微分中值定理.ppt
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这些中值定理的创建要归功于费马、 拉格朗日、柯西等数学家.
导数与差商
y y f (x) 可微
P
B
点 P 处切线的斜率： k f (x0)
相等！
割线 AB 的斜率：
A
k f (x2 ) f (x1) x2 x1
O x1
x0 x2 x
将割线作平行移动, 那么它至少有一次会 达到这样的位置：
y 1
o
1x
y
2 1
o 1 2x
二、微分中值定理
1. 罗尔（Rolle）定理
满足:
y
(1) 在区间 [a , b] 上连续
y f (x)
(2) 在区间 (a , b) 内可导
o
(3) f ( a ) = f ( b )
a b x
在( a , b ) 内至少存在一点 使 f ( ) 0.
证:
故在[ a , b ]上取得最大值
o a
bx
至少存在一点
使 f ( ) f (b) f (a) .
证: 问题转化为证 f ( ) f (b) f (a) 0 b a
ba
作辅助函数 (x) f (x()) f (b) f (a) x
ba
显然 , 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且
(a) b f (a) a f (b) (b) , 由罗尔定理知至少存在一点
证明至少存在一点 (0,1), 使 f () f () 0.
提示： f ( ) f ( ) (xf (x)) x
例2 证明方程
有且仅有一个小于1 的
正实根 .（补充题）
证: 1) 存在性 .
设 f (x) x5 5x 1, 则 f (x) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且
由介值定理知存在 x0 (0,1), 使
且 x0 I , 使 f (x0 ) C0.
自证:
例4
证明不等式
1
x
x
ln(1
x)
x
(x 0).
证: 设 f (t) ln(1 t) ,
中值定理条件, 因此应有
说明：本定理可利用拉格朗日定理证明
推论5.2:若函数 在区间 I 上满足
则
在 I 上必为常数.
证: 在 I 上任取两点 日中值公式 , 得
0
由 的任意性知, 在 I 上为常数 .
例3 证明等式 证: 设
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
由推论可知
(常数)
令x=0,得
又
故所证等式在定义域
上成立.
经验: 欲证 x I 时 f (x) C0, 只需证在 I 上 f (x) 0,
o
x0
x
o
x0
x
定义 设函数 f (x) 在区间 (a,b) 内有定义，x0 是 (a,b) 内的一点，如果存在 x0 的一个邻域U (x0 ) ，对于U (x0 ) 内 的任何点 x ，有
f (x) f (x0 ) 或 f (x) f (x0 ) , 则称 f (x0 ) 是函数 f (x) 的一个极大值（或极小值），点 x0 是 f (x) 的一个极大值点（或极小值点），函数的极大值、
第五章 微分中值定理及其应用
第一节 微分中值定理 第二节 洛必达法则 第三节 函数的升降、凸性和函数作图 第四节 函数的最大值、最小值问题
第一节 微分中值定理
一、函数的极值 罗尔中值定理 二、微分中值定理 拉格朗日中值定理
柯西中值定理
三、小结与思考题
导数与差商
函数导数的定义为
f (x) lim f (x x) f (x)
x0
x
即函数在点 x 处的导数等于 x 0 时, 函数
在点 x 处的差商 f (x x) f (x) 的极限值.
x
我们常常需要从函数的导数所给出 的局部的或“小范围”性质, 推出其整体的 或“大范围”性质. 为此, 我们需要建立函 数的差商与函数的导数间的基本关系式, 这些关系式称为“微分学中值定理”.
即: 设 f (x) C[ a , b ] , 则 1 ,2 [ a , b ] , 使
f
(1)
min
a xb
f
(x)
y y f (x)
f
(2 )
max
a xb
f
(x)
o a1 2 b x
注意: 若函数在开区间上连续, 或在闭区间内有间断点
结论不一定成立 .
例如, 无最大值和最小值
又如,
也无最大值和最小值
M 和最小值 m .
