微分中值定理与导数应用.
3_1 微分中值定理与导数应用
罗尔（Rolle）定理 罗尔（ ） 设函数 f ( x ) 满足条件： 满足条件： (1) f ( x )在闭区间[a , b] 上连续; 上连续; (2) 内可导; f ( x ) 在开区间 ( a , b ) 内可导; (3) 在区间端点的函数值相等，即 f (a ) = f (b ), 在区间端点的函数值相等， 那末在 ( a , b ) 内至少有一点ξ ( a < ξ < b ), 使得函数 在该点的导数等于零， f ( x ) 在该点的导数等于零，即
利用泰勒公式证明不等式
上二阶可导， 例1 设函数 y = f ( x ) 在区间 [0,1]0, max f ( x ) = 2, 证明在 证明在(0,1)至少存在一 至少存在一
0 ≤ x ≤1
点 ξ , 使得 f ′′(ξ ) ≤ −16. 证
0 ≤ x ≤1
矛盾, 但 f ′( x ) = 5( x 4 − 1) < 0, ( x ∈ (0,1)) 矛盾,∴ 为唯一实根 .
拉格朗日(Lagrange)中值定理 拉格朗日(Lagrange)中值定理 (Lagrange)
如果函数f 满足下列条件 如果函数 (x)满足下列条件 (1) 在闭区间 b]上连续； 在闭区间[a, 上连续 上连续； (2)在开区间(a, b)内可导； )在开区间( )内可导； 那末在(a , b ) 内至少有一点ξ ( a < ξ < b ), 使等式 f ( b ) − f (a ) = f ′(ξ )(b − a ) 成立. 成立.
即
f ′(ξ ) = 2ξ [ f (1) − f ( 0)].
泰勒(Taylor)中值定理 泰勒(Taylor)中值定理 (Taylor)
微分中值定理与导数的应用
微分中值定理与导数的应用引言微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它为我们研究函数的性质和应用提供了有力的工具。
本教案将通过分析微分中值定理及其应用，探讨导数在实际问题中的应用，旨在帮助学生深入理解微分中值定理的原理和导数的实际应用，提高他们的问题解决能力和数学建模能力。
第一节：微分中值定理的基本原理及应用1.1 微分中值定理的定义微分中值定理是微积分中的重要定理，它是基于导数的连续性和介值定理而得出的。
微分中值定理包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理等。
这些定理揭示了函数在一定条件下的性质，为我们研究函数的变化提供了便利。
1.2 拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理是微分中值定理中最基本的一种形式，它表明在某个开区间上，函数的导数在这个区间内取某个特定的值。
这个定理在实际问题中有广泛的应用，比如在物理学中用于描述物体的速度、加速度等问题。
1.3 柯西中值定理的应用柯西中值定理是微分中值定理中的另一种形式，它是拉格朗日中值定理的推广。
柯西中值定理表明在两个不同的点上，函数的导数取相同的值。
这个定理在实际问题中也有很多应用，比如在经济学中用于描述市场供求关系等问题。
1.4 罗尔中值定理的应用罗尔中值定理是微分中值定理中的一种特殊情况，它表明在某个闭区间上，函数的导数在两个端点处取相同的值。
这个定理在实际问题中也有很多应用，比如在工程学中用于描述物体的位移、速度等问题。
第二节：导数的应用2.1 导数与函数的变化率导数是函数在某一点上的变化率，它可以帮助我们研究函数的趋势和性质。
通过导数的计算和分析，我们可以得到函数的最值、拐点、极值等重要信息，进而应用到实际问题中。
2.2 导数与曲线的切线与法线导数还可以帮助我们研究曲线的切线和法线。
通过计算函数在某一点的导数，我们可以确定曲线在该点的切线方程和法线方程，进而研究曲线的几何性质。
2.3 导数与函数的最值问题导数在函数的最值问题中有重要的应用。
微分中值定理与导数的应用
微分中值定理与导数的应用微分中值定理是微积分中的一个重要定理，它是导数与函数之间的关系的重要推论。
本文将介绍微分中值定理的概念以及其在实际问题中的应用。
一、微分中值定理的概念微分中值定理是数学分析中的一个重要定理，它是由罗尔定理和拉格朗日中值定理推导出的。
该定理表明，如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，并且在区间端点a和b的函数值相等（f(a) = f(b)），那么在(a, b)内至少存在一点c，使得f'(c) = 0。
这一定理的直观解释是：如果一个连续函数在两个点的函数值相等，并且在两点之间的某个地方斜率为零，那么在该点一定存在切线与横轴平行。
二、导数的应用导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
通过导数的概念和性质，我们可以在实际问题中进行一些有用的应用。
1. 最值问题导数可以用来求解函数的最值问题。
在闭区间上的连续函数中，如果在某一点的导数为零或不存在，那么这一点可能是函数的极值点。
通过求解导数为零的方程，可以找到函数的极值。
2. 凹凸性和拐点问题导数可以用来研究函数的凹凸性和拐点问题。
