微分与积分中值定理及其应用

第二讲 微分与积分中值定理及其应用1 微积分中值定理 0微分中值定理 .......................................................................................... 0 积分中值定理 .......................................................................................... 2 2 微积分中值定理的应用 . (3)证明方程根（零点）的存在性 ............................................................... 3 进行估值运算 .......................................................................................... 7 证明函数的单调性................................................................................... 7 求极限 ...................................................................................................... 8 证明不等式 . (9)引言Rolle 定理，Lagrange 中值定理，Cauchy 中值定理统称为微分中值定理。

微分中值定理是数学分析中最为重要的内容之一，它是利用导数来研究函数在区间上整体性质的基础，是联系闭区间上实函数与其导函数的桥梁与纽带，具有重要的理论价值与使用价值。

1 微积分中值定理微分中值定理罗尔(Rolle)定理: 若函数f 满足如下条件 (ⅰ)f 在闭区间[a,b]上连续； (ⅱ)f 在开区间（a,b ）内可导； (ⅲ))()(b f a f =,则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得0)(='ξf ． 朗格朗日(Lagrange)中值定理: 设函数f 满足如下条件： (ⅰ)f 在闭区间[a,b]上连续； (ⅱ)f 在开区间（a,b ）上可导； 则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得ab a f b f f --=')()()(ξ．柯西中值定理: 设函数f 和g 满足 (ⅰ)在[a,b]上都连续； (ⅱ)在（a,b ）内都可导； (ⅲ))('x f 和)('x g 不同时为零； (ⅳ))()(b g x g ≠， 则存在),(b a ∈ξ，使得)()()()()()(a g b g a f b f g f --=''ξξ．微分中值定理的推广罗尔定理的推广定理1: 设函数)(x f 在（a,b ）内可导，且有)()(lim )0()0()(lim ∞-∞+==-=+=-+→→或为有限值或A A x f b f a f x f bx a x ，则存在点),(b a ∈ξ，使得0)(='ξf ． 证明：首先对A 为有限值进行论证：令⎩⎨⎧==∈=b x a x A b a x x f x F 或,),(),()(则易知函数)(x f 在[a,b]上连续，在（a,b ）内可导且)()(b F a F =．由Rolle 定理可知，在(a,b)内至少存在一点ξ，使得0)(='ξF ，而在(a,b)内有)()(x f x F '='，所以0)(='ξf ． 其次对A=∞+（∞-）进行论证：由引理1，)(x f 在（a,b ）内能取得最小值（最大值）．不妨设：函数)(x f 在),(b a ∈ξ处取得最小值（最大值）．此时函数)(x f 在),(b a ∈ξ处也就取得极小值（极大值）．又因为)(x f 在),(b a ∈ξ处可导，由Fermat 引理，可得0)(='ξf ． 综上所述，从而定理得证．定理2: 设函数)(x f 在(a,∞+),内可导，且)(lim )(lim x f x f x ax +∞→→=+，证明：在（a,∞+)中存在一点ξ，使得0)(='ξf ．定理3: 设函数)(x f 在（∞-，b),内可导，且)(lim )(lim x f x f bx x -→-∞→=，证明：在（∞-,b)中存在一点ξ，使得0)(='ξf ．定理4: 设函数)(x f 在（∞-，∞+),内可导，且)(lim )(lim x f x f x x +∞→-∞→=，证明：在（∞-,∞+)中存在一点ξ，使得0)(='ξf ．朗格朗日中值定理的推广定理5: 如果函数)(x f 满足条件：在开区间（a,b ）上可导且)0()(lim ),()0()(lim -==+=-+→→b f x f a f a f x f bx a x 存在，则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得ab a f b f f --=')()()(ξ．柯西中值定理的推广定理6: 如果函数f(x)和F(x)满足条件： ①都在有限区间(a,b)内可导；②;)(lim ,)(lim ,)(lim ,)(lim 2211M x F m x F M x f m x f bx ax bx ax ====-+-+→→→→③;0)(),,('≠∈∀x F b a x 有 则在(a,b)内至少有一点ξ，使得2211'')()(m M m M F f --=ξξ 证明：作辅助函数A(x),B(x),并且令时，时时，时时，时b x M ，b x M a x m x B ，a x m x A b a x x F ，b a x x f ======∈∈2121)()(),()(),()(则A(x),B(x)在闭区间[a,b]上连续，开区间(a,b)内可导,且对,0)(),,('≠∈∀x B b a x 由Cauchy 中值定理可知，至少有一点),(b a ∈ξ使得)()()()()()(''a B b B a A b A B A --=ξξ 又当),(b a x ∈时,)()(),()(x F x B x f x A ==∴2211'''')()()()()()()()(m M m M a B b B a A b A F f B A --=--==ξξξξ 即：2211'')()(m M m M F f --=ξξ 积分中值定理积分中值定理: 若)(x f 在区间[a,b]上连续,则在[a,b]上至少存在一点ξ使得()()()b a a b f dx x f b≤≤-=⎰ξξ,a.积分中值定理的推广推广的积分第一中值定理: 若()()x g x f ,在闭区间[]b a ,上连续,且()x g 在[]b a ,上不变号,则在[]b a ,至少存在一点ξ,使得 ()()()().,b a dx x g f dx x g x f baba ≤≤=⎰⎰ξξ第一型曲线积分中值定理: 若函数(,)f x y 在光滑有界闭曲线C 上连续，则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη，使(,)(,)Cf x y ds f S ξη=⎰。