若M=m,则
因此
若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,
不妨设
则至少存在一点
使
则由费马引理得 f ( ) 0.
注意: 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立.
例如,
y
o 1x
y
y
1 o 1 x
o 1x
例 1 设 f (x) 在[0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，且 f (1) 0,
在曲线上与割线距离最远的那一点P 处成 为切线, 即在点P 处与曲线的切线重合.
也就是说, 至少存在一点 (x1 , x2) , 使得 f ( ) f (x2 ) f (x1)
x2 x1 该命题就是微分中值定理.
一、函数的极值
y
y f (x)
a o x1
x2 x3
x4
b x5 x6
x
y
y
思路: 利用b逆向a 思维找即出定一理个结满论足成罗立尔定. 证理毕条件的函数
拉格朗日中值定理的有限增量形式:
令
则
y f (x0 x)x (0 1)
推论 5.1 (函数单调性的判定法） 设函数 y f (x) 在 [a,b] 上 连 续 , 在 (a,b) 内 可 导 ．（ 1） 如 果 在 (a,b) 内 ， f (x) 0 ，则 y f (x) 在 [a,b] 上单调增加；（2）如果在 (a,b) 内， f (x) 0 ，则 y f (x) 在[a,b] 上单调减少．
f (x0 ) 0, 即方程有小于 1 的正根
2) 唯一性 .
假设另有
f (x)在以
x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1 之间
至少存在一点
但
矛盾, 故假设不真!
2. 拉格朗日（Lagrange）中值定理
y
满足:
y f (x)
(1) 在区间 [ a , b ] 上连续 (2) 在区间 ( a , b ) 内可导
极小值统称为极值.极大值点与极小值点统称为极值点．
注意：函数的极值是对一点的邻域来说的，是局部概念， 极小值可能比极大值大.
费马引理（Fermat Lemma）
且
证: 设 则
存在
y o x0 x
证毕
闭区间连续函数最值定理
定理 5.2 在闭区间上连续的函数在该区间上有界且 一定能取得它的最大值和最小值．
导数与差商
y y f (x) 可微
P
B
点 P 处切线的斜率： k f (x0)
相等！
割线 AB 的斜率：
A
k f (x2 ) f (x1) x2 x1
O x1
x0 x2 x
将割线作平行移动, 那么它至少有一次会 达到这样的位置：
y 1
o
1x
y
2 1
o 1 2x
二、微分中值定理
1. 罗尔（Rolle）定理
满足:
y
(1) 在区间 [a , b] 上连续
y f (x)
(2) 在区间 (a , b) 内可导
o
(3) f ( a ) = f ( b )
a b x
在( a , b ) 内至少存在一点 使 f ( ) 0.
证:
故在[ a , b ]上取得最大值
o a
bx
至少存在一点
使 f ( ) f (b) f (a) .
证: 问题转化为证 f ( ) f (b) f (a) 0 b a
ba
作辅助函数 (x) f (x()) f (b) f (a) x
ba
显然 , 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且
(a) b f (a) a f (b) (b) , 由罗尔定理知至少存在一点
证明至少存在一点 (0,1), 使 f () f () 0.
提示： f ( ) f ( ) (xf (x)) x
例2 证明方程
有且仅有一个小于1 的
正实根 .（补充题）
证: 1) 存在性 .
设 f (x) x5 5x 1, 则 f (x) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且
由介值定理知存在 x0 (0,1), 使
且 x0 I , 使 f (x0 ) C0.
自证:
例4
证明不等式
1
x
x
ln(1
x)
x
(x 0).
证: 设 f (t) ln(1 t) ,
中值定理条件, 因此应有
说明：本定理可利用拉格朗日定理证明
推论5.2:若函数 在区间 I 上满足
则
在 I 上必为常数.
证: 在 I 上任取两点 日中值公式 , 得
0
由 的任意性知, 在 I 上为常数 .