通过分析函数的二阶导数（导数的导数），可以确定函数的凹凸性以及拐点的位置。
3. 曲线的切线和法线问题导数可以用来求解曲线的切线和法线问题。
切线的斜率等于函数在该点的导数，而法线的斜率是切线斜率的负倒数。
三、微分中值定理的应用微分中值定理是导数与函数之间的重要关系推论，它在实际问题中有着广泛的应用。
1. 速度与加速度微分中值定理可以用来解决速度与加速度的问题。
对于一个运动的实体，在某一时间段内，他的速度可能为零，这意味着他的加速度为零。
这可以通过微分中值定理得到证明。
2. 经济学中的应用微分中值定理在经济学中也有广泛的应用。
例如，在某个时间段内，一个消费品的价格可能保持不变，这意味着该消费品的边际效用或边际收益为零。
这可以用微分中值定理来解释。
3. 物理学中的应用微分中值定理在物理学中也有重要的应用。
微分中值定理与导数的应用总结
微分中值定理与导数的应用总结一、微分中值定理1.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微分中值定理的最基本形式，它表述为：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一个数c，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)，其中c属于(a,b)。
拉格朗日中值定理的几何意义是：如果一条曲线在两个点a和b上的斜率相等，则在这两个点之间必然存在一点c，使得曲线在c点和a、b两点之间的切线斜率相等。
2.柯西中值定理柯西中值定理是微分中值定理的推广形式，它给出了两个函数的导数的关系。
设f(x)和g(x)在[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导且g'(x)≠0，则存在一个数c，使得[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=[f'(c)]/[g'(c)]。
柯西中值定理的几何意义是：如果曲线f(x)和g(x)在两个点a和b上的切线斜率之比等于f'(c)和g'(c)的比，则在这两个点之间必然存在一点c，使得曲线f(x)和g(x)在c点的切线斜率之比等于f'(c)和g'(c)的比。
3.罗尔中值定理罗尔中值定理是微分中值定理的特殊形式，它给出了导数为零的充分条件。
设函数f(x)在[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则在(a,b)内至少存在一个数c，使得f'(c)=0。
罗尔中值定理的几何意义是：如果一条曲线在两个端点上的函数值相等，则在这两个端点之间必然存在一个点c，使得曲线在c点的切线斜率为零。
微分中值定理的应用非常广泛，例如在证明极限存在或连续性、研究函数增减性和函数极值、解方程和不等式等问题中都有重要的作用。
在实际生活中，微分中值定理可以应用于求解速度、加速度、距离等问题，帮助我们更好地理解和解决实际问题。
二、导数的应用导数作为微积分的重要概念，具有很多实际应用。
微分中值定理与导数的应用
第三章 微分中值定理与导数的应用在第二章中,我们介绍了微分学的两个基本概念—导数与微分及其计算方法. 本章以微分学基本定理—微分中值定理为基础,进一步介绍利用导数研究函数的性态,例如判断函数的单调性和凹凸性,求函数的极限、极值、最大(小)值以及函数作图的方法,最后还讨论了导数在经济学中的应用.第一节 微分中值定理中值定理揭示了函数在某区间的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系,因而称为中值定理. 中值定理既是用微分学知识解决应用问题的理论基础,又是解决微分学自身发展的一种理论性模型, 因而称为微分中值定理.一、 费马引理：设函数()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内有定义，并且在0x 处可导，如果对任意的0()x U x ∈，有0()()f x f x ≤（或0()()f x f x ≥），那么0()0f x '=。
证：不妨设0()x U x ∈时，0()()f x f x ≤，对于00()x x U x +∆∈，有00()()f x x f x +∆≤，故当0x ∆>时，00()()0f x x f x x+∆-≤∆； 当0x ∆<时，00()()0f x x f x x+∆-≥∆， 由保号性 00000()()()()lim 0x f x x f x f x f x x++∆→+∆-''==≤∆，()00000()()()lim 0x f x x f x f x f x x--→+∆-''==≥∆，故0()0f x '=。
罗尔定理（Rolle ）： 如果函数()f x 满足：（1）在闭区间[,]a b 上连续 （2）在开区间(,)a b 内可导，（3）()()f a f b =，则至少存在一点()a b ξξ<<，使得()f x 在该点的导数等于零：()f ξ'=0证明：由于()f x 在[,]a b 上连续，故在[,]a b 上()f x 有最大值M 和最小值m 。
