第六章 微分中值定理及其应用
第六章微分中值定理及其应用(精)
第六章 微分中值定理及其应用教学基本要求1.熟练掌握微分中值定理的条件和结论，通过举缺少条件的反例来加深理解;2.熟练掌握三个定理之间的关系以及几何上的一致性;3.熟练掌握L`Hospital 法则并应用极限计算．4.熟练掌握用导数来研究函数单调性、极值、最大值和最小值的方法,尤其是函数的单调性、凸性等几何性状;5.熟练掌握Taylor 公式，并理解Taylor 公式作为Lagrange 定理的推广在多项式逼近中将起的作用;6.掌握中值定理和Taylor 公式的应用,提高应用能力。
7.会利用导数等分析手段准确描绘函数图象．§ 1 拉格朗日定理和函数的单调性教学目的：熟练掌握罗尔中值定理，拉格朗日中值定理及其应用，掌握导数极限定理及意义，应用，掌握函数单调的条件及应用．使学生掌握拉格朗日中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基础 教学内容拉格朗日中值定理及其分析意义与几何意义。
掌握它的证明方法，了解它在微分中值定理中的地位。
教学重点：函数为常函数的充要条件; 导数极限定理; 函数单调的条件．一 罗尔定理与拉格朗日定理数学分析研究的基本对象是定义在实数集上函数的性质，而研究函数性质的最重要工具之一就是微分中值定理，微分中值定理主要指拉格朗日中值定理。
极值概念：回忆极值的概念和可微极值点的必要条件: 定理 ( Fermat ) 设函数f 在点0x 的某 邻域内有定义，且在点0x 可导，若点0x 为f 的极值点，则必有 0)(0='x f1．罗尔中值定理：若函数f 满足如下 条件：（i ）f 在闭区间[a ，b]上连续； （ii ）f 在开区间（a ，b ）内可导； （iii ）)()(b f a f =，则在（a ，b ）内至少存在一点ξ，使得f '（ξ）=0（分析）由条件（i ）知f 在[a ，b]上有最大值和最小值，再由条件（ii ）及（iii ），应用费马定理便可得到结论。
数学分析第六章微分中值定理及其应用课件1
例如, f ( x) x2 2x 3 ( x 3)(x 1).
在[1,3]上连续, 在(1,3)上可导, 且 f (1) f (3) 0,
f ( x) 2( x 1), 取 1, (1 (1,3)) f () 0.
几何解释:
y
C
在曲线弧AB上至少有一
点C , 在该点处的切线是
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 (1)如果函数 f(x)在 闭区间[a, b]上连续(,2在) 开区间(a, b) 内可导,那末在 (a, b)内至少有一点(a b)，使等式
f (b) f (a) f ' ()(b a) 成立.
注意 : 与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) f (b). 结论亦可写成 f (b) f (a) f (). ba
使 f ( x) 0.
又例如,
y
1 0,
x, x
x 0
(0,1] ;
y x, x [0,1].
例1 证明方程 x5 5x 1 0 有且仅有一个小于
1 的正实根.
证 设 f ( x) x5 5x 1, 则 f ( x)在[0,1]连续,
且 f (0) 1, f (1) 3.
由介值定理
所得曲线a, b两端点的函数值相等.
作辅助函数
F ( x) f ( x) [ f (a) f (b) f (a) ( x a)]. ba
F ( x) 满足罗尔定理的条件,
则在(a, b)内至少存在一点, 使得 F () 0.
即 f () f (b) f (a) 0 ba
或 f (b) f (a) f ()(b a).
拉格朗日中值公式
第六章 微分中值定理及其应用
由此可得
.
例2 设轴为镜面,光线由点处入射至上点R,经反射后过点Q(图6-2).试用光线沿最省时间的路径传播原理,验证光线反射规律:入射角等反射角.
图6-2
解 设光线由点P出发在平面镜上点R处反射后通过点Q,上述三点分别有坐标为,于是
,
,
光线走过总的路径为
.
因为光线是沿最省时间的路线传播,而光速是常数,所以通过求的极小值,便可确定点R的位置.为此令
由图6-2可见是入射角的余弦,而是反射角的余弦,于是有
即入射角等于反射角.
说明 由于本例是要证明,而不要求具体算出点R的坐标和的最小值,因此当由极值的必要条件推出了结果后,解题过程便告结束.这与通常求极值或最大(小)值的问题稍有不同.
于是解得唯一的极值点为
.
易见时,时,即为极小值点.由于唯一的极值点为最值点,因此当力F与水平方向夹角,力F最小.
注 力学中称为摩擦角.
例4 设函数
(n为正整数).
其中函数当时连续,且.试问点是否为的极值点?当它是极值点时,讨论它是何种极值点?
解 ,
不妨设,由连续函数的局部保号性,在某领域中.
证 因为为方程的n重根，于是该方程有2n个实根，现要证明有n个相异的实根。
=
方程以x=0为单根，重根，因为，由罗尔定理，使得于是有两个单根；又因
其中为二次多项式，故方程还有两个n-2重根。
由此可推测当导数增高一次，相异单根增加一个，但重根各下降一次，现用归纳法证明相应结论。
. பைடு நூலகம்
不妨设,于是有
.
在上对应用达布定理,使得
,
这样就证得
《数学分析》第六章微分中值定理及其应用
第六章 微分中值定理及其应用（计划课时： 8时 ）§ 1中值定理 （ 3时 ）一 思路: 在建立了导数的概念并讨论了其计算后，应考虑导数在研究函数方面的一些作用。
基于这一目的，需要建立导数与函数之间的某种联系。
还是从导数的定义出发：00)()(limx x x f x f x x --→=)(0x f '.若能去掉导数定义中的极限符号,即00)()(x x x f x f --=?)(0x f ',则目的就可达到.这样从几何上说就是要考虑曲线的割线与切线之间的平行关系. 一方面要考虑给定割线, 找平行于该割线的切线; 另一方面要考虑给定切线, 找平行于该切线的割线. (1)若给定的割线是水平的、斜的或曲线的方程以参数方程的形式给出，则分别可找出相应的切线平行于该割线，再分析所需要的条件，就可建立起Rolle 定理、Lagrange 定理、Cauchy 定理. 这三个微分中值定理用一句话概括：对于处处连续、处处有切线曲线的每一条割线都可以找到平行于该割线的切线. (2)若给定切线, 找平行于该切线的割线, 则不一定能实现.二 微分中值定理:1. Rolle 中值定理: 叙述为Th1. ( 证 ) 定理条件的充分但不必要性.2. Lagrange 中值定理: 叙述为Th2. ( 证 ) 图解 . 用分析方法引进辅助函数, 证明定理.Lagrange 中值定理的各种形式. 关于中值点的位置. 系1 函数)(x f 在区间I 上可导且)( ,0)(x f x f ⇒≡'为I 上的常值函数. (证) 系2 函数)(x f 和)(x g 在区间I 上可导且,)()( ),()(c x g x f x g x f +=⇒'≡'.I ∈x 系 3 设函数)(x f 在点0x 的某右邻域)(0x + 上连续,在)(0x +内可导.若)0()(lim 00+'='+→x f x f x x 存在 , 则右导数)(0x f +'也存在, 且有).0()(00+'='+x f x f (证)但是, )0(0+'x f 不存在时, 却未必有)(0x f +'不存在. 例如对函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0 ,1sin )(2x x xx x f 虽然)00(+'f 不存在,但)(x f 却在点0=x 可导(可用定义求得0)0(='f ).Th3 (导数极限定理) 设函数)(x f 在点0x 的某邻域 )(0x 内连续, 在)(0x内可导. 若极限)(lim 0x f x x '→存在, 则)(0x f '也存在, 且).(lim )(00x f x f x x '='→ ( 证 )由该定理可见, 若函数)(x f 在区间I 上可导,则区间I 上的每一点,要么是导函数)(x f '的连续点,要么是)(x f '的第二类间断点.这就是说,当函数)(x f 在区间I 上点点可导时, 导函数)(x f '在区间I 上不可能有第二类间断点.3. Cauchy 中值定理:Th 4 设函数f 和g 在闭区间],[b a 上连续, 在开区间),(b a 内可导, f '和g '在),(b a 内不同时为零, 又).()(b g a g =/ 则在),(b a 内至少存在一点,ξ 使得)()()()()()(a g b g a f b f g f --=''ξξ. 证 分析引出辅助函数 -=)()(x f x F )()()()(a g b g a f b f --)(x g . 验证)(x F 在],[b a 上满足Rolle 定理的条件, ∍∈∃⇒ ),,( b a ξ-'=')()(ξξf F )()()()(a g b g a f b f --.0)(='ξg必有0)(=/'ξg , 因为否则就有0)(='ξf .这与条件“f '和g '在),(b a 内不同时为零” 矛盾. ⇒Cauchy 中值定理的几何意义.Ex [1]P 163 1—4；三 中值定理的简单应用: ( 讲1时 ) 1. 证明中值点的存在性:例1 设函数f 在区间],[b a 上连续, 在),(b a 内可导, 则),(b a ∈∃ξ, 使得)()(a f b f -)(lnξξf ab'⋅=. 证 在Cauchy 中值定理中取x x g ln )(=.例2 设函数f 在区间],[b a 上连续, 在),(b a 内可导, 且有0)()(==b f a f .试证明: 0)()( ),,(='-∍∈∃ξξξf f b a .2. 证明恒等式: 原理.例3 证明: 对R ∈∀x , 有 2π=+arcctgx arctgx .例 4 设函数f 和g 可导且 ,0)(≠x f 又 .0=''g f gf 则 )()(x cf xg =.(证明0) (='fg. ) 例 5 设对R ∈∀ , h x ,有 2|)()(|Mh x f h x f ≤-+,其中M 是正常数.则函数)(x f 是常值函数. (证明 0='f ).3. 证明不等式: 原理.例6 证明不等式: 0>h 时,h arctgh h h<<+21. 例7 证明不等式: 对n ∀，有nn n 1) 11 ln(11<+<+.4. 证明方程根的存在性:例8 证明方程 0cos sin =+x x x 在),0(π内有实根.例9 证明方程 c b a cx bx ax ++=++23423在) 1 , 0 (内有实根.四 单调函数 （结合几何直观建立）1 可导函数单调的充要条件Th 5设函数)(x f 在区间),(b a 内可导. 则在),(b a 内)(x f ↗(或↘) ⇔在),(b a 内 0)(≥'x f ( 或0≤ ).例10 设13)(3+-=x x x f .试讨论函数)(x f 的单调区间. 解:⑴确定定义域. 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞. ⑵求导数并分解因式.)1)(1(333)(2+-=-='x x x x f⑶确定导数为0的点和不存在的点.令0)(='x f ,得1,1=-=x x⑷将导数为0的点和不存在的点作为分点插入函数的定义域,列表讨论各个区间上的单Th6设函数)(x f 在区间),(b a 内可导. 则在),(b a 内)(x f ↗↗( 或↘↘) ⇔ⅰ> 对),,(b a x ∈∀ 有0)(≥'x f ( 或)0≤; ⅱ> 在),(b a 内任子区间上.0)(≡/'x f3 可导函数严格单调的充分条件 推论 见P124例11 证明不等式 .0,1≠+>x x e xEx [1]P 124—125 1—7.§2 不定式的极限 ( 2时 )一.型: Th 1 (L 'Hospital 法则 ) ( 证 ) 应用技巧. 例1 .cos cos 1lim2xxtg xx +→π例2 )1l n ()21(l i m2210x x e xx ++-→. 例3 xx ex-+→1l i m 0. ( 作代换x t = 或利用等价无穷小代换直接计算. )例4 xx x x s i n 1s i nlim20→. ( L 'Hospital 法则失效的例 )二∞∞型: Th 2 (L 'Hospital 法则 ) ( 证略 )例5 ) 0 ( ,ln lim >+∞→ααxxx .例6 3lim x e xx +∞→.注: 关于x x e x ln ,,α当+∞→x 时的阶.例7 xxx x sin lim +∞→. ( L 'Hospital 法则失效的例 )三. 其他待定型: ∞-∞∞∞⋅∞ , ,0 ,1 ,000.前四个是幂指型的. 例8.ln lim 0x x x +→例9)(sec lim 2tgx x x -→π.例10xx x =→0lim .例11xx x ⎪⎭⎫⎝⎛++→11lim 0.例12()21cos lim x x x →.例13nn n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→211lim .