微分中值定理与导数应用

第三单元微分中值定理与导数应用

一、填空题 1、

lim xln x

x 0

。

2、 函数f x 2x cos x 在区间 单调增

3

、 函数f x 4 8x 3 3x 4的极大值是 。

4

、 曲线y x 4 6x 2 3x 在区间

是凸的。

5

、 函数f x cosx 在x 0处的2m 1阶泰勒多项式是

6

、

曲线y xe 3x

的拐点坐标是 。

7、若fx 在含X 。的a,b (其中a b )内恒有二阶负的导数，且 则f

X 。是f x 在a,b 上的最大值。

& y X 3 2x 1 在 内有

个零点。

1 1 9、 lim cot x(

)

。

sin x x

1

i

10、 lim (~2 ------------ ) __________ 。 x 0

x xta n x

11、 曲线y e"的上凸区间是 _____________ 。

12、 函数y e x x 1的单调增区间是 _______________ 。 二、单项选择

1、

函数f(x)有连续二阶导数且f(0) 0, f (0) 1,f (0)

2,则lim

x 0

() (A) 不存在；(E) 0 ; (C) -1 ;

(D) -2

2、 设 f(x) (x 1)(2x 1),x (,),则在(丄,1)内曲线 f(x)(

f(x) x 2

x

2

(A)单调增凹的；(E)单调减凹的；

(A)不可导; (B)可导，且f'(0) 0 ；

(C)单调增凸的;

(D)单调减凸的

3、f(x)在(a,b)内连续，X 。 (a,b), f (X 。) f (x °) 0，则 f (x)在 x x 。处

( )

(A)取得极大值； (E)取得极小值；

(C) 一定有拐点(x o ，f(x 。)); (D)可能取得极值，也可能有

拐点。

4、设f(x)在a,b 上连续，在(a,b)内可导，则I:在(a,b)内f (x) 0与 在(a,b)上f

(x) f (a)之间关系是(

)

(A)无实根；

(B)有唯一实根； (C)

有两个实根； (D)有三个

实根。

7、已知f(x)在x 0的某个邻域内连续，且f(0) 0 , lim f(x) 2 , x 01 cosx

则在点x 0处f(x)(

)

(A) I 是H 的充分但非必要条件 分条件；

(C) I 是H 的充分必要条件； 也不是必要条件。

5、 设f(x)、g(x)在a,b 连续可导, 则当a x b 时，则有( (A) f(x)g(x) f(a)g(a)； (C)他他；

g(x) g(a)

6、 方程x 3

3x 1 0在区间(， (B)

I 是H 的必要但非充

(D) I 不是H 的充分条件，

f (x)g(x)

0，且 f (x)g(x) f(x)g (x),

)

(B) f(x)g(x) f (b)g(b)；

(D)喪起。

f(x) f(a)

)内(

)

(C)取得极大值; (D)取得极小值

8、设f(x)有二阶连续导数，且f'(0) 0,佃匸凶1，则( )

x 0 | x |

(A) f(0)是f(x)的极大值；(E) f(0)是f(x)的极小值；

(C) (0, f (0))是曲线y f(x)的拐点；(D) f(0)不是f(x)的极

值点。

9、设a,b为方程f (x) 0的二根，f (x)在［a,b］上连续，在(a, b)内可导，

则f'(x)在(a,b)内( )

(A)只有一实根；(B)至少有一实根；(C)没有实根；(D)

至少有2个实根。

10、在区间［1,1］上满足罗尔定理条件的函数是( )

1

(A) f (x) -2 ；(B) f (x) | x | ；

x

(C) f(x) 1 x2；(D) f (x) x2 2x 1。

11、函数f(x)在区间(a,b)内可导，则在(a,b)内f'(x) 0是函数f(x)在

(a,b)内单调增加的()

(A)必要但非充分条件；(B)充分但非必要条件；

(C)充分必要条件；(C)无关条件。

12、设y f (x)是满足微分方程y" y' e sinx0 的解，且f'(x。) 0 ,则f(x)

在()

(A) X。的某个邻域单调增加；(B) x°的某个邻域单调减少；

(C)冷处取得极小值；(D) X。处取得极大值。

三、计算解答

(A)不可导; (B)可导，且f'(0) 0 ；

x)；

证：在(0,1)内至少存在一个 ，使F"'( ) 0。

1、计算下列极限

2、证明以下不等式

等价无穷小。

(1) lim x 1

. x 1

.arccosx ln cot x .

lim x 0

ln x

x sin x

e e

lim x 0 x 2

ln(1 x) lim 丄 $ln(1 x 0

x x (5) x arcta n x

x m 0旷

(6)

ln tan(ax) lim x 0

ln tan(bx)

(1)、设b a e ，证明 a b

⑵、当

0 x

勺时’有不等式

tanx 2sinx

3、已知y x 3sinx ，利用泰勒公式求y (6)(0) 3x 。

4、试确定常数a 与n 的一组数，使得当x

0 时，ax n 与 ln(1 x 3) x

5、设f (x)在a,b 上可导，试证存在

(a

b)，使