微分中值定理与导数应用
3_1 微分中值定理与导数应用
罗尔（Rolle）定理 罗尔（ ） 设函数 f ( x ) 满足条件： 满足条件： (1) f ( x )在闭区间[a , b] 上连续; 上连续; (2) 内可导; f ( x ) 在开区间 ( a , b ) 内可导; (3) 在区间端点的函数值相等，即 f (a ) = f (b ), 在区间端点的函数值相等， 那末在 ( a , b ) 内至少有一点ξ ( a < ξ < b ), 使得函数 在该点的导数等于零， f ( x ) 在该点的导数等于零，即
利用泰勒公式证明不等式
上二阶可导， 例1 设函数 y = f ( x ) 在区间 [0,1]0, max f ( x ) = 2, 证明在 证明在(0,1)至少存在一 至少存在一
0 ≤ x ≤1
点 ξ , 使得 f ′′(ξ ) ≤ −16. 证
0 ≤ x ≤1
矛盾, 但 f ′( x ) = 5( x 4 − 1) < 0, ( x ∈ (0,1)) 矛盾,∴ 为唯一实根 .
拉格朗日(Lagrange)中值定理 拉格朗日(Lagrange)中值定理 (Lagrange)
如果函数f 满足下列条件 如果函数 (x)满足下列条件 (1) 在闭区间 b]上连续； 在闭区间[a, 上连续 上连续； (2)在开区间(a, b)内可导； )在开区间( )内可导； 那末在(a , b ) 内至少有一点ξ ( a < ξ < b ), 使等式 f ( b ) − f (a ) = f ′(ξ )(b − a ) 成立. 成立.
即
f ′(ξ ) = 2ξ [ f (1) − f ( 0)].
泰勒(Taylor)中值定理 泰勒(Taylor)中值定理 (Taylor)
微分中值定理与导数的应用
微分中值定理与导数的应用引言微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它为我们研究函数的性质和应用提供了有力的工具。
本教案将通过分析微分中值定理及其应用，探讨导数在实际问题中的应用，旨在帮助学生深入理解微分中值定理的原理和导数的实际应用，提高他们的问题解决能力和数学建模能力。
第一节：微分中值定理的基本原理及应用1.1 微分中值定理的定义微分中值定理是微积分中的重要定理，它是基于导数的连续性和介值定理而得出的。
微分中值定理包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理等。
这些定理揭示了函数在一定条件下的性质，为我们研究函数的变化提供了便利。
1.2 拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理是微分中值定理中最基本的一种形式，它表明在某个开区间上，函数的导数在这个区间内取某个特定的值。
这个定理在实际问题中有广泛的应用，比如在物理学中用于描述物体的速度、加速度等问题。
1.3 柯西中值定理的应用柯西中值定理是微分中值定理中的另一种形式，它是拉格朗日中值定理的推广。
柯西中值定理表明在两个不同的点上，函数的导数取相同的值。
这个定理在实际问题中也有很多应用，比如在经济学中用于描述市场供求关系等问题。
1.4 罗尔中值定理的应用罗尔中值定理是微分中值定理中的一种特殊情况，它表明在某个闭区间上，函数的导数在两个端点处取相同的值。
这个定理在实际问题中也有很多应用，比如在工程学中用于描述物体的位移、速度等问题。
第二节：导数的应用2.1 导数与函数的变化率导数是函数在某一点上的变化率，它可以帮助我们研究函数的趋势和性质。
通过导数的计算和分析，我们可以得到函数的最值、拐点、极值等重要信息，进而应用到实际问题中。
2.2 导数与曲线的切线与法线导数还可以帮助我们研究曲线的切线和法线。
通过计算函数在某一点的导数，我们可以确定曲线在该点的切线方程和法线方程，进而研究曲线的几何性质。
2.3 导数与函数的最值问题导数在函数的最值问题中有重要的应用。
微分中值定理与导数的应用
微分中值定理与导数的应用微分中值定理是微积分中的一个重要定理，它是导数与函数之间的关系的重要推论。
本文将介绍微分中值定理的概念以及其在实际问题中的应用。
一、微分中值定理的概念微分中值定理是数学分析中的一个重要定理，它是由罗尔定理和拉格朗日中值定理推导出的。
该定理表明，如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，并且在区间端点a和b的函数值相等（f(a) = f(b)），那么在(a, b)内至少存在一点c，使得f'(c) = 0。
这一定理的直观解释是：如果一个连续函数在两个点的函数值相等，并且在两点之间的某个地方斜率为零，那么在该点一定存在切线与横轴平行。
二、导数的应用导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
通过导数的概念和性质，我们可以在实际问题中进行一些有用的应用。
1. 最值问题导数可以用来求解函数的最值问题。
在闭区间上的连续函数中，如果在某一点的导数为零或不存在，那么这一点可能是函数的极值点。
通过求解导数为零的方程，可以找到函数的极值。
2. 凹凸性和拐点问题导数可以用来研究函数的凹凸性和拐点问题。
通过分析函数的二阶导数（导数的导数），可以确定函数的凹凸性以及拐点的位置。
3. 曲线的切线和法线问题导数可以用来求解曲线的切线和法线问题。
切线的斜率等于函数在该点的导数，而法线的斜率是切线斜率的负倒数。
三、微分中值定理的应用微分中值定理是导数与函数之间的重要关系推论，它在实际问题中有着广泛的应用。
1. 速度与加速度微分中值定理可以用来解决速度与加速度的问题。