例14设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0 ,0,0 ,)()(x x x x g x f 且 .3)0( ,0)0()0(=''='=g g g 求).0(f '解 200)(lim 0)(lim )0()(lim )0(x x g xx x g x f x f f x x x →→→=-=-=' 23)0(21)0()(lim 212)(lim 0000=''='-'='=→→g x g x g x x g x x .Ex [1]P 132—133 1—5.§3 Taylor 公式 ( 3时 )一. 问题和任务:用多项式逼近函数的可能性; 对已知的函数, 希望找一个多项式逼近到要求的精度.二. Taylor ( 1685—1731 )多项式:分析前述任务，引出用来逼近的多项式应具有的形式定义 (Taylor 多项式 )(x P n 及Maclaurin 多项式)例1 求函数24)(23+-=x x x f 在点20=x 的Taylor 多项式.三. Taylor 公式和误差估计:称 )()()(x P x f x R n n -=为余项. 称给出)(x R n 的定量或定性描述的式 )()()(x R x P x f n n +=为函数)(x f 的Taylor 公式.1. 误差的定量刻画( 整体性质 ) —— Taylor 中值定理: Th 1 设函数f 满足条件:ⅰ> 在闭区间],[b a 上f 有直到n 阶连续导数; ⅱ> 在开区间),(b a 内f 有1+n 阶导数. 则对),,( ),,(b a b a x ∈∃∈∀ξ 使+-++-''+-'+=n n a x n a f a x a f a x a f a f x f )(!)()(!2)())(()()()(21)1()()!1()(++-++n n a x n f ξ∑=+-=nk kk a x k a f 0)()(!)(1)1()()!1()(++-+n n a x n f ξ. 证 [1]P 138—139.称这种形式的余项)(x R n 为Lagrange 型余项. 并称带有这种形式余项的Taylor 公式为具Lagrange 型余项的Taylor 公式. Lagrange 型余项还可写为 ,)()!1())(()(1)1(++-+-+=n n n a x n a x a fx R θ ) 1 , 0(∈θ.0=a 时, 称上述Taylor 公式为Maclaurin 公式, 此时余项常写为,)()!1(1)(1)1(+++=n n n x x f n x R θ 10<<θ. 2. 误差的定性描述( 局部性质 ) —— Peano 型余项: Th 2 若函数f 在点a 的某邻域 )(a 内具有1-n 阶导数, 且)()(a fn 存在, 则+-++-''+-'+=n n a x n a f a x a f a x a f a f x f )(!)()(!2)())(()()()(2()n a x )(- , )(a x ∈.证 设)()()(x P x f x R n n -=, na x x G )()(-=. 应用L 'Hospital 法则1-n 次,并注意到)()(a fn 存在, 就有=====--→→)()(lim )()(lim )1()1(00x G x R x G x R n n n a x n a x )(2)1())(()()(lim)()1()1(a x n n a x a f a f x f n n n a x -------→ = 0)()()(lim !1)()1()1(=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--→a f a x a f x f n n n n a x . 称()nn a x x R )()(-= 为Taylor 公式的Peano 型余项, 相应的Maclaurin 公式的Peano型余项为)()(nn x x R =. 并称带有这种形式余项的Taylor 公式为具Peano 型余项的Taylor 公式( 或Maclaurin 公式 ).四. 函数的Taylor 公式( 或Maclaurin 公式 )展开:1. 直接展开:例2 求 xe xf =)(的Maclaurin 公式.解 ) 10 ( ,)!1(!!2!1112<<++++++=+θθn xn xx n e n x x x e . 例3 求 x x f sin )(=的Maclaurin 公式.解 )()!12() 1 (!5!3sin 212153x R m x x x x x m m m +--+-+-=-- , 10 ,)21(sin )!12()(122<<⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+θπθm x m x x R m m . 例4 求函数)1ln()(x x f +=的具Peano 型余项的Maclaurin 公式 .解 )!1() 1()0( ,)1()!1() 1()(1)(1)(--=+--=--n f x n x f n n nn n . )() 1(32)1l n (132n nn x nx x x x x +-+-+-=+-. 例5 把函数tgx x f =)(展开成含5x 项的具Peano 型余项的Maclaurin 公式.2. 间接展开: 利用已知的展开式, 施行代数运算或变量代换, 求新的展开式.例6 把函数2sin )(x x f =展开成含14x 项的具Peano 型余项的Maclaurin 公式 .解 ) (!7!5!3sin 7753x x x x x x +-+-=, ) (!7!5!3sin 141410622x x x x x x +-+-=.例7 把函数x x f 2cos )(=展开成含6x 项的具Peano 型余项的Maclaurin 公式 . 解 ) (!6!4!21c o s6642x x x x x +-+-=, ), (!62!34212cos 66642x x x x x +-+-= (注意, 0),()(≠=k x kx )∴ ) (!62!321)2c o s1(21c o s 665422x x x x x x +-+-=+=.例8 先把函数xx f +=11)(展开成具Peano 型余项的Maclaurin 公式.利用得到的展开式, 把函数x x g 531)(+=在点20=x 展开成具Peano 型余项的Taylor 公式. 解 ,)1(!)1(1)(++-=n n n x n f !)1()0()(n f n n -=. ); ()1(1)(32nn n x x x x x x f +-++-+-=13)2(511131)2(5131531)(-+=-+=+=x x x x g=⎪⎭⎫⎝⎛--+--+--n n n x x x )2() 135 () 1()2() 135 ()2(135113122 +().)2(n x - 例9 把函数shx 展开成具Peano 型余项的Maclaurin 公式 ，并与x sin 的相应展开式进行比较.解 ), (!!2!112n nxx n x x x e +++++= )(!)1(!2!112n n n xx n x x x e +-+-+-= ; ∴ ) ( )!12(!5!32121253---+-++++=-=m m x x x m x x x x e e shx . 而 ) ()!12()1(!5!3sin 1212153---+--+-+-=m m m x m x x x x x . 五. Taylor 公式应用举例:1. 证明e 是无理数: 例10 证明e 是无理数.证 把xe 展开成具Lagrange 型余项的Maclaurin 公式, 有10 ,)!1(!1!31!2111<<+++++++=ξξn e n e . 反设e 是有理数, 即p q p e ( =和q 为整数), 就有 =e n !整数 + 1+n e ξ.对qpn e n q n ⋅=>∀!! ,也是整数. 于是,-⋅=+q p n n e !1ξ整数 = 整数―整数 = 整数.但由,30 ,10<<<⇒<<e e ξξ 因而当 3>n 时，1+n e ξ不可能是整数. 矛盾.2. 计算函数的近似值:例11 求e 精确到000001.0的近似值.解 10 ,)!1(!1!31!2111<<+++++++=ξξn e n e . 注意到,30 ,10<<<⇒<<e e ξξ 有 )!1(3) 1 (+≤n R n . 为使000001.0)!1(3<+n , 只要取9≥n . 现取9=n , 即得数e 的精确到000001.0的近似值为 718281.2!91!31!2111≈+++++≈ e . 3. 利用Taylor 公式求极限: 原理:例12 求极限 ) 0 ( ,2lim20>-+-→a x a a x x x . 解 ) (ln 2ln 1222ln x a x a x ea ax x+++==,) (ln 2ln 1222x a x a x ax++-=-;). (ln 2222x a x aa xx+=-+-∴ a xx a x x a a x x x x 22222020ln )(ln lim 2lim =+=-+→-→ . 4． 证明不等式： 原理.例13 证明: 0≠x 时, 有不等式 x e x+>1. Ex[1]P141 1—3.§4 函数的极值与最大（小）值（ 4时 ）一 可微函数极值点判别法:极值问题:极值点,极大值还是极小值, 极值是多少.1. 可微极值点的必要条件: Th1 Fermat 定理(取极值的必要条件).函数的驻点和(连续但)不可导点统称为可疑点, 可疑点的求法.2. 极值点的充分条件: 对每个可疑点, 用以下充分条件进一步鉴别是否为极（结合几何直观建立极值点的判别法）Th 2 (充分条件Ⅰ) 设函数)(x f 在点0x 连续, 在邻域) , (00x x δ-和) , (00δ+x x 内可导. 则ⅰ> 在) , (00x x δ-内,0)(<'x f 在) , (00δ+x x 内0)(>'x f 时,⇒ 0x 为)(x f 的一个极小值点;ⅱ> 在) , (00x x δ-内,0)(>'x f 在) , (00δ+x x 内0)(<'x f 时,⇒ 0x 为)(x f 的一个极大值点;ⅲ> 若)(x f '在上述两个区间内同号, 则0x 不是极值点.Th 3 (充分条件Ⅱ——“雨水法则”)设点0x 为函数)(x f 的驻点且)(0x f ''存在.则 ⅰ> 当0)(0<''x f 时, 0x 为)(x f 的一个极大值点;ⅱ> 当0)(0>''x f 时, 0x 为)(x f 的一个极小值点.证法一 .)(lim )()(lim)(000000x x x f x x x f x f x f x x x x -'=-'-'=''→→当0)(0<''x f 时, 在点0x 的某空心邻域内0)(x x x f -')( ,0x f '⇒<与0x x -异号,…… 证法二 用Taylor 公式展开到二阶, 带P eano 型余项. Th 4 (充分条件Ⅲ ) 设0)()()(0)1(00===''='-x f x f x f n ,而0)(0)(≠x fn .则ⅰ> n 为奇数时, 0x 不是极值点; ⅱ> n 为偶数时, 0x 是极值点. 且0)(0)(>x fn 对应极小; 0)(0)(<x f n 对应极大.例1 求函数32)52()(x x x f -=的极值.例2 求函数x x x f 432)(2+=的极值. 例3 求函数34)1()(-=x x x f 的极值.注 Th 2、 Th 3、 Th 4只是极值点判别的充分条件.如函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-.0,0,0,)(21x x e x f x 它在0=x 处取极小值,但因 ,2,1,0)0()(==k f k .所以无法用Th 4对它作出判别.二 函数的最大值与最小值:⑴设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续且仅有有限个可疑点n x x x ,,,21 . 则 )(m a x ],[x f b a x ∈=max } )(,),(),(),(),( {21n x f x f x f b f a f ;m i n )(m i n ],[=∈x f b a x } )(,),(),(),(),( {21n x f x f x f b f a f .⑵函数最值的几个特例: ⅰ> 单调函数的最值:ⅱ> 如果函数)(x f 在区间],[b a 上可导且仅有一个驻点, 则当0x 为极大值点时,0x 亦为最大值点; 当0x 为极小值点时, 0x 亦为最小值点.ⅲ> 若函数)(x f 在R 内可导且仅有一个极大(或小)值点, 则该点亦为最大(或小)值点.ⅳ> 对具有实际意义的函数, 常用实际判断原则确定最大(或小)值点. 例4 求函数x x x x f 1292)(23+-=在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-25,41上的最大值与最小值.⑶最值应用问题:例5 A 、B 两村距输电线(直线)分别为km 1 和km 5.1（如图）， CD 长.3km . 现两村合用一台 变压器供电. 问变压器设在何处,输电线总长BE AE +最小.解 设x 如图，并设输电线总长为(x L.30 ,5.1)3(1)(222≤≤+-++=+=x x x EB AE x L015.1)3(1)3(5.1)3()(222222令===+⋅+-+--+-='x x x x x x x L ,⇒1)3(5.1)3(222+-=+-x x x x , .09625.1 2=-+⇒x x解得 2.1=x 和 6-=x ( 舍去 ). 