微分中值定理与导数应用
F ( x) 的最小值． F( x) 0 ，即得 f ( x) x ．证毕．
例 5 设 lim f ( x) 1，且 f ( x) 0 ．试证： f ( x) x ． x0 x
4 (b a)2
|{ f (b) [ f (b)
f (b)( a b 2
b)
1 2
f
(1
)(
a
2
b
b)2 ]}
{ f (a) [ f (a)
f (a)( a b 2
a)
1 2
f
(
2
)(
a
2
b
a)2 ]} |
4 (b a)2
|
1 2
{
f
(1
)
f
(
2
)}(
b
2
a
)2
0 ，根据极限的保号性即知,
在 x a 的右邻近，有 f ( x) f (a) 0 ，故有 f ( x) f (a) . xa
f (a) 不可能是 f ( x) 在[a, b] 上的最小值． 同理，由 f(b)
0 可知， f (b) 也不可能是 f ( x) 在[a, b] 上的最小值．
F ( x) F( x) F(0) F( x)x (其中 (0,1) )
{F( x) F(0)}x {F(1 x) x}x (其中1 (0,1) ) F (1 x) x2 0 ，即得 f ( x) x ．证毕．
例 6 设 f ( x) 在[a,b] 上存在， f (a) f (b) 0 ．试证：
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定理 如果函数 f (x) 在区间 I 上的导数恒为零, 那末 f (x) 在区间 I 上是一个常数.
第一节 中值定理
例2 证明 arcsin x arccos x (1 x 1). 2
证 设 f ( x) arcsin x arccos x, x [1,1]
f (b) F (b)
f (a) F (a)
f '( F '(
). )
第一节 中值定理
证: 作辅助函数
( x) f ( x) f (a) f (b) f (a) [F ( x) F (a)]. F(b) F(a)
( x) 满足罗尔定理的条件, 则在(a, b)内至少存在一点,使得 () 0.
弦AB方程为 y f (a) f (b) f (a) ( x a).
ba 曲线 f ( x) 减去弦 AB,
所得曲线a, b两端点的函数值相等.
第一节 中值定理
作辅助函数
F ( x) f ( x) [ f (a) f (b) f (a) ( x a)]. ba
F( x) 满足罗尔定理的条件, 则在(a, b)内至少存在一点,使得 F () 0. 即 f () f (b) f (a) 0
y f (x)
2 b x
第一节 中值定理
第一节 中值定理
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数 f(x)满足
（1）在闭区间[a, b]上连续； （2）在开区间(a, b) 内可导； 那么在(a, b)内至少有一点(a b) ，使得
f (b) f (a) f ' ()(b a) .
高等数学 微分中值定理与导数的应用
注意 : 与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) f (b). 结论亦可写成 f (b) f (a) f (). ba
f (b) f (a) f ( )
ba
y 几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有
一点 C ,在该点处的切
A
C
y f (x)
有一点(a b),使等式
f (a) F (a)
f (b) F (b)
f F
' () 成立. ' ()
Cauchy定理又称为广义微分中值定理
结构图
特例
推广
Rolle定理
Lagrange定理
Cauchy定理
拉格朗日中值定理又称微分中值定理.
第二节 洛必达法则
一、0 型及 型未定式解法: 洛必达法则 0
且除去两个端点外处 o a 处有不垂直于横轴的
1
2 b x
切线，在曲线弧AB上至少有一点C ,在该点处的
切线是水平的.
注① Rolle定理有三个条件：闭区间连续；开区间可导
区间端点处的函数值相等； 这三个条件只是充分条件，而非必要条件
如：y=x2在[-1,2]上满足(1),(2)，不满足(3) 却在(-1,2)内有一点 x=0 使
第三章 微分中值定理与导数的应用
§3. 1 微分中值定理
一、罗尔(Rolle)定理
定理(Rolle) 若函数f ( x ) 满足 （1）在闭区间[a,b]上连续 （2）在开区间(a,b)内可导 （3）在区间端点处的函数值相等f(a)=f(b)
则在(a,b)内至少存在一点 , (a,b)使得函数 f ( x)在该点的导数为零，即 f ( ) 0
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f (b) F (b)
f (a) F (a)
f '( F '(
). )
第一节 中值定理
证: 作辅助函数
( x) f ( x) f (a) f (b) f (a) [F ( x) F (a)]. F(b) F(a)
( x) 满足罗尔定理的条件, 则在(a, b)内至少存在一点,使得 () 0.
