2019-2020年教科版物理必修二讲义：第3章+2.万有引力定律及答案

2．万有引力定律一、与引力有关现象的思考1．牛顿的思考苹果由于受到地球的吸引力落向地面；月球不沿直线运动而是绕地球做圆周运动，表明月球受到方向指向地心的向心力作用．2．思考的结论(1)月球必定受到地球对它的引力作用．(2)苹果落地中苹果与月球在运动中受到的都是地球对它们的引力．(3)行星围绕太阳运动的向心力由太阳对行星的引力提供．二、万有引力定律1．太阳与行星间的引力(1)模型简化：行星以太阳为圆心做匀速圆周运动，太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运动的向心力．(2)推导过程：①太阳对行星的引力②行星对太阳的引力根据牛顿第三定律，行星对太阳的引力F ′的大小也存在与上述关系类似的结果，即F ′∝Mr2.③太阳与行星间的引力由于F ∝m r 2、F ′∝M r 2，且F ＝F ′，则有F ∝Mm r 2，写成等式F ＝G Mmr 2，式中G 为比例系数．2．万有引力定律(1)内容：任何两个物体之间都存在相互作用的引力，引力的大小与这两个物体的质量的乘积成正比，与这两个物体之间的距离的平方成反比．(2)公式：F ＝G m 1m 2r 2，式中质量的单位用kg ，距离的单位用m ，力的单位用N ，G 为引力常量．是一个与物质种类无关的普适常量．(3)适用条件：①适用于相距很远的天体，这时可以将其看作质点． ②适用于质量均匀分布的球体，这时r 指球心间的距离． 三、引力常量1．在1798年，即牛顿发现万有引力定律一百多年以后，英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验，较准确地测出了引力常量. G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2.2．意义：应用万有引力定律能进行定量运算，显示出其真正的实用价值． 3．知道G 的值后，利用万有引力定律可以计算出天体的质量，卡文迪许也因此被称为“能称出地球质量的人”．1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)公式F ＝G Mmr2中G 是比例系数，与太阳和行星都没关系．( )(2)地球对月球的引力大于月球对地球的引力． ( )(3)根据万有引力公式可知，当两个物体的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大．( )(4)引力常量是牛顿首先测出的． ( )(5)卡文迪许通过改变质量和距离，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性．( )【提示】 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√2．(多选)根据开普勒关于行星运动的规律和圆周运动的知识知：太阳对行星的引力F ∝m r 2，行星对太阳的引力F ′∝Mr 2 ，其中M 、m 、r 分别为太阳、行星质量和太阳与行星间的距离．下列说法正确的是( )A ．由F ∝m r 2和F ′∝Mr 2，F ∶F ′＝m ∶MB ．F 和F ′大小相等，是作用力与反作用力C ．F 和F ′大小相等，是同一个力D ．太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力BD [F ′和F 大小相等、方向相反，是作用力和反作用力，太阳对行星的引力是行星绕太阳做圆周运动的向心力，故正确答案为B 、D.]3．甲、乙两个质点间的万有引力为F ，若甲物体的质量不变，乙物体的质量增加到原来的2倍，同时，它们之间的距离减为原来的一半，则甲、乙两物体间的万有引力大小将变为( )A ．F B.F2 C ．8FD ．4FC [由万有引力定律可得：F ＝G m 甲m 乙r 2；F ′＝G m 甲2m 乙⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22＝8G m 甲m 乙r 2＝8F ，故选项C 正确．]4．(多选)关于引力常量，下列说法正确的是( )A ．引力常量是两个质量为1 kg 的质点相距1 m 时的相互吸引力B ．牛顿发现了万有引力定律时，给出了引力常量的值C ．引力常量的测出，证明了万有引力的正确性D ．引力常量的测定，使人们可以测出天体的质量CD [引力常量在数值上等于质量均为1 kg 的两个均匀球体相距1 m 时相互引力的大小，故A 错．牛顿发现万有引力定律时，还不知道引力常量的值，故B 错．引力常量的测出证明了万有引力定律的正确性，同时使万有引力定律具有实用价值，故C 、D 正确．]1．公式的适用条件：严格说F ＝G m 1m 2r 2只适用于计算两个质点间的万有引力，但对于下述几种情况，也可用该公式计算．(1)两质量分布均匀的球体间的万有引力，可用公式计算，此时r 是两个球体球心的距离．(2)一个质量分布均匀的球体与球外一个质点间的万有引力，可用公式计算，r 为球心到质点间的距离．(3)两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，公式也适用． 2．万有引力的四个特性径为R 的小实心球，然后置于相距为d 的地方，如图所示，试计算空心球与小实心球之间的万有引力．思路点拨：(1)万有引力定律只适用于计算质点间的引力大小．(2)球体剩余部分对小实心球的万有引力等于原球对小实心球的万有引力减去挖去的球体对小实心球的万有引力．[解析] 假设把挖去的小实心球填补上，则大、小实心球之间的万有引力F ＝G Mm d 2 ①，小实心球的质量m ＝ρ·43π⎝ ⎛⎭⎪⎫R 23＝18ρ·43πR 3＝18M ②，由①②得F ＝GM 28d 2.