对于一个运动的实体，在某一时间段内，他的速度可能为零，这意味着他的加速度为零。
这可以通过微分中值定理得到证明。
2. 经济学中的应用微分中值定理在经济学中也有广泛的应用。
例如，在某个时间段内，一个消费品的价格可能保持不变，这意味着该消费品的边际效用或边际收益为零。
这可以用微分中值定理来解释。
3. 物理学中的应用微分中值定理在物理学中也有重要的应用。
微分中值定理与导数的应用总结
微分中值定理与导数的应用总结一、微分中值定理1.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微分中值定理的最基本形式，它表述为：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一个数c，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)，其中c属于(a,b)。
拉格朗日中值定理的几何意义是：如果一条曲线在两个点a和b上的斜率相等，则在这两个点之间必然存在一点c，使得曲线在c点和a、b两点之间的切线斜率相等。
2.柯西中值定理柯西中值定理是微分中值定理的推广形式，它给出了两个函数的导数的关系。
设f(x)和g(x)在[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导且g'(x)≠0，则存在一个数c，使得[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=[f'(c)]/[g'(c)]。
柯西中值定理的几何意义是：如果曲线f(x)和g(x)在两个点a和b上的切线斜率之比等于f'(c)和g'(c)的比，则在这两个点之间必然存在一点c，使得曲线f(x)和g(x)在c点的切线斜率之比等于f'(c)和g'(c)的比。
3.罗尔中值定理罗尔中值定理是微分中值定理的特殊形式，它给出了导数为零的充分条件。
设函数f(x)在[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则在(a,b)内至少存在一个数c，使得f'(c)=0。
罗尔中值定理的几何意义是：如果一条曲线在两个端点上的函数值相等，则在这两个端点之间必然存在一个点c，使得曲线在c点的切线斜率为零。
微分中值定理的应用非常广泛，例如在证明极限存在或连续性、研究函数增减性和函数极值、解方程和不等式等问题中都有重要的作用。
在实际生活中，微分中值定理可以应用于求解速度、加速度、距离等问题，帮助我们更好地理解和解决实际问题。
二、导数的应用导数作为微积分的重要概念，具有很多实际应用。
微分中值定理与导数的应用
第三章 微分中值定理与导数的应用在第二章中,我们介绍了微分学的两个基本概念—导数与微分及其计算方法. 本章以微分学基本定理—微分中值定理为基础,进一步介绍利用导数研究函数的性态,例如判断函数的单调性和凹凸性,求函数的极限、极值、最大(小)值以及函数作图的方法,最后还讨论了导数在经济学中的应用.第一节 微分中值定理中值定理揭示了函数在某区间的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系,因而称为中值定理. 中值定理既是用微分学知识解决应用问题的理论基础,又是解决微分学自身发展的一种理论性模型, 因而称为微分中值定理.一、 费马引理：设函数()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内有定义，并且在0x 处可导，如果对任意的0()x U x ∈，有0()()f x f x ≤（或0()()f x f x ≥），那么0()0f x '=。
证：不妨设0()x U x ∈时，0()()f x f x ≤，对于00()x x U x +∆∈，有00()()f x x f x +∆≤，故当0x ∆>时，00()()0f x x f x x+∆-≤∆； 当0x ∆<时，00()()0f x x f x x+∆-≥∆， 由保号性 00000()()()()lim 0x f x x f x f x f x x++∆→+∆-''==≤∆，()00000()()()lim 0x f x x f x f x f x x--→+∆-''==≥∆，故0()0f x '=。
罗尔定理（Rolle ）： 如果函数()f x 满足：（1）在闭区间[,]a b 上连续 （2）在开区间(,)a b 内可导，（3）()()f a f b =，则至少存在一点()a b ξξ<<，使得()f x 在该点的导数等于零：()f ξ'=0证明：由于()f x 在[,]a b 上连续，故在[,]a b 上()f x 有最大值M 和最小值m 。
高中物理课件-第三章-微分中值定理、导数的应用
lim x3 1 . x x 1
一、 0 0 型不定式 定理：设函数 f (x) 与 F (x) 满足：
0
（１）在点 a 的某去心邻域U (a) 内可导且 F(x) 0;
（２）
lim
xa
f
(x)
0,
lim
x a
F ( x)
0;
f (x)
（３）
lim
xa
F
(
x)
存在（或
）．
则
lim
xa
f F
(x) (x)
提示： f (2) f (1) f (0) f (1) 0, 且 f (x) 在三个区间 [2,1], [1,0] 和[0,1] 上都满足 Rolle 定理的条件．
在 (2,1), (1,0), (0,1) 内分别至少存在一点1, 2, 3 使 f (1) 0, f (2) 0, f (3 ) 0 ．即 f (x) 0 至少有三个实根．
F( )
f
( ) 2
f
( )
由 F ( ) 0 得 f ( ) f ( ).