第四章 微分中值定理与导数应 用
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
中值定理 洛必达法则 泰勒公式 函数的单调性与极值 曲线的凹凸与函数作图
第一节 中值定理
一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理
观察： 看右图，函
数连续，且两端点处
的函数值相等，除端 y
C
点外处处有不垂直于
x 轴的切线，在C点
第一节 中值定理
三、柯西(Cauchy)中值定理
柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f ( x)及F ( x)
满足
（1）在闭区间[a, b]上连续；
（2）在开区间(a, b) 内可导；
（3）对任一 x (a, b) ， F '( x) 0 ；
那么在(a, b)内至少有一点(a b),使得
f '() 0
例如, f ( x) x 2 2x 3 ( x 3)( x 1).
在[1,3]上连续, 在(1,3)上可导, 且 f (1) f (3) 0,
f ( x) 2( x 1), 取 1, (1 (1,3)) f () 0.
第一节 中值定理
证： f ( x)在[a，b]上连续，其在[a，b]上 必取得最大值M和最小值m （1）m M时，显然成立。
第一节 中值定理
则在(a, b)内至少存在一点,使得 () 0.
即 f () f (b) f (a) F () 0, F(b) F(a)
f (b) f (a) f () . F (b) F (a) F ()
特别地 当 F ( x) x, F(b) F(a) b a, F ( x) 1, 这时 f (b) f (a) f ()
ba 或 f (b) f (a) f ()(b a).
第一节 中值定理
设 f ( x)在 [a,b] 上连续，在 (a,b)内可导, x, x x (a,b), 则有
f (x x) f (x) f (x x) x (0 1).
也可写成y f ( x x) x (0 1).
注意 : 与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) f (b). 结论亦可写成 f (b) f (a) f (). ba
第一节 中值定理
y 几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有 一点 C,在该点处的切 A
C
y f (x)
M
B
N
D
线平行于弦 AB.
o a 1 x
2 b
x
证 分析:条件中与罗尔定理相差 f (a) f (b).
y f (x)
2 b x
第一节 中值定理
第一节 中值定理
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数 f(x)满足
（1）在闭区间[a, b]上连续； （2）在开区间(a, b) 内可导； 那么在(a, b)内至少有一点(a b) ，使得
f (b) f (a) f ' ()(b a) .
和D点的切线有何特
点？
oa
y f (x)
D
bx
第一节 中值定理
一、罗尔(Rolle)定理
罗尔（Rolle）定理 如果函数 f ( x)满足 （1）在闭区间 [a, b]上连续； （2）在开区间(a, b) 内可导； （3）在区间端点的函数值相等，即 f (a) f (b) 那么在(a, b)内至少有一点(a b) ,使得
f ( )
f(
)
lim
x0
f ( x)
x
f ( ) 0
f ( )
f(
)
lim
x0
f ( x)
x
f ( ) 0
所以f ( ) 0.
通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点、 临界点）。
第一节 中值定理
几何解释:
y
C
在曲线弧AB上至少有一
点C , 在该点处的切线是
水平的.
o a 1
（2）m M时，不妨设M f (a),且f ( ) M。 则x U ( )时，f ( x) f ( ).则对于 x U ( ), 有f ( x) f ( ),从而当
x 0时，
f ( x) f ( ) 0
x
第一节 中值定理
当x 0时，
f ( x) f ( ) 0
x 由可导的条件及极限的保号性，可得
f ( x)
1 ( 1 x2
1 1
x2
)
0.
f ( x) C, x [1,1]
又 f (0) arcsin0 arccos0 0 , 22
即C .
arcsin
x
2 arccos
x
.
2
第一节 中值定理
例3 证明当x 0时, x ln(1 x) x. 1 x
证 设 f ( x) ln(1 x),
拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 拉格朗日中值定理又称有限增量定理.
定理 如果函数 f (x) 在区间 I 上的导数恒为零, 那末 f (x) 在区间 I 上是一个常数.
第一节 中值定理
例2 证明 arcsin x arccos x (1 x 1). 2
证 设 f ( x) arcsin x arccos x, x [1,1]
f ( x)在[0, x]上满足拉氏定理的条件,
பைடு நூலகம்
f ( x) f (0) f ()(x 0), (0 x)
f
(0)
0,
f
( x)
1 1
x
,
由上式得
ln(1
x)
x 1
,
又0 x
即111 x
即
1
1
x
1
1
1,
x x x, 1 x 1
即 x ln(1 x) x. 1 x
弦AB方程为 y f (a) f (b) f (a) ( x a).
ba 曲线 f ( x) 减去弦 AB,
所得曲线a, b两端点的函数值相等.
第一节 中值定理
作辅助函数
F ( x) f ( x) [ f (a) f (b) f (a) ( x a)]. ba
F( x) 满足罗尔定理的条件, 则在(a, b)内至少存在一点,使得 F () 0. 即 f () f (b) f (a) 0