填入的小实心球与挖去的小实心球之间的万有引力F 1＝G m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫d －R 22＝164·GM 2⎝ ⎛⎭⎪⎫d －12R 2.因此，空心球与小实心球之间的万有引力F 2＝F －F 1＝GM 28d2－GM 264⎝ ⎛⎭⎪⎫d －R22.[答案] GM 28d 2－GM 264⎝ ⎛⎭⎪⎫d －R 22运用“填补法”解题的关键是紧扣万有引力定律的适用条件，先填补，后运算.运用“填补法”解题的过程主要体现了等效的思想.1.如图所示，一个质量均匀分布的半径为R 的球体对球外质点P 的万有引力为F .如果在球体中央挖去半径为r 的一部分球体，且r ＝R2，则原球体剩余部分对质点P 的万有引力变为( )A.F2 B.F 8 C.7F 8D.F 4C [利用填补法来分析此题，原来物体间的万有引力为F ，挖去半径为R2的球的质量为原来球的质量的18，其他条件不变，故剩余部分对质点P 的引力为F －F8＝78F ，选项C 正确．]1．重力为地球引力的分力如图所示，设地球的质量为M ，半径为R ，A 处物体的质量为m ，则物体受到地球的吸引力为F ，方向指向地心O ，由万有引力公式得F ＝G MmR2.图中F 1为物体随地球自转做圆周运动的向心力，F 2就是物体的重力mg ，故一般情况mg <G MmR2.2．重力和万有引力间的大小关系 (1)重力与纬度的关系①在赤道上满足mg ＝G MmR2－mRω2.②在地球两极处，由于F 向＝0，即mg ＝G MmR 2.(2)重力、重力加速度与高度的关系①在地球表面：mg ＝G Mm R 2，g ＝GMR2，g 为常数．②在距地面高h 处：mg ′＝G Mm (R ＋h )2，g ′＝GM(R ＋h )2，高度h 越大，重力加速度g ′越小．【例2】 离地面某一高度h 处的重力加速度是地球表面重力加速度的二分之一，则高度h 是地球半径的多少倍？[解析] 地球表面的物体所受的重力约等于地球对物体的引力，则有mg ＝G MmR2，式中G 为引力常量，M 为地球质量，m 为物体质量，R 为地球半径 离地面高度为h 处，有mg h ＝G Mm(R ＋h )2由题意知g h ＝12g解得h ＝(2－1)R所以高度h 是地球半径的(2－1)倍． [答案] (2－1)倍在地球表面，通常情况下都认为重力的大小等于万有引力的大小，即，所以地球表面的重力加速度.但有两种情况必须加以区别：一是从细微之处分析重力与万有引力的大小关系；二是物体离地面的高度与地球半径相比不能忽略这种情况.2．火星和地球质量的比值为P ，火星和地球的半径的比值为q ，则火星表面处和地球表面处的重力加速度之比为 ( )A.P q 2 B ．Pq 2 C.P qD ．PqA [星体表面的重力加速度g ＝GM R 2∝MR 2，所以火星表面和地球表面的重力加速度之比为g 火g 地＝M 火M 地·R 2地R 2火＝Pq2，A 正确．]1．(多选)在探究太阳与行星间的引力的思考中，属于牛顿的猜想的是( ) A ．使行星沿圆轨道运动，需要一个指向圆心的力，这个力就是太阳对行星的吸引力B ．行星运动的半径越大，其做圆周运动的运动周期越大C ．行星运动的轨道是一个椭圆D ．任何两个物体之间都存在太阳和行星之间存在的这种类型的引力 AD [牛顿认为任何方式改变速度都需要力(这种力存在于任何两物体之间)，行星沿圆或椭圆运动，需要指向圆心或椭圆焦点的力，这个力是太阳对它的引力．]2．(2019·全国卷Ⅱ)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆．在探测器“奔向”月球的过程中，用h 表示探测器与地球表面的距离，F 表示它所受的地球引力，能够描述F 随h 变化关系的图像是( )A B C D[答案] D3．(多选)卡文迪许利用如图所示的扭秤实验装置测量了引力常量G .为了测量石英丝极微小的扭转角，该实验装置中采取使“微小量放大”的主要措施是( )A．减小石英丝的直径B．增大T形架横梁的长度C．利用平面镜对光线的反射D．增大刻度尺与平面镜之间的距离CD[利用平面镜对光线的反射，可以将微小偏转放大，而且刻度尺离平面镜越远，放大尺寸越大，故只有选项C、D正确．]4．两个大小相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F.若将两个用同种材料制成的半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则两大铁球之间的万有引力为()A．2F B．4FC．8F D．16FD[两个小铁球之间的万有引力为F＝G mm(2r)2＝Gm24r2.实心球的质量为m＝ρV＝ρ·43πr3，大铁球的半径是小铁球的2倍，则大铁球的质量m′与小铁球的质量m之比为m′m ＝r′3r3＝81.故两个大铁球间的万有引力为F′＝Gm′m′(2r′)2＝G(8m)24(2r)2＝16F.]5.如图所示，一火箭以a＝g2的加速度竖直升空．为了监测火箭到达的高度，可以观察火箭上搭载物视重的变化．如果火箭上搭载的一只小狗的质量为m＝1.6 kg，当检测仪器显示小狗的视重为F＝9 N时，火箭距离地面的高度是地球半径的多少倍？(g取10 m/s2)[解析]火箭距离地面的高度为h，该处的重力加速度为g′，设地球的半径为R .根据牛顿第二定律，有F －mg ′＝ma ，g ′＝F m －g 2＝58m/s 2.根据万有引力定律，有g ′＝G M r 2∝1r 2，所以g ′g ＝R 2(R ＋h )2，即R R ＋h ＝14，所以火箭距离地面的高度为h ＝3R .[答案] 3倍。