微分中值定理练习题

微分中值定理练习题
1．试证拉格朗日中值定理．
2．设()f x 在[]0,1上连续，在(0,1)内可导， (0)(1)0f f ==，11,2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
试证： （1）存在1,12η⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，使()f ηη=． （2）对任意实数,(0,)λξη∃∈，使[]()()1f f ξλξξ'--=．
3．模型Ⅰ：设()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，则下列结论皆成立：
（1）存在(,)a b ξ∈，使()()0f f ξξ'+=（为实常数）．
（2）存在(,)a b ξ∈，使1()()0k f k f ξξξ-'+=（0,k k ≠为实常数）．
（3）存在(,)a b ξ∈，使()()()0f g f ξξξ'+=（()g x 为连续函数）．
4．设()f x 在[]0,1上连续，在(0,1)内可导，1(0)(1)0,12f f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭
，试证： （1）存在1,12η⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，使()f ηη=． （2）存在(0,)ξη∈，使[]2()3()1f f ξξξξ'+-=．
5．模型Ⅱ：设(),()f x g x 在[],a b 上皆连续，在(,)a b 内皆可导，且()0,()0f a g b ==，则存在(,)a b ξ∈，使()()()()0f g f g ξξξξ''+=．
6．设()f x 在[]0,1上连续，在(0,1)内可导，(0)0f =，k 为正整数，
求证：存在(0,1)ξ∈，使()()()f kf f ξξξξ''+=．
7．设()f x 在[]0,1上连续，在(0,1)内可导，(0)0f =．当0x >时，()0,f x > 试证：对任意正整数k ，存在()0,1ξ∈使()(1)()(1)
f kf f f ξξξξ''-=-． 8．设0x >，试证ln(1)1x x x x
<+<+． 9．设不恒为常数的函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()f a f b =，
证明：在(,)a b 内至少有一点ξ使得()0f ξ'>．
10．设()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，
证明在(,)a b 内至少存在一点ξ，使()()()()bf b af a f f b a
ξξξ-'=+-． 11．设0a b <<，函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，
证明存在一点,(,)a b ξξ∈，使()()()ln b f b f a f a
ξξ'-=． 12．设()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，且0a b <<，
证明：存在(,),(,)a b a b ξη∈∈，使()()2a b f f ξηξ
'+'=⋅． 13．设()f x 在(,)a b 内有123()0,,,f x x x x ''>是(,)a b 内相异的三个点， 求证：[]1231231()()()33
x x x f f x f x f x ++⎛⎫<++ ⎪⎝⎭ 14．若()f x 在[]0,1上有三阶导数，且(0)(1)0f f ==，设3()()F x x f x =．
试证：在(0,1)内至少存在一点ξ，使得()0F ξ'''=．
15．设()f x 在[]0,1上可导，在(0,1)内有二阶导数，且(0)(1)0f f ==．
试证：方程2()()0f x xf x '''+=在(0,1)内有一实根．
16．设()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，
试证：存在(,)a b ξ∈使得()()()f f a f b ξξξ
-'=-． 17．设0a b <<，函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，且(),()f a b f b a ==，试证明：存在(,)a b ξ∈使得()
()f f ξξξ'=-．
18．设()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续，在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭内可导， 证明：0,2πξ⎛
⎫∃∈ ⎪⎝⎭
，使()sin 22()cos 20f f ξξξξ'+=．
19．设()f x 在[]0,1上连续，(0,1)内可导，且(1)0f =，
证明：(0,1)ξ∃∈，使()tan ()0f f ξξξ'+=．
20．设()f x 在[]1,1-上具有三阶连续导数，且(1)0,(1)1,(0)0,f f f '-===， 证明：(1,1)ξ∃∈-，使()3f ξ'''=．
21．设()f x 在[],(0)a a a ->上具有二阶连续导数，且(0)0f =．
（1）写出()f x 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；
（2）证明：[],a a η∃∈-，使3()3()a
a a f f x dx η-''=⎰．
22．设(0,1)x ∈，证明：22(1)ln (1)x x x ++<．
23．设0()lim 1x f x x
→=，且()0f x ''>，证明：()f x x ≥． 24．设函数()f x ，在闭区间[]0,1上连续，在开区间(0,1)内可导，且1
(0)0,(1)3
f f ==证明：存在110,,,122ξη⎛
⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．使得22()()f f ξηξη''+=+． 25．证明（1）对任意正整数n ，都有111ln 11n n n
⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭ （2）设1111ln (1,2,)23n a n n n =++++-= 证明数列{}n a 收敛．
微分中值定理练习题答案或提示
（凡是证明题均为提示，为节约篇幅，在题号后不再写“提示”二字）
1．作辅助函数()()()()f b f a F x f x x b a
-=--，用罗尔定理． 2．（1）令()()x f x x ϕ=-，用零点定理．（2）令()()()x F x e
f x x λ-=-，用罗尔定理． 3．（1）令()()x F x e f x =，用罗尔定理．（2）令()()k
x F x e f x =，用罗尔定理． （3）令()()()G x F x e f x =，其中()()G x g x '=，用罗尔定理．
4．（1）令()()x f x x ϕ=-，用零点定理． （2）令[]3()()x F x e f x x =-
5．令()()()F x f x g x =，用罗尔定理．6．令()(1)k g x x =-，用模型Ⅱ（第5题）．
7．令()()(1)k
F x f x f x =-． 8．令()ln(1)f t t =+，在[]0,x 用拉格朗日定理． 9．(,)c a b ∃∈使()()()f c f a f b ≠=，若()()f c f a >，则在[],a c 上用拉格朗日定理； 若()()f c f a <，则在[],c b 上用拉格朗日定理．
10．令()()F x xf x =．用拉格朗日定理．
11．令()ln ,(),()g x x f x g x =在[],a b 上用柯西中值定理．
12．令2
(),(),()g x x f x g x =在[],a b 上先用柯西中值定理，然后用拉格朗日中值定理． 13．令12303
x x x x ++，将123(),(),(),f x f x f x 在0x 处展开成一阶泰勒公式，将三式相加可证得结论． 14．将3()()F x x f x =在0x =处展开成二阶泰勒公式．
15．()f x 在[]0,1上先用罗尔定理11()0,(0,1)f x x '=∈，令2
()(),F x x f x '=在[]10,x 上用罗尔定理．
16．令()()()()F x f x f a b x =--⎡⎤⎣⎦，在[],a b 上用罗尔定理．
17．令()()F x xf x =，在[],a b 上用罗尔定理．
18．令()()sin 2F x f x x =，用罗尔定理．19．令()()sin F x f x x =，用罗尔公式．
20．写出()f x 的二阶麦克劳林公式（拉格朗日型余项）．
21．（2）利用（1）的展开式，对展开式两边取从a -到a 的定积分．
22．令22
()(1)ln (1)F x x x x =++-，对()F x 用二阶麦克劳林公式．
23．写出()f x 的一阶麦克劳林公式． 24．令31()()3F x f x x =-，对()F x 在110,,,122⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
上分用拉格朗日中值定理． 25．（1）用拉格朗日中值定理 （2）证明{}n a 单调递减有下界．。