答： …… 三 利用导数证明不等式:我们曾在前面简介过用中值定理或Taylor 公式证明不等式的一些方法. 其实, 利用 导数证明不等式的方法至少可以提出七种 ( 参阅[3]P 112—142 ). 本段仅介绍利用单调性 或极值证明不等式的简单原理.1. 利用单调性证明不等式:原理: 若f ↗, 则对βα<∀, 有不等式)()(βαf f ≤. 例5证明: 对任意实数a 和b , 成立不等式. 1 ||1||||1b b a a b a b a +++≤+++证 取⇒>+='≥+= ,0)1(1)( ).0( ,1)(2x x f x x x x f 在) , 0 [∞+内)(x f ↗↗. 于是, 由 |||| ||b a b a +≤+, 就有 ) |||| () || (b a f b a f +≤+, 即||1||||1||||||1||||||1||||||1||||||1||b b a a b a b b a a b a b a b a b a +++≤+++++=+++≤+++.2. 不等式原理: 设函数)(x f 在区间) , [∞+a 上连续,在区间) , (∞+a 内可导, 且0)(>'x f ; 又 .0)(≥a f 则 a x >时, .0)(>x f (不等式原理的其他形式.)例6 证明: 21>x 时, 1)1ln(2->+arctgx x .例7 证明: 0>x 时, !3sin 3x x x ->.3. 利用极值证明不等式: 例8 证明: 0≠x 时, x e x+>1. Ex [1]P 146—147 1—9.§5 函数的凸性与拐点（ 2时 ）一． 凸性的定义及判定：1． 凸性的定义：由直观引入. 强调曲线弯曲方向与上升方向的区别. 定义 见书P146凸性的几何意义: 曲线的弯曲方向;曲线与弦的位置关系;曲线与切线的位置关系. 引理(弦与弦斜率之间的关系)2． 利用一阶导数判断曲线的凸向 Th1 (凸的等价描述) 见书P146例1 (开区间内凸函数的左、右可导性,从而开区间内凸函数是连续的)3． 利用二阶导数判断曲线的凸向:Th2 设函数)(x f 在区间),(b a 内存在二阶导数, 则在),(b a 内 ⑴ )( ,0)(x f x f ⇒<''在),(b a 内严格上凸; ⑵ )( ,0)(x f x f ⇒>''在),(b a 内严格下凸. 证法一 ( 用Taylor 公式 ) 对),,(,21b a x x ∈∀ 设2210x x x +=, 把)(x f 在点 0x 展开成具Lagrange 型余项的Taylor 公式, 有,)(2)())(()()(201101001x x f x x x f x f x f -''+-'+=ξ 202202002)(2)())(()()(x x f x x x f x f x f -''+-'+=ξ.其中1ξ和2ξ在1x 与2x 之间. 注意到 )(0201x x x x --=-, 就有[]20222011021))(())((21)(2)()(x x f x x f x f x f x f -''+-''+=+ξξ, 于是若有⇒<'' ,0)(x f 上式中[])(2)()( ,0021x f x f x f <+⇒< , 即)(x f 严格上凸. 若有⇒>'' ,0)(x f 上式中[])(2)()( ,0021x f x f x f >+⇒> , 即)(x f 严格下凸.证法二 ( 利用Lagrange 中值定理. ) 若,0)(>''x f 则有)(x f '↗↗, 不妨设21x x <,并设2210x x x +=,分别在区间],[01x x 和],[20x x 上应用Lagrange 中值定理, 有 ))(()()( ),,(10110011x x f x f x f x x -'=-∍∈∃ξξ, ))(()()( ),,(02202202x x f x f x f x x -'=-∍∈∃ξξ.有),()( ,2122011ξξξξf f x x x '<'⇒<<<< 又由 00210>-=-x x x x ，⇒ ))((101x x f -'ξ<))((022x x f -'ξ, ⇒)()()()(0210x f x f x f x f -<-， 即 ⎪⎭⎫⎝⎛+=>+22)(2)()(21021x x f x f x f x f ， )(x f 严格下凸.可类证0)(<''x f 的情况.例2 讨论函数x x f arctan )(=的凸性区间.例3 若函数)(x f 为定义在开区间),(b a 内的可导函数,则),(0b a x ∈为)(x f 的极值点的 充要条件是0x 为)(x f 的稳定点，即.0)(0='x f4． 凸区间的分离: )(x f ''的正、负值区间分别对应函数)(x f 的下凸和上凸区间.二.曲线的拐点: 拐点的定义.Th3 (拐点的必要条件) Th4注:. 例4 讨论曲线x x f arctan )(=的拐点.Jensen 不等式: 设在区间],[b a 上恒有0)(>''x f ( 或) 0<, 则对],[b a 上的任意n 个点 )1(n k x k ≤≤, 有Jensen 不等式:∑=≥n k k x f n 1)(1( 或⎪⎭⎫⎝⎛≤∑=n k k x n f 11) ,且等号当且仅当n x x x === 21时成立.证 令∑==nk k x n x 101, 把)(k x f 表为点0x 处具二阶Lagrange 型余项的Taylor 公式，仿前述定理的证明，注意∑==-nk kx x10,0)( 即得所证.对具体的函数套用Jensen 不等式的结果,可以证明一些较复杂的不等式.这种证明不等式的方法称为Jensen 不等式法或凸函数法.具体应用时,往往还用到所选函数的严格单调性.例2 证明: 对,,R ∈∀y x 有不等式 )(212y xy x e e e+≤+. 例3 证明均值不等式: 对+∈∀R n a a a ,,,21 , 有均值不等式na a a n11121+++ n a a a a a a nn n +++≤≤ 2121 . 证 先证不等式na a a a a a nn n +++≤ 2121.取x x f ln )(=. )(x f 在) , 0 (∞+内严格上凸, 由Jensen 不等式, 有∑∑∑∑∏=====⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤==n k n k k n k k k n k k n nk k x n x n f x f n x n x 111111ln 1)(1ln 1ln .由)(x f ↗↗ ⇒ na a a a a a n n n +++≤ 2121 .对+∈R na a a 1,,1,121 用上述已证结果, 即得均值不等式的左半端. 例4 证明: 对R ∈∀n x x x ,,,21 , 有不等式nx x x n x x x nn 2222121+++≤+++ . ( 平方根平均值 ) 例5设6=++z y x ，证明 12222≥++z y x . 解 取2)(x x f =, 应用Jensen 不等式.例6 在⊿ABC 中, 求证 233sin sin sin ≤++C B A . 解 考虑函数x x x f x x x f sin . 0 , 0 sin .0 ,sin )(⇒<<-=''≤≤=ππ在 区间) , 0 (π内凹, 由Jensen 不等式, 有233sin 33)()()(3sinC sinB sinA ==⎪⎭⎫⎝⎛++≤++=++∴πC B A f C f B f A f . 233sinC sinB sinA ≤++⇒.例7 已知1 ,,,=++∈+c b a c b a R . 求证6737373333≤+++++c b a .解 考虑函数3)(x x f =, )(x f 在) , 0 (∞+内严格上凸. 由Jensen 不等式, 有≤+++++=+++++3)73()73()73(3737373333c f b f a f c b a 28)8()7(37373733===+++=⎪⎭⎫⎝⎛+++++≤f c b a f c b a f . ⇒6737373333≤+++++c b a .例8 已知 .2 , 0 , 033≤+>>βαβα 求证 2≤+βα. ( 留为作业 )(解 函数3)(x x f =在) , 0 (∞+内严格下凸. 由Jensen 不等式, 有=+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2)()(228)(33βαβαβαβαf f f ⇒=≤+ ,122233βα 2 , 8)(3≤+⇒≤+βαβα. )Ex [1]P 153 1—5.§6 函数图象的描绘（ 2时 ）微分作图的步骤: ⑴确定定义域.⑵确定奇偶性、周期性.⑶求一阶导数并分解因式,同时确定一阶导数为0的点和不存在的点. ⑷求二阶导数并分解因式,同时确定二阶导数为0的点和不存在的点.⑸将一阶、二阶导数为0的点和不存在的点作为分点插入函数的定义域，列表讨论各个区间上的单调性、凹凸性及各分点的极值、拐点. ⑹确定渐近线.⑺适当补充一些点,如与坐标轴的交点. ⑻综合以上讨论作图. 例1 描绘函数3231)(+--=x x x x f 的图象. 例2 描绘函数222)(21)(σμσπ--=x ex f (其中0,>σμ为常数)的图象.Ex [1]P 155 (1)—(8).。
第六章 微分中值定理及其应用
第六章 微分中值定理及其应用在这一章里，讨论了怎样由导数f ′的已知性质来推断函数所应具有的性质．微分中值定理正是进行这一讨论的有效工具．f 一、拉格朗日中值定理1．罗尔定理定理 设函数在区间满足：f ],[b a i）在区间上连续，f ],[b a ii）在区间上可导，f ),(b a iii），)()(b f a f =则在内至少存在一点),(b a ξ，使得0)(=′ξf ．几何意义：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端高度相同，则至少存在一条水平切线.例1 设f 为上的可导函数，证明：若方程R 0)(=′x f 没有实根，则方程至多只有一个实根.0)(=x f 2．拉格朗日定理：设函数在区间满足：f ],[b a i）在区间上连续f ],[b a ii）在区间上可导f ),(b a 则在内至少存在一点),(b a ξ，使得ab a f b f f −−=′)()()(ξ （拉格朗日公式） 注：几何意义：在满足条件的曲线上至少存在一点，曲线在该点处的切线平行于曲线端点的连线.拉格朗日公式的几种等价表示：))(()()(a b f a f b f −′=−ξ)))((()()(a b a b a f a f b f −−+′=−θ ， 10<<θh h a f a f h a f )()()(θ+′=−+ ， 10<<θ推论 （1）若函数在区间f I 上可导，且0≡′)(x f ，则为区间f I 上的常值函数.（2）若函数和f g 均在区间I 上可导，且)()(x g x f ′≡′，则在区间I 上和f g 只相差一个常数，即c x g x f +=)()(（3）导数的极限定理：设函数在点的某邻域连续，在内可导，且存在，则在可导，且 f 0x )(0x U )(0x U o )(lim 0x f x x ′→f 0x )(0x f ′＝ )(lim x f x x ′→0注：这个定理给出的是充分条件，即当)(lim x f x x ′→0不存在的时候，也可能存在．例如 )(0x f ′⎪⎩⎪⎨⎧=≠=00012x x x x y ,,sin ．但是也要注意的是如果的左右极限都存在当不相等，则一定不存在．这一点也说明了若在区间)(lim x f x x ′→0)(0x f ′f I 上可导，那么要么连续，要么只可能有第二类间断点．)(x f ′3．拉格朗日定理的一些应用：（证明不等式）例 证明对一切0,1≠−>h h ，下列不等式成立h h hh <+<+)ln(11 （根的存在及个数的估计） 例 设为多项式，)(x p α为0)(=x p 的r 重根，证明α为0)(=′x p 的1−r 重根． (利用导数的极限定理求分段函数的导数)例 求分段函数⎩⎨⎧>+≤+=0),1ln(0,sin )(2x x x x x x f 的导数．（关于函数的单调性的讨论）定理 设函数在区间f I 上可导，则在区间f I 上递增（减）的充要条件是： ))(()(00≤′≥′x f x f例 讨论的单调区间．x x x f −=3)(定理 若函数在上可导，则在上严格递增（减）的充要条件是：f ),(b a f ),(b a i)对一切，有),(b a x ∈))(()(00≤′≥′x f x fii)在内的任何子区间上),(b a 0≠′)(x f .推论 若函数在上可导，且f ),(b a 0>′)(x f (0<′)(x f )，则在上严格递f ),(b a增（减）．注：若函数在上（严格）递增（减）且在点a 右连续，则在上（严格）递增（减），对右端点的讨论类似.（利用单调性证明不等式） f ),(b a f ),[b a 例 证明，0,1≠+>x x e x )2,0(,sin 2ππ∈<<x x x x 二 、柯西中值定理和不定式的极限1．定理（柯西中值）设函数和f g 满足：1)在区间上连续，],[b a 2)在区间上都可导，),(b a 3)与不同时为0，)(x f ′)(x g ′4)，)()(b g a g ≠则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得：)()()()()()(b g a g a f b f g f −−=′′ξξ 几何意义：与拉格朗日的类似．