中值定理导数的应用知识点(可编辑修改word版)
中值定理与导数的应用
中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础。
在实际应用中，中值定理与导数的应用非常广泛。
以下是一些具体的应用：
1.判断函数的单调性：通过导数可以判断函数的单调性，如果函数在某个区间内的导数大于0，则
该函数在这个区间内单调递增；如果函数在某个区间内的导数小于0，则该函数在这个区间内单调递减。
2.求函数的极值：导数可以用来求函数的极值。
如果函数在某一点的导数为0，则该点可能是函数
的极值点。
在判断出极值点后，可以通过求导数在该点的左右两侧的符号变化来确定该点是极大值点还是极小值点。
3.判断函数的凹凸性：通过二阶导数可以判断函数的凹凸性。
如果函数在某一点的二阶导数大于0，
则该函数在该点附近是凹函数；如果二阶导数小于0，则该函数在该点附近是凸函数。
4.求函数的拐点：在判断出函数的极值点和凹凸性后，可以进一步求出函数的拐点。
拐点的定义是
函数图像在该点处的切线发生弯曲的地方。
通过求一阶导数在该点的左右两侧的符号变化，可以判断出拐点的位置。
5.判断函数的不等式：通过导数还可以判断函数的不等式。
如果两个函数在某个区间内的导数符号
相反，则这两个函数在该区间内的函数值一定不相等。
6.最优化问题：在工程和经济学中，经常需要解决最优化问题。
使用微积分中的中值定理和导数可
以找到最优解。
例如，在经济学中，可以使用微积分来找到最大化收益或最小化成本的最佳策略。
总的来说，中值定理与导数的应用非常广泛，它们是微积分学的重要基石，可以用于解决各种实际问题。
高等数学 第3章 第一节 中值定理
（函数
即
6
,
y
5
6
ln sin x
是 y
是初等函数， 且当
x
6
ln sin x 定义域内的一部分；
,
5
6
时，cossixn
y'
sin x
x
0,
cot x.)
且ln s in
lnsin 5
ln 1 .
6
62
令 y' cos x cot x 0, sin x
得 x , 5 .
F(b) F(a)
( x) 满足罗尔定理的全部条件，且：
'(x) f '(x) f (b) f (a) F '(x)
F(b) F(a)
Y F , f Fb, f b
C•
•B
由罗尔定理，至少存在一点 ∈（a，b） ，
即：
使
f
'( )
'( ) 0,
f (b) f (a) F '( ) 0
即 1、 2、 3都是方程 f 'x 0 的根。 注意到 f ' x 0 为三次方程， 它最多有三个根。
我们已经找到它的三个实根
1、 2、 3 ,
所以这三个根就是方程
f 'x 0 的全部根。
14
例3 证明当x 0时， x ln1 x x
1 x
证 设f x ln1 x, 显然，函数 f x 在 0, x 上满足
f (b) f (a)
O a
bx
结论等价于： f f b f a
ba
或： f f b f a 0
ba
AB的方程为：
中值定理及导数应用笔记
中值定理及导数应用笔记中值定理是微积分学中一个重要的定理，它的主要内容是，若在定义域上的某个闭区间上存在函数f(x)，其满足f（a）=f（b）且f 第一次导数在区间内存在，则必有存在一个定点c，使得f（c）=f （a）=f（b）以及f（c）=0，这个定点c就是中值定点。
中值定理的应用非常广泛，在定理的基础上我们可以对函数的最大值、最小值、极值点，以及函数的单调性、函数的奇偶性等等特性进行讨论、分析。
首先，我们来讨论二次函数的性质。
知函数f(x)=ax2＋bx＋c（a ≠0），利用中值定理，可以知道f(x)=2ax+b=0，解得x=-b/2a，即为函数的极值点。
者，我们可以利用中值定理来判断函数是否在某个区间内单调，即在定义域上的某个闭区间上用f(x)>0或f(x)<0来判断函数是否在该区间是单调递增或单调递减。
此外，中值定理还可以用来判断函数是否是奇函数或偶函数。
知函数f（x），如果f(-x)=f(x)，则定义为偶函数，此时f（x）在全定义域上的值都为0；如果f(-x)=-f(x)，则为奇函数，此时f（x）在任意定义域上均有值，且f(0)=0。
另外，中值定理还可以用于分析多元函数的极值点的性质及其存在的条件，以及在不同情况下求解极值点的方法。
多元函数中，若某个极值点对所有变量都满足偏导数为0，则此极值点为极大值点；如果有变量的偏导数大于0，则此极值点为极小值点。
最后，中值定理作为微积分的重要定理，在微积分的诸多数学问题的求解过程中发挥着至关重要的作用，它也被广泛用于物理学和工程学中的各种应用领域，以帮助人们求解多变量函数的极值点问题。
本文就以中值定理为主题，介绍了它的定义特性，原理及其应用，以期为大家带来一些有用的指导，同时帮助大家在实际应用中更加得心应手，从而掌握微积分的精髓。
(微积分)4微分中值定理与导数的应用
证 因为f(x)在[a,b]上连续,f(x)在[a,b]上必取得最大值 M和最小值m． (1) 如果M=m, 则f(x)在[a,b]上恒等于常数M, 因此,对
一切x∈(a,b),都有 f(x)=0.于是定理自然成立.
