微分中值定理习题课

第三 微分中值定理习题课

教学目的 通过对所学知识的归纳总结及典型题的分析讲解，使学生对所学的知识有一个更深刻的理解和认识．

教学重点 对知识的归纳总结． 教学难点 典型题的剖析． 教学过程

一、知识要点回顾

1．费马引理．

2．微分中值定理：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理．

3．微分中值定理的本质是:如果连续曲线弧AB 上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线，则这段弧上至少有一点C ，使曲线在点C 处的切线平行于弦AB ．

4．罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值的条件是充分的，但不是必要的．即当条件满足时，结论一定成立；而当条件不满足时，结论有可能成立，有可能不成立． 如，函数

(){

2

,01,0 , 1

x x f x x ≤<==

在[]1,0上不满足罗尔定理的第一个条件，并且定理的结论对其也是不成立的．而函数

(){

2

1,11,1, 1

x x f x x --≤<=

=

在[]1,1-上不满足罗尔定理的第一和第三个条件，但是定理的结论对其却是成立的．

5．泰勒中值定理和麦克劳林公式．

6．常用函数x

e 、x sin 、x cos 、)1ln(x +、α

)1(x +的麦克劳林公式．

7．罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理间的关系．

8．00、∞∞

、∞⋅0、∞-∞、00、∞1、0

∞型未定式．

9．洛必达法则．

10．∞⋅0、00、∞1、0

∞型未定式向00或∞∞

型未定式的转化．

二、练习

1. 下面的柯西中值定理的证明方法对吗？错在什么地方？

由于()x f 、()x F 在[]b a ,上都满足拉格朗日中值定理的条件，故存在点()b a ,∈ξ，使得

()()()()a b f a f b f -=-ξ',

()1

()()()()a b F a F b F -'=-ξ.

()2

又对任一

(),,()0

x a b F x '∈≠，所以上述两式相除即得

()()()()()()ξξF f a F b F a f b f ''=

--.

答 上述证明方法是错误的．因为对于两个不同的函数()x f 和()x F ，拉格朗日中值定理公式中的ξ未必相同．也就是说在()b a ,内不一定存在同一个ξ，使得()1式和()2式同时成立．

例如，对于()2

x x f =，在[]1,0上使拉格朗日中值定理成立的

21

=

ξ；对()3

x x F =，

在[]1,0上使拉格朗日中值定理成立的

33

=

ξ，两者不等．

2. 设函数()x f y =在区间[]1,0上存在二阶导数，且

()()()()x f x x F f f 2

,010===.试证明在()1,0内至少存在一点ξ，使()0='ξF ．还至少存在一点η,使()0F η''=

分析 单纯从所要证明的结果来看，首先应想到用罗尔定理．由题设知，

()()010==F F ，且()x F 在[]1,0上满足罗尔定理的前两个条件，故在()1,0内至少存在一

点ξ，使()0='ξF

．至于后一问，首先得求出()x F '，然后再考虑问题．

()()()x f x x xf x F '+='22，且()00='F ．这样根据题设，我们只要在[]ξ,0上对函数

()x F '再应用一次罗尔定理，即可得到所要的结论．

证 由于()y f x =在[]1,0上存在二阶导数，且()()10F F =，()x F 在[]1,0上满足罗尔定理的条件，故在()1,0内至少存在一点ξ，使()0='ξF

．

由于

()()()x f x x xf x F '+='2

2， 且()00='F ，()x F '在[]ξ,0上满足罗尔定理的条件，故在 ()ξ,0内至少存在一点η，使

()0=''ηF ．由于()()1,0,0⊂ξ，所以()1,0∈η．

3.设

12,,

,n a a a 为满足方程()

1

12110321n n

a a a n --+

+-=-的实数，试证明方程

()12cos cos3cos 210

n a x a x a n x ++

+-=

在⎪

⎭⎫

⎝⎛2,0π内至少有一个实根．

分析 证明一个方程在某个区间内至少有一个实根的问题，就同学们目前所掌握的知识来看主要有两种方法，一种是用零点定理，另一种是用罗尔定理.要用零点定理,函数

()()x n a x a x a x f n 12cos ...3cos cos 21-+++=，

需要满足在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上连续，且()020<⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅πf f ．但02=⎪⎭⎫

⎝⎛πf ，因此这种方法并不能直接

应用．换一种方法，就应考虑罗尔定理，而要用罗尔定理解决上述问题，就得设

()()12cos cos3cos 21n F x a x a x a n x

'=+++-，

并将()x F '的原函数()x F 求出来，然后对原函数()x F 应用罗尔定理．

在这个问题中()x F '的原函数求起来很容易，

()()

()2

1sin sin 3sin 213

21n

a a F x a x x n x

n =+

++

--．

求出()x F 后，根据题设条件，对()x F 在⎥⎦⎤⎢

⎣⎡2,0π上应用罗尔定理即可得到所要的结论．

证 引入辅助函数

()()

()2

1sin sin 3sin 213

21n

a a F x a x x n x n =+

++

--．

因为()

x F 在⎥

⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上连续，在⎪⎭⎫

⎝⎛2,0π内可导，()00=F ，

()

1

121102321n n a F a a n π-⎛⎫

=-+

+-= ⎪-⎝⎭

，所以由罗尔定理知，在⎪⎭⎫

⎝⎛2,0π内至少存在一

点ξ，使得()0='ξF

，即

()12cos cos3cos 210

n a a a n ξξξ++

+-=.

于是方程

()12cos cos3cos 210n a x a x a n x ++

+-=在⎪

⎭

⎫

⎝⎛2,0π内至少有一个实根．