例 设函数在()上连续,在内可导，则至少存在一点f ],[b a 0>a ),(b a ),(b a ∈ξ，使得ab f a f b f ln )()()(ξξ′=− 2．不定式的极限0型的不定式 定理 若函数和f g 满足：1) ． =→)(lim x f x x 000=→)(lim x g x x 2)在点的某空心邻域内二者都可导，且0x )(0x U o 0)(≠′x g ．3) A x g x f x x =′′→)()(lim 0(A 可为实数，也可为无穷大)． 则)()(lim0x g x f x x →＝A x g x f x x =′′→)()(lim 0 例 求xx x 21tan cos lim +→π )1ln()21(lim 2210x x e x x ++−→ x x e x −+→1lim 0∞∞型的不定式 定理 若函数和f g 满足：1) ． =→)(lim x f x x 0∞=→)(lim x g x x 02)在点的某空心邻域内二者都可导，且0x )(0x U o 0≠′)(x g ．3) A x g x f x x =′′→)()(lim 0(A 可为实数，也可为无穷大)． 则 )()(lim x g x f x x 0→＝A x g x f x x =′′→)()(lim 0 例 x x x ln lim+∞→ (αx x x ln lim +∞→，只要0>α) 3lim x e xx +∞→注：在)()(lim x g x f x x ′′→0不存在的时候，并不能说明)()(lim x g x f x x 0→不存在. 比如以下几个不能使用罗比达法则的例子：x x x x sin lim +∞→ xx x x x sin sin lim −+∞→ 其他类型的不定式极限：型 ∞⋅0x x x ln lim +→0型 ∞121x x x )(cos lim → 型 00x k x x ln )(sin lim +→+10型 0∞x x x x ln )(lim 121+++∞→型 ∞−∞)ln 111(lim 1xx x −−→ 对于数列的极限也可以用罗比达法则来求．例 n n n n )(lim 2111+++∞→ → x x xx )(lim 2111+++∞→ 三、泰勒公式多项式是各种函数中最简单的一种，本节是考虑如何用多项式去逼近函数，因此是近似计算的重要内容.1.带有皮亚诺型余项的泰勒公式考察下列多项式n n n x x a x x a x x a a x p )()()()(0202010−++−+−+=L则不难发现，)(00x p a n =!)(101x p a n ′=， !2)("01x p a n = ，… , !)()(n x p a n n n 0= 那么对于一般函数，设它在点具有直到阶的导数，由这些导数可以构造一个多项式f 0x n n n n x x n x f x x x f x x x f x f x T )(!)()(!)()(!)()()()(0020000021−++−′′+−′+=L 称其为在的泰勒多项式，系数为泰勒系数．不难发现f 0x )()()()(00x T x f k n k = ),,,(n k L 10=定理 函数在点存在直到阶的导数，则有，即f 0x n ))(()()(n n x x o x T x f 0−+=n n x x n x f x x x f x x x f x f x f )(!)()(!)()(!)()()()(0020000021−++−′′+−′+=L ……… 带有皮亚诺型余项的泰勒公式))((n x x o 0−+当时,称00=x )(!)(!)(!)()()()(n n n x o x n f x f x f f x f +++′′+′+=0201002L 为带有皮 亚诺型余项的麦克劳林公式．以下是几个常用函数的麦克劳林公式：)(!!n n x x o x n x x e +++++=12112L )()!()(!!sin !222531215131++++−+++−=m m m x o x m x x x x L)()!()(!!cos 122422141211++−+++−=m m mx o x m x x x L )()()ln(n n n x o x n x x x x +−+++−=+−132131211L )(n n x o x x x x+++++=−L 2111 利用上述麦克劳林公式，可间接求得一些函数的麦克劳林公式或泰勒公式以及求某种类型的函数极限．例 写出22x e x f −=)(的麦克劳林公式，并求，．)()(098f )()(099f 例 求在处的泰勒公式．x ln 2=x 例 求4202x e x x x −→−cos lim ． 2.带有拉格朗日型余项的泰勒公式 定理 若函数f 在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶的导数，则对任给的，至少存在一点],[b a n ),(b a 1+n ],[,b a x x ∈0),(b a ∈ξ，使得n n x x n x f x x x f x x x f x f x f )(!)()(!)()(!)()()()(0020000021−++−′′+−′+=L 1011++−++n n x x n f )()!()()(ξ ………………带有拉格朗日型余项的泰勒公式 当时,称00=x n n x n f x f x f f x f !)(!)(!)()()()(0201002++′′+′+=L 111++++n n x n x f )!()()(θ 为带有拉格朗日型余项的泰勒公式.1211211+++++++=n xn xx n e x n x x e )!(!!θL 3212533211215131++++−++−+++−=m m m m x m x x m x x x x )!(cos )()!()(!!sin !θL 2212422212141211+++−+−+++−=m m m mx m x x m x x x )!(cos )()!()(!!cos θL 11132111131211++−++−+−+++−=+n n n n n x x n x n x x x x ))(()()()ln(θL12211111++−+++++=−n n n x x x x x x )(θL 3．在近似计算中的应用例 计算e 的值，使其误差不超过，并且证明e 为无理数．610−例 用泰勒多项式逼近正弦函数，要求误差不超过，试以一次和二次的多项式逼近，分别讨论x sin 310−x 的范围． 四、函数的极值与最大（小）值1.极值的判别函数的极值是函数局部的又一性质．定理（极值的第一充分条件） 设在点连续，在某内可导． f 0x )(0x U o i) 若当),(00x x x δ−∈时0≤′)(x f ，当),(δ+∈00x x x 时0≥′)(x f ，则在点取得极小值.f 0x ii) 若当),(00x x x δ−∈时0≥′)(x f ，当),(δ+∈00x x x 时0≤′)(x f ，则在点取得极大值.f 0x 例 求3252x x x f )()(−=的极值点与极值定理（极值的第二充分条件） 设在某内一阶可导，在处二阶可导，且，，f );(δ0x U o 0x x =00=′)(x f 00≠′′)(x f i)若，则在点取得极大值.00<′′)(x f f 0x ii）若，则在点取得极小值.00>′′)(x f f 0x 例 求xx x f 4322+=)( 的极值与极值点 定理（极值的第三充分条件） 设在某内存在直到阶导函数，在处阶可导，且 f );(δ0x U o 1−n 0x n 00=)()(x f k ),,,121−=n k L ，，则 00≠)()(x f n i)当为偶数时，在点取得极值，且当时取极大值，时取极小值．n f 0x 00>)()(x f n 00<)()(x f n ii) 当为奇数时，在点不取得极值．n f 0x例 试求函数的极值.（可以利用第一充分和第三充分条件）)()(4−=x x x f 12．最大值与最小值若函数在上连续，则在上连续上一定有最大，最小值.我们只要比较在所有稳定点，不可导点和区间端点上的函数值，就能从中找到在上的最大，最小值．f ],[b a f ],[b a f f ],[b a 例 求函数x x x x f 129223+−=)(在],[2541−上的最大与最小值. 例 设f 在区间I 上连续，并且在I 上仅有唯一的极值点，证明：若是的极大（小）值点，则必是在0x 0x f 0x f I 上的最大（小）值. 五、函数的凸性与拐点根据函数图像的特点研究函数的凸凹性．1.定义 设f 为定义在区间I 上的函数，若对I 上的任意两点和任意实数21x x ,),(10∈λ总有)()()())((212111x f x f x x f λλλλ−+≤−+则称为f I 上的凸函数.反之，如果总有)()()())((212111x f x f x x f λλλλ−+≥−+则称为f I 上的凹函数.通过图形来解释．引理 为f I 上的凸函数的充要条件是：对于I 上的任意三点，总有 321x x x <<≤−−1212x x x f x f )()(2323x x x f x f −−)()( 还可以证明≤−−1212x x x f x f )()(≤−−1313x x x f x f )()(2323x x x f x f −−)()( 定理 设f 为区间I 上的可导函数，则下述结论等价：1) 为区间f I 上的凸函数2)f 为′I 上的增函数3)对I 上的任意两点，有21x x , ))(()()(12112x x x f x f x f −′+≥(结论3的几何意义是：可导的凸函数其切线总在曲线的下方．)定理 设f 为区间I 上的二阶可导函数，则在I 上为凸函数的充要条件是：.f 0>′′)(x f 例 讨论函数的凸凹区间.x x f arctan )(=例 证明若函数为定义在内的可导的凸（凹）函数，则为的极小（大）值点的充要条件是为的稳定点，即f ),(b a 0x ),(b a ∈f 0x f 00=′)(x f .（说明：尽管可导的极值点未必是稳定点.但为可导的凸（凹）函数时，则极值点必为稳定点） f 例（Jesson 不等式） 若为上的凸函数，则对任意f ],[b a ],[b a x i ∈，0>i λ，),,,,(n i L 21=11=∑=ni i λ，有)()(i ni i n i i i x f x f ∑∑==≤11λλ例 设为区间f I 内的凸（凹）函数，证明在f I 内任一点都都存在左右导数.0x 2.拐点设曲线在点处有穿过曲线的切线，且在切点近旁，曲线在切线的两侧分别是严格凸和严格凹的，这时称点为曲线的拐点.)(x f y =))(,(00x f x ))(,(00x f x )(x f y =定理 若f 在点二阶可导，则为曲线0x ))(,(00x f x )(x f y =的拐点的必要条件是 00=′′)(x f .定理 设f 在点可导，在某邻域内二阶可导.若在和上的符号相反，则为曲线0x );(δ0x U o )(0x U o +)(0x U o −f ′′))(,(00x f x )(x f y =的拐点.。
数学分析》第六章微分中值定理及其应用(3)
f(x)1 4 0
-0.05 -0.075
(2k1)
2
当
x
1 2k
时，
f(x)10
0.05
0.1
注意 k可以任意大，故在 x0 0点的任何邻 域内，f (x) 都不单调递增．
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13
练习题
一、填空题： 1、函数y 2x3 6x2 18x 7单调区间为________ _____________. 2、函数y 2x 在区间[-1,1]上单调________， 1 x2 在_________上单调减. 3、函数y x2 lnx2的单调区间为____________， 单减区间为_____________.
2
2
f ( x ) 0 ， f ( x ) 单 增 ； 方 法 （ 2 ） f ( x ) 0 ，
利用泰勒公式]
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15
练习题答案
一 、 1 、 ( , 1 ], [ 3 , ) 单 调 增 加 ,[ 1 ,3 ] 单 调 减 少 ； 2 、 增 加 , ( , 1 ], [1 , ) 3 、 ( , 1 ] ,[1 , ) ； [ 1 ,0 ), ( 0 ,1 ]; ( , 1 ], ( 0 ,1 ] .
函数单调减少；
在(0, )内 , y 0, 函数单调增.加
注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
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5
单调区间求法
问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在各个部分区间上单调．
定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的， 则该区间称为函数的单调区间.
解 D:(, ) .