例3 证明等式 证: 设
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
由推论可知
(常数)
令x=0,得
又
故所证等式在定义域
上成立.
经验: 欲证 x I 时 f (x) C0, 只需证在 I 上 f (x) 0,
o
x0
x
o
x0
x
定义 设函数 f (x) 在区间 (a,b) 内有定义，x0 是 (a,b) 内的一点，如果存在 x0 的一个邻域U (x0 ) ，对于U (x0 ) 内 的任何点 x ，有
f (x) f (x0 ) 或 f (x) f (x0 ) , 则称 f (x0 ) 是函数 f (x) 的一个极大值（或极小值），点 x0 是 f (x) 的一个极大值点（或极小值点），函数的极大值、
第五章 微分中值定理及其应用
第一节 微分中值定理 第二节 洛必达法则 第三节 函数的升降、凸性和函数作图 第四节 函数的最大值、最小值问题
第一节 微分中值定理
一、函数的极值 罗尔中值定理 二、微分中值定理 拉格朗日中值定理
柯西中值定理
三、小结与思考题
导数与差商
函数导数的定义为
f (x) lim f (x x) f (x)
x0
x
即函数在点 x 处的导数等于 x 0 时, 函数
在点 x 处的差商 f (x x) f (x) 的极限值.
x
我们常常需要从函数的导数所给出 的局部的或“小范围”性质, 推出其整体的 或“大范围”性质. 为此, 我们需要建立函 数的差商与函数的导数间的基本关系式, 这些关系式称为“微分学中值定理”.
即: 设 f (x) C[ a , b ] , 则 1 ,2 [ a , b ] , 使
f
(1)
min
a xb
f
(x)
y y f (x)
f
(2 )
max
a xb
f
(x)
o a1 2 b x
注意: 若函数在开区间上连续, 或在闭区间内有间断点
结论不一定成立 .
例如, 无最大值和最小值
又如,
也无最大值和最小值
M 和最小值 m .
若M=m,则
因此
若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,
不妨设
则至少存在一点
使
则由费马引理得 f ( ) 0.
注意: 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立.
例如,
y
o 1x
y
y
1 o 1 x
o 1x
例 1 设 f (x) 在[0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，且 f (1) 0,
在曲线上与割线距离最远的那一点P 处成 为切线, 即在点P 处与曲线的切线重合.
也就是说, 至少存在一点 (x1 , x2) , 使得 f ( ) f (x2 ) f (x1)
x2 x1 该命题就是微分中值定理.
一、函数的极值
y
y f (x)
a o x1
x2 x3
x4
b x5 x6
x
y
y
思路: 利用b逆向a 思维找即出定一理个结满论足成罗立尔定. 证理毕条件的函数
拉格朗日中值定理的有限增量形式:
令
则
y f (x0 x)x (0 1)
推论 5.1 (函数单调性的判定法） 设函数 y f (x) 在 [a,b] 上 连 续 , 在 (a,b) 内 可 导 ．（ 1） 如 果 在 (a,b) 内 ， f (x) 0 ，则 y f (x) 在 [a,b] 上单调增加；（2）如果在 (a,b) 内， f (x) 0 ，则 y f (x) 在[a,b] 上单调减少．
f (x0 ) 0, 即方程有小于 1 的正根
2) 唯一性 .
假设另有
f (x)在以
x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1 之间
至少存在一点
但
矛盾, 故假设不真!
2. 拉格朗日（Lagrange）中值定理
y
满足:
y f (x)
(1) 在区间 [ a , b ] 上连续 (2) 在区间 ( a , b ) 内可导
极小值统称为极值.极大值点与极小值点统称为极值点．
注意：函数的极值是对一点的邻域来说的，是局部概念， 极小值可能比极大值大.
费马引理（Fermat Lemma）
且
证: 设 则
存在
y o x0 x
证毕
闭区间连续函数最值定理
定理 5.2 在闭区间上连续的函数在该区间上有界且 一定能取得它的最大值和最小值．