(2) 若M＞m,由于f(a)=f(b),因此M和m中至少有一个
不等于f(a).设M≠f(a),则f(x)应在(a,b)内的某一点处 达到最大值,即f()=M,由费马定理知f()=0．
fg((bb))gf((aa)) gf(())
证 若g(a)=g(b),则由罗尔定理,至少存在一点1∈(a,b), 使g(1)=0,这与定理的假设矛盾.故g(a)≠g(b).
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作辅助函数 F(x)f(x)f(b)f(a)g(x) g(b)g(a)
F(x)满足罗尔定理的三个条件,于是在(a,b)内至少
f'(x) 1 1 0,x(1,1) 1x2 1x2
得f(x)C,x(1,1)
又 因 f(0) ,且f(1) ,
2
2
故f(x)arcsixnarccoxs,x[1,1]
2
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推论2 若f(x)及g(x)在(a,b)内可导,且对任意x∈(a,b),有
f(x)=g(x),则在(a,b)内,f(x)=g(x)+C(C为常数). 证 因[f(x)-g(x)] =f(x)-g(x)=0,
a rcx2ta ar ncx1t1 an2(x2x1)
(x1x2)
1 1 21 ,所 a以 rc x2 taarnc x 1 tx a 2x n 1.
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推论1 如果f(x)在开区间(a,b)内可导,且f(x)≡0,则在
中值定理及导数的应用(一)
的极大值点
中值定理及应用
2、若对于该邻域内任意的x(x x0 )
总有f (x) f (x0). 则称 f (x0)为函数
f (x) 的极小值，并称点 x0是 f (x)
的极小值点 函数的极大值与极小值统称为函 数的极值，极大值点与极小值点统
称为函数的极值点。
D、若函数 f (x)在点 x0 连续，则 f (x0)
一定存在
中值定理及应用
四、函数的最大值与最小值
定义
设函数y f (x) 在闭区间[a,b]上有定
义，设 x0 [a,b], 若对于任意 x [a,b], 恒有f (x) f (x0)[或f (x) f (x0) ]，则称 f (x0)
为函数f (x)在闭区间[a,b]上的最大(小) 值。称 x0为f (x) 在闭区间[a,b]上的最
x (x0, x0 )时，f (x) 0, 则函数
f (x)在点 x0处取得极大值 f (x0 );
2、若当 x (x0 , x0)时，f (x) 0, x (x0, x0 )时，f (x) 0, 则函数
f (x)在点 x0处取得极小值 f (x0 );
中值定理及应用
3、若当x (x0 , x0 ) 和 x (x0, x0 ) 时，f (x) 的符号相同，则函数 f (x)
故函数 y x 4 的单调区间是
x (2,0),(0,2)
应选D
中值定理及应用
用函数的单调性证明不等式是一种 常用的方法。
一般步骤为： 假设证明 f (x) g(x)(x D)成立。
1、设 F(x) f (x) g(x) 2、求导数F ( x)并根据已知条件
判断F ( x)的正负。 从而判断 F ( x)的增减性。
中值定理知识点总结
中值定理知识点总结中值定理的表述：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则存在一个点c∈(a, b)，满足f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
中值定理的证明比较简单，可以根据函数的连续性和可导性来进行推导。
接下来我们来详细介绍中值定理的知识点。
一、中值定理的条件中值定理的前提是函数在闭区间上连续，在开区间上可导。
这两个条件都是至关重要的，只有同时满足这两个条件，中值定理才成立。