数学《微分中值定理及其应用》讲义
第六章微分中值定理及其应用1. 教学框架与内容教学目标①掌握罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，会用导数判别函数的单调性．②了解柯西中值定理，掌握用洛必达法则求不定式极限．③理解带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式．④掌握函数的极值与最大(小)值的概念．⑤掌握函数的凸性与拐点的概念，应用函数的凸性证明不等式．⑥掌握函数图象的大致描绘．教学内容①罗尔中值定理；拉格朗日中值定理；用导数判别函数的单调性.②柯西中值定理；洛必达法则求各种不定式极限．③带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式及其在近似计算中的应用．④函数的极值的第一、二充分条件; 求闭区间上连续函数的最值及其应用．⑤函数的凸性与拐点的概念，应用函数的凸性证明不等式; 左、右导数的存在与连续的关系.⑥根据函数的性态表以及函数的单调区间、凸区间，大致描绘直角坐标系下显式函数图象.2. 重点和难点①中值定理证明中辅助函数的构造.②洛必达法则定理的证明.③带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式的证明.④函数的极值的第三充分条件.⑤运用詹森不等式证明或构造不等式.⑥参数形式的函数图象.3. 研究性学习选题● 如何运用中值定理对一些习题整理归类，思考中值定理的应用技巧(构造函数).● 利用导数证明不等式总结利用导数证明不等式的方法.● 不定式极限回顾总结求函数极限的方法.● 运用泰勒公式求极限，等价无穷小的代换问题.总结常见函数的泰勒公式,举例说明其在求不定式极限中的应用, 分析等价无穷小的代换问题.● 凸函数性质研究总结凸函数的性质.4. 综合性选题，写小论文★如何构造辅助函数.5. 评价方法◎课后作业，计30分.◎研究性学习布置的五个选题(选最好的两个计分)合计30分.◎小论文计10分.◎小测验计30分§1 中值定理和函数的单调性在这一章，我们主要由导函数f '的性质来推断函数f 本身的性质(主要研究f 的单调性，凸凹性，图像等) 而微分中值定理是我们研究的主要工具(微分中值定理主要包括Rolle 中值定理，Lagrange 中值定理，Cauchy 中值定理及Taylor 公式) 我们首先介绍Rolle 中值定理. 一、中值定理 1．Rolle 中值定理定理 (Rolle ) 设函数f 满足下列条件: 1) f 在闭区间[,]a b 上连续; 2) f 在开区间(,)a b 上可导; 3) ()()f a f b =,则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=.Rolle 中值定理的几何意义：在每一点都可导的连续曲线上，如果两端点的高度相同，则该曲线至少存在一条水平切线.注1 Rolle 定理的条件仅充分而不必要且缺一不可. (作图说明)例1 证明: 10x x ++=3只有一个实根且在(1,0)-中. 2．Lagrange 中值定理定理 (Lagrange ) 设函数f 满足下列条件：1) f 在闭区间[,]a b 上连续; 2) f 在开区间(,)a b 上可导, 则在(,)a b 内至少∃一点ξ，使得()()()f b f a f b aξ-'=-.几何意义 在满足定理条件的曲线()y f x =至少存在一点(())P f ξξ，, 使得 曲线在该点处的切线平行于曲线端点的连线.注 2 中值点(,)a b ξ∈对ξ的不同表示有不同形式的Lagrange 公式a) ()()()()f b f a f b a ζ'-=-, (,)a b ξ∈; b) ()()(())()f b f a f a b a b a θ'-+--＝, 01θ<<; c) ()()()f a h f a f a h h θ'+-=+, 01θ<<.推论1 若函数f 在区间I 上可导，且()0f x '≡，x I ∈, 则f 在I 上恒为常数.推论 2 设f ,g 在区间I 上均可导, 且()()f x g x ''≡, x I ∈则存在常数c , 使得()()f x g x c =+，x I ∈.推论3 设f 在区间I 上可导，且()f x M '≤，则任何12x x I ∈，,1212()()f x f x M x x -≤-从而导函数有界的函数必一致连续 (Lipschitz 连续).推论4 (导数极限定理) 设f 在0x 点某邻域0()U x ＋内连续，在00()U x ＋内可导， 且极限00lim ()(0)x x f x f x +→''=+存在，则f 在0x 右可导，且 000()lim ()(0)x x f x f x f x ++→'''+＝＝对左导数有类似的结论，事实上，我们有下面的定理.定理 设函数f 在0x 的某邻域0()U x 内连续，在0()U x ︒可导，若极限0lim ()x x f x →'存在，则0()f x '存在且00()lim ()x x f x f x →''=.注 3 由导数极限定理与导数具有介值性(Darboux 定理)知, 若函数f 在区间I 上可导，则在区间I 上的每一点，要么是()f x '的连续点，要么是'f 的第二间断点，即导函数不可能有第一类间断点.推论5 若f 在[,]a b 上可导，且f '单调，则f '必连续. (导数极限定理适用于求分段函数的导数) 例2 求分段函数()f x 的导数. [说明定理的作用]sin ,()ln(1),x x x f x x x ≤⎧+=⎨>+⎩２0,0,注4 对推论5，当0(0)f x '+不存在时，未必有0()f x '不存在.例3 设sin , () 0,x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩２１0,0,求(00)f '+，(0)f '.3. Cauchy 中值定理定理 (Cauchy ) 设函数f 和g 满足1) 在[,]a b 上连续; 2) 在(,)a b 上可导; 3) ()f x '和()g x '不同时为零; 4) ()()g a g b ≠,则存在(,)a b ξ∈，使得()()()()()()f f b f ag g b g a ξξ'-='- 几何意义证明 (先给一个错误证明)(如何构造函数?)一般的中值定理 设f ,g [,]a b R →连续且(,)a b 内可导，则存在(,)a b ξ∈, 使得[()()]()()[()()]f b f a g f g b g a ξξ''-=-.注5 上式不过是Cauchy 定理形式上的变形，但条件更简单，因而更具一般性. 例 4 考察2()f x x =，3()g x x =，[1,1]x ∈-相应的中值形式.二、中值定理的应用1. 证明中值点的存在--------关键构造函数例5 1) 设f 在闭区间[,]a b (0)a >上连续,(,)a b 内可导, 则存在(,)a b ξ∈, 使得()()ln()()bf b f a f aξξ'-=⋅⋅.2) 对函数()f x x =２确定()()()f x h f x h f x h θ'+-=⋅+中的θ, 1()2θ=.例6 设函数f 在闭区间[,]a b 上连续，(,)a b 上可导, 且()()0f a f b ==，试证明:存在(,)a b ξ∈使()()0f f ξξ' +=. (多种变形)2. 证明恒等式 (原理: 证明其导数为0，再任取一特殊值) 例7 证明: 对任何x R ∈，arctan arccot x x π+=2.例8 设f ,g 可导且()f x ≠0，又()()0()'()f xg x f x g x='，则存在常数c , 使得()()g x c f x =⋅. (若条件改作()()()()0f x g x f x g x ''+=，则结论应为?)例9 设函数f 对任何,x h R ∈，2()()f x h f x Mh +-≤，0M >为常数，则f 为常值函数.3. 证明不等式 (利用中值定理，估计中值或(0,1)θ∈) 例10 证明0h >时，2arctan 1hh h h <<+例11 (Bernoulli 不等式) 对1x >-有 1) (1)1p x px +≥+，若0p ≤或1p ≥; 2) (1)1p x px +≥+，若0p ≤≤1; 等号当且仅当0p =或1p =或0x =成立.4. 证明方程根的存在性 [注意利用连续函数介值性与导数中值定理的区别] 例12 证明: 方程sin cos 0x x x +⋅=在(0,)π内有实根.例13 证明: 方程32432+ax bx cx a b c ++=+在(0,1)内有实根.5. 研究函数的单调定理 设f 在区间I 上可导，则f 在I 上递增(减)⇔()()00f x x '≥≤，x I ∈.定理 设f 在(,)a b 上可导，则f 在(,)a b 内单调严格递增(减)⇔ 1) (,)x a b ∀∈，()()00f x '≥≤2) f 在(,)a b 的任何区间上()0f x '≡推论 6 若f 在区间I 上可导, ()()00f x '><，则f 在I 上严格递增(减)推论 7 若f 在区间I 上可导，则f 在f '的相邻零点之间必严格单调. (说明多项式函数必有有限个单调区间)例14 设()f x x x =-３，求f 的单调区间.例15 证明: 1) 1x x >+e ，()0x ≠;2) ()()22ln 1221x x x x x x -<+<-+. 0x >.例16 利用函数单调性，重证Bernoulli 不等式(利用()f x '')例17 证明: 0x >时，sin x x x >-33!.练习 1) x >１2时，2ln(1)arctan 1x x +>-.2) tan (0)sin 2x x x x x π<<<.习 题1. 用中值定理证明sin sin x y x y -≤-，,x y R ∀∈.2. 若f 在[,]a b 上可导，且'()f x m ≥，则()()()f x f a m x a ≥+- [,]x a b ∀∈3. 证明：函数()f x 在1(0,)π上存在ξ，使得'()0f ξ=，其中11sin 0()0x x f x xx π⎧⋅<≤⎪=⎨⎪=⎩4. 求函数2()3f x x x =-的单调区间.5. 证明: 若函数g f ,在区间],[b a 上可导,且)()(),()(a g a f x g x f ='>', 则在],(b a 内有)()(x g x f >.6. 应用函数的单调性证明下列不等式:1) )3,0(,3tan 3π∈->x x x x ;2)2sin xx x π<< (0,)2x π∈.3) 0,)1(2)1ln(222>+-<+<-x x x x x x x . 7. 设f 在[,]a b 上二阶可导，且()()0f a f b ==，且存在点(,)c a b ∈使得()0f c >， 证明: 至少存在一点(,)a b ξ∈使得"()0f ξ<.8. 设f 在[,]a b 上n 阶可导，若f 在[,]a b 上有1n +个零点，求证：()n f 在[,]a b 上 至少有一个零点.9. 试问函数32)(,)(x x g x x f ==在区间]1,1[-上能否应用Cauchy 中值定理得到 相应的结论, 为什么?10. 设函数f 在点a 处具有连续的二阶导数, 证明: )()(2)()(lim2a f ha f h a f h a f h ''=--++→. 11. 设函数f 在点a 的某个领域具有二阶导数, 证明: 对充分小的h ，存在θ，10<<θ，使得2)()()(2)()(2h a f h a f h a f h a f h a f θθ-''++''=--++. 12. 若f 在[,]a b 上可微，则存在(,)a b ξ∈, 使得22'2[()()]()()f b f a b a f ξξ-=-.13. 设f 在[,]a b 上连续, (,)a b 上可导,且()()0f a f b ==,证明:对任何R λ∈, 存在c R ∈,使得 '()()f c f c λ=.14. 设f 在R 上可导,且x R ∀∈,'()1f x ≠, 证明: 方程()f x x =至多有一个根. 15． 设)(x p 为多项式, a 为0)(=x p 的r 重实根. 证明: a 必定是函数)(x p '的1-r 重实根.16． 设0,>b a .证明方程b ax x ++3=0不存在正根. 17． 证明:x x x x sin tan >,)2,0(π∈x .§2 未定型极限未定型(不定式)00 ∞∞(∞⋅∞∞-∞∞000，，0，1，等) 以导数为工具研究上述未定型极限，该方法称为'L Hospital 法则一、0型未定型极限定理 ('L Hospital ) 若函数f 和g 满足1) 0lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==; 2) 在0x 的某去心邻域0()U x ︒都可导且()g x '≠0;3) 0()lim()x x f x A g x →'='()A R A ∈=±∞∞，，,则 00()()limlim ()()x x x x f x f x A g x g x →→'=='. 例1 1) 0sin lim x xx→ 2) 132lim 1x x x x x x →-+--+33２3) lim (arctan )x x x π→+∞-2 4) 21cos lim cos tan x xx xπ→++5) 0lim x +→ 6) 012limln(1)xx e x x →-++１2２()7) 20ln(1sin 4)lim arcsin x x x x →++() 8) 02lim sin x x x e e x x x-→---注1 1) 在定理中，0x x →可改作0x x x x →→±∞→∞+，，等2) 若f g ''，或f g ''''，满足定理条件，可多次应用L 法则 3) 'L Hospital 条件仅是充分的，而不必要，即()lim()x x f x g x →''不存在0()lim ()x x f x g x →⇒不存在.例2 1) cos lim x x x x →∞+ 2) 0sinlim sin x x x x →⋅２１二、∞∞型未定型极限 定理 ('L Hospital ) 若函数f 和g 满足 1) 0lim ()() (lim ())x x x x g x f x →→=+∞-∞未必为无穷;2) 若0x 的某右去心邻域0()U x ︒内f ，g 都可导且()g x '≠0;3) 0()lim()x x f x A g x →'='()A A =±∞∞可看作实数或，, 则 00()()limlim ()()x x x x f x f x A g x g x →→'=='. 例3 1) ln lim x xx→+∞ 2) lim x x x e →+∞３----------回顾阶的比较3) 0ln(sin )limln(sin )x ax bx → 4) 2tan lim tan 3x xx π→三、其他未定型极限 1. 0⋅∞型 000∞⋅∞==∞ 例4 1) 0lim ln x x x +→ 2) 01limcot ln 1x xx x→+⋅-.2．∞-∞型 110000∞-∞=-= 例5 1) 011lim()sin x x x →- 2) 11lim()-1ln x x x x→-.3. 00型 0ln 00ln 000ee e ⋅⋅∞===例6 1) 0lim xx x +→ 2) 1ln 0lim sin kxx x ++→.4．1∞型ln1ln101ee e ∞∞∞⋅∞⋅===例7 1) 111lim xx x -→ 2) ()21lim cos x x x →.5: 0∞型ln 0ln 0ee e ∞⋅∞⋅∞∞===.例8 1) ln lim ()xx x →+∞１ 2) ln 0lim(cot )xx x +→１.练习 P 133 5.例9 设()()0x g x f x xx ≠⎧⎪=⎨⎪=⎩00, 已知(0)(0)0g g '==，(0)g ''=3，试求(0)f '.例10 证明2()x f x x e -=3为R 上的有界函数.习 题1. 求下列未定型极限1) 01lim sin x x e x →- 2) 612sin lim cos3x xx π→-3) 0ln(1)lim1cos x x x x →+-- 4) 0tan lim sin x x xx x→--5) 011lim()1x x x e →-- 6) 111lim xx x -→7) sin 0lim(tan )x x x → 8) 22011lim()sin x x x→- 2. 考虑下列极限应用'L Hospital 法则的可能性.1) lim x →+∞ 2) sin lim sin x x xx x →∞-+3. 计算1) 0ln(1)lim ln(1)x x x x x →-++ 2) 211000lim x x e x -→3) 30tan sin limx x x x →- 4) 201cot lim x x xx →⎛⎫- ⎪⎝⎭ 5) ln lim(ln )xx x x x →+∞ 6) 10(1)lim xx x e x→+-7) 20()lim x x x a x a x →+- 8) 10lim()x xx x e →+9) 1110lim (,,0)xx xnn x a a a a n →⎛⎫++> ⎪⎝⎭4. 