一元微分中值定理练习题

一元微分中值定理练习题
一、证明ff (nn )(ξξ)=00成立 1.若函数f(x)在(a,b)内有二阶导数，且f (x 1)=f (x 2)=f (x 3),其中
a <x 1<x 2<x 3<b
b ，证明：在(x 1,x 3)内至少有一点ξ，使得f"(ξ)=0。

2.设f(x)∈C[0,3]，在(0,3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3f(3)，证明：存在ξ∈(0,3)，使得f ′(ξ)=0。

3.设f(x) ∈C[a,b], 在(a,b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0,f ′+(a )f ′−(b )>0, 证明存在ξ∈(a,b)，使得f ′′(ξ)=0。

4.设曲线y=f(x)在[a,b]上二阶可导，连接点A(a,f(a)),B(b,f(b))的直线交曲线于点C（c,f(c)）(a<c<b),证明：存在ξ∈(a,b )使得f ′′(ξ)=0。

5.设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=-1,f(12)=1,f (1)=12, 证明：存在ξ∈(0,1)，使得f ′(ξ)=0。

二、证明等式成立
1.设f 在[0，1]上连续，f(0)=f(1)。

证明：对任何正整数N，存在ξ∈
[0，1]使得f �ξ+1n �=f �ξ�。

2.设f(x)在（-∞，+∞）内可导，且满足f’(x)=f(x),f(0)=1,求证：f(x)=e x 。

3.设f(x）∈C[0,1]，f(x)∈D(0,1),且f(1)=0,证明：
（1）∃ξ∈�0，1�，使得f �ξ�+ξf ′�ξ�=0;
（2）∃η∈�0，1�，使得2f �η�+ηf ′�η�=0。

4.已知f(x)连续，且满足f(x)∫f (x −t )dt =cos 4x x 0 ,求f(x)在区间[0,π2]上的平均值。

5.设f (x )在[a,b ]上连续，x i ∈[a,b ],t i >0 (i =1,2,3,⋯,n ) 且�t i =1,n i=1试证至少存在一点ξ∈[a,b ]，使f (ξ)=�t i f (x i )。

n
i=1
6.证明等式成立：2arctanx +aresin 2x
1+x 2=π (x ≥1)。

7.设f(x) ∈C[a,b],在(a,b)内可导，f(a)=f(b)=0,证明：存在ξ∈(a,b)，使得f ′(ξ)−2f(ξ)=0。

8.设f(x) ∈C[0,1],上二阶可导，且f(0)=f(1) ,证明:存在ξ∈(0,1)，使得f ′′(ξ)=2f ′(ξ)1−ξ。

9.设f (x ),g (x )在[a,b]上连续，在(a,b)内可导， g (x )≠0,g ′′(x )≠0(a <xx <bb ),且f (a )=f (b )=g (a )=g (b )=0,证明：存在ξ∈
(a,b ),使得 f(ξ)g(ξ)=f ′′(ξ)g ′′(ξ)。

10.设f(x) ∈C[0,1],在（0，1）内可导，且f(0)=0，f(1)=1 ,
(1)证明:存在c ∈(0,1)，使得f(c)=1-c;
(2)证明：存在ξ，η∈(0,1)（ξ≠η）,使得f’(ξ)f’(η)=1。

11.设f(x) ∈C[a,b],在(a,b)内可导，且f ′(x)≠0,证明：存在ξ,η∈
(a,b)，使得f ′(ξ)f ′(η)=e b −e a b −a e −η。

12. 设f(x)在[0,1]上可导，f(0)=0，又|f ′(x )|≤p |f (x )| (0<pp <1), 证明：f(x)≡0（0≤x≤1） 。

二、证明不等式成立
1.证明：当0<a<b<π时，sina sinb >a b .
2.设0<a<b,证明lnb−lna b−a>2a a2+b2。

3.证明：当x>0时，x1+x<ln(1+x)<xx。

4.证明：当x>0时，e x>1+xx。

5.证明：1+xln(x+√1+x2)≥√1+x2。

6.证明：设b>a>0,证明：ln b a>2(b−a)b+a。

7.设f(x)在[a, b]上有|f"(x)|≤M,f(a+b2)=0,b−a<1,试证
|f(a)+f(b)|≤M4。

8.设函数f(x)在[0,1]上有二阶导数，且在[0,1]上|f(x)|≤1及|f′(x)|≤2恒成立，求证：在[0,1]上|f′(x)|≤3成立。

9.设f(x)在[a,b]上可导，且|f′(x)|<MM，又f(x)在(a,b)内至少有一个 零点，证明：|f(a)|+|f(b)|≤M(b−a)。

10. 设f(x)在[0,1]上二阶可导，且|f(x)|≤a，|f′′(x)|≤b,对任意的c ∈(0,1),证明：|f′(c)|≤2a+b2。

三、证明根的存在性
1.证明多项式f(x)=x3−3x+a在[0,1]上不可能有两个零点。

2.设在[0, +∞)内有f′′(x)≥0，且f(0)=−1,f′(0)=2,证明：f(x)= 0在�0，+∞�内有且仅有一个根。

3.设a0+a12+⋯+a n n+1=0，证明：方程a0+a1x+⋯+a n x n= 0至少有一个正根。

4.讨论方程xe−x=a根的个数。