1. 函数在闭区间上连续：闭区间[a, b]是一个包含了a和b的区间，函数在闭区间上连续意味着函数在这个区间内没有间断点，没有跳跃点，图象是一条连续的曲线。
一般来说，函数在有限区间上都是连续的，因此这个条件通常是满足的。
2. 函数在开区间上可导：开区间(a, b)是一个不含a和b的区间，函数在开区间上可导意味着函数在这个区间上具有导数。
可导性是指函数在这个区间内存在切线，即函数在这个区间内是光滑的。
这个条件比较严格，只有在一些特殊的情况下才能满足。
二、中值定理的应用中值定理主要用来描述函数在某个区间内的平均变化率与瞬时变化率之间的关系。
它可以推导出一些重要的结论和定理，对于理解函数的性质和特点有很大的帮助。
1. 平均变化率和瞬时变化率：中值定理可以用来比较函数在闭区间上的平均变化率和在开区间上的瞬时变化率。
平均变化率指的是函数在某个区间内的整体变化情况，而瞬时变化率指的是函数在某一点的瞬间变化情况。
中值定理表明，这两者之间存在着某种联系，通过中值定理可以求得函数在某个区间内的平均变化率和在某一点的瞬时变化率之间的对应关系。
2. 函数的增减性：中值定理可以用来研究函数的增减性。
通过中值定理可以求得函数在某个区间内的导数值，在这个区间上的函数是增加还是减小。
这对于研究函数的极值和拐点有很大的帮助。
3. 函数的凹凸性：中值定理可以用来研究函数的凹凸性。
通过中值定理可以求得函数在某个区间内的二阶导数值，根据二阶导数的正负性可以判断函数在这个区间上的凹凸性，这对于求解函数的拐点和凹凸区间有很大的帮助。
第三章 微分中值定理、导数的应用资料
只需证明 x f (x) f (x) x 0, 只需证明 x f (x) (x) f (x) x 0,
xf (x) (x) f (x)
只需证明
当 x 0时，则在(x,0) 内至少存在一点 ，使
F(0) F(x) F ( )
0x
ex (1 x) x F( ) x (e 1) 0 ex 1 x
综上可得：当 x 0 ，有 e x 1 x .
四、柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f (x) 和 F(x) 满足: （1）在[a,b] 上连续； （2）在(a,b) 内可导且 F(x) 0. 则在 (a,b) 内至少存在一点 , 使
提示： f (x) 0, f (x) 在 x 0处可导， f (x) 在 x 0处
连续， f (0) lim f (x) x0
lim x f (x) lim x lim f (x)
x0
x
x x0 x0
0.
f (0) lim f (x) f (0) lim f (x) 1.
f (x) . F (x)
【例】计算：(1) lim x x cosx x0 x sin x
提示：原式 lim 1 cosx xsin x lim sin x sin x x cosx
1 4
满足定理的结论．
推论 1：若在(a,b) 内 f (x) 0, 则在 (a,b) 内 f (x) 为一常数．
推论２：若在(a,b) 内 f (x) g(x), 则 f (x) g(x) C. （常数）．
(完整版)高等数学笔记(可编辑修改word版)
⑷若 lim ,则称β是比α较低阶的无穷小量
2
lim 1
定理：若：1 ~ 1， 2 ~ 2；则：
2
lim
1 2
㈢两面夹定理
1． 数列极限存在的判定准则：
设： yn xn zn （n=1、2、3…）
且：
lim
n
yn
lim
n
zn
a
则：
lim
n
xn
a
2． 函数极限存在的判定准则：
设：对于点 x0 的某个邻域内的一切点 （点 x0 除外）有：
第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数
一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x∈D
定义域: D(f), 值域: Z(f).