教材1337P .5. 证明: 2()ln(1)/f x x x =+在(1,)+∞上有界.§3 Taylor 公式多项式函数是一种简单的函数，因而对任一函数，我们考察是否存在相应的多项式去逼近该函数. 在讨论这个问题之前，我们还是应先讨论一下多项式函数本身的性质.设012()...()n n n P x a a x a x a x a ++++≠２ｎ＝0, 易见0(0)n a P =，1(0)n a P '=，……，()(0)!n nn P a n ＝自然对于一般的函数f , 假设它在0x 处有直到n 阶的导数，由这些导数构成了一个新的多项式，记为：()00000()()()()()()!n n n f x T x f x f x x x x x n '= +- +...+-此时n T 与f 有何类的性质？00()()k k n T x f x =()() k n ≤≤(0)因而我们说()n T x 与f 在某种意义下“很接近” , 称()n T x 为f 在0x 处的Taylor多项式,而()n T x 的系数()0()!k f x k 称为Taylor 系数，记()()()n n R x f x T x =-称为余项. 我们将证明0()n n R x x x =-o(())，这实际就是带Peano 余项的Taylor 展式.一、带Peano 余项的Taylor 公式——误差的定性刻画定理 若函数f 在0x 处存在直至n 阶导数，则有0()()n n f x T x x x =+-o(())即()200000000()()()()()()()()!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n '''=+-+-++-+-...o(())2!.上述公式我们就称为f 在0x 处的Taylor 公式, ()()()n n R x f x T x =-称为Taylor 公式的余项，形如0n o x x -(())的余项称为带Peano 余项的Taylor 公式.注 1 00x =时，称()2(0)(0)()(0)(0)!n nn f f f x f f x x x x n '''=+++++...o()2!为带Peano 余项的Maclaurin 公式. 例1 验证下列Maclaurin 公式.1) 1!nxn x x e x o x n =+++++２...()2!2) ()11sin 1 (1)(1)!m m m x x x x o x m --=-+++-+-35223!5!2 3) 1cos 1...(1)(2)!m m m x x x x o x m +=-+++-+２４22()2!4! 4) 1ln(1)1...(1)nn n x x x x o x n-+=-+++-+２３()23 5)11n n x x x o x x=+++++-２1...() 6) (1)(1)1(1)1!n n n x x x x o x n ααααααα--⋅⋅⋅-++=+++++２()...()2!1(1)(23)!!1(2)!!n nn n x x x o x n ---=+++++２11!!...()24!! 二、带Lagrange 型余项的Taylor 公式——误差的定量刻画定理 若函数f 在[,]a b 上存在直到n 阶的连续导函数，在(,)a b 内存在1n +阶导函数，则对任何0[,]x x a b ∈，至少存在一点(,)a b ξ∈使得()20000000()()()()()()()()!n nf x f x f x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-...2!(1)10()()(1)!n n f x x n ξ+++-+称为Lagrange 型余项，故上式又称为带有Lagrange 型余项的Taylor 公式，而00x =时，()(1)21(0)(0)()()(0)(0)!(1)!n n n n f f f x f x f f x x x x n n θ++'''=++++++...2! (0,1)θ∈ 称为(带Lagrange 型余项的) Maclaurin 公式. 例 2 将例1中的公式改为带Lagrange 型余项的Maclaurin 公式1) 11!1n xxn x x e e x x n n θ+=++++++２...2!()!, 01θ<<，(,)x ∈-∞+∞ 2) 1121cos sin 1...(1)(1)(1)!(21)!m m m m x x x x x xm m θ--+=-+++-+--+3523!5!2 01θ<<，(,)x ∈-∞+∞3) 122cos cos 1...(1)(1)(2)!(22)!mm m m x x x x x x m m θ++=-+++-+-+２４22!4! 01θ<<，(,)x ∈-∞+∞4) 111ln(1)1...(1)(1)(1)(1)nn n nn x x x x x n n x θ+-++=-+++-+-++２３23 01θ<<，(,)x ∈-∞+∞5) 1111(1)n nn x x x x x x θ++=+++++--２1... 01θ<<，(,)x ∈-∞+∞ 6) (1)(1)1(1)1!n n x x x x n ααααααα--⋅⋅⋅-++=++++２()...2!11(1)(1)(1)!n n n x x n ααααθ--+-⋅⋅⋅-+++()01θ<<，(,)x ∈-∞+∞三、函数的Taylor 公式(Maclaurin 公式) 1. 直接展开(例1,例2)例3 将tan y x =展到含5x 的具Peano 余项的Maclaurin 公式2. 间接展开 利用已知的展开式施行代数运算或变量代换,求得新的展开式. 例4 1) 分别求2sin x ，22x e -具Peano 余项的Maclaurin 展式;2) 求2cos x 的具Peano 余项的Maclaurin 展式; 3) 求35x+1在0x =处具Peano 余项的Maclaurin 展式;4) 分别求23x x --21在0x =处具Peano 余项的Maclaurin 展式;在1x =处具Peano 余项的Taylor 展式;5) 求2x x -２1+3在1x =处具Peano 余项的Taylor 展式.四．Taylor 公式的应用举例 1. 利用Taylor 公式求极限例5 1) 2240cos lim x x x e x -→-.2) 02lim x x x a a x-→+-２.3) 21lim[ln(1)]x x x x →∞-+.2. 利用Taylor 公式求高阶导数值例6 设22()x f x e -=，求98(0)f ，99(0)f .3. 计算函数的近似值例7 证明: e 为无理数，并求e 精确到610-的近似值.4. 利用展式证明不等式例8 若函数f 在区间[,]a b 上恒有()0f x ''≥，则对(,)a b 内任何两点12,x x 都有1212()()()2f x f x x xf ++≥2例9 设函数f 在[,]a b 上二阶可导，()()0f a f b ''==，证明: 存在一点(,)a b ξ∈使得 2()()()()f f b f a b a ξ''≥--4.例10 当[0,2]x ∈时，() ()f x f x ''≤≤1，1, 证明: |'()| 2.f x ≤5. 中值点的存在性及其性质例11 设f 在[,]a b 上三阶可导，证明: 存在(,)a b ξ∈, 使得3()()()[()()]()()2f b f a b a f a f b b a f ξ'''''=+-+--１１12例12 证明：若函数f 在点a 处二阶可导，且()f a ''≠0，则对Lagrange 公式()()()f a h f a f a h h θ'+-=+⋅ 01θ<<中的θ，有0lim h θ→=12.练习 证明：若0x >，则存在11()[,]42x θ∈, 使得=;2. 01lim ()4x x θ→=，1lim ()2x x θ→+∞=.习 题一、给出下列函数带Peano 型余项的Maclaurin 公式.1. ()f x =2. arctan x 到含5x 的项3.()tan f x x =到含5x 的项4. 2()sin f x x =5. ln(2)x +6. ln(1)x e x +到3x 的项 二、利用Taylor 公式求下列函数极限1. 30sin (1)lim x x e x x x x →-+2. 201cot lim x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭ 3. 21lim[ln(1)]x x x x→∞-+4. 20lim sin x x e x x x →+-5. 74lim x x →+∞三、求下列函数在指定点处的带Lagrange 型余项的Taylor 公式 1. ln(1)x +在1x =处 2.2123x x --在2x =处 3.sin x 在4x π=处四、求下列极限1. 12ln(1)1lim(1)x x x --→- 2. 20ln(1)lim x x xe x x→-+ 3. 201sinlimsin x x x x→⋅ 4. sin lim sin x x x x x →+∞-+ 五、设函数f 在[0,]a 上具有二阶导数,且"()f x M ≤,f 在(0,)a 内取最大值,求证 ''(0)()f f a Ma +≤. 六、设f 在[,]a b 上二阶可导, ''()()0f a f b ==. 证明:'2[,]4sup ()()()()x a b f x f b f a b a ∈≥--.§4 函数的极值与最值一、极值判别1.可微极值的必要条件----Fermat 定理定理 (Fermat ) 若f 在0x 可导，且0x 为f 的极值点，则0()0f x '=. (可导的极值点必为驻点) . 可疑极值点: 驻点，不可导点. 2. 极值点的充分条件定理 (极值的第一充分条件) 设f 在0x 连续，在其去心邻域0(,)U x δ︒内可导 若 1) 当00(,)x x x δ∈-，()f x '≤0，而00(,)x x x δ∈+时，()f x '≥0; 2) 当00(,)x x x δ∈-，()f x '≥0，而00(,)x x x δ∈+时，()f x '≤0; [1)，2)说明f '在0x 两侧异号时] 则f 在0x 处取得极值. 若f '在0x 两侧不异号时，则f 在0x 处不能取得极值. 注 在上述定理条件中未假设f 在0x 处可导.⎡⎤⎣⎦分析引入第二充分条件 当f 在0x 不仅可导而且是二阶可导时，我们有 定理 (极值的第二充分条件) 设f 在0x 的某邻域0U x δ(,)内一阶可导，在0x x = 处二阶可导，且00()0,()f x f x '''=≠0, 则 1) 若0()0f x ''<，则f 在0x 处取得极大值; 2) 若0()0f x ''>，则f 在0x 处取得极小值.[()]f x x =2利用去记忆例1 求()(2f x x =-的极值点与极值.例2 求()f x x x=+２432的极值与极值点.第二充分条件中0()0f x '=，0()f x ''≠0，若0()f x ''还等于0怎么办? 则我们可考察更高阶导数，一般地, 我们有定理 (极值的第三充分条件) 设f 在0x 的某邻域内存在直到1n -阶导数，而在0x 处存在n 阶导数(n 阶可导) 且0()0k f x =，1,2,...,1k n =-, ()0()0n f x ≠, 则1) 当n 为奇数时，f 在0x 不能取得极值;2) 当n 为偶数时，f 在0x 处取得极值且当()0()0n f x <时，取得极大值; 而()0()0n f x >时, 取得极小值. 例3 求3()(1)f x x x =-4的极值.注 上述三个定理均为极值的充分条件，而非必要.例4 1) ,,()0,0,x x e f x x -⎧≠⎪=⎨=⎪⎩2１0在0x =处取得极小值，而()(0)0n f = ()n N ∀∈.2) 2,sin ,(),,x x f x xx ⎧≠⋅⎪=⎨=⎪⎩4１000在0x =处取得极小值，考察f 在0x =是否满足第一第二充分条件.二、函数的最值最值与极值的区别与联系，整体与局部，最值点(,)a b ∈，则最值点必为相应的极值点，所以可能的最值点为端点，极值点，进一步设f 在闭区间[,]a b 上连续，且仅有有限个可疑极值点12,(,)n x x x a b ∈,..., 则 {}1[,]max ()max (),(),(),...,()n x a b f x f a f b f x f x ∈=;{}1[,]min ()min (),(),(),...,()n x a b f x f a f b f x f x ∈=.注 1) 由最值性定理，闭区间上的连续函数必有最大最小值.2) 上述结论中可疑点为导数不存在及导数为0的点，而无需判断 它们是否真的是极值点.例5 ()2912f x x x x =-+32在闭区间15[,]42-上的最大值与最小值.函数最值的几种特例 1) 单调函数的最值;2) 如果函数f 在区间[,]a b 上连续，且仅有唯一的极值点. 则若0x 是f 的 极大(小) 值点，则0x 必是()f x 在[,]a b 上的最大(小) 值点. (反证) 3) 如果函数f 在区间[,]a b 上可导，且仅有一个驻点0x ，则结论与2)同. 4) 对某具有实际意义的函数，可常用实际判断确定函数的最大(小)值.例6 设,A B两村距输电线分别为1km，1.5km，CD长为3km，现两村合用一变压器供电，问变压器设在何处使输电线总长AE BE最短.例7 如图所示，剪去正方形四角同样大小的正方形后制成一个无盖盒子，问剪去小方块的边长为何值时使盒子的容积最大？例8 [无盖水箱的例子]习 题1. 求下列函数的极值:1) 212)(x x x f +=; 2) )1ln(21arctan )(2x x x f +-= 2. 求函数543551y x x x =-++在[1,2]-上的最值与极值.3. 求函数242(1)()1x x f x x x +=-+的极值.4． 设421sin ,0,()0,0,x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 1) 证明:0=x 是极小值点;2) 说明f 的极小值0=x 处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件. 5． 设)(x f 在区间I 上连续,并且在I 上仅有唯一的极限值0x , 证明: 若0x 是f 的 极大(小)值点, 则0x 必是)(x f 在I 上的最大(小)值点.6．有一个无盖的圆柱形容器,当给定体积为V 时,要使容器的表面积为最小, 问底的半径与容器高的比例应该怎样?§5 函数的凸性, 拐点, Jensen 不等式一、凸性定义及判定 1. 凸函数定义(由直观引入，强调曲线弯曲方向与上升方向以2y x =，y =) 定义 设f 为定义在区间I 上的函数，若对I 上的任意两点,x x １2和任意实数(0,1)λ∈，总有22((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-11,则称f 为I 上的凸函数. 反之若总有22((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≥+-11,则称f 为I 上的凹函数. 如果上两式中的不等式均为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数. 易见f 为I 上的凸函数⇔f -为I 上的凹函数 几何意义(凸函数) 曲线上任两点的连线(线段) 总在区间的上方. (引出割线斜率) 2. 凸函数性质与判定引理 f 为区间I 上的凸函数⇔对I 上任意三点123x x x <<总有32212132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤--注 同理可证 f 为I 上的凸函数⇔对区间I 上任意三点123x x x <<有313221213132()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x ---≤≤---割线的极限 → 切线↓ ↓割线斜率递增 → 切线斜率应该为递增定理 设f 为区间I 上的可导函数，则下列命题等价 1) f 为I 上的凸函数(严格凸函数); 2) f '为I 上的增函数(严格增函数);3) 对I 上的任两点12,x x ，有21121()()()()f x f x f x x x '≥+-，12,x x I ∈,(21121()()()()f x f x f x x x '>+-, 12,x x I ∈, 12x x ≠) .注 由定理可见凸函数的几何意义1) 曲线上任两点的割线在曲线的上方(定义) ; 2) 切线的斜率(割线的斜率) 递增; 3) 曲线在其上任一点处切线的上方.推论 1) 设f 为I 上的二阶可导函数，则f 为凸函数⇔()0f x ''≥(x I ∈) ;2) ()0f x ''≥且在I 的任何子区间上f f ''≡⇔0在I 上严格凸; 3) ()0f x ''>则f 在I 上严格凸.注 f ''的符号确定函数f 的凸凹性，f '的符号确定单调性例1 讨论函数()f x =()arctan g x x =的凸凹性。
微分中值定理及其应用Word
， ，
例1 证明： .