【例】设 f (x) 在[a,b]上连续，在(a, b) 内可导且 f (a) f (b) 0,
证明：在(a,b) 内至少存在一点 使 f ( ) f ( ). 提示：令 F(x) ex f (x) ，可验证 F (x) 在[a,b] 上满足 Rolle
g(x) 0, f (a) f (b) g(a) g(b) 0.
证明：（１）在(a,b)内 g(x) 0;
（２）在(a,b)内至少存在一点, 使得
f ( ) g( )
f ( ) . g( )
提示：（１）假设c (a,b) 使 g(c) 0, 则由 Rolle 定理，
微分中值定理与导数应用
F ( x) 的最小值． F( x) 0 ，即得 f ( x) x ．证毕．
例 5 设 lim f ( x) 1，且 f ( x) 0 ．试证： f ( x) x ． x0 x
4 (b a)2
|{ f (b) [ f (b)
f (b)( a b 2
b)
1 2
f
(1
)(
a
2
b
b)2 ]}
{ f (a) [ f (a)
f (a)( a b 2
a)
1 2
f
(
2
)(
a
2
b
a)2 ]} |
4 (b a)2
|
1 2
{
f
(1
)
f
(
2
)}(
b
2
a
)2
0 ，根据极限的保号性即知,
在 x a 的右邻近，有 f ( x) f (a) 0 ，故有 f ( x) f (a) . xa
f (a) 不可能是 f ( x) 在[a, b] 上的最小值． 同理，由 f(b)
0 可知， f (b) 也不可能是 f ( x) 在[a, b] 上的最小值．
F ( x) F( x) F(0) F( x)x (其中 (0,1) )
{F( x) F(0)}x {F(1 x) x}x (其中1 (0,1) ) F (1 x) x2 0 ，即得 f ( x) x ．证毕．
例 6 设 f ( x) 在[a,b] 上存在， f (a) f (b) 0 ．试证：
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定理 如果函数 f (x) 在区间 I 上的导数恒为零, 那末 f (x) 在区间 I 上是一个常数.
第一节 中值定理
例2 证明 arcsin x arccos x (1 x 1). 2
证 设 f ( x) arcsin x arccos x, x [1,1]
f (b) F (b)
f (a) F (a)
f '( F '(
). )
第一节 中值定理
证: 作辅助函数
( x) f ( x) f (a) f (b) f (a) [F ( x) F (a)]. F(b) F(a)
( x) 满足罗尔定理的条件, 则在(a, b)内至少存在一点,使得 () 0.
弦AB方程为 y f (a) f (b) f (a) ( x a).
ba 曲线 f ( x) 减去弦 AB,
所得曲线a, b两端点的函数值相等.
第一节 中值定理
作辅助函数
F ( x) f ( x) [ f (a) f (b) f (a) ( x a)]. ba
F( x) 满足罗尔定理的条件, 则在(a, b)内至少存在一点,使得 F () 0. 即 f () f (b) f (a) 0
y f (x)
2 b x
第一节 中值定理
第一节 中值定理
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数 f(x)满足
（1）在闭区间[a, b]上连续； （2）在开区间(a, b) 内可导； 那么在(a, b)内至少有一点(a b) ，使得
f (b) f (a) f ' ()(b a) .