2.分段函数:
y
f (x) g( x)
x D1 x D2
3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f-1(y)
x x0
㈡无穷大量和无穷小量
1． 无穷大量： lim f (x)
称在该变化过程中 f (x) 为无穷大量。
X 再某个变化过程是指：
x , x , x , x x0, x x0 , x x0
2． 无穷小量： lim f (x) 0 称在该变化过程中 f (x) 为无穷小量。 3． 无穷大量与无穷小量的关系：
g(x) f (x) h(x) 且： lim g(x) lim h(x) A 则： lim f (x) A
x x0
x x0
x x0
㈣极限的运算规则
若： lim u(x) A, lim v(x) B
则：① lim[u(x) v(x)] limu(x) lim v(x) A B
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九、弧微分
ds ( dx )2 ( dy )2 1 y2 dx
1. y f ( x ) 时， ds 1 y2 dx
2.
x
y
( t (t
) )] 2
3. ( ) 时， ds 2 2 d
F ( x ) 0
lim f ( x ) A xa F ( x )
③ lim f ( x ) A （有限或 ）（ a 可以是 ）
型
xa F ( x )
四、其他不定型转化为 0 或
0
不定型
转 化 过 程.
0 1 2 1
0 0 0 ；或 0
1 0
10
1
2
1 1 1
)( x x0
)2
f ( n )( x0 n!
)( x x0
)n
Rn( x )
其中 Rn ( x )
f ( n1 )( ) ( n 1 )!
(
x
x0
)( n1 )
,
x0
x。
麦克劳 林公式
( x0
0)
f(x)
f (0 )
f ( 0 ) x 1!
f ( 0 ) x2 2!
f ( n )( 0 ) xn f ( n1 )(x ) xn1 , ( 0 1 )
1. f ( x ) Ca , b 拉格朗日定理 2. f ( x )在 a , b内存在
推论 1
在定理条件下，若 f ( x ) 0
结论
a , b使得
f ( ) 0
a , b使得
f ( ) f ( b ) f ( a ) ba
则 f ( x ) C （ C 为常数）
推论 2 柯西定理
1
1 2
1
2
1 1
1
0 0
12
1 eln1 e0
00
00 e0 ln0 e0
0
0 e0ln e0
五、泰勒公式
分类
定
理
泰勒公 式
设 f ( x )在含有 x0 的某开区间 a ,b内具有直到
n 1 阶的导数，则
f(x)
f ( x0
)
f ( x0 1!
)( x x0)
f ( x0 2!
F( b ) F( a ) F ( ) 3.F ( x ) 0 , x ( a , b )
三、洛比达法则
类型
条
件
结论
0
①
若 x a 时，
f(x) 0
（或 ）；
0
F( x ) 0
lim f ( x ) xa F( x )
或
0
② 在U( a )内， f ( x )和 F ( x ) 都存在，且
补充说明
f ( x )为凹弧 f （x） 0
设 f ( x )Ca ,b， a , b上可导，
曲线为凹弧 切线斜率
f ( x )为凹弧 f （ x）在 a , b内上升。
单调递增
八、曲线的渐近线
铅直渐近线
若 lim x x0
f(
x)
或 lim x x0
f(
x)
，则 x
x0 是
y f ( x ) 的铅直渐近线（ x0 可以是 ）
n!
( n 1 )!
六、可导函数单调性的判定
定 理 （判 别 法）
设 f ( x )Ca ,b，在 a , b内可导，则 ① f ( x )在a ,b上单调递增 f （ x） 0，x a，b ② f ( x )在a ,b上单调递减 f （ x） 0，x a，b
七、曲线凹凸性的判定定理
定
理
设 f ( x ) Ca ,b， f ( x )在 a , b上存在，
若 lim f ( x ) A 或 lim f ( x ) A ，则 y A 是
x
x
水平渐近线
y f ( x ) 的水平渐近线
斜渐近线
若 lim f ( x ) a ，又 lim f ( x ) ax b 存在，
x
x
x
( x )
( x )
则
y ax b 是 y f ( x ) 的一条斜渐近线
若 f ( x ),g( x ) 都满足定理条件， 则 f ( x ) g( x ) C （ C 为常数）
且 f ( x ) g( x )
1. f ( x ) 、 F( x ) Ca , b
a , b使得
2. f ( x )、 F ( x ) 在 a , b内存在 f ( b ) f ( a ) f ( )
第三章 中值定理与导数的应用
一、四个中值定理的关系
推广 罗
拉格朗日定理
尔 特例 f ( a ) f ( b ) 推 特例
定
广 n0
理
泰勒定理
推广 柯
特例 F( x ) x 西
定 理
二、微分中值定理
名称
条
件
1. f ( x ) Ca , b
罗尔定理 2. f ( x )在 a , b内存在
3. f ( a ) f ( b )