即证
证明： Cauchy中值定理的条件，即证。
二 、不定式极限 （ 法则）
1、 型不定式极限
定理6.6若 满足： ；
证明：补充定义 ，
用 Cauchy中值定理得：
.
注：1）定理中 ，
仍为 型不定式，可再次用 法则
例2 求
例3 求
解：
例4 求
2、 型不定式集极限
定理：若 满足 ；
3、能利用泰勒公式计算某些不定式的极限。
4、掌握泰勒公式在近似计算上的应用。
重点：带有佩亚诺余项型的泰勒公式及带有拉格朗日型余项的泰勒公式。
难点：泰勒公式在近似计算中的应用。
多项式逼近函数为其实质
一、 带有 型余项的 公式
在 可微，则
用一次多项式 代替 ，误差为 一次项的高阶无穷小，对实际问题需要误差更高阶无穷小 为此，设
证明：若f为增函数， 当 时， ，由不等式性知 ，反之，若f在I上恒有 ，则对 且 对f在 上用Lagrange中值定理，当 ,s.t. 在I上增。
例4 设f(x)=x3-x, 试讨论函数f(x) 的单调区间.
定理6.4若f在 内可导，则f在 内严格单增（单减）的充要条件是(ⅰ)
(ⅱ) 在 内的任何子区间上
2、掌握罗比塔法则，并能熟练地运用罗比塔法则求各种类型的不定式极限。
【教学重点】：柯西中值定理与罗比塔法则。
【教学难点】：将其他类型不定式极限转化为 或 型的极限的技巧。
一 、 Cauchy
设 满足： 在 上都连续； ； ； ；
证明：作辅助函数 ，易知 上满足Roll定理的条件，故有结论。
注： 1）可否对 分别用Lagnange中值定理证之
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第六章 微分中值定理及其应用引言在前一章中,我们引进了导数的概念,详细地讨论了计算导数的方法.这样一来,类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决.但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题,那么,只知道怎样计算导数是远远不够的,而要以此为基础,发展更多的工具.另一方面,我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的的函数;（2）导数只是反映函数在一点的局部特征;（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态,因此如何解决这个矛盾？需要在导数及函数间建立起一一联系――搭起一座桥,这个“桥”就是微分中值定理.本章以中值定理为中心,来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性质）方面的应用.§6.1 微分中值定理教学章节：第六章 微分中值定理及其应用——§6.1微分中值定理教学目标：掌握微分学中值定理,领会其实质,为微分学的应用打下坚实的理论基础.教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义,掌握三个定理的证明方法,知道三者之间的包含关系.教学重点：中值定理.教学难点：定理的证明.教学方法：系统讲解法.教学过程：一、一个几何命题的数学描述为了了解中值定理的背景,我们可作以下叙述：弧»AB 上有一点P,该处的切线平行与弦AB.如何揭示出这一叙述中所包含的“数量”关系呢？联系“形”、“数”的莫过于“解析几何”,故如建立坐标系,则弧»AB 的函数是y=f(x),x ∈[a,b]的图像,点P 的横坐标为x ξ=.如点P 处有切线,则f(x)在点x ξ=处可导,且切线的斜率为()f ξ';另一方面,弦AB 所在的直线斜率为()()f b f a b a --,曲线y=f(x)上点P 的切线平行于弦AB ⇔()()()f b f a f b aξ-'=-. 撇开上述几何背景,单单观察上述数量关系,可以发现：左边仅涉及函数的导数,右边仅涉及函数在端点的函数值.这样这个公式就把函数及其导数联系起来.在二者之间架起了一座桥梁,这座“桥”就是导数在研究函数方面应用的理论基础.鉴于(,)a b ξ∈,故把类似公式称为“中值公式”;把类似的定理称为中值定理.剩下的问题是：中值定理何时成立呢？观察如下事实,可以发现：如果y=f(x)在[a,b]上不连续或不可导（无切线）,是不一定有上述结论的.换言之,如保证类似点P 存在,曲线弧»AB 至少是连续的,而且处处有切线.反映到函数y=f(x)上,即要求y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.二、中值定理Lagrange 中值定理 若函数f 满足以下条件：（1）f 在[a,b]上连续;（2）f 在(a,b)内可导.则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得()()()f b f a f b aξ-'=-. 特别地,当f(a)=f(b)时,有如下Rolle 定理：Rolle 定理 若f 满足如下条件：（1）f ∈[a,b];（2）f 在(a,b)内可导;（3）f(a)=f(b),则存在ξ∈(a,b),使得()0f ξ'=.如把曲线弧»AB 用参数方程函数,则可得出以下中值定理： Cauchy 定理 若函数f,g （x ＝g(u),y ＝f(u),u ∈[a,b]）满足如下条件：（1）,[,]f g a b ∈;（2）f,g 在(a,b)内可导;（3）,f g ''至少有一个不为0;（4）g(a)≠g(b).在存在ξ∈(a,b),使得()()()()()()f f b f ag g b g a ξξ'-='-. 说明（1）几何意义：Rolle ：在每一点都可导的连续曲线,如果曲线两端点高度相同,则至少存在一水平切线（在具有水平弦的可微曲线上有水平曲线）;Lagrang ：可微曲线上存在一点,使其切线平行于端点的连线;Cauchy ：视为曲线的参数;u=f(x),v=g(x),x ∈[a,b],则以v 为横坐标,u 为纵坐标可得曲线上有一点,该处切线与曲线端点连线平行.（2）三个定理关系如下：()()()f a f b g x x Rolle Lagrang Cauchy ==←−−−−←−−−（3）三个定理中的条件都是充分但非必要.以Rolle 定理为例,三个条件缺一不可.1）不可导,不一定存在;2）不连续,不一定存在;3）f(a)≠f(b),不一定存在.“不一定存在”意味着一般情况如下：Rolle 定理不再成立.但仍可知有()0f ξ'=的情形发生.如y=sgnx,x ∈[-1,1]不满足Rolle 定理的任何条件,但存在无限多个ξ∈(-1,1),使得()0f ξ'=.（4）Lagrang 定理中涉及的公式：()()()f b f a f b aξ-'=-称之为“中值公式”.这个定理也称为微分基本定理.中值公式有不同形式：（ⅰ）f(b)-f(a)=()f ξ'(b-a) ,ξ∈(a,b);（ⅱ）f(b)-f(a)=(())()f a b a b a θ'+--,0<θ<1;（ⅲ）f(a+h)-f(a)=()f a h h θ'+,0<θ<1. 此处,中值公式对a<b,a>b 均成立.此时ξ在a,b 之间;（ⅱ）、（ⅲ）的好处在于无论a,b 如何变化,(0,1)θ∈易于控制.三、极值定义3（极值） 若函数f 在区间I 上有定义,0x I ∈.若存在0x 的邻域0()U x ,使得对于任意的0()x U x ∈,有0()()f x f x ≥,则称f 在点0x 取得极大值,称点0x 为极大值点.若存在0x 的邻域0()U x ,使得对于任意的0()x U x ∈,有0()()f x f x ≤,则称f 在点0x 取得极小值,称点0x 为极小值点.极大值、极小值统称为极值,极大值点、极小值点统称为极值点.注 1、极值是局部性概念,若0()f x 是极值,是和0x 点附近的函数值比较而言的,和离0x 较远的地方无关;最值显然是对整个区间而言的,是整体概念.2、闭区间[a,b]上的连续函数必有最值,且最大值和最小值各有一个,最大值小于最小值（常函数除外）,但可能无极值.即使有极值,也可能不止一个,极小值也可能大于极大值.因此若f(a)是函数的最值,则f(a)不可能是极值;若0()f x （0(,)x a b ∈）是函数的最值,则一定是极值.（即最值不一定是极值,反之,极值也不一定是最值,因此极值有很多,但若极值只有一个,即为最值.）极值存在的必要条件――费马（Fermat ）定理费马定理 若函数在点0x 的邻域内有定义,且在点0x 可导.若0x 为f 的极值点,则比有0()0f x '=.（即可导极值点的导数为零.）其几何意义：可导极值点出的切线平行于x 轴）,称满足方程0()0f x '=的点为稳定点.证明 无妨设)(0x f 为极大值,则当0>∆x 时,且)(00x U x x ∈∆+时,有 0)()(00≤∆-∆+x x f x x f令+→∆0x ,得0)(0≤'x f .当0<∆x 时,有 0)()(00≥∆-∆+x x f x x f .令-→∆0x ,得0)(0≥'x f ,由此推得0)(0='x f .Fermat 定理表明导数为0是极值必要条件,但是如果],[)(b a C x f ∈,那么它能达到最大值,如果它又可导,在),(b a 内0)(='x f 只有一个根,则比较)(a f ,)(0x f ,)(b f 就可定出最大值.由费马定理可知, 可导极值点是稳定点,反之不然.如3()f x x =,点x=0是稳定点,但不是极值点.达布（Darboux ）定理（导函数的介值定理） 若函数f 在[a,b]上可导,且()()f a f b +-''≠,k 为介于()f a +'和()f b -'之间的任一实数,则至少存在一点(,)a b ξ∈,使得()f k ξ'=.四、中值定理的证明(一) Rolle 定理证明 因为],[)(b a C x f ∈,)(x f 在],[b a 上有最大值M 与最小值m ,如果m M =,则M x f =)(,这时0)(='x f ,可取),(b a 中任意一点作为ξ,如果m M >,其中至少有一个不等于)()(b f a f =.不妨设)(a f M >,我们假定)(x f 在),(b a ∈ξ取到最大值,M f =)(ξ,即ξ为一个极值点,且)(ξf '存在,由 Fermat 定理,0)(='ξf .(二) Lagrange 中值定理证明 作辅助函数 1)(1)(1)()(b b f a a f x x f x G = ,它有明显几何意义,即它表示连接三点{})),((),),((),),((b b f a a f x x f 的三角形面积之二倍,那么],[)(b a C x G ∈,在),(b a 可导,且0)()(==b G a G ,用Rolle 定理,),(b a ∈∃ξ,使得0)(='ξG ,即1)(1)(01)(='b b f a a f f ξ, a b a f b f f --=')()()(ξ.辅助函数造法很多,比如可以用以下方法⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-=)()()()()()(a x b a b f a f a f x f x F , )]()()[())](()([)(a f b f a x a b a f x f x -----=Φ,)]()([))(()(a f b f x a b x f x ---=ψ.然后借助于Rolle 定理都可证明Lagrange 定理.注释 量b a b f a f --)()(表示连接两点))(,(a f a A 和))(,(b f b B 的弦的斜率,不管b a <还是b a >都对.Lagrange 定理表明存在),(b a 中一点,使)(ξf '恰等于这个斜率,Lagrange 定理也称Lagrange 公式,它也可以写成))(()()(a x f a f x f -'+=ξ,其中ξ介于x 与a 之间,它可以看成用线性函数))(()(a x f a f -'+ξ在a 局部对)(x f 的逼近.它还可写成))](([)()(a b a b a f a f b f --+'+=θ,h h a f a f h a f )()()(θ+'+=+,其中10<<θ,a b h -=.这里h a θξ+=,只要指出h a-=ξθ满足10<<θ.当0>h 时,h a a +<<ξ,h a <-<ξ0,10<<-h a ξ,得10<<θ.当0<h 时,a h a <<+ξ,h a -<-<ξ0 ,10<<--h a ξ,得10<<θ.(三) Cauchy 定理证明 对f 和g 分别应用Lagrange 定理,我们可得)()()()()()(ξξg f a g b g a f b f ''=--,这里1ξ与2ξ可能不一样,这是一条错误之路,本定理关键要求是一致的ξ.