2,1a b ==12. 点(1,2)是曲线23y ax bx =+的拐点，则（ ）A.0,2a b ==B.1,1a b ==C.2,0a b ==D.3,1a b ==- 13. 曲线23()3f x x x =-在（ ）A.在(,1)-∞内是凸的，(1,)+∞内是凹的B.在(1,)+∞内是凸的，(,1)-∞内是凹的C.在(,0)-∞内是凸的，(0,)+∞内是凹的D.在(0,)+∞内是凸的，(,0)-∞内是凹的14. 2是函数32362y x x x =-+-在[1,1]-上的（ ）A.极大值B.极小值C.最大值D.最小值15. 函数3229121y x x x =-++在[]0,2上的最大值点与最小值点分别是（ ）A.1，0B.1，2C.2，0D.2，116. 设'()(1)(21),(,)f x x x x =-+∈-∞+∞则在1(,1)2内曲线()f x 单调（ ）A.递增凹的B.递减凹的C.递增凸的D.递减凸的17. 当0x >，则曲线1sin y x x=（ ）A.仅有水平渐近线B.仅有垂直渐近线C.既有水平又有垂直渐近线D.既没有水平又没有垂直渐近线18. 曲线2211x x e y e--+=- （ ）A.仅有水平渐近线B.仅有垂直渐近线C.既有水平又有垂直渐近线D.既没有水平又没有垂直渐近线 19. 曲线11xy e =-的渐近线（ ）A.1x =为垂直渐近线，0y =为水平渐近线B.1x =为垂直渐近线，1y =为水平渐近线C.0x =为垂直渐近线，0y =为水平渐近线D.0x =为垂直渐近线，1y =为水平渐近线三、填空题1. 若函数()f x 在[,]a b 上可导，则至少存在一点(a,b)ξ∈使得'()f ξ= 。
2. 函数23()1f x x =+在(1,1)-内满足罗尔中值定理的点是ξ= 。
3. 函数()f x =(0,3)内满足罗尔中值定理的点是ξ= 。
4. 函数3()2f x x =在(1,1)-内满足拉格朗日中值定理的点是ξ= 。
5. 函数32()52f x x x x =-+-在(1,0)-内满足拉格朗日中值定理的点是ξ= 。
6. 函数()sin ,()cos ,f x x g x x ==在(0,)2x π∈内满足柯西中值定理的点是ξ= 。
7. 函数(),()f x x g x ==在(0,1)x ∈内满足柯西中值定理的点是ξ= 。
8. 函数2()p f x x qx r =++在区间(,)a b 内满足拉格朗日中值定理的点是ξ= 。
9. 函数32()2f x x x x =--，()21g x x =+在区间(0,1)内满足柯西中值定理的点是ξ= 。
10. 函数()arctan f x x x =-在(,)-∞+∞上严格单调 。
11. 函数()2cos f x x x =+在[0,]2π内的最大值点是 。
12. 函数1()11f x x x =-+-的极大值点是 ，极小值点是 。
13. 曲线2x y e-=在区间 上是凸的。
14. 曲线31(2)y x =--的拐点是 。