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第三单元微分中值定理与导数应用
一、填空题 1、
lim xln x
x 0。
2、 函数f x 2x cos x 在区间 单调增
3
、 函数f x 4 8x 3 3x 4的极大值是 。
4
、 曲线y x 4 6x 2 3x 在区间
是凸的。
5
、 函数f x cosx 在x 0处的2m 1阶泰勒多项式是
6
、
曲线y xe 3x
的拐点坐标是 。
7、若fx 在含X 。
的a,b (其中a b )内恒有二阶负的导数，且 则f
X 。
是f x 在a,b 上的最大值。
& y X 3 2x 1 在 内有
个零点。
1 1 9、 lim cot x(
)。
sin x x
1
i
10、 lim (~2 ------------ ) __________ 。
x 0
x xta n x
11、 曲线y e"的上凸区间是 _____________ 。
12、 函数y e x x 1的单调增区间是 _______________ 。
二、单项选择
1、
函数f(x)有连续二阶导数且f(0) 0, f (0) 1,f (0)
2,则lim
x 0
() (A) 不存在；(E) 0 ; (C) -1 ;
(D) -2
2、 设 f(x) (x 1)(2x 1),x (,),则在(丄,1)内曲线 f(x)(
f(x) x 2
x
2
(A)单调增凹的；(E)单调减凹的；
(A)不可导; (B)可导，且f'(0) 0 ；
(C)单调增凸的;
(D)单调减凸的
3、f(x)在(a,b)内连续，X 。
(a,b), f (X 。
) f (x °) 0，则 f (x)在 x x 。
处
( )
(A)取得极大值； (E)取得极小值；
(C) 一定有拐点(x o ，f(x 。
)); (D)可能取得极值，也可能有
拐点。
4、设f(x)在a,b 上连续，在(a,b)内可导，则I:在(a,b)内f (x) 0与 在(a,b)上f
(x) f (a)之间关系是(
)
(A)无实根；
(B)有唯一实根； (C)
有两个实根； (D)有三个
实根。
7、已知f(x)在x 0的某个邻域内连续，且f(0) 0 , lim f(x) 2 , x 01 cosx
则在点x 0处f(x)(
)
(A) I 是H 的充分但非必要条件 分条件；
(C) I 是H 的充分必要条件； 也不是必要条件。
5、 设f(x)、g(x)在a,b 连续可导, 则当a x b 时，则有( (A) f(x)g(x) f(a)g(a)； (C)他他；
g(x) g(a)
6、 方程x 3
3x 1 0在区间(， (B)
I 是H 的必要但非充
(D) I 不是H 的充分条件，
f (x)g(x)
0，且 f (x)g(x) f(x)g (x),
)
(B) f(x)g(x) f (b)g(b)；
(D)喪起。
f(x) f(a)
)内(
)
(C)取得极大值; (D)取得极小值
8、设f(x)有二阶连续导数，且f'(0) 0,佃匸凶1，则( )
x 0 | x |
(A) f(0)是f(x)的极大值；(E) f(0)是f(x)的极小值；
(C) (0, f (0))是曲线y f(x)的拐点；(D) f(0)不是f(x)的极
值点。
9、设a,b为方程f (x) 0的二根，f (x)在［a,b］上连续，在(a, b)内可导，
则f'(x)在(a,b)内( )
(A)只有一实根；(B)至少有一实根；(C)没有实根；(D)
至少有2个实根。
10、在区间［1,1］上满足罗尔定理条件的函数是( )
1
(A) f (x) -2 ；(B) f (x) | x | ；
x
(C) f(x) 1 x2；(D) f (x) x2 2x 1。
11、函数f(x)在区间(a,b)内可导，则在(a,b)内f'(x) 0是函数f(x)在
(a,b)内单调增加的()
(A)必要但非充分条件；(B)充分但非必要条件；
(C)充分必要条件；(C)无关条件。
12、设y f (x)是满足微分方程y" y' e sinx0 的解，且f'(x。
) 0 ,则f(x)
在()
(A) X。
的某个邻域单调增加；(B) x°的某个邻域单调减少；
(C)冷处取得极小值；(D) X。
处取得极大值。
三、计算解答
(A)不可导; (B)可导，且f'(0) 0 ；
x)；
证：在(0,1)内至少存在一个 ，使F"'( ) 0。
1、计算下列极限
2、证明以下不等式
等价无穷小。
(1) lim x 1
. x 1
.arccosx ln cot x .
lim x 0
ln x
x sin x
e e
lim x 0 x 2
ln(1 x) lim 丄 $ln(1 x 0
x x (5) x arcta n x
x m 0旷
(6)
ln tan(ax) lim x 0
ln tan(bx)
(1)、设b a e ，证明 a b
⑵、当
0 x
勺时’有不等式
tanx 2sinx
3、已知y x 3sinx ，利用泰勒公式求y (6)(0) 3x 。
4、试确定常数a 与n 的一组数，使得当x
0 时，ax n 与 ln(1 x 3) x
5、设f (x)在a,b 上可导，试证存在
(a
b)，使
x)； 证：在(0,1)内至少存在一个 ，使F"'( ) 0。
6、作半径为r 的球的外切正圆锥，问此圆锥的高为何值时，其体积 最小，并求出该体积最小值。
7、若 f(x)在［0,1］上有三阶导数，且 f(0)
f(1) 0，设 F(x)
x 3
f(x)，
2。