其中S 表示曲线C 的长。

第二型曲线积分中值定理: 若函数(,)f x y 在有向光滑闭曲线C 上连续，则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη，使(,)(,)C f x y ds f I ξη=±⎰其中I 为有向光滑曲线C 在x 轴上的投影，符号±是由曲线C 的方向确定。

第一型曲面积分中值定理: 若D 为xoy 平面上的有界闭区域，(,)z z x y =是光滑曲面S ，函数(,,)f x y z 在S 上连续，则曲面S 上至少存在一点(,,)ξης，使得(,,)(,,)Sf x y z d f A σξης=⎰⎰其中A 是曲面S 的面积。

第二型曲面积分中值定理: 若有光滑曲面S ：(,)z z x y =，xy D y x ∈),(，其中xy D 是有界闭区域，函数(,,)f x y z 在S 上连续，则在曲面S 上至少存在一点(,,)ξης，使得 (,,)(,,)Sf x y z dxdy f A ξης=⎰其中A 是S 的投影xy D 的面积。

3 微积分中值定理的应用证明方程根（零点）的存在性例1：设函数)(x f 和)(x g 在闭区间[a,b]上连续，在（a,b ）上可导，则在（a,b ）内存在一点),(b a ∈ξ，使得)()()()()()()()()(ξξg a g f a f a b b g a g b f a f ''-=． 证明：令)()()()()(a g x f x g a f x F -=，则)()()()()(a g x f x g a f x F '-'='，又有)()()()()(a g b f b g a f b F -=，0)()()()()(=-=a g a f a g a f a F ．易知)(x F 在闭区间[a,b]上连续，在（a,b ）上可导，故运用Lagrange 中值定理可得，存在一点),(b a ∈ξ，使得)]()()()()[()()()(a g f g a f a b b F a F b F ξξ'-'-==-，即)]()()()()[()()()()(a g f g a f a b a g b f b g a f ξξ'-'-=-，所以在（a,b ）内存在一点),(b a ∈ξ，使得)()()()()()()()()(ξξg a g f a f a b b g a g b f a f ''-=，故定理得证．例2: 设函数)(x f 和)(x g 在闭区间[a,b]上连续，在（a,b ）上可导，且在闭区间[a,b]上，)(1x g 有意义，0)(≠'x g ．则在（a,b ）内存在一点),(b a ∈ξ，使得 )()()()()]()([)()()()()(ξξξξξg g f f a g b g b g a g b f a f g ''-='． 证明：令)()()(x g x f x F =，)(1)(x g x G =，易知)(x F 和)(x G 在区间[a,b]上满足Cauchy 中值定理条件，故有，)()()()()()(ξξG F a G b G a F b F ''=--,即)()()()()()()()()()()(ξξξξξg g f g f b g a g b g a f a g b f ''-'-=--，所以在（a,b ）内存在一点),(b a ∈ξ，使得)()()()()]()([)()()()()(ξξξξξg g f f a g b g b g a g b f a f g ''-='，故定理得证．例1：设c b a ,,为三个实数，证明：方程c bx ax e x ++=2的根不超过三个. 证明：令x e c bx ax x F -++=2)(，则x e b ax x F -+=2)('，x e a x F -=2)("，x e x F -=)('".用反证法，设原方程的根超过程3个，那么F(x)至少有4个零点， 不妨设为4321x x x x <<< ，那么有罗尔定理，存在4332211x x x x <<<<<<ξξξ,使0)(')(')('321===ξξξF F F ，再用罗尔定理，存在32211ξηξηξ<<<<,使0)(")("21==ηηF F , 再用罗尔定理，存在21ηαη<<,使0)('"=αF ,因为x e x F -=)('", 所以0)('"≠-=ααe F ,矛盾，所以命题得证.例2：设函数()f x 在[],a b 上连续，且()0f x >。