作函数 1)()(1)()(1)()()(b g b f a g a f x g x f x G =,它的几何意义是在参数曲线 ⎩⎨⎧==)()(x g Y x f X 上,三点 ,))(),((,))(),(({a g a f x g x f}))(),((b g b f 连成的三角形面积之二倍.则)(x G 满足Rolle 定理条件,故),(b a ∈∃ξ,使得0)(='ξG ,即)]()()[()]()()[(a g b g f a f b f g -'=-'ξξ,得证.注1与Lagrange 定理证明类似,我们也可借助其它形式的辅助函数,比如用)]()()[()]()()[()(a f b f x g a g b g x f x F ---=.注2 x x g =)(时,Cauchy 定理推出Lagrange 定理.注3 不管b a >还是b a <,Cauchy 定理都可写成 )()())(())(()()()()(h a g h a f a b a g a b a f a g b g a f b f θθθθ+'+'=-+'-+'=-- ,其中a b h -=,10<<θ.五、中值定理的一些推论及中值定理的应用初步(一) Rolle 定理的推论若f 在[1x ,2x ]上连续,在(1x ,2x )内可导,12()()0f x f x ==,则存在12(,)x x ξ∈,使得()0f ξ'=（简言之：可导函数的两个之间必有导数的零点）.(二) Lagrang 定理的推论推论1 若函数f 在区间I 上可导,且()0f x '=,x I ∈,则f 为I 上的一个常量函数.证明 Lagrange 定理给出,],[b a x ∈∀,0))(()()(=-'=-a x f a f x f ξ)(b a <<ξ,由此得C a f x f ≡≡)()(.几何意义：斜率处处为0的曲线一定是平行于x 轴的直线.简单应用：证明：（1）在[-1,1]上恒有：arcsin arccos 2x x π+=,（2）在(,)-∞+∞上恒有：arctan arccot 2x x π+=推广 若f(x)在区间[a,b]上连续,且在（a,b ）中除有限个点外有()0f x '=,则f 在I 上是常数函数.推论2 若函数f 和g 均在I 上可导,且()()f x g x ''=,x I ∈,则在区间I 上f(x)与g(x)只差一个常数,即存在常数C,使得()()f x g x C =+.证明 对)()(x g x f -应用推论1即得.推论 3 （导数极限定理）设函数f 在点0x 的某邻域0()U x 内连续,在0()U x 内可导,且0lim ()x x f x →'存在,则f 在点0x 可导,且00()lim ()x x f x f x →''=. 应用一：关于方程根的讨论（存在性）――主要应用Rolle 定理例1 设f 为R 上的可导函数,证明：若方程()0f x '=没有实根,则方程f(x)=0至多只有一个实根.例2 设f [,]a b ∈,在[,]a b 连续可微,在（a,b ）二阶可微,且()()()0f a f b f a '===,证明：()0f x ''=在(a,b)中至少有一个根.例3 已知10021n c c c n +++=+L ,证明：2012()0n n p x c c x c x c x =++++=L 至少有一正实根. 例4 设42()2f x x x x =-+,证明()f x '于（0,1）中至少有一根.应用二：证明中值点的存在性:例1 设函数f 在区间],[b a 上连续, 在),(b a 内可导, 则),(b a ∈∃ξ, 使得)()(a f b f -)(ln ξξf ab '⋅=. 证 在Cauchy 中值定理中取x x g ln )(=.例2 设函数f 在区间],[b a 上连续, 在),(b a 内可导, 且有0)()(==b f a f .试证明: 0)()( ),,(='-∍∈∃ξξξf f b a .例3 设f 在[a,b]（a>0）上连续;在(a,b)内可导,则存在ξ∈(a,b),使得 f(b)-f(a)=()ln b f aξξ'. 例4 设12,0x x >,证明：12(,)x x ξ∃∈满足211212(1)()x x x e x e e x x ξξ-=--.应用二：用中值定理证明公式例1 证明：对一切h>-1,h ≠0有公式ln(1)1h h h h<+<+ 例2 证明：当a>b>0时,ln a b a a b a b b --<<. 例3 证明：|sin sin |||x y x y -≤-,,x y R ∀∈.例4 设f 在[0,a]一阶连续可微,在(0,a)二阶可微,且存在正数M 使|()|f x M ''≤,又设f 在(0,a)存在稳定点c,证明：|(0)||()|f f a Ma ''+≤.例5 设函数f 和g 可导且 ,0)(≠x f 又 .0=''g f g f 则 )()(x cf x g =. (证明 0) (='f g . )例6 设对R ∈∀ , h x ,有2 |)()(|Mh x f h x f ≤-+,其中M 是正常数,则函数)(x f 是常值函数. (证明 0='f ).例 7 证明: 若],[)()(b a x g x f 在和上连续,在),(b a 内可导,且0)(≠'x g ,则),(b a ∈ξ∃,使得 )()()()()()(ξ--ξ=ξ'ξ'g b g a f f g f . (1) 分析 先把上面(1)式改写为:.0)()()()()()()()(=ξ'-ξ'-ξ'ξ+ξξ'g a f b g f g f g f (2) 若令 )()()()()()()(x g a f b g x f x g x f x h --=, 则 (2) 式即为 0)(=ξ'h . 这样,问题就化为检验],[)(b a x h 在上是否满足 Rolle 定理的条件.证明 由题设条件,上述],[)(b a x h 在上连续,在),(b a 内可导,且有)()()()(b h b g a f a h =-=.故),(b a ∈ξ∃,使得0)(=ξ'h ,即 (2) 式成立.又因0)(≠'x g ,故由导函数的性质（具有介值性）,)(x g '在),(b a 内不变号,由此推知)(x g 在),(b a 内严格单调;再由)(x g 在],[b a 上连续,所以)(x g 又在],[b a 上严格单调. 这就保证了0)()(≠ξ-g b g . 这样,便可由（2）式逆推至（1）式成立.作业 教材P124—125 4—9 ;P132—133 1—4.§6.2 Rolle Lagrange Cauchy 定理的进一步应用教学章节：第六章 微分中值定理及其应用—6.2 Rolle Lagrange Cauchy 定理的进一步应用 教学目标：掌握讨论函数单调性方法；掌握L ’Hospital 法则,或正确运用后求某些不定式的极限.教学要求： 熟练掌握L ’Hospital 法则,并能正确运用后迅速正确地求某些不定式的极限,深刻理解函数在一区间上单调以及严格单调的意义和条件；熟练掌握运用导数判断函数单调性与单调区间的方法；能利用函数的单调性证明某些不等式.教学重点: 利用函数的单调性,L ’Hospital 法则教学难点: L ’Hospital 法则的使用技巧；用辅助函数解决问题的方法；.教学方法: 问题教学法,结合练习.教学过程:一、中值定理与函数的单调性定理1 设f(x)在区间I 上可导,则f(x)在I 上递增（减）()0(0)f x '⇔≥≤.注1 这个定理的主要用途在于用它研究函数的单调性,确定单调区间.例1 设3()f x x x =-,试讨论函数f 的单调区间.注2 从实现充分性的证明中发现,若21()0(0)()()f x f x f x '><⇒>21(()())f x f x <,即f 严格递增（减）,从而有如下推论：推论 设函数f 在区间I 上可微,若()0(0)f x '><,则f 在I 上严格递增（减）.注3 上述推论是严格递增（减）的一个充分非必要条件.定理2 若函数f 在(a,b)内可导,则f 在(a,b)内严格递增（减）的充要条件是：（ⅰ）对一切(,)x a b ∈,有()0(0)f x '≥≤；（ⅱ）在(a,b)内的任何子区间上()0f x '≠.注4 一个问题：f(x)在[a,b]上有定义,在(a,b)内严格递增（减）,那么f(x)在[a,b]上是否一定严格递增（减）呢？答案：不一定.推论 若f(x)在(a,b)内可导,f(x)在(a,b)内严格递增（减）,且y=f(x)在右端点a 右连续,则f 在[a,b]上变为严格递增（减）,对左端点b 也有类似讨论.例2 证明等式：当0x ≠时,1x e x >+例3 证明：0x >时,3sin 3!x x x >- 例4 已知0f f '+≠,证明：()0f x =至多只有一个根例5 证明方程：sin 02x x -=只有一个根0x =. 二、中值定理与不定式极限(一) 什么是不定式极限在第3章函数的极限的学习中我们知道：0(1)+0(1)=0(1),但0(1)0(1)不一定是无穷小量,甚至于两个无穷小量极限不存在,例如：（1）当0x →,sin 0(1)x =,0(1)x =,0sin lim10x x x →=≠,即sin 0(1)x x ≠； （2）当0x →,20(1)x =,0(1)x =,20lim 0x x x →=,即0(1)x x=；（3）当0x →,20(1)x =,0(1)x =,20lim x x x →不存在. 由此可见,两个无穷小量之比的极限是不确定的,于是我们把这种类型的极限称为“00”型的不等式极限. 除了00型不等式极限外,还有许多类型的不等式极限,如：（ⅰ）∞∞型；（ⅱ）∞-∞型；（ⅲ）0⋅∞型；（ⅳ）00型；（ⅴ）1∞型；（ⅵ）0∞,0∞型等,其中最基本的是00型和∞∞型,其它类型都可化成这两种基本类型来解决.(二) 00不定式极限的计算 当0()lim ()x x f x g x →是00型时,困难在于极限商的运算失效！例：201cos lim x x x→-. 在此之前,我们是借助于0sin lim1x x x →=或等价变换来解决.这两种解决有些问题是有效的,但遗憾的是把0()lim ()x x f x g x →化为0sin lim x x x→类型时,或寻求等价变换时往往需要很大的运算量,甚至很难找到等价量. 例 21cos lim x x tan xπ→+. 例 1/220(12)lim ln(1)x x e x x →-++. 为此,我们引进求解这类极限的更为有效的工具－L ’Hospital （洛必达法则）.（有的同学可能会有疑问：既然这么好的工具,为什么不早介绍呢？因为L ’Hospital 法则要使用函数的导数,而且其理论依据在中值定理,所以放在中值定理的应用中来讲）. （00型极限的）洛必达法则 定理1 设1）)(x f ,)(x g 在);(0δa U 上连续,且=→)(lim x f a x 0)(lim =→x g a x ,2）)(x f ,)(x g 在);(0δa U 上可导,且0)(≠'x g ,3）k x g x f ax =''→)()(lim （k 为有限或∞±）, 则k x g x f x g x f a x a x =''=→→)()(lim )()(lim .证明 先证k x g x f a x =→)()(lim ,由1）,我们补充定义0)()(==a g a f ,则f ,g 成为在],[a a δ-连续,),(a a δ-上可导函数.),(a a x δ-∈∀,)(x f ,)(x g 在],[a x 满足 Cauchy 中值定理条件,所以有)]([)]([)()()()()()(a x a g a x a f a g x g a f x f x g x f -+'-+'=--=θθ, 10<<θ, 由3）,k a x a g a x a f a x =-+'-+'-→)]([)]([limθθ,所以kx g x f a x =-→)()(lim 0.同理k x g x f a x =+→)()(lim,综合起来有kx g x f a x =→)()(lim .注 把 a x → 改为0+→a x 或0-→a x 结论也成立. 定理2 设1） )(x f ,)(x g 在),(+∞a 连续,且=+∞→)(lim x f x 0)(lim =+∞→x g x ,2） )(x f ,)(x g 在),(+∞a 可导,且0)(≠'x g ,3）k x g x f x =''+∞→)()(lim（k 为有限或∞∞±,）,则k x g x f x =+∞→)()(lim.证明 先算极限,然后再验证条件.)(()((lim([([lim ((lim )()(lim 220001)11)1)]1)]1)1)1ttt t tt tt g f g f g f x g x f t t t x -'-'=''==+→+→+→+∞→)1()()(lim )()(lim110t x k x g x f g f x t t t ==''=''=+∞→+→。